Рівняння руху гармонійного вагання. Гармонічні коливання - Гіпермаркет знань

Механічні коливання. Параметри коливань. Гармонійні коливання.

Коливанням називається процес точно або приблизно повторюється через певні проміжки часу.

Особливість коливань - обов'язкова наявність на траєкторії положення стійкого рівноваги, у якому сума всіх сил, що діють тіло дорівнює нулю називається положенням рівноваги.

Математичним маятником називають матеріальну точку, підвішену на тонкій, невагомій та нерозтяжній нитці.

Параметри коливального руху.

1. Зміщення чи координата (x) - Відхилення від положення рівноваги в даний

момент часу.	[x ]=м

2. Амплітуда ( Xm) - максимальне відхилення від положення рівноваги.

[ X m ]=м

3. Період коливань ( T) - Час, за який відбувається одне повне коливання.

[T ]=c.

0 " style="margin-left:31.0pt;border-collapse:collapse">

Математичний маятник

Пружинний маятник

m

https://pandia.ru/text/79/117/images/image006_26.gif" width="134" height="57 src="> Частота (лінійна) ( n ) – кількість повних коливань за 1 с.

[n]= Гц

5. Циклічна частота ( w ) – число повних коливань за 2p секунд, тобто приблизно 6,28 з.

w = 2pn ; [w] =0 " style="margin-left:116.0pt;border-collapse:collapse">

https://pandia.ru/text/79/117/images/image012_9.jpg" width="90" height="103">

Тінь на екрані коливається.

Рівняння та графік гармонійних коливань.

Гармонічні коливання -це коливання, у яких координата змінюється з плином часу за законом синуса чи косинуса.

https://pandia.ru/text/79/117/images/image014_7.jpg" width="254" height="430 src="> x=Xmsin(w t+j 0 )

x=Xmcos(w t+j 0 )

x - координата,

Xm - амплітуда коливань,

w - циклічна частота,

w t +j 0 = j - фаза коливань,

j 0 - Початкова фаза коливань.

https://pandia.ru/text/79/117/images/image016_4.jpg" width="247" height="335 src=">

Графіки відрізняються тількиамплітудою

Графіки відрізняються лише періодом (частотою)

https://pandia.ru/text/79/117/images/image018_3.jpg" width="204" height="90 src=">

Якщо амплітуда коливань не змінюється протягом часу, коливання називаються незатухаючими.

Власні коливання не враховують тертя, повна механічна енергія системи залишається постійною: Eдо + Eп = Eхутро = const.

Власні коливання незагасаючі.

При вимушених коливаннях енергія, що надходить безперервно або періодично від зовнішнього джерела, заповнює втрати, що виникають за рахунок роботи сили тертя, і коливання можуть бути незагасаючими.

Кінетична та потенційна енергія тіла при коливаннях переходять одна в одну. Коли відхилення системи від положення рівноваги максимальне, потенційна енергія максимальна, а кінетична дорівнює нулю. При проходженні положення рівноваги, навпаки.

Частота вільних коливань визначається параметрами коливальної системи.

Частота вимушених коливань визначається частотою дії зовнішньої сили. Амплітуда вимушених коливань також залежить від зовнішньої сили.

Резонан c

Резонансом називається різке збільшення амплітуди вимушених коливань при збігу частоти дії зовнішньої сили із частотою власних коливань системи.

При збігу частоти w зміни сили зі своєю частотою w0 коливань системи сила протягом усього робить позитивну роботу, збільшуючи амплітуду коливань тіла. За будь-якої іншої частоти протягом однієї частини періоду сила здійснює позитивну роботу, а протягом іншої частини періоду - негативну.

При резонансі зростання амплітуди коливань може призвести до руйнації системи.

У 1905 році під копитами ескадрону гвардійської кавалерії впав Єгипетський міст через річку Фонтанку в Петербурзі.

Автоколивання.

Автоколиваннями називаються незатухаючі коливання у системі, підтримувані внутрішніми джерелами енергії за відсутності впливу зовнішньої зміною сили.

