Тип та особливості: урок відкриття та вивчення нових знаньза допомогою вирішення практико-орієнтованих завдань.

Мета уроку: навчити учнів вирішувати комбінаторні завдання методами: 1) кінцевого перебору; 2) побудови дерева можливих варіантів; 3) з допомогою таблиці.

Обладнання: компоненти УМК «Віленкін. 5»,проектор, комп'ютер,Інтерактивна дошка (ВД ) , на кожній парті по 2 аркуші (формату А4) з 7 вирішеними класними завданнями та по 2 аркуші (формату А4) з 7 тестовими завданнями. На столі вчителя лежать аркуш (формату А4) із 7 вирішеними класними завданнями та аркуш (формату А4) із 7 тестовими завданнями їх рішеннями, роздрукування проектного завдання додому.

Етапи уроку

Завдання етапу

Візуальний ряд

Діяльність вчителя

Діяльність учнів

УУД, що формуються

Організаційний

Зібрати домашнє завдання, налаштувати на урок

Слайд на дошці:

"важко в навчанні легко в бою"

Прошу тепер здати на перевірку зошити із домашньою роботою. Нагадую, що ми сьогодні розпочинаємо вивчення нової теми.

Чергові проходять класом збирають зошити.

Саморегуляція, прогнозування та оцінка

Актуалізація теоретичних знань

Визначити мету уроку

На дошці: дата та назва теми: «Комбінаторні завдання»

Хлопці, сьогодні ми здійснимо захоплюючу подорож у світ «Комбінаторики»

Подумки запитують: «а що це таке»

Цілепокладання, предметна рефлексія.

Пояснення нового матеріалу

ла

Первинне знайомство з основними поняттями,

методами, способами

рішення

комбінаторних завдань

Слайд на дошці: Слово "комбінаторика" походить від латинського слова COMBINARE, що означає "з'єднувати", "поєднувати"

Вчитель ставить питання як ви думаєте, що означає слово «комбінаторика»?

Вчитель робить паузу, слухає відповіді, потім каже визначення.

Слово «комбінаторика» походить від латинського слова COMBINARE, що означає «з'єднувати», «поєднувати»

Діти відповідають, висуваючи гіпотези

Уважно слухають, читають ухвалу на роздавальних листках

Висунення та перевірка гіпотез.

Слайд на дошці

Щоб замкнути валізу з кодовим замком, що складається з двох будь-яких цифр. Господар валізи вирішив використовувати лише цифри 1, 2 та 3. Скільки способами він може вибрати код?

Вирішити це завдання можна за допомогою дерева можливих варіантів або перебору всіх можливих варіантів

Уважно слухають, дивляться слайд, гадають, запам'ятовують.

Змістове читання.

Слайд на дошці:

Рішення деревом можливих

Варіантів

ДЕРЕВО МОЖЛИВИХ ВАРІАНТІВ Часто процесперебору зручно здійснювати шляхом побудови спеціальної схеми – так званогодерева можливих варіантів

намалюйте корінь дерева, для цього поставте знак *.

Щоб вибрати першу цифру коду, ми маємо три варіанти: 1; 2; 3. Тому від кореня дерева проведіть три гілки і на їхніх кінцях поставте цифри 1; 2; 3.

Для вибору другої цифри є самі три варіанти. Проводимо «гілочки»

Аналіз об'єкту.

Слайд на дошці:

Рішення перебором

Відповідні коди - це двоцифрові числа, які можна скласти з цифр

1, 2, 3. Виписуватимемо всі такі цифри в порядку зростання. Такий спосіб перебору дозволить нам не пропустити жодний із кодів і в той же час не повторити жоден з них.

Спочатку запишемо в порядку зростання всі коди, що починаються з цифри 1: 11, 12, 13. Потім запишемо в порядку зростання коди, що починаються з цифри 2: 21, 22, 23.

Потім запишемо у порядку зростання коди, що починаються з цифри 3: 31, 32, 33

Таким чином, є 9 способів вибору

коди: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.

Уважно слухають, дивляться слайди, думають, аналізують, класифікують, запам'ятовують.

Аналіз об'єкту.

Вибір підстав критеріїв для порівняння, серіації, класифікації об'єктів.

Створення та перетворення моделі та схеми для вирішення завдань залежно від конкретних умов.

Закріплення нових знань

Показати практичне застосування теоретичних знань

через їх застосування у вирішенні практичних завдань

Слайд на дошці за умови завдання №1

У їдальні на сніданок можна вибрати піцу, плюшку, бутерброд, а запитати їх можна чаєм, соком. З яких варіантів сніданку можна вибирати?

Слайд на дошці з рішенням

На слайді зображено дерево можливих варіантів

перший рівень «НАПОЇ»

два варіанти: ЧАЙ, СІК.

другий рівень три варіанти: ПІЦА, ПЛЮШКА, БУТЕРБРОД.

Разом шість варіантів сніданку:

ЧАЙ+ПІЦА, ЧАЙ+ПЛЮШКА, ЧАЙ+БУТЕРБРОД, СІК+ПІЦА, СІК+ПЛЮШКА, СІК+БУТЕРБРОД.

Уважно слухають, дивляться слайди, думають, аналізують, класифікують, запам'ятовують.

Ознайомлення з професіями.

Аналіз об'єкту.

Вибір підстав критеріїв для порівняння, серіації, класифікації об'єктів.

Створення та перетворення моделі та схеми для вирішення завдань залежно від конкретних умов.

Слайд на дошці за умови завдання №2

З країни «Математика» до країни «Література» ведуть три дороги, а з країни «Література» до країни «Фізкультура» – чотири дороги. Скільки способами можна потрапити з країни «Математика» в

Країну "Фізкультура" через країну "Література"?

Слайд на дошці з рішенням

Малюнок допоможе нам вирішити це завдання.

Переберемо всі «ШЛЯХИ»

Позначимо дороги, що йдуть з країни «МАТЕМАТИКА» так: М1, М2, М3,

а з "ЛІТЕРАТУРА" Л1, Л2, Л3, Л4.

Переберемо М1+Л1, М1+Л2, М1+Л3, М1+Л4, М2+Л1, М2+Л2, М2+Л3,

М2+Л4, М3+Л1, М3+Л2, М3+Л3, М3+Л4

Наштовхнути

Дітей на думку про перемноження Кількості доріг

А можна взяти та перемножити кількість доріг 3*4 =12

Уважно слухають, дивляться слайди, думають, аналізують, класифікують, запам'ятовують.

Знайомляться з моделями та схемами для вирішення задач залежно від конкретних умов.

Слайд на дошці за умови завдання №3

Шифр сейфа становлять із букв і цифр, причому першому місці ставиться буква (наприклад А7). Скільки різних варіантів шифру можна скласти, використовуючи літери А, В, С та цифри 3, 7, 9?

