Trình bày chủ đề tổ hợp. Trình bày về chủ đề: Các yếu tố của tổ hợp!!! Ứng dụng lý thuyết đồ thị

1 slide

Chúng ta không cần vung đao, Chúng ta không cầu vinh quang vang dội. Người chiến thắng là người quen với nghệ thuật tư duy, tinh tế. Nhà thơ người Anh Wordsworth

2 cầu trượt

Giới thiệu Mục đích của công việc Mục tiêu của công việc “Tổ hợp” là gì? Lịch sử nguồn gốc Quy tắc giải các bài toán tổ hợp Quy tắc tổng Quy tắc sản phẩm Kết hợp Với sự lặp lại Không lặp lại Từ điển đồng nghĩa Danh sách các tài liệu và tài nguyên web được sử dụng Kết luận Trang của tác giả

3 cầu trượt

Xây dựng tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 10-11 học ở trình độ cơ bản trong các cơ sở giáo dục. Chuẩn bị phần đầu tiên của dự án lớn “Lý thuyết xác suất là hiện tượng phổ biến nhất trong cuộc sống của chúng ta.”

4 cầu trượt

1.1 Chọn tài liệu và tài nguyên web về chủ đề “Tổ hợp”. 1.2 Khám phá tất cả các phương pháp có thể để giải các bài toán tổ hợp dựa trên thực tế cuộc sống. 1.3 Theo dõi lịch sử xác định một lĩnh vực độc lập của toán học - tổ hợp. 2.1 Xác định việc nghiên cứu môn học tổ hợp ở trường trung học phổ thông là thực sự cần thiết khi thực hiện môn học về nguyên tắc liên tục của giáo dục “Nhà trường - Đại học”. 2.2 Phác thảo các lựa chọn khả thi để đưa khóa học tổ hợp vào không gian giáo dục của trường. 2.3 Chọn tài liệu để làm sách tham khảo.

5 cầu trượt

Một người thường phải giải quyết các vấn đề trong đó anh ta cần đếm số lượng tất cả các cách có thể để đặt một số đồ vật hoặc số lượng tất cả các cách có thể thực hiện một số hành động. Những con đường hoặc lựa chọn khác nhau mà một người phải chọn sẽ tạo nên nhiều sự kết hợp khác nhau. Những vấn đề như vậy phải được xem xét khi xác định các phương tiện liên lạc thuận lợi nhất trong thành phố, khi tổ chức một hệ thống điều khiển tự động và do đó trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học với vô số ứng dụng của chúng. Và cả một nhánh của toán học, được gọi là tổ hợp, đang bận rộn tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi: có bao nhiêu tổ hợp trong một trường hợp nhất định?

6 cầu trượt

Tổ hợp là một nhánh của toán học trong đó các bài toán chọn phần tử từ tập hợp ban đầu và sắp xếp chúng theo một tổ hợp nhất định theo các quy tắc nhất định được nghiên cứu và giải quyết.

7 cầu trượt

Tổ hợp như một khoa học bắt đầu phát triển vào thế kỷ 13. song song với sự xuất hiện của lý thuyết xác suất. Nghiên cứu khoa học đầu tiên về chủ đề này thuộc về các nhà khoa học người Ý G. Cardano, N. Chartalier (1499-1557), G. Galileo (1564-1642) và các nhà khoa học người Pháp B. Piscamo (1623-1662) và P. Fermat. Nhà khoa học người Đức G. Leibniz là người đầu tiên coi tổ hợp là một nhánh độc lập của toán học trong tác phẩm “Về nghệ thuật tổ hợp” xuất bản năm 1666. Ông cũng là người đầu tiên đặt ra thuật ngữ "Tổ hợp".

8 trượt

Trang trình bày 9

Bài tập: Trên bàn có 3 bút chì đen và 5 bút chì đỏ. Có bao nhiêu cách chọn một cây bút chì có màu bất kỳ? Lời giải: Bạn có thể chọn một cây bút chì màu bất kỳ theo 5+3=8 cách. Quy tắc tổng trong tổ hợp: Nếu phần tử a có thể được chọn theo m cách và phần tử b có thể được chọn theo n cách, và mọi cách chọn phần tử a đều khác với mọi cách chọn phần tử trong b, thì chọn “a hoặc b” có thể được thực hiện theo m + n cách. Vấn đề mẫu

10 slide

Bài tập: Trong một lớp có 10 học sinh chơi thể thao, 6 học sinh còn lại tham gia câu lạc bộ khiêu vũ. 1) Có thể chọn bao nhiêu cặp học sinh sao cho một cặp là vận động viên, một cặp là vũ công? 2) Một học sinh có bao nhiêu lựa chọn? Lời giải: 1) Khả năng chọn được 10 vận động viên, trong đó mỗi người trong số 10 vận động viên đó có 6 lựa chọn vũ công, nghĩa là khả năng chọn được cặp vũ công và vận động viên là 10·6=60. 2) Có thể chọn một học sinh 10+6=16.

11 slide

Bài toán: Có 3 con đường đi từ thành phố A đến thành phố B. Và từ thành phố B đến thành phố C có 4 con đường. Có bao nhiêu đường đi qua B dẫn từ A đến C? Lời giải: Bạn có thể suy luận như sau: với mỗi ba đường đi từ A đến B, có 4 cách chọn đường đi từ B đến C. Tổng số đường đi khác nhau từ A đến C bằng tích 3·4 , I E. 12. Quy tắc sản phẩm: Cho phép bạn chọn k phần tử. Nếu phần tử thứ nhất có thể được chọn theo n1 cách, phần tử thứ hai có n2 cách, v.v., thì số cách k phần tử bằng tích n1 · n2 ·... nк. Vấn đề mẫu

12 trượt

Bài toán: Căng tin trường có 2 món nhất, 5 món nhì và 4 món ba. Có bao nhiêu cách để một học sinh có thể chọn bữa trưa gồm các món thứ nhất, thứ hai và thứ ba? Giải: Có thể chọn món thứ nhất theo 2 cách. Đối với mỗi lựa chọn của khóa học đầu tiên, có 5 khóa học thứ hai. Hai món đầu tiên có thể chọn theo 2·5=10 cách. Và cuối cùng, cứ 10 lựa chọn này thì có bốn khả năng chọn món thứ ba, tức là có 2·5·4 cách chuẩn bị một bữa ăn ba món. Vì vậy, bữa trưa có thể được nấu theo 40 cách.

Trang trình bày 13

Trang trình bày 14

15 trượt

Sự sắp xếp n phần tử theo k (k

16 trượt

Bài toán: Có bao nhiêu cách để 4 chàng trai mời 4 trong số 6 cô gái nhảy? Giải pháp: Hai chàng trai không thể mời cùng một cô gái cùng một lúc. Và các lựa chọn trong đó các cô gái giống nhau khiêu vũ với các chàng trai khác nhau được coi là khác nhau, do đó: có thể có các lựa chọn 360 độ.

