Площа ромба добутку діагоналей. Чотири формули, за якими можна обчислити площу ромба

Ромб - це окремий випадок паралелограма. Він є плоскою чотирикутною фігурою, в якій всі сторони рівні. Дана властивість визначає те, що у ромбів паралельні протилежні сторони та рівні протилежні кути. Діагоналі ромба припиняються під прямим кутом, точці їх перетину припадає на середину кожної діагоналі, а кути з яких вони виходять діляться навпіл. Тобто діагоналі ромба є бісектрисами кутів. Виходячи з наведених визначень і перерахованих властивостей ромбів, їх площа може бути визначена різними способами.

1. Якщо відомі обидві діагоналі ромба AC і BD, площа ромба може бути визначена як половина твору діагоналей.

S = ½ ∙ AC ∙ BD

де AC, BD – довжина діагоналей ромба.

Щоб зрозуміти, чому це так, можна подумки вписати в ромб прямокутник таким чином, щоб сторони останнього були перпендикулярні діагоналям ромба. Стає очевидним, що площа ромба дорівнюватиме половині площі вписаного даним чином в ромб прямокутника, довжина і ширина якого будуть відповідати величині діагоналей ромба.

2. За аналогією з паралелепіпедом площа ромба може бути знайдена як добуток його сторони, на висоту перпендикуляра з опущеного до цієї сторони з протилежної сторони.

S = а ∙ h

де а – сторона ромба;
h - висота перпендикуляра, опущеного на цю сторону.

3. Площа ромба також дорівнює квадрату його сторони, помноженому на синус кута α.

S = a 2 ∙ sin α

де a - сторона ромба;
α – кут між сторонами.

4. Також площа ромба може бути знайдена через його бік і радіус вписаного в нього кола.

S = 2 ∙ a ∙ r

де a - сторона ромба;
r - радіус вписаної в ромб кола.

Цікаві факти
Слово ромб походить від давньогрецького rombus, що в перекладі означає бубен. У ті часи бубни справді мали ромбоподібну форму, а не круглу, як ми звикли бачити їх нині. З тих же часів відбулася і назва карткової масті "бубни". Дуже широко ромби різних видів використовують у геральдиці.

Ромб – це особлива постать у геометрії. Завдяки його особливим властивостям існує не одна, а кілька формул, за допомогою яких обчислюється площа ромба. Що це за властивості та які найпоширеніші формули для пошуку площі цієї фігури існують? Давайте розберемося.

Яка геометрична фігура називається ромбом

Перш ніж з'ясувати, чому дорівнює площа ромба, варто дізнатися, що це за фігура.

Ромбом з часів Евклідової геометрії називається симетричний чотирикутник, всі чотири сторони якого є рівними між собою по довжині і паралельно паралельними.

Походження терміна

Назва цієї фігури прийшла у більшість сучасних мов з грецької, через посередництво латині. «Батьком» слова «ромб», стало грецьке іменник ῥόμβος (бубен). Хоча жителям ХХ століття, які звикли до круглих бубнів, важко уявити їх іншої форми, але в еллінів ці музичні інструменти традиційно виготовлялися не круглої, а ромбовидної форми.

У більшості сучасних мов цей математичний термін вживається, як і латиною: rombus. Проте в англійській іноді ромби називають diamond (алмаз або діамант). Таке прізвисько ця фігура отримала через свою особливу форму, що нагадує дорогоцінний камінь. Як правило, подібний термін використовують не для всіх ромбів, а тільки для тих, у яких кут перетину двох сторін дорівнює шістдесяти або сорока п'яти градусам.

Вперше ця фігура була згадана у працях грецького математика, який жив у першому столітті нової ери – Герона Олександрійського.

Які властивості має ця геометрична фігура

Щоб знайти площу ромба, насамперед потрібно знати, які особливості має дана геометрична фігура.

За яких умов паралелограм є ромбом

Як відомо, кожен ромб є паралелограмом, але при цьому не всякий паралелограм – це ромб. Щоб точно стверджувати, що представлена ​​фігура дійсно є ромбом, а не простим паралелограмом, вона повинна відповідати одній із трьох основних ознак, що виділяють ромб. Або всім трьом одразу.

1. Діагоналі паралелограма перетинаються під кутом дев'яносто градусів.
2. Діагоналі поділяють кути надвоє, виступаючи їх бісектрис.
3. Не лише паралельні, а й суміжні сторони мають однакову довжину. У цьому, до речі, одна з основних відмінностей між ромбом та паралелограмом, оскільки у другої фігури однакові за довжиною лише паралельні сторони, але не суміжні.

За яких умов ромб є квадратом

За своїми властивостями в окремих випадках ромб може одночасно ставати квадратом. Щоб наочно підтвердити це твердження, досить просто повернути квадрат у будь-який бік сорок п'ять градусів. Фігура, що вийшла, виявиться ромбом, кожен з кутів якого дорівнює дев'яноста градусам.

Також, щоб підтвердити, що квадрат є ромбом, можна зіставити ознаки цих фігур: в обох випадках усі сторони рівні, а діагоналі є бісектрисами і перетинаються під кутом дев'яносто градусів.

