Для початку нагадаємо таке визначення:

Розглянемо наступну ситуацію. Нехай варіанти генеральної сукупностімає нормальне розподілення з математичним очікуванням $a$ і середнім квадратичним відхиленням $\sigma$. Вибіркове середнє у даному випадкурозглядатиметься як випадкова величина. Коли величина $X$ розподілена нормально, вибіркове середнє також матиме нормальний розподіл з параметрами

Знайдемо довірчий інтервал, який покриває величину $a$ з надійністю $gamma $.

Для цього нам необхідно, щоб виконувалась рівність

З неї отримаємо

Звідси ми можемо легко знайти $t$ за таблицею значень функції $Ф\left(t\right)$ і, як наслідок, знайти $delta$.

Нагадаємо таблицю значень функції $Ф\left(t\right)$:

Малюнок 1. Таблиця значень функції $Ф\left(t\right).$

Довірчий інтеграл для оцінки математичного очікування за невідомого $(\mathbf \sigma )$

У цьому випадку ми користуватимемося значенням виправленої дисперсії $S^2$. Замінюючи у вище виведеній формулі $sigma $ на $S$, отримаємо:

Приклад завдань перебування довірчого інтервалу

Приклад 1

Нехай величина $X$ має нормальний розподіл із дисперсією $\sigma =4$. Нехай обсяг вибірки $ n = 64 $, а надійність дорівнює $ Gamma = 0,95 $. Знайти довірчий інтервал для оцінки математичного очікуванняданого розподілу.

Нам необхідно знайти інтервал ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$.

Як ми бачили вище

\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\ t)(2)\]

Параметр $t$ знайдемо з формули

\[Ф\left(t\right)=\frac(\gamma )(2)=\frac(0,95)(2)=0,475\]

З таблиці 1 отримуємо, що $t=1,96$.

Нехай зроблена вибірка з генеральної сукупності, підпорядкованої закону нормальногорозподілу XN( m;  ). Це основне припущення математичної статистики ґрунтується на центральній граничній теоремі. Нехай відоме генеральне середнє квадратичне відхилення  , але невідомо математичне очікування теоретичного розподілу m(середнє значення ).

У такому разі середнє вибіркове , отримане в ході експерименту (п.3.4.2), також буде випадковою величиною m;
). Тоді «нормалізоване» відхилення
N(0;1) – є стандартною нормальною випадковою величиною.

Завдання полягає у пошуку інтервальної оцінки для m. Побудуємо двосторонній довірчий інтервал для m так, щоб справжнє математичне очікування належало йому із заданою ймовірністю (надійністю)  .

Встановити такий інтервал для величини
- Це означає знайти максимальне значення цієї величини
та мінімальне
, які є межами критичної області:
.

Т.к. така ймовірність дорівнює
, то корінь цього рівняння
можна знайти за допомогою таблиць функції Лапласа (Таблиця 3, додаток 1).

Тоді з ймовірністю  можна стверджувати, що випадкова величина
, тобто шукане генеральне середнє належить інтервалу
. (3.13)

Величину
(3.14)

називають точністюоцінки.

Число
– квантиль нормального розподілу– можна знайти як аргумент функції Лапласа (Таблиця 3, додаток 1) з огляду на співвідношення 2Ф( u)=, тобто. Ф( u)=
.

Назад, за заданому значеннювідхилення  можна знайти, з якою ймовірністю, невідоме генеральне середнє належить інтервалу
. Для цього потрібно обчислити

. (3.15)

Нехай із генеральної сукупності вилучено випадкову вибірку методом повторного відбору. З рівняння
можна знайти мінімальнийобсяг повторної вибірки n, необхідний для того, щоб довірчий інтервал із заданою надійністю не перевищував наперед заданого значення  . Оцінку необхідного обсягу вибірки роблять за такою формулою:

. (3.16)

Досліджуємо точність оцінки
:

1) У разі зростання обсягу вибірки nвеличина  зменшується, і значить, точність оцінки збільшується.

2) З збільшеннямнадійності оцінки збільшується значення аргументу u(Т.к. Ф(u) монотонно зростає) і значить збільшується  . У такому разі збільшення надійності зменшуєточність її оцінки  .

