Phương trình vi phân bậc nhất. Ví dụ về các giải pháp.
Phương trình vi phân có biến tách được

Phương trình vi phân (DE). Hai từ này thường khiến người bình thường khiếp sợ. Phương trình vi phân dường như là một thứ gì đó quá khó và khó nắm vững đối với nhiều học sinh. Uuuuu... phương trình vi phân, làm sao tôi có thể sống sót qua tất cả những điều này?!

Ý kiến ​​và thái độ này về cơ bản là sai lầm, bởi vì trên thực tế PHƯƠNG PHÁP KHÁC BIỆT - ĐƠN GIẢN VÀ THẬM CHÍ VUI VẺ. Bạn cần biết và có thể làm gì để học cách giải phương trình vi phân? Để nghiên cứu thành công sự khuếch tán, bạn phải giỏi tích hợp và phân biệt. Các chủ đề được nghiên cứu càng tốt Đạo hàm của hàm một biến Và Không xác định, không thể thiếu, thì việc hiểu các phương trình vi phân sẽ càng dễ dàng hơn. Mình sẽ nói thêm, nếu các bạn có kỹ năng tích hợp ít nhiều khá thì gần như đã nắm vững chủ đề rồi! Bạn có thể giải được càng nhiều tích phân thuộc nhiều loại khác nhau thì càng tốt. Tại sao? Bạn sẽ phải hòa nhập rất nhiều. Và phân biệt. Cũng rất khuyến khích học cách tìm.

Trong 95% trường hợp, bài kiểm tra có 3 loại phương trình vi phân bậc nhất: phương trình tách được mà chúng ta sẽ xem xét trong bài học này; phương trình đồng nhất Và phương trình tuyến tính không đồng nhất. Đối với những người bắt đầu nghiên cứu về máy khuếch tán, tôi khuyên bạn nên đọc các bài học theo đúng thứ tự này và sau khi nghiên cứu hai bài viết đầu tiên, sẽ không có hại gì nếu bạn củng cố kỹ năng của mình trong một buổi hội thảo bổ sung - phương trình giảm đến đồng nhất.

Thậm chí còn có những loại phương trình vi phân hiếm hơn: phương trình vi phân tổng, phương trình Bernoulli và một số phương trình khác. Điều quan trọng nhất trong hai loại cuối cùng là các phương trình vi phân tổng, vì ngoài phương trình vi phân này tôi đang xem xét tài liệu mới - tích hợp một phần.

Nếu bạn chỉ còn lại một hoặc hai ngày, Cái đó để chuẩn bị cực nhanh Có khóa học chớp nhoángở định dạng pdf.

Vì vậy, các mốc đã được thiết lập - hãy bắt đầu:

Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ lại các phương trình đại số thông thường. Chúng chứa các biến và số. Ví dụ đơn giản nhất: . Việc giải một phương trình thông thường có ý nghĩa gì? Điều này có nghĩa là tìm bộ số, thỏa mãn phương trình này. Dễ dàng nhận thấy phương trình trẻ em có một nghiệm duy nhất: . Để giải trí, hãy kiểm tra và thay thế nghiệm tìm được vào phương trình của chúng ta:

– thu được đẳng thức đúng, nghĩa là nghiệm đã được tìm đúng.

Các bộ khuếch tán được thiết kế theo cách tương tự!

phương trình vi phân đơn hàng đầu tiên nói chung chứa:
1) biến độc lập;
2) biến phụ thuộc (hàm);
3) đạo hàm bậc nhất của hàm số: .

Trong một số phương trình bậc 1 có thể không có “x” và/hoặc “y”, nhưng điều này không đáng kể - quan trọngđi đến phòng điều khiển đã từng làđạo hàm bậc nhất, và đã không cóđạo hàm của bậc cao hơn – , v.v.

nghĩa là gì? Giải phương trình vi phân có nghĩa là tìm tập hợp tất cả các chức năng, thỏa mãn phương trình này. Tập hợp các hàm như vậy thường có dạng (- một hằng số tùy ý), được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

ví dụ 1

Giải phương trình vi phân

Đầy đủ đạn dược. Nơi để bắt đầu giải pháp?

Trước hết, bạn cần viết lại đạo hàm ở dạng hơi khác. Chúng tôi nhớ lại cách chỉ định rườm rà mà nhiều bạn có thể thấy vô lý và không cần thiết. Đây là những quy tắc trong máy khuếch tán!

Ở bước thứ hai, hãy xem liệu có thể thực hiện được không các biến riêng biệt? Việc tách các biến có ý nghĩa gì? Nói đại khái, ở bên trái chúng ta cần phải rời đi chỉ có "người Hy Lạp", MỘT phía bên phải tổ chức chỉ có "X". Việc chia biến được thực hiện bằng các thao tác “trường học”: đưa chúng ra khỏi ngoặc, chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác bằng cách đổi dấu, chuyển các thừa số từ phần này sang phần khác theo quy tắc tỷ lệ, v.v.

Sự khác biệt và là số nhân đầy đủ và là người tham gia tích cực vào chiến sự. Trong ví dụ đang xem xét, các biến có thể dễ dàng được phân tách bằng cách tung các thừa số theo quy tắc tỷ lệ:

Các biến được tách ra. Ở bên trái chỉ có “Y”, ở bên phải – chỉ có “X”.

Giai đoạn tiếp theo - tích hợp phương trình vi phân. Rất đơn giản, chúng ta đặt tích phân ở cả hai vế:

Tất nhiên, chúng ta cần lấy tích phân. Trong trường hợp này chúng ở dạng bảng:

Như chúng ta nhớ, một hằng số được gán cho bất kỳ nguyên hàm nào. Ở đây có hai tích phân, nhưng chỉ cần viết hằng số một lần là đủ (vì hằng số + hằng số vẫn bằng hằng số khác). Trong hầu hết các trường hợp, nó được đặt ở phía bên phải.

Nói một cách chính xác, sau khi lấy tích phân, phương trình vi phân được coi là đã giải. Chỉ có điều chữ “y” của chúng ta không được thể hiện qua “x”, tức là lời giải được đưa ra một cách ngầm định hình thức. Lời giải của phương trình vi phân ở dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát của phương trình vi phân. Tức là đây là tích phân tổng quát.

Câu trả lời ở dạng này khá chấp nhận được, nhưng có lựa chọn nào tốt hơn không? Hãy cố gắng để có được quyết định chung.

Vui lòng, hãy nhớ kỹ thuật đầu tiên, nó rất thông dụng và thường được sử dụng trong các công việc thực tế: nếu logarit xuất hiện ở phía bên phải sau khi lấy tích phân, thì trong nhiều trường hợp (nhưng không phải luôn luôn như vậy!) nên viết hằng số cũng theo logarit. Và CHẮC CHẮN ghi lại nếu kết quả chỉ là logarit (như trong ví dụ đang xem xét).

Đó là, THAY VÌ các mục thường được viết .

Tại sao điều này là cần thiết? Và để dễ dàng thể hiện “trò chơi” hơn. Sử dụng tính chất của logarit . Trong trường hợp này:

Bây giờ logarit và mô-đun có thể được loại bỏ:

Chức năng được trình bày rõ ràng. Đây là giải pháp chung.

Trả lời: quyết định chung: .

Câu trả lời cho nhiều phương trình vi phân khá dễ kiểm tra. Trong trường hợp của chúng tôi, việc này được thực hiện khá đơn giản, chúng tôi lấy giải pháp tìm được và phân biệt nó:

Sau đó thay đạo hàm vào phương trình ban đầu:

– thu được đẳng thức đúng, nghĩa là nghiệm tổng quát thỏa mãn phương trình, đây là điều cần kiểm tra.

Bằng cách đưa ra các giá trị khác nhau không đổi, bạn có thể nhận được vô số giải pháp riêng phương trình vi phân. Rõ ràng là bất kỳ hàm số , , v.v. thỏa mãn phương trình vi phân.

Đôi khi giải pháp chung được gọi là họ chức năng. Trong ví dụ này, giải pháp chung là một họ các hàm tuyến tính, hay chính xác hơn là một họ hàm tỷ lệ trực tiếp.

Sau khi xem xét kỹ lưỡng ví dụ đầu tiên, việc trả lời một số câu hỏi đơn giản về phương trình vi phân là phù hợp:

1)Trong ví dụ này, chúng tôi có thể tách các biến. Điều này có thể luôn luôn được thực hiện? Không, không phải lúc nào cũng vậy. Và thậm chí thường xuyên hơn, các biến không thể tách rời. Ví dụ, trong phương trình bậc nhất đồng nhất, trước tiên bạn phải thay thế nó. Trong các loại phương trình khác, chẳng hạn như trong phương trình tuyến tính không đồng nhất bậc nhất, bạn cần sử dụng nhiều kỹ thuật và phương pháp khác nhau để tìm ra nghiệm tổng quát. Các phương trình có các biến tách được mà chúng ta xem xét trong bài học đầu tiên là loại phương trình vi phân đơn giản nhất.

2) Có phải luôn luôn có thể tích phân một phương trình vi phân? Không, không phải lúc nào cũng vậy. Rất dễ dàng đưa ra một phương trình “lạ mắt” không thể lấy tích phân, ngoài ra còn có những tích phân không thể lấy được. Nhưng những DE như vậy có thể được giải gần đúng bằng các phương pháp đặc biệt. D'Alembert và Cauchy đảm bảo... ...ugh, lurkmore. vừa mới đọc rất nhiều, tôi gần như đã thêm "từ thế giới khác."

3) Trong ví dụ này, chúng ta thu được nghiệm ở dạng tích phân tổng quát . Có phải luôn luôn có thể tìm được nghiệm tổng quát từ tích phân tổng quát, tức là biểu diễn chữ “y” một cách rõ ràng? Không, không phải lúc nào cũng vậy. Ví dụ: . Chà, làm sao bạn có thể diễn đạt “tiếng Hy Lạp” ở đây?! Trong những trường hợp như vậy, đáp án phải được viết dưới dạng tích phân tổng quát. Ngoài ra, đôi khi có thể tìm được lời giải tổng quát nhưng viết rườm rà, vụng về nên tốt nhất nên để đáp án dưới dạng tích phân tổng quát.

4) ...có lẽ bây giờ thế là đủ rồi. Trong ví dụ đầu tiên chúng ta gặp phải một điểm quan trọng khác, nhưng để không phủ lên những “hình nộm” một loạt thông tin mới, tôi sẽ để nó cho đến bài học tiếp theo.

Chúng tôi sẽ không vội vàng. Một điều khiển từ xa đơn giản khác và một giải pháp điển hình khác:

Ví dụ 2

Tìm nghiệm cụ thể của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu

Giải pháp: theo điều kiện cần tìm giải pháp riêng DE thỏa mãn điều kiện ban đầu cho trước. Cách đặt câu hỏi này còn được gọi là vấn đề Cauchy.

Đầu tiên chúng ta tìm một giải pháp chung. Không có biến “x” trong phương trình, nhưng điều này không nên nhầm lẫn, điều chính là nó có đạo hàm cấp một.

Chúng tôi viết lại đạo hàm ở dạng yêu cầu:

Rõ ràng, các biến có thể được tách ra, con trai ở bên trái, con gái ở bên phải:

Hãy tích hợp phương trình:

Tích phân tổng quát thu được. Ở đây tôi đã vẽ một hằng số có dấu hoa thị, thực tế là nó sẽ sớm biến thành một hằng số khác.

Bây giờ chúng ta cố gắng biến đổi tích phân tổng quát thành nghiệm tổng quát (biểu diễn rõ ràng chữ “y”). Hãy nhớ lại những điều tốt đẹp xưa ở trường: . Trong trường hợp này:

Hằng số trong chỉ báo có vẻ không hợp lý bằng cách nào đó, vì vậy nó thường được đưa xuống mặt đất. Cụ thể thì sự việc diễn ra như thế này. Sử dụng tính chất độ, chúng ta viết lại hàm như sau:

Nếu là một hằng số thì cũng là một hằng số nào đó, hãy ký hiệu lại nó bằng chữ cái:
– trong trường hợp này, chúng tôi loại bỏ mô-đun, sau đó hằng số “ce” có thể nhận cả giá trị dương và âm

Hãy nhớ “phá hủy” một hằng số là kỹ thuật thứ hai, thường được sử dụng khi giải phương trình vi phân. Trên phiên bản sạch, bạn có thể chuyển ngay từ nhưng hãy luôn sẵn sàng giải thích sự chuyển đổi này.

Vì vậy, giải pháp chung là: . Đây là một họ hàm mũ đẹp.

Ở giai đoạn cuối, bạn cần tìm một giải pháp cụ thể thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho. Điều này cũng đơn giản.

Nhiệm vụ là gì? Cần phải nhặt như là giá trị của hằng số sao cho điều kiện được thỏa mãn.

Nó có thể được định dạng theo nhiều cách khác nhau, nhưng đây có lẽ sẽ là cách rõ ràng nhất. Trong giải pháp chung, thay vì “X”, chúng ta thay thế số 0 và thay vì “Y” chúng ta thay thế bằng hai:



Đó là,

Phiên bản thiết kế tiêu chuẩn:

Bây giờ chúng ta thay giá trị tìm được của hằng số vào nghiệm tổng quát:
– đây là giải pháp cụ thể mà chúng tôi cần.

Trả lời: giải pháp riêng:

Hãy kiểm tra. Kiểm tra một giải pháp riêng bao gồm hai giai đoạn:

Trước tiên, bạn cần kiểm tra xem giải pháp cụ thể được tìm thấy có thực sự thỏa mãn điều kiện ban đầu hay không? Thay vì chữ “X”, chúng ta thay thế số 0 và xem điều gì sẽ xảy ra:
- vâng, thực sự, hai đã được nhận, có nghĩa là điều kiện ban đầu được đáp ứng.

Giai đoạn thứ hai đã quen thuộc. Chúng tôi lấy giải pháp cụ thể thu được và tìm đạo hàm:

Chúng ta thay thế vào phương trình ban đầu:

- thu được đẳng thức đúng.

Kết luận: giải pháp cụ thể đã được tìm thấy chính xác.

Hãy chuyển sang những ví dụ có ý nghĩa hơn.

Ví dụ 3

Giải phương trình vi phân

Giải pháp: Chúng tôi viết lại đạo hàm ở dạng chúng tôi cần:

Chúng tôi đánh giá liệu có thể tách các biến? Có thể. Chúng ta chuyển số hạng thứ hai sang vế phải bằng cách đổi dấu:

Và ta chuyển số nhân theo quy luật tỉ lệ:

Các biến được tách ra, hãy tích hợp cả hai phần:

Tôi phải cảnh báo bạn, ngày phán xét đang đến gần. Nếu bạn chưa học tốt tích phân không xác định, đã giải được một vài ví dụ, sau đó không còn nơi nào để đi - bạn sẽ phải nắm vững chúng ngay bây giờ.

Tích phân của vế trái rất dễ tìm; chúng ta giải tích phân của cotang bằng kỹ thuật tiêu chuẩn mà chúng ta đã xem xét trong bài học Tích hợp các hàm lượng giác năm ngoái:

Kết quả là chúng tôi chỉ nhận được logarit và theo khuyến nghị kỹ thuật đầu tiên của tôi, chúng tôi cũng định nghĩa hằng số là logarit.

Bây giờ chúng ta cố gắng đơn giản hóa tích phân tổng quát. Vì chúng ta chỉ có logarit nên việc loại bỏ chúng là hoàn toàn có thể (và cần thiết). Bằng cách sử dụng tính chất đã biết Chúng tôi “đóng gói” logarit càng nhiều càng tốt. Tôi sẽ viết nó ra rất chi tiết:

Bao bì làm xong bị rách nát dã man:
, và ngay lập tức chúng tôi trình bày tích phân tổng quát Nhân tiện, miễn là điều này có thể:

Nói chung là không cần thiết phải làm như vậy nhưng làm hài lòng giáo sư luôn có lợi ;-)

Về nguyên tắc, kiệt tác này có thể được viết như một câu trả lời, nhưng ở đây vẫn thích hợp để bình phương cả hai phần và đặt lại hằng số:

Trả lời: tích phân tổng quát:

! Ghi chú: Tích phân tổng quát thường có thể được viết bằng nhiều cách. Vì vậy, nếu kết quả của bạn không trùng với đáp án đã biết trước đó, điều này không có nghĩa là bạn đã giải sai phương trình.