Як дізнатися площу ромба за допомогою його діагоналей

У світі в інтернеті можна знайти практично всі матеріали для виконання необхідних розрахунків. Так, існує маса ресурсів, оснащених програмами для автоматичного обчислення площі тієї чи іншої фігури. Причому, якщо (як у випадку з ромбом) є кілька формул для цього, тобто можливість вибирати, який з них найзручніше буде скористатися. Однак, перш за все, необхідно самим вміти обчислювати площу ромба без допомоги комп'ютера та орієнтуватися у формулах. Для ромба їх існує чимало, але найвідоміші з них чотири.

Одним із найпростіших і найпоширеніших способів дізнатися площу цієї фігури, якщо є інформація про довжину його діагоналей. Якщо завдання ці дані, у разі можна застосувати таку формулу знаходження площі: S = КМ x LN/2 (КМ і LN - це діагоналі ромба KLMN).

Можна перевірити достовірність цієї формули практично. Допустимо, у ромба KLMN довжина однієї його діагоналі КМ - 10 см, а другий LN - 8 см. Тоді підставляємо ці дані у зазначену вище формулу, і отримуємо наступний результат: S = 10 х 8/2 = 40 см 2 .

Формула для обчислення площі паралелограма

Існує й інша формула. Як було зазначено вище у визначенні ромба, він є не просто чотирикутником, а й паралелограмом, і має всі особливості цієї фігури. У такому разі для знаходження її площі цілком доцільно використовувати формулу, що застосовується для паралелограма: S = KL х Z. У даному випадку KL - це довжина сторони паралелограма (ромба), а Z - це довжина висоти, проведеної до цієї сторони.

В окремих завданнях довжина сторони не надана, проте відомий периметр ромба. Оскільки вище було зазначено формулу його знаходження, з її допомогою можна дізнатися і про довжину сторони. Отже, периметр фігури - 10 см. Довжину сторони можна дізнатися, інвертувавши формулу периметра і розділивши 10 на 4. Результатом виявиться 2,5 см - це і є довжина сторони ромба, що шукається.

Тепер варто спробувати підставити це число у формулу, знаючи, що довжина висоти, проведеної до сторони, також дорівнює 2,5 см. Тепер спробуємо поставити ці значення у вищезгадану формулу площі паралелограма. Виходить, що площа ромба дорівнює S = 2,5 х 2,5 = 6,25 см2.

Інші способи обчислення площі ромба

Ті, хто вже освоїли синуси та косинуси, можуть використовувати для знаходження площі ромба формули, що їх містять. Класичним прикладом є така формула: S = КМ 2 х Sin KLM. У разі площа фігури дорівнює добутку двох сторін ромба, помноженому на синус кута з-поміж них. А оскільки в ромбі всі сторони однакові, то простіше відразу зробити одну сторону квадрат, як і було показано у формулі.

Перевіряємо на практиці цю схему, причому не просто до ромба, а до квадрата, у якого, як відомо, всі кути прямі, а отже, дорівнюють дев'яносто градусам. Припустимо, одна зі сторін дорівнює 15 см. Також відомо, що синус кута 90° дорівнює одиниці. Тоді, згідно з формулою, S = 15 х 15 х Sin 90°= 255х1=255 см 2 .

Крім перерахованих вище, в окремих випадках використовується ще одна формула, з використанням синуса для визначення площі ромба: S = 4 х R 2 /Sin KLM. У даному варіанті використовується радіус вписаного в ромб кола. Він підноситься в ступінь квадрата і множиться на чотири. А весь результат ділитися на синус кута, що наближається до вписаної фігури.

Як приклад для простоти обчислень візьмемо знову квадрат (синус його кута завжди дорівнює одиниці). Радіус вписаного до нього кола - 4,4 см. Тоді площа ромба обчислюватиметься так: S= 4 х 4,4 2 / Sin 90 °= 77,44 см 2

Наведені вище формули знаходження радіуса ромба - далеко не єдині у своєму роді, проте вони є найпростішими для розуміння та проведення обчислень.

Що таке Ромб? Ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Ромб, фігура на площині, чотирикутник з рівними сторонами. Ромб - окремий випадок ПАРАЛЕЛОГРАМА, у якого або дві суміжні сторони рівні, або діагоналі перетинаються під прямим кутом, або діагональ ділить кут навпіл. Ромб із прямими кутами називається квадратом.

Класичною формулою площі ромба вважається розрахунок значення через висоту. Площа ромба дорівнює добутку боку на висоту, проведену до цієї сторони.

1. Площа ромба дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

\[ S = a \cdot h \]

2. Якщо відома сторона ромба (у ромба всі сторони рівні) і кут між сторонами, то площу можна знайти за такою формулою:

\[ S = a^(2) \cdot sin(\alpha) \]

3. Площа ромба також дорівнює напівтвору діагоналей, тобто:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Якщо відомий радіус r кола, вписаного в ромб, і сторона ромба a, то його площа обчислюється за формулою:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Властивості ромба

На малюнку вище \(ABCD) - ромб, \(AC = DB = CD = AD \). Так як ромб - це паралелограм, то він має всі властивості паралелограма, але так само є властивості властиві тільки ромбу.