Оцінку
(3.17)

називають класичною(де t- певний параметр, що залежить від і n), т.к. вона характеризує найпоширеніші закони розподілу.

3.5.3 Довірчі інтервали для оцінки математичного очікування нормального розподілу за невідомого середнього квадратичного відхилення 

Нехай відомо, що генеральна сукупність підпорядкована закону нормального розподілу XN( m; ), де величина середнього квадратичноговідхилення невідома.

Для побудови довірчого інтервалу оцінки генерального середнього у разі використовується статистика
, що має розподіл Ст'юдента з k= n-1 ступенями свободи. Це випливає з того, що N(0;1) (див. п.3.5.2), а
(див. п.3.5.3) та з визначення розподілу Ст'юдента (ч.1.п.2.11.2).

Знайдемо точність класичної оцінки розподілу Стьюдента: тобто. знайдемо tіз формули (3.17). Нехай ймовірність виконання нерівності
задана надійністю  :

. (3.18)

Оскільки TSt( n-1), очевидно, що tзалежить від  і nтому зазвичай пишуть
.

(3.19)

де
- функція розподілу Ст'юдента з n-1 ступенями свободи.

Вирішуючи це рівняння щодо m, отримаємо інтервал
який з надійністю  покриває невідомий параметр m.

Величина t  , n-1 , що служить для визначення довірчого інтервалу випадкової величини T(n-1), розподіленою за Ст'юдентом з n-1 ступенями свободи, називається коефіцієнтом Ст'юдента. Його слід знаходити за заданими значеннями nта  з таблиць « Критичні точкирозподілу Стьюдента». (Таблиця 6, додаток 1), які є рішення рівняння (3.19).

У результаті отримуємо такий вираз точності довірчого інтервалу для оцінки математичного очікування (генерального середнього), якщо невідома дисперсія:

(3.20)

Т.ч. існує загальна формула побудови довірчих інтервалів для математичного очікування генеральної сукупності:

де точність довірчого інтервалу  залежно від відомої чи невідомої дисперсії знаходиться за формулами відповідно 3.16. та 3.20.

Завдання 10.Проведено деякі випробування, результати яких занесені до таблиці:

x i

Відомо, що вони підпорядковуються закону нормального розподілу з
. Знайти оцінку m* для математичного очікування m, побудувати йому 90% довірчий інтервал.

Рішення:

Отже, m(2.53;5.47).

Завдання 11.Глибина моря вимірюється приладом, систематична помилка якого дорівнює 0, а випадкові помилки розподіляються за нормальним законом, із середнім квадратичним відхиленням  = 15м. Скільки треба зробити незалежних вимірів, щоб визначити глибину з помилками не більше 5м за довірчої ймовірності 90%?

Рішення:

За умовою завдання маємо XN( m;  ), де  = 15м,  = 5м,  =0.9. Знайдемо обсяг n.

1) Із заданою надійністю = 0.9 знайдемо за таблицями 3 (Додаток 1) аргумент функції Лапласа u  = 1.65.

2) Знаючи задану точність оцінки  =u  =5, знайдемо
. Маємо

. Тому кількість випробувань n25.

Завдання 12.Вибір температури tза перші 6 днів січня представлена ​​у таблиці:

Знайти довірчий інтервал для математичного очікування mгенеральної сукупності з довірчою ймовірністю
та оцінити генеральне стандартне відхилення s.

Рішення:

і
.

2) Незміщену оцінку знайдемо за формулою
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) Оскільки генеральна дисперсія невідома, але відома її оцінка, то оцінки математичного очікування mвикористовуємо розподіл Ст'юдента (Таблиця 6, додаток 1) та формулу (3.20).

Т.к. n 1 =n 2 = 6, то ,
, s 1 =6.85 маємо:
, звідси -29.2-4.1<m 1 < -29.2+4.1.

Тому -33.3<m 1 <-25.1.

Аналогічно маємо,
, s 2 = 4.8, тому

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33.3;-25.1) та m 2 (-34.9;-29.1).

У прикладних науках, наприклад, у будівельних дисциплінах, для оцінки точності об'єктів використовуються таблиці довірчих інтервалів, які наведені у довідковій літературі.

