Quy tắc biểu thức toàn bộ là gì? Bài học “Phân số đại số, biểu thức hữu tỉ và phân số

Biểu thức số nguyên là một biểu thức toán học được tạo thành từ các số và biến bằng chữ sử dụng các phép tính cộng, trừ và nhân. Số nguyên cũng bao gồm các biểu thức liên quan đến phép chia cho bất kỳ số nào khác 0.

Ví dụ về biểu thức toàn bộ

Dưới đây là một số ví dụ về biểu thức số nguyên:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

2. 7*b

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Biểu thức phân số

Nếu một biểu thức chứa phép chia cho một biến hoặc một biểu thức khác chứa một biến thì biểu thức đó không phải là số nguyên. Biểu thức này được gọi là biểu thức phân số. Hãy cung cấp cho độ nét đầy đủ biểu thức phân số.

Biểu thức phân số là một biểu thức toán học, ngoài các phép tính cộng, trừ và nhân được thực hiện với các biến số và chữ cái, cũng như chia cho một số không bằng 0, còn chứa phép chia thành các biểu thức với các biến chữ cái.

Ví dụ về biểu thức phân số:

1. (12*a^3 +4)/a

2. 7/(x+3)

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Biểu thức phân số và số nguyên tạo thành hai tập hợp lớn biểu thức toán học. Nếu chúng ta kết hợp các tập hợp này, chúng ta sẽ có được một tập hợp mới gọi là biểu thức hữu tỉ. Nghĩa là, các biểu thức hợp lý đều là toàn bộ và biểu thức phân số.

Chúng tôi biết rằng toàn bộ biểu thức có ý nghĩa đối với bất kỳ giá trị nào của các biến được bao gồm trong đó. Điều này xuất phát từ thực tế là để tìm giá trị của toàn bộ biểu thức, cần phải thực hiện các hành động luôn có thể thực hiện được: cộng, trừ, nhân, chia cho một số khác 0.

Biểu thức phân số, không giống như biểu thức toàn bộ, có thể không có ý nghĩa. Vì có phép chia cho một biến hoặc một biểu thức chứa biến và biểu thức này có thể bằng 0 nhưng chia cho 0 là không thể. Các giá trị của các biến mà biểu thức phân số có ý nghĩa được gọi là giá trị chấp nhận được biến.

Phân số hữu tỉ

Một trong những trường hợp đặc biệt Biểu thức hợp lý sẽ là một phân số có tử số và mẫu số là đa thức. Phân số như vậy trong toán học cũng có tên - phân số hữu tỷ.

Một phân số hữu tỷ sẽ có ý nghĩa nếu mẫu số của nó không bằng 0. Nghĩa là, tất cả các giá trị của các biến mà mẫu số của phân số khác 0 sẽ được chấp nhận.

Ví dụ về biểu thức toàn bộ

Dưới đây là một số ví dụ về biểu thức số nguyên:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Biểu thức phân số

Nếu một biểu thức chứa phép chia cho một biến hoặc một biểu thức khác chứa một biến thì biểu thức đó không phải là số nguyên. Biểu thức này được gọi là biểu thức phân số. Hãy để chúng tôi đưa ra một định nghĩa đầy đủ về một biểu thức phân số.

Biểu thức phân số là một biểu thức toán học, ngoài các phép tính cộng, trừ và nhân được thực hiện với các biến số và chữ cái, cũng như phép chia cho một số không bằng 0, còn chứa phép chia thành các biểu thức với các biến chữ cái.

Ví dụ về biểu thức phân số:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Các biểu thức phân số và số nguyên tạo thành hai tập hợp lớn các biểu thức toán học. Nếu chúng ta kết hợp các tập hợp này, chúng ta sẽ có được một tập hợp mới gọi là biểu thức hữu tỉ. Nghĩa là, các biểu thức hữu tỉ đều là các biểu thức số nguyên và phân số.

Phân số hữu tỉ

Một trong những trường hợp đặc biệt của biểu thức hữu tỉ sẽ là phân số có tử số và mẫu số là đa thức. Phân số như vậy trong toán học cũng có tên - phân số hữu tỉ.

“Bài học Đa thức” - Và kiểm tra: 2. Nhân các đa thức: 4. Chia đa thức A(x) cho B(x). 3. Phân tích đa thức thành nhân tử. 1. Thực hiện phép cộng, trừ các đa thức: P(x)=-2x3 + x2 -x-12 và Q(x)= x3 -3x2 -4x+1. Hoạt động với đa thức. Bài học 15.