Có thể diễn đạt “trò chơi” được không? Có thể. Hãy trình bày giải pháp chung:

Tất nhiên, kết quả thu được phù hợp với câu trả lời, nhưng lưu ý rằng tích phân tổng quát trông nhỏ gọn hơn và nghiệm ngắn hơn.

Mẹo kỹ thuật thứ ba:Nếu để có được lời giải tổng quát, bạn cần thực hiện một số lượng đáng kể các hành động, thì trong hầu hết các trường hợp, tốt hơn là bạn nên hạn chế những hành động này và để lại câu trả lời ở dạng tích phân tổng quát. Điều tương tự cũng áp dụng cho các hành động “xấu”, khi bạn cần biểu diễn hàm nghịch đảo, lũy thừa, rút ​​​​gốc, v.v. Thực tế là giải pháp chung sẽ trông có vẻ cầu kỳ và cồng kềnh - với các nghiệm lớn, các dấu hiệu và những thứ rác rưởi toán học khác.

Làm thế nào để kiểm tra? Việc kiểm tra có thể được thực hiện theo hai cách. Cách 1: Giải tổng quát , chúng ta tìm đạo hàm và thay chúng vào phương trình ban đầu. Hãy tự mình thử nó!

Cách thứ hai là lấy đạo hàm tích phân tổng quát. Nó khá dễ dàng, điều chính là có thể tìm thấy đạo hàm của một hàm được chỉ định ngầm định:

chia mỗi số hạng cho:

và hơn thế nữa:

Phương trình vi phân ban đầu đã thu được một cách chính xác, có nghĩa là tích phân tổng quát đã được tìm thấy một cách chính xác.

Ví dụ 4

Tìm nghiệm cụ thể của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu. Thực hiện kiểm tra.

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng thuật toán bao gồm hai giai đoạn:
1) tìm giải pháp chung;
2) tìm giải pháp cụ thể cần thiết.

Việc kiểm tra cũng được thực hiện theo hai bước (xem ví dụ ở Ví dụ số 2), bạn cần:
1) đảm bảo rằng giải pháp cụ thể được tìm thấy thỏa mãn điều kiện ban đầu;
2) kiểm tra xem một nghiệm cụ thể có thỏa mãn phương trình vi phân hay không.

Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Ví dụ 5

Tìm nghiệm cụ thể của phương trình vi phân , thỏa mãn điều kiện ban đầu. Thực hiện kiểm tra.

Giải pháp:Đầu tiên, chúng ta hãy tìm một nghiệm tổng quát, phương trình này đã chứa sẵn vi phân và do đó, nghiệm được đơn giản hóa. Chúng tôi tách các biến:

Hãy tích hợp phương trình:

Tích phân bên trái là dạng bảng, tích phân bên phải được lấy phương pháp gộp hàm số dưới dấu vi phân:

Tích phân tổng quát đã thu được, liệu có thể biểu diễn thành công nghiệm tổng quát được không? Có thể. Chúng tôi treo logarit ở cả hai bên. Vì chúng dương nên dấu hiệu mô đun là không cần thiết:

(Mong mọi người hiểu sự chuyển hóa, những điều như vậy chắc hẳn đã biết rồi)

Vì vậy, giải pháp chung là:

Hãy tìm một giải pháp cụ thể tương ứng với điều kiện ban đầu đã cho.
Trong giải pháp tổng quát, thay vì “X”, chúng ta thay thế số 0 và thay vì “Y”, chúng ta thay thế logarit của hai:

Thiết kế quen thuộc hơn:

Chúng ta thay giá trị tìm được của hằng số vào nghiệm tổng quát.

Trả lời: giải pháp riêng:

Kiểm tra: Trước tiên, hãy kiểm tra xem điều kiện ban đầu có được đáp ứng hay không:
- Mọi thứ đều tốt.

Bây giờ hãy kiểm tra xem nghiệm cụ thể tìm được có thỏa mãn phương trình vi phân hay không. Tìm đạo hàm:

Chúng ta hãy nhìn vào phương trình ban đầu: – nó được trình bày dưới dạng vi phân. Có hai cách để kiểm tra. Có thể biểu diễn vi phân từ đạo hàm tìm được:

Chúng ta hãy thay thế nghiệm cụ thể tìm được và vi phân thu được vào phương trình ban đầu :

Chúng tôi sử dụng danh tính logarit cơ bản:

Đạt được đẳng thức chính xác, có nghĩa là giải pháp cụ thể đã được tìm thấy chính xác.

Phương pháp kiểm tra thứ hai được phản ánh và quen thuộc hơn: từ phương trình Hãy biểu thị đạo hàm, để làm điều này, chúng ta chia tất cả các phần cho:

Và vào DE đã biến đổi, chúng ta thay thế nghiệm từng phần thu được và đạo hàm tìm được. Do sự đơn giản hóa, cũng cần đạt được sự bình đẳng chính xác.

Ví dụ 6

Tìm tích phân tổng quát của phương trình, trình bày đáp án dưới dạng.

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, giải đầy đủ và đáp án cuối bài.

Những khó khăn nào đang chờ đợi khi giải phương trình vi phân với các biến tách được?

1) Không phải lúc nào cũng rõ ràng (đặc biệt đối với một “ấm trà”) rằng các biến số có thể được tách ra. Hãy xem xét một ví dụ có điều kiện: . Ở đây bạn cần lấy các thừa số ra khỏi ngoặc: và tách các gốc: . Rõ ràng phải làm gì tiếp theo.

2) Những khó khăn trong quá trình hội nhập. Tích phân thường không đơn giản nhất và nếu có sai sót trong kỹ năng tìm không xác định, không thể thiếu, thì sẽ khó khăn với nhiều bộ khuếch tán. Ngoài ra, logic “vì phương trình vi phân đơn giản nên ít nhất hãy để tích phân phức tạp hơn” rất phổ biến trong những người biên soạn các bộ sưu tập và sách hướng dẫn đào tạo.

3) Các phép biến đổi có hằng số. Như mọi người đã nhận thấy, hằng số trong phương trình vi phân có thể được xử lý khá dễ dàng và một số phép biến đổi không phải lúc nào cũng rõ ràng đối với người mới bắt đầu. Hãy xem một ví dụ có điều kiện khác: . Nên nhân tất cả các số hạng với 2: . Hằng số kết quả cũng là một loại hằng số nào đó, có thể được biểu thị bằng: . Có, và vì chúng ta chỉ có logarit nên nên viết lại hằng số dưới dạng một hằng số khác: .

Vấn đề là họ thường không bận tâm đến các chỉ mục và sử dụng cùng một chữ cái. Do đó, bản ghi quyết định có dạng sau:

Cái quái gì vậy?! Có những sai lầm ngay tại đó! Nói đúng ra thì có. Tuy nhiên, xét về mặt thực chất thì không có sai sót nào cả, vì khi biến đổi một hằng biến sẽ thu được một hằng biến tương đương.

Hoặc một ví dụ khác, giả sử rằng trong quá trình giải phương trình, thu được tích phân tổng quát. Câu trả lời này có vẻ xấu nên nên đổi dấu từng số hạng: . Về mặt hình thức, có một sai lầm khác ở đây - nó phải được viết ở bên phải. Nhưng một cách không chính thức, người ta hiểu rằng “trừ ce” vẫn là một hằng số, nó cũng có cùng một tập hợp các giá trị, và do đó việc đặt “trừ” là vô nghĩa.

Tôi sẽ cố gắng tránh cách tiếp cận bất cẩn và vẫn gán các chỉ số khác nhau cho các hằng số khi chuyển đổi chúng. Đó là điều tôi khuyên bạn nên làm.

Ví dụ 7

Giải phương trình vi phân. Thực hiện kiểm tra.

