Теорема вієта в ірраціональних рівняннях. Формула коренів квадратного рівняння

I. Теорема Вієтадля наведеного квадратного рівняння.

Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +px+q=0дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену:

x1+x2=-p; x 1 x 2 =q.

Знайти коріння наведеного квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта.

Приклад 1) x 2 -x-30 = 0.Це наведене квадратне рівняння ( x 2 +px+q=0), другий коефіцієнт p=-1, а вільний член q=-30.Спочатку переконаємося, що це рівняння має коріння, і що коріння (якщо вони є) будуть виражатися цілими числами. Для цього достатньо щоб дискримінант був повним квадратом цілого числа.

Знаходимо дискримінант D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Тепер по теоремі Вієта сума коренів має дорівнювати другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, тобто. ( -p), а твір дорівнює вільному члену, тобто. ( q). Тоді:

x 1 + x 2 = 1; x 1 x 2 =-30.Нам треба підібрати такі два числа, щоб їхній твір був рівний -30 , а сума - одиниці. Це числа -5 і 6 . Відповідь: -5; 6.

Приклад 2) x2+6x+8=0.Маємо наведене квадратне рівняння з другим коефіцієнтом р = 6та вільним членом q=8. Переконаємося, що є цілісне коріння. Знайдемо дискримінант D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискримінант D1 є повним квадратом числа 1 Отже, коріння даного рівняння є цілими числами. Підберемо коріння за теоремою Вієта: сума коренів дорівнює -Р = -6, а добуток коріння дорівнює q=8. Це числа -4 і -2 .

Насправді: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Відповідь: -4; -2.

Приклад 3) x 2 +2x-4 = 0. У цьому наведеному квадратному рівнянні другий коефіцієнт р=2, а вільний член q=-4. Знайдемо дискримінант D 1, Оскільки другий коефіцієнт – парне число. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискримінант не є повним квадратом числа, тому, робимо висновок: коріння цього рівняння не є цілими числами і знайти їх за теоремою Вієта не можна.Отже, розв'яжемо дане рівняння, як завжди, за формулами (в даному випадкуза формулами). Отримуємо:

приклад 4).Складіть квадратне рівняння за його корінням, якщо x1=-7, x2=4.

Рішення.Шукане рівняння запишеться у вигляді: x 2 +px+q=0, причому, на підставі теореми Вієта -p = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Тоді рівняння набуде вигляду: x 2 +3x-28 = 0.

приклад 5).Складіть квадратне рівняння за його корінням, якщо:

ІІ. Теорема Вієтадля повного квадратного рівняння ax 2 +bx+c=0.

Сума коренів дорівнює мінус b, поділеному на а, добуток коріння дорівнює з, поділеному на а:

x 1 +x 2 =-b/a; x 1 x 2 = c/a.

Перед тим, як перейти до теореми Вієта, введемо визначення. Квадратне рівняння виду x² + px + q= 0 називається наведеним. У цьому рівнянні старший коефіцієнт дорівнює одиниці. Наприклад, рівняння x² - 3 x- 4 = 0 є наведеним. Будь-яке квадратне рівняння виду ax² + b x + c= 0 можна зробити наведеним, для цього ділимо обидві частини рівняння на а≠ 0. Наприклад, рівняння 4 x² + 4 x- 3 = 0 розподілом на 4 наводиться до вигляду: x² + x- 3/4 = 0. Виведемо формулу коренів наведеного квадратного рівняння, для цього скористаємося формулою коренів квадратного рівняння загального виду: ax² + bx + c = 0

Наведене рівняння x² + px + q= 0 збігається з рівнянням загального виду, у якому а = 1, b = p, c = q.Тому для наведеного квадратного рівняння формула набуває вигляду:

останній вираз називають формулою коренів наведеного квадратного рівняння, особливо зручно користуватися цією формулою коли р- парне число. Для прикладу вирішимо рівняння x² - 14 x — 15 = 0

У відповідь запишемо рівняння має два корені.

Для наведеного квадратного рівняння з позитивним справедлива така теорема.