На відміну від вимушених коливань частота та амплітуда автоколивань визначаються властивостями самої коливальної системи.

Від вільних коливань автоколивання відрізняються незалежністю амплітуди від часу та від початкового короткочасного впливу, що збуджує процес коливань. Автоколивальну систему зазвичай можна розділити на три елементи:

1) коливальну систему;

2) джерело енергії;

3) пристрій із зворотним зв'язком, що регулює надходження енергії з джерела в коливальну систему.

Енергія, що надходить із джерела за період, дорівнює енергії, втраченої в коливальній системі за той же час.

Коливанняминазиваються рухи чи процеси, які характеризуються певною повторюваністю у часі. Коливання широко поширені в навколишньому світі і можуть мати різну природу. Це можуть бути механічні (маятник), електромагнітні (коливальний контур) та інші види коливань.
Вільними, або власнимиколиваннями, називаються коливання, які відбуваються у системі наданої самої собі, після того, як вона була виведена зовнішнім впливом зі стану рівноваги. Прикладом можуть бути коливання кульки, підвішеного на нитки.

Особливу рольу коливальних процесах має найпростіший вид коливань - гармонійні коливання.Гармонічні коливання лежать в основі єдиного підходу при вивченні коливань різної природи, оскільки коливання, що зустрічаються в природі та техніці, часто близькі до гармонійних, а періодичні процеси іншої форми можна як накладення гармонійних коливань.

Гармонічними коливаннями називаються такі коливання, при яких величина, що коливається, змінюється від часу за законом синусаабо косинуса.

Рівняння гармонійних коливаньмає вигляд:

де A - амплітуда коливань (величина найбільшого відхилення системи від положення рівноваги); -кругова (циклічна) частота. аргумент косинуса, що періодично змінюється - називається фазою коливань . Фаза коливань визначає зміщення коливається від положення рівноваги в даний момент часу t. Постійна φ є значення фази в момент часу t = 0 і називається початковою фазою коливання . Значення початкової фази визначається вибором початку відліку. Величина x може набувати значень, що лежать в межах від -A до +A.

Проміжок часу T, через який повторюються певні стани коливальної системи, називається періодом коливань . Косинус - періодична функція з періодом 2π, тому за проміжок часу T, через який фаза коливань отримає збільшення дорівнює 2π, стан системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюватиметься. Цей проміжок часу називається періодом гармонійних коливань.

Період гармонійних коливань дорівнює : T = 2π/.

Число коливань в одиницю часу називається частотою коливань ν.
Частота гармонійних коливань дорівнює: = 1/T. Одиниця виміру частоти герц(Гц) – одне коливання в секунду.

Кругова частота = 2π/T = 2πν дає кількість коливань за 2π секунд.

Графічно гармонійні коливання можна зображати як залежності x від t (рис.1.1.А), і методом обертової амплітуди (метод векторних діаграм)(рис.1.1.б) .

Метод амплітуди, що обертається, дозволяє наочно представити всі параметри, що входять в рівняння гармонійних коливань. Дійсно, якщо вектор амплітуди Арозташований під кутом φ до осі х (див. малюнок 1.1. Б), то його проекція на вісь х дорівнюватиме: x = Acos(φ). Кут і є початкова фаза. Якщо вектор Апривести у обертання з кутовою швидкістю , що дорівнює круговій частоті коливань, то проекція кінця вектора буде переміщатися по осі х і приймати значення, що лежать в межах від -A до +A, причому координата цієї проекції змінюватиметься з часом за законом:
.

Таким чином, довжина вектора дорівнює амплітуді гармонійного коливання, напрям вектора в початковий момент утворює з віссю x кут рівний початковій фазі коливань φ, а зміна кута напрямку від часу дорівнює фазі гармонійних коливань. Час, протягом якого вектор амплітуди робить один повний оборот, дорівнює періоду Т гармонійних коливань. Число обертів вектора за секунду дорівнює частоті коливань ν.