та інших. Усі є оцінками своїх теоретичних аналогів, які можна було б отримати, якби у розпорядженні була вибірка, а генеральна сукупність. Але на жаль, генеральна сукупність - це дуже дорого і часто недоступне.

Поняття про інтервальне оцінювання

Будь-яка вибіркова оцінка має деякий розкид, т.к. є випадковою величиною, що залежить від значень у конкретній вибірці. Отже, для надійніших статистичних висновків слід знати не лише точкову оцінку, а й інтервал, який з високою ймовірністю γ (гама) накриває оцінюваний показник θ (Тета).

Формально це два таких значення (статистики) T 1 (X)і T 2 (X), що T 1< T 2 для яких при заданому рівні ймовірності γ виконується умова:

Коротше, з ймовірністю γ або більше істинний показник знаходиться між точками T 1 (X)і T 2 (X), які називаються нижнім та верхнім кордоном довірчого інтервалу.

Однією з умов побудови довірчих інтервалів його максимальна вузькість, тобто. він має бути наскільки це можливо коротким. Бажання цілком природно, т.к. дослідник намагається точніше локалізувати знаходження шуканого параметра.

Звідси випливає, що інтервал довіри повинен накривати максимальні ймовірності розподілу. а сама оцінка бути у центрі.

Тобто ймовірність відхилення (справжнього показника від оцінки) у більшу сторону дорівнює ймовірності відхилення у менший бік. Слід зазначити, що з несиметричних розподілів інтервал справа не дорівнює інтервалу зліва.

На малюнку вище чітко видно, що чим більша довірча ймовірність, тим ширший інтервал – пряма залежність.

Це була невелика вступна частина в теорію інтервального оцінювання невідомих параметрів. Перейдемо до знаходження довірчих кордонів для математичного очікування.

Довірчий інтервал для математичного очікування

Якщо вихідні дані розподілені по , то середнє буде нормальною величиною. Це випливає з того правила, що лінійна комбінація нормальних величин також має нормальний розподіл. Отже, для розрахунку можливостей ми могли б використовувати математичний апарат нормального закону розподілу.

Однак для цього потрібно знати два параметри – матожидання та дисперсію, які зазвичай не відомі. Можна, звичайно, замість параметрів використовувати оцінки (середню арифметичну і ), але тоді розподіл середньої буде не зовсім нормальним, він буде трохи приплюснутий донизу. Цей факт спритно помітив громадянин Вільям Госсет з Ірландії, опублікувавши своє відкриття у березневому випуску журналу Biometrica за 1908 рік. З метою конспірації Держсет підписався Стьюдентом. Так виник t-розподіл Стьюдента.

Однак нормальний розподіл даних, що використовувався К. Гауссом при аналізі помилок астрономічних спостережень, у земному житті зустрічається вкрай рідко і встановити досить складно (для високої точності необхідно близько 2 тисяч спостережень). Тому припущення про нормальність найкраще відкинути та використовувати методи, які не залежать від розподілу вихідних даних.

Виникає питання: який же розподіл середньої арифметичної, якщо він розрахований за даними невідомого розподілу? Відповідь дає відома у теорії ймовірностей Центральна гранична теорема(ЦПТ). У математиці існує кілька її варіантів (протягом довгих років формулювання уточнювалися), але всі вони, грубо кажучи, зводяться до твердження, що сума великої кількості випадкових незалежних величин підпорядковується нормальному закону розподілу.

При розрахунку середньої арифметичної використовується сума випадкових величин. Звідси виходить, що середнє арифметичне має нормальний розподіл, у якого матожидання – це маточування вихідних даних, а дисперсія – .

Розумні люди вміють доводити ЦПТ, але ми переконаємося в цьому за допомогою експерименту, проведеного в Excel. Змоделюємо вибірку з 50-ти рівномірно розподілених випадкових величин (за допомогою функції Excel ПРОМІНЬ). Потім зробимо 1000 таких вибірок і кожної розрахуємо середню арифметичну. Подивимося з їхньої розподіл.

Видно, що розподіл середньої близько до нормального закону. Якщо обсяг вибірок та їх кількість зробити ще більше, то подібність буде ще кращою.

Тепер, коли ми переконалися в справедливості ЦПТ, можна, використовуючи , розрахувати довірчі інтервали для середньої арифметичної, які із заданою ймовірністю накривають справжнє середнє чи математичне очікування.

Для встановлення верхньої та нижньої межі потрібно знати параметри нормального розподілу. Як правило, їх немає, тому використовують оцінки: середню арифметичнуі вибіркову дисперсію. Повторюся, такий спосіб дає гарне наближення лише за великих вибірках. Коли вибірки малі, часто рекомендують використовувати розподіл Стьюдента. Не вірте! Розподіл Стьюдента для середньої буває лише тоді, коли вихідні дані мають нормальний розподіл, тобто майже ніколи. Тому краще відразу поставити мінімальну планку за кількістю необхідних даних та використовувати асимптотично коректні методи. Говорять, достатньо 30 спостережень. Беріть 50 – не помилитеся.

T 1,2– нижня та верхня межа довірчого інтервалу

– вибіркове середнє арифметичне

s 0- Середнє квадратичне відхилення за вибіркою (незміщене)

n - Розмір вибірки

γ - Довірча ймовірність (зазвичай дорівнює 0,9, 0,95 або 0,99)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)- Зворотне значення функції стандартного нормального розподілу. Простіше кажучи, це кількість стандартних помилок від середньої арифметичної до нижньої або верхньої межі (вказаним трьома ймовірностями відповідають значення 1,64, 1,96 і 2,58).

Суть формули в тому, що береться середнє арифметичне і далі від неї відкладається кілька ( з γ) стандартних помилок ( s 0 /√n). Все відомо, бери і рахуй.

До масового використання ПЕОМ для отримання значень функції нормального розподілу та зворотної їй використовували. Їх і зараз використовують, але ефективніше звернутися до готових формул Excel. Всі елементи формули вище ( , і ) можна легко розрахувати в Excel. Але є і готова формула для розрахунку довірчого інтервалу ДОВІР.НОРМ. Її синтаксис наступний.

ДОВІР.НОРМ(альфа;стандартне_вимк.;розмір)

альфа– рівень значущості чи довірчий рівень, що у прийнятих вище позначеннях дорівнює 1- γ, тобто. ймовірність того, що математичнеочікування опиниться поза довірчого інтервалу. За довірчої ймовірності 0,95, альфа дорівнює 0,05 і т.д.

стандартне_відкл- Середнє квадратичне відхилення вибіркових даних. Стандартну помилку не треба розраховувати, Excel сам розділить на корінь з n.

розмір- Розмір вибірки (n).

Результат функції ДОВЕРИТ.НОРМ – це другий доданок з формули розрахунку довірчого інтервалу, тобто. напівінтервал. Відповідно, нижня та верхня точка – це середнє ± отримане значення.

Отже, можна побудувати універсальний алгоритм розрахунку довірчих інтервалів для середньої арифметичної, який залежить від розподілу вихідних даних. Платою за універсальність є його асимптотичність, тобто. необхідність використання щодо великих вибірок. Однак у століття сучасних технологій зібрати потрібну кількість даних зазвичай не становить труднощів.

Перевірка статистичних гіпотез за допомогою довірчого інтервалу

(Module 111)

Однією з основних завдань, вирішуваних у статистиці, є . Її суть коротко така. Висувається припущення, наприклад, що матожидання генеральної сукупності дорівнює якомусь значенню. Потім будується розподіл вибіркових середніх, які можуть спостерігатися при даному матожиданні. Далі дивляться, де цього умовного розподілу перебуває справжня середня. Якщо вона виходить за допустимі межі, то поява такого середнього дуже малоймовірна, а при одноразовому повторенні експерименту майже неможливо, що суперечить висунутій гіпотезі, яка успішно відхиляється. Якщо ж середнє не виходить за критичний рівень, то гіпотеза не відхиляється (але й доводиться!).

Так ось за допомогою довірчих інтервалів, у нашому випадку для матожидання, також можна перевіряти деякі гіпотези. Це дуже просто зробити. Припустимо, середня арифметична за деякою вибіркою дорівнює 100. Перевіряється гіпотеза про те, що матожидання одно, припустимо, 90. Тобто, якщо поставити питання примітивно, то він звучить так: чи може таке бути, щоб при істинному значенні середньої рівної 90, спостерігається середня виявилася дорівнює 100?