Теорема Вієта

Якщо x 1 і x 2 - коріння рівняння x² + px + q= 0, то справедливі формули:

x 1 + x 2 = — р

x 1 * x 2 = q,тобто сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

З формули коренів наведеного квадратного рівняння маємо:

Складаючи ці рівності, отримуємо: x 1 + x 2 = —нар.

Перемножуючи ці рівності, за формулою різниці квадратів отримуємо:

Зазначимо, що теорема Вієта справедлива і тоді, коли дискримінант дорівнює нулю, якщо вважати, що в цьому випадку квадратне рівняння має два однакові корені: x 1 = x 2 = — р/2.

Не вирішуючи рівняння x² - 13 x+ 30 = 0 знайдемо суму та добуток його коріння x 1 і x 2 . цього рівняння D= 169 - 120 = 49 > 0, тому можна застосувати теорему Вієта: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Розглянемо ще кілька прикладів. Один із коренів рівняння x² — рx- 12 = 0 дорівнює x 1 = 4. Знайти коефіцієнт рта другий корінь x 2 цього рівняння. За теоремою Вієта x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — нар.Так як x 1 = 4, то 4 x 2 = - 12, звідки x 2 = — 3, р = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. У відповідь запишемо, другий корінь x 2 = - 3, коефіцієнт р = - 1.

Не вирішуючи рівняння x² + 2 x- 4 = 0 знайдемо суму квадратів його коріння. Нехай x 1 і x 2 - коріння рівняння. За теоремою Вієта x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Так як x 1 ²+ x 2 ² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 , тоді x 1 ²+ x 2 ² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

Знайдемо суму та добуток коренів рівняння 3 x² + 4 x- 5 = 0. Дане рівняння має два різні корені, так як дискримінант D= 16 + 4*3*5 > 0. Для вирішення рівняння скористаємося теоремою Вієта. Ця теорема доведена для квадратного рівняння. Тому розділимо це рівняння на 3.

Отже, сума коренів дорівнює -4/3, які твір дорівнює -5/3.

У випадку коріння рівняння ax² + b x + c= 0 пов'язані наступними рівностями: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a,Для отримання цих формул достатньо розділити обидві частини даного квадратного рівняння а ≠ 0 і застосувати до отриманого квадратного рівняння теорему Вієта. Розглянемо приклад, потрібно скласти наведене квадратне рівняння, коріння якого x 1 = 3, x 2 = 4. Так як x 1 = 3, x 2 = 4 - Коріння квадратного рівняння x² + px + q= 0, то за теоремою Вієта р = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. У відповідь запишемо x² - 7 x+ 12 = 0. Під час вирішення деяких завдань застосовується наступна теорема.

Теорема, зворотна теоремі Вієта

Якщо числа р, q, x 1 , x 2 такі, що x 1 + x 2 = — р, x 1 * x 2 = q, то x 1і x 2- Коріння рівняння x² + px + q= 0. Підставимо у ліву частину x² + px + qзамість рвираз - ( x 1 + x 2), а замість q- твір x 1 * x 2.Отримаємо: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2).Таким чином, якщо числа р, q, x 1 і x 2 пов'язані цими співвідношеннями, то при всіх хвиконується рівність x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2),з якого випливає, що x 1 і x 2 - коріння рівняння x² + px + q= 0. Використовуючи теорему, обернену до теореми Вієта, іноді можна підбором знайти коріння квадратного рівняння. Розглянемо приклад, x² - 5 x+ 6 = 0. Тут р = — 5, q= 6. Підберемо два числа x 1 і x 2 так, щоб x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Помітивши, що 6 = 2 * 3, а 2 + 3 = 5, по теоремі, зворотній теоремі Вієта, отримуємо, що x 1 = 2, x 2 = 3 - коріння рівняння x² - 5 x + 6 = 0.

Одним із методів розв'язків квадратного рівняння є застосування формули ВІЄТА, яку назвали на честь Франсуа Вієта.

Він був відомим юристом і служив у 16 ​​столітті у французького короля. У вільний час займався астрономією та математикою. Він встановив зв'язок між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння.