Trang trình bày 17

Hoán vị của n phần tử là sự sắp xếp các phần tử này theo một thứ tự nhất định. Số lượng tất cả các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn Pn=n! Vấn đề mẫu

18 trượt

Bộ tứ Khỉ nghịch ngợm Lừa, Dê, Vâng, Gấu chân khoèo Họ bắt đầu chơi tứ tấu... Dừng lại, các anh em, dừng lại! - Khỉ hét lên, - đợi đã! Âm nhạc nên diễn ra như thế nào? Suy cho cùng, bạn không ngồi như thế... Và bạn đổi chỗ ngồi theo cách này hay cách khác – một lần nữa nhạc lại không hay. Bây giờ họ thảo luận và tranh chấp nhiều hơn bao giờ hết về việc ai nên ngồi và ngồi như thế nào... Quyết định

20 trượt

Sự kết hợp không lặp lại là sự sắp xếp trong đó thứ tự của các phần tử không quan trọng. Như vậy, số lượng phương án khi kết hợp sẽ ít hơn số lượng vị trí. Số tổ hợp của n phần tử theo m được ký hiệu là:

21 slide

Vấn đề: Có bao nhiêu tổ hợp ba nút trên một ổ khóa tổ hợp (cả ba nút được nhấn đồng thời) nếu chỉ có 10 chữ số trên đó. Giải pháp: Vì các nút được nhấn đồng thời nên việc chọn ba nút này là sự kết hợp. Từ đây có thể:

22 trượt

Thông thường trong các bài toán tổ hợp có các tập hợp trong đó một số thành phần được lặp lại. Ví dụ: trong bài toán về số - các con số. Đối với những bài toán như vậy, các công thức sau được sử dụng: trong đó n là số phần tử, n1,n2,…,nr là số phần tử giống hệt nhau. Ví dụ về nhiệm vụ Ví dụ về nhiệm vụ Ví dụ về nhiệm vụ

Trang trình bày 23

Câu hỏi: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số? Giải pháp: Vì thứ tự của các số trong một số là có ý nghĩa nên các số có thể được lặp lại, khi đó đây sẽ là các vị trí có sự lặp lại của năm phần tử trong bộ ba và số của chúng bằng:

24 trượt

Nhiệm vụ: Một cửa hàng bánh ngọt bán 4 loại bánh: eclairs, shortbread, napoleons và phồng. Có bao nhiêu cách bạn có thể mua được 7 chiếc bánh? Giải pháp: Việc mua bánh không phụ thuộc vào thứ tự đặt bánh vào hộp. Các giao dịch mua sẽ khác nhau nếu chúng khác nhau về số lượng bánh được mua của ít nhất một loại. Do đó, số lần mua khác nhau bằng số lần kết hợp của bốn loại bánh, mỗi loại bảy -

Trang trình bày 27

Chúng tôi tin rằng công việc đã đạt được mục tiêu của nó. Chúng tôi đã biên soạn một cuốn sách giáo khoa tham khảo nhằm mục đích làm sinh động toán học ở trường bằng cách giới thiệu những vấn đề thú vị sẽ đặt ra các câu hỏi lý thuyết cho học sinh. Cuốn sách dành cho học sinh lớp 10-11 đang học trình độ cơ bản, các cơ sở giáo dục nhằm đào sâu kiến ​​thức toán học.Đặc điểm nổi bật của cuốn cẩm nang này là: phần lý thuyết khả thi cho học sinh cấp 3; lựa chọn, biên soạn nhiệm vụ dựa trên tư liệu cuộc sống và cốt truyện cổ tích. Chúng tôi hy vọng rằng công việc của chúng tôi sẽ gây hứng thú cho học sinh, giúp phát triển tầm nhìn và tư duy của các em, đồng thời góp phần chuẩn bị tốt hơn cho việc vượt qua kỳ thi thống nhất cấp bang.

28 trượt

Học sinh: Dmitry Zakharov Lớp: 10 Hiệu trưởng: Toropova Nina Anatolyevna Cơ sở giáo dục thành phố “Trường trung học cơ sở nghiên cứu chuyên sâu từng môn học số 5”, Krasnoyarsk

• Tổ hợp là một nhánh của toán học nghiên cứu các câu hỏi về việc có thể tạo ra bao nhiêu tổ hợp khác nhau, với những điều kiện nhất định, từ những vật thể cho trước.
• Từ “combinatorics” xuất phát từ từ “combinare” trong tiếng Latin, được dịch sang tiếng Nga có nghĩa là “kết hợp”, “kết nối”.
• Thuật ngữ "tổ hợp" được giới thiệu bởi Gottfried Wilhelm Leibniz, một nhà khoa học nổi tiếng thế giới người Đức.

• Tổ hợp là một nhánh quan trọng của toán học,
• kiến thức về điều đó là cần thiết cho đại diện của nhiều chuyên ngành khác nhau. Các nhà vật lý, nhà hóa học, nhà sinh học, nhà ngôn ngữ học, chuyên gia về mật mã, v.v. đều phải giải quyết các vấn đề tổ hợp.
• Phương pháp kết hợp làm nền tảng cho việc giải quyết nhiều vấn đề lý thuyết
• xác suất và
• các ứng dụng của nó.

• Ở thời kỳ Hy Lạp cổ đại

• đếm số cách kết hợp khác nhau của các âm tiết dài và ngắn trong thơ ca, nghiên cứu lý thuyết về các con số, nghiên cứu các hình có thể được tạo thành từ các bộ phận, v.v.

• Theo thời gian, nhiều trò chơi khác nhau đã xuất hiện
• (cờ thỏ cáo, đánh bài, cờ đam, cờ vua, v.v.)

• Trong mỗi trò chơi này, các kết hợp số khác nhau phải được xem xét và người chiến thắng là người nghiên cứu chúng tốt hơn, biết các kết hợp chiến thắng và biết cách tránh thua.

• Gottfried Wilhelm Leibniz (1/07/1646 - 14/11/1716)

• Nhà khoa học người Đức G. Leibniz là người đầu tiên coi tổ hợp là một nhánh độc lập của toán học trong tác phẩm “Về nghệ thuật tổ hợp” xuất bản năm 1666. Ông cũng là người đầu tiên đặt ra thuật ngữ "Tổ hợp".

• Leonhard Euler(1707-1783)

• xem xét các vấn đề về phân vùng số, so khớp, sắp xếp tuần hoàn, xây dựng ma thuật và hình vuông Latin, đã đặt nền móng cho một lĩnh vực nghiên cứu hoàn toàn mới, sau này phát triển thành một ngành khoa học lớn và quan trọng về cấu trúc liên kết, nghiên cứu các tính chất chung của không gian và hình học.

Nếu một vật A nào đó có thể được chọn theo m cách và một vật B khác có thể được chọn theo n cách thì việc lựa chọn “hoặc A hoặc B” có thể được thực hiện theo (m+n) cách.

