Giảm phân số máy tính trực tuyến. Máy tính trực tuyến Giảm phân số (không đều, hỗn hợp)

Nhiều học sinh mắc lỗi tương tự khi làm việc với phân số. Và tất cả chỉ vì họ quên quy tắc cơ bản Môn số học. Hôm nay chúng ta sẽ lặp lại các quy tắc này đối với các nhiệm vụ cụ thể mà tôi đưa ra trong lớp học của mình.

Đây là nhiệm vụ mà tôi đưa ra cho tất cả những ai đang chuẩn bị cho Kỳ thi Toán học cấp Bang thống nhất:

Nhiệm vụ. cá heo cảngăn 150 gram thức ăn mỗi ngày. Nhưng cô ấy lớn lên và bắt đầu ăn nhiều hơn 20%. Hiện nay lợn ăn bao nhiêu gam thức ăn?

Không giải pháp đúng. Đây là một bài toán về tỷ lệ phần trăm được rút gọn thành phương trình:

Nhiều (rất nhiều) rút gọn số 100 trong tử số và mẫu số của một phân số:

Đây chính là sai lầm mà học trò của tôi đã mắc phải ngay trong ngày viết bài này. Các số đã bị cắt bớt sẽ được đánh dấu màu đỏ.

Không cần phải nói, câu trả lời đã sai. Hãy tự đánh giá: con lợn ăn 150 gam, nhưng bắt đầu ăn 3150 gam. Mức tăng không phải là 20% mà là 21 lần, tức là. đến năm 2000%.

Để tránh những hiểu lầm như vậy, hãy nhớ quy tắc cơ bản:

Chỉ có thể giảm số nhân. Các điều khoản không thể được giảm bớt!

Do đó, lời giải chính xác cho vấn đề trước đó sẽ như sau:

Các số viết tắt ở tử số và mẫu số được đánh dấu màu đỏ. Như bạn có thể thấy, tử số là tích, mẫu số là số bình thường. Vì vậy, việc giảm là hoàn toàn hợp pháp.

Làm việc với tỷ lệ

Một lĩnh vực có vấn đề khác là tỷ lệ. Đặc biệt là khi biến ở cả hai phía. Ví dụ:

Nhiệm vụ. Giải phương trình:

Giải pháp sai - một số người thực sự muốn rút ngắn mọi thứ bằng m:

Các biến giảm được hiển thị bằng màu đỏ. Biểu thức 1/4 = 1/5 hóa ra hoàn toàn vô nghĩa, những con số này không bao giờ bằng nhau.

Và bây giờ - quyết định đúng đắn. Về cơ bản thì nó bình thường phương trình đường thẳng . Nó có thể được giải quyết bằng cách di chuyển tất cả các phần tử sang một bên hoặc bằng tính chất cơ bản của tỷ lệ:

Nhiều độc giả sẽ phản đối: “Giải pháp đầu tiên sai ở đâu?” Vâng, chúng ta hãy tìm hiểu. Hãy nhớ lại quy tắc làm việc với các phương trình:

Bất kỳ phương trình nào cũng có thể được chia và nhân với bất kỳ số nào, khác không.

Bạn đã bỏ lỡ thủ thuật? Bạn chỉ có thể chia cho số khác không. Cụ thể, bạn chỉ có thể chia cho biến m nếu m != 0. Nhưng nếu rốt cuộc, m = 0 thì sao? Hãy thay thế và kiểm tra:

Chúng tôi đã nhận được đẳng thức số chính xác, tức là m = 0 là nghiệm của phương trình. Đối với m != 0 còn lại, chúng ta thu được biểu thức có dạng 1/4 = 1/5, điều này đương nhiên là không chính xác. Vì vậy, không có nghiệm nào khác 0.

Kết luận: tập hợp tất cả lại với nhau

Vì vậy, để giải quyết phương trình hữu tỉ phân số hãy nhớ ba quy tắc:

1. Chỉ có thể giảm số nhân. Phần bổ sung không được phép. Vì vậy, hãy học cách phân tích tử số và mẫu số;
2. Thuộc tính cơ bản của tỷ lệ: sản phẩm yếu tố cực đoan bằng tích của các giá trị trung bình;
3. Phương trình chỉ có thể nhân và chia cho các số k khác 0. Trường hợp k = 0 phải được kiểm tra riêng.

Hãy nhớ những quy tắc này và đừng phạm sai lầm.

