Якщо пряма перпендикулярна двом прямим. Перпендикулярність прямих у просторі

Закріпимо поняття перпендикулярності прямої та площини конспектом уроку. Надамо загальне визначення, сформулюємо та наведемо докази теореми та вирішимо кілька завдань на закріплення матеріалу.

З курсу геометрії відомо: дві прямі вважаються перпендикулярними, коли вони перетинаються під кутом 90 о.

Вконтакте

Однокласники

Теоретична частина

Переходячи до вивчення параметрів просторових фігур, будемо застосовувати нове поняття.

Визначення:

пряма буде називатися перпендикулярною площині, коли вона перпендикулярна до прямої на поверхні, що довільно проходить через точку перетину.

Інакше кажучи, якщо відрізок «АВ» перпендикулярний площині α, тоді кут перетину з будь-яким відрізком, проведеним по даній поверхні через С точку проходження «АВ» через площину α, буде 90 о.

З вищесказаного випливає теорема про ознаку перпендикулярності прямої та площини:

якщо пряма, проведена через площину, буде перпендикулярна двом прямим, проведеним на площині через точку перетину, вона перпендикулярна цілої площині.

Іншими словами, якщо на малюнку 1 кути ACD і ACE дорівнюють 90 про, то і кут ACF теж буде 90 про. Дивитись рисунок 3.

Доведення

За умовами теореми лінія «а» проведена перпендикулярно до ліній dта e. Інакше висловлюючись, кути ACD і ACE дорівнюють 90 про. Наводимо докази, виходячи з властивостей рівності трикутників. Дивитись рисунок 3.

Через точку C проходження лінії aчерез площину α прокреслимо лінію fу довільному напрямку. Наведемо докази, що вона буде перпендикулярна до відрізку AB або кут ACF буде 90 о.

На прямий aвідкладемо відрізки однакової довжини AC та AB. На поверхні α проведемо лінію xу довільному напрямку та не проходить через місце перетину в точці «С». Лінія "х" повинна перетинати лінії e, d та f.

З'єднаємо прямими точки F, D та E c точками A та B.

Розглянемо два трикутники ACE та BCE. За умовами побудови:

Є дві однакові сторони AC та BC.
У них є дна спільна сторона CE.
Два рівні кути ACE і BCE — по 90 о.

Отже, за умовами рівності трикутників, якщо маємо дві рівні сторони та однаковий кут між ними, то ці трикутники рівні. З рівності трикутників випливає, що сторони AE та BE рівні.

Відповідно доводиться рівність трикутників ACD і BCD, інакше кажучи, рівність сторін AD та BD.

Тепер розглянемо два трикутники AED та BED. З раніше доведеної рівності трикутників випливає, що ці фігури мають однакові сторони AE з BE і AD з BD. Одна сторона ED є загальна. З умови рівності трикутників, визначених за трьома сторонами, випливає, що кути ADE і BDE рівні.

Сума кутів ADE та ADF складає 180 про. Сума кутів BDE та BDF також буде 180 о. Оскільки кути ADE та BDE рівні, то й кути ADF та BDF рівні.

Розглянемо два трикутники ADF та BDF. Вони мають по дві рівні сторони AD і BD (доведено раніше), DF загальну сторону і по рівному куту між ними ADF і BDF. Отже, ці трикутники мають однакові по довжині сторони. Тобто сторона BF має таку ж довжину, як і сторона AF.

Якщо розглядати трикутник AFB, то він буде рівнобедрений (AF дорівнює BF), а пряма FC є медіаною, оскільки за умовами побудови сторона AC дорівнює стороні BC. Отже, кут ACF дорівнює 90 про. Що й слід було довести.

Важливим наслідком із наведеної теореми буде твердження:

якщо дві паралельні перетинають площину і одна з них становить кут 90 про, то й друга проходить через площину під кутом 90 про.

За умовами задачі a та b є паралельними. Дивитися малюнок 4. Лінія a перпендикулярна до поверхні α. Звідси випливає, що лінія b також перпендикулярна поверхні α.

Для доказу через дві точки перетину паралельних прямих із площиною проведемо на поверхні пряму c. По теоремі про пряму, перпендикулярну площину, кут DAB буде 90 про. З властивостей паралельних прямих випливає, що кут ABF теж 90 о. Отже, за визначенням пряма bбуде перпендикулярна поверхні α.

Використання теореми для розв'язання задач

Для закріплення матеріалу, використовуючи основні умови перпендикулярності прямої та площини, вирішимо кілька завдань.

Завдання №1

умови. З точки A побудувати перпендикулярну лінію площини. Дивитись рисунок 5.

На поверхні проведемо довільну пряму b. Через пряму b і точку A збудуємо поверхню β. З точки A на лінію b проведемо відрізок AB. З точки B на поверхні α проведемо перпендикулярну лінію c.

З точки A на лінію зопустимо перпендикуляр AC. Доведемо, що ця лінія буде перпендикулярна до площини.

Для доказу через точку C на поверхні α проведемо лінію d, паралельну b і через лінію cі точку A збудуємо площину. Лінія AC перпендикулярна лінії c за умовою побудови та перпендикулярна лінії d, як наслідок про дві паралельні лінії з теореми про перпендикулярність, тому що за умовою лінія b перпендикулярна поверхні γ.

Отже, за визначенням перпендикулярності лінії та площини, побудований відрізок AC перпендикулярний поверхні α.

Завдання № 2

умови. Відрізок АВ перпендикулярний до площини α. Трикутник BDF розташований на поверхні і має наступні параметри:

кут DBF буде 90 о
сторона BD= 12 см;
сторона BF = 16 см;
BC – медіана.

Дивитись рисунок 6.

Знайти довжину відрізка АС, якщо АВ = 24 см.

Рішення. За теоремою Піфагора, гіпотенуза або сторона DF дорівнює квадратному кореню із суми квадратів катетів. Довжина BD у квадраті дорівнює 144 і, відповідно, BC у квадраті буде 256. У сумі 400; витягуючи квадратний корінь, отримуємо 20.

Медіана BC у прямокутному трикутнику поділяє гіпотенузу на дві рівні частини і за довжиною дорівнює цим відрізкам, тобто ВС = DC = CF = 10.

Знову використовується теорема Піфагора, і отримуємо: гіпотенуза C = 26, що є квадратним коренем із 675, суми квадратів катетів 576 (АВ = 24 у квадраті) та 100 (ВС = 10 у квадраті).

Відповідь: Довжина відрізка АС дорівнює 26 см.

На цьому уроці ми розглянемо перпендикулярність прямих у просторі, перпендикулярність прямої та площини та паралельні прямі, які перпендикулярні до площини.
Спочатку дамо визначення двох перпендикулярних прямих у просторі та їх позначення. Розглянемо і доведемо лему про паралельні прямі, перпендикулярні до третьої прямої. Далі дамо визначення прямої, перпендикулярної до площини, і розглянемо властивість такої прямої, при цьому згадавши взаємне розташування прямої та площини. Далі доведемо пряму та зворотну теорему про дві паралельні прямі, перпендикулярні до площини.
Наприкінці уроку вирішимо дві задачі на перпендикулярність прямих у паралелепіпеді та тетраедрі.

Тема: Перпендикулярність прямої та площини

Урок: Перпендикулярні прямі у просторі. Паралельні прямі, перпендикулярні до площини

На цьому уроці ми розглянемо перпендикулярність прямих у просторі, перпендикулярність прямої та площини та паралельні прямі, які перпендикулярні до площини .

Визначення. Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90 °.

Позначення. .

Розглянемо прямі аі b. Прямі можуть перетинатися, схрещуватися, бути паралельними. Для того, щоб побудувати кут між ними потрібно вибрати точку і через неї провести а,і пряму, паралельну до прямої b. Прямі та перетинаються. Кут між ними і є кут між прямими аі b.Якщо кут дорівнює 90°, то прямі аі bперпендикулярні.

Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до третьої прямої, то й інша пряма перпендикулярна до цієї прямої.

Доведення:

Нехай дані дві паралельні прямі аі b,та пряма з, причому. Потрібно довести, що .

Візьмемо довільну точку М. Через точку Мпроведемо пряму, паралельну до прямої аі пряму, паралельну до прямої c(Рис. 2). Тоді кут АМСдорівнює 90 °.

Пряма bпаралельна прямий аза умовою, пряма паралельна прямий аз побудови. Значить, прямі та bпаралельні.

Маємо, прямі та bпаралельні, прямі зі паралельні за побудовою. Значить, кут між прямими bі з -це кут між прямими і, тобто кут АМС, рівний 90 °. Значить, прямі bі зперпендикулярні, що й потрібно було довести.

Визначення. Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

Позначення. .

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е видання, виправлене та доповнене – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.

Завдання 5, 6, 7 стор.

2. Дайте визначення перпендикулярності прямих у просторі.

3. Рівні сторони АВі CDчотирикутника ABCDперпендикулярні до деякої площини. Визначте вигляд чотирикутника.