Слайд на дошці з рішенням

2) Щоб вибрати букву коду, ми маємо три варіанти: А; B; C. Тому від кореня дерева проведено три гілки та на їх кінцях поставлено літери: А; B; C.

3)Для вибору цифри є ті ж три варіанти. Проводимо «гілочки»

Рухаючись від кореня дерева гілками, ми отримаємо всі можливі коди

А3, А7, А9, В3, В7, В9, С3, С7, С9

АбоУсього 3*3=9 варіантів

Уважно слухають, дивляться слайди, думають, аналізують, класифікують, запам'ятовують.

Знайомляться з моделями та схемами для вирішення задач залежно від конкретних умов.

Слайд на дошці за умови завдання №4

Декілька країн як символ своєї держави вирішили використати прапор у вигляді трьох горизонтальних смуг однакових за шириною, але різних за кольором: білий, синій, червоний. Скільки країн можуть використовувати таку символіку за умови, що кожна країна має свій, відмінний від інших, прапор?

Слайд на дошці з рішенням

Перший спосіб: позначимо кольори смужок першими літерами назв кольорів

Б – білий, К – червоний, С – синій.

Вирішимо перебором:

БСК, БКС, СБК, СКБ, КБС, КСБ

Усього шість варіантів.

Другий спосіб:

Беремо олівці та малюємо прапори

Уважно слухають, дивляться слайди, думають, аналізують, класифікують, запам'ятовують.

Знайомляться з моделями та схемами для вирішення задач залежно від конкретних умов.

Слайд на дошці за умови завдання №5

У сім'ї 4 чоловік, і за столом на кухні стоять 4 стільці. У сім'ї вирішили щовечора, вечерячи, розсідатися на ці 4 стільці по новому. Скільки днів члени сім'ї можуть робити це без повторень?

Слайд на дошці з рішенням

Другий спосіб вирішення

Для наочності розфарбуємо стільці різними кольорами.

Зафіксуємо червоний стілець вгорі і, переставлятимемо решту трьох, отримаємо шість варіантів.

Цю ж операцію зробимо з іншими кольорами, отримаємо 6 * 4 = 24 різних варіантів.

Другий спосіб:

На перший стілець може сісти будь-який член сім'ї, тобто 4 варіанти; на другий – 3 особи так, як один член сім'ї вже сидить; на третю – 2 особи так, як

двоє сидять; на четвертий тільки один так, як три члени сім'ї вже сидять.

Отже, перемножимо всі варіанти

4*3*2*1= 24

Уважно слухають, дивляться слайди, думають, аналізують, класифікують, запам'ятовують.

Знайомляться з моделями та схемами для вирішення задач залежно від конкретних умов.

Слайд на дошці за умови завдання №6

Вася вирішив піти на новорічний

карнавал у костюмі мушкетера. В ательє прокату йому запропонували на вибір: три види штанів, два камзоли, три капелюхи. Скільки різних карнавальних костюмів можна скласти із цих предметів?

Слайд на дошці з рішенням

Позначимо: першу шапку Ш1, другу – Ш2, третю – Ш3

1) на слайді зображений корінь дерева, як знак *.

2) перший рівень трьох штанів;

3) другий рівень два камзоли;

4) третій рівень три шапки;

Усього 18 варіантів

Або просто перемножити «рівні»

3*2*3=18

Уважно слухають, дивляться слайди, думають, аналізують, класифікують, запам'ятовують.

Знайомляться з моделями та схемами для вирішення задач залежно від конкретних умов.

Слайд на дошці за умови завдання №7

Під час зустрічі 7 гномів обмінялися рукостисканнями. Скільки всього було зроблено рукостискань?

Семеро гномів вирішили обмінятися фотографіями. Скільки потрібно фотографій?

Слайд на дошці із рішенням: а)

Слайд на дошці із рішенням: б)

Ці два завдання дуже схожі, але все-таки вони різні

Під час вирішення таких завдань краще використовувати таблицю.

1) Намалюємо таблицю 8 * 8, перший рядок і перший стовпець це гноми.

2) Викреслимо діагональ таблиці так, як гном сам із собою не може привітатись.

3) Осередки це хто з ким привітався.

4) Нижня частина таблиці повторює верхню.

Перший гном привітався з другим = другий гном привітався з першим.

Усього 21 рукостискання.

Завдання б) відрізняється від а) тим, що потрібно

враховувати нижню частину таблиці так, як

перший гном подарував фото другому, НЕ ДОРІВНЮЄдругий гном подарував фото першому.

Всього 42 фото.

Уважно слухають, дивляться слайди, думають, аналізують, класифікують, запам'ятовують.

Знайомляться з моделями та схемами для вирішення задач залежно від конкретних умов.

Систематизації знань

Систематизувати методи розв'язання комбінаторних завдань.

Слайди на дошці

І наступний слайд,

Слайди розв'язання задачі №7

Ми познайомилися з трьома способами розв'язання: 1) дерево варіантів; 2) перебір;

3) табличне подання даних

Уважно слухають, дивляться слайди, думають, аналізують, класифікують, запам'ятовують.

Систематизація знань з трьох

методів.

Засвоєння нових знань

Дати визнач-

ня комбінаторних задач.

Слайд на дошці

Попросити дітей своїми словами визначити поняття «Комбінаторні завдання»

Відповідають на запитання

Встановлення аналогій.

Уміння класифікації

вати.

Визначити три методи вирішення завдань цього типу.

Наступний слайд;

Слайд розв'язання задачі №7

Попросити дітей своїми словами розповісти про три методи вирішення

комбінаторних завдань

Відповідають на запитання

Уміння класифікації

вати.

Вибір найбільш ефективних способів розв'язання задач залежно від конкретних рішень

Зробити висновок про багатоваріантне вирішення комбінаторних завдань

Слайд

Запитати у дітей, як ви думаєте, чи всі комбінаторні завдання можна вирішити різними методами?

Після показу слайду фізкульт. хвилинка (До дошки викликаються 3 учня і різними способами розсаджуються за парту)

Відповідають на запитання

Створювати моделі та схеми для вирішення завдань залежно від конкретних умов

Рефлек

ці

Провести самостійну роботу в групах, малих групах, індивідуально.

діагоналі

навпіл

рівні

під прямим кутом

так

Так

так

На парті у кожного аркуш (формату А4) із сімома завданнями (додаток №1)

Слайд із відповідями

Таблиця на дошці (відповіді команд)

Коман-

так №1

Коман-

так №2

7 а

7 б

З класу вибираються дві команди з 8 -12 чоловік. Дається їм завдання:

1. Розподілитися за завданнями: на одну задачу по одному чи двоє учнів.