Nếu cần chia 497 cho 4 thì khi chia chúng ta sẽ thấy 497 không chia hết cho 4, tức là phần còn lại của phép chia còn lại. Trong những trường hợp như vậy người ta nói rằng nó đã hoàn thành phép chia có số dư, và lời giải được viết như sau:
497: 4 = 124 (1 dư).

Các thành phần của phép chia ở vế trái của đẳng thức được gọi giống như phép chia không có phần dư: 497 - cổ tức, 4 - dải phân cách. Kết quả của phép chia khi chia cho số dư được gọi là riêng tư không đầy đủ. Trong trường hợp của chúng ta, đây là số 124. Và cuối cùng, thành phần cuối cùng, không thuộc phép chia thông thường, là phần còn lại. Trường hợp không có số dư thì số này chia cho số khác không có dấu vết hoặc hoàn toàn. Người ta tin rằng với phép chia như vậy thì phần dư bằng không. Trong trường hợp của chúng tôi, phần còn lại là 1.

Số dư luôn nhỏ hơn số chia.

Phép chia có thể được kiểm tra bằng phép nhân. Ví dụ: nếu có đẳng thức 64: 32 = 2 thì việc kiểm tra có thể được thực hiện như sau: 64 = 32 * 2.

Thông thường trong trường hợp thực hiện phép chia có số dư, việc sử dụng đẳng thức sẽ thuận tiện hơn
a = b * n + r,
trong đó a là số bị chia, b là số chia, n là thương số riêng, r là số dư.

Thương của các số tự nhiên có thể viết được dưới dạng phân số.

Tử số của một phân số là số bị chia, mẫu số là ước số.

Vì tử số của một phân số là số bị chia, mẫu số là ước số nên tin rằng dòng của một phân số có nghĩa là hành động chia. Đôi khi sẽ thuận tiện hơn khi viết phép chia dưới dạng phân số mà không cần sử dụng dấu ://.

Thương số của phép chia số tự nhiên m và n có thể được viết dưới dạng phân số \(\frac(m)(n) \), trong đó tử số m là số bị chia và mẫu số n là ước số:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Các quy tắc sau đây là đúng:

Để có được phân số \(\frac(m)(n)\), bạn cần chia một cho n các phần bằng nhau(chia sẻ) và lấy m phần như vậy.

Để có được phân số \(\frac(m)(n)\), bạn cần chia số m cho số n.

Để tìm một phần của tổng thể, bạn cần chia số tương ứng với tổng thể cho mẫu số và nhân kết quả với tử số của phân số biểu thị phần này.

Để tìm tổng thể từ phần của nó, bạn cần chia số tương ứng với phần này cho tử số và nhân kết quả với mẫu số của phân số biểu thị phần này.

Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số (trừ 0) thì giá trị của phân số đó không thay đổi:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Nếu cả tử số và mẫu số của một phân số được chia cho cùng một số (trừ 0) thì giá trị của phân số đó không thay đổi:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Thuộc tính này được gọi là tính chất cơ bản của phân số.

Hai phép biến đổi cuối cùng được gọi là giảm một phần.

Nếu các phân số cần được biểu diễn dưới dạng phân số có cùng mẫu số thì hành động này được gọi giảm phân số thành mẫu số chung .

Phân số đúng và không đúng. Hỗn số

Bạn đã biết rằng có thể thu được một phân số bằng cách chia tổng thể thành các phần bằng nhau và lấy một số phần như vậy. Ví dụ: phân số \(\frac(3)(4)\) có nghĩa là 3/4 của một. Trong nhiều vấn đề của đoạn trước phân số chung dùng để chỉ một phần của tổng thể. Ý thức chung gợi ý rằng phần này phải luôn nhỏ hơn phần toàn bộ, nhưng còn các phân số chẳng hạn như \(\frac(5)(5)\) hoặc \(\frac(8)(5)\) thì sao? Rõ ràng đây không còn là một phần của đơn vị nữa. Đây có lẽ là lý do tại sao các phân số có tử số lớn hơn hoặc bằng mẫu số được gọi là các phân số không thích hợp. Các phân số khác, tức là các phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số, gọi điện phân số đúng.

Như bạn đã biết, bất kỳ phân số chung nào, cả đúng và sai, đều có thể được coi là kết quả của việc chia tử số cho mẫu số. Vì vậy, trong toán học, không giống như ngôn ngữ thông thường, thuật ngữ “phân số không chính xác” không có nghĩa là chúng ta đã làm sai điều gì đó mà chỉ là tử số của phân số này lớn hơn hoặc bằng mẫu số.

