Графіки взаємно зворотних функцій симетричні щодо. Зворотні функції – визначення та властивості

Ми вже стикалися із завданням, коли за заданою функцією f та заданим значенням її аргументу необхідно було обчислити значення функції в цій точці. Але іноді доводиться стикатися зі зворотним завданням: знайти за відомою функцією f та її деяким значенням y значення аргументу, в якому функція приймає дане значення y.

Функція, яка приймає кожне своє значення в єдиній точці своєї області визначення, називається оборотною функцією. Наприклад, лінійна функція буде оборотною функцією. А квадратична функція або функція синус не буде оборотними функціями. Так як те саме значення функція може приймати при різних аргументах.

Зворотня функція

Припустимо, що f є деяка довільна оборотна функція. Кожному числу з області її значень y0 відповідає лише одне число з області визначення x0, таке що f(x0) = y0.

Якщо тепер ми кожному значенню х0 поставимо у відповідність значення y0, то отримаємо нову функцію. Наприклад, для лінійної функції f(x) = k * x + b функція g(x) = (x - b)/k буде зворотною.

Якщо деяка функція gу кожній точці хобласті значень оборотної функції f набуває значення таке, що f(y) = x, то кажуть, що функція g- є зворотна функція f.

Якщо у нас буде заданий графік деякої оборотної функції f, то для того, щоб побудувати графік зворотної функції, можна користуватися наступним твердженням: графік функції f та зворотної до неї функції g будуть симетричні щодо прямої, заданої рівнянням y = x.

Якщо функція g є зворотною до функції f, то функція g буде оборотною функцією. А функція f буде зворотною до функції g. Зазвичай кажуть, дві функції f і g взаємно зворотні друг до друга.

На наступному малюнку представлені графіки функцій f і g взаємно обернених один до одного.

Виведемо наступну теорему: якщо функція f зростає (або зменшується) на деякому проміжку A, вона оборотна. Зворотна функція g, визначена в області значень функції f, також є зростаючою (або відповідно спадною) функцією. Ця теорема називається теорема про зворотну функцію.

Готові роботи

ДИПЛОМНІ РОБОТИ

Багато чого вже позаду і тепер ти – випускник, якщо, звісно, вчасно напишеш дипломну роботу. Але життя - така штука, що тільки зараз тобі стає зрозуміло, що, переставши бути студентом, ти втратиш усі студентські радості, багато з яких, ти так і не скуштував, все відкладаючи та відкладаючи на потім. І тепер, замість того, щоб надолужувати втрачене, ти копишся над дипломною роботою? Є чудовий вихід: завантажити потрібну тобі дипломну роботу з нашого сайту - і в тебе миттю з'явиться багато вільного часу!
Дипломні роботи успішно захищені у провідних Університетах РК.
Вартість роботи від 20 000 тенге

КУРСОВІ РОБОТИ

Курсовий проект – це перша серйозна практична робота. Саме з написання курсової розпочинається підготовка до розробки дипломних проектів. Якщо студент навчитися правильно викладати зміст теми в курсовому проекті та грамотно його оформляти, то надалі у нього не виникне проблем ні з написанням звітів, ні зі складанням дипломних робіт, ні з виконанням інших практичних завдань. Щоб надати допомогу студентам у написанні цього типу студентської роботи і роз'яснити питання, що виникають під час її складання, власне кажучи, і був створений даний інформаційний розділ.
Вартість роботи від 2500 тенге

МАГІСТЕРСЬКІ ДИСЕРТАЦІЇ

В даний час у вищих навчальних закладах Казахстану та країн СНД дуже поширений ступінь вищої професійної освіти, який слідує після бакалаврату - магістратура. У магістратурі навчаються з метою отримання диплома магістра, який визнається в більшості країн світу більше, ніж диплом бакалавра, а також визнається зарубіжними роботодавцями. Підсумком навчання у магістратурі є захист магістерської дисертації.
Ми надамо Вам актуальний аналітичний та текстовий матеріал, у вартість включено 2 наукові статті та автореферат.
Вартість роботи від 35 000 тенге

ЗВІТИ З ПРАКТИКИ

Після проходження будь-якого типу студентської практики (навчальної, виробничої, переддипломної) потрібно скласти звіт. Цей документ буде підтвердженням практичної роботи студента та основою формування оцінки за практику. Зазвичай, щоб скласти звіт з практики, потрібно зібрати та проаналізувати інформацію про підприємстві, розглянути структуру та розпорядок роботи організації, в якій проходить практика, скласти календарний план та описати свою практичну діяльність.
Ми допоможемо написати звіт про проходження практики з урахуванням специфіки діяльності конкретного підприємства.