Giải pháp: Phương trình này cho phép tách các biến. Chúng tôi tách các biến:

Hãy tích hợp:

Không cần thiết phải định nghĩa hằng số ở đây là logarit, vì việc này sẽ không có ích gì.

Trả lời: tích phân tổng quát:

Và tất nhiên, không cần phải diễn đạt “y” một cách rõ ràng ở đây, vì nó sẽ trở thành rác rưởi (hãy nhớ mẹo kỹ thuật thứ ba).

Bài kiểm tra: Phân biệt câu trả lời (hàm ẩn):

Chúng ta loại bỏ các phân số bằng cách nhân cả hai số hạng với:

Phương trình vi phân ban đầu đã thu được, có nghĩa là tích phân tổng quát đã được tìm thấy một cách chính xác.

Ví dụ 8

Tìm một giải pháp cụ thể của DE.
,

Phương trình vi phân.

Các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân thường.

Định nghĩa 1. Phương trình vi phân thường N– thứ tự thứ của hàm y lý lẽ x được gọi là quan hệ có dạng

Ở đâu F – một hàm nhất định của các đối số của nó. Trong tên của lớp phương trình toán học này, thuật ngữ “vi phân” nhấn mạnh rằng chúng bao gồm các đạo hàm (các hàm được hình thành do lấy vi phân); thuật ngữ “thông thường” chỉ ra rằng hàm mong muốn chỉ phụ thuộc vào một đối số thực.

Một phương trình vi phân thông thường có thể không chứa một đối số rõ ràng x, hàm mong muốn và bất kỳ đạo hàm nào của nó, nhưng đạo hàm cao nhất phải được đưa vào phương trình N- thứ tự. Ví dụ

a) – phương trình bậc nhất;

b) - phương trình bậc ba.

Khi viết phương trình vi phân thông thường, người ta thường sử dụng ký hiệu đạo hàm dưới dạng vi phân:

V) - phương trình bậc hai;

d) – phương trình bậc nhất,

máy phát điện sau khi chia cho dx dạng tương đương của việc xác định phương trình: .

Một hàm được gọi là nghiệm của một phương trình vi phân thông thường nếu khi được thay thế vào nó, nó trở thành một đẳng thức.

Ví dụ: phương trình bậc 3

Có một giải pháp .

Tìm bằng phương pháp này hay phương pháp khác, chẳng hạn như chọn lọc, một hàm thỏa mãn phương trình không có nghĩa là giải được nó. Giải phương trình vi phân thông thường có nghĩa là tìm Tất cả các hàm tạo thành một danh tính khi được thay thế vào một phương trình. Đối với phương trình (1.1), một họ các hàm như vậy được hình thành bằng cách sử dụng các hằng số tùy ý và được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thường N-thứ tự và số hằng số trùng với thứ tự của phương trình: Lời giải tổng quát có thể được, nhưng không được giải quyết rõ ràng đối với y(x): Trong trường hợp này, nghiệm thường được gọi là tích phân tổng quát của phương trình (1.1).

Ví dụ, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là biểu thức sau: , và số hạng thứ hai có thể được viết là , vì một hằng số tùy ý chia cho 2 có thể được thay thế bằng một hằng số tùy ý mới.

Bằng cách gán một số giá trị chấp nhận được cho tất cả các hằng số tùy ý trong nghiệm tổng quát hoặc trong tích phân tổng quát, chúng ta thu được một hàm nhất định không còn chứa các hằng số tùy ý. Hàm này được gọi là nghiệm riêng phần hoặc tích phân riêng của phương trình (1.1). Để tìm giá trị của các hằng số tùy ý và do đó tìm được nghiệm cụ thể, người ta sử dụng nhiều điều kiện bổ sung khác nhau cho phương trình (1.1). Ví dụ, cái gọi là điều kiện ban đầu có thể được xác định tại (1.2)

Ở vế phải của điều kiện ban đầu (1.2) xác định các giá trị số của hàm và đạo hàm, tổng số điều kiện ban đầu bằng số hằng số tùy ý được xác định.

Bài toán tìm nghiệm cụ thể của phương trình (1.1) dựa trên điều kiện ban đầu được gọi là bài toán Cauchy.

§ 2. Phương trình vi phân thông thường bậc 1 - những khái niệm cơ bản.

Phương trình vi phân thông thường bậc 1 ( N=1) có dạng: hoặc, nếu nó có thể giải được theo đạo hàm: . Quyết định chung y=y(x,C) hoặc tích phân tổng quát của phương trình bậc 1 chứa một hằng số tùy ý. Điều kiện ban đầu duy nhất cho phương trình bậc 1 cho phép bạn xác định giá trị của hằng số từ nghiệm tổng quát hoặc từ tích phân tổng quát. Do đó, một nghiệm cụ thể sẽ được tìm ra hoặc tương tự như vậy, bài toán Cauchy sẽ được giải. Câu hỏi về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm của bài toán Cauchy là một trong những câu hỏi trọng tâm trong lý thuyết tổng quát của phương trình vi phân thường. Đặc biệt, đối với phương trình bậc 1, định lý này đúng, được chấp nhận ở đây mà không cần chứng minh.

Định lý 2.1. Nếu trong phương trình hàm số và đạo hàm riêng của nó liên tục trong một miền nào đó D máy bay XOY , và cho một điểm trong vùng này thì có một nghiệm duy nhất thỏa mãn cả phương trình và điều kiện ban đầu.

Về mặt hình học, nghiệm tổng quát của phương trình bậc 1 là một họ đường cong trên mặt phẳng XOY, không có điểm chung và khác nhau ở một tham số - giá trị của hằng số C. Những đường cong này được gọi là đường cong tích phân của một phương trình đã cho. Các đường cong phương trình tích phân có một tính chất hình học rõ ràng: tại mỗi điểm tiếp tuyến của đường cong bằng giá trị vế phải của phương trình tại điểm này: . Nói cách khác, phương trình được cho trong mặt phẳng XOY trường hướng của các tiếp tuyến của đường cong tích phân. Bình luận: Cần lưu ý rằng đối với phương trình. phương trình và cái gọi là phương trình được đưa ra ở dạng đối xứng .

Phương trình vi phân bậc 1 với các biến tách được.

Sự định nghĩa. Phương trình vi phân phân được các biến là phương trình có dạng (3.1)

hoặc một phương trình có dạng (3.2)

Để tách các biến trong phương trình (3.1), tức là chuyển phương trình này thành phương trình biến phân tách, thực hiện như sau:

;

Bây giờ chúng ta cần giải phương trình g(y)= 0. Nếu có giải pháp thực sự y=a, Cái đó y=a cũng sẽ là nghiệm của phương trình (3.1).

Phương trình (3.2) được rút gọn thành phương trình tách biệt bằng cách chia cho tích:

, cho phép chúng ta thu được tích phân tổng quát của phương trình (3.2): . (3.3)

Đường tích phân (3.3) sẽ được bổ sung nghiệm nếu tồn tại nghiệm đó.

Giải phương trình: .

Chúng tôi tách các biến:

.

Tích hợp, chúng tôi nhận được

Trong một loạt các phương trình vi phân thông thường bậc 1, có những phương trình trong đó các biến x và y có thể được tách thành vế phải và vế trái của phương trình. Các biến có thể đã được tách ra, như có thể thấy trong phương trình f(y)d y = g(x)dx. Bạn có thể tách các biến trong ODE f 1 (y) · g 1 (x) d y = f 2 (y) · g 2 (x) d x bằng cách thực hiện các phép biến đổi. Thông thường, để thu được phương trình với các biến có thể tách được, phương pháp đưa biến mới được sử dụng.

Trong chủ đề này, chúng ta sẽ xem xét chi tiết phương pháp giải phương trình với các biến riêng biệt. Chúng ta hãy xem xét các phương trình có các biến tách được và các phương trình vi phân, những phương trình này có thể được rút gọn thành các phương trình có các biến tách được. Trong phần này, chúng tôi đã phân tích một số lượng lớn các vấn đề về chủ đề này với phân tích chi tiết về giải pháp.