Nếu một số gồm một phần nguyên và một phân số thì các phân số được gọi là hỗn hợp.

Ví dụ:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 là phần nguyên và \(\frac(2)(3) \) là phần phân số.

Nếu tử số của phân số \(\frac(a)(b)\) chia hết cho số tự nhiên n thì để chia phân số này cho n, tử số của nó phải chia cho số này:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Nếu tử số của phân số \(\frac(a)(b)\) không chia hết cho số tự nhiên n, thì để chia phân số này cho n, bạn cần nhân mẫu số của nó với số này:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Lưu ý rằng quy tắc thứ hai cũng đúng khi tử số chia hết cho n. Do đó, chúng ta có thể sử dụng nó khi thoạt nhìn khó xác định tử số của một phân số có chia hết cho n hay không.

Các hành động với phân số. Cộng các phân số.

Với các số phân số, cũng như với số tự nhiên, bạn có thể làm các phép tính toán học. Trước tiên hãy xem xét việc thêm phân số. Dễ dàng thêm phân số với cùng mẫu số. Ví dụ: chúng ta hãy tìm tổng của \(\frac(2)(7)\) và \(\frac(3)(7)\). Dễ hiểu là \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số.

Sử dụng các chữ cái, quy tắc cộng các phân số cùng mẫu số có thể được viết như sau:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Nếu bạn cần thêm phân số với mẫu số khác nhau, thì trước tiên chúng phải được đưa về mẫu số chung. Ví dụ:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Đối với phân số, cũng như đối với số tự nhiên, tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng là đúng.

Cộng các phân số hỗn hợp

Các ký hiệu như \(2\frac(2)(3)\) được gọi phân số hỗn hợp. Trong trường hợp này, số 2 được gọi là Toàn bộ phần phân số hỗn hợp và số \(\frac(2)(3)\) chính là phân số đó phần phân đoạn. Mục \(2\frac(2)(3)\) được đọc như sau: “hai và hai phần ba”.

Khi chia số 8 cho số 3, bạn có thể nhận được hai câu trả lời: \(\frac(8)(3)\) và \(2\frac(2)(3)\). Chúng biểu thị cùng một số phân số, tức là \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Do đó, phân số không chính xác \(\frac(8)(3)\) được biểu diễn dưới dạng hỗn số \(2\frac(2)(3)\). Trong những trường hợp như vậy người ta nói rằng phân số không chính xác nhấn mạnh toàn bộ phần.

Phép trừ phân số (phân số)

Phép trừ số phân số, giống như các số tự nhiên, được xác định dựa trên hành động của phép cộng: trừ một số khác khỏi một số có nghĩa là tìm một số mà khi cộng với số thứ hai sẽ cho kết quả là số đầu tiên. Ví dụ:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) vì \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Quy tắc trừ các phân số cùng mẫu số cũng tương tự như quy tắc cộng các phân số đó:
Để tìm sự khác biệt giữa các phân số có cùng mẫu số, bạn cần lấy tử số của phân số thứ nhất trừ tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số.

Sử dụng các chữ cái, quy tắc này được viết như thế này:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Nhân phân số

Để nhân một phân số với một phân số, bạn cần nhân tử số và mẫu số của chúng rồi viết tích đầu tiên làm tử số và tích thứ hai làm mẫu số.

Sử dụng các chữ cái, quy tắc nhân phân số có thể được viết như sau:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Sử dụng quy tắc đã xây dựng, bạn có thể nhân một phân số với một số tự nhiên, với một hỗn số và cũng có thể nhân các phân số hỗn hợp. Để làm điều này, bạn cần viết số tự nhiên dưới dạng phân số có mẫu số là 1, hỗn số - dưới dạng phân số không chính xác.

Kết quả của phép nhân phải được đơn giản hóa (nếu có thể) bằng cách rút gọn phân số và cô lập toàn bộ phần của phân số không đúng.

Đối với các phân số, cũng như đối với các số tự nhiên, các tính chất giao hoán và tổ hợp của phép nhân, cũng như tính chất phân phối của phép nhân so với phép cộng, đều có giá trị.

Chia phân số

Hãy lấy phân số \(\frac(2)(3)\) và “lật” nó, hoán đổi tử số và mẫu số. Chúng ta nhận được phân số \(\frac(3)(2)\). Phân số này được gọi là đảo ngược phân số \(\frac(2)(3)\).

