Способи розв'язання тригонометричних нерівностей та їх систем. Найпростіші та складніші тригонометричні нерівності

Нерівності – це співвідношення виду a › b, де a та b – є вирази, що містять як мінімум одну змінну. Нерівності можуть бути строгими – ‹, › та нестрогими – ≥, ≤.

Тригонометричні нерівності є виразами виду: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в яких F(x) представлено однією або декількома тригонометричними функціями.

Прикладом найпростішої тригонометричної нерівності є: sin x ‹ 1/2. Вирішувати подібні завдання прийнято графічно, для цього розроблено два способи.

Спосіб 1 - Вирішення нерівностей за допомогою побудови графіка функції

Щоб знайти проміжок, що задовольняє умовам нерівність sin x ‹ 1/2, необхідно виконати такі дії:

на координатної осіпобудувати синусоїду y = sin x.
На тій же осі накреслити графік числового аргументунерівності, тобто пряму, що проходить через точку ½ ординати ОY.
Відзначити точки перетину двох графіків.
Заштрихувати відрізок є рішенням прикладу.

Коли у виразі є суворі знаки, точки перетину не є рішеннями. Бо найменший позитивний періодсинусоїди дорівнює 2π, то запишемо відповідь так:

Якщо знаки висловлювання несуворі, то інтервал рішень необхідно укласти в квадратні дужки- . Відповідь завдання можна також записати у вигляді чергової нерівності:

Спосіб 2 - Розв'язання тригонометричних нерівностей за допомогою одиничного кола

Подібні завдання легко вирішуються і за допомогою тригонометричного кола. Алгоритм пошуку відповідей дуже простий:

Спочатку варто накреслити одиничне коло.
Потім слід зазначити значення аркфункції аргументу правої частини нерівності на дузі кола.
Потрібно провести пряму проходить через значення аркфункції паралельно осі абсциси (ОХ).
Після залишиться тільки виділити дугу кола, що є безліччю розв'язків тригонометричної нерівності.
Записати відповідь у потрібній формі.

Розберемо етапи розв'язання з прикладу нерівності sin x › 1/2. На колі відмічені точки α та β – значення

Точки дуги, розташовані вище α та β, є інтервалом розв'язання заданої нерівності.

Якщо потрібно вирішити приклад для cos, то дуга відповідей розташовуватиметься симетрично осі OX, а не OY. Розглянути різницю між інтервалами рішень для sin та cos можна на схемах, наведених нижче за текстом.

Графічні рішення для нерівностей тангенсу та котангенсу відрізнятимуться і від синуса, і від косинуса. Це зумовлено властивостями функцій.

Арктангенс і арккотангенс є дотичні до тригонометричного кола, а мінімальний позитивний період обох функцій дорівнює π. Щоб швидко і правильно користуватися другим способом, потрібно запам'ятати на якій осі відкладаються значення sin, cos, tg та ctg.

Дотична тангенс проходить паралельно осі OY. Якщо відкласти значення arctg a на одиничному колі, друга необхідна точка буде розташовано в діагональній чверті. Кути

Є точками розриву для функції, оскільки графік прагне них, але не досягає.

Що стосується котангенсом дотична проходить паралельно осі OX, а функція переривається у точках π і 2π.

Складні тригонометричні нерівності

Якщо аргумент функції нерівності представлений не просто змінною, а цілим виразом, що містить невідому, то мова вже йде про складній нерівності. Хід і порядок його вирішення дещо відрізняються від способів, описаних вище. Допустимо необхідно знайти рішення наступної нерівності:

Графічне рішення передбачає побудову звичайної синусоїди y = sin x за довільно вибраними значеннями x. Розрахуємо таблицю з координатами для опорних точок графіка:

В результаті має вийти красива крива.

Для простоти пошуку рішення замінимо складний аргумент функції

Алгоритм вирішення найпростіших тригонометричних нерівностейта розпізнавання способів розв'язання тригонометричних нерівностей.

Вчителі вищої кваліфікаційної категорії:

Ширко Ф.М. п. Прогрес, МОБУ-ЗОШ №6

Санкіна Л.С. м. Армавір, ЧОУ ЗОШ « Новий шлях»

Не існує універсальних прийоміввикладання дисциплін природничо-математичного циклу. Кожен учитель знаходить свої, прийнятні лише йому способи викладання.