>> Гармонічні коливання

§ 22 Гармонічні коливання

Знаючи, як пов'язані між собою прискорення і координата тіла, що коливається, можна на основі математичного аналізу знайти залежність координати від часу.

Прискорення – друга похідна координати за часом.Миттєва швидкість точки, як вам відомо з курсу математики, є похідною координати точки за часом. Прискорення точки - це похідна її за часом, або друга похідна координати за часом. Тому рівняння (3.4) можна записати так:

де х " - Друга похідна координати за часом. Відповідно до рівняння (3.11) при вільних коливаннях координата х змінюється з часом так, що друга похідна координати за часом прямо пропорційна самій координаті і протилежна їй за знаком.

З курсу математики відомо, що похідні синуса і косинуса за їх аргументом пропорційні самим функцій, взятим з протилежним знаком. У математичному аналізі доводиться, що жодні інші функції такою властивістю не мають. Все це дозволяє з повною підставою стверджувати, що координата тіла, що здійснює вільні коливання, змінюється з часом за законом синусу або пасинусу. На малюнку 3.6 показано зміну координати точки з часом за законом косинуса.

p align="justify"> Періодичні зміни фізичної величини в залежності від часу, що відбуваються за законом синуса або косинуса, називаються гармонійними коливаннями.

Амплітуда коливань.Амплітудою гармонійних коливань називається модуль найбільшого усунення тіла від положення рівноваги.

Амплітуда може мати різні значення в залежності від того, наскільки ми зміщуємо тіло від положення рівноваги в початковий момент часу або від того, яка швидкість повідомляється тілу. Амплітуда визначається початковими умовами, а точніше енергією, що повідомляється тілу. Але максимальні значення модуля синуса та модуля косинуса дорівнюють одиниці. Тому рішення рівняння (3.11) не може виражатися просто синусом чи косинусом. Воно повинне мати вигляд твору амплітуди коливань х m на синус чи косинус.

Розв'язання рівняння, що описує вільні коливання.Запишемо рішення рівняння (3.11) у такому вигляді:

а друга похідна дорівнюватиме:

Ми здобули рівняння (3.11). Отже, функція (3.12) є рішенням вихідного рівняння (3.11). Вирішенням цього рівняння буде також функція

Графік залежності координати тіла від часу згідно (3.14) є косинусоїдою (див. рис. 3.6).

Період та частота гармонійних коливань. При коливаннях руху тіла періодично повторюються. Проміжок часу Т, протягом якого система здійснює один повний цикл коливань, називається періодом коливань.

Знаючи період, можна визначити частоту коливань, тобто число коливань в одиницю часу, наприклад, за секунду. Якщо одне коливання відбувається за час Т, то кількість коливань за секунду

У Міжнародній системі одиниць (СІ) частота коливань дорівнює одиниці, якщо за секунду відбувається одне коливання. Одиниця частоти називається герцем (скорочено: Гц) на честь німецького фізика Г. Герца.

Число коливань за 2 с дорівнює:

Величина – циклічна, або кругова, частота коливань. Якщо в рівнянні (3.14) час t дорівнює одному періоду, то T = 2. Таким чином, якщо в момент часу t = 0 х = х m, то і в момент часу t = Т х = х m, тобто через Проміжок часу, що дорівнює одному періоду, коливання повторюються.

Частоту вільних коливань визначають своєю частотою коливальної системи 1 .

Залежність частоти та періоду вільних коливань від властивостей системи.Власна частота коливань тіла, прикріпленого до пружини, відповідно до рівняння (3.13) дорівнює:

Вона тим більша, чим більша жорсткість пружини k, і тим менша, чим більша маса тіла m. Це легко зрозуміти: жорстка пружина повідомляє тілу більше прискорення, швидше змінює швидкість тіла. А чим тіло масивніше, тим повільніше воно змінює швидкість під впливом сили. Період коливань дорівнює:

Маючи в своєму розпорядженні набором пружин різної жорсткості і тілами різної маси, неважко переконатися на досвіді, що формули (3.13) і (3.18) правильно описують характер залежності і від k і m.

