Елементарні результати - класичне визначення ймовірності. Типові помилки під час вирішення завдань на класичне визначення ймовірності

Основи теорії ймовірності

План:

1. Випадкові події

2. Класичне визначення ймовірності

3. Обчислення ймовірностей подій та комбінаторика

4. Геометрична ймовірність

Теоретичні відомості

Випадкові події

Випадкове явище- Явлення, результат якого однозначно не визначено. Це поняття можна трактувати у досить широкому значенні. А саме: все в природі досить випадково, поява і народження будь-якого індивідуума є випадкове явище, вибір товару в магазині також випадкове явище, отримання оцінки на іспиті є випадкове явище, захворювання та одужання є випадкові явища і т.д.

Приклади випадкових явищ:

~ Здійснюється стрілянина з гармати, встановленим під заданим кутом до горизонту. Попадання його в ціль випадково, але влучення снаряда в деяку "вилку" є закономірністю. Можна вказати відстань, ближче за яку і далі за яку, снаряд не полетить. Вийде деяка "вилка розсіювання снарядів"

~ Одне і тіло зважується кілька разів. Строго кажучи, щоразу виходитимуть різні результати, що нехай відрізняються на мізерно малу величину, але відрізнятимуться.

~ Літак, літаючи по тому самому маршруту, має деякий політний коридор, в межах якого може лавірувати літак, але ніколи у нього не буде строго однакового маршруту

~ Спортсмен ніколи не зможе пробігти одну і ту ж дистанцію з однаковим часом. Його результати також будуть у межах деякого чисельного проміжку.

Досвід, експеримент, спостереження є випробуваннями

Випробування– спостереження чи виконання деякого комплексу умов, виконуваних неодноразово, причому регулярно повторюваних у ній і послідовності, тривалості, з дотриманням інших однакових параметрів.

Розглянемо виконання спортсменом пострілу з мішені. Щоб він був зроблений, необхідно виконати такі умови як виготовлення спортсмена, зарядка зброї, прицілювання тощо. "Потрапив" та "не потрапив" – події, як результат пострілу.

Подія- Якісний результат випробування.

Подія може відбутися або не відбутися. Події позначаються великими латинськими літерами. Наприклад: D = "Стрілок потрапив у мішень". S="Вийнято білу кулю". K="Взятий лотерейний квиток без виграшу.".

Підкидання монети – випробування. Падіння її "гербом" - одна подія, падіння її "цифрою" - друга подія.

Будь-яке випробування передбачає настання кількох подій. Одні з них можуть бути необхідними в даний час дослідникові, інші - не потрібними.

Подія називається випадковою, якщо під час здійснення певної сукупності умов Sвоно може або статися, або статися. Надалі, замість того, щоб говорити "сукупність умов S здійснена", говоритимемо коротко: "Зроблено випробування". Таким чином, подія розглядатиметься як результат випробування.

~ Стрілець стріляє по мішені, розділеній на чотири області. Постріл – це випробування. Попадання у певну область мішені – подія.

~ У урні є кольорові кулі. З урни навмання беруть одну кулю. Вилучення кулі з урни є випробування. Поява кулі певного кольору – подія.

Види випадкових подій

1. Події називають несумісними,якщо поява одного з них виключає появу інших подій в тому самому випробуванні.

~ З ящика з деталями навмання витягнуто деталь. Поява стандартної деталі унеможливлює появу нестандартної деталі. Події € з'явилася "стандартна деталь" і з'явилася "нестандартна деталь" - несумісні.

~ Покинута монета. Поява "герба" виключає появу напису. Події "з'явився герб" і "з'явився напис" - несумісні.

Декілька подій утворюють повну групу,якщо в результаті випробування з'явиться хоч одне з них. Іншими словами, поява хоча б однієї з подій повної групи є достовірною подією.

Зокрема, якщо події, що утворюють повну групу, попарно несумісні, то в результаті випробування з'явиться одна і тільки одна з цих подій. Цей окремий випадок представляє для нас найбільший інтерес, оскільки використовується далі.

~ Придбано два квитки грошово-речової лотереї. Обов'язково відбудеться одна і лише одна з наступних подій:

1. "виграш випав на перший квиток і не випав на другий",

2. "виграш не випав на перший квиток і випав на другий",

3. "виграш випав на обидва квитки",

4. "на обидва квитки виграш не випав".

Ці події утворюють повну групу попарно несумісних подій,

~ Стрілець зробив постріл по меті. Обов'язково відбудеться одна з наступних двох подій: попадання, промах. Ці дві несумісні події також утворюють повну групу.

2. Події називають рівноможливими,якщо є підстави вважати, що жодна з них не є більш можливою, ніж інша.

~ Поява "герба" та поява напису при киданні монети - рівноможливі події. Справді, передбачається, що монета виготовлена з однорідного матеріалу, має правильну циліндричну форму, і наявність карбування не впливає випадання тієї чи іншої боку монети.

~ Поява того чи іншого числа очок на кинутій гральній кістці – рівноможливі події. Справді, передбачається, що гральна кістка виготовлена з однорідного матеріалу, має форму правильного багатогранника, і наявність очок не впливає випадання будь-якої грані.

3. Подія називається достовірним,якщо воно не може не статися

4. Подія називається не достовірнимякщо воно не може статися.

5. Подія називаються протилежнимдо певної події, якщо вона складається з появи цієї події. Протилежні події не сумісні, але одна з них має обов'язково відбутися. Протилежні події прийнято позначати як заперечення, тобто. над літерою пишеться рисочка. Події протилежні: А та Ā; U та Ū і т.д. .