• Nếu một vật A nào đó có thể được chọn theo m cách và một vật B khác có thể được chọn theo n cách thì việc lựa chọn “hoặc A hoặc B” có thể được thực hiện theo (m+n) cách.
• Khi sử dụng quy tắc tổng, bạn phải đảm bảo rằng không có phương pháp chọn đối tượng A nào trùng với bất kỳ phương pháp chọn đối tượng B nào.
• Nếu có những kết quả trùng khớp như vậy, quy tắc tổng không còn hiệu lực và chúng tôi chỉ nhận được (m + n - k) phương pháp lựa chọn, trong đó k là số lượng kết quả trùng khớp.

Trong hộp có 10 quả bóng: 3 quả trắng, 2 quả đen, 1 quả xanh và 4 quả đỏ. Có bao nhiêu cách lấy một quả bóng màu từ hộp?

• Trong hộp có 10 quả bóng: 3 quả trắng, 2 quả đen, 1 quả xanh và 4 quả đỏ. Có bao nhiêu cách lấy một quả bóng màu từ hộp?
• Giải pháp:
• Một quả bóng có màu xanh hoặc đỏ nên ta áp dụng quy tắc tính tổng:

Nếu đối tượng A có thể được chọn theo m cách và nếu sau mỗi lần lựa chọn như vậy, đối tượng B có thể được chọn theo n cách thì việc chọn cặp (A, B) theo thứ tự đã chỉ định có thể được thực hiện theo mn cách.

• Nếu đối tượng A có thể được chọn theo m cách và nếu sau mỗi lần lựa chọn như vậy, đối tượng B có thể được chọn theo n cách thì việc chọn cặp (A, B) theo thứ tự đã chỉ định có thể được thực hiện theo mn cách.
• Trong trường hợp này, số cách chọn phần tử thứ hai không phụ thuộc vào cách chọn chính xác phần tử thứ nhất.

Có thể có bao nhiêu cách kết hợp tiền xu khác nhau?

• Có thể có bao nhiêu cách kết hợp tiền xu khác nhau?
• hai bên khi ném hai con xúc xắc?
• Giải pháp:
• Xúc xắc đầu tiên có thể có: 1,2,3,4,5 và 6 điểm, tức là 6 lựa chọn.
• Cái thứ hai có 6 lựa chọn.
• Tổng cộng: 6*6=36 lựa chọn.

• Các quy tắc tính tổng và tích đúng với mọi số lượng đối tượng.

Số 1. Có 6 con đường đi từ thành phố A đến thành phố B và 3 con đường từ thành phố B đến thành phố C. Có bao nhiêu cách để bạn có thể đi từ thành phố A đến thành phố C?

• Số 1. Có 6 con đường đi từ thành phố A đến thành phố B và 3 con đường từ thành phố B đến thành phố C. Có bao nhiêu cách để bạn có thể đi từ thành phố A đến thành phố C?
• Số 2. Trên giá sách có 3 cuốn sách về đại số, 7 cuốn về hình học và 2 cuốn về văn học. Có bao nhiêu cách lấy một cuốn sách toán ra khỏi kệ?
• Số 3. Thực đơn gồm 4 món đầu tiên, 3 món chính và 2 món tráng miệng. Bạn có thể làm bao nhiêu bữa trưa khác nhau từ chúng?

• "En giai thừa" -n!.

• Sự định nghĩa.
• Tích của n đầu tiên liên tiếp
• số tự nhiên được ký hiệu là n! và gọi
• “giai thừa”: n!=1 2 3 … (n-1) n.

• 1 2 3=

• 1 2 3 4=

• 1 2 3 4 5=

• 1 2 3 4 5 6=

• 1 2 3 4 5 6 7=

• n!=(n-1)! N

• Công thức tiện lợi!!!

Sự kết hợp của n phần tử chỉ khác nhau về thứ tự xuất hiện của chúng được gọi là hoán vị.

• Sự kết hợp của n phần tử chỉ khác nhau về thứ tự xuất hiện của chúng được gọi là hoán vị.
• Được chỉ định bởi Pn

• Sắp xếp lại

• Viết số có 3 chữ số từ các số 1, 5, 9
• một số không lặp lại các chữ số.

• 2 sự kết hợp

• 2 sự kết hợp

• 2 sự kết hợp

• Tổng cộng 2 3=6 kết hợp.

Sự kết hợp của n phần tử trong k, khác nhau về thành phần và thứ tự, được gọi là vị trí.

• Sự kết hợp của n phần tử trong k, khác nhau về thành phần và thứ tự, được gọi là vị trí.

• Vị trí

Sự kết hợp của n phần tử bởi ĐẾN ĐẾN.

• Sự kết hợp của n phần tử bởi ĐẾN, chỉ khác nhau về thành phần của các phần tử, được gọi là tổ hợp của n phần tử theo ĐẾN.

• kết hợp

Trong số 20 học sinh, bạn cần chọn hai nhân viên trực.

• Trong số 20 học sinh, bạn cần chọn hai nhân viên trực.
• Có bao nhiêu cách có thể thực hiện được điều này?

• Giải pháp:

• Bạn cần chọn hai người trong số 20 người.
• Rõ ràng là không có gì phụ thuộc vào thứ tự lựa chọn, nghĩa là
• Ivanov - Petrov hay Petrov - Ivanov là một
• và cùng một cặp tiếp viên. Do đó, đây sẽ là sự kết hợp của 20 x 2.

1. Từ các chữ cái của đoạn từ có thể tạo được bao nhiêu từ nếu từ đó phải gồm: 8 chữ cái; có 7 chữ cái; có 3 chữ cái?

• 1. Từ các chữ cái của đoạn từ có thể tạo được bao nhiêu từ nếu từ đó phải gồm: 8 chữ cái; có 7 chữ cái; có 3 chữ cái?
• 2. Học sinh phải vượt qua 4 kỳ thi trong vòng mười ngày. Bạn có thể sắp xếp lịch thi cho anh ấy bằng bao nhiêu cách?
• 3. Có bao nhiêu cách để một ủy ban gồm năm thành viên có thể được bầu từ tám người?
• 4. Có bao nhiêu biển số xe khác nhau có 5 chữ số nếu số đầu tiên khác 0? Điều gì sẽ xảy ra nếu số đó bao gồm một chữ cái theo sau là bốn chữ số khác 0?
• 5. Nhà thầu cần 4 người thợ mộc, và có 10 người đã đến gặp anh ta để đề nghị cung cấp dịch vụ, có bao nhiêu cách để anh ta chọn được 4 người trong số họ?
• 6. Có bao nhiêu cách xếp bảy cuốn sách lên một giá?
• 7. Có thể tạo được bao nhiêu từ gồm 5 chữ cái bằng 10 chữ cái khác nhau.
• 8. Có bao nhiêu cách chọn một số loại quả từ bảy quả táo, bốn quả chanh và chín quả cam? (Các loại trái cây cùng loại được coi là không thể phân biệt được.)