4. Сторона трикутника перпендикулярна до деякої прямої а.Доведіть, що одна із середніх ліній трикутника перпендикулярна до прямої а.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Ціль: знати, розуміти та вміти застосовувати ознаку перпендикулярності прямої та площини.

Завдання:

повторити визначення перпендикулярності прямих, прямих та площин.
повторити твердження про перпендикулярність паралельних прямих.
ознайомити з ознакою перпендикулярності прямої та площини.
розуміти необхідність застосування ознаки перпендикулярності прямої та площини.
вміти знаходити дані, що дозволяють застосовувати ознаку перпендикулярності прямої та площини.
тренувати уважність, акуратність, логічне мислення, просторову уяву.
виховувати почуття відповідальності.

Обладнання:комп'ютер, проектор, екран.

План уроку

1. Організаційний момент. (Повідомити тему, мотивація, сформулювати мету уроку)

2. Повторення раніше вивченого матеріалу та теорем (актуалізація колишніх знань учнів: формулювання визначень та теорем з наступним поясненням або застосуванням на готовому кресленні).

3. Вивчення нового матеріалу як засвоєння нового знання (формулювання, підтвердження).

4. Первинне закріплення (фронтальна робота, самоконтроль).

5. Повторний контроль (робота з подальшою взаємоперевіркою).

6. Рефлексія.

7. Домашнє завдання.

8. Підбиття підсумків.

Хід уроку

1. Організаційний момент

Повідомити тему уроку (слайд 1): Ознака перпендикулярності прямої та площини

Мотивація: на минулому уроці ми дали визначення прямої перпендикулярної площині, але застосовувати його не завжди зручно (слайд 2).

Формулювання мети: знати, розуміти та вміти застосовувати ознаку перпендикулярності прямої та площини (слайд 3)

2. Повторення раніше вивченого матеріалу

Вчитель: Давайте згадаємо, що ми вже знаємо про перпендикулярність у просторі.

Математичний диктант із покроковою самоперевіркою.

Накресліть у зошиті куб ABCDA'B'C'D'.

Кожне завдання передбачає усне формулювання та запис Вашого прикладу у зошиті.

1. Сформулюйте визначення перпендикулярних до прямих.

Наведіть приклад на кресленні куба (слайд 4).

2. Сформулюйте лему про перпендикулярність двох паралельних прямих до третьої.

Доведіть, що АА перпендикулярна DС (слайд 5).

3. Сформулюйте визначення прямої перпендикулярної площини.

Назвіть пряму, перпендикулярну площині основи куба. (слайд 6)

4. Сформулюйте теореми, що встановлюють зв'язок між паралельністю прямих та їх перпендикулярністю до площини. (Слайд 7)

5. Розв'яжіть задачу №1. (Слайд 8)

Знайдіть кут між прямими FO і АВ, якщо ABCDA'B'C'D' - куб, точка О - точка перетину діагоналей основи, F - середина А'С.

6. Розгляд домашнього завдання №119 (слайд 9) (усно)

Розглянути різні варіанти рішення: через доказ рівності прямокутних трикутників та властивість рівнобедреного трикутника.

Постановка проблеми

Розглянути істинність утвердження:

Пряма перпендикулярна площині, якщо вона перпендикулярна до якої-небудь прямої, що лежить у цій площині.
Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якого паралельного прямого, що лежить у цій площині. (Слайд 10-11)

3. Вивчення нового матеріалу

Учні пропонують варіанти ознаки.

Формулюється ознака перпендикулярності прямої та площини (слайд 12).

Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, лежать у площині, то вона перпендикулярна цій площині.

Доведення.

1 етап(Слайд 13).

Нехай пряма а перетинає площину точці перетину прямих p і q. Проведемо через точку пряму, паралельну m і довільну пряму, так щоб вона перетинала всі три прямі в точках P, Q, L.

APQ = BPQ (слайд 14)

APL = BPL (слайд 15)

Медіана LO є висотою (слайд 16)

З огляду на довільність вибору прямий m доведено, що пряма а перпендикулярна площині

2 етап(Слайд 17)

Пряма а перетинає площини в точці, відмінній від точки О.

Проведемо пряму a', таку, що a || a’, і проходить через точку О,

а оскільки a’ aза раніше доведеним,

то й a a

Теорему доведено

4. Первинне закріплення.

Отже, для того, щоб стверджувати, що пряма перпендикулярна до площини, достатньо якоїсь умови?