Транскрипт

1 Взаємно зворотні функції Дві функції f і g називаються взаємно зворотними, якщо формули y=f(x) і x=g(y) виражають ту саму залежність між змінними х і у, тобто. якщо рівність y=f(x) вірна тоді і лише тоді, коли вірна рівність x=g(y): y=f(x) x=g(y) Якщо дві функції f і g взаємно обернені, то g називають зворотною функцією для f та, навпаки, f зворотна функція для g. Наприклад, у = 10 х і х = lgy взаємно зворотні функції. Умова існування взаємно зворотної функції Функція f має зворотну, якщо із співвідношення y=f(x) змінну х можна однозначно виразити через у. Є функції, котрим можна однозначно висловити аргумент через задане значення функції. Наприклад: 1. y = x. Для цього позитивного числа у знайдуться два значення аргументу х, такі, що x = у. Наприклад, якщо у = 2, то х = 2 або х = - 2. Значить, виразити однозначно х через у не можна. Отже, ця функція немає взаємно зворотної. 2. у = х 2. х =, х = - 3. y = sinx. При заданому значенні у (y 1) знайдеться безліч значень х, таких, що y=sinx. Функція y=f(x) має зворотну, якщо будь-яка пряма у=у 0 перетинає графік функції y=f(x) лише у одній точці (вона може не перетинати графік, якщо в 0 належить області значень функції f) . Цю умову можна сформулювати інакше: рівняння f(x)=y 0 при кожному 0 має не більше одного рішення. Умова того, що функція має зворотну, свідомо виконується, якщо функція строго зростає або суворо зменшується. Якщо f строго зростає, то при двох різних значеннях аргументу вона набуває різних значень, оскільки більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Отже, рівняння f(x)=y для строго монотонної функції має лише рішення. Показова функція = х строго монотонна, тому вона має зворотну логарифмічну функцію. Багато функцій немає зворотних. Якщо при деякому рівняння b(x)=b має більше одного рішення, то функція y=f(x) зворотної не має. На графіці це, що пряма y=b перетинає графік функції більш як у одній точці. Наприклад, у = х 2; y=sinx; у = tgx.

2 З неоднозначністю розв'язання рівняння f(x)=b можна впоратися, якщо зменшити область визначення функції f так, щоб її область значень не змінилася, але щоб кожне своє значення вона набирала один раз. Наприклад, у = х 2, х 0; y=sinx, ; у = tgx,. Загальне правило перебування зворотної функції функції: 1. вирішуючи рівняння щодо х, знаходимо; 2. змінюючи позначення змінної х на у, а на х, отримуємо функцію зворотну до даної. Властивості взаємно зворотних функцій Тотожності Нехай f та g взаємно зворотні функції. Це означає, що рівність y=f(x) і x=g(y) рівносильні: f(g(y))=y та g(f(x))=x. Наприклад, 1. Нехай f показова, логарифмічна функція. Отримуємо: і. 2. Функції у = х 2, х 0 та y = взаємно зворотні. Маємо дві тотожності: і за х 0. Область визначення Нехай f і g взаємно зворотні функції. Область визначення функції f збігається з областю значень функції g і, навпаки, область значень функції f збігається з областю визначення функції g. приклад. Область визначення показової функції вся числова вісь R, та її область значень безліч всіх позитивних чисел. У логарифмічної функції навпаки: область визначення множини всіх позитивних чисел, а область значень все безліч R. Монотонність Якщо одна з взаємно зворотних функцій строго зростає, то інша строго зростає. Доведення. Нехай х 1 та х 2 два числа, що лежать в області визначення функції g, причому x 1

3 Графіки взаємно зворотних функцій Теорема. Нехай f та g взаємно зворотні функції. Графіки функцій y=f(x) та x=g(y) симетричні один одному щодо бісектриси кута хоу. Доказ. За визначенням взаємно зворотних функцій формули y=f(x) і x=g(y) виражають одну і ту ж залежність між змінними х і у, а значить, ця залежність зображується одним і тим самим графіком деякої кривої С. Крива є графіком функції y = f (x). Візьмемо довільну точку Р(a; b) З. Це означає, що b=f(a) і водночас a=g(b). Побудуємо точку Q, симетричну точці Р щодо бісектриси кута хоу. Точка Q матиме координати (b; a). Оскільки a=g(b), точка Q належить графіку функції y=g(x): дійсно, при х=b значення у=а дорівнює g(x). Таким чином, всі точки, симетричні точкам кривої відносно зазначеної прямої, лежать на графіку функції у = g (x). Приклади функцій графіки яких взаємно зворотні: у = е х і у = lnx; y=x 2 (x 0) та y= ; у = 2x 4 і у = +2.

4 Похідна зворотної функції Нехай f та g взаємно зворотні функції. Графіки функцій y=f(x) та x=g(y) симетричні один одному щодо бісектриси кута хоу. Візьмемо точку х=а та обчислимо значення однієї з функцій у цій точці: f(a)=b. Тоді визначення зворотної функції g(b)=a. Точки (a; f(a))=(a; b) і (b; g(b))=(b; a) симетричні щодо прямої l. Оскільки криві симетричні, те й дотичні до них симетричні щодо прямої l. З симетрії кут однієї з прямих з віссю х дорівнює куту іншої прямої з віссю у. Якщо пряма утворює з віссю х кут α, її кутовий коефіцієнт дорівнює k 1 =tgα; тоді друга пряма має кутовий коефіцієнт k 2 =tg(α)=ctgα=. Отже, кутові коефіцієнти прямих, симетричних щодо прямої l, взаємно зворотні, тобто. k 2 = або k 1 k 2 =1. Переходячи до похідних і враховуючи, що кутовий коефіцієнт дотичної є значенням похідної в точці торкання робимо висновок: Значення похідних взаємно зворотних функцій у відповідних точках взаємно зворотні, тобто. Приклад 1. оборотна. Рішення. y=f(x)=x 3. Зворотною функцією буде функція y=g(x)=. Знайдемо похідну функції g:. Тобто. =. Завдання 1. Доведіть, що функція, задана формулою, оборотна 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

5 Приклад 2. Знайдіть функцію, обернену функції у=2х+1. Рішення. Функція у=2х+1 зростаюча, отже, має зворотну. Виразимо х через у: получим.. Перейшовши до загальноприйнятих позначень, Відповідь: Завдання 2. Знайдіть зворотні функції для даних функцій