Petrov Vladimir, sinh viên khóa 12 của Viện Giáo dục Ngân sách Nhà nước SO NPO "Trường dạy nghề số 22", Saratov

Bài trình bày thảo luận về các ví dụ về giải các bài toán tìm hoán vị, vị trí và tổ hợp.

Tải xuống:

Xem trước:

Để sử dụng bản xem trước bản trình bày, hãy tạo tài khoản Google và đăng nhập vào tài khoản đó: https://accounts.google.com

Chú thích slide:

Các yếu tố của tổ hợp: hoán vị, tổ hợp và vị trí Bài trình bày được thực hiện bởi Vladimir Petrov, sinh viên nhóm 12 của Viện Giáo dục Ngân sách Nhà nước SO NPO.

Tổ hợp là một nhánh của toán học đang bận rộn tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi: có bao nhiêu tổ hợp trong một trường hợp nhất định, làm thế nào để chọn tổ hợp tốt nhất trong số tất cả các tổ hợp này. Từ “combinatorics” xuất phát từ từ “combinare” trong tiếng Latin, được dịch sang tiếng Nga có nghĩa là “kết hợp”, “kết nối”. Thuật ngữ "tổ hợp" được giới thiệu bởi Gottfried Wilhelm Leibniz, một nhà khoa học nổi tiếng thế giới người Đức.

Các bài toán tổ hợp được chia thành nhiều nhóm: Các bài toán hoán vị Các bài toán về vị trí Các bài toán kết hợp

Bài toán sắp xếp lại Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên giá sách? Đây là một vấn đề hoán vị

Viết n! đọc như thế này: “en giai thừa” Giai thừa là tích của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến n Ví dụ: 4! = 1*2*3*4 = 24n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n! 1 4 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 Giai thừa tăng nhanh đến bất ngờ:

Nhiệm vụ. Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 vận động viên tham gia cuộc đua cuối cùng trên 8 máy chạy bộ? P8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320

Hoán vị của n phần tử là sự sắp xếp các phần tử này theo một thứ tự nhất định. Pn = 1 · 2 · 3 · ... · n. Pn=n!

Nhiệm vụ. Bộ tứ Khỉ nghịch ngợm Lừa, Dê, Vâng, Gấu chân khoèo Họ bắt đầu chơi tứ tấu... Dừng lại, các anh em, dừng lại! - Khỉ hét lên, - đợi đã! Âm nhạc nên diễn ra như thế nào? Suy cho cùng, bạn không ngồi như thế... Và bạn đổi chỗ ngồi theo cách này hay cách khác – một lần nữa nhạc lại không hay. Bây giờ họ có nhiều cuộc thảo luận và tranh chấp hơn bao giờ hết về việc ai nên ngồi và như thế nào... Có bao nhiêu cách để bốn nhạc sĩ có thể ngồi? P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Nhiệm vụ vị trí

Vấn đề: Chúng ta có 5 cuốn sách nhưng chỉ có một kệ và nó chỉ có thể chứa được 3 cuốn sách. Có bao nhiêu cách xếp 3 cuốn sách lên kệ? Chúng tôi chọn một trong 5 cuốn sách và đặt nó ở vị trí đầu tiên trên kệ. Chúng ta có thể làm điều này theo 5 cách. Bây giờ trên kệ còn lại hai chỗ và chúng ta còn lại 4 cuốn sách. Chúng ta có thể chọn cuốn sách thứ hai theo 4 cách và đặt nó cạnh một trong 5 cuốn sách đầu tiên có thể có. Có thể có 5·4 cặp như vậy. Còn lại 3 cuốn sách và một chỗ. Một trong 3 cuốn sách có thể được chọn theo 3 cách và đặt cạnh một trong 5·4 cặp có thể có. Bạn nhận được 5·4·3 bộ ba khác nhau. Điều này có nghĩa là tổng số cách xếp 3 cuốn sách trong số 5 cuốn sách là 5·4·3 = 60. Đây là bài toán xếp vị trí.

Sự sắp xếp n phần tử theo k (k

Nhiệm vụ. Học sinh lớp 2 học 9 môn. Có bao nhiêu cách để lập thời gian biểu trong một ngày sao cho nó có 4 môn học khác nhau? A 4 9 = = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024

Hãy tự quyết định: Có 27 học sinh trong lớp. Bạn cần cử một học sinh đi lấy phấn, học sinh thứ hai trực ở căng tin và học sinh thứ ba gọi lên bảng. Có bao nhiêu cách có thể thực hiện được điều này?

Vấn đề kết hợp: Vấn đề. Có bao nhiêu cách có thể sắp xếp 3 tập sách trên giá sách nếu bạn chọn chúng từ 5 cuốn sách có bề ngoài không thể phân biệt được? Những cuốn sách bề ngoài không thể phân biệt được. Nhưng chúng khác nhau và đáng kể! Những cuốn sách này có nội dung khác nhau. Một tình huống phát sinh khi thành phần của các phần tử mẫu là quan trọng nhưng thứ tự sắp xếp của chúng lại không quan trọng. 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 trả lời: 10 Đây là bài toán tổ hợp

Một tổ hợp n phần tử của k là tập hợp bất kỳ gồm k phần tử được chọn từ n phần tử đã cho.

Nhiệm vụ. Trong lớp có 7 người học giỏi toán. Có bao nhiêu cách chọn hai người trong số họ tham gia Olympic Toán? C 7 2 = = 21

Hãy tự quyết định: Ở lớp 7 học sinh học giỏi môn toán. Có bao nhiêu cách chọn hai em đi tham gia Olympic Toán?

Điểm đặc biệt của các bài toán tổ hợp là một câu hỏi có thể được đặt ra để bắt đầu bằng các từ “Có bao nhiêu cách…” hoặc “Có bao nhiêu lựa chọn…”

Hoán vị Vị trí Sự kết hợp của n phần tử n ô n phần tử k ô n phần tử k ô Vấn đề thứ tự Vấn đề thứ tự Thứ tự không quan trọng Hãy tạo một bảng:

Hãy tự giải quyết vấn đề: 1. Trong hộp có 10 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Có bao nhiêu cách lấy một quả bóng có màu bất kỳ ra khỏi hộp? 2. Olga nhớ rằng số điện thoại của bạn cô kết thúc bằng ba số 5, 7, 8, nhưng cô quên mất thứ tự các số này. Cho biết số lượng lựa chọn lớn nhất mà cô ấy sẽ phải trải qua để đến được với bạn mình. 3. Cửa hàng Philately bán 8 bộ tem khác nhau dành riêng cho chủ đề thể thao. Có bao nhiêu cách chọn 3 bộ trong số đó?