Nếu bây giờ chúng ta “đảo ngược” phân số \(\frac(3)(2)\), chúng ta sẽ nhận được phân số ban đầu \(\frac(2)(3)\). Do đó, các phân số như \(\frac(2)(3)\) và \(\frac(3)(2)\) được gọi là nghịch đảo lẫn nhau.

Ví dụ: các phân số \(\frac(6)(5) \) và \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) và \(\frac (18 )(7)\).

Khi sử dụng các chữ cái, phân số nghịch đảo có thể được viết như sau: \(\frac(a)(b) \) và \(\frac(b)(a) \)

Rõ ràng là tích của các phân số nghịch đảo bằng 1. Ví dụ: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Sử dụng phân số nghịch đảo, bạn có thể giảm phép chia phân số thành phép nhân.

Quy tắc chia một phân số cho một phân số là:
Để chia một phân số cho một phân số khác, bạn cần nhân số bị chia với nghịch đảo của số chia.

Sử dụng các chữ cái, quy tắc chia phân số có thể được viết như sau:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Nếu số bị chia hoặc số bị chia là số tự nhiên hoặc phần hỗn hợp, thì để sử dụng quy tắc chia phân số, trước tiên nó phải được biểu diễn dưới dạng phân số không chính xác.

Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét chi tiết cách phân số giảm. Đầu tiên, chúng ta hãy thảo luận về cái được gọi là rút gọn một phân số. Sau đó, chúng ta hãy nói về việc khử một phân số có thể rút gọn thành dạng tối giản. Tiếp theo, chúng ta sẽ thu được quy tắc rút gọn phân số và cuối cùng, xem xét các ví dụ về việc áp dụng quy tắc này.

Điều hướng trang.

Việc giảm một phần có nghĩa là gì?

Chúng ta biết rằng các phân số thông thường được chia thành các phân số tối giản và tối giản. Từ tên bạn có thể đoán rằng phân số tối giản có thể rút gọn được, nhưng phân số tối giản thì không.

Việc giảm một phần có nghĩa là gì? Giảm phân số- điều này có nghĩa là chia tử số và mẫu số của nó cho số dương và khác với đơn vị của chúng. Rõ ràng là do rút gọn một phân số, ta thu được một phân số mới có tử số và mẫu số nhỏ hơn, và do tính chất cơ bản của phân số nên phân số thu được bằng phân số ban đầu.

Ví dụ: hãy rút gọn phân số chung 8/24 bằng cách chia tử số và mẫu số của nó cho 2. Nói cách khác, hãy giảm phân số 8/24 xuống 2. Vì 8:2=4 và 24:2=12 nên phép rút gọn này tạo ra phân số 4/12, bằng phân số ban đầu 8/24 (xem phân số bằng nhau và không bằng nhau). Kết quả là chúng ta có .

Rút gọn các phân số thông thường về dạng tối giản

Thông thường, mục tiêu cuối cùng của việc rút gọn một phân số là thu được một phân số tối giản bằng với phân số tối giản ban đầu. Mục tiêu này có thể đạt được bằng cách giảm phân số tối giản ban đầu thành tử số và mẫu số của nó. Kết quả của việc giảm như vậy luôn thu được một phần không thể giảm được. Thật vậy, một phần là không thể rút gọn được, vì đã biết rằng Và - . Ở đây chúng ta sẽ nói rằng lớn nhất ước số chung Tử số và mẫu số của phân số là số lớn nhất, nhờ đó phần này có thể được giảm bớt.

Vì thế, rút gọn một phân số chung về dạng tối giản bao gồm việc chia tử số và mẫu số của phân số tối giản ban đầu cho gcd của chúng.

Hãy xem một ví dụ, trong đó chúng ta quay lại phân số 8/24 và rút gọn nó bằng ước số chung lớn nhất của các số 8 và 24, bằng 8. Vì 8:8=1 và 24:8=3 nên chúng ta có phân số tối giản 1/3. Vì thế, .

Lưu ý rằng cụm từ “rút gọn một phân số” thường có nghĩa là rút gọn phân số ban đầu về dạng tối giản của nó. Nói cách khác, việc rút gọn một phân số thường có nghĩa là chia tử số và mẫu số cho ước chung lớn nhất của chúng (chứ không phải chia cho ước chung nào).

Làm thế nào để giảm một phần? Quy tắc và ví dụ về việc giảm phân số

Tất cả những gì còn lại là xem xét quy tắc rút gọn phân số, giải thích cách rút gọn một phân số đã cho.