Розділ 9 Ступінь Ступінь із цілим показником. 0 = 0; 0 =; 0 = 0. > 0 > 0; > >.. >. Якщо парно, то ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). Наприклад, () = > = = (), так

Що вивчатимемо: Урок на тему: Дослідження функції на монотонність. Знижувальні та зростаючі функції. Зв'язок похідної та монотонності функції. Дві важливі теореми щодо монотонності. приклади. Хлопці, ми

6 Завдання, що призводять до поняття похідної Нехай матеріальна точка рухається по прямій в одному напрямку за законом s f (t), де t - час, а s - шлях, що проходить точкою за час t Зазначимо деякий момент

1 СА Лавренченко Лекція 12 Зворотні функції 1 Поняття зворотної функції Визначення 11 Функція називається взаємно-однозначною, якщо вона не набуває жодного значення більше одного разу, ті слідують за

Лекція 5 Похідні основних елементарних функцій Анотація: Даються фізична та геометрична інтерпретації похідної функції однієї змінної Розглядаються приклади диференціювання функції та правила

Розділ 1. Межі та безперервність 1. Числові множини 1 0. Дійсні числа Зі шкільної математики Ви знаєте натуральні N цілі Z раціональні Q та дійсні R числа Натуральні та цілі числа

Числові функції та числові послідовності Д. В. Литкіна АЕС, І семестр Д. В. Литкіна (СібГУТІ) математичний аналіз АЕС, I семестр 1 / 35 Зміст 1 Числова функція Поняття функції Числові функції.

Лекція 19 ВИРОБНИЧА І ЇЇ ДОДАТКИ. ВИЗНАЧЕННЯ ВИРОБНИЧОЇ. Нехай маємо деяку функцію y=f(x), визначену на певному проміжку. Для кожного значення аргументу xз цього проміжку функція y=f(x)

Розділ 5 Дослідження функцій за допомогою формули Тейлора Локальний екстремум функції Визначення Функція = f (досягає в точці з локального максимуму (мінімуму), якщо можна вказати таке δ >, що її приріст

Кафедра математики та інформатики Елементи вищої математики Навчально-методичний комплекс для студентів СПО, які навчаються із застосуванням дистанційних технологій Модуль Диференціальне обчислення Упорядник:

Кафедра математики та інформатики Математичний аналіз Навчально-методичний комплекс для студентів ВПО, які навчаються із застосуванням дистанційних технологій Модуль 4 Додатки похідної Упорядник: доцент

Завдання для самостійного вирішення. Знайдіть область визначення функції 6x. Знайдіть тангенс кута нахилу до осі абсцис дотичної, що проходить через точку М (;) графіка функції. Знайдіть тангенс кута

Тема Теорія меж Практичне заняття Числові послідовності Визначення числової послідовності Обмежені та необмежені послідовності Монотонні послідовності Нескінченно малі

44 Приклад Знайти повну похідну складної функції = sin v cos w де v = ln + 1 w= 1 За формулою (9) d v w v w = v w d cos + cos cos + 1 sin sin 1 Знайдемо тепер повний диференціал складної функції f

МОДУЛЬ «Застосування безперервності та похідної. Застосування похідної дослідження функцій». Застосування безперервності. Метод інтервалів.. Стосовна до графіка. Формула Лагранжа. 4. Застосування похідної

Московський фізико-технічний інститут Показові, логарифмічні рівняння та нерівності, метод потенціювання та логарифмування у вирішенні завдань. Методичний посібник із підготовки до олімпіад.

Розділ 8 Функції та графіки Змінні та залежності між ними. Дві величини і називаються прямо пропорційними, якщо їх відношення постійно, тобто якщо =, де постійне число, що не змінюється зі зміною

Міністерство освіти Республіки Білорусь УСТАНОВА ОСВІТИ «ГРОДНЕНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ЯНКИ КУПАЛИ» Ю.Ю. Гнездовський, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневіч ПОКАЗНІ ТА ЛОГАРИФМІЧНІ

Тема Числова функція, її властивості та графік Поняття числової функції Область визначення та безліч значень функції Нехай задано числову множину X Правило, яке зіставляє кожному числу X єдине

I Визначення функції декількох змінних Область визначення При вивченні багатьох явищ доводиться мати справу з функціями двох і більше незалежних змінних. Наприклад температура тіла в даний момент

1. Певний інтеграл 1.1. Нехай f обмежена функція, задана на відрізку [, b] R. Розбиттям відрізка [, b] називають такий набір точок τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b], що = x< x 1 < < x n 1

Лекція Дослідження функції та побудова її графіка Анотація: Функція досліджується на монотонність, екстремум, опуклість-увігнутість, на існування асимптот Наводиться приклад дослідження функції, що будується

Тема. функція. Методи завдання. Неявна функція. Зворотній функції. Класифікація функцій Елементи теорії множин. Основні поняття Одним із основних понять сучасної математики є поняття множини.

Тема 2.1 Числові функції. Функція, її властивості та графік Нехай X і Y Деякі числові множини Якщо кожному за деяким правилом F ставиться у відповідність єдиний елемент, то кажуть, що Задано

Алгебра та початку аналізу, ХI АЛГЕБРА І ПОЧАТКУ АНАЛІЗУ За Положенням про державну (підсумкову) атестацію випускників XI(XII) класів загальноосвітніх установ Російської Федерації учні здають

Л.А. Штраус, І.В. Баринова Завдання з параметром в ЄДІ Методичні поради y=-x 0 -a- -a х -5 Ульяновськ 05 Штраус Л.А. Завдання з параметром у ЄДІ [Текст]: методичні рекомендації/Л.А. Штраус, І.В.