Очевидно, що стовп перпендикулярний до шпал і рейок. (Слайд 18)

Розв'яжемо завдання №128. (Слайд 19) (робота за групами, якщо справляються самі, то доказ промовляється усно, для слабких учнів використовується підказка на екрані)

5. Повторний контроль.

Встановіть істинність тверджень (відповідь І (істина), Л (брехня).) (слайд 20)

Пряма проходить через центр кола.

Чи можна стверджувати, що пряма перпендикулярна колу, якщо

вона перпендикулярна діаметру
двом радіусам
двом діаметрам

6. Рефлексія

Учні розповідають основні етапи уроку: яка проблема виникла, яке рішення (ознака) було запропоновано.

Вчитель робить зауваження щодо перевірки вертикальності під час будівництва (слайд 21).

7. Домашнє завдання

П.15-17 №124, 126 (слайд 23)

8. Підбиття підсумків

Яка тема нашого уроку?
Якою була мета?
Мета досягнута?

додаток

У презентації використані креслення, зроблені за допомогою програми “Жива математика”, представлені в 1 .

Література

Геометрія. 10-11 класи: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев та ін.
С.М. Саакян В.Ф. Вивчення геометрії в 10-11 класах: методичні рекомендації до навч.: кн. для вчителя.
Т.В. Валаханович, В.В. Шликов Дидактичні матеріали з геометрії: 11 клас: посібник для вчителів загальноосвіт. установ з рос. яз. навчання з 12 річним терміном навчання (базовий та підвищений рівні) Мн.
Поурочні розробки з геометрії: 10 клас / Упоряд. В.А. Яровенко.

Попередні відомості про прямі

Поняття прямий, як і поняття точки є основними поняттями геометрії. Як відомо, основні поняття не визначається. Це не є винятком для поняття прямої. Тому розглянемо суть цього поняття через його побудову.

Візьмемо лінійку і, не відриваючи олівця, проведемо лінію довільної довжини. Отриману лінію ми і називатимемо прямою. Однак тут слід зазначити, що це не вся пряма, а лише її частина. Сама ж пряма є нескінченною на обох своїх кінцях.

Прямі позначатимемо маленькою латинською літерою, або двома її точками в круглих дужках (рис. 1).

Поняття прямої та точки пов'язані трьома аксіомами геометрії:

Аксіома 1:Для кожної довільної прямої існує щонайменше дві точки, які на ній лежать.

Аксіома 2:Можна знайти як мінімум три точки, які не лежатимуть на одній і тій самій прямій.

Аксіома 3:Через 2 довільні точки завжди проходить пряма, причому ця пряма єдина.

Для двох прямих актуальне їхнє взаємне розташування. Можливі три випадки:

Дві прямі збігаються. У цьому випадку кожна точка однієї буде також точкою іншої прямої.
Дві прямі перетинаються. У цьому випадку тільки якась одна точка з однієї прямої також належатиме і іншій прямій.
Дві прямі паралельні. І тут у кожної з цих прямих свій набір різних один від одного точок.

Перпендикулярність прямих

Розглянемо дві довільні прямі, що перетинаються. Вочевидь, що у точці їх перетину утворюється 4 кута. Тоді

Визначення 1

Прямі, що перетинаються, називатимемо перпендикулярними, якщо хоча б один кут, утворений їх перетином дорівнює $90^0$ (рис. 2).

Позначення: $a⊥b$.

Розглянемо таке завдання:

Приклад 1

Знайти кути 1, 2 та 3 з малюнка нижче

Кут 2 є вертикальним для даного нам кута, отже

Кут 1 є суміжним для кута 2, отже

$∠1=180^0-∠2=180^0-90^0=90^0$

Кут 3 є вертикальним для кута 1, отже

$∠3=∠1=90^0$

З цього завдання можемо зробити таке зауваження

Зауваження 1

Усі кути між перпендикулярними прямими дорівнюють $90^0$.

Основна теорема перпендикулярних прямих

Введемо таку теорему:

Теорема 1

Дві прямі, що є перпендикулярними для третьої, будуть непересічними.

Доведення.

Розглянемо рисунок 3 за умовою задачі.

Розділимо подумки даний малюнок на дві частини прямої $ (ZP) $. Накладемо праву частину на ліву. Тоді, оскільки прямі $(NM)$ і $(XY)$ перпендикулярні до прямої $(PZ)$ і, отже, кути між ними прямі, то промінь $NP$ накладеться повністю на промінь $PM$, а промінь $XZ $ накладеться повністю на промінь $YZ$.

Тепер, припустимо неприємне: нехай ці прямі перетинаються. Без обмеження спільності припустимо, що вони перетинаються з лівого боку, тобто нехай $NP$ перетинається з променем $YZ$ у точці $O$. Тоді, за конструкцією, описаною вище, отримуватимемо, що і промінь $PM$ перетинається з променем $YZ$ у точці $O"$. Але тоді ми отримуємо, що через дві точки $O$ і $O"$, проходить дві прямі $(NM)$ і $(XY)$, що суперечить аксіомі 3 прямих.

Отже, прямі $(NM)$ та $(XY)$ не перетинаються.

Теорему доведено.

Приклад завдання

Приклад 2

Дано дві прямі, які мають точку перетину. Через точку, яка не належить жодній з них проведено дві прямі, одна з яких перпендикулярна до однієї з вище описаних прямих, а інша - іншої з них. Довести, що вони не збігаються.

Зобразимо рисунок за умовою завдання (рис. 4).

З умови завдання матимемо, що $m⊥k,n⊥l$.

Припустимо неприємне, нехай прямі $k$ і $l$ збігаються. Нехай це буде прямий $l$. Тоді, за умовою $m⊥l$ та $n⊥l$. Отже, за теоремою 1 прямі $m$ і $n$ не перетинаються. Отримали протиріччя, отже прямі $k$ і $l$ не збігаються.

Багато геометричні фігури утворені прямими, що перетинаються під прямим кутом. Наприклад, це квадрат, прямокутник, прямокутний трикутник або пряма чотирикутна призма. У цій статті розглянемо питання перпендикулярності двох прямих та умови, які мають виконуватися, щоб пряма була перпендикулярна до площини.

Які рівняння важливо знати?

Умови перпендикулярності двох прямих і прямої та площини не складно отримати, якщо відомі відповідні рівняння для названих геометричних об'єктів.

Рівняння будь-якої прямої як у площині, і у просторі може бути записано в універсальному векторному вигляді. Для тривимірного випадку воно виглядає так:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + λ * (a; b; c)

Тут змінні x, z та y є координатами у вибраній системі, λ - будь-яке дійсне число, а трійка чисел (a; b; c) задають вектор у просторі, який називається напрямним (вздовж нього спрямована пряма, що проходить через точку з координатами (x 0 ; y y 0; Це рівняння може бути перетворено на загальний вигляд, в канонічне та параметричне.

Площина найзручніше представляти в загальному вигляді, що відповідає рівнянню:

A * x + B * y + C * z + D = 0

Великі латинські літери є коефіцієнтами. Цей вираз також може бути представлений у векторному, параметричному видах та у формі рівняння у відрізках. Зручність наведеної форми запису полягає в тому, що перші три коефіцієнти відповідають координатам вектора, який перпендикулярний цій площині, тобто:

n¯(A; B; C) - напрямний вектор площини

Перпендикулярність двох прямих

Умову перпендикулярності прямих не складно зрозуміти, для цього достатньо встановити, чи перпендикулярними є їх напрямні вектора. Остання можна з'ясувати, обчисливши скалярне твір. Припустимо, що v і u - вектора напрямні для двох прямих. Якщо останні є перпендикулярними, тоді:

Ця умова перпендикулярності двох прямих є обов'язковою. Тим не менш, воно буде достатнім лише для двомірного простору. У тривимірному просторі, крім цього виразу, також слід обчислити відстань між прямими. Якщо рівність вище виконується, і зазначена відстань дорівнює нулю, тоді прямі перетинатимуться під кутом 90 o , тобто перпендикулярними.

Для розрахунку дистанції d між прямими у просторі користуються виразом:

d = ||/|u¯|

Тут M 1 M 2 - вектор, побудований на двох точках, кожна з яких належить відповідної прямої (M 1 лежить на першій прямій, M 2 - на другій).

Площина та пряма

Перпендикулярність умова для цих об'єктів має такий вигляд:

Іншими словами, пряма перетинатиме площину під кутом 90 o тільки тоді, коли її буде паралельний нормалі до площини. Факт паралельності означає, що вектор прямий u можна отримати, помноживши нормальний до площини вектор n на деяке конкретне число k.

Існують також інші способи дізнатися, чи є паралельними вектори u і n. Наприклад, у разі їх паралельності кут між ними повинен дорівнювати нулю, тобто косинус кута, розрахованого через скалярний твір, дорівнюватиме 1. У свою чергу векторний твір паралельних векторів дорівнює нулю.

Зауважимо, якщо площина та пряма задані не в загальному та векторному вигляді, відповідно, тоді слід привести їх до цих видів, а потім користуватися наведеними формулами умов перпендикулярності.