Класичне визначення ймовірності

Імовірність – одне з основних понять теорії ймовірностей.

Існує кілька визначень цього поняття. Наведемо визначення, яке називають класичним. Далі вкажемо слабкі сторони цього визначення та наведемо інші визначення, що дозволяють подолати недоліки класичного визначення.

Розглянемо ситуацію: У ящику міститься 6 однакових куль, причому 2 – червоні, 3 – сині та 1-білий. Очевидно, можливість вийняти навмання з кольорової урни (тобто червоний або синій) кулю більше, ніж можливість витягти білу кулю. Цю можливість можна охарактеризувати числом, яке називають ймовірністю події (появи - кольорової кулі).

Ймовірність- Число, що характеризує ступінь можливості появи події.

У ситуації позначимо:

Подія А = "Витягування кольорової кулі".

Кожен із можливих результатів випробування (випробування полягає у вилученні кулі з урни) назвемо елементарним (можливим) результатом та подією.Елементарні наслідки можна позначати літерами з індексами внизу, наприклад: k 1 , k 2 .

У нашому прикладі 6 куль, тому 6 можливих результатів: з'явилася біла куля; з'явилася червона куля; з'явилася синя куля і т.д. Легко бачити, що ці результати утворюють повну групу попарно несумісних подій (обов'язково з'явиться тільки одна куля) і вони рівноможливі (куля виймають навмання, кулі однакові і ретельно перемішані).

Елементарні результати, у яких цікава для нас подія настає, назвемо сприятливими наслідкамицій події. У нашому прикладі сприяють події А(Поява кольорової кулі) наступні 5 результатів:

Таким чином, подія Аспостерігається, якщо у випробуванні настає один, байдуже який, з елементарних результатів, що сприяють А.Це поява будь-якої кольорової кулі, яких у ящику 5 штук

У аналізованому прикладі елементарних результатів 6; з них 5 сприяють події А.Отже, Р(А)= 5/6. Це число дає кількісну оцінку ступеня можливості появи кольорової кулі.

Визначення ймовірності:

Імовірністю події Аназивається відношення числа сприятливих цій події наслідків до загального числа всіх рівноможливих несумісних елементарних наслідків, що утворюють повну групу.

Р(А)=m/n або Р(А)=m: n, де:

m - число елементарних результатів, що сприяють А;

п- Число всіх можливих елементарних результатів випробування.

Тут передбачається, що елементарні наслідки несумісні, рівноможливі та утворюють повну групу.

З визначення ймовірності випливають такі властивості:

1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Справді, якщо подія є достовірною, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. В цьому випадку m = nотже, p=1

2. Імовірність неможливої події дорівнює нулю.

Справді, якщо подія неможлива, то жоден з елементарних результатів випробування не сприяє події. І тут m=0, отже, p=0.

3.Імовірність випадкової події є позитивним числом, укладеним між нулем і одиницею. 0т< n.

У наступних темах будуть наведені теореми, які дозволяють за відомими ймовірностями одних подій знаходити ймовірність інших подій.

Промір. У групі студентів 6 дівчат та 4 юнаків. Яка ймовірність того, що навмання обраний студент буде дівчина? буде юнак?

p дів = 6 / 10 = 0,6 p юн = 4 / 10 = 0,4

Поняття "імовірність" у сучасні суворі курси теорії ймовірностей побудовано на теоретико-множинні основі. Розгляньмо деякі моменти такого підходу.

Нехай у результаті випробування настає одна і лише одна з подій: w i(i = 1, 2, .... п). Події w i,- називається елементарними подіями (елементарними наслідками). Прозвідси випливає, що елементарні події попарно несумісні. Безліч всіх елементарних подій, які можуть з'явитися у випробуванні, називають простором елементарних подійΩ (грецька буква омега велика), а самі елементарні події - точками цього простору..

Подія Аототожнюють з підмножиною (простору Ω), елементи якого є елементарними наслідками, що сприяють А;подія Ує підмножина Ω , елементи якого є результати, що сприяють В,і т, д. Таким чином, безлічі всіх подій, які можуть наступити у випробуванні, є безліч всіх підмножин Ω, Само Ω настає за будь-якого результату випробування, тому Ω - достовірна подія; порожнє підмножина простору Ω - неможлива подія (вона не настає ні при якому результаті випробування).

Елементарні події виділяються з усіх подій тим, "по кожну з них містить тільки один елемент Ω

Кожному елементарному результату w iставлять у відповідність позитивне число р i- ймовірність цього результату, причому сума всіх р iдорівнює 1 або зі знаком суми цей факт запишеться у вигляді виразу:

За визначенням, ймовірність Р(А)події Адорівнює сумі ймовірностей елементарних результатів, що сприяють А.Тому ймовірність події достовірного дорівнює одиниці, неможливого – нулю, довільного – укладена між нулем та одиницею.

Розглянемо важливий окремий випадок, коли всі результати рівноможливі, Число результатів дорівнює л, сума ймовірностей всіх результатів дорівнює одиниці; отже, ймовірність кожного результату дорівнює 1/п. Нехай події Асприяє m результатів.

Ймовірність події Адорівнює сумі ймовірностей наслідків, що сприяють А:

Р(А)=1/n + 1/n+…+1/n = n·1/n=1

Отримано класичне визначення ймовірності.

Існує ще аксіоматичнийпідхід до поняття "імовірність". У системі аксіом, запропонованої. Колмогоровим А. Н, невизначеними поняттями є елементарна подія та ймовірність. Побудова логічно повноцінної теорії ймовірностей ґрунтується на аксіоматичному визначенні випадкової події та її ймовірності.