2. На рішення приділяється не більше 7 хвилин

Примітка: створити команди може вчитель, розподіл за завданням немає, тільки діти самі повинні розподілитись за 1 хвилину. Якщо не зможуть, то за місцем розташування дітей учень отримає своє завдання.

1. за кожну правильно вирішену

завдання команда отримає 1 бал

1. перевіряє клас: на дошці виписують відповіді команд. Діти вирішували своє завдання кажуть відповідь чергова записує його

2. правильні відповіді на слайді

Учні, які не задіяні в командах, вирішують на свій вибір і будь-яку кількість завдань із семи

Виконують самостійну роботу у колективі, у парах, індивідуально.

Поєднання індивідуальної самостійної роботи та співробітництво в колективі

Пояснення домашнього завдання

Забезпечити

ня розуміння дітьми мети, змісту та способів виконання

ня домашнього завдання.

У кожного учня на парті лежить текст цього домашнього

завдання.

Проектне домашнє завдання

Придумати кожному по три

будь-які комбінаторні завдання.

Група не більше 5 осіб

Ці завдання ми (Вчитель та учні) використовуватимемо надалі у конкурсах вікторинах, і не лише всередині класу, а й школи.

Тобто створимо банк «Завдання для вікторин»

Продумують умови виконання д/з:

1)індивідуально чи групі;

2) що використовувати при складанні завдань, які ресурси.

Саморегуляція

ція, розвиток самосвідомості, відповідальний

ного відношення

Додаток №1

Завдання №1

У їдальні на сніданок можна вибрати булочку, пиріжок з капустою, пиріжок з картоплею, бутерброд, а запитати їх можна чаєм, компотом. З яких варіантів сніданку можна вибирати?

Завдання №2

З країни «Математика» до країни «Література» ведуть чотири дороги, а з країни «Література» до країни «Фізкультура» – п'ять доріг. Скільки способами можна потрапити з країни «Математика» в

країну "Фізкультура" через країну "Література"?

Завдання №3

Шифр сейфа становлять із букв і цифр, причому першому місці ставиться буква (наприклад А7). Скільки різних варіантів шифру можна скласти, використовуючи літери А, M, F та цифри 1, 4, 6, 9?

Завдання №4

Декілька країн як символ своєї держави вирішили використати прапор у вигляді чотирьох горизонтальних смуг однакових за шириною, але різних за кольором: білий, синій, червоний, зелений. Скільки країн можуть використовувати таку символіку за умови, що кожна країна має свій, відмінний від інших, прапор?

Завдання №5

У сім'ї 5 чоловік, і за столом на кухні стоять 5 стільців. У сім'ї вирішили щовечора, вечерячи, розсідатися на ці 5 стільців за новим. Скільки днів члени сім'ї можуть робити це без повторень?

Завдання №6

Вася вирішив піти на новорічний карнавал у костюмі мушкетера. В ательє прокату йому запропонували на вибір: чотири види штанів, два камзоли, два капелюхи. Скільки різних карнавальних костюмів можна скласти із цих предметів?

Завдання №7

При зустрічі 4 гноми обмінялися рукостисканнями. Скільки всього було зроблено рукостискань?

П'ять гномів вирішили обмінятись фотографіями. Скільки потрібно фотографій?

Додаток №2

Домашнє завдання (Проектна діяльність)

Проектне домашнє завдання

Придумати кожному по три

будь-які комбінаторні завдання.

При вигадуванні завдань можна використовувати: Підручник «Віленкін. Математика 5; інші книги; ресурси Інтернету.

Можна об'єднуватись у групи, але умова,

кожен учень три завдання залишається.

Група не більше 5 осіб

3) УМК «Дорофєєв Математика 5»;

4) Ресурси Інтернету (gif1000)

Комбінаторика - це розділ математики, у якому вивчаються питання, скільки різних комбінацій, підпорядкованих тим чи іншим умовам, можна скласти із заданих об'єктів. Основи комбінаторики дуже важливі з метою оцінки ймовірностей випадкових подій, т.к. саме вони дозволяють підрахувати принципово можливу кількість різних варіантів розвитку подій.

Основна формула комбінаторики

Нехай є k груп елементів, причому i група складається з n i елементів. Виберемо по одному елементу з кожної групи. Тоді загальна кількість N способів, якими можна зробити такий вибір, визначається співвідношенням N = n 1 * n 2 * n 3 * ... * n k .

приклад 1.Пояснимо це правило простому прикладі. Нехай є дві групи елементів, причому перша група складається з n 1 елементів, а друга - n 2 елементів. Скільки різних пар елементів можна скласти із цих двох груп, таким чином, щоб у парі було по одному елементу від кожної групи? Допустимо, ми взяли перший елемент із першої групи і, не змінюючи його, перебрали всі можливі пари, змінюючи лише елементи з другої групи. Таких пар цього елемента можна скласти n 2 . Потім ми беремо другий елемент із першої групи і також складаємо для нього всі можливі пари. Таких пар також буде n 2 . Так як у першій групі всього n 1 елемент, всього можливих варіантів буде n 1 * n 2 .

приклад 2.Скільки трицифрових парних чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо цифри можуть повторюватися?
Рішення: n 1 =6 (т.к. як перша цифра можна взяти будь-яку цифру з 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (т.к. як другу цифру можна взяти будь-яку цифру з 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (т.к. як третя цифра можна взяти будь-яку цифру з 0, 2, 4, 6).
Отже, N = n 1 * n 2 * n 3 = 6 * 7 * 4 = 168.

У разі, коли всі групи складаються з однакового числа елементів, тобто. n 1 =n 2 =...n k =n вважатимуться, кожен вибір виробляється з однієї й тієї групи, причому елемент після вибору знову повертається у групу. Тоді число всіх способів вибору дорівнює n k. Такий спосіб вибору комбінаторики носить назву вибірки із поверненням.

приклад 3.Скільки всіх чотирицифрових чисел можна становити з цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Рішення.До кожного розряду чотиризначного числа є п'ять можливостей, отже N=5*5*5*5=5 4 =625.

Розглянемо безліч, які з n елементів. Це безліч у комбінаториці називається генеральною сукупністю.

Число розміщень з n елементів m

Визначення 1.Розміщенням з nелементів по mу комбінаториці називається будь-який упорядкований набірз mрізних елементів, вибраних з генеральної сукупності в nелементів.

приклад 4.Різними розміщеннями з трьох елементів (1, 2, 3) по два будуть набори (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2) ). Розміщення можуть відрізнятися друг від друга як елементами, і їх порядком.

Число розміщень у комбінаториці позначається A n m і обчислюється за такою формулою:

Примітка: n!=1*2*3*...*n (читається: "ен факторіал"), крім того вважають, що 0!=1.

