Метод множників Лагранжа приклади. Метод множників Лагранжа
Рішення. Знайдемо екстремум функції F(X) = 9 x 1 +x 1 2 +6 x 2 +x 2 2 , використовуючи функцію Лагранжа:
де
- Цільова функція вектора.
- обмеження у неявному вигляді (i=1..n)
В якості цільової функції, Що підлягає оптимізації, в цьому завданні виступає функція:
F(X) = 9 x 1 +x 1 2 +6 x 2 +x 2 2
Перепишемо обмеження завдання у неявному вигляді:
Складемо допоміжну функцію Лагранжа:
= 9 x 1 +x 1 2 +6 x 2 +x 2 2 + λ(x 1 +x 2 -150)
Необхідною умовою екстремуму функції Лагранжа є рівність нуля її похідних по змінних х i і невизначеному множнику λ.
Складемо систему:
∂L/∂x 1 = 2 x 1 +λ+9 = 0
∂L/∂x 2 = λ+2 x 2 +6 = 0
∂F/∂λ = x 1 +x 2 -150= 0
Систему вирішуємо за допомогою методу Гауса або використовуючи формули Крамера.
Запишемо систему у вигляді: 
Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями: 
Додамо 2-й рядок до 1-го:
Помножимо 2-й рядок на (2). Помножимо 3-й рядок на (-1). Додамо 3-й рядок до 2-го: 
Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-й рядок до 1-го: 
З першого рядка висловлюємо x 3
З другого рядка виражаємо x 2
З 3-го рядка виражаємо x 1
Таким чином, щоб загальні витрати виробництва були мінімальними, необхідно виробляти x 1 = 74.25; х 2 = 75.75.
Завдання. За планом виробництва продукції підприємству необхідно виготовити 50 виробів. Ці вироби можуть бути зроблені двома технологічними методами. При виробництві x 1 - виробів 1-им способом витрати дорівнюють 3x 1 +x 1 2 (т. руб.), а при виготовленні x 2 - виробів 2-им способом вони становитимуть 5x 2 +x 2 2 (т. руб.) . Визначити, скільки виробів кожним із способів необхідно виготовити, щоб загальні витрати на виробництво були мінімальними.
Рішення: складаємо цільову функцію та обмеження:
F(X) = 3x 1 +x 1 2 + 5x 2 +x 2 2 → min
x 1 +x 2 = 50
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)
полягає у заміні довільних постійних ck у загальному рішенні
z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...
Cnzn(t)
відповідного однорідного рівняння
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0
на допоміжні функції ck(t), похідні яких задовольняють лінійній системі алгебри
Визначником системи (1) служить вронскіан функцій z1,z2,...,zn, що забезпечує її однозначну роздільну здатність щодо .
Якщо - первісні для , взяті при фіксованих постійних значеннях інтегрування, то функція
є рішенням вихідного неоднорідного лінійного диференціального рівняння. Інтегрування неоднорідного рівнянняза наявності загального розв'язання відповідного однорідного рівняння зводиться таким чином до квадратур.
Метод Лагранжа (метод варіації довільних постійних)
Метод отримання загального рішення неоднорідного рівняння, знаючи загальне рішення однорідного рівняння без перебування приватного решения.
Для лінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1(x) y" + an(x) y = 0,
де y = y(x) – невідома функція, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) – відомі, безперервні, справедливо: 1) існують n лінійно незалежних рішень рівняння y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) за будь-яких значень констант c1, c2, ..., cn функція y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) є рішенням рівняння; 3) для будь-яких початкових значень x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 існують такі значення c*1, c*n, ..., c*n, що рішення y*(x)=c*1 y1(x ) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn(x) задовольняє при x = x0 початковим умовам y*(x0)=y0, (y*)"(x0)=y0,1, ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
Вираз y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) називається загальним рішеннямлінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку
Сукупність n лінійно незалежних рішень лінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку y1(x), y2(x), ..., yn(x) називається фундаментальною системою рішень рівняння.