Các yếu tố của tổ hợp lớp 9 -11, Giáo viên trường trung học MBU Kochnevskaya Gryaznova A.K. Các câu hỏi chính:

• tổ hợp là gì?
Những vấn đề nào được coi là tổ hợp?
• Sắp xếp lại
• Vị trí
• kết hợp

Đừng tranh cãi - hãy tính toán. G. Leibnitz

• Tổ hợp– một nhánh của toán học giải quyết các vấn đề đếm số lượng kết hợp được thực hiện theo các quy tắc nhất định.

II. Những vấn đề nào được coi là tổ hợp? Bài toán tổ hợp Bài toán đếm số tổ hợp từ một số hữu hạn phần tử

• Tổ hợp– từ tiếng Latin kết hợp, có nghĩa là “kết nối, kết hợp.”
• Phương pháp tổ hợpđược sử dụng rộng rãi trong vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế và các lĩnh vực kiến ​​thức khác.
• Tổ hợp có thể được coi là một phần của lý thuyết tập hợp - bất kỳ bài toán tổ hợp nào cũng có thể được quy giản thành bài toán về tập hợp hữu hạn và ánh xạ của chúng.

I. Các cấp độ giải bài toán tổ hợp 1. Cấp độ đầu tiên. Nhiệm vụ của việc tìm ít nhất một nghiệm, ít nhất một cách sắp xếp các đối tượng với các tính chất cho trước là tìm cách sắp xếp mười điểm trên năm đoạn thẳng, trong đó mỗi đoạn có bốn điểm; - sự sắp xếp tám quân hậu trên một bàn cờ sao cho chúng không đánh nhau. Đôi khi có thể chứng minh rằng bài toán này không có lời giải (ví dụ: không thể xếp 10 quả bóng vào 9 bình sao cho mỗi bình chứa không quá một quả bóng - ít nhất một bình sẽ chứa ít nhất hai quả bóng). 2. Cấp độ thứ hai. 2. Cấp độ thứ hai. Nếu một bài toán tổ hợp có nhiều nghiệm thì vấn đề nảy sinh là đếm số nghiệm như vậy và mô tả tất cả các nghiệm của bài toán này.

• 3. Cấp độ thứ ba.
Các giải pháp cho vấn đề tổ hợp này khác nhau ở một số tham số nhất định. Trong trường hợp này, câu hỏi đặt ra là tìm tối ưu lựa chọn để giải quyết một vấn đề như vậy. Ví dụ: Một du khách muốn rời thành phố A, thăm các thành phố B, C và D rồi quay lại thành phố A.

Trong bộ lễ phục. hiển thị sơ đồ các tuyến đường kết nối các thành phố này. Các lựa chọn du lịch khác nhau khác nhau theo thứ tự ghé thăm các thành phố B, C và D. Có sáu lựa chọn du lịch. Bảng hiển thị các tùy chọn và độ dài của từng đường dẫn:

• Các bài toán tối ưu hóa tổ hợp phải được giải quyết bởi một người quản đốc cố gắng hoàn thành nhiệm vụ nhanh nhất, một nhà nông học cố gắng đạt được năng suất cao nhất trong các lĩnh vực nhất định, v.v.

Chúng ta sẽ chỉ xét các bài toán đếm số nghiệm của một bài toán tổ hợp.

• Chúng ta sẽ chỉ xét các bài toán đếm số nghiệm của một bài toán tổ hợp.
Nhánh tổ hợp này, được gọi là lý thuyết liệt kê, có liên quan chặt chẽ với lý thuyết xác suất.

Quy tắc tính tổng và tích

• 1. Có thể pha được bao nhiêu loại cocktail khác nhau từ bốn loại đồ uống, trộn chúng với số lượng bằng nhau?
• AB, AC, AD, BC, BD, CD – tổng cộng 6 ly cocktail
Chữ số đầu tiên của số có hai chữ số có thể là một trong các chữ số 1, 2, 3 (chữ số 0 không được là chữ số đầu tiên). Nếu chọn chữ số đầu tiên thì chữ số thứ hai có thể là bất kỳ chữ số nào trong số 0, 1, 2, 3. Bởi vì Mỗi số được chọn đầu tiên tương ứng với 4 cách chọn số thứ hai, khi đó tổng cộng có 4 + 4 + 4 = 4 3 = 12 số có hai chữ số khác nhau.

2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau?

• 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau?
4 + 4 + 4 = 4 3 = 12 số có hai chữ số khác nhau.
• Chữ số đầu tiên chữ số thứ hai

Quy tắc nhân:

• Nếu phần tử A có thể được chọn từ một tập hợp các phần tử theo n cách và với mỗi lựa chọn như vậy, phần tử B có thể được chọn theo t cách, thì hai phần tử (cặp) A và B có thể được chọn theo n cách.

“Ví dụ giải bài toán tổ hợp: liệt kê các phương án, quy tắc tổng, quy tắc nhân.”

• Có bao nhiêu cách xếp 4 người tham gia cuộc đua cuối cùng vào 4 máy chạy bộ?

R n = 4 3 2 1= 24 cách (hoán vị của 4 phần tử)

2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

1 bài hát

II. Hoán vị (1) K v a r t e t Khỉ nghịch ngợm, Lừa, Dê và Gấu chân khoèo. Họ bắt đầu chơi Bộ tứ. ………………….. Họ bắn cung, họ chiến đấu, nhưng chẳng ích gì. “Dừng lại, các anh em, dừng lại! - Khỉ hét lên. - Chờ đợi! Âm nhạc nên diễn ra như thế nào? Rốt cuộc thì cậu đâu có ngồi như vậy.”

4·3·2·1 = 4! cách

II. Hoán vị (2)

• Hoán vị từ P- các phần tử là sự kết hợp chỉ khác nhau về thứ tự các phần tử
• Pn - số hoán vị (P là chữ cái đầu tiên của từ hoán vị - permutation trong tiếng Pháp)
Рп=n·( N- 1)·( N- 2)·( N- 3)·( N- 4)·. . .·3 ·2 ·1= N! Rp= N!

Chỗ ở (1)

• Bốn người bạn đồng hành quyết định trao đổi danh thiếp. Tổng cộng có bao nhiêu thẻ đã được sử dụng?
Tôi có 12 thẻ. Mỗi người trong số bốn người bạn đồng hành đưa một tấm danh thiếp cho mỗi người trong số ba người bạn đồng hành 4 3 = 12

Sự kết hợp được làm từ k các yếu tố lấy từ N các phần tử khác nhau về thành phần hoặc về thứ tự sắp xếp các phần tử được gọi là vị trí từ N các yếu tố bởi k(0< k ≤n ).