Приклад 5. Скільки існує двозначних чисел, у яких цифра десятків та цифра одиниць різні та непарні?
Рішення:т.к. непарних цифр п'ять, саме 1, 3, 5, 7, 9, це завдання зводиться до вибору і розміщення дві різні позиції двох із п'яти різних цифр, тобто. вказаних чисел буде:

Визначення 2. Поєднаннямз nелементів по mу комбінаториці називається будь-який невпорядкований набірз mрізних елементів, вибраних з генеральної сукупності в nелементів.

Приклад 6. Для множини (1, 2, 3) поєднаннями є (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Число поєднань з n елементів m

Число поєднань позначається C n m і обчислюється за такою формулою:

Приклад 7.Скільки способами читач може вибрати дві книжки із шести наявних?

Рішення:Число методів дорівнює числу поєднань із шести книжок по дві, тобто. одно:

Перестановки з n елементів

Визначення 3. Перестановкоюз nелементів називається будь-який упорядкований набірцих елементів.

Приклад 7a.Різними перестановками множини, що складається з трьох елементів (1, 2, 3) є: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число різних перестановок з елементів n позначається P n і обчислюється за формулою P n = n!.

Приклад 8.Скільки способами сім книг різних авторів можна розставити на полиці в один ряд?

Рішення:це завдання про кількість перестановок семи різних книг. Є P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способів здійснити розміщення книг.

Обговорення. p align="justify"> Ми бачимо, що число можливих комбінацій можна порахувати за різними правилами (перестановки, поєднання, розміщення) причому результат вийде різний, т.к. Принцип підрахунку і самі формули відрізняються. Уважно подивившись визначення, можна побачити, що результат залежить від кількох чинників одночасно.

По-перше, з того, з якої кількості елементів ми можемо комбінувати їх набори (наскільки велика генеральна сукупність елементів).

По-друге, результат залежить від того, який розмір набори елементів нам потрібні.

І останнє, важливо знати, чи є для нас суттєвим порядок елементів у наборі. Пояснимо останній чинник на такому прикладі.

Приклад 9.На батьківських зборах присутні 20 осіб. Скільки існує різних варіантів складу батьківського комітету, якщо до нього мають увійти 5 осіб?
Рішення:У цьому прикладі нас не цікавить порядок прізвищ у списку Комітету. Якщо в результаті в його складі виявляться одні й ті самі люди, то за змістом для нас це той самий варіант. Тому ми можемо скористатися формулою для підрахунку числа поєднаньіз 20 елементів по 5.

Інакше будуть справи, якщо кожен член комітету спочатку відповідає за певний напрямок роботи. Тоді при тому самому списковому складі комітету, всередині нього можливо 5! варіантів перестановокякі мають значення. Кількість різних (і за складом, і за сферою відповідальності) варіантів визначається у цьому випадку числом розміщеньіз 20 елементів по 5.

Завдання для самоперевірки
1. Скільки трицифрових парних чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо цифри можуть повторюватися?

2. Скільки існує п'ятизначних чисел, які однаково читаються зліва направо та праворуч наліво?

3. У класі десять предметів та п'ять уроків на день. Скільки способами можна скласти розклад на один день?

4. Скільки можна вибрати 4 делегати на конференцію, якщо в групі 20 осіб?

5. Скільки способами можна розкласти вісім різних листів по восьми різних конвертах, якщо кожен конверт кладеться лише одне лист?

6. З трьох математиків та десяти економістів треба скласти комісію, що складається з двох математиків та шести економістів. Скільки способами це можна зробити?

Комбінаторика – розділ математики. Основні поняття та формули комбінаторики як науки застосовуються у всіх сферах життя.

Не дивно, що вона включена до програми 11 класу, а також до вступних випробувань у багатьох ВНЗ РФ. Її основи лежать у прикладному мистецтві багатьох сфер діяльності.

Її історія налічує понад 6 століть. Перші комбінаторні завдання з'явилися у працях філософів та математиків Середньовіччя.

Представники того наукового світу намагалися знайти методи вирішення таких завдань, їхні базові правила та поняття, затвердити унікальні формули та рівняння для тих, хто ще не зустрічався з ними. Така інформація нині називається інформацією «для чайників».

Спробуємо розібратися в аспектах цієї галузі науки: які елементи, властивості, правила, методи та основне її застосування у нашому житті? Звичайно, всю область в одній статті неможливо охопити. Тому нижче буде представлено все найголовніше.

Що таке комбінаторика в математиці

Суть цього терміну дають книги минулих років: це розділ математики, що займається операціями з багатьма елементами.

В інтернеті є підручники з інформатики та математики для дітей, школярів, збірки матеріалів та завдань для початківців, де у доступному вигляді пояснена «цікава» комбінаторика. Потрібно твердо з'ясувати, як вирішувати такі завдання.

У молодших класах завдання з цієї теми вирішують на додаткових гуртках, а школах з поглибленим вивченням математики — на основних уроках. До того ж, завдання комбінаторики включені в олімпіади всіх рівнів.

Основні поняття

Їх декілька:

1. Елемент– будь-який об'єкт чи явище, що входить у потрібне безліч.
2. Поєднання– підмножини, що у довільному порядку у вихідному множині.
3. Перестановка- Елементи в безлічі знаходяться в строго визначеному порядку.
4. Розміщення– упорядковані підмножини у вихідній множині.

Правило твору

Є одним із основних правил при вирішенні таких завдань і звучить так:

При виборі елемента А зnспособів і виборі елементаmспособів вірно твердження, що вибрати пару А і В одночасно можнаn* mметодами.

Розглянемо конкретні приклади.

Завдання №1.

У коробці лежить 2 м'ячі та 6 скакалок. Скільки існує способів дістати 1 м'яч та 1 скакалку?

Відповідь проста: 2 * 6 = 12.

Завдання №2.

Є 1 кубик, 2 кульки, 3 квітки та 4 цукерки. Скільки способами можна витягнути кубик, кульку, квітку і цукерку?

Рішення аналогічне: 1 * 2 * 3 * 4 = 24.

Причому ліву частину можна записати набагато простіше: 4!

! в даному випадку є не ознакою пунктуації, а факторіалом.За допомогою нього можна обчислити складніші варіанти та вирішувати важкі завдання (існують різні формули, але про це пізніше).

Завдання №3.

Скільки двоцифрових чисел можна становити з 2 цифр?

Відповідь: 2! = 2.

Завдання №4.

Скільки десятицифрових чисел можна становити з 10 цифр?

Правило суми

Також є базовим правилом комбінаторики.

Якщо А можна вибратиnразів, а В -mраз, то А або В можна вибрати (n+ m) раз.