У будь-який ромб можна вписати коло. Центр кола, вписаного в ромб, є точкою перетину його діагоналей. Радіус коладорівнює половині висоти ромба:

\[ r = \frac( AH )(2) \]

Властивості ромба

Діагоналі ромба перпендикулярні;

Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

Ознаки ромба

Паралелограм, діагоналі якого перетинаються під прямим кутом, є ромб;

Паралелограм, діагоналі якого є бісектрисами його кутів, є ромб.

У вашому браузері вимкнено Javascript.
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!

– це паралелограм, у якого всі сторони рівні, то для нього діють ті самі формули, як і для паралелограма, включаючи формулу знаходження площі через добуток висоти та сторони.

Площу ромба можна знайти, також знаючи його діагоналі. Діагоналі ділять ромб на чотири абсолютно однакові прямокутні трикутники. Якщо ми їх розсортуємо, так щоб отримати прямокутник, то його довжина і ширина дорівнюватимуть одній цілій діагоналі і половині другої діагоналі. Тому площа ромба знаходиться множенням діагоналей ромба, скорочених на два (як площі прямокутника, що вийшов).

Якщо в розпорядженні тільки кут і сторона, то можна озброїтися діагоналлю як помічник і накреслити навпроти відомого кута. Тоді вона розділить ромб на два конгруентні трикутники, площі яких у сумі дадуть нам площу ромба. Площа кожного з трикутників дорівнюватиме половині добутку квадрата сторони на синус відомого кута, як площа рівнобедреного трикутника . Оскільки таких трикутників два, то коефіцієнти скорочуються, залишивши тільки бік другого ступеня і синус:

Якщо всередині ромба вписати коло , його радіус ставитиметься до стороні під кутом 90° , що означає, що подвоєний радіус дорівнюватиме висоті ромба . Підставивши замість висоти h=2r у попередню формулу, отримаємо площу S=ha=2ra

Якщо ж разом з радіусом вписаного кола, дана не сторона, а кут, слід спочатку знайти сторону, провівши висоту таким чином, щоб отримати прямокутний трикутник із заданим кутом. Тоді сторона a може бути знайдена з тригонометричних відносин за формулою . Підставляючи цей вираз у ту ж стандартну формулу площі ромба, виходить

Ромб (з давньогрецького ῥόμβος і з латинського rombus «бубон») є паралелограмом, для якого характерна наявність однакових по довжині сторін. У разі коли кути становлять 90 градусів (або прямий кут), таку геометричну фігуру називають квадратом. Ромб – геометрична фігура, різновид чотирикутників. Можливо і квадратом, і паралелограмом.

Походження цього терміна

Поговоримо трохи про історію цієї постаті, що допоможе трохи розкрити собі загадкові таємниці стародавнього світу. Звичне для нас слово, яке часто зустрічається в шкільній літературі, «ромб», бере свій початок від давньогрецького слова «бубон». У Стародавню Грецію ці музичні інструменти вироблялися у вигляді ромба чи квадрата (на відміну сучасних пристосувань). Напевно ви помітили, що карткова масть - бубна - має ромбічну форму. Формування цієї масті походить від тих часів, коли круглі бубни не використовувалися в побуті. Отже, ромб - найдавніша історична постать, винайдена людством задовго до появи колеса.

Вперше таке слово, як «ромб», було вжито такими відомими особистостями, як Герон і Папа Олександрійський.

Властивості ромба

1. Оскільки сторони ромба протилежать одна одній і є попарно паралельними, то ромб, безперечно, паралелограм (АВ | CD, AD | ВС).
2. Ромбічні діагоналі мають перетин під прямим кутом (AC ⊥ BD), а, отже, перпендикулярні. Отже, перетин ділить діагоналі навпіл.
3. Бісектрисами ромбічних кутів є діагоналі ромба (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD і т. д.).
4. З тотожності паралелограмів випливає, що сума всіх квадратів діагоналей ромба становить число квадрата сторони, яке помножили на 4.

Ознаки ромба

Ромб у тих випадках є паралелограмом, коли відповідає наступним умовам:

1. Усі сторони паралелограма рівні.
2. Діагоналі ромба перетинає прямий кут, тобто вони перпендикулярні один до одного (AC⊥BD). Це доводить правило трьох сторін (сторони рівні і перебувають під кутом 90 градусів).
3. Діагоналі паралелограма поділяють кути порівну, оскільки сторони є рівними.

Площа ромбу

1. Площа ромба дорівнює числу, яке є половиною добутку всіх його діагоналей.
2. Оскільки ромб - це своєрідний паралелограм, площа ромба (S) є числом твори боку паралелограма з його висоту (h).
3. Крім того, площа ромба може бути обчислена за формулою, що є твором зведеної квадрат боку ромба на синус кута. Синус кута – альфа – кут, що знаходиться між сторонами вихідного ромба.
4. Цілком прийнятною для правильного рішення вважається формула, яка є твором подвоєного кута альфа і радіуса вписаного кола (r).