Наведемо аксіоми, що визначають ймовірність:

1. Кожній події Апоставлене у відповідність невід'ємне дійсне число Р(А).Це число називається ймовірністю події А.

2. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці:

3. Імовірність настання хоча б однієї з попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Виходячи з цих аксіом, властивості ймовірностей до залежності між ними виводять як теорем.

Ймовірністюподії називається відношення числа елементарних результатів, які сприяють даній події, до всіх рівноможливих результатів досвіду в якому може з'явитися ця подія. Імовірність події А позначають через Р(А) (тут Р – перша літера французького слова probabilite – ймовірність). Відповідно до визначення
(1.2.1)
де - Число елементарних результатів, що сприяють події А; - Число всіх рівноможливих елементарних результатів досвіду, що утворюють повну групу подій.
Це визначення ймовірності називають класичним. Воно виникло початковому етапі розвитку теорії ймовірностей.

Імовірність події має такі властивості:
1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці. Позначимо достовірну подію літерою. Для достовірної події , тому
(1.2.2)
2. Імовірність неможливої події дорівнює нулю. Позначимо неможливу подію літерою. Для неможливої події , тому
(1.2.3)
3. Імовірність випадкової події виражається позитивним числом, меншим за одиницю. Оскільки для випадкової події виконуються нерівності , або , то
(1.2.4)
4. Імовірність будь-якої події задовольняє нерівності
(1.2.5)
Це випливає із співвідношень (1.2.2) -(1.2.4).

приклад 1.У урні 10 однакових за розмірами та вагою куль, з яких 4 червоні та 6 блакитні. з урни витягується одна куля. Яка ймовірність того, що витягнута куля виявиться блакитною?

Рішення. Подія "витягнута куля виявилася блакитною" позначимо буквою А. Дане випробування має 10 рівноможливих елементарних результатів, з яких 6 сприяють події А. Відповідно до формули (1.2.1) отримуємо

приклад 2.Усі натуральні числа від 1 до 30 записані на однакових картках та поміщені до скриньки. Після ретельного перемішування карток із урни витягується одна картка. Яка ймовірність того, що число на взятій картці виявиться кратним 5?

Рішення.Позначимо через А подію "число на взятій картці кратно 5". У цьому випробуванні є 30 рівноможливих елементарних результатів, у тому числі події А сприяють 6 результатів (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Отже,

приклад 3.Підкидаються два гральні кубики, підраховується сума очок на верхніх гранях. Знайти ймовірність події, що полягає в тому, що на верхніх гранях кубиків в сумі буде 9 очок.

Рішення.У цьому випробуванні всього 62 = 36 рівноможливих елементарних результатів. Події У сприяють 4 результати: (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3), тому

Приклад 4. Навмання вибрано натуральне число, що не перевищує 10. Яка ймовірність того, що це число є простим?

Рішення.Позначимо літерою З подія "вибране число є простим". У разі n = 10, m = 4 (прості числа 2, 3, 5, 7). Отже, шукана ймовірність

Приклад 5.Підкидаються дві симетричні монети. Чому дорівнює ймовірність того, що на верхніх сторонах обох монет опинилися цифри?

Рішення.Позначимо літерою D подію "на верхній стороні кожної монети виявилася цифра". У цьому випробуванні 4 рівноможливі елементарні результати: (Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц). (Запис (Г, Ц) означає, що у першій монеті герб, другого - цифра). Події D сприяє один елементарний результат (Ц, Ц). Оскільки m = 1, n = 4, то

Приклад 6.Яка ймовірність того, що в навмання обраному двозначному числі цифри однакові?

Рішення.Двозначними числами є числа від 10 до 99; всього таких чисел 90. Однакові цифри мають 9 чисел (це числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так як у цьому випадку m = 9, n = 90, то
,
де А - подія "число з однаковими цифрами".

Приклад 7.З літер слова диференціалнавмання вибирається одна літера. Яка ймовірність того, що ця літера буде: а) гласною, б) згодною, в) літерою год?

Рішення. У слові диференціал 12 букв, з них 5 голосних і 7 приголосних. Літери году цьому слові немає. Позначимо події: А - "голосна буква", В - "згодна буква", С - "літера годЧисло сприятливих елементарних результатів: -для події А, - для події В, - для події С. Оскільки n = 12, то
, та .

Приклад 8.Підкидається два гральні кубики, відзначається число очок на верхній грані кожного кубика. Знайти ймовірність того, що на обох кубиках випало однакове число очок.

Рішення.Позначимо цю подію буквою А. Події А сприяють 6 елементарних результатів: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Усього рівноможливих елементарних результатів, які утворюють повну групу подій, у разі n=6 2 =36. Отже, шукана ймовірність

Приклад 9.У книзі 300 сторінок. Чому дорівнює ймовірність того, що навмання відкрита сторінка матиме порядковий номер, кратний 5?

Рішення.З умови завдання випливає, що всіх рівноможливих елементарних наслідків, що утворюють повну групу подій, буде n = 300. З них m = 60 сприяють настанню вказаної події. Дійсно, номер, кратний 5, має вигляд 5k, де k -натуральне число, причому , звідки . Отже,
, де А - подія "сторінка" має порядковий номер, кратний 5".

Приклад 10. Підкидаються два гральні кубики, підраховується сума очок на верхніх гранях. Що найімовірніше -отримати в сумі 7 або 8?