Chỗ ở từ N các yếu tố bởi k các phần tử. Và chữ cái đầu tiên

từ Pháp sắp xếp: "vị trí",

"sắp xếp mọi thứ theo thứ tự"

Chỗ ở (2)

• Có 4 quả bóng trống và 3 ô trống. Hãy chỉ định các quả bóng bằng các chữ cái A B C D. Ba quả bóng từ bộ này có thể được đặt vào các ô trống theo nhiều cách khác nhau.
• Bằng cách chọn các quả bóng thứ nhất, thứ hai và thứ ba khác nhau, chúng ta sẽ có được sự khác biệt ra lệnh ba quả bóng
• Mỗi ra lệnh một bộ ba có thể được tạo thành từ bốn yếu tố được gọi là vị trí gồm bốn phần tử, mỗi phần có ba phần tử

Chỗ ở (3)

• Có thể tạo được bao nhiêu vị trí từ 4 phần tử ( A B C D) ba?
• abc abd acb acd adb adc
• bac xấu bca bcd bda bdc
• cab cad cba cbd cda cdb
• dab dac dba dbc dca dcb

Nó đã được quyết định xem xét các lựa chọn

Chỗ ở (4)

• Bạn có thể giải quyết vấn đề này mà không cần viết ra các vị trí:
• Đầu tiên một phần tử có thể được chọn theo bốn cách, vì vậy nó có thể là bất kỳ phần tử nào trong số bốn phần tử;
• cho mỗi lần đầu tiên thứ hai có thể được lựa chọn theo ba cách;
• với mỗi hai cái đầu tiên có hai cách để chọn ngày thứ ba phần tử của hai phần tử còn lại.
Chúng tôi nhận được

Giải bằng quy tắc nhân

kết hợp

• Một sự kết hợp của P các yếu tố bởi k có bất kỳ bộ nào được tạo thành từ k các phần tử được chọn từ P yếu tố

Không giống như các vị trí trong sự kết hợp thứ tự của các phần tử không quan trọng. Hai sự kết hợp khác nhau ở ít nhất một phần tử

Giải quyết các vấn đề: 1. Có 5 điểm được đánh dấu trên mặt phẳng. Sẽ có bao nhiêu đoạn nếu bạn nối các điểm theo cặp?

2. Đánh dấu vào vòng tròn Pđiểm. Có bao nhiêu hình tam giác có đỉnh tại các điểm này?

Nguồn thông tin

• V.F. Butuzov, Yu.M. Kolyagin, G.L. Lukankin, E.G. Poznyak và những người khác Sách giáo khoa “Toán học” dành cho các cơ sở giáo dục lớp 11 / được Bộ Giáo dục Liên bang Nga khuyến nghị / M., Prosveshchenie, 1996.
• E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev: “Xác suất và Thống kê”, sổ tay dành cho các cơ sở giáo dục phổ thông lớp 5 – 9 / được Bộ Giáo dục Liên bang Nga phê duyệt // Bustard Moscow 2002
• Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk “Đại số: các yếu tố của lý thuyết thống kê và xác suất, lớp 7 – 9” Biên tập bởi S.A. Telyakovsky M: Prosveshchenie, 2006
• Hình tam giác http://works.doklad.ru/images/_E3ZV-_wFwU/md87b96f.gif

Phần còn lại của bản vẽ được tạo bởi A.K. Gryaznova.

Yếu tố
tổ hợp.
Sổ tay giáo dục điện tử
dành cho học sinh lớp 9-11.
Tác giả-biên dịch:
Katorova O.G.,
giáo viên toán
MBOU "Nhà thi đấu số 2"
Sarov

Tổ hợp

Tổ hợp là một phần
môn toán học nghiên cứu
câu hỏi về sự lựa chọn hoặc vị trí
các phần tử của tập hợp theo
với những quy tắc đã cho.
“Tổ hợp” có nguồn gốc từ tiếng Latin
từ "combina", được dịch sang tiếng Nga
có nghĩa là “kết hợp”, “kết nối”.

THAM KHẢO LỊCH SỬ
Thuật ngữ “tổ hợp” là
được đưa vào sử dụng toán học
trên toàn thế giới
nổi tiếng
tiếng Đức
nhà khoa học G.V. Leibniz, người
1666 bài giảng được xuất bản
về nghệ thuật kết hợp."
GW Leibniz
Vào thế kỷ 18, người ta chuyển sang giải các bài toán tổ hợp
và các nhà toán học xuất sắc khác. Vâng, Leonhard Euler
xem xét các vấn đề về phân vùng số, so khớp,
sắp xếp theo chu kỳ, về việc xây dựng phép thuật và
hình vuông Latinh.

Giao dịch tổ hợp
các loại hợp chất
(sắp xếp lại, sắp xếp,
kết hợp) có thể
hình thức từ các yếu tố
một tập hữu hạn nào đó.

Kết nối tổ hợp

Sắp xếp lại
1.
2.
Hoán vị không lặp lại
Hoán vị với sự lặp lại
Vị trí
1.
2.
Vị trí không lặp lại
Vị trí lặp lại
kết hợp
1.
2.
Sự kết hợp không lặp lại
Sự kết hợp với sự lặp lại

Hoán vị - kết nối,
có thể bao gồm n
phần tử, thay đổi tất cả
những cách có thể để đặt hàng chúng.
Công thức:

Tài liệu tham khảo lịch sử

Năm 1713 nó được xuất bản
tiểu luận của J. Bernoulli "Nghệ thuật
giả định" trong đó
đã được trình bày đủ chi tiết
được biết đến vào thời điểm đó
sự thật kết hợp.
"Nghệ thuật
giả định" chưa được hoàn thành
của tác giả và xuất hiện sau khi ông qua đời.
Bài văn gồm có 4 phần,
tổ hợp đã được cống hiến
phần thứ hai, trong đó có
công thức tính số hoán vị của n
các phần tử.

Ví dụ

Có bao nhiêu cách xếp 8 người vào
xếp hàng tại phòng vé?
Giải pháp của vấn đề:
Có 8 chỗ ngồi phải có 8 người ngồi.
Bất kỳ ai trong số 8 người đều có thể chiếm vị trí đầu tiên, tức là. cách
chiếm vị trí đầu tiên – 8.
Sau khi có một người về nhất thì còn lại 7 người
chỗ ngồi và 7 người có thể được chứa trên đó, tức là.
cách giành vị trí thứ hai - 7. Tương tự cho vị trí thứ ba,
thứ tư, v.v. địa điểm.
Sử dụng nguyên tắc nhân, chúng ta thu được sản phẩm. Cái này
sản phẩm được chỉ định là 8! (đọc giai thừa 8) và
được gọi là hoán vị P8.
Đáp án: P8 = 8!