Переваги формули:

1 . Застосувавши формулу, можна швидко знайти рішення. Тому що не потрібно вводити в квадрат другий коефіцієнт, потім віднімати 4ас, знаходити дискримінант, підставляти його значення в формулу для знаходження коренів.

2 . Без рішення можна визначити знаки коріння, підібрати значення коренів.

3 . Вирішивши систему з двох записів, нескладно знайти саме коріння. У наведеному квадратному рівнянні сума коренів дорівнює значенню другого коефіцієнта зі знаком мінус. Добуток коренів у наведеному квадратному рівнянні дорівнює значенню третього коефіцієнта.

4 . За цим корінням записати квадратне рівняння, тобто вирішити обернену задачу. Наприклад, цей спосіб застосовують при вирішенні задач у теоретичній механіці.

5 . Зручно застосовувати формулу, коли старший коефіцієнт дорівнює одиниці.

Недоліки:

1 . Формула не є універсальною.

Теорема Вієта 8 клас

Формула
Якщо x 1 і x 2 - коріння наведеного квадратного рівняння x 2 + px + q = 0, то:

Приклади
x 1 = -1; x 2 = 3 – коріння рівняння x 2 – 2x – 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -13 = -3 = q.

Зворотна теорема

Формула
Якщо числа x 1 x 2 p, q пов'язані умовами:

То x 1 і x 2 - коріння рівняння x 2 + px + q = 0.

приклад
Складемо квадратне рівняння за його корінням:

X 1 = 2 -? 3 і х 2 = 2 +? 3 .

P = x1+x2=4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3) (2 + ? 3) = 4 - 3 = 1.

Шукане рівняння має вигляд: x 2 - 4x + 1 = 0.

Дискримінант, як і квадратні рівняння, починають вивчати в курсі алгебри в 8 класі. Вирішити квадратне рівняння можна через дискримінант та за допомогою теореми Вієта. Методика вивчення квадратних рівнянь, як і формули дискримінанта, досить невдало прищеплюється школярам, ​​як і багато чого в цій освіті. Тому проходять шкільні роки, навчання у 9-11 класі замінює "вищу освіту" і всі знову шукають. "Як вирішити квадратне рівняння?", "Як знайти коріння рівняння?", "Як знайти дискримінант?" і...

Формула дискримінанта

Дискримінант D квадратного рівняння a*x^2+bx+c=0 дорівнює D=b^2–4*a*c.
Коріння (рішення) квадратного рівняння залежить від знака дискримінанта (D) :
D>0 – рівняння має 2 різних дійсних кореня;
D=0 - рівняння має 1 корінь (2 збігаються кореня):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Формула для обчислення дискримінанта досить проста, тому безліч сайтів пропонують онлайн калькулятор дискримінанта. Ми з такого роду скриптами ще не розібралися, тому хтозна, як це реалізувати просимо писати на пошту Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. У вас має бути включений JavaScript для перегляду. .

Загальна формула для знаходження коріння квадратного рівняння:

Коріння рівняння знаходимо за формулою
Якщо коефіцієнт при змінній у квадраті парний, то доцільно обчислювати не дискримінант, а четверту його частину
У таких випадках коріння рівняння знаходять за формулою

Другий спосіб знаходження коріння - це Теорема Вієта.

Формулюється теорема як для квадратних рівнянь, але й многочленов. Це Ви можете прочитати у Вікіпедії або інших електронних ресурсах. Однак для спрощення розглянемо її частину, яка стосується наведених квадратних рівнянь, тобто рівнянь виду (a=1)
Суть формул Вієта полягає в тому, що сума коренів рівняння дорівнює коефіцієнту за змінної, взятого з протилежним знаком. Добуток коренів рівняння дорівнює вільному члену. Формулами теорема Вієта має запис.
Висновок формули Вієта досить простий. Розпишемо квадратне рівняння через прості множники
Як бачите, все геніальне одночасно є простим. Ефективно використовувати формулу Вієта коли різниця коренів за модулем або різниця модулів коренів дорівнює 1, 2. Наприклад, наступні рівняння з теореми Вієта мають корені




До 4 рівняння аналіз має виглядати так. Добуток коренів рівняння дорівнює 6, отже корінням може бути значення (1, 6) і (2, 3) чи пари з протилежним знаком. Сума коренів дорівнює 7 (коефіцієнт при змінній із протилежним знаком). Звідси робимо висновок, що рішення квадратного рівняння дорівнюють x=2; x=3.
Простіше підбирати корені рівняння серед дільників вільного члена, коригуючи їх знак з метою виконання формул Вієта. На початку це здається важко зробити, але з практикою на ряді квадратних рівнянь така методика виявиться ефективнішою за обчислення дискримінанта і знаходження коренів квадратного рівняння класичним способом.
Як бачите шкільна теорія вивчення дискримінанта та способів знаходження рішень рівняння позбавлена ​​практичного сенсу - "Навіщо школярам квадратне рівняння?", "Який фізичний зміст дискримінанта?".

Давайте спробуємо розібратися, що описує дискримінант?

У курсі алгебри вивчають функції, схеми дослідження функції та побудови графіка функцій. З усіх функцій важливе місце займає парабола, рівняння якої можна записати як
Так ось фізичний сенс квадратного рівняння - це нулі параболи, тобто точки перетину графіка функції з віссю абсцис Ox
Властивості парабол які описані нижче попрошу Вас запам'ятати. Прийде час складати іспити, тести, або вступні іспити, і Ви будете вдячні за довідковий матеріал. Знак при змінній квадраті відповідає тому, чи будуть гілки параболи на графіку йти вгору (a>0) ,

або парабола гілками вниз (a<0) .

Вершина параболи лежить посередині між корінням

Фізичний зміст дискримінанта:

Якщо дискримінант більший за нуль (D>0) парабола має дві точки перетину з віссю Ox .
Якщо дискримінант дорівнює нулю (D=0), то парабола у вершині стосується осі абсцис.
І останній випадок, коли дискримінант менший за нуль (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Неповні квадратні рівняння

Будь-яке повне квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0можна привести до вигляду x 2 + (b/a) x + (c/a) = 0, якщо попередньо розділити кожен доданок на коефіцієнт a перед x 2. А якщо ввести нові позначення (b/a) = pі (c/a) = q, то матимемо рівняння x 2 + px + q = 0, яке в математиці називається наведеним квадратним рівнянням.

Коріння наведеного квадратного рівняння та коефіцієнти pі qзв'язані між собою. Це підтверджується теорема Вієта, названою так на честь французького математика Франсуа Вієта, який жив наприкінці XVI ст.

Теорема. Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 + px + q = 0дорівнює другому коефіцієнту p, взятому з протилежним знаком, а добуток коріння – вільному члену q.

Запишемо дані співвідношення у такому вигляді:

Нехай x 1і x 2різне коріння наведеного рівняння x 2 + px + q = 0. Відповідно до теореми Вієта x 1 + x 2 = -pі x 1 · x 2 = q.

Для доказу підставимо кожен із коренів x 1 і x 2 до рівняння. Отримуємо дві вірні рівності:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Віднімемо з першої рівності другу. Отримаємо:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Перші два доданки розкладаємо за формулою різниці квадратів:

(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0

За умовами коріння x 1 і x 2 різні. Тому ми можемо скоротити рівність на (x 1 – x 2) ≠ 0 та виразити p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x1+x2) = -p.

Першу рівність доведено.

Для доказу другої рівності підставимо на перше рівняння

x 1 2 + px 1 + q = 0 замість коефіцієнта p дорівнює йому число - (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Перетворивши ліву частину рівняння, отримуємо:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, що потрібно було довести.

Теорема Вієта хороша тим, що, навіть не знаючи коренів квадратного рівняння, ми можемо обчислити їх суму та добуток .

Теорема Вієта допомагає визначати ціле коріння наведеного квадратного рівняння. Але у багатьох учнів це спричиняє труднощі через те, що вони не знають чіткого алгоритму дії, особливо якщо коріння рівняння має різні знаки.

Отже, наведене квадратне рівняння має вигляд x 2 + px + q = 0 де x 1 і x 2 його коріння. Відповідно до теореми Вієта x 1 + x 2 = -p і x 1 · x 2 = q.

Можна зробити наступний висновок.

Якщо в рівнянні перед останнім членом стоїть знак мінус, то коріння x 1 і x 2 мають різні знаки. Крім того, знак меншого кореня збігається зі знаком другого коефіцієнта рівняння.

Виходячи з того, що при додаванні чисел з різними знаками їх модулі віднімаються, а перед отриманим результатом ставиться знак більшого за модулем числа, слід діяти таким чином:

1. визначити такі множники числа q, щоб їхня різниця дорівнювала числу p;
2. поставити перед меншим із отриманих чисел знак другого коефіцієнта рівняння; другий корінь матиме протилежний знак.

Розглянемо деякі приклади.

Приклад 1.

Розв'язати рівняння x 2 – 2x – 15 = 0.

Рішення.

Спробуємо вирішити це рівняння за допомогою запропонованих вище правил. Тоді можна точно сказати, що це рівняння матиме два різні корені, т.к. D = b 2 - 4ac = 4 - 4 · (-15) = 64> 0.

Тепер із усіх множників числа 15 (1 і 15, 3 і 5) вибираємо ті, різниця яких дорівнює 2. Це будуть числа 3 і 5. Перед меншим числом ставимо знак «мінус», тобто. знак другого коефіцієнта рівняння. Отже, отримаємо коріння рівняння x 1 = -3 і x 2 = 5.

Відповідь. x 1 = -3 та x 2 = 5.

Приклад 2.

Розв'язати рівняння x 2 + 5x – 6 = 0.

Рішення.

Перевіримо, чи має це рівняння коріння. Для цього знайдемо дискримінант:

D = b 2 - 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Рівняння має два різні корені.

Можливі множники числа 6 - це 2 і 3, 6 і 1. Різниця дорівнює 5 у пари 6 і 1. У цьому прикладі коефіцієнт другого доданку має знак «плюс», тому і менше число матиме такий самий знак. А ось перед другим числом стоятиме знак мінус.

Відповідь: x 1 = -6 та x 2 = 1.

Теорему Вієта можна записати і для повного квадратного рівняння. Так, якщо квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0має коріння x 1 і x 2 , то для них виконуються рівності

x 1 + x 2 = -(b/a)і x 1 · x 2 = (c/a). Проте застосування цієї теореми у квадратному рівнянні досить проблематично, т.к. за наявності коренів, хоча один із них є дробовим числом. А працювати з підбором дробів досить складно. Але все ж таки вихід є.

Розглянемо повне квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Помножимо його ліву та праву частини на коефіцієнт a. Рівняння набуде вигляду (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Тепер введемо нову змінну, наприклад t = ax.

У цьому випадку отримане рівняння перетворитися на наведене квадратне рівняння виду t 2 + bt + ac = 0, коріння якого t 1 і t 2 (за їх наявності) може бути визначено за теоремою Вієта.

У цьому випадку коріння вихідного квадратного рівняння буде

x 1 = (t 1 /a) та x 2 = (t 2 / a).

Приклад 3.

Розв'язати рівняння 15x2 – 11x+2=0.

Рішення.

Складаємо допоміжне рівняння. Помножимо кожне доданок рівняння на 15:

15 2 x 2 - 11 · 15x + 15 · 2 = 0.

Робимо заміну t = 15x. Маємо:

t 2 - 11t + 30 = 0.

За теоремою Вієта корінням даного рівняння будуть t 1 = 5 і t 2 = 6.

Повертаємося до заміни t = 15x:

5 = 15x або 6 = 15x. Таким чином, x 1 = 5/15 та x 2 = 6/15. Скорочуємо та отримуємо остаточну відповідь: x 1 = 1/3 та x 2 = 2/5.

Відповідь. x 1 = 1/3 та x 2 = 2/5.

Щоб освоїти розв'язання квадратних рівнянь за допомогою теореми Вієта, учням необхідно якнайбільше тренуватися. Саме в цьому полягає секрет успіху.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.