Рішення. Позначимо події: А – "випало 7 очок", В – "випало 8 очок". Події А сприяють 6 елементарних результатів: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а події - 5 результатів: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Усіх рівноможливих елементарних результатів n = 6 2 = 36. Значить, та .

Отже, Р(А)>Р(В), тобто одержати в сумі 7 очок - більш імовірну подію, ніж одержати в сумі 8 очок.

Завдання

1. Навмання вибрано натуральне число, що не перевищує 30. Яка ймовірність того, що це число кратне 3?
2. В урні aчервоних та bблакитних куль, однакових за розмірами та вагою. Чому дорівнює ймовірність того, що навмання витягнута куля з цієї урни виявиться блакитною?
3. Наудачу вибрано число, що не перевищує 30. Яка ймовірність того, що це число є дільником зо?
4. У урні аблакитних та bчервоних куль, однакових за розмірами та вагою. З цієї урни витягають одну кулю і відкладають убік. Ця куля виявилася червоною. Після цього з урни виймають ще одну кулю. Знайти ймовірність того, що друга куля також червона.
5. Наудачу вибрано наryральне число, що не перевищує 50. Яка ймовірність того, що це число є простим?
6. Підкидається три гральні кубики, підраховується сума очок на верхніх гранях. Що найімовірніше - отримати в сумі 9 чи 10 очок?
7. Підкидається три гральні кубики, підраховується сума очок, що випали. Що найімовірніше - отримати у сумі 11 (подія А) чи 12 очок (подія В)?

Відповіді

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - можливість отримати у сумі 9 очок; p 2 = 27/216 - можливість отримати у сумі 10 очок; p 2 > p 1 7 . Р(А) = 27/216, Р(В) = 25/216, Р(А) > Р(В).

Запитання

1. Що називають ймовірністю події?
2. Чому дорівнює ймовірність достовірної події?
3. Чому дорівнює ймовірність неможливої події?
4. У яких межах є можливість випадкової події?
5. У яких межах є можливість будь-якої події?
6. Яке визначення ймовірності називають класичним?

В економіці, так само як і в інших сферах людської діяльності або в природі, постійно доводиться мати справу з подіями, які неможливо точно передбачити. Так, обсяг продажів товару залежить від попиту, який може суттєво змінюватися, та від низки інших факторів, які врахувати практично нереально. Тому при організації виробництва та здійсненні продажів доводиться прогнозувати результат такої діяльності на основі або власного попереднього досвіду, або аналогічного досвіду інших людей, або інтуїції, яка значною мірою також спирається на досвідчені дані.

Щоб якимось чином оцінити подію, що розглядається, необхідно враховувати або спеціально організовувати умови, в яких фіксується ця подія.

Здійснення певних умов або дій для виявлення події, що розглядається, носить назву досвідуабо експерименту.

Подія називається випадковимякщо в результаті досвіду воно може відбутися або не відбутися.

Подія називається достовірнимякщо воно обов'язково з'являється в результаті даного досвіду, і неможливимякщо воно не може з'явитися в цьому досвіді.

Наприклад, випадання снігу у Москві 30 листопада є випадковою подією. Щоденний схід Сонця можна вважати достовірною подією. Випадання снігу на екваторі можна розглядати як неможливу подію.

Однією з головних завдань теорії ймовірностей є завдання визначення кількісної міри можливості появи події.

Алгебра подій

Події називаються несумісними, якщо вони разом не можуть спостерігатися в тому самому досвіді. Так, наявність двох і трьох автомашин в одному магазині для продажу в той самий час — це дві несумісні події.

Сумоюподій називається подія, що полягає в появі хоча б однієї з цих подій

Як приклад суми подій можна назвати наявність у магазині хоча б одного із двох товарів.

Творомподій називається подія, що полягає в одночасному появі всіх цих подій

Подія, що полягає у появі одночасно в магазині двох товарів є твором подій: - Поява одного товару, - Поява іншого товару.

Події утворюють повну групу подій, якщо хоча б одна з них обов'язково станеться у досвіді.

приклад.У порту є два причали прийому суден. Можна розглянути три події: - відсутність судів біля причалів, - присутність одного судна біля одного з причалів, - присутність двох суден біля двох причалів. Ці три події утворюють повну групу подій.

Протилежниминазиваються дві єдино можливі події, що утворюють повну групу.

Якщо одне з подій, є протилежними, позначити через , то протилежне подія зазвичай позначають через .

Класичне та статистичне визначення ймовірності події

Кожен із рівноможливих результатів випробувань (дослідів) називається елементарним результатом. Їх зазвичай позначають літерами. Наприклад, кидається гральна кістка. Елементарних результатів всього може бути шість за кількістю очок на гранях.

З елементарних наслідків можна скласти складнішу подію. Так, подія випадання парного числа очок визначається трьома наслідками: 2, 4, 6.

Кількісним заходом можливості появи події, що розглядається, є ймовірність.

Найбільшого поширення набули два визначення ймовірності події: класичнеі статистичне.

Класичне визначення ймовірності пов'язані з поняттям сприятливого результату.

Вихід називається сприятливимцій події, якщо її поява тягне за собою настання цієї події.

У наведеному прикладі подія, що розглядається, — парна кількість очок на межі, що випала, має три сприятливі результати. В даному випадку відоме і загальне
кількість можливих наслідків. Отже, тут можна використати класичне визначення ймовірності події.

Класичне визначеннядорівнює відношенню числа сприятливих наслідків до загального числа можливих наслідків

де - ймовірність події, - число сприятливих подій, - загальна кількість можливих результатів.

У розглянутому прикладі

Статистичне визначення ймовірності пов'язані з поняттям відносної частоти появи події досвідах.

Відносна частота появи події обчислюється за формулою

де - Число появи події в серії з дослідів (випробувань).

Статистичне визначення. Імовірністю події називається число, щодо якого стабілізується (встановлюється) відносна частота при необмеженому збільшенні дослідів.

У практичних завданнях за ймовірність події приймається відносна частота за досить великої кількості випробувань.

З даних визначень ймовірності події видно, що завжди виконується нерівність

Для визначення ймовірності події на основі формули (1.1) часто використовуються формули комбінаторики, за якими знаходиться кількість сприятливих наслідків та загальна кількість можливих наслідків.

Коротка теорія

Для кількісного порівняння подій за ступенем можливості їх появи вводиться числова міра, яка називається ймовірністю події. Імовірністю випадкової подіїназивається число, що є виразом об'єктивної можливості появи події.

Величини, що визначають, наскільки значні об'єктивні підстави розраховувати появу події, характеризуються ймовірністю події. Необхідно підкреслити, що ймовірність є об'єктивна величина, яка існує незалежно від того, хто пізнає, і обумовлена всією сукупністю умов, які сприяють появі події.

Пояснення, які ми дали поняттю ймовірності, є математичним визначенням, оскільки де вони визначають це поняття кількісно. Існує кілька визначень ймовірності випадкової події, які широко застосовуються під час вирішення конкретних завдань (класичне, аксіоматичне, статистичне тощо).

Класичне визначення ймовірності подіїзводить це поняття до елементарнішого поняття рівноможливих подій, яке вже не підлягає визначенню і передбачається інтуїтивно ясним. Наприклад, якщо гральна кістка – однорідний куб, то випадання будь-якої з граней цього куба будуть рівноможливими подіями.

Нехай достовірна подія розпадається на рівноможливі випадки, сума яких дає подію. Тобто випадки, на які розпадається, називаються сприятливими для події, оскільки поява одного з них забезпечує наступ.

Імовірність події позначатимемо символом.

Імовірність події дорівнює відношенню числа випадків , що сприяють йому, із загального числа можливих, рівноможливих і несумісних випадків до , тобто.

Це класичне визначення ймовірності. Таким чином, для знаходження ймовірності події необхідно, розглянувши різні результати випробування, знайти сукупність єдино можливих, рівноможливих і несумісних випадків, підрахувати їх загальне число n, число випадків m, що сприяють даній події, і потім виконати розрахунок за вищенаведеною формулою.

Імовірність події, що дорівнює відношенню числа сприятливих події наслідків досвіду до загального числа наслідків досвіду називається класичною ймовірністювипадкової події.

З визначення випливають такі властивості ймовірності:

Властивість 1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

2. Імовірність неможливої події дорівнює нулю.

Властивість 3. Імовірність випадкової події є позитивним числом, укладеним між нулем і одиницею.

Властивість 4. Імовірність настання подій, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці.

Властивість 5. Імовірність настання протилежної події визначається так само, як і ймовірність настання події A.

Число випадків, що сприяють появі протилежної події. Звідси ймовірність настання протилежної події дорівнює різниці між одиницею та ймовірністю настання події A:

Важливе достоїнство класичного визначення ймовірності події у тому, що з допомогою ймовірність події можна визначити, не вдаючись до досвіду, а з логічних міркувань.

При виконанні комплексу умов достовірна подія обов'язково станеться, а неможлива обов'язково не станеться. Серед подій, які при створенні комплексу умов можуть статися, а можуть не відбутися, на появу одних можна розраховувати з великою підставою, на появу інших з меншою підставою. Якщо, наприклад, в урні білих куль більше, ніж чорних, то сподіватися появу білої кулі при вийманні з урни навмання більше підстав, ніж поява чорної кулі.

Приклад розв'язання задачі

Приклад 1

У ящику знаходиться 8 білих, 4 чорних та 7 червоних куль. Навмання витягнуто 3 кулі. Знайти ймовірності наступних подій: – витягнуто принаймні 1 червону кулю, – є принаймні 2 кулі одного кольору, – є принаймні 1 червона та 1 біла куля.

Рішення задачі

Загальна кількість результатів випробування знайдемо як кількість поєднань із 19 (8+4+7) елементів по 3:

Знайдемо ймовірність події– витягнуто принаймні 1 червону кулю (1,2 або 3 червоні кулі)

Шукана ймовірність:

Нехай подія– є принаймні 2 кулі одного кольору (2 або 3 білі кулі, 2 або 3 чорні кулі та 2 або 3 червоні кулі)

Число результатів, що сприяють події:

Шукана ймовірність:

Нехай подія– є принаймні одна червона і 1 біла куля

(1 червоний, 1 білий, 1 чорний або 1 червоний, 2 білих або 2 червоні, 1 білий)

Число результатів, що сприяють події:

Шукана ймовірність:

Відповідь: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

Приклад 2

Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума очок не менше ніж 5.

Рішення

Нехай подія – сума очок не менше 5

Скористаємося класичним визначенням ймовірності:

Загальна кількість можливих результатів випробування

Число випробувань, що сприяють цікавій для нас події

На грані першого грального кубика, що випала, може з'явитися одне очко, два очки ..., шість очок. аналогічно шість результатів можливі при киданні другого кубика. Кожен з наслідків кидання першої кістки може поєднуватися з кожним із наслідків другої. Таким чином, загальна кількість можливих елементарних результатів випробування дорівнює кількості розміщень з повтореннями (вибір з розміщеннями 2 елементів із сукупності обсягу 6):

Знайдемо ймовірність протилежної події – сума очок менше 5

Сприятиме події наступні поєднання очок, що випали:

№

1-а кістка

2-я кістка

Викладено геометричне визначення ймовірності та наведено рішення широко відомого завдання про зустріч.

Спочатку, будучи лише зібранням відомостей та емпіричних спостережень за грою в кістки, теорія ймовірності стала ґрунтовною наукою. Першими, хто надав їй математичний каркас, були Ферма та Паскаль.

Від роздумів про вічне до теорії ймовірностей

Дві особи, яким теорія ймовірностей завдячує багатьма фундаментальними формулами, Блез Паскаль і Томас Байєс, відомі як глибоко віруючі люди, останній був пресвітеріанським священиком. Мабуть, прагнення цих двох вчених довести помилковість думки про якусь Фортуну, що дарує успіх своїм улюбленцям, дало поштовх до досліджень у цій галузі. Адже насправді будь-яка азартна гра з її виграшами та програшами — це лише симфонія математичних принципів.

Завдяки азарту кавалера де Мере, який однаково був гравцем і людиною небайдужою до науки, Паскаль змушений був знайти спосіб розрахунку ймовірності. Де Мере цікавило таке питання: "Скільки разів потрібно викидати попарно дві кістки, щоб ймовірність здобути 12 очок перевищувала 50%?". Друге питання, яке вкрай цікавило кавалера: "Як розділити ставку між учасниками незакінченої гри?" Зрозуміло, Паскаль успішно відповів на обидва питання де Мере, який став мимовільним основоположником розвитку теорії ймовірностей. Цікаво, що персона де Мере так і залишилася відома в цій галузі, а не в літературі.

Раніше жоден математик ще не робив спроб обчислювати ймовірності подій, оскільки вважалося, що це лише вороже рішення. Блез Паскаль дав перше визначення ймовірності події та показав, що це конкретна цифра, яку можна обґрунтувати математичним шляхом. Теорія ймовірностей стала основою статистики і широко застосовується у сучасній науці.

Що таке випадковість

Якщо розглядати випробування, яке можна повторити нескінченну кількість разів, можна дати визначення випадковому події. Це один із можливих результатів досвіду.

Досвідом є здійснення конкретних дій у постійних умовах.

Щоб можна було працювати з результатами досвіду, події зазвичай позначають літерами А, B, C, D, Е…

Імовірність випадкової події

Щоб можна було приступити до математичної частини ймовірності, потрібно дати визначення всім її складникам.

Імовірність події - це виражена в числовій формі міра можливості появи певної події (А або B) у результаті досвіду. Позначається ймовірність як P(A) або P(B).

Теоретично ймовірностей відрізняють:

достовірнеподія гарантовано відбувається в результаті досвіду Р(?) = 1;
неможливеподія будь-коли може статися Р(Ø) = 0;
випадковеподія лежить між достовірною та неможливою, тобто ймовірність її появи можлива, але не гарантована (ймовірність випадкової події завжди в межах 0≤Р(А)≤ 1).

Відносини між подіями

Розглядають як одну, так і суму подій А + В, коли подія зараховується при здійсненні хоча б одного зі складових, А або В або обох - А і В.

Стосовно одна до одної події можуть бути:

Рівноможливими.
Сумісними.
Несумісними.
Протилежними (взаємовиключними).
Залежними.

Якщо дві події можуть статися з рівною ймовірністю, вони рівноможливі.

Якщо поява події А не зводить до нуля вірогідність події B, то вони сумісні.

Якщо події А і В ніколи не відбуваються одночасно в тому самому досвіді, то їх називають несумісними. Кидання монети – гарний приклад: поява решки – це автоматично непоява орла.

Імовірність для суми таких несумісних подій складається із суми ймовірностей кожної з подій:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Якщо наступ однієї події унеможливлює наступ іншого, їх називають протилежними. Тоді одне з них позначають як А, а інше - (читається як «не А»). Поява події А означає, що не відбулося. Ці дві події формують повну групу із сумою ймовірностей, що дорівнює 1.

Залежні події мають взаємний вплив, зменшуючи чи збільшуючи ймовірність одне одного.

Відносини між подіями. Приклади

На прикладах набагато простіше зрозуміти принципи теорії ймовірностей та комбінації подій.

Досвід, який буде проводитися, полягає у витягуванні кульок з ящика, а результат кожного досвіду - елементарний результат.

Подія - це один із можливих результатів досвіду - червона куля, синя куля, куля з номером шість і т.д.

Випробування №1. Беруть участь 6 куль, три з яких забарвлені у синій колір, на них нанесені непарні цифри, а три інших – червоні з парними цифрами.

Випробування №2. Беруть участь 6 куль синього кольору із цифрами від однієї до шести.