Чудово, що період коливань тіла на пружині та період коливань маятника при малих кутах відхилення не залежать від амплітуди коливань.

Модуль коефіцієнта пропорційності між прискоренням t і зміщенням х в рівнянні (3.10), що описує коливання маятника, являє собою, як і в рівнянні (3.11), квадрат циклічної частоти. Отже, власна частота коливань математичного маятника при малих кутах відхилення нитки від вертикалі залежить від довжини маятника та прискорення вільного падіння:

Ця формула була вперше отримана та перевірена на досвіді голландським ученим Г. Гюйгенсом – сучасником І. Ньютона. Вона справедлива лише малих кутів відхилення нитки.

1 Часто надалі для стислості ми називатимемо циклічну частоту просто частотою. Відрізнити циклічну частоту від звичайної частоти можна за позначеннями.

Період коливань зростає зі збільшенням довжини маятника. Від маси маятника не залежить. Це легко перевірити на досвіді з різними маятниками. Залежність періоду коливань від прискорення вільного падіння можна також виявити. Чим менше g, тим більше період коливань маятника і, отже, тим повільніше йде годинник з маятником. Так, годинник з маятником у вигляді вантажу на стрижні відстане за добу майже на 3 с, якщо його підняти з підвалу на верхній поверх Московського університету (висота 200 м). І це лише за рахунок зменшення прискорення вільного падіння із висотою.

Залежність періоду коливань маятника значення g використовується практично. Вимірюючи період коливань, можна точно визначити g. Прискорення вільного падіння змінюється із географічною широтою. Але й цій широті воно скрізь однаково. Адже густина земної кори не всюди однакова. У районах, де залягають щільні породи, прискорення g дещо більше. Це враховують під час пошуку корисних копалин.

Так, залізна руда має підвищену щільність у порівнянні зі звичайними породами. Проведені під керівництвом академіка А. А. Михайлова виміри прискорення вільного падіння під Курськом дозволили уточнити місця залягання залізняку. Спочатку вони були виявлені за допомогою магнітних вимірів.

Властивості механічних коливань використовуються у пристроях більшості електронних ваг. Тіло, що зважується, кладуть на платформу, під якою встановлена ​​жорстка пружина. В результаті виникають механічні коливання частота яких вимірюється відповідним датчиком. Мікропроцесор, пов'язаний з цим датчиком, переводить частоту коливань в масу тіла, що зважується, так як ця частота залежить від маси.

Отримані формули (3.18) та (3.20) для періоду коливань свідчать про те, що період гармонійних коливань залежить від параметрів системи (жорсткості пружини, довжини нитки тощо).

Мякішев Г. Я., Фізика. 11 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні / Г. Я. Мякішев, Б. В. Буховцев, В. М. Чаругін; за ред. В. І. Ніколаєва, Н. А. Парфентьєвої. - 17-те вид., перероб. та дод. – М.: Просвітництво, 2008. – 399 с: іл.

Повний перелік тем за класами, календарний план згідно шкільної програми з фізики онлайн, відеоматеріал з фізики для 11 класу

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні урокикалендарний план на рік методичні рекомендації програми обговорення Інтегровані уроки

§ 6. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯОсновні формули

Рівняння гармонійних коливань

де х -зміщення коливається точки від положення рівноваги; t- Час; А,ω, φ- відповідно амплітуда, кутова частота, початкова фаза коливань; - фаза коливань у момент t.

Кутова частота коливань

де ν і Т - частота та період коливань.

Швидкість точки, що здійснює гармонічні коливання,

Прискорення при гармонійному коливанні

Амплітуда Арезультуючого коливання, отриманого при додаванні двох коливань з однаковими частотами, що відбуваються по одній прямій, визначається за формулою

де a 1 і А 2 - амплітуди складових коливань; ? 1 і ? 2 - їх початкові фази.