Завдання №5.

У коробці лежать 5 червоних, 3 жовті, 7 зелені, 9 чорних олівців. Скільки є способів витягти 1 будь-який олівець?

Відповідь: 5+3+7+9=24.

Поєднання з повтореннями та без повторень

Під цим терміном розуміють комбінації у довільному порядку з множини n по m елементів.

Число поєднань дорівнює кількості таких комбінацій.

Завдання №6.

У коробці знаходиться 4 різні фрукти. Скільки способами можна дістати одночасно 2 різних фрукти?

Рішення просте:

Де 4! - Комбінація з 4 елементів.

З повтореннямитрохи складніше, комбінації вважаються за такою формулою:

Завдання №7.

Візьмемо той самий випадок, але за умови, що один фрукт повертається в коробку.

В цьому випадку:

Розміщення з повтореннями та без повторень

Під цим визначенням розуміють набір m елементів з множини n елементів.

Завдання №8.

З 3 цифр треба вибрати 2, щоб виходили різні двоцифрові числа. Скільки варіантів?

Відповідь проста:

А як же бути із повтореннями?Тут кожен елемент може розміщуватись кілька разів! У такому разі загальна формула буде виглядати так:

Завдання №9.

З 12 букв латинського алфавіту та 10 цифр натурального ряду треба знайти всі варіанти складання автомобільного коду регіону.

Перестановки з повтореннями та без повторень

Під цим терміном розуміють усі можливі комбінації з n елементної множини.

Завдання №10.

Скільки можливих п'ятизначних чисел можна становити з 5цифр? А шестизначних із 6 цифр? Семизначних із 7 цифр?

Рішення, згідно з вищенаведеною формулою, такі:

А як же бути із повтореннями?Якщо в такій множині є однакові за своєю значимістю елементи, перестановок буде менше!

Завдання №11.

У коробці є 3 однакові олівці та одна ручка. Скільки перестановок можна зробити?

Відповідь проста: 4! / (3! * 1!) = 4.

Комбінаторні завдання із рішеннями

Приклади всіх можливих типів завдань із рішеннями було дано вище. Тут спробуємо розібратися з складнішими випадками, які трапляються в нашому житті.

Типи завдань	Що потрібно знайти	Методи вирішення
Магічний квадрат	Фігура, в якій сума чисел у рядах та стовпцях має бути однаковою (його різновид – латинський квадрат).	Рекурентні співвідношення. Вирішується подібне завдання, але з набагато меншою безліччю елементів за відомими правилами і формулами.
Завдання розміщення	Стандартне виробниче завдання (наприклад, у клаптевій техніці) — знайти можливі способи розкладання кількості продуктів у комірки у порядку.	Вмикання та виключення. Як правило, застосовується при доказі різних виразів.
Завдання про торговців	Суть - знайти всі можливі шляхи проходження людей з пункту А до пункту В.	Траєкторії. Для цього виду завдань характерна геометрична побудова можливих способів розв'язання.

Висновок

Варто вивчати цю науку, оскільки в час швидкої модернізації технологій будуть потрібні фахівці, здатні надати різні рішення тих чи інших практичних завдань.

Для побудови відповідних математичних моделей комбінаторних завдань будемо використовувати математичний апарат теорії множин. Може статися, що в даній множині порядок проходження елементів не важливий, а важливий тільки склад множини. Але є завдання, у яких прядок елементів є суттєвим.

Визначення 1: Порядок у безлічі з елементів – нумерація його елементів натуральними числами, тобто. відображення множини
на безліч
.

Визначення 2: Безліч із заданим на ньому порядком називається впорядкованою безліччю.

Очевидно, що безліч, що містить більше одного елемента, можна впорядкувати не єдиним способом.

Наприклад, із двох букв і можна побудувати впорядковану множину двома різними способами:

і
.

Три літери ,і можна розташувати у вигляді послідовності шістьма способами:

,
,
,
,
,
.

Для чотирьох букв шляхом перебору отримаємо вже 24 різні впорядковані послідовності.

Упорядковані послідовності елементів деякої множини можна розглядати як розподіл або розміщення цих елементів у послідовності.

Визначення 3: Нехай дано кінцеве безліч
з елементів. Будь-який набір з елементів даної множини (при цьому елементи в наборі можуть і повторюватися) будемо називати -розстановками .

Через поняття розміщення вводяться основні визначення комбінаторики: поєднання, розміщення та перестановки. При цьому кожне з цих понять можливе з повтореннями і без повторень. У цьому параграфі будуть розглянуті комбінаторні формули без повторень.

Перестановка без повторень.

Визначення 4: Нехай
- кінцева множина з елементів. Перестановками з різних елементів множини
називаються всі розташування елементів у певному порядку. Позначається: (від французького слова permutation- Перестановка).

Упорядковані множини вважаються різними, якщо вони відрізняються або своїми елементами, або їх порядком.

Визначення 5: Різні впорядковані множини, які відрізняються лише порядком елементів, називаються перестановками цієї множини.

Останнє визначення сформульовано з позиції теорії множин.

Визначення 6: твір послідовних натуральних чисел у математиці позначають і називають факторіалом .

Вибір для позначення знака оклику, можливо, пов'язаний з тим, що навіть для порівняно невеликих значень число дуже велике. Наприклад,
,
,
,
,
,,і т.д.

Теорема 1: Число перестановок з різних елементів обчислюється за такою формулою:

Доведення. Розглянемо довільну множину з елементів. Побудуємо всілякі розстановки з цих елементів. На перше місце розміщення можна поставити будь-який з елементів ( способів вибору першого елемента. Після того, як перший елемент вибраний і незалежно як він вибраний, другий елемент можна вибрати
способом. Для вибору третього елемента залишається
способу і т.д. Останній елемент вибирається відповідно одним способом. Тоді, в силу комбінаторного принципу множення, кількість таких розстановок дорівнюватиме:

Теорему доведено.

Приклад 1:Скільки способами троє друзів можуть зайняти у кінотеатрі місця з номерами 1, 2 та 3.

Рішення.Кількість шуканих способів дорівнюватиме кількості перестановок без повторень із трьох елементів:
методів. При необхідності ці методи можна перебрати.

Перестановки букв деякого слова називають анаграмами . Відкриті ще у ІІІ столітті до нашої ери грецьким граматиком Лікофроном анаграми досі привертають увагу мовознавців, поетів та любителів словесності. Майстри словесних ігор крім ерудиції та великого запасу слів знають багато секретів, пов'язаних із комбінаторними навичками, один із яких – анаграми. Часто потрібно серед усіх перестановок вибрати ті, які мають певну властивість. Наприклад, серед анаграм слова «крот», яких всього
, тільки одна, крім самого слова «крот», має сенс у російській мові – "корт".