Для лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтамиІснує простий алгоритм побудови фундаментальної системи рішень. Шукатимемо рішення рівняння у вигляді y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx)" + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, тобто число l є коренем характеристичного рівняння ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Ліва частина характеристичного рівняння називається характеристичним багаточленом лінійного диференціального рівняння: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Таким чином, завдання про рішення лінійного однорідного рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами зводиться до розв'язання рівня алгебри.
Якщо характеристичне рівняння має n різних дійсних коренів l1№ l2 № ... № ln, то фундаментальна система рішень складається з функцій y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), ..., yn (x) = exp (lnx), і загальне рішення однорідного рівняння має вигляд: y (x) = c1 exp (l1x) + c2 exp (l2x) + ... + cn exp (lnx).
ундаментальна система рішень та загальне рішення для випадку простих дійсних коренів.
Якщо якесь із дійсних коренів характеристичного рівняння повторюється r разів (r-кратний корінь), то в фундаментальній системі рішень йому відповідають r функцій; якщо lk=lk+1 = ... = lk+r-1, то фундаментальну системурішень рівняння входять r функцій: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r-1( x) = xr-1 exp (lnx).
ПРИКЛАД 2. Фундаментальна система рішень та загальне рішення для випадку кратного дійсного коріння.
Якщо характеристичне рівняння має комплексне коріння, то кожній парі простих (мають кратність 1) комплексного коріння lk,k+1=ak ± ibk у фундаментальній системі рішень відповідає пара функцій yk(x) = exp(akx)cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).
ПРИКЛАД 4. Фундаментальна система рішень та загальне рішення для випадку простих комплексних коренів. Уявне коріння.
Якщо ж комплексна пара коренів має кратність r, то такий парі lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, у фундаментальній системі рішень відповідають функції exp(akx)cos(bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), ........ ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).
ПРИКЛАД 5. Фундаментальна система рішень та загальне рішення для випадку кратного комплексного коріння.
Таким чином, для віднайдення загального рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами слід записати характеристичне рівняння; знайти всі коріння характеристичного рівняння l1, l2, ..., ln; записати фундаментальну систему розв'язків y1(x), y2(x), ..., yn(x); записати вираз для загального рішення y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Для вирішення задачі Коші потрібно підставити вираз для загального рішення в початкові умови та визначити значення постійних c1,..., cn, які є рішеннями системи лінійних алгебраїчних рівнянь c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1
Для лінійного неоднорідного диференціального рівняння n-го порядку
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1(x) y" + an(x) y = f(x),
де y = y(x) - невідома функція, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) - відомі, безперервні, справедливо: 1) якщо y1(x) та y2(x) - два розв'язки неоднорідного рівняння, то функція y(x) = y1(x) - y2(x) - розв'язання відповідного однорідного рівняння; 2) якщо y1(x) розв'язання неоднорідного рівняння, а y2(x) - розв'язання відповідного однорідного рівняння, то функція y(x) = y1(x) + y2(x) - розв'язання неоднорідного рівняння; 3) якщо y1(x), y2(x), ..., yn(x) - n лінійно незалежних рішень однорідного рівняння, а yч(x) - довільне рішеннянеоднорідного рівняння, то будь-яких початкових значень x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 існують такі значення c*1, c*n, ..., c*n, що рішення y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn(x) + yч(x) задовольняє при x = x0 початковим умовам y*(x0)=y0, ( y*)"(x0)=y0,1, ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
Вираз y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) називається загальним рішенням лінійного неоднорідного диференціального рівняння n-го порядку.
Для пошуку приватних рішень неоднорідних диференціальних рівняньз постійними коефіцієнтами з правими частинами виду: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), де Pk(x), Qm(x) - багаточлени ступеня k і m відповідно, простий алгоритм побудови приватного рішення, званий методом підбору.