Глава 3. Дослідження функцій з допомогою похідних 3.1. Екстремуми та монотонність Розглянемо функцію y = f(), визначену на деякому інтервалі I R. Кажуть, що вона має локальний максимум у точці

Тема. Логарифмічні рівняння, нерівності та системи рівнянь I. Загальні вказівки 1. У процесі роботи над темою, розбираючи приклади та самостійно вирішуючи запропоновані завдання, постарайтеся у кожному випадку

Що вивчатимемо: Урок на тему: Знаходження точок екстремумів функцій. 1. Введення. 2) Точки мінімуму та максимуму. 3) Екстремум функції. 4) Як обчислювати екстремуми? 5) Приклади Хлопці, давайте подивимося

1 СА Лавренченко Лекція 13 Показові та логарифмічні функції 1 Поняття показової функції Визначення 11 Показовою функцією називається функція виду основа позитивна константа, де функція

Вебінар 5 Тема: Повторення Підготовка до ЄДІ (завдання 8) Завдання 8 Знайдіть усі значення параметра a, при кожному з яких рівняння a a 0 має сім або вісім рішень Нехай, тоді t t Вихідне рівняння

Московський державний технічний університет імені Н.Е. Баумана Факультет «Фундаментальні науки» Кафедра «Математичне моделювання» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Загальні відомості Завдання з параметрами рівняння з модулем задачі типу завдань С 5 1 Підготовка до ЄДІ Діхтяр М.Б. 1. Абсолютною величиною, або модулем числа х, називається саме число х, якщо х 0; число x,

І. В. Яковлєв Матеріали з математики MathUs.ru Логарифм У цій статті ми даємо визначення логарифму, виводимо основні логарифмічні формули, наводимо приклади обчислень з логарифмами, а також розглядаємо

13. Приватні похідні вищих порядків Нехай = має і визначені на D O. Функції називають також приватними похідними першого порядку функції або першими приватними похідними функції. та загалом

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої освіти «НИЖЕМІСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ Р Е

ЗМІСТ АЛГЕБРУ І ПОЧАТКУ АНАЛІЗУ ФУНКЦІЇ...10 Основні властивості функцій...11 Парність і непарність...11 Періодичність...12 Нулі функції...12 Монотонність (зростання, спадання)...13 Екстремуми (максимуми)

ВСТУП У МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ Лекція. Поняття множини. Визначення функції основних властивостей. Основні елементарні функції ЗМІСТ: Елементи теорії множин Безліч дійсних чисел Числова

Тема 36 «Властивості функцій» Властивості функції розберемо на прикладі графіка довільної функції y = f(x): 1. Область визначення функції це безліч усіх значень змінної x, які мають відповідні

Асимптоти Графік функції Декартова система координат Дробно-лінійна функція Квадратний тричлен Лінійна функція Локальний екстремум Безліч значень квадратного тричлена Множина значень функції

Уральський федеральний університет, Інститут математики та комп'ютерних наук, кафедра алгебри та дискретної математики Вступні зауваження Ця лекція присвячена вивченню площини. Викладений у ній матеріал

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ 1. Основні поняття Диференціальним рівнянням щодо деякої функції називається рівняння, що пов'язує цю функцію з її незалежними перемпними і з її похідними.

МАТЕМАТИКА ЄДІ Завдання С5 7 Нерівності (метод областей) Вказівки та рішення Довідковий матеріал Джерела Корянов А Г г Брянськ Зауваження та побажання надсилайте на адресу: [email protected]ЗАВДАННЯ З ПАРАМЕТРАМИ

Тема 41 «Завдання з параметром» Основні формулювання завдань з параметром: 1) Знайти всі значення параметра, при кожному з яких виконується певна умова.) Розв'язати рівняння чи нерівність з

Тема 39. «Виробні функції» Функція Похідної функції у точці х 0 називається межа відношення збільшення функції до збільшення змінної, тобто = lim = lim + () Таблиця похідних: Похідна

Кафедра математики та інформатики Елементи вищої математики Навчально-методичний комплекс для студентів СПО, які навчаються із застосуванням дистанційних технологій Модуль Теорія меж Упорядник: доцент

Похідна функції Її геометричний та фізичний зміст Техніка диференціювання Основні визначення Нехай f () визначена на (,) a, b деяка фіксована точка, збільшення аргументу в точці,

Диференціювання неявно заданої функції Розглянемо функцію (,) = C (C = const) Це рівняння задає неявну функцію () Припустимо, ми вирішили це рівняння і знайшли явний вираз = () Тепер можна

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Ярославський державний університет ім ПГ Демидова Кафедра дискретного аналізу

Крайова науково-практична конференція навчально-дослідних та проектних робіт учнів 6-11 класів «Прикладні та фундаментальні питання математики» Методичні аспекти вивчення математики Використання

Межі та безперервність. Межа функції Нехай функція = f) визначена в околицях точки = a. При цьому в самій точці функція не обов'язково визначена. Визначення. Число b називається межею

Єдиний державний іспит з математики, 7 рік демонстраційна версія Частина A Знайдіть значення виразу 6p p при p = Рішення Використовуємо властивість ступеня: Підставимо в отриманий вираз Правильний

0.5 Логарифмічні рівняння та нерівності. Використовувана література:. Алгебра та початку аналізу 0- під редакцією А.Н.Колмогорова. Самостійні та контрольні роботи з алгебри 0- під редакцією Є.П.Єршова