Початкова фаза φ результуючого коливання може бути знайдена з формули

Частота биття, що виникають при додаванні двох коливань, що відбуваються по одній прямій з різними, але близькими за значенням частотами 1 і 2 ,

Рівняння траєкторії точки, що бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях з амплітудами A 1 і A 2 і початковими фазами 1 і 2 ,

Якщо початкові фази φ 1 і φ 2 складових коливань однакові, то рівняння траєкторії набуває вигляду

т. е. точка рухається прямою.

У тому випадку, якщо різниця фаз , рівняння набуває вигляду

т. е. точка рухається еліпсом.

Диференціальне рівняння гармонійних коливань матеріальної точки

Або , де m – маса точки; k- коефіцієнт квазіпружної сили ( k=тω 2).

Повна енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання,

Період коливань тіла, підвішеного на пружині (пружинний маятник),

де m- маса тіла; k- жорсткість пружини. Формула справедлива для пружних коливань у межах, у яких виконується закон Гука (при малій масі пружини проти масою тіла).

Період коливань математичного маятника

де l- Довжина маятника; g- прискорення вільного падіння. Період коливань фізичного маятника

де J- момент інерції тіла, що коливається відносно осі

коливань; а- відстань центру мас маятника від осі коливань;

Наведена довжина фізичного маятника.

Наведені формули є точними для випадку нескінченно малих амплітуд. При кінцевих амплітудах ці формули дають лише наближені результати. При амплітудах трохи більше помилка у значенні періоду вбирається у 1 %.

Період крутильних коливань тіла, підвішеного на пружній нитці,

де J- момент інерції тіла щодо осі, що збігається з пружною ниткою; k- жорсткість пружної нитки, що дорівнює відношенню пружного моменту, що виникає при закручуванні нитки, до кута, на який закручується нитка.

Диференціальне рівняння загасаючих коливань , або ,

де r- Коефіцієнт опору; δ - коефіцієнт згасання: ; ω 0 - власна кутова частота коливань *

Рівняння загасаючих коливань

де A(t)- амплітуда загасаючих коливань у момент t;ω - їхня кутова частота.

Кутова частота загасаючих коливань

Про Залежність амплітуди загасаючих коливань від часу

де А 0 - амплітуда коливань у момент t=0.

Логарифмічний декремент коливань

де A(t)і A (t+T)- амплітуди двох послідовних коливань, віддалених у часі друг від друга період.

Диференційне рівняння вимушених коливань

де - зовнішня періодична сила, що діє на матеріальну точку, що коливається і викликає вимушені коливання; F 0 - її амплітудне значення;

Амплітуда вимушених коливань

Резонансна частота та резонансна амплітуда та

Приклади розв'язання задач

приклад 1.Крапка здійснює коливання згідно із законом x(t)= , де А = 2див. Визначити початкову фазу φ, якщо

x(0)= см і х , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

Рішення. Скористаємося рівнянням руху та висловимо зміщення у момент t=0 через початкову фазу:

Звідси знайдемо початкову фазу:

* У наведених раніше формулах гармонійних коливань та сама величина позначалася просто ω (без індексу 0).

Підставимо в цей вираз задані значення x(0) та А:φ= = . Значення аргументу задовольняють два значення кута:

Для того щоб вирішити, яке з цих значень кута φ задовольняє ще й умові, знайдемо спочатку:

Підставивши в цей вираз значення t=0 і по черзі значення початкових фаз і знайдемо

Т як завжди A>0 і ω>0, то умові задовольняє лише перше значення початкової фази. Таким чином, шукана початкова фаза

За знайденим значенням φ побудуємо векторну діаграму (рис. 6.1). приклад 2.Матеріальна точка масою т=5 г здійснює гармонічні коливання з частотою ν = 0,5 Гц. Амплітуда коливань A=3 см. Визначити: 1) швидкість υ точки в момент часу, коли зміщення х== 1,5 см; 2) максимальну силу F max , що діє на точку; 3) Мал. 6.1 повну енергію Еточки, що коливається.