Метод підбору, чи метод невизначених коефіцієнтів, ось у чому. Розв'язання, що шукається, записується у вигляді: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, де Pr(x), Qr(x) - багаточлени ступеня r = max(k, m) з невідомими коефіцієнтами pr, pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Співмножник xs називають резонансним помножувачем. Резонанс має місце у випадках, коли серед коренів характеристичного рівняння є корінь l=a±ib кратності s. Тобто. якщо серед коренів характеристичного рівняння відповідного однорідного рівняння є така, що його дійсна частина збігається з коефіцієнтом у показнику ступеня експоненти, а уявна - з коефіцієнтом в аргументі тригонометричної функціїу правій частині рівняння, і кратність цього кореня s, то в приватному вирішенні, що шукається, присутній резонансний сомножитель xs. Якщо такого збігу немає (s=0), то резонансний співмножник відсутній.
Підставивши вираз для приватного рішення в ліву частину рівняння, отримаємо узагальнений багаточлен того ж виду, що багаточлен у правій частині рівняння, коефіцієнти якого невідомі.
Два узагальнених многочлена рівні тоді і лише тоді, коли рівні коефіцієнти при співмножниках виду xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) з однаковими ступенями t. Прирівнявши коефіцієнти при таких співмножниках, отримаємо систему 2(r+1) лінійних рівнянь алгебри щодо 2(r+1) невідомих. Можна показати, що така система є спільною і має єдине рішення.
|
Метод Лагранжа─ це метод вирішення задачі умовної оптимізації, при якому обмеження, що записуються як неявні функціїоб'єднуються з цільовою функцією у формі нового рівняння, званого лагранжіаном.
Розглянемо окремий випадок спільного завдання не лінійного програмування:
Дана система нелінійних рівнянь (1):
(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),
Знайти найменше (або найбільше) значення функції (2)
(2) f (х1, х2, ..., хn),
якщо відсутні умови невід'ємності змінних і f(х1, х2, ..., хn) і gi (x1, x2, ..., xn) - функції, безперервні разом зі своїми приватними похідними.
Щоб знайти вирішення цього завдання, можна застосувати наступний метод: 1. Вводять набір змінних λ1, λ2,…, λm, званих множниками Лагранжа, становлять функцію Лагранжа (3)
(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.
2. Знаходять приватні похідні від функції Лагранжа за змінними xi та λi та прирівнюють їх нулю.
3. Вирішуючи систему рівнянь, знаходять точки, у яких цільова функція завдання може мати екстремум.
4. Серед точок, підозрілих не екстремум, знаходять такі, в яких досягається екстремум, і обчислюють значення функції в цих точках .
4. Порівняти отримані значення функції f та вибрати найкраще.
За планом виробництва продукції підприємству необхідно виготовити 180 виробів. Ці вироби можуть бути виготовлені двома технологічними методами. При виробництві х1 виробу I способом витрати дорівнюють 4*х1+х1^2 руб., а при виготовленні х2 виробів II способом вони становлять 8*х2+х2^2 руб. Визначити скільки виробів кожним із способів слід виготовити, так щоб загальні витрати на виробництво продукції були мінімальними.
Рішення: Математична постановка задачі полягає у визначенні найменшого значення функції двох змінних:
f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, за умови x1 +x2 = 180.
Складемо функцію Лагранжа:
F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).
Обчислимо її похідні по х1,х2, λ і прирівняємо їх до 0:
Перенесемо в праві частини перших двох рівнянь і прирівняємо їх ліві частини, отримаємо 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, або x1 − x2 = 2.
Вирішуючи останнє рівняння спільно з рівнянням x1 + x2 = 180, знаходимо x1 = 91, x2 = 89, тобто отримали рішення, що задовольняє умовам:
Знайдемо значення цільової функції f при цих змінних значеннях:
F(x1, x2) = 17278
Ця точка є підозрілою на екстремум. Використовуючи другі приватні похідні, можна показати, що у точці (91,89) функція f має мінімум.