tự kiểm tra

1) Có bao nhiêu cách xếp
có bốn cái khác nhau trên kệ cạnh nhau
sách?
GIẢI PHÁP

tự kiểm tra

2) Bạn có thể đặt bao nhiêu cách
Có sẵn 10 thẻ khác nhau trong 10 thẻ
phong bì (một tấm bưu thiếp cho mỗi phong bì)?
GIẢI PHÁP

tự kiểm tra

3) Bạn có thể trồng bao nhiêu cách?
tám đứa trẻ ngồi trên tám chiếc ghế trong phòng ăn
Mẫu giáo?
GIẢI PHÁP

tự kiểm tra

4) Bạn có thể tạo được bao nhiêu từ khác nhau?
sắp xếp lại các chữ cái trong một từ
“tam giác” (bao gồm cả từ đó)?
GIẢI PHÁP

tự kiểm tra

5) Bạn có thể cài đặt bao nhiêu cách
nhiệm vụ của một người mỗi ngày trong số bảy người
học nhóm trong 7 ngày (mỗi
phải trực một lần)?
GIẢI PHÁP

tự kiểm tra

Hoán vị với
sự lặp lại
Bất kỳ vị trí nào có sự lặp lại, trong
trong đó phần tử a1 được lặp lại k1 lần, phần tử
a2 được lặp lại k2 lần, v.v. một yếu tố
lặp lại kn lần, trong đó k1, k2, ..., kn là dữ liệu
số được gọi là hoán vị với
sự lặp lại của trật tự
m = k1 + k2 + … + kn, trong đó dữ liệu
các phần tử a1, a2, …, an được lặp lại
lần lượt là k1, k2,.., kn lần.

tự kiểm tra

Hoán vị với
sự lặp lại
Định lý. Số hoán vị khác nhau với
sự lặp lại của các phần tử (a1, ..., an), trong
có các phần tử a1, …, an được lặp lại
lần lượt là k1, ..., kn lần, bằng
(k1+k2+…+kn)!
tôi!
P
k1! k2! ...kn!
k1! k2! ...kn!

tự kiểm tra

Ví dụ
Các từ và cụm từ có chữ cái được sắp xếp lại
được gọi là đảo chữ cái. Bạn có thể đảo chữ bao nhiêu chữ
được làm từ từ "khỉ"?
Giải pháp.
Có tổng cộng 6 chữ cái trong từ “MACACA” (m=6).
Hãy xác định số lần mỗi chữ cái được sử dụng trong một từ:
"M" - 1 lần (k1=1)
“A” - 3 lần (k2=3)
“K” - 2 lần (k3=2)
tôi!
P=
k1! k2! …kn!
6!
4*5*6
Р1,3,2 =
= 2 = 60.
1! 3! 2!

tự kiểm tra

1) Bạn có thể nhận được bao nhiêu từ khác nhau,
sắp xếp lại các chữ cái của từ "toán học"?
GIẢI PHÁP

tự kiểm tra

2) Bạn có thể sắp xếp bao nhiêu cách
bộ bàn cờ ngang đầu tiên
quân trắng (vua, hậu, hai quân xe, hai
con voi và hai hiệp sĩ)?
GIẢI PHÁP

tự kiểm tra
3) Mẹ có 2 quả táo, 3 quả lê và 4 quả cam.
Mỗi ngày trong chín ngày liên tiếp cô ấy
đưa cho con trai một trong những quả còn lại.
Có bao nhiêu cách có thể thực hiện được điều này?
GIẢI PHÁP

Tài liệu tham khảo lịch sử
Động cơ kết hợp có thể
cũng được chú ý trong biểu tượng của “Sách” Trung Quốc
thay đổi" (thế kỷ V trước Công nguyên).
Vào thế kỷ 12. Nhà toán học Ấn Độ Bhaskara
chi tiết về tác phẩm chính của anh ấy “Lilavati”
đã nghiên cứu các bài toán về hoán vị và
kết hợp, bao gồm cả hoán vị với
sự lặp lại.

Ví dụ

Vị trí
Bằng cách sắp xếp n phần tử theo thứ tự k
(k n) là tập bất kỳ
bao gồm bất kỳ phần tử k nào được lấy trong
một thứ tự nhất định gồm n phần tử.
Hai cách sắp xếp n phần tử được xem xét
khác nhau nếu bản thân chúng khác nhau
phần tử hoặc thứ tự sắp xếp của chúng.
Một n(n 1)(n 2) ... (n (k 1))
k
N

tự kiểm tra

Ví dụ
Có bao nhiêu cách trong số 40 học sinh của một lớp học
Tài sản có thể được xác định như sau:
hiệu trưởng, nhà vật lý và biên tập viên báo tường?
Giải pháp:
Cần phải chọn ba yếu tố theo thứ tự
tập hợp con của một tập hợp chứa 40
các yếu tố, tức là tìm số vị trí không có
sự lặp lại của 40 phần tử của 3.
40!
A=
=38*39*40=59280
37!
3
40

tự kiểm tra

1. Chọn từ bảy cuốn sách khác nhau
bốn. Có bao nhiêu cách có thể thực hiện được điều này?
LÀM?
GIẢI PHÁP

tự kiểm tra

2. Họ tham gia giải vô địch bóng đá
mười đội. Có bao nhiêu tồn tại
nhiều cơ hội khác nhau để nắm bắt
ba vị trí đầu tiên của đội?
GIẢI PHÁP

tự kiểm tra

3. 7 môn học được học trong lớp. thứ tư ngày 4
bài học, và mỗi bài đều khác nhau. Bao nhiêu
những cách bạn có thể tạo lịch trình cho
Thứ Tư?
GIẢI PHÁP

tự kiểm tra

Vị trí với
sự lặp lại
Vị trí lặp lại –
hợp chất chứa n nguyên tố,
được chọn từ m phần tử khác nhau
loài (n m) và khác một loài với
khác theo thành phần hoặc thứ tự
các phần tử.
Số lượng của chúng được giả định
số lượng phần tử không giới hạn
mỗi loại đều bằng nhau

tự kiểm tra

Ví dụ sử dụng
Đến thư viện, nơi có nhiều
mười cuốn sách giáo khoa giống hệt nhau
môn học, 5 học sinh đã đến,
mỗi người trong số họ muốn lấy một cuốn sách giáo khoa.
Người thủ thư viết trong tạp chí
thứ tự tên (không có số) được lấy
sách giáo khoa không có tên của học sinh đã đưa chúng
đã lấy. Có bao nhiêu danh sách khác nhau trong tạp chí?
nó có thể xuất hiện được không?