а формулу швидкості отримаємо, взявши першу похідну за часом від усунення:

Щоб виразити швидкість через усунення, треба виключити з формул (1) і (2) час. Для цього зведемо обидва рівняння у квадрат, розділимо перше на А 2 , друге на A 2 ω 2 і складемо:

Вирішивши останнє рівняння щодо υ , знайдемо

Виконавши обчислення за цією формулою, отримаємо

Знак плюс відповідає випадку, коли напрямок швидкості збігається з позитивним напрямком осі х,знак мінус - коли напрямок швидкості збігається з негативним напрямком осі х.

Зміщення при гармонійному коливанні, крім рівняння (1), може бути визначене також рівнянням

Повторивши з цим рівнянням таке саме рішення, отримаємо ту саму відповідь.

2. Силу, що діє на точку, знайдемо за другим законом Ньютона:

де а -прискорення точки, яку отримаємо, взявши похідну за часом від швидкості:

Підставивши вираз прискорення у формулу (3), отримаємо

Звідси максимальне значення сили

Підставивши в це рівняння значення величин π, ν, ті A,знайдемо

3. Повна енергія точки, що коливається, є сума кінетичної та потенційної енергій, обчислених для будь-якого моменту часу.

Найпростіше обчислити повну енергію у момент, коли кінетична енергія досягає максимального значення. У цей момент потенційна енергія дорівнює нулю. Тому повна енергія Eколивальної точки дорівнює максимальної кінетичної енергії

Максимальну швидкість визначимо з формули (2), поклавши : . Підставивши вираз швидкості у формулу (4), знайдемо

Підставивши значення величин у цю формулу і здійснивши обчислення, отримаємо

чи мкДж.

приклад 3.На кінцях тонкого стрижня завдовжки l= 1 м та масою m 3 = 400 г укріплені кульки малих розмірів масами m 1 = 200 г і m 2 = 300г. Стрижень коливається біля горизонтальної осі, перпен-

дикулярну стрижню і проходить через його середину (точка О на рис. 6.2). Визначити період Тколивань, скоєних стрижнем.

Рішення. Період коливань фізичного маятника, яким є стрижень із кульками, визначається співвідношенням

де J- т -його маса; l З - відстань від центру мас маятника до осі.

Момент інерції даного маятника дорівнює сумі моментів інерції кульок J 1 та J 2 та стрижня J 3:

Приймаючи кульки за матеріальні точки, висловимо моменти їхньої інерції:

Так як вісь проходить через середину стрижня, його момент інерції щодо цієї осі J 3 = = . Підставивши отримані вирази J 1 , J 2 і J 3 у формулу (2), знайдемо загальний момент інерції фізичного маятника:

Зробивши обчислення за цією формулою, знайдемо

Мал. 6.2 Маса маятника складається з мас кульок та маси стрижня:

Відстань l З центру мас маятника від осі коливань знайдемо, з наступних міркувань. Якщо вісь хнаправити вздовж стрижня та початок координат поєднати з точкою О,та шукана відстань lодно координаті центру мас маятника, тобто.

Підставивши значення величин m 1 , m 2 , m, lі зробивши обчислення, знайдемо

Зробивши розрахунки за формулою (1), отримаємо період коливань фізичного маятника:

приклад 4.Фізичний маятник є стрижнем довжиною l= 1 м та масою 3 т 1 зприкріпленим до одного з його кінців обручем діаметром та масою т 1 . Горизонтальна вісь Oz

маятника проходить через середину стрижня перпендикулярно до нього (рис. 6.3). Визначити період Тколивань такого маятника.

Рішення. Період коливань фізичного маятника визначається за формулою

де J- момент інерції маятника щодо осі коливань; т -його маса; l C - відстань від центру мас маятника до осі коливань.