Система завдань на тему «Рівняння дотичної» Визначте знак кутового коефіцієнта дотичної, проведеної до графіка функції y f (), у точках з абсцисами a, b, c а) б) Вкажіть точки, в яких похідна

Нерівності з параметром на єдиному державному іспиті ВВ Сильвестров Завдання єдиного державного іспиту (ЄДІ) неодмінно містять завдання з параметрами Планом екзаменаційної роботи 008 року

Алгебраїчні рівняння де Визначення. Алгебраїчним називається рівняння виду 0, P() 0, деякі дійсні числа. 0 0 У цьому змінна величина називається невідомим, а числа 0, коефіцієнтами

Рівняння прямої та площини Рівняння прямої на площині. Загальне рівняння прямої. Ознака паралельності та перпендикулярності прямих. У декартових координатах кожна пряма на площині Oxy визначається

Графік похідної функції Проміжки монотонності функції Приклад 1. На малюнку зображено графік y = f (x) похідної функції f (x), визначеної на інтервалі (1; 13). Знайдіть проміжки зростання функції

Зразки базових завдань та питань щодо МА за семестр Межа послідовності Найпростіші Обчисліть межу послідовності l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2

Завдання по аналітичній геометрії мех-мат МДУ Завдання Даний тетраедр O Виразити через вектори O O O вектор EF з початком у середині E ребра O і кінцем у точці F перетину медіан трикутника Рішення Нехай

Постановка задачі Метод половинного поділу Метод хорд (метод пропорційних частин 4 Метод Ньютона (метод дотичних 5 Метод ітерацій (метод послідовних наближень) Постановка задачі Нехай дано

1. Вирази та перетворення 1.1 Корінь ступеня n Поняття кореня ступеня n Властивості кореня ступеня n: Корінь із добутку та добутку коріння: спрощувати вираз; знаходити значення Корінь із приватного

лекція N4. Диференціал функції першого та вищих порядків. Інваріантність форми диференціалу. Похідні найвищих порядків. Застосування диференціала у наближених обчисленнях. 1.Поняття диференціала.

МОДУЛЬ 7 «Показова та логарифмічна функції». Узагальнення поняття ступеня. Корінь й ступеня та його властивості. Ірраціональні рівняння. Ступінь з раціональним показником. Показова функція.

13. Експонента та логарифм Для завершення доказу пропозиції 12.8 нам залишається дати одну ухвалу та довести одну пропозицію. Визначення 13.1. Ряд a i називається абсолютно схожим, якщо

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ СПЕЦІАЛІЗОВАНИЙ НАВЧАЛЬНО-НАУКОВИЙ ЦЕНТР Математика 10 клас ДОСЛІДЖЕННЯ

Лекція N. Скалярне поле. Похідна за напрямком. Градієнт. Дотична площина та нормаль до поверхні. Екстремуми функції багатьох змінних. Умовний екстремум. Скалярне поле. Похідна по

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ СПЕЦІАЛІЗОВАНИЙ НАВЧАЛЬНО-НАУКОВИЙ ЦЕНТР Математика 0 клас МЕЖІ

Припустимо, що ми маємо якусь функцію y = f (x) , яка є строго монотонною (зменшуваною або зростаючою) і безперервною на ділянці визначення x ∈ a ; b; область її значень y ∈ c; d, але в інтервалі c; d при цьому у нас буде визначено функцію x = g (y) з областю значень a ; b. Друга функція також буде безперервною та строго монотонною. По відношенню до y = f(x) вона буде зворотною функцією. Тобто ми можемо говорити про зворотну функцію x = g (y) тоді, коли y = f (x) на заданому інтервалі або зменшуватиметься, або зростатиме.

Дві ці функції, f і g, будуть взаємно зворотні.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Навіщо нам потрібно поняття зворотних функцій?

Це потрібно нам для розв'язання рівнянь y = f(x) , які записуються саме за допомогою цих виразів.

Допустимо, нам потрібно знайти рішення рівняння cos(x) = 1 3 . Його рішеннями будуть дві точки: x = ± r c o c s 1 3 + 2 π · k , k ∈ Z

Зворотними по відношенню одна до одної будуть, наприклад, функції арккосинусу та косинуса.

Розберемо кілька завдань перебування функцій, зворотних заданим.

Приклад 1

Умова:яка функція буде зворотною для y = 3 x + 2?

Рішення

Область визначень і область значень функції, заданої умові, – це безліч всіх дійсних чисел. Спробуємо вирішити дане рівняння через x, тобто виразивши x через y.

Ми отримаємо x = 13y-23. Це і є потрібна нам зворотна функція, але тут буде аргументом, а x - функцією. Переставимо їх, щоб отримати більш звичну форму запису:

Відповідь:функція y = 1 3 x - 2 3 буде зворотною для y = 3 x + 2.

Обидві взаємно зворотні функції можна відобразити на графіку таким чином:

Ми бачимо симетричність обох графіків щодо y = x. Ця пряма є бісектрисою першого та третього квадрантів. Вийшов доказ однієї з властивостей взаємно зворотних функцій, про яку ми поговоримо далі.

Візьмемо приклад, у якому потрібно знайти логарифмічну функцію, обернену до заданої показової.

Приклад 2

Умова:визначте, яка функція буде зворотною для y = 2 x .

Рішення

Для заданої функції областю визначення є дійсні числа. Область значень лежить в інтервалі 0; + ∞. Тепер нам потрібно виразити x через y, тобто вирішити зазначене рівняння через x. Ми отримуємо x = log 2 y. Переставимо змінні та отримаємо y = log 2 x.

У результаті ми вийшли показова і логарифмічна функції, які будуть взаємно зворотними одне одному по всій області визначення.

Відповідь: y = log 2 x.

На графіку обидві функції виглядатимуть так:

Основні властивості взаємно зворотних функцій

У цьому пункті ми перерахуємо основні властивості функцій y = f (x) і x = g (y), що є взаємно оберненими.

Визначення 1

Першу властивість ми вже вивели раніше: y = f(g(y)) та x = g(f(x)).
Друга властивість випливає з першого: область визначення y = f (x) буде збігатися з областю значень зворотної функції x = g (y) і навпаки.
Графіки функцій, що є зворотними, будуть симетричними щодо y = x.
Якщо y = f(x) є зростаючою, то і x = g(y) зростатиме, а якщо y = f(x) зменшується, то зменшується і x = g(y) .

Радимо уважно поставитися до понять області визначення та області значення функцій і ніколи їх не плутати. Припустимо, що ми маємо дві взаємно зворотні функції y = f (x) = a x і x = g (y) = log a y . Відповідно до першої властивості, y = f (g (y)) = a log a y. Ця рівність буде вірною лише у разі позитивних значень y , а для негативних логарифм не визначено, тому не поспішайте записувати, що a log a y = y . Обов'язково перевірте та додайте, що це вірно тільки при позитивному y .

А ось рівність x = f (g (x)) = log a a x = x буде вірною за будь-яких дійсних значень x .

Не забувайте про цей момент, особливо якщо доводиться працювати з тригонометричними та зворотними тригонометричними функціями. Так, a r sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3 , тому що область значень арксинусу - π 2 ; π 2 і 7 π 3 до неї не входить. Вірною буде запис

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = п о ф о р м у л е п р і ви д е н і я = a r c sin sin π 3 = π 3

І це sin a r c sin 1 3 = 1 3 – правильне рівність, тобто. sin (a r c sin x) = x при x ∈ - 1; 1 та a r c sin (sin x) = x при x ∈ - π 2; π 2 . Завжди будьте уважні з областю значень та областю визначення зворотних функцій!

Основні взаємно зворотні функції: статечні

Якщо ми маємо статечну функцію y = x a , то при x > 0 статечна функція x = y 1 a також буде зворотною їй. Замінимо літери та отримаємо відповідно y = x a і x = y 1 a.

На графіку вони будуть виглядати наступним чином (випадки з позитивним та негативним коефіцієнтом a):

Основні взаємно зворотні функції: показові та логарифмічні

Візьмемо a, яке буде позитивним числом, яке не дорівнює 1 .

Графіки для функцій з a > 1 та a< 1 будут выглядеть так:

Основні взаємно зворотні функції: тригонометричні та зворотні тригонометричні

Якщо нам потрібно побудувати графік головної гілки синуса та арксинусу, він виглядатиме таким чином (показаний виділеною світлою областю).

Визначення зворотної функції та її властивості: лема про взаємну монотонність прямої та зворотної функцій; симетрія графіків прямої та зворотної функцій; теореми про існування та безперервність зворотної функції для функції, суворо монотонної на відрізку, інтервалі та напівінтервалі. Приклади зворотних функцій. Приклад розв'язання задачі. Докази властивостей та теорем.

Визначення та властивості

Визначення зворотної функції
Нехай функція має область визначення X та безліч значень Y . І нехай вона має властивість:
для всіх .
Тоді для будь-якого елемента з множини Y можна поставити у відповідність тільки один елемент множини X, для якого. Така відповідність визначає функцію, яка називається зворотною функцієюдо. Зворотна функція позначається так:
.

З визначення випливає, що
;
для всіх ;
для всіх .

Властивість про симетрію графіків прямої та зворотної функцій
Графіки прямої та зворотної функцій симетричні щодо прямої.

Теорема про існування та безперервність зворотної функції на відрізку
Нехай функція безперервна і строго зростає (зменшується) на відрізку . Тоді на відрізку визначена і безперервна зворотна функція, яка строго зростає (зменшується).

Для зростаючої функції. Для спадної - .

Теорема про існування та безперервність зворотної функції на інтервалі
Нехай функція безперервна і строго зростає (зменшується) на відкритому кінцевому чи нескінченному інтервалі. Тоді на інтервалі визначено і безперервну зворотну функцію, яка строго зростає (зменшується).

Для зростаючої функції.
Для спадної: .

Аналогічним чином можна сформулювати теорему про існування та безперервність зворотної функції на напівінтервалі.

Якщо функція безперервна і строго зростає (зменшується) на напівінтервалі або , то на напівінтервалі або визначена зворотна функція , яка строго зростає (зменшується). Тут.

Якщо строго зростає, то інтервалам відповідають інтервали і . Якщо суворо зменшується, то інтервалам і відповідають інтервали та .
Ця теорема доводиться тим самим способом, як і теорема про існування і безперервності зворотної функції на інтервалі.

Приклади зворотних функцій

Арксинус

Графіки y = sin xта зворотної функції y = arcsin x.

Розглянемо тригонометричну функцію синус: . Вона визначена і безперервна всім значень аргументу , але є монотонної. Однак, якщо звузити область визначення, можна виділити монотонні ділянки. Так, на відрізку , функція визначена, безперервна, строго зростає та набуває значення від -1 до +1 . Тому має у ньому зворотну функцію, яку називають арксинусом. Арксинус має область визначення та безліч значень.