Крім лінійних перестановок, можна розглядати кругові перестановки (або циклічні). У цьому випадку перестановки, що переходять одна в одну під час обертання, вважаються однаковими і не повинні зараховуватися.

Теорема 2: Число кругових перестановок з різних елементів одно

Приклад 2:Скільки способами 7 дітей можуть стати в хоровод?

Рішення.Число лінійних перестановок 7 дітей буде рівним
. Якщо хоровод вже сформовано, тоді йому існує 7 кругових перестановок, перехідних друг в друга при повороті. Ці перестановки не повинні бути зараховані, тому кругових перестановок із 7 елементів буде .

Розміщення без повторень.

Визначення 7: Нехай є різних предметів. Розстановки з елементів по елементів (
) називаються розміщення без повторень . Позначають: . Тут на увазі, що елементи в розстановках не повторюються.

У даному визначенні суттєвою є така позиція: дві розстановки різні, якщо вони відрізняються хоча б одним або порядком елементів.

Наведемо ще одне визначення розміщень, еквівалентне вихідному, простіше для розуміння.

Визначення 8: Кінцеві впорядковані множини називаються розміщеннями.

Теорема 3: Кількість всіх розміщень з елементів по елементів без повторень обчислюється за такою формулою:

Доведення. Нехай є довільна безліч
, що складається з елементів. Необхідно вибрати з цієї множини різних елементів. Причому важливий порядок вибору.

Вибір елементів здійснюється поетапно. Перший елемент розміщення можна вибрати у різний спосіб. Тоді з решти елементів безлічі
другий елемент розміщення вибирається
способом. Для вибору третього елемента можливо
способу і т.д. Тоді для вибору - го елемента маємо
Метод. Отже, згідно з правилом множення, кількість таких розстановок дорівнюватиме:

За визначенням, такі розміщення є розміщеннями. Що й потрібно було довести.

Приклад 3:Збори із 25 осіб обирають президію з 3 осіб: 1) голова, 2) заступник, 3) секретар. Скільки можливо варіантів вибору президії?

Рішення.Вибираючи трьох осіб із 25, зауважуємо, що важливий порядок вибору, тому кількість президій буде рівна:

Примітка: Число розміщень без повторень можна також знаходити за формулою:

. (3)

Якщо у знаменнику дроби з формули (3)
, то прийнято вважати
.

Примітка: Формула (3) відрізняється компактністю, але під час вирішення завдань зручніше використовувати формулу (2). Дроб, що стоїть у правій частині формули (3), може бути скорочений до цілого числа. Це число дорівнює числу правої частини формули (2).

Приклад 4:Скільки можна скласти дволітерних слів (літери не повторюються) із 33 літер російського алфавіту?

Рішення.В даному випадку ми маємо справу не зі словами у лінгвістичному розумінні, а з літерними комбінаціями довільного складу.

Тоді кількість різних комбінацій з 2 літер, вибраних з 33 літер алфавіту, дорівнюватиме:

.

У разі важливий порядок букв. Якщо поміняти дві літери в слові, то отримаємо нове слово.

Примітка: Перестановка без повторень – це окремий випадок розміщення без повторень при
. Можна сказати, що перестановка з елементів – це розміщення з елементів по елементів:

У деяких завданнях по комбінаториці немає значення порядок розташування об'єктів у тій чи іншій сукупності. Важливим є лише те, які саме елементи її складають. У таких ситуаціях ми маємо справу з поєднаннями.

Поєднання без повторень.

Визначення 9: Поєднання без повторень з елементів деякої множини елементів (
) – це розстановки, що відрізняються один від одного складом, але не порядкомелементів. Позначають: (від французького слова combinaison- Поєднання).

В даному випадку у розстановках важливий склад, а не порядок елементіву підмножині. Якщо дві розстановки відрізняються лише порядком прямування елементів, з погляду поєднань де вони помітні. Елементи у цих розстановках не повторюються.

З погляду теорії множин визначення поєднань можна сформулювати інакше.

Визначення 10: Кінцеві невпорядковані множини називаються поєднаннями.

Таким чином, поєднання - це така вибірка елементів, за якої їх порядок абсолютно не важливий.

Поєднань з елементів по елементів має бути меншим, ніж відповідних розміщень. Це випливає з того, що не треба зараховувати розміщення однакового складу.

Теорема 4: Число поєднань знаходиться за такою формулою:

. (4)

Доведення. Якщо з довільного -елементної множини обрані елементів, їх можна пронумерувати номерами
числом способів, рівним . Ті, що залишилися
елементів можна занумерувати номерами
,
, …,всього
методами. Крім того, сам добір елементів з елементів можна здійснити методами. Таким чином, ми отримали
варіантів нумерації повної множини з елементів, яких всього . Тому маємо
, звідки отримуємо:

.

Теорему доведено.

Примітка: Дроб, що стоїть у правій частині (4), може бути скорочений до цілого числа.

З формули числа поєднань випливає:

,
,
.

Формула (4) може бути перетворена на вигляд:
. Звідси видно, що кількість розміщень в разів більше від числа відповідних поєднань . Іншими словами, щоб порахувати всі поєднання , потрібно виключити зі всіх розміщень підмножини, що відрізняються порядком (їх буде штук), тобто. ділять на .

Приклад 5:Скількими способами можна вибрати 3 різні фарби з п'яти.

Рішення.Порядок вибору фарб не є важливим. Важливо лише які фарби вибрано. Тому кількість варіантів дорівнює:
.

Приклад 6:Скільки способами можна пошити триколірні смугасті прапори, якщо є матеріал п'яти різних кольорів.

Рішення.Порядок вибору смуг важливий, тому кількість таких прапорів дорівнює:
.

Урок з математики у 5 класі « Знайомтесь, комбінаторика» Тема урока: Мета уроку : сформулювати початкові навички комбінаторних завдань з допомогою перебору можливих варіантів.
Завдання уроку:

Освітні:

Розвиток уміння вирішувати комбінаторні завдання шляхом повного перебору варіантів;

Вироблення вміння застосовувати математичну теорію у конкретних ситуаціях;

Знайомство учнів із елементами гуманітарного знання, що з математикою.

Розвиваючі:

Розвиток уміння самостійно обирати спосіб вирішення та вміння обґрунтувати вибір;

Розвиток уміння розв'язувати задачі шляхом лише логічних міркувань;

Розвиток уміння робити вибір оптимального методу кодування;

Розвиток комунікативних та творчих здібностей учнів.

Виховні:

Виховувати почуття відповідальності за якість та результат виконуваної роботи; Прищеплювати свідоме ставлення до праці;

Формувати відповідальність за кінцевий результат.