Момент інерції маятника дорівнює сумі моментів інерції стрижня J 1 та обруча J 2:

Момент інерції стрижня щодо осі, перпендикулярної стрижню і проходить через його центр мас, визначається за формулою. В даному випадку т= 3т 1 та

Момент інерції обруча знайдемо, скориставшись теоремою Штейнера, де J- момент інерції щодо довільної осі; J 0 - момент інерції щодо осі, що проходить через центр мас паралельно заданої осі; а -відстань між вказаними осями. Застосувавши цю формулу до обруча, отримаємо

Підставивши вирази J 1 та J 2 у формулу (2), знайдемо момент інерції маятника щодо осі обертання:

Відстань l З від осі маятника до його центру мас одно

Підставивши у формулу (1) вирази J, lз і маси маятника, знайдемо період його коливань:

Після обчислення за цією формулою отримаємо T= 2,17 с.

Приклад 5.Складаються два коливання однакового напрямку, що виражаються рівняннями; х 2 = =, де А 1 = 1 см, A 2 = 2 см, с, с, ω = =. 1. Визначити початкові фази φ 1 і φ 2 складових коле-

баній. 2. Знайти амплітуду Ата початкову фазу φ результуючого коливання. Написати рівняння результуючого коливання.

Рішення. 1. Рівняння гармонійного коливання має вигляд

Перетворимо рівняння, задані за умови завдання, до такого виду:

З порівняння виразів (2) з рівністю (1) знаходимо початкові фази першого і другого коливань:

Радий і радий.

2. Для визначення амплітуди Арезультуючого коливання зручно скористатися векторною діаграмою, представленою на Мал. 6.4. Відповідно до теореми косінусів, отримаємо

де - Різниця фаз складових коливань. Оскільки , то, підставляючи знайдені значення 2 і 1 отримаємо радий.

Підставимо значення А 1 , А 2 і у формулу (3) і зробимо обчислення:

A= 2,65 см.

Тангенс початкової фази φ результуючого коливання визначимо безпосередньо з рис. 6.4: , звідки - так початкова фаза

Підставимо значення А 1 , А 2 , φ 1 , φ 2 і зробимо обчислення:

Так як кутові частоти коливань, що складаються, однакові, то результуюче коливання буде мати ту ж частоту ω. Це дозволяє написати рівняння результуючого коливання у вигляді де A=2,65 див, , рад.

Приклад 6.Матеріальна точка бере участь одночасно у двох взаємно перпендикулярних гармонійних коливаннях, рівняння яких

де a 1 = 1 см, A 2 = 2 см, . Знайти рівняння траєкторії точки. Побудувати траєкторію з дотриманням масштабу та вказати напрямок руху точки.

Рішення. Щоб знайти рівняння траєкторії точки, виключимо час tіз заданих рівнянь (1) та (2). Для цього восполь-

зуємося формулою. В даному випадку , тому

Оскільки згідно з формулою (1) , то рівняння траекторії

Отриманий вираз є рівнянням параболи, вісь якої збігається з віссю Ох.З рівнянь (1) і (2) випливає, що зміщення точки по осях координат обмежено та укладено в межах від -1 до +1 см по осі Охі від -2 до +2 см по осі Оу.

Для побудови траєкторії знайдемо за рівнянням (3) значення у,відповідні ряду значень х,задовольняють умові див, і складемо таблицю:

X , СМ

Накресливши координатні осі та вибравши масштаб, нанесемо на площину хОузнайдені точки. З'єднавши їх плавною кривою, отримаємо траєкторію точки, яка здійснює коливання відповідно до рівнянь руху (1) і (2) (рис. 6.5).

Для того щоб вказати напрямок руху точки, простежимо за тим, як змінюється її положення з часом. У початковий момент t=0 координати точки дорівнюють x(0)=1 см і y(0)=2 см. У наступний момент часу, наприклад при t 1 =l с, координати точок зміняться і стануть рівними х(1) = -1 см, y( t )=0. Знаючи положення точок у початковий і наступний (близький) моменти часу, можна вказати напрямок руху точки по траєкторії. На рис. 6.5 цей напрямок руху вказано стрілкою (від точки Ана початок координат). Після того, як в момент t 2 = 2 з точка, що коливається, досягне точки D,вона рухатиметься у зворотному напрямку.