Виходячи з цього прикладу, можна назвати комбінації:

Достовірна подія.У вик. №2 подія «дістати синю кулю» достовірну, оскільки ймовірність її появи дорівнює 1, так як всі кулі сині і промахи бути не може. Тоді як подія «дістати кулю із цифрою 1» - випадкова.
Неможлива подія.У вик. №1 з синіми та червоними кулями подія «дістати фіолетовий шар» неможлива, оскільки ймовірність його появи дорівнює 0.
Рівні події.У вик. №1 події «дістати кулю з цифрою 2» і «дістати кулю з цифрою 3» рівноможливі, а події «дістати кулю з парним числом» та «дістати кулю з цифрою 2» мають різну ймовірність.
Сумісні події.Двічі поспіль отримати шістку в процесі кидання гральної кістки – це сумісні події.
Несумісні події.У тому ж вик. №1 події «дістати червону кулю» і «дістати кулю з непарним числом» не можуть бути поєднані в тому самому досвіді.
Протилежні події.Найяскравіший приклад цього – підкидання монет, коли витягування орла рівносильне невитягуванню решки, а сума їх ймовірностей – це завжди 1 (повна група).
Залежні події. Так, у вик. №1 можна поставити за мету витягти двічі поспіль червону кулю. Його вилучення чи невитяг уперше впливає можливість вилучення вдруге.

Видно, що перша подія суттєво впливає на ймовірність другої (40% та 60%).

Формула ймовірності події

Перехід від ворожих роздумів до точних даних відбувається у вигляді перекладу теми в математичну площину. Тобто міркування про випадкову подію на зразок "велика ймовірність" або "мінімальна ймовірність" можна перекласти до конкретних числових даних. Такий матеріал вже припустимо оцінювати, порівнювати та вводити у складніші розрахунки.

З погляду розрахунку, визначення ймовірності події - це ставлення кількості елементарних позитивних наслідків до кількості всіх можливих наслідків досвіду щодо певної події. Позначається ймовірність через Р(А), де Р означає слово "probabilite", що з французької перекладається як "ймовірність".

Отже, формула ймовірності події:

Де m – кількість сприятливих результатів для події А, n – сума всіх результатів, можливих для цього досвіду. При цьому ймовірність події завжди лежить між 0 і 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Розрахунок ймовірності події. приклад

Візьмемо ісп. №1 з кулями, яке описано раніше: 3 сині кулі з цифрами 1/3/5 і 3 червоні з цифрами 2/4/6.

З цього випробування можна розглядати кілька різних завдань:

A – випадання червоної кулі. Червоних куль 3, а лише варіантів 6. Це найпростіший приклад, у якому ймовірність події дорівнює Р(А)=3/6=0,5.
B – випадання парного числа. Усього парних чисел 3 (2,4,6), а загальна кількість можливих числових варіантів - 6. Імовірність цієї події дорівнює Р(B) = 3/6 = 0,5.
C - випадання числа, більшого, ніж 2. Усього таких варіантів 4 (3,4,5,6) із загальної кількості можливих результатів 6. Імовірність події З дорівнює Р(С)=4/6=0,67.

Як очевидно з розрахунків, подія має велику ймовірність, оскільки кількість можливих позитивних результатів вище, ніж у А і У.

Несумісні події

Такі події не можуть одночасно з'явитися в тому самому досвіді. Як у вик. №1 неможливо одночасно дістати синю і червону кулю. Тобто можна дістати або синю, або червону кулю. Так само в гральній кістці не можуть одночасно з'явитися парне і непарне число.

Імовірність двох подій сприймається як ймовірність їхньої суми чи твори. Сумою таких подій А+В вважається така подія, яка полягає у появі події А або В, а добуток їх АВ – у появі обох. Наприклад, поява двох шісток одразу на гранях двох кубиків в одному кидку.

Сума кількох подій являє собою подію, яка передбачає появу принаймні одного з них. Твір кількох подій – це спільна поява їх усіх.

Теоретично ймовірності, зазвичай, вживання союзу " і " означає суму, союзу " чи " - множення. Формули з прикладами допоможуть зрозуміти логіку складання та множення теоретично ймовірностей.

Ймовірність суми несумісних подій

Якщо розглядається ймовірність несумісних подій, то ймовірність суми подій дорівнює додаванню їх ймовірностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Наприклад: обчислимо ймовірність того, що в ісп. №1 з синіми і червоними кулями випаде число між 1 і 4. Розрахуємо не одну дію, а сумою ймовірностей елементарних складових. Отже, у такому досвіді всього 6 куль або 6 всіх можливих наслідків. Цифри, які задовольняють умову, - 2 і 3. Імовірність випадання цифри 2 становить 1/6, ймовірність цифри 3 також 1/6. Імовірність того, що випаде цифра між 1 і 4 дорівнює:

Імовірність суми несумісних подій повної групи дорівнює 1.

Тож якщо у досвіді з кубиком скласти ймовірності випадання всіх цифр, то в результаті отримаємо одиницю.

Також це справедливо для протилежних подій, наприклад, у досвіді з монетою, де одна її сторона - це подія А, а інша - протилежна подія, як відомо,

Р(А) + Р(?) = 1

Імовірність твору несумісних подій

Примноження ймовірностей застосовують, коли розглядають появу двох і більше несумісних подій в одному спостереженні. Імовірність того, що в ньому з'являться події A і B одночасно, дорівнює добутку їх ймовірностей, або:

Р(А * В) = Р (А) * Р (В)

Наприклад, ймовірність того, що в ісп. №1 в результаті двох спроб двічі з'явиться синя куля, що дорівнює

Тобто ймовірність настання події, коли в результаті двох спроб із вилученням куль буде вилучено лише сині кулі, дорівнює 25%. Дуже легко зробити практичні експерименти цього завдання і побачити, чи це так насправді.

Спільні події

Події вважаються спільними, коли поява одного з них може збігтися з появою іншого. Незважаючи на те, що вони спільні, розглядається ймовірність незалежних подій. Наприклад, кидання двох гральних кісток може дати результат, коли на обох з них випадає цифра 6. Хоча події збіглися і з'явилися одночасно, вони незалежні одна від одної - могла випасти лише одна шістка, друга кістка на неї не має впливу.