Để giúp bạn dễ dàng nắm vững chủ đề hơn, chúng tôi khuyên bạn nên tự làm quen với các thông tin được đăng trên trang “Các định nghĩa và khái niệm cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân”.

Phương trình vi phân phân tách f (y) d y = g (x) d x

Định nghĩa 1

Các phương trình có biến phân tách được gọi là phương trình vi phân có dạng f(y) d y = g(x) d x. Như tên cho thấy, các biến tạo nên một biểu thức nằm ở hai bên dấu bằng.

Chúng ta hãy đồng ý rằng các hàm f (y) và g(x) chúng ta sẽ giả sử liên tục.

Đối với các phương trình có các biến riêng biệt, tích phân tổng quát sẽ là ∫ f(y) d y = ∫ g(x) d x. Chúng ta có thể thu được nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dưới dạng hàm xác định ngầm định Ф (x, y) = 0, với điều kiện là tích phân từ đẳng thức trên được biểu diễn dưới dạng các hàm cơ bản. Trong một số trường hợp, có thể biểu diễn hàm y ở dạng tường minh.

ví dụ 1

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tách y 2 3 d y = sin x d x .

Giải pháp

Hãy tích hợp cả hai mặt của sự bình đẳng:

∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x

Trên thực tế, đây là giải pháp chung cho hệ thống điều khiển này. Trên thực tế, chúng ta đã đơn giản hóa bài toán tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thành bài toán tìm tích phân không xác định.

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng bảng nguyên hàm để lấy các tích phân được biểu diễn dưới dạng các hàm cơ bản:

∫ y 2 3 d y = 3 5 y 5 3 + C 1 ∫ sin x d x = - cos x + C 2 ⇒ ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x ⇔ 3 5 y 3 5 + C 1 = - cos x + C 2
trong đó C 1 và C 2 là các hằng số tùy ý.

Hàm 3 5 y 3 5 + C 1 = - cos x + C 2 được xác định ngầm định. Đây là nghiệm tổng quát cho phương trình vi phân biến phân tách ban đầu. Chúng tôi đã nhận được phản hồi và có thể không tiếp tục quyết định. Tuy nhiên, trong ví dụ đang xem xét, hàm mong muốn có thể được biểu diễn rõ ràng thông qua đối số x.

Chúng tôi nhận được:

3 5 y 5 3 + C 1 ⇒ y = - 5 3 cos x + C 3 5, trong đó C = 5 3 (C 2 - C 1)

Nghiệm tổng quát của DE này là hàm y = - 5 3 cos x + C 3 5

Trả lời:

Chúng ta có thể viết câu trả lời bằng nhiều cách: ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x or 3 5 y 5 3 + C 1 = - cos x + C 2, or y = - 5 3 cos x + C 3 5

Cần phải nói rõ với giáo viên rằng, cùng với kỹ năng giải phương trình vi phân, bạn còn có khả năng biến đổi biểu thức và lấy tích phân. Thật dễ dàng để làm. Chỉ cần đưa ra câu trả lời cuối cùng dưới dạng hàm tường minh hoặc hàm được chỉ định ngầm Ф (x, y) = 0 là đủ.

Phương trình vi phân có biến tách được f 1 (y) g 1 (x) d y = f 2 (y) g 2 (x) d x

y " = d y d x trong trường hợp y là hàm của đối số x.

Trong DE f 1 (y) g 1 (x) d y = f 2 (y) g 2 (x) d x hoặc f 1 (y) g 1 (x) y " = f 2 (y) g 2 (x) d x ta có thể thực hiện các phép biến đổi sao cho tách các biến, loại DE này gọi là DE với các biến tách được, DE tương ứng với các biến tách được sẽ viết là f 1(y)f 2(y) d y = g 2 ( x) g 1 (x) d x .

Khi tách các biến, cần thực hiện tất cả các phép biến đổi một cách cẩn thận để tránh sai sót. Phương trình kết quả và phương trình ban đầu phải tương đương với nhau. Để kiểm tra, bạn có thể sử dụng điều kiện theo đó f 2 (y) và g 1 (x) không nên biến mất trong khoảng tích phân. Nếu điều kiện này không được đáp ứng thì có khả năng bạn sẽ mất một số giải pháp.

Ví dụ 2

Tìm tất cả nghiệm của phương trình vi phân y " = y · (x 2 + e x) .

Giải pháp

Chúng ta có thể tách x và y, do đó chúng ta đang xử lý một phương trình vi phân với các biến có thể tách được.

y " = y · (x 2 + e x) ⇔ d y d x = y · (x 2 + e x) ⇔ d y y = (x 2 + e x) d x pr và y ≠ 0

Khi y = 0, phương trình ban đầu trở thành một đẳng thức: 0 " = 0 · (x 2 + e x) ⇔ 0 ≡ 0. Điều này sẽ cho phép chúng ta phát biểu rằng y = 0 là nghiệm của DE. Chúng ta không thể chấp nhận điều này giải pháp cần tính đến khi thực hiện các phép biến đổi.

Chúng ta hãy thực hiện tích hợp phương trình vi phân với các biến riêng biệt d y y = (x 2 + e x) d x:
∫ d y y = ∫ (x 2 + e x) d x ∫ d y y = ln y + C 1 ∫ (x 2 + e x) d x = x 3 3 + e x + C 2 ⇒ ln y + C 1 = x 3 3 + e x + C 2 ⇒ ln y = x 3 3 + e x + C

Khi thực hiện chuyển đổi, chúng tôi đã thực hiện thay thế C 2 - C 1 TRÊN VỚI. Lời giải của DE có dạng hàm được xác định ngầm ln y = x 3 3 + e x + C . Chúng ta có thể diễn đạt chức năng này một cách rõ ràng. Để làm điều này, chúng ta hãy tăng cường sự bình đẳng kết quả:

ln y = x 3 3 + e x + C ⇔ e ln y = e x 3 3 + e x + C ⇔ y = e x 3 3 + e x + C

Trả lời: y = e x 3 3 + e x + C , y = 0

Phương trình vi phân rút gọn về phương trình có biến tách được y " = f(a x + b y), a ≠ 0, b ≠ 0

Để giảm bậc 1 thông thường DE y " = f (a x + b y) , a ≠ 0, b ≠ 0, đối với phương trình có các biến tách được cần đưa vào một biến mới z = a x + b y, trong đó z là hàm của đối số x.

Chúng tôi nhận được:

z = a x + b y ⇔ y = 1 b (z - a x) ⇒ y " = 1 b (z " - a) f (a x + b y) = f (z)

Chúng tôi thực hiện sự thay thế và các phép biến đổi cần thiết:

y " = f (a x + b y) ⇔ 1 b (z " - a) = f (z) ⇔ z " = b f (z) + a ⇔ d z b f (z) + a = d x , b f (z) + a ≠ 0

Ví dụ 3

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y " = 1 ln (2 x + y) - 2 và nghiệm cụ thể thỏa mãn điều kiện ban đầu y (0) = e.

Giải pháp

Hãy giới thiệu một biến z = 2 x + y, chúng tôi nhận được:

y = z - 2 x ⇒ y " = z " - 2 ln (2 x + y) = ln z

Chúng tôi thay thế kết quả mà chúng tôi nhận được vào biểu thức ban đầu và biến nó thành một phương trình vi phân với các biến có thể tách rời:

y " = 1 ln (2 x + y) - 2 ⇔ z " - 2 = 1 ln z - 2 ⇔ d z d x = 1 ln z

Hãy tích phân cả hai vế của phương trình sau khi tách các biến:

d z d z = 1 ln z ⇔ ln z d z = d x ⇔ ∫ ln z d z = ∫ d x

Chúng ta hãy sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tìm tích phân nằm ở vế trái của phương trình. Chúng ta hãy xét tích phân ở vế phải của bảng.