Завдання

Кінематика гармонійних коливань

6.1. Рівняння коливань точки має вигляд , де ?=? з -1,? =0,2 с. Визначити період Ті початкову фазу коливань.

6.2. Визначити період Т,частоту v і початкову фазу коливань, заданих рівнянням , де ω=2,5π з -1 , τ=0,4 с.

6.3. Крапка здійснює вагання за законом , де A х(0)=2см та ; 2) х(0) = см і; 3) х(0)=2см і; 4) х(0)= та . Побудувати векторну діаграму для моменту t=0.

6.4. Точка здійснює вагання.за законом, де A=4 см. Визначити початкову фазу φ, якщо: 1) х(0)= 2 см та ; 2) x(0)= см і; 3) х(0)= см і; 4) x(0) = см і . Побудувати векторну діаграму для моменту t=0.

Мають математичний вираз. Їх властивості характеризує сукупність тригонометричних рівнянь, складність яких визначається складністю самого коливального процесу, властивостями системи та середовищем, в якому вони відбуваються, тобто зовнішніми факторами, що впливають на коливальний процес.

Наприклад, в механіці гармонійне коливання є рухом, якому властиві:

Прямолінійний характер;

Нерівномірність;

Переміщення фізичного тіла, яке відбувається за синусоїдальною або косинусоїдальною траєкторією, а залежно від часу.

Виходячи з даних властивостей, можна навести рівняння гармонійних коливань, що має вигляд:

x = A cos ωt або вид x = A sin ωt, де х - значення координати, А - значення амплітуди коливання, ω - коефіцієнт.

Таке рівняння гармонійних коливань є основним всім гармонійних коливань, які у кінематиці і механіці.

Показник ωt, який у цій формулі стоїть під знаком тригонометричної функції, називають фазою, і вона визначає місце розташування матеріальної точки, що коливається, в даний конкретний момент часу при заданій амплітуді. При розгляді циклічних коливань цей показник дорівнює 2л, він показує кількість не більше тимчасового циклу і позначається w. У цьому випадку рівняння гармонійних коливань містить його показник величини циклічної (кругової) частоти.

Розглянуте нами рівняння гармонійних коливань, як зазначалося, може приймати різні види, залежно від низки чинників. Наприклад, такий варіант. Щоб розглянути вільні гармонійні коливання, слід враховувати те, що їм усім властиве згасання. У різних це явище проявляється по-різному: зупинка тіла, що рухається, припинення випромінювання в електричних системах. Найпростішим прикладом, що показує зменшення коливального потенціалу, є його перетворення на теплову енергію.

Розглянуте рівняння має вигляд: d²s/dt² + 2β х ds/dt + ω²s = 0. У цій формулі: s - значення величини, що коливається, яка характеризує властивості тієї чи іншої системи, β - константа, що показує коефіцієнт загасання, ω - циклічна частота.

Використання такої формули дозволяє підходити до опису коливальних процесів у лінійних системах з єдиної точки зору, а також проводити конструювання та моделювання коливальних процесів на науково-експериментальному рівні.

Наприклад, відомо, що на заключному етапі свого прояву вже перестають бути гармонійними, тобто категорії частоти і періоду для них просто безглузді і у формулі не відображаються.

Класичним способом дослідження гармонійних коливань виступає У найпростішому вигляді він представляє систему, яку описує таке диференціальне рівняння гармонійних коливань: ds/dt + ω²s = 0. Але різноманіття коливальних процесів природним чином призводить до того, що існує велика кількість осциляторів. Перерахуємо їх основні типи:

Пружинний осцилятор - звичайний вантаж, що володіє якоюсь масою m, який підвішений на пружній пружині. Він здійснює гармонійний тип, який описується формулою F = - kx.

Фізичний осцилятор (маятник) - тверде тіло, що здійснює коливальні рухи навколо статичної осі під впливом певної сили;

- (У природі практично не зустрічається). Він являє собою ідеальну модель системи, що включає фізичне тіло, що коливається, має певну масу, яке підвішене на жорсткій невагомій нитці.