Спочатку розглянемо випадок функції двох змінних. Умовним екстремумом функції $z=f(x,y)$ у точці $M_0(x_0;y_0)$ називається екстремум цієї функції, досягнутий за умови, що змінні $x$ і $y$ в околиці цієї точки задовольняють рівняння зв'язку $\ varphi (x, y) = 0 $.
Назва «умовний» екстремум пов'язана з тим, що на змінні накладено додаткову умову $ Varphi (x, y) = 0 $. Якщо з рівняння зв'язку можна виразити одну змінну через іншу, то завдання визначення умовного екстремуму зводиться до завдання на звичайний екстремум функції однієї змінної. Наприклад, якщо з рівняння зв'язку випливає $y=\psi(x)$, то підставивши $y=\psi(x)$ $z=f(x,y)$, отримаємо функцію однієї змінної $z=f\left (x, \ psi (x) \ right) $. У загальному випадкуПроте такий метод малопридатний, тому потрібно введення нового алгоритму.
Метод множників Лагранжа для функцій двох змінних.
Метод множників Лагранжа полягає в тому, що для відшукання умовного екстремуму складають функцію Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+lambda\varphi(x,y)$ (параметр $lambda$ називають множником Лагранжа ). Необхідні умови екстремуму задаються системою рівнянь, з якої визначаються стаціонарні точки:
$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x, y) = 0. \end(aligned) \right.$$
Достатньою умовою, з якої можна з'ясувати характер екстремуму, є знак $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Якщо стаціонарної точці $d^2F > 0$, то функція $z=f(x,y)$ має у цій точці умовний мінімум, якщо $d^2F< 0$, то условный максимум.
Є й інший спосіб визначення характеру екстремуму. З рівняння зв'язку отримуємо: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_ (y)^("))dx$, тому в будь-якій стаціонарній точці маємо:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \right)$$
Другий помножувач (розташований у дужці) можна представити у такій формі:
Червоним кольором виділено елементи визначника $ \ left | \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$, який є гесіаном функції Лагранжа. Якщо $H > 0$, то $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 $, тобто. маємо умовний мінімум функції $ z = f (x, y) $.
Примітка щодо форми запису визначника $H$. показати\сховати
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$
У цій ситуації сформульоване вище правило зміниться так: якщо $H > 0$, то функція має умовний мінімум, а при $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Алгоритм дослідження функції двох змінних на умовний екстремум
- Скласти функцію Лагранжа $F(x,y)=f(x,y)+lambda\varphi(x,y)$
- Вирішити систему $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x, y) = 0. \end(aligned) \right.$
- Визначити характер екстремуму в кожній із знайдених у попередньому пункті стаціонарних точок. Для цього застосувати будь-який із зазначених способів:
- Скласти визначник $H$ та з'ясувати його знак
- З урахуванням рівняння зв'язку обчислити знак $d^2F$
Метод множників Лагранжа для функцій n змінних
Допустимо, ми маємо функцію $n$ змінних $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ і $m$ рівнянь зв'язку ($n > m$):
$ $ \ Varphi_1 (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Позначивши множники Лагранжа як $lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_m $, складемо функцію Лагранжа:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Необхідні умови наявності умовного екстремуму задаються системою рівнянь, з якої знаходяться координати стаціонарних точок та значення множників Лагранжа:
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
З'ясувати, умовний мінімум чи умовний максимум має функція у знайденій точці, можна, як і раніше, за допомогою символу $d^2F$. Якщо знайденої точці $d^2F > 0$, то функція має умовний мінімум, якщо $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Визначник матриці $ \ left | \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, виділеної в матриці $L$ червоним, є гессиан функції Лагранжа. Використовуємо таке правило:
- Якщо символи кутових мінорів $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ матриці $L$ збігаються зі знаком $(-1)^m$, то досліджувана стаціонарна точка є точкою умовного мінімуму функції $z=f(x_1,x_2 , x_3, \ ldots, x_n) $.