∫ ln z d z = u = ln z , d v = d z d u = d z z , v = z = z ln z - ∫ z d z z = = z ln z - z + C 1 = z (ln z - 1) + C 1 ∫ d x = x + C2

Chúng ta có thể phát biểu rằng z · (ln z - 1) + C 1 = x + C 2 . Bây giờ nếu chúng ta chấp nhận điều đó C = C 2 - C 1 và chúng tôi sẽ tiến hành thay thế ngược lại z = 2 x + y, thì chúng ta thu được nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dưới dạng hàm được chỉ định ngầm định:

(2 x + y) · (ln(2 x + y) - 1) = x + C

Bây giờ chúng ta hãy bắt đầu tìm một giải pháp cụ thể phải thỏa mãn điều kiện ban đầu y(0)=e. Hãy thay thế x = 0 và y(0) = e vào nghiệm tổng quát của DE và tìm giá trị của hằng số C.

(2 0 + e) ​​​​(ln (2 0 + e) ​​​​- 1) = 0 + C e (ln e - 1) = C C = 0

Chúng tôi nhận được một giải pháp cụ thể:

(2 x + y) · (ln(2 x + y) - 1) = x

Vì câu lệnh bài toán không chỉ định khoảng cần thiết để tìm lời giải chung cho DE, nên chúng tôi đang tìm kiếm một lời giải phù hợp với tất cả các giá trị của đối số x mà DE ban đầu có ý nghĩa.

Trong trường hợp của chúng ta, DE có ý nghĩa với ln (2 x + y) ≠ 0, 2 x + y > 0

Phương trình vi phân rút gọn về phương trình có biến tách được y " = f x y hoặc y " = f y x

Chúng ta có thể chuyển các phương trình vi phân có dạng y " = f x y hoặc y " = f y x thành các phương trình vi phân tách được bằng cách thay thế z = x y hoặc z = y x , trong đó z– hàm của đối số x.

Nếu z = x y thì y = x z và theo quy tắc đạo hàm:

y " = x y " = x " z - x z " z 2 = z - x z " z 2

Trong trường hợp này, các phương trình sẽ có dạng z - x · z " z 2 = f (z) hoặc z - x · z " z 2 = f 1 z

Nếu chúng ta lấy z = y x thì y = x ⋅ z và theo quy tắc đạo hàm của tích y " = (x z) " = x " z + x z " = z + x z ". Trong trường hợp này, các phương trình giảm xuống z + x z " = f 1 z hoặc z + x z " = f (z) .

Ví dụ 4

Giải phương trình vi phân y " = 1 e y x - y x + y x

Giải pháp

Lấy z = y x, thì y = x z ⇒ y " = z + x z ". Hãy thay thế vào phương trình ban đầu:

y " = 1 e y x - y x + y x ⇔ z + x z " = 1 e z - z + z ⇔ x d z d x = 1 e z - z ⇔ (e z - z) d z = d x x

Hãy tích phân phương trình với các biến riêng biệt mà chúng ta thu được khi thực hiện các phép biến đổi:

∫ (e z - z) d z = ∫ d x x e z - z 2 2 + C 1 = ln x + C 2 e z - z 2 2 = ln x + C , C = C 2 - C 1

Chúng ta hãy thực hiện phép thay thế ngược lại để thu được nghiệm tổng quát của DE ban đầu dưới dạng hàm được chỉ định ngầm định:

e y x - 1 2 y 2 x 2 = ln x + C

Bây giờ chúng ta hãy xem các điều khiển từ xa có dạng:

y " = a 0 y n + a 1 y n - 1 x + a 2 y n - 2 x 2 + ... + a n x n b 0 y n + b 1 y n - 1 x + b 2 y n - 2 x 2 + ... + b n x n

Chia tử số và mẫu số của phân số bên phải cho năm hoặc xn, chúng ta có thể nhớ DE ban đầu y " = f x y hoặc y " = f y x

Ví dụ 5

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y " = y 2 - x 2 2 x y

Giải pháp

Trong phương trình này, x và y khác 0. Điều này cho phép chúng ta chia tử số và mẫu số của phân số nằm ở bên phải của ký hiệu cho x 2:

y " = y 2 - x 2 2 x y ⇒ y " = y 2 x 2 - 1 2 y x

Nếu chúng ta giới thiệu một biến mới z = y x, chúng ta sẽ nhận được y = x z ⇒ y " = z + x z ".

Bây giờ chúng ta cần thay thế vào phương trình ban đầu:

y " = y 2 x 2 - 1 2 y x ⇔ z " x + z = z 2 - 1 2 z ⇔ z " x = z 2 - 1 2 z - z ⇔ z " x = z 2 - 1 - 2 z 2 2 z ⇔ d z d x x = - z 2 + 1 2 z ⇔ 2 z d z z 2 + 1 = - d x x

Đây là cách chúng tôi đến DE với các biến riêng biệt. Hãy tìm giải pháp của nó:

∫ 2 z d z z 2 + 1 = - ∫ d x x ∫ 2 z d z z 2 + 1 = ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = ln z 2 + 1 + C 1 - ∫ d x x = - ln x + C 2 ⇒ ln z 2 + 1 + C 1 = - ln x + C 2

Đối với phương trình này, chúng ta có thể thu được một giải pháp rõ ràng. Để làm điều này, hãy lấy - ln C = C 2 - C 1 và áp dụng các tính chất của logarit:

ln z 2 + 1 = - ln x + C 2 - C 1 ⇔ ln z 2 + 1 = - ln x - ln C ⇔ ln z 2 + 1 = - ln C x ⇔ ln z 2 + 1 = ln C x - 1 ⇔ e ln z 2 + 1 = e ln 1 C x ⇔ z 2 + 1 = 1 C x ⇔ z ± 1 C x - 1

Bây giờ chúng ta thực hiện phép thay thế ngược y = x ⋅ z và viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân ban đầu:

y = ± x 1 C x - 1

Trong trường hợp này, giải pháp thứ hai cũng đúng. Chúng ta có thể sử dụng thay thế z = x y. Hãy xem xét tùy chọn này chi tiết hơn.

Chúng ta hãy chia tử số và mẫu số của phân số nằm ở vế phải của phương trình cho năm 2:

y " = y 2 - x 2 2 x y ⇔ y " = 1 - x 2 y 2 2 x y

Đặt z = x y

Khi đó y " = 1 - x 2 y 2 2 x y ⇔ z - z " x z 2 = 1 - z 2 2 z

Chúng ta thay thế vào phương trình ban đầu để thu được phương trình vi phân có các biến tách được:

y " = 1 - x 2 y 2 2 x y ⇔ z - z " x z 2 = 1 - z 2 2 z

Chia các biến, chúng ta thu được đẳng thức d z z (z 2 + 1) = d x 2 x, mà chúng ta có thể lấy tích phân:

∫ d z z (z 2 + 1) = ∫ d x 2 x

Nếu chúng ta mở rộng tích phân của hàm tích phân ∫ d z z (z 2 + 1) thành các phân số đơn giản, chúng ta sẽ nhận được:

∫ 1 z - z z 2 + 1 d z

Hãy thực hiện việc tích hợp các phân số đơn giản:

∫ 1 z - z z 2 + 1 d z = ∫ z d z z 2 + 1 = ∫ d t z - 1 2 ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = = ln z - 1 2 ln z 2 + 1 + C 1 = ln z z 2 + 1 + C 1

Bây giờ hãy tìm tích phân ∫ d x 2 x:

∫ d x 2 x = 1 2 ln x + C 2 = ln x + C 2

Kết quả là, chúng ta nhận được ln z z 2 + 1 + C 1 = ln x + C 2 hoặc ln z z 2 + 1 = ln C x, trong đó ln C = C 2 - C 1.

Hãy thực hiện phép thay thế ngược z = x y và các phép biến đổi cần thiết, chúng ta nhận được:

y = ± x 1 C x - 1

Phương án giải pháp mà chúng tôi thay thế z = x y hóa ra lại tốn nhiều công sức hơn so với trường hợp thay thế z = y x. Kết luận này sẽ đúng với một số lượng lớn các phương trình có dạng y " = f x y hoặc y " = f y x . Nếu phương án đã chọn để giải các phương trình như vậy tốn nhiều công sức, bạn có thể đưa vào biến z = y x thay vì thay thế z = x y. Điều này sẽ không ảnh hưởng đến kết quả dưới bất kỳ hình thức nào.

Phương trình vi phân rút gọn về phương trình có biến phân tách y " = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2, a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2 ∈ R

Các phương trình vi phân y " = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 có thể được rút gọn thành các phương trình y " = f x y hoặc y " = f y x , do đó, thành các phương trình có các biến tách được. Để làm điều này, hãy tìm (x 0 , y 0) - nghiệm của hệ hai phương trình tuyến tính đồng nhất a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 và các biến mới là giới thiệu u = x - x 0 v = y - y 0. Sau phép thay thế này, phương trình sẽ có dạng d v d u = a 1 u + b 1 v a 2 u + b 2 v.

Ví dụ 6

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y " = x + 2 y - 3 x - 1 .

Giải pháp

Chúng ta soạn và giải hệ phương trình tuyến tính:

x + 2 y - 3 = 0 x - 1 = 0 ⇔ x = 1 y = 1

Hãy thay đổi các biến:

u = x - 1 v = y - 1 ⇔ x = u + 1 y = v + 1 ⇒ d x = d u d y = d v

Sau khi thay thế vào phương trình ban đầu, chúng ta thu được d y d x = x + 2 y - 3 x - 1 ⇔ d v d u = u + 2 v u . Sau khi chia cho bạn tử số và mẫu số của vế phải ta có d v d u = 1 + 2 v u .

Chúng ta giới thiệu một biến mới z = v u ⇒ v = z · y ⇒ d v d u = d z d u · u + z, sau đó

d v d u = 1 + 2 v u ⇔ d z d u · u + z = 1 + 2 z ⇔ d z 1 + z = d u u ⇒ ∫ d z 1 + z = ∫ d u u ⇔ ln 1 + z + C 1 = ln u + C 2 ⇒ ln 1 + z = ln u + ln C , ln C = C 2 - C 1 ln 1 + z = ln C u 1 + z = C u ⇔ z = C u - 1 ⇔ v u = Cu - 1 ⇔ v = u ( C u - 1)

Chúng ta quay trở lại các biến ban đầu, thực hiện thay thế ngược u = x - 1 v = y - 1:
v = u (C u - 1) ⇔ y - 1 = (x - 1) (C (x - 1) - 1) ⇔ y = C x 2 - (2 C + 1) x + C + 2

Đây là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Một phương trình vi phân với các biến tách biệt được viết là: (1). Trong phương trình này, một số hạng chỉ phụ thuộc vào x và số hạng kia chỉ phụ thuộc vào y. Tích phân số hạng của phương trình này theo số hạng, ta được:
là tích phân tổng quát của nó.

Ví dụ: tìm tích phân tổng quát của phương trình:
.

Giải: Phương trình này là phương trình vi phân riêng biệt. Đó là lý do tại sao
hoặc
Hãy biểu thị
. Sau đó
– tích phân tổng quát của phương trình vi phân.

Phương trình tách được có dạng (2). Phương trình (2) có thể dễ dàng rút gọn thành phương trình (1) bằng cách chia nó cho số hạng
. Chúng tôi nhận được:

- tích phân tổng quát.

Ví dụ: Giải phương trình .

Giải: Biến đổi vế trái của phương trình: . Chia cả hai vế của phương trình cho


Giải pháp là biểu thức:
những thứ kia.

Phương trình vi phân đồng nhất. Phương trình Bernoulli. Phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất.

Một phương trình có dạng được gọi là đồng nhất, Nếu như
Và
– các chức năng đồng nhất có cùng thứ tự (kích thước). Chức năng
được gọi là hàm đồng nhất bậc nhất (đo lường) nếu khi mỗi đối số của nó được nhân với một hệ số tùy ý toàn bộ hàm được nhân với , I E.
=
.

Phương trình đồng nhất có thể được rút gọn về dạng
. Sử dụng thay thế
(
) phương trình thuần nhất được rút gọn thành phương trình với các biến có thể tách rời đối với hàm mới .

Phương trình vi phân bậc một được gọi là tuyến tính, nếu có thể viết được dưới dạng
.

Phương pháp Bernoulli

Giải phương trình
được tìm kiếm như là một sản phẩm của hai chức năng khác, tức là sử dụng thay thế
(
).

Ví dụ: tích hợp phương trình
.

Chúng tôi tin
. Sau đó, tức là . Đầu tiên ta giải phương trình
=0:


.

Bây giờ chúng ta giải phương trình
những thứ kia.


. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình này là
những thứ kia.

Phương trình của J. Bernoulli

Một phương trình có dạng , trong đó
gọi điện Phương trình Bernoulli. Phương trình này được giải bằng phương pháp Bernoulli.

Phương trình vi phân bậc hai đồng nhất với hệ số không đổi

Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc hai là phương trình có dạng (1) , Ở đâu Và Vĩnh viễn.

Chúng ta sẽ tìm nghiệm từng phần của phương trình (1) ở dạng
, Ở đâu ĐẾN- một số nhất định. Vi phân hàm này hai lần và thay thế các biểu thức cho
vào phương trình (1), chúng ta thu được đó là, hoặc
(2) (
).

Phương trình 2 được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân.

Khi giải phương trình đặc tính (2), có thể xảy ra ba trường hợp.

Trường hợp 1. Rễ Và phương trình (2) là thực và khác nhau:

Và

.

Trường hợp 2. Rễ Và phương trình (2) là số thực và bằng nhau:
. Trong trường hợp này, nghiệm từng phần của phương trình (1) là các hàm
Và
. Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng
.

Trường hợp 3. Rễ Và phương trình (2) rất phức tạp:
,
. Trong trường hợp này, nghiệm từng phần của phương trình (1) là các hàm
Và
. Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng

Ví dụ. Giải phương trình
.

Giải pháp: Hãy lập phương trình đặc trưng:
. Sau đó
. Giải pháp chung cho phương trình này
.

Cực trị của hàm nhiều biến. Cực trị có điều kiện.

Cực trị của hàm nhiều biến

Sự định nghĩa.Điểm M (x ồ , y ồ ) được gọi làđiểm tối đa (tối thiểu) chức năngz= f(x, y), nếu có một lân cận của điểm M sao cho với mọi điểm (x, y) từ lân cận này thì bất đẳng thức
(
)

Trong bộ lễ phục. 1 điểm MỘT
- có một điểm tối thiểu và một điểm TRONG
- điểm tối đa.

Cần thiếtđiều kiện cực trị là một dạng tương tự đa chiều của định lý Fermat.

Định lý.Hãy để điểm
- là điểm cực trị của hàm khả viz= f(x, y). Khi đó đạo hàm riêng
Và
V.tại thời điểm này đều bằng 0.

Điểm tại đó thỏa mãn các điều kiện cần thiết cho cực trị của hàm số z= f(x, y), những thứ kia. dẫn một phần z" x Và z" y bằng 0 được gọi là phê bình hoặc đứng im.

Đẳng thức đạo hàm riêng về 0 chỉ thể hiện điều kiện cần nhưng chưa đủ cho cực trị của hàm nhiều biến.

Trong bộ lễ phục. cái gọi là điểm yên M (x ồ , y ồ ). Dẫn một phần
Và
đều bằng 0, nhưng rõ ràng không có cực trị tại điểm M(x ồ , y ồ ) KHÔNG.

Các điểm yên như vậy là các điểm tương tự hai chiều của các điểm uốn của hàm một biến. Thách thức là tách chúng ra khỏi những điểm cực trị. Nói cách khác, bạn cần biết hợp lý tình trạng cực độ.

Định lý (điều kiện đủ để tìm cực trị của hàm số hai biến).Hãy để chức năngz= f(x, y): MỘT) được xác định trong một lân cận nào đó của điểm tới hạn (x ồ , y ồ ), trong đó
= 0 và
=0 ;

b) có đạo hàm riêng liên tục bậc hai tại điểm này
;

;
Khi đó, nếu ∆=AC-B 2 >0, thì tại điểm (x ồ , y ồ ) chức năngz= f(x, y) có một cực trị, và nếu MỘT<0 - tối đa nếu A>0 - tối thiểu. Trường hợp ∆=AC-B 2 <0, функция z= f(x, y) không có cực trị. Nếu ∆=AC-B 2 = 0 thì câu hỏi về sự tồn tại của cực trị vẫn còn bỏ ngỏ.

Nghiên cứu hàm hai biến ở cực trị nên thực hiện những việc sau biểu đồ:

Tìm đạo hàm riêng của hàm số z" x Và z" y .

Giải hệ phương trình z" x =0, z" y =0 và tìm điểm cực trị của hàm số.

Tìm đạo hàm từng phần bậc hai, tính giá trị của chúng tại mỗi điểm tới hạn và sử dụng điều kiện đủ để kết luận về sự hiện diện của cực trị.

Tìm cực trị (giá trị cực trị) của hàm số.

Ví dụ. Tìm cực trị của hàm số

Giải pháp. 1. Tìm đạo hàm riêng

2. Từ hệ phương trình ta tìm điểm cực trị của hàm số:

có bốn nghiệm (1; 1), (1; -1), (-1; 1) và (-1; -1).

3. Tìm đạo hàm riêng bậc hai:

;
;
, chúng tôi tính toán giá trị của chúng tại mỗi điểm tới hạn và kiểm tra việc đáp ứng điều kiện cực trị đủ tại điểm đó.

Ví dụ: tại điểm (1; 1) MỘT= z"(1; 1)= -1; B=0; C= -1. Bởi vì ∆ =AC-B 2 = (-1) 2 -0=1 >0 và A=-1<0, thì điểm (1; 1) là điểm cực đại.

Tương tự, chúng ta thiết lập rằng (-1; -1) là điểm tối thiểu và tại các điểm (1; -1) và (-1; 1), tại đó ∆ =AC-B 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Tìm cực trị của hàm số z max = z(l; 1) = 2, z min = z(-l; -1) = -2,

Cực trị có điều kiện. Phương pháp nhân Lagrange.

Chúng ta hãy xem xét một bài toán cụ thể cho hàm nhiều biến, khi cực trị của nó được tìm kiếm không phải trên toàn bộ miền định nghĩa mà trên một tập hợp thỏa mãn một điều kiện nhất định.

Chúng ta hãy xem xét hàm z = f(x, y), tranh luận X Và Tại thỏa mãn điều kiện g(x,y)= VỚI, gọi điện phương trình kết nối.

Sự định nghĩa.chấm
gọi là một điểmtối đa có điều kiện (tối thiểu), nếu có một lân cận của điểm này sao cho với mọi điểm (x, y) từ lân cận này thỏa mãn điều kiệng (x, y) = C, bất đẳng thức đúng

(
).

Trong bộ lễ phục. điểm tối đa có điều kiện được hiển thị
. Hiển nhiên đây không phải là điểm cực trị vô điều kiện của hàm z = f(x, y) (trong hình đây là một điểm
).

Cách đơn giản nhất để tìm cực trị có điều kiện của hàm hai biến là chuyển bài toán về tìm cực trị của hàm một biến. Giả sử phương trình kết nối g (x, y) = VỚI quản lý để giải quyết liên quan đến một trong các biến, ví dụ, để thể hiện Tại bởi vì X:
. Thay biểu thức thu được vào hàm hai biến, ta thu được z = f(x, y) =
, những thứ kia. hàm một biến. Cực trị của nó sẽ là cực trị có điều kiện của hàm z = f(x, y).

Ví dụ. X 2 + y 2 cho rằng 3x +2y = 11.

Giải pháp. Từ phương trình 3x + 2y = 11, ta biểu diễn biến y thông qua biến x và thay thế kết quả
để hoạt động z. Chúng tôi nhận được z= x 2 +2
hoặc z =
. Hàm này có mức tối thiểu duy nhất tại = 3. Giá trị hàm tương ứng
Do đó, (3; 1) là điểm cực trị có điều kiện (tối thiểu).

Trong ví dụ được xem xét, phương trình ghép g(x, y) = C hóa ra là tuyến tính, do đó nó có thể được giải dễ dàng theo một trong các biến. Tuy nhiên, trong những trường hợp phức tạp hơn, điều này không thể thực hiện được.

Để tìm cực trị có điều kiện trong trường hợp tổng quát, ta sử dụng Phương pháp nhân Lagrange.

Xét hàm ba biến

Chức năng này được gọi là hàm Lagrange, MỘT - Hệ số Lagrange.Định lý sau đây là đúng.

Định lý.Nếu điểm
là điểm cực trị có điều kiện của hàmz = f(x, y) cho rằngg (x, y) = C thì tồn tại một giá trị điểm đó như vậy
là điểm cực trị của hàm sốL{ x, y, ).

Vì vậy, để tìm cực trị có điều kiện của hàm z = f(x,y) cho rằng g(x, y) = C cần tìm giải pháp cho hệ thống

Trong bộ lễ phục. ý nghĩa hình học của các điều kiện Lagrange được thể hiện. Đường kẻ g(x,y)= C chấm, đường ngang g(x, y) = Q hàm z = f(x, y) chất rắn.

Từ hình. theo sau đó tại điểm cực trị có điều kiện đường mức hàm z = f(x, y) chạm vào đường thẳngg(x, y) = S.

Ví dụ. Tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số z = X 2 + y 2 cho rằng 3x +2y = 11 bằng phương pháp nhân tử Lagrange.

Giải pháp. Biên dịch hàm Lagrange L= x 2 + 2у 2 +

Đánh đồng đạo hàm riêng của nó bằng 0, ta thu được hệ phương trình

Nghiệm duy nhất của nó (x=3, y=1, =-2). Như vậy điểm cực trị có điều kiện chỉ có thể là điểm (3;1). Thật dễ dàng để xác minh rằng tại thời điểm này hàm z= f(x, y) có mức tối thiểu có điều kiện.

Một phương pháp giải phương trình vi phân với các biến tách được được xem xét. Một ví dụ về giải pháp chi tiết của phương trình vi phân với các biến có thể tách được được đưa ra.

Nội dung

Sự định nghĩa

Hãy (x), q (x)- hàm của biến x;
P (y), r (y)- hàm của biến y.

Phương trình vi phân phân được các biến là phương trình có dạng

Phương pháp giải phương trình vi phân có biến tách được

Xét phương trình:
(Tôi) .
Chúng ta hãy biểu thị đạo hàm y′ dưới dạng vi phân.
;
.
Hãy nhân với dx.
(ii)
Chia phương trình cho s (x)r(y). Điều này có thể được thực hiện nếu s (x) r(y) ≠ 0. Khi nào (x) r(y) ≠ 0 chúng ta có
.
Tích phân, ta thu được tích phân tổng quát trong bình phương
(iii) .

Vì chúng ta chia cho s (x)r(y), khi đó chúng ta thu được tích phân của phương trình cho s (x) ≠ 0 và r (y) ≠ 0. Tiếp theo bạn cần giải phương trình
r (y) = 0.
Nếu phương trình này có nghiệm thì chúng cũng là nghiệm của phương trình (i). Đặt phương trình r (y) = 0. có n gốc a i, r (a tôi ) = 0, tôi = 1, 2, ... , n. Khi đó các hằng số y = a i là nghiệm của phương trình (i). Một số nghiệm này có thể đã được chứa trong tích phân tổng quát (iii).

Lưu ý rằng nếu phương trình ban đầu có dạng (ii) thì ta cũng phải giải phương trình
S (x) = 0.
Gốc của nó b j, s (b j ) = 0, j = 1, 2, ... , m. đưa ra đáp án x = b j .

Ví dụ giải phương trình vi phân với biến tách được

Giải phương trình

Hãy biểu thị đạo hàm thông qua vi phân:


Nhân với dx và chia cho . Với y ≠ 0 ta có:

Hãy hòa nhập.

Chúng tôi tính toán tích phân bằng công thức.



Thay vào đó, ta thu được tích phân tổng quát của phương trình
.

Bây giờ xét trường hợp y = 0 .
Rõ ràng y = 0 là nghiệm của phương trình ban đầu. Nó không được bao gồm trong tích phân chung.
Vì vậy, chúng tôi sẽ thêm nó vào kết quả cuối cùng.

; y = 0 .

Người giới thiệu:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Tuyển tập các bài toán cao cấp, “Lan”, 2003.