Вирішення тригонометричних рівнянь для чайників. Розв'язання тригонометричних рівнянь

При вирішенні багатьох математичних завдань, особливо тих, що зустрічаються до 10 класу, порядок виконуваних дій, що призведуть до мети, визначено однозначно. До таких завдань можна віднести, наприклад, лінійні та квадратні рівняння, лінійні та квадратні нерівності, дробові рівняння та рівняння, що зводяться до квадратних. Принцип успішного вирішення кожної із згаданих завдань полягає в наступному: треба встановити, до якого типу належить розв'язувана задача, згадати необхідну послідовність дій, які призведуть до потрібного результату, тобто. відповіді, та виконати ці дії.

Очевидно, що успіх чи неуспіх у вирішенні того чи іншого завдання залежить головним чином від того, наскільки правильно визначено тип рівняння, що вирішується, наскільки правильно відтворена послідовність всіх етапів його вирішення. Зрозуміло, у своїй необхідно володіти навичками виконання тотожних перетворень і обчислень.

Інша ситуація виходить з тригонометричними рівняннями.Встановити факт те, що рівняння є тригонометричним, дуже неважко. Складнощі з'являються щодо послідовності дій, які призвели до правильної відповіді.

На вигляд рівняння часом буває важко визначити його тип. А не знаючи типу рівняння, майже неможливо вибрати із кількох десятків тригонометричних формул потрібну.

Щоб розв'язати тригонометричне рівняння, треба спробувати:

1. привести всі функції, що входять до рівняння до «однакових кутів»;
2. привести рівняння до «однакових функцій»;
3. розкласти ліву частину рівняння на множники тощо.

Розглянемо основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь

I. Приведення до найпростіших тригонометричних рівнянь

Схема розв'язання

Крок 1.Виразити тригонометричну функцію через відомі компоненти.

Крок 2Знайти аргумент функції за формулами:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Крок 3Знайти невідому змінну.

приклад.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Рішення.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Відповідь: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

ІІ. Заміна змінної

Схема розв'язання

Крок 1.Привести рівняння до виду алгебри щодо однієї з тригонометричних функцій.

Крок 2Позначити отриману функцію змінної t (якщо необхідно ввести обмеження на t).

Крок 3Записати та вирішити отримане рівняння алгебри.

Крок 4.Зробити зворотну заміну.

Крок 5.Вирішити найпростіше тригонометричне рівняння.

приклад.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Рішення.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Нехай sin (x/2) = t, де | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 чи е = -3/2, не задовольняє умові |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Відповідь: x = π + 4πn, n Є Z.

ІІІ. Метод зниження порядку рівняння

Схема розв'язання

Крок 1.Замінити дане рівняння лінійним, використовуючи при цьому формули зниження ступеня:

sin 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Крок 2Вирішити отримане рівняння за допомогою методів І та ІІ.

приклад.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Рішення.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 · cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Відповідь: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Однорідні рівняння

Схема розв'язання

Крок 1.Привести це рівняння до виду

a) a sin x + b cos x = 0 (однорідне рівняння першого ступеня)

або на вигляд

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (однорідне рівняння другого ступеня).

Крок 2Розділити обидві частини рівняння на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

і отримати рівняння щодо tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Крок 3Вирішити рівняння відомими способами.

приклад.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 = 0.

Рішення.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Нехай tg x = t, тоді

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 або t = -4, отже

tg x = 1 або tg x = -4.

З першого рівняння x = π/4 + πn, n º Z; з другого рівняння x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Відповідь: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод перетворення рівняння за допомогою тригонометричних формул

Схема розв'язання

Крок 1.Використовуючи всілякі тригонометричні формули, привести дане рівняння до рівняння, яке вирішується методами I, II, III, IV.

Крок 2Вирішити отримане рівняння відомими методами.

приклад.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Рішення.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 або 2cos x + 1 = 0;

З першого рівняння 2x = π/2 + πn, n Є Z; із другого рівняння cos x = -1/2.

Маємо х = π/4 + πn/2, n Є Z; із другого рівняння x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Через війну х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Відповідь: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Вміння та навички вирішувати тригонометричні рівняння є дуже важливими, їхній розвиток потребує значних зусиль, як з боку учня, так і з боку вчителя.

З рішенням тригонометричних рівнянь пов'язані багато завдань стереометрії, фізики, та інших. Процес розв'язання таких завдань хіба що містить у собі багато знання й уміння, які набувають щодо елементів тригонометрії.

Тригонометричні рівняння займають важливе місце у процесі навчання математики та розвитку особистості загалом.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати тригонометричні рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Урок комплексного застосування знань.

Цілі уроку.

1. Розглянути різні методи розв'язання тригонометричних рівнянь.
2. Розвиток творчих здібностей учнів шляхом розв'язання рівнянь.
3. Заохочування учнів до самоконтролю, взаємоконтролю, самоаналізу своєї навчальної діяльності.

Обладнання: проектор, екран, довідковий матеріал.

Хід уроку

Вступна розмова.

Основним методом розв'язання тригонометричних рівнянь є зведення їх найпростішим. При цьому застосовуються звичайні способи, наприклад розкладання на множники, а також прийоми, які використовуються тільки для вирішення тригонометричних рівнянь. Цих прийомів досить багато, наприклад різні тригонометричні підстановки, перетворення кутів, перетворення тригонометричних функцій. Безладне застосування будь-яких тригонометричних перетворень зазвичай не спрощує рівняння, а катастрофічно його ускладнює. Щоб виробити загалом план розв'язання рівняння, намітити шлях зведення рівняння до найпростішого, потрібно насамперед проаналізувати кути – аргументи тригонометричних функцій, які входять у рівняння.

Сьогодні ми поговоримо про методи розв'язання тригонометричних рівнянь. Правильно вибраний метод часто дозволяє суттєво спростити рішення, тому всі вивчені нами методи завжди потрібно тримати у зоні своєї уваги, щоб вирішувати тригонометричні рівняння найбільш підходящим методом.

ІІ. (За допомогою проектора повторюємо методи розв'язання рівнянь.)

1. Метод приведення тригонометричного рівняння до алгебраїчного.

Необхідно висловити всі тригонометричні функції через одну, з тим самим аргументом. Це можна зробити за допомогою основного тригонометричного тотожності та його наслідків. Отримаємо рівняння з однією тригонометричною функцією. Взявши її за нову невідому, отримаємо рівняння алгебри. Знаходимо його коріння і повертаємося до старої невідомої, вирішуючи найпростіші тригонометричні рівняння.

2. Метод розкладання на множники.

Для зміни кутів часто бувають корисні формули приведення, суми та різниці аргументів, а також формули перетворення суми (різниці) тригонометричних функцій на твір і навпаки.

sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

3. Метод запровадження додаткового кута.

4. Метод використання універсальної підстановки.

Рівняння виду F(sinx, cosx, tgx) = 0 зводяться до алгебраїчного за допомогою універсальної тригонометричної підстановки

Виразивши синус, косинус та тангенс через тангенс половинного кута. Цей прийом може призвести до рівняння високого порядку. Рішення якого складне.