- Якщо символи кутових мінорів $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ чергуються, причому знак мінору $H_(2m+1)$ збігається зі знаком числа $(-1)^(m+1)$, то досліджувана стаціонарна точка є точкою умовного максимуму функції $ z = f (x_1, x_2, x_3, \ ldots, x_n) $.
Приклад №1
Знайти умовний екстремум функції $z(x,y)=x+3y$ за умови $x^2+y^2=10$.
Геометрична інтерпретація цього завдання така: потрібно знайти найбільше і найменше значенняаплікати площини $z=x+3y$ для точок її перетину з циліндром $x^2+y^2=10$.
Виразити одну змінну через іншу з рівняння зв'язку і підставити її у функцію $z(x,y)=x+3y$ дещо важко, тому будемо використовувати метод Лагранжа.
Позначивши $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, складемо функцію Лагранжа:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
Запишемо систему рівнянь визначення стаціонарних точок функції Лагранжа:
$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (aligned) \right.$$
Якщо припустити $\lambda=0$, перше рівняння стане таким: $1=0$. Отримане протиріччя свідчить, що $lambdaneq 0$. За умови $\lambda\neq 0$ з першого та другого рівнянь маємо: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda)$. Підставляючи отримані значення третє рівняння, отримаємо:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1) (4 lambda ^ 2) + frac (9) (4 lambda ^ 2) = 10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$
Отже, система має два рішення: $ x_1 = 1; \; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ і $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. З'ясуємо характер екстремуму у кожній стаціонарній точці: $M_1(1;3)$ і $M_2(-1;-3)$. І тому обчислимо визначник $H$ у кожному з точок.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda. \ H = \ left | \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$
У точці $ M_1 (1; 3) $ отримаємо: $ H = 8 \ cdot \ left | \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, тому в точці $M_1(1;3)$ функція $z(x,y)=x+3y$ має умовний максимум, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Аналогічно, у точці $M_2(-1;-3)$ знайдемо: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Оскільки $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Зазначу, що замість обчислення значення визначника $H$ у кожній точці набагато зручніше розкрити його в загальному вигляді. Щоб не захаращувати текст подробицями, цей спосіб приховую під примітку.
Запис визначника $H$ у загальному вигляді. показати\сховати
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\x&\lambda&0\y&0&lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
У принципі, очевидно, який знак має $H$. Оскільки жодна з точок $M_1$ або $M_2$ не збігається з початком координат, $y^2+x^2>0$. Отже, знак $H$ протилежний символу $\lambda$. Можна і довести обчислення до кінця:
$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(aligned) $$
Питання характер екстремуму в стаціонарних точках $M_1(1;3)$ і $M_2(-1;-3)$ можна вирішити без використання визначника $H$. Знайдемо знак $d^2F$ у кожній стаціонарній точці:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$
Зазначу, що запис $dx^2$ означає саме $dx$, зведений на другий ступінь, тобто. $ \ left (dx \ right) ^ 2 $. Звідси маємо: $dx^2+dy^2>0$, тому при $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ отримаємо $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Відповідь: у точці $(-1;-3)$ функція має умовний мінімум, $z_(\min)=-10$. У точці $(1;3)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=10$
Приклад №2
Знайти умовний екстремум функції $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ за умови $x+y=0$.
Перший спосіб (метод множників Лагранжа)
Позначивши $\varphi(x,y)=x+y$ складемо функцію Лагранжа: $F(x,y)=z(x,y)+lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y) = 9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda = 0; \ \ & x + y = 0. \end (aligned) \right.
Вирішивши систему, отримаємо: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ і $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9)$ , $ \ lambda_2 = -10 $. Маємо дві стаціонарні точки: $M_1(0;0)$ і $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. З'ясуємо характер екстремуму у кожній стаціонарній точці з використанням визначника $H$.