Обладнання:

Інтерактивна дошка; роздатковий матеріал (кольорові смужки: біла, синя, червона); картки із завданнями.

Хід уроку.

Організаційний момент. Вивчення нового матеріалу. Практична частина. Рефлексія Виставлення відміток Завдання домашньої роботи

Організаційний момент.

Вчитель: Здрастуйте, хлопці! Дуже часто у житті доводиться робити вибір, приймати рішення. Це зробити дуже важко, не тому що вибору немає, а тому, що доводиться вибирати з безлічі можливих варіантів, різних способів, комбінацій. І нам завжди хочеться, щоби цей вибір був оптимальний. Завдання, які ми сьогодні вирішуватимемо допоможуть вам творити, думати незвичайно, оригінально, бачити те, повз чого ви часто проходили не помічаючи. І ще сьогодні вкотре переконаємося, що наш світ повний математики і продовжимо дослідження щодо виявлення математики навколо нас.Чи знаєте ви, що таке «царська постава»? Спробуємо прийняти царствену позу: спина пряма, м'язи голови без напруги, вираз обличчя дуже значний: адже ви так добре вмієте рахувати, як не вміють царські особи. Дуже швидко активізуємо свій мозок. Для цього інтенсивно помасажуємо міжбрівну точку: вказівним пальцем правої руки робимо 5 кругових рухів в один бік та в інший. Повторимо це 2 – 3 рази

Актуалізація теми та мотивація.

Давайте вирішимо задачу №1, Завдання 1 . Біля каси кінотеатру стоять четверо хлопців. У двох із них сторублеві купюри, в інших двох – п'ятдесятирублеві.(Вчитель викликає 4 учнів до дошки та дає їм моделі купюр). Квиток у кіно коштує 50 рублів. На початку продажу каса порожня.(Вчитель викликає "касира" і дає йому "квитки") . Як мають розташуватися хлопці, щоб нікому не довелося чекати на здачу? Розігруємо сценку, за допомогою якої можна знайти два можливі варіанти вирішення:

50 рублів, 100 рублів, 50 рублів, 100 рублів; 50 рублів, 50 рублів, 100 рублів, 100 рублів (слайд №2 та №3).

Завдання №2 . Декілька країн вирішили використовувати для свого державного прапора символіку у вигляді трьох горизонтальних смуг однакової ширини різних кольорів – білого, синього, червоного. Скільки країн можуть використовувати таку символіку за умови, що кожна країна має свій прапор?(Учням лунають кольорові смужки (білий, синій, червоний) і пропонується скласти різні варіанти прапорів? (Слайд №4)Вчитель: Перш ніж переходити до наступного етапу уроку, трохи відпочинемо. Сидячи на стільці - розслабтеся, прийміть позу піджака, що висить на вішалці, "Постріляйте" очима у сусідів. Заведіть лікті за спину якнайсильніше, потім з силою обійміть себе.

Вивчення нового матеріалу .

Вчитель: Отже, при вирішенні цих завдань ми здійснили перебір усіх можливих варіантів,або, як зазвичай кажуть у цих випадках, всі можливі комбінації. Тому такі завдання називають комбінаторними. Прораховувати можливі (або неможливі) варіанти в житті доводиться досить часто, тому корисно познайомитись із комбінаторними завданнями,а розділ математики, що займається вирішенням цих завдань, називається комбінаторикою.(Слайд №5) Визначення учні записують у зошит:

Комбінаторика – це розділ математики, присвячений вирішенню завдань вибору та розташування заданих елементів за заданими правилами

Звичайне питання у комбінаторних завданнях – це « Скільки способами …?» або

« Скільки варіантів …?»

Вчитель : Давайте ще раз повернемося до завдання про прапори, вирішимо її використовуючи перебір можливих варіантів: (слайд №7) КБС КСБ БСК БКС СБК СКБВідповідь: 6 варіантів. Отже, під час вирішення цього завдання ми шукали спосіб перебору можливих варіантів. УУ багатьох випадках виявляється корисним прийом побудови картинки – схеми перебору варіантів. Це, по-перше, наочно, по-друге, дозволяє нам все врахувати, нічого не пропустити.

Рішення Прапор

Варіанти ББК, БКС, СБК, СКБ, КБС, КСБ.

Відповідь: 6 варіантів.

Питання, відповідь який повинні знати все, який із представлених варіантів прапорів – державний прапор РФ.(Слайд№7)

Виявляється, не тільки прапор Росії має ці три кольори. Є держави, прапори яких мають такі ж кольори.

КБС - Люксембург,

Нідерланди.

Франція СКБ

Вчитель: Знайдемо правило вирішення таких завдань шляхом логічного міркування.

Розберемо з прикладу кольорових смужок. Візьмемо білу смужку – її можна переставити 3 рази, візьмемо синю смужку – її можна переставити лише двічі, т.к. одне з місць вже зайняте білою, візьмемо червону смужку – її можна покласти лише 1 раз.

РАЗОМ: 3 х 2 х 1=6

Основне правило твору :

Правило множення: якщо перший елемент у комбінації можна вибрати а способами, після чого другий елемент – b способами, то загальна кількість комбінацій дорівнюватиме а х b . (Слайд №8)

Фізкультхвилинка для очей. (Слайд №9)

Вправа "Фігури".

Намалювати очима квадрат, коло, трикутник, овал, ромб за годинниковою стрілкою, а потім проти.

Практична частина

Вчитель: А тепер перейдемо до математичних завдань. (роздаємо картки із завданнями)

В одного досить знаменитого мушкетера в гардеробі є 3 елегантні капелюхи, 4 чудові плащі і 2 пари відмінних чобіт. Скільки варіантів костюма йому можна скласти? (Вибираємо по одному елементу з трьох множин, тобто складаємо «трійку», отже, за правилом множення отримуємо 3 4 2 = 24 варіанти костюма.)

У футбольній команді 11 людей. Необхідно вибрати капітана та його заступника. Скільки можна це зробити? (Усього 11 чоловік, отже, капітана можна вибрати 11 способами, залишилося 10 футболістів, з яких можна вибрати заступника капітана. Отже, пару капітана та його заступника можна вибрати 11 10 = 110 способами.)

Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 1, 4, 7, якщо допустити повторення цифр? (Повинно вийти двозначне число – всього дві позиції. На першу позицію можна поставити будь-яку із запропонованих цифр – 3 варіанти вибору, на другу позицію, з урахуванням можливості повтору цифри, також 3 варіанти вибору. Значить, пару цифр ми складаємо 3 3 = 9 способами , тобто вийде 9 чисел.

Скільки різних трицифрових чисел можна скласти із цифр 1, 2, 3, 4, 5 за умови, що жодна цифра не повторюється? (Тризначне число: перша позиція – 5 варіантів цифр, друга позиція з урахуванням виключення повторів цифр – 4 варіанти, третя позиція – 3 варіанти. Отримуємо 5 4 3 = 60 чисел.)

