Як виглядає графік статечної функції. Знаменник дробового показника – парний

Нагадаємо властивості та графіки статечних функцій з цілим негативним показником.

При парних n, :

Приклад функції:

Усі графіки таких функцій проходять через дві фіксовані точки: (1; 1), (-1; 1). Особливість функцій цього виду - їх парність, графіки симетричні щодо осі ОУ.

Мал. 1. Графік функції

При непарних n, :

Приклад функції:

Усі графіки таких функцій проходять через дві фіксовані точки: (1; 1), (-1; -1). Особливість функцій цього виду - їх непарність, графіки симетричні щодо початку координат.

Мал. 2. Графік функції

Нагадаємо основне визначення.

Ступенем невід'ємного числа з раціональним позитивним показником називається число .

Ступенем позитивного числа з раціональним негативним показником називається число .

Для виконується рівність:

Наприклад: ; - Вираз не існує за визначенням ступеня з негативним раціональним показником; існує, тому що показник ступеня цілий,

Перейдемо до розгляду статечних функцій із раціональним негативним показником.

Наприклад:

Для побудови графіка цієї функції можна скласти таблицю. Ми зробимо інакше: спочатку побудуємо та вивчимо графік знаменника – він нам відомий (рисунок 3).

Мал. 3. Графік функції

Графік функції знаменника проходить через фіксовану точку (1; 1). При побудові графіка вихідної функції ця точка залишається, при корінь також прагне нулю, функція прагне нескінченності. І, навпаки, при прагненні х до нескінченності функція прагне нуля (рисунок 4).

Мал. 4. Графік функції

Розглянемо ще одну функцію із сімейства досліджуваних функцій.

Важливо, що за визначенням

Розглянемо графік функції, що стоїть у знаменнику: , графік цієї функції нам відомий, вона зростає у своїй області визначення і проходить через точку (1;1) (рисунок 5).

Мал. 5. Графік функції

При побудові графіка вихідної функції точка (1;1) залишається, при корінь також прагне нулю, функція прагне нескінченності. І, навпаки, при прагненні х до нескінченності функція прагне нуля (рисунок 6).

Мал. 6. Графік функції

Розглянуті приклади допомагають зрозуміти, яким чином проходить графік і які властивості функції, що вивчається - функції з негативним раціональним показником.

Графіки функцій даного сімейства проходять через точку (1;1), функція зменшується по всій області визначення.

Область визначення функції:

Функція не обмежена згори, але знизу. Функція немає ні найбільшого, ні найменшого значення.

Функція безперервна, набуває всіх позитивних значень від нуля до плюс нескінченності.

Функція опукла вниз (рисунок 15.7)

На кривій взяті точки А і В, через них проведений відрізок, вся крива знаходиться нижче відрізка, дана умова виконується для двох точок на кривій, отже функція випукла вниз. Мал. 7.

Мал. 7. Випуклість функції

Важливо зрозуміти, що функції даного сімейства обмежені знизу банкрутом, але найменшого значення немає.

Приклад 1 - знайти максимум і мінімум функції на інтервалі та зростає на проміжку)