Логарифм

Графіки y = 2 xта зворотної функції y = log 2 x.

Показова функція визначена, безперервна і строго зростає за всіх значень аргументу. Безліч її значень є відкритий інтервал. Зворотною функцією є логарифм на підставі два. Він має область визначення та безліч значень.

Квадратний корінь

Графіки y = x 2 та зворотної функції.

Ступенева функція визначена і безперервна всім . Безліч її значень є напівінтервал. Але вона не є монотонною за всіх значень аргументу. Проте, на напівінтервалі вона безперервна і монотонно зростає. Тому якщо, як область визначення, взяти безліч, то існує зворотна функція, яка називається квадратним коренем. Зворотна функція має область визначення та безліч значень.

приклад. Доказ існування та єдиності кореня ступеня n

Доведіть, що рівняння , де n – натуральне, – дійсне невід'ємне число, має єдине рішення на безлічі дійсних чисел, . Це рішення називається коренем ступеня n з числа a. Тобто треба показати, що будь-яке невід'ємне число має єдиний корінь ступеня n.

Розглянемо функцію від змінної x:
(П1) .

Доведемо, що вона безперервна.
Використовуючи визначення безперервності, покажемо, що
.
Застосовуємо формулу бінома Ньютона:
(П2)
.
Застосуємо арифметичні властивості меж функції. Оскільки , то від нуля тільки перший доданок:
.
Безперервність доведено.

Доведемо, що функція (П1) строго зростає при .
Візьмемо довільні числа, пов'язані нерівностями:
, , .
Нам потрібно показати, що . Введемо змінні. Тоді. Оскільки , то з (П2) видно, що . Або
.
Суворе зростання доведено.

Знайдемо безліч значень функції при .
У точці, .
Знайдемо межу.
Для цього застосуємо нерівність Бернуллі. При маємо:
.
Оскільки, то й.
Застосовуючи властивість нерівностей нескінченно великих функцій знаходимо, що .
Таким чином, , .

Відповідно до теореми про зворотну функцію, на інтервалі визначена і безперервна зворотна функція . Тобто для будь-кого існує єдине, що задовольняє рівняння. Оскільки у нас , то це означає, що для будь - якого рівняння має єдине рішення, яке називають коренем ступеня n з числа x :
.

Докази властивостей та теорем

Доказ леми про взаємну монотонність прямої та зворотної функцій

Нехай функція має область визначення X та безліч значень Y . Доведемо, що має зворотну функцію. Виходячи з , нам потрібно довести, що
для всіх .

Допустимо неприємне. Нехай існують числа, отже. Нехай при цьому. Інакше поміняємо позначення, щоб було . Тоді, в силу суворої монотонності f повинна виконуватися одна з нерівностей:
якщо f строго зростає;
якщо f суворо зменшується.
Тобто . Виникла суперечність. Отже, має зворотну функцію .

Нехай функція строго зростає. Доведемо, як і зворотна функція також строго зростає. Введемо позначення:
. Тобто нам потрібно довести, що якщо , то .

Допустимо неприємне. Нехай, але.

Якщо то . Цей випадок відпадає.

Нехай. Тоді, в силу суворого зростання функції , , або . Виникла суперечність. Тому можливий лише випадок.

Для строго зростаючої функції лема доведена. Аналогічним чином можна довести цю лему і для строго спадної функції.

Доказ властивості про симетрію графіків прямої та зворотної функцій

Нехай - довільна точка графіка прямої функції:
(2.1) .
Покажемо, що точка , симетрична точці A щодо прямої , належить графіку зворотної функції :
.
З визначення зворотної функції випливає, що
(2.2) .
Отже, нам треба показати (2.2).

Графік зворотної функції y = f -1 (x)симетричний графіку прямої функції y = f (x)щодо прямої y = x.

З точок A та S опустимо перпендикуляри на осі координат. Тоді
, .

Через точку A проводимо пряму, перпендикулярну до прямої . Нехай прямі перетинаються у точці C . На прямій будуємо точку S так, щоб . Тоді точка S буде симетрична точці A щодо прямої.

Розглянемо трикутники та . Вони мають дві рівні по довжині сторони: і , і рівні кути між ними: . Тому вони конгруентні. Тоді
.

Розглянемо трикутник. Оскільки , то
.
Те саме стосується трикутника :
.
Тоді
.

Тепер знаходимо і:
;
.

Отже, рівняння (2.2):
(2.2)
виконується, оскільки , і виконується (2.1):
(2.1) .

Оскільки ми вибрали точку A довільно, це стосується всіх точок графіка :
всі точки графіка функції, симетрично відбиті щодо прямої, належать графіку зворотної функції.
Далі ми можемо поміняти місцями. В результаті отримаємо, що
всі точки графіка функції, симетрично відбиті щодо прямої, належать графіку функції.
Звідси випливає, що графіки функцій і симетричні щодо прямої .

Властивість доведено.

Доказ теореми про існування та безперервність зворотної функції на відрізку

Нехай позначає область визначення функції-відрізок.

1. Покажемо, що безліччю значень функції є відрізок:
,
де.

Дійсно, оскільки функція безперервна на відрізку, то за теоремою Вейєрштраса вона досягає на ньому мінімуму і максимуму. Тоді за теоремою Больцано-Коші функція набуває всіх значень з відрізка. Тобто для будь-кого існує, для якого. Оскільки і є мінімум і максимум, то функція набирає на відрізку тільки значення з безлічі .

2. Оскільки функція строго монотонна, то згідно з вищенаведеною , існує зворотна функція , яка також суворо монотонна (зростає, якщо зростає ; і убуває, якщо убує ). Області визначення зворотної функції є безліч, а безліччю значень - безліч.

3. Тепер доведемо, що зворотна функція безперервна.

3.1. Нехай є довільна внутрішня точка відрізка: . Доведемо, що зворотна функція безперервна у цій точці.

Нехай їй відповідає крапка. Оскільки зворотна функція строго монотонна, тобто внутрішня точка відрізка:
.
Відповідно до визначення безперервності нам потрібно довести, що для будь-якого є така функція, при якій
(3.1) для всіх .

Зауважимо, що ми можемо взяти скільки завгодно малим. Дійсно, якщо ми знайшли таку функцію , коли нерівності (3.1) виконуються при досить малих значеннях , вони автоматично виконуватися і за будь-яких великих значеннях , якщо покласти при .

Візьмемо настільки малим, щоб точки і належали відрізку:
.
Введемо та впорядкуємо позначення:

.

Перетворимо першу нерівність (3.1):
(3.1) для всіх .
;
;
;
(3.2) .
Оскільки суворо монотонна, то звідси випливає, що
(3.3.1) якщо зростає;
(3.3.2) , якщо зменшується.
Оскільки зворотна функція також суворо монотонна, з нерівностей (3.3) випливають нерівності (3.2).

Для будь-якого ε > 0 існує δ, отже |f -1 (у) - f -1 (у 0) |< ε всім |y - y 0 | < δ .

Нерівності (3.3) визначають відкритий інтервал, кінці якого віддалені від точки на відстані та . Нехай є найменша з цих відстаней:
.
У силу суворої монотонності , , . Тому і. Тоді інтервал лежатиме в інтервалі, що визначається нерівностями (3.3). І для всіх значень, що належать йому виконуватимуться нерівності (3.2).

Отже, ми виявили, що для досить малого , існує , так що
при .
Тепер змінимо позначення.
Для досить малого існує таке, так що
при .
Це означає, що функція зворотна безперервна у внутрішніх точках .

3.2. Тепер розглянемо кінці області визначення. Тут усі міркування залишаються тими самими. Тільки треба розглядати односторонні околиці цих точок. Замість крапки буде або , а замість крапки - або .

Так, для зростаючої функції , .
при .
Зворотна функція безперервна в точці, оскільки для будь-якого досить малого є, так що
при .

Для спадної функції , .
Зворотна функція безперервна в точці, оскільки для будь-якого досить малого є, так що
при .
Зворотна функція безперервна в точці, оскільки для будь-якого досить малого є, так що
при .

Теорему доведено.

Доказ теореми про існування та безперервність зворотної функції на інтервалі

Нехай позначає область визначення функції - відкритий інтервал. Нехай – безліч її значень. Згідно з наведеною вище, існує зворотна функція, яка має область визначення, безліч значень і є строго монотонною (зростає якщо зростає і зменшується, якщо зменшується). Нам залишилося довести, що
1) безліччю є відкритий інтервал, і що
2) зворотна функція безперервна у ньому.
Тут.

1. Покажемо, що безліччю значень функції є відкритий інтервал:
.

Як і всяка непорожня множина, елементи якої мають операцію порівняння, безліч значень функції має нижню та верхню грані:
.
Тут можуть бути кінцевими числами чи символами і .

1.1. Покажемо, що точки не належать безлічі значень функції. Тобто безліч значень не може бути відрізком.

Якщо чи є нескінченно віддаленою точкою: або , то така точка не є елементом множини. Тому вона не може належати безлічі значень.

Нехай (або) є кінцевим числом. Допустимо неприємне. Нехай точка (або ) належить безлічі значень функції. Тобто існує таке , для якого (або). Візьмемо точки і , що задовольняють нерівності:
.
Оскільки функція строго монотонна, то
якщо f зростає;
якщо f зменшується.
Тобто ми знайшли точку, значення функції в якій менше (більше ). Але це суперечить визначенню нижньої (верхньої) грані, згідно з яким
для всіх .
Тому точки і не можуть належати безлічі значень функції .

1.2. Тепер покажемо, що багато значень є інтервалом , а не об'єднанням інтервалів та точок. Тобто для будь-якої точки існує , для котрого .

Згідно з визначеннями нижньої та верхньої граней, у будь-якій околиці точок і міститься хоча б один елемент множини . Нехай - довільне число, що належить інтервалу : . Тоді для околиці існує , для котрого
.
Для околиці існує , для котрого
.

Оскільки і , то . Тоді
(4.1.1) якщо зростає;
(4.1.2) якщо зменшується.
Нерівності (4.1) легко довести протилежного. Але можна скористатися , згідно з якою на безлічі існує зворотна функція , яка строго зростає, якщо зростає і суворо зменшується, якщо зменшується . Тоді одразу отримуємо нерівності (4.1).

Отже, ми маємо відрізок , де якщо зростає;
якщо зменшується.
На кінцях відрізка функція набуває значення і . Оскільки , то за теоремою Больцано-Коші, існує точка , для котрої .

Оскільки , то тим самим ми показали, що для будь-кого існує , для котрого . Це означає, що безліччю значень функції є відкритий інтервал .

2. Тепер покажемо, що зворотна функція безперервна у довільній точці інтервалу : . Для цього застосуємо до відрізка . Оскільки , то зворотна функція безперервна на відрізку , у тому числі і в точці .

Теорему доведено.

Використана література:
О.І. Бісів. Лекції з математичного аналізу. Частина 1. Москва, 2004.
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.