Імовірність спільних подій розглядають як ймовірність їхньої суми.

Ймовірність суми подій. приклад

Імовірність суми подій А і В, які по відношенню до один одного спільні, дорівнює сумі ймовірностей події за вирахуванням ймовірності їх твору (тобто їх спільного здійснення):

Р сум. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Припустимо, що можливість попадання на мету одним пострілом дорівнює 0,4. Тоді подія А - попадання в ціль у першій спробі, В - у другій. Ці події спільні, оскільки цілком можливо, що можна вразити мету і з першого, і з другого пострілу. Але події не є залежними. Якою є ймовірність настання події поразки мішені з двох пострілів (хоча б з одного)? Відповідно до формули:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Відповідь на запитання наступна: "Ймовірність потрапити в ціль із двох пострілів дорівнює 64%".

Ця формула ймовірності події може бути застосовна і до несумісних подій, де ймовірність спільної появи події Р(АВ) = 0. Це означає, що ймовірність суми несумісних подій можна вважати окремим випадком запропонованої формули.

Геометрія ймовірності для наочності

Цікаво, що ймовірність суми спільних подій може бути представлена у вигляді двох областей А та В, які перетинаються між собою. Як видно з картинки, площа їхнього об'єднання дорівнює загальній площі за мінусом області їхнього перетину. Це геометричне пояснення роблять зрозумілішою нелогічну здавалося б формулу. Зазначимо, що геометричні рішення - не рідкість теорії ймовірностей.

Визначення ймовірності суми множини (більше двох) спільних подій досить громіздке. Щоб вирахувати її, потрібно скористатися формулами, які передбачені для цих випадків.

Залежні події

Залежними події називаються у разі, якщо наступ одного (А) їх впливає ймовірність наступу іншого (В). Причому враховується вплив як події А, і його непоява. Хоча події називаються залежними за визначенням, але залежно лише одне з них (В). Звичайна ймовірність позначалася як Р(В) чи ймовірність незалежних подій. У випадку із залежними вводиться нове поняття - умовна ймовірність Р A (В) , яка є ймовірністю залежної події У за умови події А (гіпотези), від якої воно залежить.

Але ж подія А теж випадкова, тому в неї також є ймовірність, яку потрібно і можна враховувати в розрахунках, що здійснюються. Далі на прикладі буде показано, як працювати із залежними подіями та гіпотезою.

Приклад розрахунку ймовірності залежних подій

Хорошим прикладом до розрахунку залежних подій може стати стандартна колода карт.

На прикладі колоди в 36 карток розглянемо залежні події. Потрібно визначити ймовірність того, що друга карта, витягнута з колоди, буде бубнової масті, якщо перша вилучена:

Бубнова.
Інший масті.

Очевидно, що ймовірність другої події залежить від першого А. Так, якщо справедливий перший варіант, що в колоді стало на 1 карту (35) і на 1 бубну (8) менше, ймовірність події В:

Р A (В) = 8/35 = 0,23

Якщо ж справедливий другий варіант, то в колоді стало 35 карт, і, як і раніше, збереглося повне число бубон (9), тоді ймовірність наступної події:

Р A (В) = 9/35 = 0,26.

Видно, що якщо подія А умовлена в тому, що перша карта - бубна, то ймовірність події зменшується, і навпаки.

Розмноження залежних подій

Керуючись попереднім розділом, ми приймаємо першу подію (А) як факт, але, якщо говорити по суті, вона має випадковий характер. Імовірність цієї події, а саме вилучення бубна з колоди карт, дорівнює:

Р(А) = 9/36=1/4

Оскільки теорія немає як така, а покликана служити у практичних цілях, то справедливо відзначити, що найчастіше потрібна ймовірність твори залежних подій.

Відповідно до теореми про добуток ймовірностей залежних подій, ймовірність появи спільно залежних подій А і В дорівнює ймовірності однієї події А, помножена на умовну ймовірність події В (залежної від А):

Р(АВ) = Р(А) *Р A(В)

Тоді в прикладі з колодою ймовірність вилучення двох карт з мастиною бубни дорівнює:

9/36*8/35=0,0571, чи 5,7%

І ймовірність вилучення спочатку не бубни, та був бубни, дорівнює:

27/36*9/35=0,19, чи 19%

Видно, що ймовірність появи події більша за умови, що першою витягується карта масті, відмінної від бубни. Такий результат цілком логічний та зрозумілий.

Повна ймовірність події

Коли завдання з умовними ймовірностями стає багатогранним, то звичайними методами його обчислити не можна. Коли гіпотез більше двох, саме А1,А2,…,А n , ..утворює повну групу подій за умови:

P(A i)>0, i=1,2,…
A i ∩ A j =Ø,i≠j.
Σ k A k =Ω.

Отже, формула повної ймовірності для події при повній групі випадкових подій А1, А2, ..., А n дорівнює:

Погляд у майбутнє

Імовірність випадкової події вкрай необхідна у багатьох сферах науки: економетриці, статистиці, у фізиці тощо. буд. Деякі процеси неможливо описати детерміновано, оскільки вони мають ймовірнісний характер, необхідні особливі методи роботи. Теорія ймовірності події може бути використана у будь-якій технологічній сфері як спосіб визначити можливість помилки чи несправності.

Можна сміливо сказати, що, дізнаючись ймовірність, ми певним чином робимо теоретичний крок у майбутнє, розглядаючи його через призму формул.