Для відповіді на це питання додатково знадобиться інформація про середнє квадратичне відхилення та розмір вибірки. Допустимо середньоквадратичне відхилення дорівнює 30, а кількість спостережень 64 (щоб легко витягти корінь). Тоді стандартна помилка середньої дорівнює 30/8 чи 3,75. Для розрахунку 95% довірчого інтервалу потрібно відкласти в обидві сторони від середньої по дві стандартні помилки (точніше, 1,96). Довірчий інтервал вийде приблизно 100±7,5 або 92,5 до 107,5.

Далі міркування такі. Якщо перевірене значення потрапляє у довірчий інтервал, воно не суперечить гіпотезі, т.к. укладається у межі випадкових коливань (з ймовірністю 95%). Якщо точка, що перевіряється, виходить за межі довірчого інтервалу, то ймовірність такої події дуже маленька, принаймні нижче допустимого рівня. Отже, гіпотезу відхиляють, як таку, що суперечить спостережуваним даним. У нашому випадку гіпотеза про маточування знаходиться за межами довірчого інтервалу (перевірене значення 90 не входить до інтервалу 100±7,5), тому її слід відхилити. Відповідаючи на примітивне питання вище, слід сказати: ні не може, принаймні таке трапляється вкрай рідко. Часто при цьому вказують конкретну ймовірність помилкового відхилення гіпотези (p-level), а не заданий рівень, яким будувався довірчий інтервал, але про це в інший раз.

Як бачимо, побудувати довірчий інтервал для середнього (або математичного очікування) нескладно. Головне, вловити суть, а далі йтиметься. На практиці в більшості випадків використовуються 95% довірчий інтервал, який має завширшки приблизно дві стандартні помилки по обидва боки від середньої.

На цьому поки що все. Всіх благ!

ДОВІРНИЙ ІНТЕРВАЛ ДЛЯ МАТЕМАТИЧНОГО ОЧЕКАННЯ

1. Нехай відомо, що сл. величина x підкоряється нормальному закону з невідомим середнім μ і відомою σ 2: X~N(μ,σ 2), σ 2 поставлено, μ не відомо. Встановлено β. За вибіркою x 1, x 2, … , x n треба побудувати I β (θ) (зараз θ = μ), що задовольняє (13)

Вибіркове середнє (кажуть також вибіркова середня) підпорядковується нормальному закону з тим самим центром μ, але меншою дисперсією X~N (μ , D ), де дисперсією D = 2 = 2 /n.

Нам знадобиться число β , що визначається для ξ~N(0,1) умовою

Словами: між точками -К і К осі абсцис лежить площа під кривою щільності стандартного нормального закону, рівна β

Наприклад, До 0,90 =1,645 квантиль рівня 0,95 величини ξ

K 0,95 = 1,96. ; До 0,997 =3.

Зокрема, відклавши від центру будь-якого нормального закону 1,96 стандартних відхилень вправо і стільки ж вліво, ми захопимо площу під кривою щільності, рівну 0.95, внаслідок чого К 095 є квантиллю рівня 0,95 + 1/2 * 0,005 = 0,975 для цього закону.

Шуканий довірчий інтервал для генерального середнього μ є IA (μ) = (х-σ, х+σ),

де δ = (15)

Дамо обґрунтування:

За сказаним, сл. величина інтервал J=μ±σ потрапляє з ймовірністю β (рис.9). У цьому випадку величина відхиляється від центру менше, ніж на δ , і випадковий інтервал ± δ (з випадковим центром і такою самою як у J ширини) накриє точку μ. Тобто Є J<=> μ Є I β ,тому Р(μЕІ β ) = Р( Є J )=β.

Отже, постійний за вибіркою інтервал I β містить середнє з ймовірністю β.

Зрозуміло, що більше n, то менше σ і вже інтервал, чим більше ми беремо гарантію β, тим довірчий інтервал ширше.

Приклад 21.