Скільки різних двоцифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, якщо цифри: а) можуть повторюватися; б) чи не можуть повторюватися? (а) Двозначне число, як і будь-яке багатозначне, не може починатися з 0, тому на першу позицію можна поставити лише 3 з 4 цифр, 3 варіанти вибору, на другу позицію, з урахуванням повтору, можна поставити будь-яку з цифр – 4 варіанти вибору. Тому виходить 34 = 12 чисел; б) Перша позиція – 3 варіанти, друга позиція – 3 варіанти, т.к. повтор виключається. Отримуємо 3 3 = 9 чисел.)

Шифр для сейфа складається із п'яти різних цифр. Скільки різних варіантів складання шифру? (5 4 3 2 1 = 120 варіантів.) Скільки способами можна розмістити 6 осіб за столом, на якому поставлено 6 приладів? (6 5 4 3 2 1 = 720 способів.)

6 приладів?(6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 способів.)

(8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 варіантів.)

(Використовуються цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всього 10 цифр, виключаючи за умовами 0 та 9 на початку номера, з урахуванням можливості повтору, отримуємо 8 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 8 000 000 номерів.)

Рефлексія

Вчитель: Хлопці ось і добігає кінця наш урок. Як ви вважаєте, ми сьогодні досягли нашої мети, чому? Що було важким на уроці, як з цим можна боротися? Подумайте і поставте собі за свою працю та роботу позначку, поставте самі, цю позначку ніхто з хлопців не побачить, спробуйте бути чесним із самим собою. Чи повністю ви брали участь у роботі на уроці? Що потрібно зробити, щоб результат був кращим?

Крім того, учням пропонується відповісти на 3 бліц - питання:

На сьогоднішньому уроці мені було … (легко, як правило, важко)

Новий матеріал я … (засвоїв і можу застосувати, засвоїв і важко застосувати, не засвоїв)

Моя самооцінка за урок.

Відповіді на наведені запитання можна підписувати, т.к. їхня основна функція допомогти вчителю проаналізувати урок та його результати

Підбиття підсумків . Виставлення відміток

Вчитель: Я дуже рада, що багато хто з вас сьогодні добре попрацював, дізнався багато нового, але я дуже хотів би, щоб всі ви вдома добре попрацювали і не отримали на наступному уроці двійок.

7. Завдання домашньої роботи :

1) Скласти завдання про свій клас

2) Декілька країн вирішили використати для свого державного прапора символіку у вигляді 3 горизонтальних смуг різної ширини, різних кольорів – білий, синій, червоний. Скільки країн можуть використовувати таку символіку за умови, що кожна країна має свій прапор?

3) а) Скільки двоцифрових чисел можна становити з цифр 1, 3, 5, 7, 9?

б) Скільки двоцифрових чисел можна становити з цифр 1, 3, 5, 7, 9 за умови, що цифри не повинні повторюватися

Вчитель : Отже, я була рада зустрічі з вами, цікавтеся математикою, це, безсумнівно, позначиться на позитивному боці у ваших роздумах і діях. Урок завершено. Всім дякую. До побачення.

Література:

Є.А.Бунімович, В.А. Буличів. Імовірність та статистика в курсі математики загальноосвітньої школи: лекції 1-4, 5 - 8. - М.: Педагогічний університет "Перше вересня", 2006.

Віленкін Н.Я. Математика. 5 клас: підручник для загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін та ін - М.: Мнемозіна, 2009.

Смикалова Є.В. Додаткові розділи математики для учнів 5 класу. СПб: ЗМІ. Прес, 2006.

5 клас. "Математика-5", І.І. Зубарєва, А.Г. Мордкович, 2004 рік.

Завдання (картки)

В одного досить знаменитого мушкетера в гардеробі є 3 елегантні капелюхи, 4 чудові плащі і 2 пари відмінних чобіт. Скільки варіантів костюма йому можна скласти?

У футбольній команді 11 людей. Необхідно вибрати капітана та його заступника. Скільки можна це зробити?

Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 1, 4, 7, якщо допустити повторення цифр

Скільки різних трицифрових чисел можна становити з цифр 1, 2, 3, 4, 5 за умови, що жодна цифра не повторюється?

Скільки різних двоцифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, якщо цифри: а) можуть повторюватися; б) чи не можуть повторюватися?

Шифр для сейфа складається із п'яти різних цифр. Скільки різних варіантів складання шифру?

Скільки способами можна розмістити 6 осіб за столом, на якому поставлено 6 приладів?

У п'ятому класі вивчаються 8 предметів. Скільки різних варіантів розкладу можна скласти на понеділок, якщо у цей день має бути 5 уроків і всі уроки різні?

1. Скільки варіантів семизначних номерів можна скласти, якщо виключити з них номери, що починаються з 0 і 9?

Відповіді

Вибираємо по одному елементу з трьох множин, тобто складаємо «трійку», отже, за правилом множення отримуємо 3 4 2 = 24 варіанти костюма.

Всього 11 осіб, отже, капітана можна вибрати 11 способами, залишилося 10 футболістів, з яких можна вибрати заступника капітана. Отже, пару, капітана та його заступника, можна вибрати 11 10 = 110 способами.

Повинне вийти двозначне число – лише дві позиції. На першу позицію можна поставити будь-яку із запропонованих цифр – 3 варіанти вибору, на другу позицію, з урахуванням можливості повтору цифри, також 3 варіанти вибору. Отже, кілька цифр ми становимо 3 3 = 9 методами, тобто. вийде 9 чисел.

Тризначне число: перша позиція - 5 варіантів цифр, друга позиція з урахуванням виключення повторів цифр - 4 варіанти, третя позиція - 3 варіанти. Отримуємо 5 4 3 = 60 чисел.

(а) Двозначне число, як і будь-яке багатозначне, не може починатися з 0, тому на першу позицію можна поставити лише 3 з 4 цифр, 3 варіанти вибору, на другу позицію, з урахуванням повтору, можна поставити будь-яку з цифр – 4 варіанти вибору. Тому виходить 34 = 12 чисел; б) Перша позиція – 3 варіанти, друга позиція – 3 варіанти, т.к. повтор виключається. Отримуємо 33 = 9 чисел.

5 4 3 2 1 = 120 варіантів.

1. 6 5 4 3 2 1 = 720 способів

2. 8 7 6 5 4 = 6720 варіантів

   Використовуються цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всього 10 цифр, крім умов 0 і 9 на початку номера, з урахуванням можливості повтору, отримуємо 8 10 10 10 10 10 10 = 8000000 номерів.