Tài liệu tham khảo lịch sử

Giải pháp của vấn đề
Vì sách giáo khoa cho mỗi
chủ đề giống nhau, và thủ thư
chỉ ghi tên (không có
số), thì danh sách được sắp xếp với
sự lặp lại, số phần tử
tập hợp ban đầu là 10, và
số lượng vị trí – 5.
Khi đó số danh sách khác nhau bằng
= 100000.
Đáp án: 100000

Vị trí

Hãy tự kiểm tra!
1. Số điện thoại gồm có 7 chữ số.
Số lượng cuộc gọi lớn nhất là bao nhiêu
kẻ thua cuộc-Petya có thể cam kết
trước khi đoán đúng số.
GIẢI PHÁP
GIẢI PHÁP

Ví dụ

Hãy tự kiểm tra!
2. Bạn có thể làm được bao nhiêu cách
viết một từ được tạo thành từ
bốn chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh?
GIẢI PHÁP

tự kiểm tra

Hãy tự kiểm tra!
3. Trong cửa hàng có 4 loại bóng,
Chúng tôi quyết định đặt 8 quả bóng liên tiếp. Bao nhiêu
những cách bạn có thể làm điều này nếu họ
Vị trí có quan trọng không?
GIẢI PHÁP

tự kiểm tra

Hãy tự kiểm tra!
4. Bạn có thể may được bao nhiêu cách
trang phục chú hề sáu nút
một trong bốn màu để có được
mẫu?
GIẢI PHÁP

tự kiểm tra

kết hợp
Sự kết hợp - các hợp chất chứa mỗi
m mục trong số n, khác nhau
kết bạn với ít nhất một món đồ.
Tổ hợp là tập hợp hữu hạn, trong
thứ tự của nó không quan trọng.

tự kiểm tra

kết hợp
Công thức tìm số lượng
sự kết hợp không lặp lại:

tự kiểm tra

Tài liệu tham khảo lịch sử
Năm 1666, Leibniz xuất bản Luận văn
về nghệ thuật tổ hợp." Trong bài tiểu luận của mình
Leibniz, giới thiệu các ký hiệu, thuật ngữ đặc biệt dành cho
tập hợp con và các phép toán trên chúng, tìm tất cả k tổ hợp của n phần tử, hiển thị các thuộc tính
kết hợp:
,
,

tự kiểm tra

Ví dụ sử dụng:
Có bao nhiêu cách chọn được hai
cán bộ trực của một lớp học có 25 học sinh?
Giải pháp:
m = 2 (số lượng nhân viên trực cần thiết)
n = 25 (tổng số học sinh trong lớp)

Vị trí lặp lại

Hãy tự kiểm tra!
1) Bạn có thể làm được bao nhiêu cách
ủy quyền cho ba học sinh
Hội nghị liên trường 9 thành viên
xã hội khoa học?
GIẢI PHÁP

Ví dụ sử dụng

Hãy tự kiểm tra!
2) Mười người tham gia hội nghị
bắt tay bắt tay
đến từng người. Có bao nhiêu cái bắt tay?
làm ra?
GIẢI PHÁP

Giải pháp của vấn đề

Hãy tự kiểm tra!
3) Đội đồng ca của trường có 6 bạn nữ và 4 bạn nam.
Bạn có thể chọn bao nhiêu cách
dàn hợp xướng của trường: 2 nữ và 1 nam
tham gia biểu diễn của dàn hợp xướng huyện?
GIẢI PHÁP

Hãy tự kiểm tra!

4) Có bao nhiêu cách chọn 3
vận động viên từ một nhóm 20 người cho
tham gia các cuộc thi?
GIẢI PHÁP

Hãy tự kiểm tra!

5) Lớp học có 10 môn học và 5 môn khác nhau
bài học mỗi ngày. Có thể bằng bao nhiêu cách
các bài học được phân phối trong cùng một ngày?
GIẢI PHÁP

Hãy tự kiểm tra!

Sự kết hợp với sự lặp lại
Sự định nghĩa
Sự kết hợp với sự lặp lại từ m đến
n là các hợp chất gồm có n
phần tử được chọn từ m phần tử
các loại khác nhau và khác nhau từ
khác bởi ít nhất một phần tử.
Số tổ hợp từ m đến n
chứng tỏ

Hãy tự kiểm tra!

Sự kết hợp với sự lặp lại
Nếu từ một tập hợp có n phần tử chọn
lần lượt m phần tử, với phần tử được chọn
quay lại mọi lúc, sau đó là số cách
tạo một mẫu không có thứ tự - số lượng kết hợp với
sự lặp lại – tạo nên

Hãy tự kiểm tra!

Tài liệu tham khảo lịch sử
Nhà toán học hàng đầu Ấn Độ
Bhaskara Akaria (1114–1185) cũng
nghiên cứu các loại tổ hợp
kết nối. Ông ấy sở hữu chuyên luận
"Sidhanta-Shiromani" ("Vương miện giảng dạy"),
được viết lại vào thế kỷ 13. trên sọc
lá cọ. Trong đó tác giả đã đưa
quy tắc lời nói để tìm
Và
, cho biết ứng dụng của chúng và đặt
nhiều ví dụ

Hãy tự kiểm tra!

Ví dụ sử dụng
Nhiệm vụ số 1
Có bao nhiêu bộ 7 bánh
có thể được biên dịch nếu có
Có 4 loại bánh phải không?
Giải pháp:

Hãy tự kiểm tra!

Ví dụ sử dụng
Nhiệm vụ số 2
Một người bình thường có bao nhiêu xương
trò chơi domino?
Giải: Domino có thể được coi là
kết hợp với sự lặp lại của hai trong số bảy chữ số
bộ (0,1,2,3,4,5,6).
Số lượng tất cả như vậy
sự kết hợp đều bằng nhau

Hãy tự kiểm tra!

tự kiểm tra
Nhiệm vụ 1.
Nhà ăn tập thể dục bán 5 loại
bánh nướng: với táo, với bắp cải,
khoai tây, thịt và nấm. Bao nhiêu
số cách bạn có thể mua hàng từ
10 cái bánh?
GIẢI PHÁP

kết hợp

tự kiểm tra
Nhiệm vụ 2.
Hộp chứa các quả bóng có ba màu -
đỏ, xanh dương và xanh lá cây. Bao nhiêu
những cách bạn có thể tạo một bộ gồm hai
những quả bóng?
GIẢI PHÁP

kết hợp

tự kiểm tra
Nhiệm vụ 3.
Có bao nhiêu cách chọn 4
đồng xu từ bốn đồng xu năm kopeck và từ
bốn đồng xu hai kopeck?
GIẢI PHÁP

tự kiểm tra
Nhiệm vụ 4.
Sẽ có bao nhiêu quân domino?
nếu trong họ
giáo dục sử dụng tất cả các con số?
GIẢI PHÁP

tự kiểm tra
Nhiệm vụ 5.
Bảng màu của người theo trường phái ấn tượng trẻ bao gồm 8
màu sắc khác nhau. Họa sĩ lấy cọ vẽ
ngẫu nhiên bất kỳ màu nào và đặt màu
vết bẩn trên giấy whatman. Sau đó lấy cái tiếp theo
cọ, nhúng nó vào bất kỳ loại sơn nào và tạo ra
vị trí thứ hai bên cạnh. Bao nhiêu
sự kết hợp khác nhau tồn tại cho
sáu điểm?
GIẢI PHÁP

Sách đã sử dụng
Đại số và sự khởi đầu của toán học
phân tích lớp 11 / Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva,
N.E. Fedorova, M.I. Shabunin. –
M.: Giáo dục, 2011.
Vilenkin N.Ya. Tổ hợp. – M., 1969
Vilenkin N.Ya. Tổ hợp. – MCMNO,
2010
ru.wikipedia.org>wiki/Lịch sử tổ hợp