За вибіркою з n=16 для нормальної величини з відомою дисперсією 2 =64 знайдено х=200. Побудувати довірчий інтервал для генерального середнього (інакше кажучи, математичного очікування) μ, прийнявши β=0,95.

Рішення. I β (μ)= ± δ, де δ = К β σ/ -> До β σ/ =1.96*8/ = 4

I 0.95 (μ) = 200 4 = (196; 204).

Роблячи висновок, що з гарантією β=0,95 справжнє середнє належить інтервалу (196,204), ми розуміємо, що можлива помилка.

Зі 100 довірчих інтервалів I 0. 95 (μ) в середньому 5 не містять μ.

Приклад 22.

Яким за умов попереднього прикладу 21 слід взяти n, щоб удвічі звузити довірчий інтервал? Щоб мати 2δ=4, треба взяти

Насправді часто користуються односторонніми довірчими інтервалами. Так, якщо корисні або не страшні високі значення μ, але не приємні низькі, як у випадку з міцністю або надійністю, то резонно будувати односторонній інтервал. Для цього слід максимально підняти його верхню межу. Якщо ми збудуємо, як у прикладі 21, двосторонній довірчий інтервал для заданого β, а потім максимально розширимо його за рахунок однієї з кордонів, то отримаємо односторонній інтервал з більшою гарантією β" = β + (1-β) / 2 = (1+ β)/2, наприклад, якщо β = 0,90, то β = 0,90 + 0,10/2 = 0,95.

Наприклад, вважатимемо, що йдеться про міцність виробу і піднімемо верхню межу інтервалу до . Тоді для у прикладі 21 отримаємо односторонній довірчий інтервал (196,°°) з нижньою межею 196 і довірчою ймовірністю β"=0,95+0,05/2=0,975.

Практичним недоліком формули (15)_є те, що вона виведена в припущенні, що дисперсія = σ 2 (звідси і = σ 2 /n) відома; а це буває у житті рідко. Виняток становить випадок, коли обсяг вибірки великий, скажімо, n вимірюється сотнями або тисячами і тоді за 2 можна практично прийняти її оцінку s 2 або .

Приклад 23.

Припустимо, у деякому великому місті внаслідок вибіркового обстеження житлових умов мешканців отримано наступну таблицю даних (приклад із роботи).

Таблиця 8

Вихідні дані, наприклад

Природно припустити, що сл. величина X - загальна (корисна) площа (м2), що припадає на одну людину підпорядковується нормальному закону. Середня μ та дисперсія σ 2 не відомі. Для μ потрібно побудувати 95% довірчий інтервал. Щоб за групованими даними знайти вибіркові середні та дисперсію, складемо наступну таблицю викладок (табл.9).

Таблиця 9

Обчислення X та 5 за згрупованими даними

N групи з	Загальна площа у розрахунку на 1 особу, м 2	Число мешканців групи г j	Середина інтервалу x j	r j x j	rjxj 2
	До 5.0		2.5	20.0	50.0
	5.0-10.0		7.5	712.5	5343.75
	10.0-15.0		12.5	2550.0	31875.0
	15.0-20.0		17.5	4725.0	82687.5
	20.0-25.0		22.5	4725.0	106312.5
	25.0-30.0		27.5	3575.0	98312.5
	понад 30.0		32.5 *	2697.5	87668.75
			-	19005.0	412250.0

У цій допоміжній таблиці за формулою (2) підраховано перший та другий початкові статистичні моменти а 1і а 2

Хоча дисперсія σ 2 тут невідома, через великий обсяг вибірки можна практично застосувати формулу (15), поклавши у ній σ= =7.16.

Тоді δ=k 0.95 σ/ =1.96*7.16/ =0.46.

Довірчий інтервал для середнього генерального при β=0,95 дорівнює I 0.95 (μ) = ± δ = 19 ± 0.46 = (18.54; 19.46).

Отже, середнє значення площі одну людину у цьому місті з гарантією 0.95 лежить у проміжку (18.54; 19.46).

2. Довірчий інтервал для математичного очікування у разі невідомої дисперсії σ 2 нормальної величини. Цей інтервал для заданої гарантії β будується за формулою де ν = n-1 ,

(16)

Коефіцієнт t β,ν має той самий сенс для t – розподілу з ν ступенями свободи, що до β для розподілу N(0,1), а саме:

.