Quy tắc rút gọn phân số gồm có hai bước:

• đầu tiên tìm gcd của tử số và mẫu số của phân số;
• thứ hai, tử số và mẫu số của phân số được chia cho gcd của chúng, để được một phân số tối giản bằng phân số ban đầu.

Hãy sắp xếp nó ra ví dụ về giảm một phần theo đúng quy định đã nêu.

Ví dụ.

Giảm phân số 182/195.

Giải pháp.

Chúng ta hãy thực hiện cả hai bước theo quy tắc rút gọn một phân số.

Đầu tiên chúng ta tìm GCD(182, 195) . Thuận tiện nhất là sử dụng thuật toán Euclid (xem): 195=182·1+13, 182=13·14, tức là GCD(182, 195)=13.

Bây giờ chúng ta chia tử số và mẫu số của phân số 182/195 cho 13 và chúng ta thu được phân số tối giản 14/15, bằng với phân số ban đầu. Điều này hoàn thành việc giảm phân số.

Tóm lại, lời giải có thể được viết như sau: .

Trả lời:

Đây là nơi chúng ta có thể hoàn thành việc giảm phân số. Nhưng để hoàn thiện bức tranh, chúng ta hãy xem xét thêm hai cách rút gọn phân số, thường được sử dụng trong những trường hợp dễ.

Đôi khi việc tử số và mẫu số của phân số bị rút gọn không hề khó khăn. Việc rút gọn một phân số trong trường hợp này rất đơn giản: bạn chỉ cần loại bỏ tất cả các thừa số chung khỏi tử số và mẫu số.

Điều đáng chú ý là phương pháp này tuân theo trực tiếp quy tắc rút gọn phân số, vì tích của tất cả các thừa số nguyên tố chung của tử số và mẫu số bằng ước số chung lớn nhất của chúng.

Hãy xem giải pháp cho ví dụ.

Ví dụ.

Giảm phân số 360/2 940.

Giải pháp.

Hãy mở rộng tử số và mẫu số thành thừa số nguyên tố: 360=2·2·2·3·3·5 và ​​2 940=2·2·3·5·7·7. Như vậy, .

Bây giờ chúng ta loại bỏ các thừa số chung trong tử số và mẫu số; để thuận tiện, chúng ta chỉ cần gạch bỏ chúng: .

Cuối cùng, chúng ta nhân các thừa số còn lại: , và quá trình khử phân số đã hoàn tất.

Đây ghi chú ngắn các giải pháp: .

Trả lời:

Hãy xem xét một cách khác để rút gọn một phân số, bao gồm phép rút gọn tuần tự. Ở đây, ở mỗi bước, phân số được rút gọn bởi một ước chung nào đó của tử số và mẫu số, điều này hiển nhiên hoặc dễ dàng xác định bằng cách sử dụng

Để hiểu cách rút gọn phân số, trước tiên chúng ta hãy xem một ví dụ.

Rút gọn một phân số có nghĩa là chia cả tử số và mẫu số cho cùng một thứ. Cả 360 và 420 đều kết thúc bằng một chữ số, vì vậy chúng ta có thể giảm phân số này đi 2. Trong phân số mới, cả 180 và 210 đều chia hết cho 2, vì vậy chúng ta giảm phân số này đi 2. Trong các số 90 và 105, tổng trong các chữ số chia hết cho 3 nên cả hai số này đều chia hết cho 3, ta rút gọn phân số đó đi 3. Trong phân số mới, 30 và 35 có tận cùng là 0 và 5, nghĩa là cả hai số đều chia hết cho 5 nên ta rút gọn phân số đó bằng 5. Phân số thu được của sáu phần bảy là không thể rút gọn được. Đây là câu trả lời cuối cùng.

Chúng ta có thể đi đến cùng một câu trả lời theo một cách khác.

Cả 360 và 420 đều có tận cùng bằng 0, nghĩa là chúng chia hết cho 10. Chúng ta giảm phân số đó đi 10. Trong phân số mới, cả tử số 36 và mẫu số 42 đều chia cho 2. Chúng ta giảm phân số đó đi 2. Trong phân số mới phân số tiếp theo, cả tử số 18 và mẫu số 21 đều được chia cho 3, nghĩa là chúng ta giảm phân số đó đi 3. Chúng ta đã có kết quả - sáu phần bảy.

Và một giải pháp nữa.

Lần tới chúng ta sẽ xem xét các ví dụ về việc rút gọn phân số.