$ $ H = \ left | \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
У точці $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, тому у цій точці функція має умовний максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Досліджуємо характер екстремуму в кожній з точок іншим способом, ґрунтуючись на знаку $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy^2 $$
З рівняння зв'язку $x+y=0$ маємо: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Оскільки $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ є точкою умовного мінімуму функції $z(x,y)=3y^3+4x^ 2-xy $. Аналогічно $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Другий спосіб
З рівняння зв'язку $x+y=0$ отримаємо $y=-x$. Підставивши $y=-x$ у функцію $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, отримаємо деяку функцію змінної $x$. Позначимо цю функцію як $u(x)$:
$$u(x)=z(x,-x)=3cdot(-x)^3+4x^2-xcdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Таким чином, задачу про знаходження умовного екстремуму функції двох змінних ми звели до завдання визначення екстремуму функції однієї змінної.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\ -9x^2+10x=0; \;x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \\ y_1=-x_1=0;\\x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).
Отримали точки $M_1(0;0)$ і $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Подальше дослідженнявідомо з курсу диференціального обчисленняфункцій однією зміною. Досліджуючи знак $u_(xx)^("")$ у кожній стаціонарній точці або перевіряючи зміну знака $u_(x)^(")$ у знайдених точках, отримаємо ті самі висновки, що і при вирішенні першим способом. Наприклад, перевіримо знак $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
Оскільки $u_(xx)^("")(M_1)>0$, то $M_1$ - точка мінімуму функції $u(x)$, у своїй $u_(\min)=u(0)=0$ . Оскільки $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Значення функції $u(x)$ за заданої умови зв'язку збігаються зі значеннями функції $z(x,y)$, тобто. знайдені екстремуми функції $u(x)$ і є умовні екстремуми функції $z(x,y)$, що шукаються.
Відповідь: у точці $(0;0)$ функція має умовний мінімум, $z_(\min)=0$. У точці $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Розглянемо ще один приклад, у якому характер екстремуму з'ясуємо у вигляді визначення знака $d^2F$.
Приклад №3
Знайти найбільше та найменше значення функції $z=5xy-4$, якщо змінні $x$ і $y$ позитивні та задовольняють рівняння зв'язку $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2) -1 = 0 $.
Складемо функцію Лагранжа: $ F = 5xy-4 + lambda \ left (\ frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 \ right) $. Знайдемо стаціонарні точки функції Лагранжа:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1 = 0; \ \ & x > 0; \;y > 0. \end(aligned) \right.$$
Усі подальші перетворення здійснюються з урахуванням $x>0; \; y > 0$ (це обумовлено за умови завдання). З другого рівняння виразимо $\lambda=-\frac(5x)(y)$ і підставимо знайдене значення в перше рівняння: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Підставляючи $x=2y$ у третє рівняння, отримаємо: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1 $.
Оскільки $y=1$, то $x=2$, $\lambda=-10$. Характер екстремуму у точці $(2;1)$ визначимо, з знаку $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Оскільки $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, то:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
В принципі, тут можна відразу підставити координати стаціонарної точки $x=2$, $y=1$ та параметра $\lambda=-10$, отримавши при цьому:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Однак в інших завданнях на умовний екстремум стаціонарних точок може бути декілька. У таких випадках краще $d^2F$ уявити в загальному вигляді, а потім підставляти в отриманий вираз координати кожної зі знайдених стаціонарних точок:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\=\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
Підставляючи $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, отримаємо:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Оскільки $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Відповідь: у точці $(2;1)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=6$.
У наступній частині розглянемо застосування методу Лагранжа для функцій більшої кількостізмінних.
Коротка теорія
Метод множників Лагранжа є класичним методом розв'язання задач математичного програмування(зокрема опуклого). На жаль, при практичному застосуванніСпособу можуть зустрітися значні обчислювальні проблеми, що звужують сферу його використання. Ми розглядаємо тут метод Лагранжа головним чином тому, що він є апаратом, що активно використовується для обґрунтування різних сучасних чисельних методівшироко застосовуються на практиці. Що ж до функції Лагранжа та множників Лагранжа, то вони грають самостійну і виключно важливу рольу теорії та додатках не тільки математичного програмування.
Розглянемо класичне завданняоптимізації:
Серед обмежень цього завдання немає нерівностей, немає умов невід'ємності змінних, їх дискретності, функції і безперервні і мають приватні похідні принаймні другого порядку.
Класичний підхід до розв'язання задачі дає систему рівнянь ( необхідні умови), яким повинна задовольняти точка , що доставляє функції локальний екстремум на безлічі точок, що задовольняють обмежень (для задачі опуклого програмування знайдена точка буде одночасно точкою глобального екстремуму).
Припустимо, що у точці функція (1) має локальний умовний екстремум і ранг матриці дорівнює . Тоді необхідні умови запишуться у вигляді:
є функція Лагранжа; – множники Лагранжа.
Існують також і достатні умови, при виконанні яких розв'язання системи рівнянь (3) визначає точку екстремуму функції . Це питання вирішується виходячи з дослідження знака другого диференціала функції Лагранжа. Однак достатні умови становлять головним чином теоретичний інтерес.
Можна вказати наступний порядок розв'язання задачі (1), (2) методом множників Лагранжа:
1) скласти функцію Лагранжа (4);
2) знайти приватні похідні функції Лагранжа за всіма змінними і прирівняти їх
нулю. Тим самим буде отримана система (3, що складається з рівнянь. Вирішити отриману систему (якщо це виявиться можливим!) і знайти таким чином усі стаціонарні точки функції Лагранжа;
3) зі стаціонарних точок, взятих без координат, вибрати точки, в яких функція має умовні локальні екстремуми за наявності обмежень (2). Цей вибір здійснюється, наприклад, із застосуванням достатніх умов локального екстремуму. Часто дослідження спрощується, якщо використати конкретні умови завдання.
Приклад розв'язання задачі
Умова задачі
Фірма виробляє товар двох видів у кількостях та . Функція корисних витрат визначена співвідношенням. Ціни цих товарів на ринку рівні та відповідно.
Визначити, за яких обсягах випуску досягається максимальний прибуток і чому вона дорівнює, якщо повні витрати не перевищують
Зазнаєте складнощів з розумінням ходу рішення? На сайті діє послуга Розв'язання задач за методами оптимальних рішень на замовлення
Рішення завдання
Економіко-математична модель задачі
Функція прибутку:
Обмеження на витрати:
Отримуємо наступну економіко-математичну модель:
Крім того, за змістом завдання
Метод множників Лагранжа
Складемо функцію Лагранжа:
Знаходимо приватні похідні 1-го порядку:
Складемо і розв'яжемо систему рівнянь:
Оскільки , то
Максимальний прибуток:
Відповідь
У такий спосіб необхідно випускати од. товару 1-го виду та од. товару 2-го виду. При цьому прибуток буде максимальним і складе 270.
Наведено зразок розв'язання задачі опуклого квадратичного програмування графічним методом.
Розв'язання лінійного завдання графічним методом
Розглянуто графічний методрозв'язання задачі лінійного програмування (ЗЛП) із двома змінними. На прикладі задачі наведено докладний описпобудови креслення та знаходження рішення.
Модель управління запасами Вілсона
На прикладі розв'язання задачі розглянуто основну модель управління запасами (модель Вілсона). Обчислено такі показники моделі як оптимальний розмірпартії замовлення, річні витрати на зберігання, інтервал між поставками та точка розміщення замовлення.
Матриця коефіцієнтів прямих витрат та матриця "Витрати-випуск"
На прикладі розв'язання задачі розглянуто міжгалузеву модель Леонтьєва. Показано обчислення матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат, матриці «витрати-випуск», матриці коефіцієнтів непрямих витрат, векторів кінцевого споживання та валового випуску.
"Не відкладай на завтра те, що можеш відкласти на післязавтра", - Марк Твен
"Секрет змін полягає в тому, щоб зосередитись на створенні нового, а не на боротьбі зі старим", - Сократ
Гексаграма 15 найточніше тлумачення