Інакше кажучи, сл. Величина tν потрапляє до інтервалу (-t β,ν ; +t β,ν) з ймовірністю β. Значення t β,ν дано в табл.10 для β=0.95 і β=0.99.

Таблиця 10

Значення t β,ν

Повертаючись до прикладу 23, бачимо, що в ньому довірчий інтервал був побудований за формулою (16) з коефіцієнтом t β,? = k 0..95 = 1.96, т. К.

Ви можете використовувати цю форму пошуку, щоб знайти потрібне завдання. Введіть слово, фразу із завдання чи її номер, якщо він вам відомий.

Шукати тільки у цьому розділі

Довірчі інтервали: список розв'язків задач

Довірчі інтервали: теорія та завдання

Загальні відомості про довірчі інтервали

Введемо коротко поняття довірчого інтервалу, який
1) оцінює деякий параметр числової вибірки безпосередньо за даними самої вибірки,
2) накриває значення цього параметра із ймовірністю γ.

Довірчим інтерваломдля параметра X(при ймовірності γ) називається інтервал виду , такий що , а значення обчислюються деяким чином на вибірці .

Зазвичай у прикладних задачах довірчу ймовірність беруть рівною γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Розглянемо деяку вибірку обсягу n, зроблену з генеральної сукупності, розподіленої, імовірно, за нормальним законом розподілу. Покажемо, за якими формулами є довірчі інтервали для параметрів розподілу- математичного очікування та дисперсії (середнього квадратичного відхилення).

Довірчий інтервал для математичного очікування

Випадок 1.Дисперсія розподілу відома і дорівнює. Тоді довірчий інтервал для параметра aмає вид:
tвизначається з таблиці розподілу Лапласа за співвідношенням

Випадок 2Дисперсія розподілу невідома, за вибіркою обчислено точкову оцінку дисперсії. Тоді довірчий інтервал для параметра aмає вид:
де - вибіркове середнє, обчислене за вибіркою, параметр tвизначається з таблиці розподілу Стьюдента

приклад.За даними 7 вимірювань деякої величини знайдені середня результатів вимірювань, що дорівнює 30 і вибіркова дисперсія, що дорівнює 36. Знайдіть межі, в яких з надійністю 0,99 укладено справжнє значення вимірюваної величини.

Рішення.Знайдемо . Тоді довірчі межі для інтервалу, що містить справжнє значення вимірюваної величини, можна знайти за формулою:
, де – вибіркове середнє, – вибіркова дисперсія. Підставляємо всі величини та отримуємо:

Довірчий інтервал для дисперсії

Вважаємо, що взагалі кажучи, математичне очікування невідоме, а відома лише точкова незміщена оцінка дисперсії. Тоді довірчий інтервал має вигляд:
, де - Квантилі розподілу, що визначаються з таблиць.

приклад.За даними 7 випробувань знайдено значення оцінки для середньоквадратичного відхилення s=12. Знайти із ймовірністю 0,9 ширину довірчого інтервалу, побудованого для оцінки дисперсії.

Рішення.Довірчий інтервал для невідомої дисперсії генеральної сукупності можна знайти за такою формулою:

Підставляємо та отримуємо:


Тоді ширина довірчого інтервалу дорівнює 465,589-71,708 = 393,881.

Довірчий інтервал для ймовірності (частки)

Випадок 1.Нехай у задачі відомий обсяг вибірки та вибіркова частка (відносна частота) . Тоді довірчий інтервал для генеральної частки (істинної ймовірності) має вигляд:
, де параметр tвизначається з таблиці розподілу Лапласа за співвідношенням.

Випадок 2Якщо в задачі додатково відомий загальний обсяг сукупності , з якої було зроблено вибірку, довірчий інтервал для генеральної частки (істинної ймовірності) можна знайти за скоригованою формулою:
.

приклад.Відомо, що знайти межі, в яких з ймовірністю укладено генеральну частку.

Рішення.Використовуємо формулу:

Знайдемо параметр із умови , отримаємо Підставляємо у формулу:

Інші приклади завдань математичної статистики ви знайдете на сторінці