“Chuyển toàn bộ biểu thức thành đa thức” - Phát triển kỹ năng tính toán cho học sinh. Giới thiệu khái niệm biểu thức toàn phần. Chuyển đổi biểu thức số nguyên. Đa thức và đặc biệt là đơn thức là các biểu thức số nguyên. Học sinh tập luyện trong buổi casting điều khoản tương tự. Ví dụ về biểu thức số nguyên là các biểu thức sau: 10y?+(3x+y)(x?-10y?), 2b(b?-10c?)-(b?+2c?), 3a?-(a(a+ 2c) )/5+2.5ac.

“Nhân các đa thức” - -x6+3x7-2x4+5x2 3 -1 0 -2 0 5 0 0 7 -8 3 5 -6 7x4-8x3+3x2+5x-6. Bài thuyết trình. Số vị trí của một đa thức. Nhân đa thức bằng cách sử dụng số vị trí. Ryabov Pavel Yuryevich. Người đứng đầu: Kaleturina A. S.

“Dạng đa thức chuẩn” - Dạng chuẩn của đa thức. Ví dụ. 3x4 + 2x3 – x2 + 5. Phép cộng các đa thức. Chuẩn bị cho s/r số 6. Từ điển. Chương 2, §1b. Đối với đa thức có một chữ cái, số hạng đứng đầu được xác định duy nhất. Hãy tự kiểm tra. 6x4 – x3y + x2y2 + 2y4.

"Đa thức" - Đơn thức được coi là đa thức gồm một số hạng. Lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc. Đại số học. Đa thức. Hãy nhân đa thức a+b với đa thức c+d. Tích của một đơn thức và một đa thức Nhân một đơn thức với một đa thức. Các số hạng 2 và -7 không có phần chữ cái là các số hạng tương tự nhau. Các số hạng của đa thức 4xz-5xy+3x-1 là 4xz, -5xy, 3x và -1.

“Hệ số hóa bài học” - Ứng dụng của FSU. Công thức nhân viết tắt. Đề bài: Đáp án: var 1: b, d, b, g, c; biến 2: a, d, c, b, a; var 3: c, c, c, a, b; Var 4: g, g, c, b, d. Vậy làm thế nào? Lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc. 3. Hoàn thiện phép phân tích nhân tử: Làm việc theo nhóm: Đặt nhân tử chung vào trong ngoặc. 1.Hoàn thành phân tích nhân tử: a).

Nhờ khóa học đại số, người ta biết rằng tất cả các biểu thức đều yêu cầu chuyển đổi để có giải pháp thuận tiện hơn. Việc xác định các biểu thức số nguyên giúp đảm bảo rằng chuyển đổi danh tính. Chúng ta sẽ chuyển biểu thức thành đa thức. Để kết luận, chúng ta sẽ xem xét một vài ví dụ.

Định nghĩa và ví dụ về biểu thức số nguyên

Định nghĩa 1

Toàn bộ biểu thức là các số, biến hoặc biểu thức liên quan đến phép cộng hoặc phép trừ được viết dưới dạng lũy thừa với chỉ số tự nhiên, cũng có dấu ngoặc đơn hoặc phép chia khác 0.

Dựa trên định nghĩa, chúng ta có các ví dụ về biểu thức số nguyên: 7, 0, − 12, 7 11, 2, 73, - 3 5 6, v.v. các biến có dạng a, b, p, q, x, z được coi là biểu thức nguyên. Sau khi biến đổi tổng, hiệu, tích, biểu thức sẽ có dạng

x + 1 , 5 y 3 2 3 7 − 2 y − 3 , 3 − x y z 4 , - 6 7 , 5 (2 x + 3 y 2) 2 − - ( 1 − x) · (1 + x) · ( 1 + x 2)

Nếu biểu thức chứa phép chia cho một số khác 0 có dạng x: 5 + 8: 2: 4 hoặc (x + y): 6, thì phép chia có thể được biểu thị bằng dấu gạch chéo, như x + 3 5 - 3 , 2 x + 2. Khi xét các biểu thức có dạng x: 5 + 5: x hoặc 4 + a 2 + 2 · a - 6 a + b + 2 · c, rõ ràng là các biểu thức đó không thể là số nguyên, vì trong biểu thức đầu tiên có phép chia theo biến x và thứ hai là biểu thức có biến.

Đa thức và đơn thức là những biểu thức trọn vẹn mà chúng ta gặp ở trường khi làm việc với số hữu tỉ. Nói cách khác, toàn bộ biểu thức không bao gồm các phân số vô tỷ. Một tên khác là toàn bộ biểu thức phi lý.

Những phép biến đổi nào của biểu thức số nguyên có thể thực hiện được?

Khi giải, các biểu thức toàn phần được coi là các phép biến đổi đồng nhất cơ bản, mở ngoặc, nhóm và đưa các biểu thức giống nhau.

ví dụ 1

Mở ngoặc và đưa các số hạng tương tự vào 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) .

Giải pháp

Đầu tiên, bạn cần áp dụng quy tắc mở ngoặc. Chúng ta thu được biểu thức có dạng 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = = 2 a 3 + 2 3 a b + 2 (- 2 a) − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b = = 2 a 3 + 6 a b − 4 a − 2 a 3 − 5 a · b + 6 · a − b

Sau đó chúng ta có thể trình bày các thuật ngữ tương tự:

2 a 3 + 6 a b − 4 a − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b = = (2 a 3 − 2 a 3) + (6 a b − 5 · a · b) + (− 4 · a + 6 · a) − b = = 0 + a · b + 2 · a − b = a · b + 2 · a − b .

Sau khi khử chúng, chúng ta thu được đa thức có dạng a · b + 2 · a − b.

Trả lời: 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = a b + 2 a − b.

Ví dụ 2

Quy đổi (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 .

Giải pháp

Phép chia hiện tại có thể được thay thế bằng phép nhân, nhưng bằng số nghịch đảo. Sau đó, cần thực hiện các phép biến đổi, sau đó biểu thức sẽ có dạng (x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 . Bây giờ chúng ta nên bắt đầu giảm bớt các thuật ngữ tương tự. Chúng tôi hiểu điều đó

(x - 1) 3 2 + 2 (x 2 + 1) 1 3 1 7 = 3 2 (x - 1) + 2 21 x 2 + 1 = = 3 2 x - 3 2 + 2 21 x 2 + 2 21 = 2 21 x 2 + 3 2 x - 59 42 = 2 21 x 2 + 1 1 2 x - 1 17 42

Trả lời: (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x - 1 17 42 .

Ví dụ 3

Biểu thị biểu thức 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) dưới dạng tích.

Giải pháp

Sau khi xem xét biểu thức, rõ ràng là ba số hạng đầu tiên có thừa số chung dạng 6 · y, cần được đưa ra khỏi ngoặc trong quá trình chuyển đổi. Sau đó, chúng tôi nhận được điều đó 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = 6 y (x 2 + 3 x − 1) − (x 2 + 3 x − 1) (x3 + 4x)

Có thể thấy rằng ta đã thu được hiệu của hai biểu thức dạng 6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) và (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) với thừa số chung x 2 + 3 · x − 1 , phải được đưa ra khỏi ngoặc. Chúng tôi hiểu điều đó

6 y (x 2 + 3 x − 1) − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x − 1) (6 y − (x 3 + 4 x) )

Sau khi mở ngoặc, chúng ta có biểu thức có dạng (x 2 + 3 x − 1) (6 · y − x 3 − 4 · x), biểu thức này phải được tìm theo điều kiện.

Trả lời:6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x − 1) ( 6 y − x 3 − 4 x)

Các phép biến đổi giống hệt nhau yêu cầu thực hiện nghiêm ngặt thứ tự các hành động.

Ví dụ 4

Chuyển đổi biểu thức (3 2 − 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8.

Giải pháp

Đầu tiên bạn thực hiện các hành động trong ngoặc đơn. Sau đó chúng ta có cái đó 3 2 − 6 2: 9 = 3 2 − 3 6: 9 = 6 − 4 = 2. Sau khi biến đổi, biểu thức có dạng 2 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 . Người ta biết rằng 2 3 = 8 Và (x 2) 4 = x 2 4 = x 8, thì chúng ta có thể đi đến biểu thức có dạng 8 x 8 + 4 x: 8. Thuật ngữ thứ hai yêu cầu thay thế phép chia bằng phép nhân từ 4 x: 8. Nhóm các yếu tố lại, chúng ta có được điều đó

8 x 8 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 4 x 1 8 = 8 x 8 + 4 1 8 x = 8 x 8 + 1 2 x

Trả lời:(3 2 − 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 1 2 x.

Chuyển đổi sang đa thức

Hầu hết các trường hợp chuyển đổi biểu thức số nguyên được biểu diễn dưới dạng đa thức. Bất kỳ biểu thức nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng đa thức.Bất kỳ biểu thức nào cũng có thể được coi là đa thức được kết nối bằng dấu số học. Bất kỳ phép toán nào trên đa thức cuối cùng đều tạo ra đa thức.

Để một biểu thức được biểu diễn dưới dạng đa thức cần phải thực hiện mọi thao tác với đa thức theo thuật toán.

Ví dụ 5

Biểu diễn dưới dạng đa thức 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (4 · x − x · (15 · x + 1)) .

Giải pháp

Trong biểu thức này, hãy bắt đầu phép biến đổi bằng biểu thức có dạng 4 x − x (15 x + 1) và theo quy tắc, trước tiên hãy thực hiện phép nhân hoặc chia, sau đó cộng hoặc trừ. Nhân – x với 15 x + 1, ta được 4 x − x (15 x + 1) = 4 x − 15 x 2 − x = (4 x − x) − 15 x 2 = 3 x − 15 x 2. Biểu thức đã cho sẽ có dạng 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (3 · x − 15 · x 2) .

Tiếp theo, bạn cần nâng đa thức lên lũy thừa bậc 2 2 x − 1, chúng ta thu được biểu thức có dạng (2 x − 1) 2 = (2 x − 1) (2 x − 1) = 4 x 2 + 2 x (- 1) − 1 2 x − 1 (- 1 ) = = 4 x 2 − 4 x + 1

Bây giờ bạn có thể vào xem 2 (2 x 3 − 1) + (4 x 2 − 4 x + 1) (3 − x) + (3 x − 15 x 2).

Chúng ta hãy nhìn vào phép nhân. Có thể thấy rằng 2 (2 x 3 − 1) = 4 x 3 − 2 và (4 x 2 − 4 x + 1) (3 − x) = 12 x 2 − 4 x 3 − 12 x + 4 x 2 + 3 − x = = 16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3

sau đó chúng ta có thể thực hiện chuyển đổi sang biểu thức có dạng (4 x 3 − 2) + (16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3) + (3 x − 15 x 2).

Chúng tôi thực hiện phép cộng, sau đó chúng tôi đi đến biểu thức:

(4 x 3 − 2) + (16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3) + (3 x − 15 x 2) = = 4 x 3 − 2 + 16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3 + 3 x − 15 x 2 = = (4 x 3 − 4 x 3) + (16 x 2 − 15 x 2) + (− 13 x + 3 x) + (− 2 + 3) = = 0 + x 2 − 10 x + 1 = x 2 − 10 x + 1 .

Theo đó biểu thức ban đầu có dạng x 2 − 10 x + 1.

Trả lời: 2 (2 x 3 − 1) + (2 x − 1) 2 (3 − x) + (4 x − x (15 x + 1)) = x 2 − 10 x + 1.

Nhân và lũy thừa một đa thức cho biết rằng bạn cần sử dụng các công thức nhân rút gọn để tăng tốc quá trình chuyển đổi. Điều này giúp đảm bảo rằng các hành động được thực hiện hợp lý và chính xác.

Ví dụ 6

Quy đổi 4 · (2 · m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) .

Giải pháp

Từ công thức bình phương ta có được điều đó (2 m + n) 2 = (2 m) 2 + 2 (2 m) n + n 2 = 4 m 2 + 4 m n + n 2, thì tích (m − 2 n) (m + 2 n) bằng hiệu của bình phương của m và 2 n, do đó bằng m 2 − 4 n 2. Chúng tôi thấy rằng biểu thức ban đầu có dạng 4 (2 m + n) 2 + (m − 2 n) (m + 2 n) = 4 (4 m 2 + 4 m n + n 2) + (m 2 − 4 · n 2) = = 16 · m 2 + 16 · m · n + 4 · n 2 + m 2 − 4 · n 2 = 17 · m 2 + 16 · m · n

Trả lời: 4 (2 m + n) 2 + (m − 2 n) (m + 2 n) = 17 m 2 + 16 m n.

Để tránh việc chuyển đổi quá dài, cần phải chuyển đổi biểu thức đã cho sang dạng chuẩn.

Ví dụ 7

Rút gọn biểu thức có dạng (2 a (- 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + (5 a b (- 3) b 2)

Giải pháp

Thông thường, đa thức và đơn thức không được đưa ra chế độ xem chuẩn, vì vậy bạn phải thực hiện các phép biến đổi. Nó nên được chuyển đổi để có được một biểu thức như − 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3. Để đưa ra những cái tương tự thì trước hết phải nhân theo quy tắc biến đổi biểu hiện phức tạp. Chúng ta nhận được một biểu thức có dạng

− 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + (2 · a 3 · b + a · b) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 = = − 12 a 4 b − 30 a 3 b 3 + 12 a 4 b + 30 a 3 b 3 + 6 a 2 b + 15 a b 3 − 15 a b 3 = = (− 12 · a 4 · b + 12 · a 4 · b) + (− 30 · a 3 · b 3 + 30 · a 3 · b 3) + 6 · a 2 · b + (15 · a · b 3 − 15 a b 3) = 6 a 2 b

Trả lời: (2 a (- 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + + (5 a b (- 3) b 2) = 6 a 2 b

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter