Tài liệu trình bày trong chủ đề này dựa trên những thông tin đã trình bày trong chủ đề “Phân số hữu tỉ. Phân tích phân số hữu tỉ thành phân số cơ bản (đơn giản). Tôi đặc biệt khuyên bạn ít nhất nên lướt qua chủ đề này trước khi chuyển sang đọc. của vật liệu này. Ngoài ra, chúng ta sẽ cần một bảng tích phân không xác định.

Hãy để tôi nhắc bạn về một vài thuật ngữ. Chúng đã được thảo luận trong chủ đề tương ứng, vì vậy ở đây tôi sẽ giới hạn bản thân trong một công thức ngắn gọn.

Tỷ số của hai đa thức $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ được gọi là hàm hợp lý hoặc một phân số hợp lý. Phân số hữu tỉ được gọi là Chính xác, nếu $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется sai.

Phân số hữu tỉ cơ bản (đơn giản nhất) là phân số hữu tỉ bốn loại:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Lưu ý (mong muốn hiểu đầy đủ hơn về văn bản): show\hide

Tại sao lại cần điều kiện $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Ví dụ: đối với biểu thức $x^2+5x+10$, chúng ta nhận được: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Vì $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Nhân tiện, đối với kiểm tra này, không nhất thiết hệ số trước $x^2$ phải bằng 1. Ví dụ: với $5x^2+7x-3=0$, chúng ta nhận được: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. Vì $D > 0$, biểu thức $5x^2+7x-3$ có thể phân tích thành thừa số.

Ví dụ phân số hợp lý(thường xuyên và không chính xác), cũng như các ví dụ về phân hủy các phân số hữu tỷ thành các phân số cơ bản. Ở đây chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến các câu hỏi về sự tích hợp của chúng. Hãy bắt đầu với việc tích hợp các phân số cơ bản. Vì vậy, mỗi loại trong bốn loại phân số cơ bản trên đều dễ dàng tích hợp bằng cách sử dụng các công thức dưới đây. Hãy để tôi nhắc bạn rằng khi lấy tích phân các phân số thuộc loại (2) và (4), giả sử $n=2,3,4,\ldots$. Công thức (3) và (4) yêu cầu phải đáp ứng điều kiện $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(equation)

Đối với $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ sự thay thế $t=x+\frac(p)(2)$ được thực hiện, sau đó khoảng kết quả là chia thành hai. Cái đầu tiên sẽ được tính bằng cách nhập vào dưới dấu vi phân và cái thứ hai sẽ có dạng $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Tích phân này được lấy bằng cách sử dụng mối quan hệ truy hồi

\begin(phương trình) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)Tôi_n,\; n\in N\end(phương trình)

Việc tính tích phân như vậy được thảo luận trong ví dụ số 7 (xem phần thứ ba).

Sơ đồ tính tích phân của hàm hữu tỉ (phân số hữu tỉ):

1. Nếu tích phân là sơ cấp thì áp dụng công thức (1)-(4).
2. Nếu số nguyên không phải là số nguyên thì biểu diễn nó dưới dạng tổng của các phân số cơ bản, sau đó tích phân bằng công thức (1)-(4).

Thuật toán tích phân các phân số hữu tỉ ở trên có một ưu điểm không thể phủ nhận - nó có tính phổ quát. Những thứ kia. sử dụng thuật toán này bạn có thể tích hợp bất kì phân số hợp lý. Đó là lý do tại sao hầu hết tất cả các thay đổi của các biến trong tích phân không xác định (Euler, Chebyshev, thay thế lượng giác phổ quát) đều được thực hiện theo cách mà sau sự thay đổi này, chúng ta thu được một phân số hữu tỷ trong khoảng. Và sau đó áp dụng thuật toán cho nó. Chúng tôi sẽ phân tích ứng dụng trực tiếp của thuật toán này bằng các ví dụ sau khi ghi chú nhỏ.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Về nguyên tắc, tích phân này dễ dàng thu được mà không cần áp dụng công thức một cách cơ học. Nếu chúng ta lấy hằng số $7$ ra khỏi dấu tích phân và xét đến $dx=d(x+9)$, chúng ta sẽ nhận được:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Để biết thông tin chi tiết, tôi khuyên bạn nên xem chủ đề. Nó giải thích chi tiết cách giải tích phân như vậy. Nhân tiện, công thức được chứng minh bằng các phép biến đổi tương tự đã được áp dụng trong đoạn này khi giải nó “thủ công”.

2) Một lần nữa, có hai cách: sử dụng công thức làm sẵn hoặc không sử dụng. Nếu bạn áp dụng công thức, thì bạn nên tính đến việc hệ số đứng trước $x$ (số 4) sẽ phải bị loại bỏ. Để làm điều này, chúng ta chỉ cần lấy bốn dấu ngoặc đơn này:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Bây giờ là lúc áp dụng công thức:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Bạn có thể làm mà không cần sử dụng công thức. Và thậm chí không lấy hằng số $4$ ra khỏi ngoặc. Nếu chúng ta tính đến $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, chúng ta sẽ nhận được:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Giải thích chi tiết cho việc tìm các tích phân như vậy được đưa ra trong chủ đề “Tích phân bằng cách thay thế (thay thế theo dấu vi phân)”.

3) Chúng ta cần lấy tích phân phân số $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Phân số này có cấu trúc $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, trong đó $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Tuy nhiên, để đảm bảo rằng đây thực sự là một phân số cơ bản của loại thứ ba, bạn cần kiểm tra xem điều kiện $p^2-4q có được đáp ứng không< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Hãy giải ví dụ tương tự nhưng không sử dụng công thức làm sẵn. Chúng ta hãy thử tách đạo hàm của mẫu số trong tử số. Điều đó có nghĩa là gì? Chúng ta biết rằng $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Đó là biểu thức $2x+10$ mà chúng ta phải tách ra trong tử số. Cho đến nay tử số chỉ chứa $4x+7$, nhưng điều này sẽ không kéo dài lâu. Hãy áp dụng phép biến đổi sau cho tử số:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Bây giờ biểu thức bắt buộc $2x+10$ xuất hiện ở tử số. Và tích phân của chúng ta có thể được viết lại như sau:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Hãy chia tích phân thành hai. Chà, và theo đó, bản thân tích phân cũng được “chia đôi”:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Trước tiên chúng ta hãy nói về tích phân thứ nhất, tức là về $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Vì $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, nên tử số của số nguyên chứa vi phân của mẫu số. Nói tóm lại, thay vào đó của biểu thức $( 2x+10)dx$ chúng ta viết $d(x^2+10x+34)$.

Bây giờ chúng ta hãy nói một vài lời về tích phân thứ hai. Hãy chọn một hình vuông hoàn chỉnh ở mẫu số: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Ngoài ra, chúng ta còn tính đến $dx=d(x+5)$. Bây giờ tổng các tích phân mà chúng ta thu được trước đó có thể được viết lại dưới dạng hơi khác một chút:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Nếu chúng ta thực hiện thay thế $u=x^2+10x+34$ trong tích phân thứ nhất, thì nó sẽ có dạng $\int\frac(du)(u)$ và có thể thu được bằng cách áp dụng công thức thứ hai từ . Đối với tích phân thứ hai, sự thay đổi $u=x+5$ là khả thi đối với nó, sau đó nó sẽ có dạng $\int\frac(du)(u^2+9)$. Cái này nước tinh khiết công thức thứ mười một từ bảng tích phân không xác định. Vì vậy, trở về tổng các tích phân, chúng ta có:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Chúng tôi nhận được câu trả lời tương tự như khi áp dụng công thức, điều này, nói đúng ra, không có gì đáng ngạc nhiên. Nói chung, công thức được chứng minh bằng các phương pháp tương tự mà chúng ta đã sử dụng để tìm tích phân này. Tôi tin rằng người đọc chăm chú có thể có một câu hỏi ở đây, vì vậy tôi sẽ trình bày nó:

Câu hỏi số 1

Nếu chúng ta áp dụng công thức thứ hai từ bảng tích phân không xác định cho tích phân $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, thì chúng ta nhận được kết quả sau:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Tại sao không có mô-đun nào trong giải pháp?

Trả lời câu hỏi số 1

Câu hỏi hoàn toàn tự nhiên. Mô-đun này chỉ bị thiếu vì biểu thức $x^2+10x+34$ cho bất kỳ $x\in R$ nào Hơn không. Điều này khá dễ dàng để thể hiện theo nhiều cách. Ví dụ: vì $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ và $(x+5)^2 ≥ 0$, nên $(x+5)^2+9 > 0$ . Bạn có thể nghĩ khác đi mà không cần nhấn mạnh hình vuông đầy đủ. Vì $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ cho bất kỳ $x\in R$ nào (nếu chuỗi logic này gây ngạc nhiên, tôi khuyên bạn nên xem xét phương pháp đồ họa các giải pháp bất đẳng thức bậc hai). Trong mọi trường hợp, vì $x^2+10x+34 > 0$, nên $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, tức là. Thay vì sử dụng mô-đun, bạn có thể sử dụng dấu ngoặc thông thường.

Tất cả các điểm của ví dụ số 1 đã được giải quyết, tất cả những gì còn lại là viết ra câu trả lời.

Trả lời:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Ví dụ số 2

Tìm tích phân $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Thoạt nhìn, phân số nguyên $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ rất giống với phân số cơ bản của loại thứ ba, tức là. bởi $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Có vẻ như sự khác biệt duy nhất là hệ số của $3$ ở phía trước $x^2$, nhưng sẽ không mất nhiều thời gian để loại bỏ hệ số (đặt nó ra khỏi ngoặc). Tuy nhiên, sự tương đồng này là rõ ràng. Đối với phân số $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ điều kiện $p^2-4q là bắt buộc< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Hệ số của chúng ta trước $x^2$ thì không bằng một, do đó hãy kiểm tra điều kiện $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант phương trình bậc hai$x^2+px+q=0$. Nếu giá trị phân biệt nhỏ hơn 0 thì biểu thức $x^2+px+q$ không thể được phân tích thành thừa số. Hãy tính phân biệt của đa thức $3x^2-5x-2$ nằm trong mẫu số của phân số chúng ta: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Vì vậy, $D > 0$, do đó biểu thức $3x^2-5x-2$ có thể được phân tích thành thừa số. Điều này có nghĩa là phân số $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ không phải là phân số nguyên tố của loại thứ ba và hãy áp dụng $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) sang công thức tích phân 5x-2)dx$ là không thể.

Chà, nếu phân số hữu tỷ đã cho không phải là phân số cơ bản thì nó cần được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số cơ bản rồi tích phân. Tóm lại, hãy tận dụng đường mòn. Cách phân hủy một phần hợp lý thành phần cơ bản được viết chi tiết. Hãy bắt đầu bằng cách phân tích mẫu số:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(căn chỉnh) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(căn chỉnh)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Chúng tôi trình bày phần dưới lớp dưới dạng này:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Bây giờ, hãy phân tách phân số $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ thành các phân số cơ bản:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\đúng). $$

Để tìm các hệ số $A$ và $B$ có hai cách tiêu chuẩn: phương pháp hệ số không chắc chắn và phương pháp thay thế giá trị một phần. Hãy áp dụng phương pháp thay thế giá trị một phần, thay thế $x=2$ và sau đó $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Vì các hệ số đã được tìm thấy, tất cả những gì còn lại là viết ra bản khai triển đã hoàn thành:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Về nguyên tắc, bạn có thể để lại mục này, nhưng tôi thích một lựa chọn chính xác hơn:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Quay trở lại tích phân ban đầu, chúng ta thay thế khai triển kết quả vào nó. Sau đó, chúng ta chia tích phân thành hai và áp dụng công thức cho từng tích phân. Tôi thích đặt ngay các hằng số bên ngoài dấu tích phân:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Trả lời: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Ví dụ số 3

Tìm tích phân $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Chúng ta cần lấy tích phân phân số $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Tử số chứa đa thức bậc hai và mẫu số chứa đa thức bậc ba. Vì bậc của đa thức ở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số, tức là $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Tất cả những gì chúng ta phải làm là chia tích phân đã cho thành ba và áp dụng công thức cho từng tích phân. Tôi thích đặt ngay các hằng số bên ngoài dấu tích phân:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Trả lời: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Việc tiếp tục phân tích các ví dụ về chủ đề này nằm ở phần thứ hai.

“Một nhà toán học, giống như một nghệ sĩ hay nhà thơ, tạo ra các khuôn mẫu. Và nếu hình mẫu của anh ta ổn định hơn thì đó chỉ là vì chúng được cấu tạo từ những ý tưởng... Hình mẫu của một nhà toán học, cũng giống như hình mẫu của một nghệ sĩ hay một nhà thơ, phải đẹp; Ý tưởng cũng giống như màu sắc hay ngôn từ, phải tương ứng với nhau. Đẹp là yêu cầu đầu tiên: trên thế giới không có chỗ cho môn toán xấu».

G.H.Hardy

Trong chương đầu tiên đã lưu ý rằng có những nguyên thủy khá chức năng đơn giản, không còn có thể được thể hiện thông qua các hàm cơ bản. Về vấn đề này, những lớp hàm mà chúng ta có thể nói chính xác rằng nguyên hàm của chúng là các hàm cơ bản có tầm quan trọng thực tiễn to lớn. Lớp chức năng này bao gồm các chức năng hợp lý, biểu thị tỉ số của hai đa thức đại số. Nhiều vấn đề dẫn tới việc tích phân các phân số hữu tỷ. Vì vậy, việc có thể tích hợp các chức năng như vậy là rất quan trọng.

2.1.1. Hàm hữu tỉ phân số

Phân số hữu tỷ(hoặc hàm hữu tỉ phân số) được gọi là quan hệ của hai đa thức đại số:

ở đâu và là đa thức.

Hãy để chúng tôi nhắc nhở bạn rằng đa thức (đa thức, toàn bộ hàm hợp lý) Nbằng cấpđược gọi là hàm có dạng

Ở đâu – số thực. Ví dụ,

- đa thức bậc một;

– đa thức bậc bốn, v.v.

Phân số hữu tỷ (2.1.1) được gọi là Chính xác, nếu mức độ thấp hơn mức độ , tức là. N<tôi, nếu không thì phân số đó được gọi là sai.

Bất kỳ phân số không chính xác nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của đa thức (toàn bộ phần) và một phân số thích hợp (phần phân số). Việc tách phần nguyên và phần phân của một phân số không chính xác có thể được thực hiện theo quy tắc chia đa thức với một “góc”.

Ví dụ 2.1.1. Xác định phần nguyên và phần phân số của các phân số hữu tỉ không đúng sau đây:

MỘT) , b) .

Giải pháp . a) Sử dụng thuật toán chia góc, ta có

Vì vậy, chúng tôi nhận được

.

b) Ở đây chúng ta cũng sử dụng thuật toán chia “góc”:

Kết quả là, chúng tôi nhận được

.

Hãy tóm tắt. Trong trường hợp tổng quát, tích phân không xác định của một phân số hữu tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các tích phân của đa thức và phân số hữu tỷ thực sự. Việc tìm nguyên hàm của đa thức không khó. Vì vậy, trong phần tiếp theo chúng ta sẽ chủ yếu xem xét các phân số hữu tỉ.

2.1.2. Các phân số hợp lý đơn giản nhất và sự tích hợp của chúng

Trong số các phân số hữu tỷ thực sự, có bốn loại, được phân loại là các phân số hợp lý (cơ bản) đơn giản nhất:

3) ,

4) ,

số nguyên ở đâu, , I E. tam thức bậc hai không có rễ thực sự.

Việc tích hợp các phân số đơn giản của loại 1 và loại 2 không gặp bất kỳ khó khăn lớn nào:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Bây giờ chúng ta hãy xem xét việc tích phân các phân số đơn giản thuộc loại thứ 3, nhưng chúng ta sẽ không xem xét các phân số thuộc loại thứ 4.

Hãy bắt đầu với tích phân có dạng

.

Tích phân này thường được tính bằng cách cô lập bình phương hoàn hảo của mẫu số. Kết quả là tích phân bảng có dạng sau

hoặc .

Ví dụ 2.1.2. Tìm tích phân:

MỘT) , b) .

Giải pháp . a) Chọn một hình vuông hoàn chỉnh từ tam thức bậc hai:

Từ đây chúng ta tìm thấy

b) Bằng cách tách một hình vuông hoàn chỉnh khỏi một tam thức bậc hai, chúng ta thu được:

Như vậy,

.

Để tìm tích phân

bạn có thể tách đạo hàm của mẫu số trong tử số và khai triển tích phân thành tổng của hai tích phân: tích phân đầu tiên bằng cách thay thế đi xuống về ngoại hình

,

và cái thứ hai - đến cái đã thảo luận ở trên.

Ví dụ 2.1.3. Tìm tích phân:

.

Giải pháp . thông báo rằng . Chúng ta hãy tách đạo hàm của mẫu số trong tử số:

Tích phân thứ nhất được tính bằng phép thay thế :

Trong tích phân thứ hai, chúng ta chọn bình phương hoàn hảo ở mẫu số

Cuối cùng, chúng tôi nhận được

2.1.3. Khai triển phân số hợp lý thích hợp
về tổng các phân số đơn giản

Bất kỳ phân số hợp lý thích hợp có thể được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổng của các phân số đơn giản. Để làm điều này, mẫu số phải được nhân tử hóa. Từ đại số cao hơn, người ta biết rằng mọi đa thức có hệ số thực

Hàm hữu tỷ là một phân số có dạng, tử số và mẫu số của chúng là đa thức hoặc tích của đa thức.

Ví dụ 1. Bước 2.

.

Chúng tôi nhân các hệ số chưa xác định với các đa thức không nằm trong phân số riêng lẻ này mà nằm trong các phân số thu được khác:

Chúng ta mở ngoặc và đánh đồng tử số của số nguyên ban đầu với biểu thức thu được:

Ở cả hai vế của đẳng thức, chúng ta tìm các số hạng có cùng lũy ​​thừa của x và soạn hệ phương trình từ chúng:

.

Chúng ta hủy bỏ tất cả x và nhận được hệ phương trình tương đương:

.

Do đó, khai triển cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản là:

.

Ví dụ 2. Bước 2.Ở bước 1, chúng ta thu được phân tích sau của phân số ban đầu thành tổng các phân số đơn giản có hệ số không xác định ở tử số:

.

Bây giờ chúng ta bắt đầu tìm kiếm các hệ số không chắc chắn. Để làm điều này, chúng ta đánh đồng tử số của phân số ban đầu trong biểu thức hàm với tử số của biểu thức thu được sau khi quy tổng các phân số về mẫu số chung:

Bây giờ bạn cần tạo và giải một hệ phương trình. Để làm điều này, chúng ta đánh đồng các hệ số của biến với bậc tương ứng trong tử số của biểu thức ban đầu của hàm và các hệ số tương tự trong biểu thức thu được ở bước trước:

Chúng tôi giải quyết hệ thống kết quả:

Vì vậy, từ đây

.

Ví dụ 3. Bước 2.Ở bước 1, chúng ta thu được phân tích sau của phân số ban đầu thành tổng các phân số đơn giản có hệ số không xác định ở tử số:

Chúng tôi bắt đầu tìm kiếm các hệ số không chắc chắn. Để làm điều này, chúng ta đánh đồng tử số của phân số ban đầu trong biểu thức hàm với tử số của biểu thức thu được sau khi quy tổng các phân số về mẫu số chung:

Như trong các ví dụ trước, chúng ta soạn một hệ phương trình:

Chúng ta giảm x và thu được hệ phương trình tương đương:

Giải hệ ta thu được giá trị của các hệ số bất định như sau:

Chúng ta thu được phân tích cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản:

.

Ví dụ 4. Bước 2.Ở bước 1, chúng ta thu được phân tích sau của phân số ban đầu thành tổng các phân số đơn giản có hệ số không xác định ở tử số:

.

Chúng ta đã biết từ các ví dụ trước cách đánh đồng tử số của phân số ban đầu với biểu thức trong tử số thu được sau khi phân tích phân số thành tổng của các phân số đơn giản và đưa tổng này về mẫu số chung. Do đó, chỉ nhằm mục đích kiểm soát, chúng tôi trình bày hệ phương trình thu được:

Giải hệ ta thu được giá trị của các hệ số bất định như sau:

Chúng ta thu được phân tích cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản:

Ví dụ 5. Bước 2.Ở bước 1, chúng ta thu được phân tích sau của phân số ban đầu thành tổng các phân số đơn giản có hệ số không xác định ở tử số:

.

Chúng tôi độc lập giảm tổng này thành mẫu số chung, đánh đồng tử số của biểu thức này với tử số của phân số ban đầu. Kết quả sẽ là hệ phương trình sau:

Giải hệ ta thu được giá trị của các hệ số bất định như sau:

.

Chúng ta thu được phân tích cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản:

.

Ví dụ 6. Bước 2.Ở bước 1, chúng ta thu được phân tích sau của phân số ban đầu thành tổng các phân số đơn giản có hệ số không xác định ở tử số:

Chúng tôi thực hiện các hành động tương tự với số tiền này như trong các ví dụ trước. Kết quả sẽ là hệ phương trình sau:

Giải hệ ta thu được giá trị của các hệ số bất định như sau:

.

Chúng ta thu được phân tích cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản:

.

Ví dụ 7. Bước 2.Ở bước 1, chúng ta thu được phân tích sau của phân số ban đầu thành tổng các phân số đơn giản có hệ số không xác định ở tử số:

.

Sau một số hành động nhất định với số tiền thu được, sẽ thu được hệ phương trình sau:

Giải hệ ta thu được giá trị của các hệ số bất định như sau:

Chúng ta thu được phân tích cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản:

.

Ví dụ 8. Bước 2.Ở bước 1, chúng ta thu được phân tích sau của phân số ban đầu thành tổng các phân số đơn giản có hệ số không xác định ở tử số:

.

Hãy thực hiện một số thay đổi đối với các hành động đã được chuyển sang chế độ tự động hóa để thu được hệ phương trình. Có một kỹ thuật nhân tạo mà trong một số trường hợp giúp tránh những tính toán không cần thiết. Đưa tổng các phân số về mẫu số chung, ta thu được và đánh đồng tử số của biểu thức này với tử số của phân số ban đầu, ta thu được.

Tích hợp hàm phân số hợp lý.
Phương pháp hệ số không chắc chắn

Chúng tôi tiếp tục làm việc tích hợp các phân số. Chúng ta đã xem xét tích phân của một số loại phân số trong bài học và bài học này, theo một nghĩa nào đó, có thể được coi là phần tiếp theo. Để hiểu thành công tài liệu cần có các kỹ năng tích hợp cơ bản, vì vậy nếu bạn mới bắt đầu học tích phân, tức là bạn là người mới bắt đầu, thì bạn cần bắt đầu từ bài viết Không xác định, không thể thiếu. Ví dụ về giải pháp.

Thật kỳ lạ, bây giờ chúng ta sẽ không tập trung nhiều vào việc tìm tích phân mà... vào việc giải các hệ phương trình tuyến tính. Về vấn đề này khẩn trương Tôi khuyên bạn nên tham gia bài học, cụ thể là bạn cần thành thạo các phương pháp thay thế (phương pháp “trường học” và phương pháp cộng (trừ) từng số hạng của các hệ phương trình).

Hàm hữu tỉ phân số là gì? Nói một cách đơn giản, hàm hữu tỷ là một phân số có tử số và mẫu số chứa đa thức hoặc tích của đa thức. Hơn nữa, các phân số phức tạp hơn những phân số được thảo luận trong bài viết. Tích phân một số phân số.

Tích phân một hàm số hữu tỷ thích hợp

Ngay lập tức một ví dụ và một thuật toán điển hình để giải tích phân của hàm hữu tỉ phân số.

ví dụ 1

Bước 1.Điều đầu tiên chúng ta LUÔN làm khi giải tích phân của hàm hữu tỉ phân số là làm rõ câu hỏi sau: phân số có đúng không? Bước này được thực hiện bằng lời nói và bây giờ tôi sẽ giải thích cách thực hiện:

Đầu tiên chúng ta nhìn vào tử số và tìm hiểu bằng cấp caođa thức:

lũy thừa lớn nhất của tử số là hai.

Bây giờ chúng ta nhìn vào mẫu số và tìm hiểu bằng cấp cao mẫu số. Cách rõ ràng là mở ngoặc và đưa các thuật ngữ tương tự, nhưng bạn có thể làm điều đó đơn giản hơn, trong mỗi tìm mức độ cao nhất trong ngoặc

và nhân nhẩm: - do đó, bậc cao nhất của mẫu số bằng ba. Rõ ràng là nếu chúng ta thực sự mở ngoặc, chúng ta sẽ không nhận được mức độ nào lớn hơn ba.

Phần kết luận: Bậc chính của tử số NGHIÊM TÚC nhỏ hơn lũy thừa cao nhất của mẫu số, nghĩa là phân số đó đúng.

Nếu trong ví dụ này tử số chứa đa thức 3, 4, 5, v.v. độ thì phân số sẽ là sai.

Bây giờ chúng ta sẽ chỉ xem xét các hàm hữu tỉ phân số đúng. Trường hợp bậc của tử số lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu số sẽ được thảo luận ở cuối bài.

Bước 2. Hãy nhân tử hóa mẫu số. Hãy nhìn vào mẫu số của chúng ta:

Nói chung, đây đã là sản phẩm của nhiều yếu tố, tuy nhiên, chúng tôi tự hỏi: liệu có thể mở rộng thứ khác không? Đối tượng tra tấn chắc chắn sẽ là tam thức bình phương. Giải phương trình bậc hai:

Phân biệt lớn hơn 0, có nghĩa là tam thức thực sự có thể được phân tích thành nhân tử:

Nguyên tắc chung: MỌI THỨ CÓ THỂ được tính vào mẫu số - hãy tính nó

Hãy bắt đầu xây dựng một giải pháp:

Bước 3. Sử dụng phương pháp hệ số không xác định, chúng tôi mở rộng tích phân thành tổng của các phân số đơn giản (cơ bản). Bây giờ nó sẽ rõ ràng hơn.

Hãy xem hàm integrand của chúng tôi:

Và, bạn biết đấy, bằng cách nào đó, một ý nghĩ trực quan nảy ra rằng sẽ thật tuyệt nếu biến phần lớn của chúng ta thành nhiều phần nhỏ. Ví dụ như thế này:

Câu hỏi đặt ra là liệu có thể làm được điều này không? Chúng ta hãy thở phào nhẹ nhõm, định lý tương ứng của phân tích toán học khẳng định – CÓ THỂ. Sự phân rã như vậy tồn tại và là duy nhất.

Chỉ có một lần nắm bắt, tỷ lệ cược là Tạm biệt Chúng tôi không biết, do đó có tên - phương pháp hệ số không xác định.

Đúng như bạn đoán, các chuyển động cơ thể tiếp theo là như vậy, đừng cười khúc khích! sẽ nhằm mục đích NHẬN THỨC chúng - để tìm ra chúng bằng nhau.

Hãy cẩn thận, tôi sẽ giải thích chi tiết chỉ một lần!

Vì vậy, hãy bắt đầu nhảy từ:

Ở phía bên trái, chúng tôi giảm biểu thức thành mẫu số chung:

Bây giờ chúng ta có thể loại bỏ các mẫu số một cách an toàn (vì chúng giống nhau):

Ở phía bên trái, chúng tôi mở dấu ngoặc, nhưng hiện tại không chạm vào các hệ số chưa biết:

Đồng thời, chúng ta lặp lại quy tắc nhân đa thức của trường. Khi còn là giáo viên, tôi đã học cách phát âm quy tắc này với vẻ mặt nghiêm túc: Để nhân một đa thức với một đa thức, bạn cần nhân mỗi số hạng của đa thức này với mỗi số hạng của đa thức kia..

Từ quan điểm giải thích rõ ràng, tốt hơn là đặt các hệ số trong ngoặc (mặc dù cá nhân tôi không bao giờ làm điều này để tiết kiệm thời gian):

Chúng tôi soạn một hệ phương trình tuyến tính.
Đầu tiên chúng tôi tìm kiếm bằng cấp cao:

Và chúng ta viết các hệ số tương ứng vào phương trình đầu tiên của hệ:

Hãy nhớ kỹ điểm sau. Điều gì sẽ xảy ra nếu không có chữ s nào ở bên phải? Giả sử, liệu nó có hiển thị mà không có bất kỳ hình vuông nào không? Trong trường hợp này, trong phương trình của hệ cần đặt số 0 ở bên phải: . Tại sao bằng không? Nhưng bởi vì ở vế phải, bạn luôn có thể gán cùng một bình phương này với số 0: Nếu ở vế phải không có biến và/hoặc số hạng tự do, thì chúng ta đặt các số 0 ở vế phải của các phương trình tương ứng của hệ.

Chúng ta viết các hệ số tương ứng vào phương trình thứ hai của hệ:

Và cuối cùng là nước khoáng, chúng tôi tuyển chọn thành viên miễn phí.

Ơ...tôi chỉ đùa thôi. Bỏ chuyện cười sang một bên - toán học là một môn khoa học nghiêm túc. Trong nhóm viện của chúng tôi, không ai cười khi phó giáo sư nói rằng cô ấy sẽ rải các thuật ngữ dọc theo trục số và chọn những thuật ngữ lớn nhất. Hãy nghiêm túc nào. Dù... ai còn sống để nhìn thấy phần cuối của bài học này vẫn sẽ mỉm cười lặng lẽ.

Hệ thống đã sẵn sàng:

Ta giải hệ:

(1) Từ phương trình thứ nhất ta biểu diễn và thế vào phương trình thứ 2 và thứ 3 của hệ. Trên thực tế, có thể biểu thị (hoặc một chữ cái khác) từ một phương trình khác, nhưng trong trường hợp này, việc biểu thị nó từ phương trình thứ nhất sẽ có lợi hơn, vì ở đó tỷ lệ cược nhỏ nhất.

(2) Chúng tôi trình bày các số hạng tương tự trong phương trình thứ 2 và thứ 3.

(3) Chúng ta cộng từng số hạng của phương trình thứ 2 và thứ 3, thu được đẳng thức , từ đó suy ra rằng

(4) Chúng ta thế vào phương trình thứ hai (hoặc thứ ba), từ đó chúng ta tìm thấy

(5) Thay và vào phương trình đầu tiên, thu được .

Nếu bạn gặp khó khăn với các phương pháp giải hệ phương trình, hãy thực hành chúng trên lớp. Làm thế nào để giải một hệ phương trình tuyến tính?

Sau khi giải hệ, việc kiểm tra - thay thế các giá trị tìm được luôn rất hữu ích mọi phương trình của hệ, kết quả là mọi thứ sẽ “hội tụ”.

Hầu như ở đó. Các hệ số đã được tìm thấy và:

Công việc đã hoàn thành sẽ trông giống như thế này:

Như bạn có thể thấy, khó khăn chính của nhiệm vụ là soạn (chính xác!) và giải (chính xác!) một hệ phương trình tuyến tính. Và ở giai đoạn cuối, mọi thứ không còn quá khó khăn: chúng ta sử dụng các tính chất tuyến tính của tích phân và tích phân không xác định. Xin lưu ý rằng theo mỗi tích phân trong số ba tích phân, chúng ta có một hàm phức “miễn phí”, tôi đã nói về các tính năng tích hợp của nó trong bài học Phương pháp đổi biến trong tích phân không xác định.

Kiểm tra: Phân biệt câu trả lời:

Hàm tích phân ban đầu đã thu được, có nghĩa là tích phân đã được tìm thấy chính xác.
Trong quá trình xác minh, chúng tôi đã phải giảm biểu thức về mẫu số chung và điều này không phải ngẫu nhiên. Phương pháp hệ số không xác định và rút gọn biểu thức về mẫu số chung là những hành động nghịch đảo lẫn nhau.

Ví dụ 2

Tìm tích phân không xác định.

Hãy quay lại phân số từ ví dụ đầu tiên: . Dễ dàng nhận thấy rằng ở mẫu số tất cả các thừa số đều KHÁC NHAU. Câu hỏi đặt ra là phải làm gì nếu chẳng hạn như phân số sau được đưa ra: ? Ở đây chúng ta có độ ở mẫu số, hay về mặt toán học, bội số. Ngoài ra, còn có một tam thức bậc hai không thể phân tích thành nhân tử (dễ dàng chứng minh phân biệt của phương trình là âm nên tam thức không thể phân tích thành nhân tử). Phải làm gì? Việc khai triển thành tổng các phân số cơ bản sẽ trông giống như với các hệ số chưa biết ở trên cùng hay cái gì khác?

Ví dụ 3

Giới thiệu một chức năng

Bước 1. Kiểm tra xem chúng ta có một phân số thích hợp hay không
Tử số chính: 2
Mức độ cao nhất của mẫu số: 8
, có nghĩa là phân số đúng.

Bước 2. Có thể tính yếu tố nào đó vào mẫu số không? Rõ ràng là không, mọi thứ đã được bày ra rồi. Tam thức bình phương không thể khai triển thành tích vì những lý do đã nêu ở trên. Mui xe. Ít việc hơn.

Bước 3. Hãy tưởng tượng một hàm phân số hữu tỉ là tổng của các phân số cơ bản.
Trong trường hợp này, khai triển có dạng sau:

Hãy nhìn vào mẫu số của chúng ta:
Khi phân tách hàm hữu tỷ thành tổng các phân số cơ bản, có thể phân biệt ba điểm cơ bản:

1) Nếu mẫu số chứa thừa số “cô đơn” lũy thừa bậc nhất (trong trường hợp của chúng ta), thì chúng ta đặt một hệ số không xác định ở trên cùng (trong trường hợp của chúng ta). Ví dụ số 1, 2 chỉ bao gồm những yếu tố “cô đơn” như vậy.

2) Nếu mẫu số có nhiều multiplier, thì bạn cần phân tách nó như thế này:
- nghĩa là tuần tự đi qua tất cả các cấp độ của “X” từ cấp độ thứ nhất đến cấp độ thứ n. Trong ví dụ của chúng ta có hai thừa số: và , hãy xem xét lại cách khai triển mà tôi đã đưa ra và đảm bảo rằng chúng được khai triển chính xác theo quy tắc này.

3) Nếu mẫu số chứa đa thức bậc hai không thể phân tách được (trong trường hợp của chúng tôi), thì khi phân tách trong tử số, bạn cần viết một hàm tuyến tính với các hệ số không xác định (trong trường hợp của chúng tôi có hệ số không xác định và ).

Trên thực tế, còn có trường hợp thứ 4 khác nhưng tôi sẽ giữ im lặng vì trên thực tế trường hợp này cực kỳ hiếm.

Ví dụ 4

Giới thiệu một chức năng dưới dạng tổng của các phân số cơ bản với các hệ số chưa biết.

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.
Thực hiện theo thuật toán nghiêm ngặt!

Nếu bạn hiểu các nguyên tắc cần thiết để khai triển một hàm hữu tỷ phân số thành một tổng, thì bạn có thể nhai qua hầu hết mọi tích phân thuộc loại đang được xem xét.

Ví dụ 5

Tìm tích phân không xác định.

Bước 1. Rõ ràng phân số đúng:

Bước 2. Có thể tính yếu tố nào đó vào mẫu số không? Có thể. Đây là tổng các khối . Phân tích mẫu số bằng công thức nhân rút gọn

Bước 3. Sử dụng phương pháp hệ số không xác định, chúng tôi mở rộng tích phân thành tổng của các phân số cơ bản:

Xin lưu ý rằng đa thức không thể phân tích thành thừa số (kiểm tra xem phân biệt có âm hay không), vì vậy, ở trên cùng, chúng tôi đặt một hàm tuyến tính với các hệ số chưa biết chứ không chỉ một chữ cái.

Ta đưa phân số về mẫu số chung:

Hãy soạn và giải hệ:

(1) Ta biểu diễn phương trình thứ nhất và thay vào phương trình thứ hai của hệ (đây là cách hợp lý nhất).

(2) Chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong phương trình thứ hai.

(3) Chúng ta cộng các phương trình thứ hai và thứ ba của hệ số hạng theo số hạng.

Về nguyên tắc, tất cả các phép tính tiếp theo đều được thực hiện bằng miệng vì hệ thống rất đơn giản.

(1) Viết tổng các phân số theo hệ số tìm được.

(2) Chúng tôi sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân không xác định. Điều gì đã xảy ra trong tích phân thứ hai? Bạn có thể làm quen với phương pháp này trong đoạn cuối của bài học. Tích phân một số phân số.

(3) Một lần nữa chúng ta sử dụng các tính chất tuyến tính. Trong tích phân thứ ba chúng ta bắt đầu cô lập bình phương hoàn chỉnh (đoạn áp chót của bài học) Tích phân một số phân số).

(4) Chúng ta lấy tích phân thứ hai, trong tích phân thứ ba chúng ta chọn hình vuông đầy đủ.

(5) Lấy tích phân thứ ba. Sẵn sàng.

ĐỀ TÀI: Tích hợp các phân số hợp lý.

Chú ý! Khi nghiên cứu một trong những phương pháp tích phân cơ bản: tích phân các phân số hữu tỉ, cần phải xét các đa thức trong miền phức để tiến hành chứng minh chặt chẽ. Vì vậy nó là cần thiết học trước một số tính chất của số phức và các phép tính trên chúng.

Tích hợp các phân số hợp lý đơn giản.

Nếu như P(z) Và Q(z) là các đa thức trong miền phức thì chúng là các phân số hữu tỷ. Nó được gọi là Chính xác, nếu bằng cấp P(z) mức độ ít hơn Q(z) , Và sai, nếu bằng cấp R không ít hơn một mức độ Q.

Bất kỳ phân số không chính xác nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

Một R(z) – đa thức có bậc nhỏ hơn bậc Q(z).

Do đó, việc tích hợp các phân số hữu tỷ dẫn đến việc tích phân các đa thức, tức là các hàm lũy thừa và các phân số thực, vì nó là một phân số thực sự.

Định nghĩa 5. Phân số đơn giản nhất (hoặc phân số cơ bản) là các loại phân số sau:

1) , 2) , 3) , 4) .

Hãy tìm hiểu cách họ tích hợp.

3) (đã học trước đó).

Định lý 5. Mọi phân số riêng đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số đơn giản (không cần chứng minh).

Hệ quả 1. Nếu là một phân số hữu tỷ đúng và nếu trong số các nghiệm của đa thức chỉ có các nghiệm thực đơn giản thì khi phân tích phân số thành tổng các phân số đơn giản sẽ chỉ có các phân số đơn giản loại 1:

Ví dụ 1.

Hệ quả 2. Nếu là một phân số hữu tỷ đúng và nếu trong số các nghiệm của đa thức chỉ có nhiều nghiệm thực thì khi phân tích phân số thành tổng các phân số đơn giản sẽ chỉ có các phân số đơn loại 1 và 2 :

Ví dụ 2.

Hệ quả 3. Nếu là một phân số hữu tỷ đúng và nếu trong các nghiệm của đa thức chỉ có các nghiệm phức liên hợp đơn giản thì khi phân tích phân số thành tổng các phân số đơn giản sẽ chỉ có các phân số đơn giản loại 3:

Ví dụ 3.

Hệ quả 4. Nếu là một phân số hữu tỷ đúng và nếu trong các nghiệm của đa thức chỉ có nhiều nghiệm liên hợp phức thì khi phân tích phân số đó thành tổng các phân số đơn giản sẽ chỉ có các phân số đơn giản bậc 3 và bậc 4 các loại:

Để xác định các hệ số chưa biết trong các khai triển đã cho, hãy tiến hành như sau. Vế trái và vế phải của khai triển chứa hệ số chưa biết được nhân với Ta thu được đẳng thức của hai đa thức. Từ đó, thu được phương trình cho các hệ số cần thiết bằng cách sử dụng:

1. đẳng thức đúng với mọi giá trị của X (phương pháp giá trị từng phần). Trong trường hợp này, có thể thu được bất kỳ số phương trình nào, bất kỳ m nào trong số đó cho phép tìm được các hệ số chưa biết.

2. Các hệ số trùng nhau cùng bậc của X (phương pháp hệ số không xác định). Trong trường hợp này, thu được hệ phương trình m - với m - ẩn số, từ đó tìm ra các hệ số chưa biết.

3. phương pháp kết hợp.

Ví dụ 5. Khai triển một phân số đến mức đơn giản nhất.

Giải pháp:

Hãy tìm các hệ số A và B.

Phương pháp 1 - phương pháp giá trị riêng:

Cách 2 – Phương pháp hệ số không xác định:

Trả lời:

Tích hợp các phân số hợp lý.

Định lý 6. Tích phân không xác định của bất kỳ phân số hữu tỷ nào trên bất kỳ khoảng nào mà mẫu số của nó không bằng 0 tồn tại và được biểu thị thông qua các hàm cơ bản, cụ thể là phân số hữu tỷ, logarit và arctang.

Bằng chứng.

Hãy tưởng tượng một phân số hợp lý có dạng: . Trong trường hợp này, số hạng cuối cùng là một phân số thực sự và theo Định lý 5, nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phân số đơn giản. Do đó, phép tích phân của một phân số hữu tỉ được rút gọn thành tích phân của một đa thức S(x) và các phân số đơn giản, các nguyên hàm của chúng, như đã được chỉ ra, có dạng được chỉ ra trong định lý.

Bình luận. Khó khăn chính trong trường hợp này là việc phân tách mẫu số thành các thừa số, nghĩa là tìm kiếm tất cả các nghiệm của nó.

Ví dụ 1. Tìm tích phân