Наш багаторічний досвід викладання показує, що учні легше засвоюють матеріал, що вимагає концентрації уваги та збереження в пам'яті великого обсягу інформації, якщо вони навчені використовувати у своїй діяльності алгоритми початковій стадіїнавчання складної теми. Такою темою на наш погляд є тема розв'язання тригонометричних нерівностей.

Отже, перед тим, як ми приступимо з учнями до виявлення прийомів та способів розв'язання тригонометричних нерівностей, відпрацьовуємо та закріплюємо алгоритм розв'язання найпростіших тригонометричних нерівностей.

Алгоритм вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей

Зазначаємо на відповідній осі точки ( для sin x- вісь ОУ, дляcos x- вісь ОХ)

Відновлюємо перпендикуляр до осі, який перетне коло в двох точках.

Першою на колі підписуємо точку, що належить проміжку області значень аркфункції за визначенням.

Починаючи від підписаної точки, заштрихуємо дугу кола, що відповідає заштрихованій частині осі.

Звертаємо особливу увагуна напрямок обходу. Якщо обхід відбувається за годинниковою стрілкою (тобто є перехід через 0), то друга точка на колі буде негативною, якщо проти годинникової стрілки – позитивною.

Записуємо відповідь у вигляді проміжку з урахуванням періодичності функції.

Розглянемо роботу алгоритму з прикладах.

1) sin ≥ 1/2;

Рішення:

Зображаємо одиничне коло.;

Зазначаємо на осі ОУ точку ½.

Відновлюємо перпендикуляр до осі,

який перетне коло у двох точках.

За визначенням арксинусу першою відзначаємо

точку π/6.

Заштрихуємо ту частину осі, яка відповідає

цій нерівності, вище точки ½.

Заштриховуємо дугу кола, що відповідає заштрихованій частині осі.

Обхід відбувається проти годинникової стрілки, які отримали точку 5π/6.

Записуємо відповідь у вигляді проміжку з урахуванням періодичності функції;

Відповідь:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z.

Найпростіша нерівність вирішується за тим самим алгоритмом, якщо запису відповіді немає табличного значення.

Учні, перші уроки вирішуючи нерівності біля дошки, промовляють кожен крок алгоритму вголос.

2) 5 cos x – 1 ≥ 0;

Р рішення:у

5 cos x – 1 ≥ 0;

cos x ≥ 1/5;

Зображаємо одиничне коло.

Зазначаємо на осі ОХ точку з координатою 1/5.

Відновлюємо перпендикуляр до осі, який

перетне коло у двох точках.

Першою на колі підписуємо точку, що належить проміжку області значень арккосинусу за визначенням (0; π).

Заштриховуємо ту частину осі, яка відповідає даній нерівності.

Починаючи від підписаної точки arccos 1/5, заштриховуємо дугу кола, що відповідає заштрихованій частині осі.

Обхід відбувається за годинниковою стрілкою (тобто є перехід через 0), отже, друга точка на колі буде негативною - arccos 1/5.

Записуємо відповідь у вигляді проміжку з урахуванням періодичності функції від меншого значення до більшого.

Відповідь: x  [-arccos 1/5 + 2π n, arccos 1/5 + 2π n], n Z.

Удосконаленню вміння вирішувати тригонометричні нерівності сприяють питання: «Яким способом вирішуватимемо групу нерівностей?»; «Чим одна нерівність відрізняється від іншої?»; «Чим одна нерівність схожа на іншу?»; Як змінилася б відповідь, якщо було дано суворе нерівність?»; Як змінилася б відповідь, якби замість знака «» стояв знак «

Завдання аналіз списку нерівностей з позицій способів їх вирішення дозволяє відпрацювати їх розпізнавання.

Учням пропонуються нерівності, які потрібно вирішити під час уроку.

Запитання:Виділіть нерівності, які вимагають застосування рівносильних перетвореньпри зведенні тригонометричної нерівності до найпростішого?

Відповідь 1, 3, 5.

Запитання:Назвіть нерівності, у яких потрібно розглянути складний аргумент як простий?

Відповідь: 1, 2, 3, 5, 6.

Запитання:Назвіть нерівності, де можна застосувати тригонометричні формули?

Відповідь: 2, 3, 6.

Запитання:Назвіть нерівності, де можна застосувати метод запровадження нової змінної?

Відповідь: 6.

Завдання аналіз списку нерівностей з позицій способів їх вирішення дозволяє відпрацювати їх розпізнавання. При формуванні умінь важливо виділяти етапи його виконання та формулювати їх у загальному вигляді, Що й представлено в алгоритмі вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей.