Định lý Ostrograd Gauss cho vectơ cảm ứng điện. Định lý Ostrogradsky–Gauss

Mục tiêu bài học: Định lý Ostrogradsky–Gauss được nhà toán học, thợ cơ khí người Nga Mikhail Vasilyevich Ostrogradsky xây dựng dưới dạng một định lý toán học tổng quát và bởi nhà toán học người Đức Carl Friedrich Gauss. Định lý này có thể được sử dụng khi nghiên cứu vật lý ở cấp độ chuyên ngành, vì nó cho phép tính toán điện trường hợp lý hơn.

Vectơ cảm ứng điện

Để rút ra định lý Ostrogradsky–Gauss, cần phải đưa ra các khái niệm phụ trợ quan trọng như vectơ cảm ứng điện và dòng của vectơ F này.

Được biết, trường tĩnh điện thường được mô tả bằng các đường lực. Giả sử rằng chúng ta xác định lực căng tại một điểm nằm ở mặt phân cách giữa hai môi trường: không khí (=1) và nước (=81). Lúc này, khi chuyển từ không khí sang nước, cường độ điện trường theo công thức sẽ giảm đi 81 lần. Nếu bỏ qua tính dẫn điện của nước thì số đường sức sẽ giảm đi một lượng như nhau. Khi giải các bài toán tính toán trường khác nhau, do sự gián đoạn của vectơ điện áp tại giao diện giữa môi trường và trên chất điện môi, sẽ tạo ra một số bất tiện nhất định. Để tránh chúng, một vectơ mới được đưa ra, gọi là vectơ cảm ứng điện:

Vectơ cảm ứng điện bằng tích của vectơ với hằng số điện và hằng số điện môi của môi trường tại một điểm cho trước.

Rõ ràng là khi đi qua ranh giới của hai điện môi, số đường dây cảm ứng điện không thay đổi đối với điện trường của một điện tích điểm (1).

Trong hệ SI, vectơ cảm ứng điện được đo bằng coulomb trên mét vuông (C/m2). Biểu thức (1) cho thấy giá trị số của vectơ không phụ thuộc vào tính chất của môi trường. Trường vectơ được mô tả bằng đồ họa tương tự như trường cường độ (ví dụ, đối với điện tích điểm, xem Hình 1). Đối với trường vectơ, nguyên lý chồng chất được áp dụng:

Thông lượng cảm ứng điện

Vectơ cảm ứng điện đặc trưng cho điện trường tại mỗi điểm trong không gian. Bạn có thể giới thiệu một đại lượng khác phụ thuộc vào giá trị của vectơ không phải tại một điểm mà tại tất cả các điểm trên bề mặt được giới hạn bởi một đường viền phẳng khép kín.

Để làm điều này, hãy xem xét một dây dẫn (mạch) phẳng, kín có diện tích bề mặt S, được đặt trong một điện trường đều. Pháp tuyến của mặt phẳng dây dẫn tạo một góc với hướng của vectơ cảm ứng điện (Hình 2).

Dòng cảm ứng điện qua bề mặt S là đại lượng bằng tích mô đun của vectơ cảm ứng với diện tích S và cosin của góc giữa vectơ và pháp tuyến:

Đạo hàm của định lý Ostrogradsky–Gauss

Định lý này cho phép chúng ta tìm dòng chuyển động của vectơ cảm ứng điện qua một bề mặt kín, trong đó có các điện tích.

Đầu tiên đặt điện tích điểm q tại tâm của một hình cầu có bán kính tùy ý r 1 (Hình 3). Sau đó ; . Hãy tính tổng dòng cảm ứng truyền qua toàn bộ bề mặt của quả cầu này: ; (). Nếu chúng ta lấy một hình cầu có bán kính , thì Ф = q. Nếu chúng ta vẽ một hình cầu không che phủ điện tích q thì thông lượng tổng Ф = 0 (vì mỗi đường sẽ đi vào bề mặt và rời khỏi nó vào một thời điểm khác).

Do đó, Ф = q nếu điện tích nằm bên trong bề mặt kín và Ф = 0 nếu điện tích nằm bên ngoài bề mặt kín. Dòng chảy Ф không phụ thuộc vào hình dạng của bề mặt. Nó cũng độc lập với sự sắp xếp các điện tích bên trong bề mặt. Điều này có nghĩa là kết quả thu được không chỉ đúng với một điện tích mà còn đúng với bất kỳ số lượng điện tích nào được định vị tùy ý, nếu chúng ta hiểu q là tổng đại số của tất cả các điện tích nằm bên trong bề mặt.

Định lý Gauss: dòng cảm ứng điện qua một bề mặt kín bất kỳ bằng tổng đại số của tất cả các điện tích nằm bên trong bề mặt đó: .

Từ công thức, rõ ràng là chiều của dòng điện giống như chiều của điện tích. Do đó, đơn vị của thông lượng cảm ứng điện là coulomb (C).

Lưu ý: nếu trường không đồng nhất và bề mặt mà dòng chảy được xác định không phải là mặt phẳng thì bề mặt này có thể được chia thành các phần tử vô hạn ds và mỗi phần tử có thể được coi là phẳng và trường gần nó là đồng nhất. Do đó, đối với bất kỳ điện trường nào, dòng vectơ cảm ứng điện qua phần tử bề mặt là: dФ=. Do tích phân, tổng thông lượng qua bề mặt kín S trong bất kỳ điện trường không đồng nhất nào đều bằng: , trong đó q là tổng đại số của tất cả các điện tích được bao quanh bởi một bề mặt kín S. Hãy biểu diễn phương trình cuối cùng dưới dạng cường độ điện trường (đối với chân không): .

Đây là một trong những phương trình cơ bản của Maxwell cho trường điện từ, được viết dưới dạng tích phân. Nó cho thấy nguồn của điện trường không đổi theo thời gian là các điện tích đứng yên.

Ứng dụng định lý Gauss

Trường phí phân phối liên tục

Bây giờ chúng ta hãy xác định cường độ trường cho một số trường hợp sử dụng định lý Ostrogradsky-Gauss.

1. Điện trường của một bề mặt hình cầu tích điện đều.

Hình cầu bán kính R. Giả sử điện tích +q phân bố đều trên một bề mặt hình cầu có bán kính R. Sự phân bố điện tích trên bề mặt được đặc trưng bởi mật độ điện tích bề mặt (Hình 4). Mật độ điện tích bề mặt là tỷ lệ điện tích trên diện tích bề mặt mà nó được phân bố. . Ở SI.

Hãy xác định cường độ trường:

a) ở ngoài mặt cầu,
b) Bên trong một mặt cầu.

a) Lấy điểm A cách tâm của bề mặt hình cầu tích điện một khoảng r>R. Chúng ta hãy tưởng tượng qua nó một bề mặt cầu S có bán kính r, có tâm chung với bề mặt cầu tích điện. Từ việc xem xét tính đối xứng, rõ ràng các đường sức là các đường hướng tâm vuông góc với bề mặt S và xuyên qua bề mặt này một cách đều, tức là. lực căng tại tất cả các điểm của bề mặt này có độ lớn không đổi. Chúng ta hãy áp dụng định lý Ostrogradsky-Gauss cho bề mặt hình cầu S có bán kính r này. Vậy tổng thông lượng qua quả cầu là N = E? S; N=E. Mặt khác . Chúng ta đánh đồng: . Do đó: với r>R.

Do đó: lực căng được tạo ra bởi một bề mặt hình cầu tích điện đều bên ngoài nó giống như khi toàn bộ điện tích ở tâm của nó (Hình 5).

b) Hãy tìm cường độ trường tại các điểm nằm bên trong bề mặt hình cầu tích điện. Hãy lấy điểm B cách tâm quả cầu một khoảng . Khi đó, E = 0 tại r

2. Cường độ trường của mặt phẳng vô hạn tích điện đều

Hãy xem xét điện trường được tạo ra bởi một mặt phẳng vô hạn, được tích điện với mật độ không đổi tại mọi điểm của mặt phẳng. Vì lý do đối xứng, chúng ta có thể giả sử rằng các đường căng vuông góc với mặt phẳng và hướng từ mặt phẳng đó theo cả hai hướng (Hình 6).

Hãy chọn điểm A nằm bên phải mặt phẳng và tính toán tại điểm này bằng định lý Ostrogradsky-Gauss. Là một mặt kín, ta chọn mặt hình trụ sao cho mặt bên của hình trụ song song với các đường sức, đáy của nó song song với mặt phẳng và đáy đi qua điểm A (Hình 7). Hãy tính toán lực căng truyền qua bề mặt hình trụ đang xét. Thông lượng qua mặt bên bằng 0, bởi vì các đường căng song song với mặt bên. Khi đó tổng dòng chảy bao gồm các dòng chảy và đi qua các đáy của hình trụ và . Cả hai luồng này đều dương =+; =; =; ==; N=2.

– phần của mặt phẳng nằm bên trong bề mặt hình trụ đã chọn. Điện tích bên trong bề mặt này là q.

Sau đó ; – có thể coi là điện tích điểm) với điểm A. Để tìm trường tổng, cần cộng tất cả các trường do mỗi phần tử tạo ra về mặt hình học: ; .

Định luật tương tác của các điện tích - định luật Coulomb - có thể được phát biểu theo cách khác, dưới dạng cái gọi là định lý Gauss. Định lý Gauss thu được là hệ quả của định luật Coulomb và nguyên lý chồng chất. Việc chứng minh dựa trên tỉ lệ nghịch của lực tương tác giữa hai điện tích điểm với bình phương khoảng cách giữa chúng. Do đó, định lý Gauss có thể áp dụng cho bất kỳ trường vật lý nào trong đó định luật bình phương nghịch đảo và nguyên lý chồng chất áp dụng, chẳng hạn như trường hấp dẫn.

Cơm. 9. Đường cường độ điện trường của một điện tích điểm cắt mặt kín X

Để xây dựng định lý Gauss, chúng ta hãy quay lại hình ảnh đường sức điện của một điện tích điểm đứng yên. Các đường sức của một điện tích điểm đơn độc là các đường thẳng hướng tâm nằm đối xứng nhau (Hình 7). Bạn có thể vẽ bất kỳ số lượng đường như vậy. Chúng ta hãy biểu thị tổng số của chúng bằng cách Sau đó, mật độ của các đường sức ở một khoảng cách tính từ điện tích, tức là số đường đi qua một đơn vị bề mặt của một hình cầu bán kính bằng So sánh mối quan hệ này với biểu thức cường độ trường của một điện tích điểm (4), ta thấy mật độ đường thẳng tỉ lệ với cường độ trường. Chúng ta có thể làm cho các đại lượng này bằng nhau bằng cách chọn đúng tổng số dòng trường N:

Do đó, bề mặt của một quả cầu có bán kính bất kỳ bao quanh một điện tích điểm sẽ cắt cùng một số đường lực. Điều này có nghĩa là các đường sức là liên tục: trong khoảng giữa hai quả cầu đồng tâm bất kỳ có bán kính khác nhau, không có đường nào bị đứt và không có đường mới nào được thêm vào. Vì các đường sức là liên tục, nên số lượng đường sức như nhau cắt bất kỳ bề mặt kín nào (Hình 9) bao phủ điện tích

Các đường sức có hướng. Trong trường hợp điện tích dương, chúng thoát ra khỏi bề mặt kín xung quanh điện tích, như trong hình. 9. Trong trường hợp tích điện âm, chúng sẽ đi vào bên trong bề mặt. Nếu số dòng đi ra được coi là dương và số dòng đi vào là âm thì trong công thức (8) chúng ta có thể bỏ dấu mô đun điện tích và viết nó dưới dạng

Dòng chảy căng thẳng. Bây giờ chúng ta hãy giới thiệu khái niệm về dòng vectơ cường độ trường qua một bề mặt. Một trường tùy ý có thể được chia thành các khu vực nhỏ trong đó cường độ thay đổi về độ lớn và hướng rất ít đến mức trong khu vực này trường có thể được coi là đồng nhất. Trong mỗi vùng như vậy, các đường sức là những đường thẳng song song và có mật độ không đổi.

Cơm. 10. Xác định thông lượng của vectơ cường độ trường qua vị trí

Chúng ta hãy xem xét có bao nhiêu đường sức xuyên qua một diện tích nhỏ, hướng pháp tuyến tạo thành một góc a với hướng của các đường căng (Hình 10). Cho một hình chiếu lên mặt phẳng vuông góc với các đường sức. Vì số lượng đường giao nhau là như nhau và mật độ của các đường, theo điều kiện được chấp nhận, bằng mô đun của cường độ trường E, nên

Giá trị a là hình chiếu của vectơ E lên phương pháp tuyến của vị trí

Do đó số đường dây điện đi qua khu vực đó bằng

Tích gọi là thông lượng cường độ trường qua bề mặt. Công thức (10) cho thấy dòng của vectơ E qua bề mặt bằng số đường sức trường đi qua bề mặt này. Lưu ý rằng dòng của vectơ cường độ, giống như số đường sức truyền qua bề mặt, là một đại lượng vô hướng.

Cơm. 11. Dòng vectơ căng E qua vị trí

Sự phụ thuộc của dòng chảy vào hướng của vị trí so với các đường lực được minh họa trên Hình 2.

Thông lượng cường độ trường qua một bề mặt tùy ý là tổng của các thông lượng qua các diện tích cơ bản mà bề mặt này có thể được phân chia. Theo hệ thức (9) và (10), có thể phát biểu rằng cường độ trường của một điện tích điểm đi qua bất kỳ bề mặt kín 2 nào bao bọc điện tích đó (xem Hình 9), là số lượng đường sức xuất hiện từ bề mặt này bằng.Trong trường hợp này, vectơ pháp tuyến của các diện tích cơ bản có bề mặt kín sẽ hướng ra ngoài. Nếu điện tích bên trong bề mặt âm thì các đường sức đi vào bên trong bề mặt này và dòng của vectơ cường độ trường liên quan đến điện tích cũng âm.

Nếu có một số điện tích bên trong một bề mặt kín thì theo nguyên lý chồng chất, dòng cường độ trường của chúng sẽ cộng lại. Thông lượng tổng sẽ bằng với trong đó by nên được hiểu là tổng đại số của tất cả các điện tích nằm bên trong bề mặt.

Nếu không có điện tích bên trong một bề mặt kín hoặc tổng đại số của chúng bằng 0 thì tổng cường độ trường qua bề mặt này bằng 0: khi có nhiều đường lực đi vào thể tích giới hạn bởi bề mặt thì cũng số lượng đó sẽ đi ra ngoài.

Bây giờ cuối cùng chúng ta có thể xây dựng định lý Gauss: dòng của vectơ cường độ điện trường E trong chân không qua bất kỳ bề mặt kín nào đều tỷ lệ thuận với tổng điện tích nằm bên trong bề mặt này. Về mặt toán học, định lý Gauss được biểu diễn bằng cùng một công thức (9), trong đó by có nghĩa là tổng đại số của các điện tích. Tĩnh điện tuyệt đối

Trong hệ đơn vị SGSE, hệ số và định lý Gauss được viết dưới dạng

Trong SI và dòng lực căng qua một bề mặt kín được biểu thị bằng công thức

Định lý Gauss được sử dụng rộng rãi trong tĩnh điện. Trong một số trường hợp, nó có thể được sử dụng để dễ dàng tính toán các trường được tạo bởi các điện tích có vị trí đối xứng.

Trường nguồn đối xứng. Chúng ta hãy áp dụng định lý Gauss để tính cường độ điện trường tích điện đều trên bề mặt của một quả cầu có bán kính . Để chắc chắn, chúng ta sẽ giả sử điện tích của nó là dương. Sự phân bố các điện tích tạo ra trường có tính chất đối xứng hình cầu. Do đó, trường cũng có tính đối xứng tương tự. Các đường sức của trường như vậy hướng dọc theo bán kính và mô đun cường độ là như nhau tại tất cả các điểm cách đều tâm quả bóng.

Để tìm cường độ trường ở một khoảng cách tính từ tâm quả bóng, chúng ta hãy vẽ nhẩm một bề mặt hình cầu có bán kính đồng tâm với quả bóng.Vì tại tất cả các điểm của quả cầu này, cường độ trường hướng vuông góc với bề mặt của nó và là giống nhau về giá trị tuyệt đối, cường độ dòng chảy đơn giản bằng tích của cường độ trường và diện tích bề mặt của hình cầu:

Nhưng đại lượng này cũng có thể được biểu diễn bằng định lý Gauss. Nếu chúng ta quan tâm đến trường bên ngoài quả bóng, tức là, chẳng hạn như trong SI và so sánh với (13), chúng ta thấy

Trong hệ thống đơn vị SGSE, rõ ràng,

Do đó, bên ngoài quả bóng, cường độ trường giống như cường độ của một điện tích điểm đặt ở tâm quả bóng. Nếu chúng ta quan tâm đến trường bên trong quả bóng, tức là, vì toàn bộ điện tích phân bố trên bề mặt quả bóng nằm bên ngoài quả cầu nên chúng ta đã rút ra trong đầu. Do đó, không có trường bên trong quả bóng:

Tương tự, sử dụng định lý Gauss, người ta có thể tính được trường tĩnh điện được tạo ra bởi một điện tích vô hạn

mặt phẳng có mật độ không đổi tại mọi điểm của mặt phẳng. Vì lý do đối xứng, chúng ta có thể giả sử rằng các đường sức vuông góc với mặt phẳng, hướng từ mặt phẳng đó theo cả hai hướng và có cùng mật độ ở mọi nơi. Thật vậy, nếu mật độ của các đường sức tại các điểm khác nhau là khác nhau, thì việc di chuyển một mặt phẳng tích điện dọc theo chính nó sẽ dẫn đến sự thay đổi trường tại các điểm này, điều này mâu thuẫn với tính đối xứng của hệ - một sự dịch chuyển như vậy sẽ không làm thay đổi trường. Nói cách khác, trường của một mặt phẳng tích điện đều vô hạn là trường đều.

Là một mặt kín để áp dụng định lý Gauss, ta chọn bề mặt của hình trụ có cấu tạo như sau: đường sinh của hình trụ song song với các đường sức, các đáy có diện tích song song với mặt phẳng tích điện và nằm đối diện với mặt phẳng tích điện. (Hình 12). Thông lượng cường độ trường qua bề mặt bên bằng 0, do đó tổng thông lượng qua bề mặt kín bằng tổng các thông lượng qua các đáy của hình trụ:

Cơm. 12. Hướng tới tính cường độ trường của mặt phẳng tích điện đều

Theo định lý Gauss, cùng một thông lượng được xác định bởi điện tích của phần mặt phẳng nằm bên trong hình trụ và trong SI nó bằng So sánh các biểu thức này cho thông lượng, chúng ta tìm thấy

Trong hệ thống SGSE, cường độ trường của mặt phẳng vô hạn tích điện đều được tính theo công thức

Đối với một tấm tích điện đều có kích thước hữu hạn, các biểu thức thu được gần đúng trong một vùng nằm đủ xa các cạnh của tấm và không quá xa bề mặt của nó. Gần các cạnh của tấm, từ trường sẽ không còn đồng đều và các đường sức của nó sẽ bị uốn cong. Ở những khoảng cách rất lớn so với kích thước của tấm, trường giảm dần theo khoảng cách giống như trường của một điện tích điểm.

Các ví dụ khác về trường được tạo ra bởi các nguồn phân bố đối xứng bao gồm trường của một vật tích điện đều dọc theo chiều dài của một sợi dây thẳng vô hạn, trường của một hình trụ tròn vô hạn tích điện đều, trường của một quả bóng,

tích điện đều trong toàn bộ thể tích, v.v. Định lý Gauss cho phép dễ dàng tính cường độ trường trong tất cả các trường hợp này.

Định lý Gauss đưa ra mối quan hệ giữa trường và nguồn của nó, theo một nghĩa nào đó trái ngược với mối quan hệ được đưa ra bởi định luật Coulomb, cho phép người ta xác định điện trường từ các điện tích đã cho. Sử dụng định lý Gauss, bạn có thể xác định tổng điện tích trong bất kỳ vùng không gian nào trong đó đã biết sự phân bố của điện trường.

Sự khác biệt giữa các khái niệm tác dụng tầm xa và tác dụng tầm ngắn khi mô tả sự tương tác của điện tích là gì? Những khái niệm này có thể được áp dụng cho tương tác hấp dẫn ở mức độ nào?

Cường độ điện trường là gì? Chúng có ý nghĩa gì khi gọi đặc tính lực của điện trường?

Làm thế nào người ta có thể đánh giá hướng và độ lớn của cường độ trường tại một điểm nhất định từ mô hình đường sức trường?

Các đường sức điện có cắt nhau được không? Đưa ra lý do cho câu trả lời của bạn.

Vẽ hình ảnh định tính đường sức tĩnh điện của hai điện tích sao cho .

Dòng cường độ điện trường qua một bề mặt kín được biểu thị bằng các công thức khác nhau (11) và (12) theo đơn vị GSE và SI. Làm thế nào điều này có thể dung hòa được với ý nghĩa hình học của dòng chảy, được xác định bởi số lượng đường sức đi qua bề mặt?

Làm thế nào để vận dụng định lý Gauss để tìm cường độ điện trường khi các điện tích tạo ra nó phân bố đối xứng?

Làm thế nào để áp dụng công thức (14) và (15) để tính cường độ trường của một quả bóng mang điện tích âm?

Định lý Gauss và hình học của không gian vật lý. Chúng ta hãy xem xét cách chứng minh định lý Gauss từ một quan điểm hơi khác. Chúng ta hãy quay lại công thức (7), từ đó người ta kết luận rằng cùng một số đường lực truyền qua bất kỳ bề mặt hình cầu nào bao quanh một điện tích. Kết luận này là do có sự giảm mẫu số của cả hai vế của đẳng thức.

Ở phía bên phải, nó phát sinh do lực tương tác giữa các điện tích, được mô tả bởi định luật Coulomb, tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa các điện tích. Ở phía bên trái, hình thức liên quan đến hình học: diện tích bề mặt của hình cầu tỷ lệ với bình phương bán kính của nó.

Tỷ lệ diện tích bề mặt với bình phương các kích thước tuyến tính là đặc điểm nổi bật của hình học Euclide trong không gian ba chiều. Thật vậy, tỷ lệ diện tích chính xác với bình phương của các kích thước tuyến tính chứ không phải với bất kỳ bậc nguyên nào khác, là đặc trưng của không gian.

ba chiều. Thực tế là số mũ này chính xác bằng hai và không khác hai, thậm chí một lượng nhỏ không đáng kể, cho thấy rằng không gian ba chiều này không bị cong, tức là hình học của nó chính xác là Euclide.

Như vậy, định lý Gauss là sự biểu hiện các tính chất của không gian vật lý theo định luật cơ bản về tương tác giữa các điện tích.

Ý tưởng về mối liên hệ chặt chẽ giữa các định luật vật lý cơ bản và các tính chất của không gian đã được nhiều bộ óc xuất chúng thể hiện từ rất lâu trước khi các định luật này được thiết lập. Vì vậy, I. Kant, ba thập kỷ trước khi phát hiện ra định luật Coulomb, đã viết về các tính chất của không gian: “Rõ ràng, ba chiều xảy ra bởi vì các chất trong thế giới hiện tại tác động lên nhau theo cách mà lực tác dụng tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách.”

Định luật Coulomb và định lý Gauss thực sự biểu diễn cùng một định luật tự nhiên được biểu diễn dưới các dạng khác nhau. Định luật Coulomb phản ánh khái niệm tác dụng tầm xa, trong khi định lý Gauss xuất phát từ ý tưởng về một trường lực lấp đầy không gian, tức là từ khái niệm tác dụng tầm ngắn. Trong tĩnh điện, nguồn của trường lực là điện tích và đặc tính của trường liên quan đến nguồn - dòng cường độ - không thể thay đổi trong không gian trống nơi không có điện tích khác. Vì dòng chảy có thể được hình dung một cách trực quan như một tập hợp các đường trường, nên tính bất biến của dòng chảy được thể hiện ở tính liên tục của các đường này.

Định lý Gauss, dựa trên tỷ lệ nghịch của tương tác với bình phương khoảng cách và dựa trên nguyên lý chồng chất (tính cộng của tương tác), có thể áp dụng cho bất kỳ trường vật lý nào trong đó định luật bình phương nghịch đảo hoạt động. Đặc biệt, nó còn đúng với trường hấp dẫn. Rõ ràng đây không chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên mà còn phản ánh thực tế là cả tương tác điện và lực hấp dẫn đều diễn ra trong không gian vật lý Euclide ba chiều.

Định lý Gauss dựa trên đặc điểm nào của định luật tương tác điện tích?

Chứng minh, dựa trên định lý Gauss, rằng cường độ điện trường của một điện tích điểm tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách. Những tính chất nào của sự đối xứng không gian được sử dụng trong chứng minh này?

Hình học của không gian vật lý được phản ánh như thế nào trong định luật Coulomb và định lý Gauss? Đặc điểm nào của các định luật này cho thấy bản chất Euclide của hình học và tính chất ba chiều của không gian vật lý?

Nhiệm vụ ứng dụng chính của tĩnh điện là tính toán điện trường được tạo ra trong các thiết bị và dụng cụ khác nhau. Nói chung, vấn đề này được giải quyết bằng định luật Coulomb và nguyên lý chồng chất. Tuy nhiên, nhiệm vụ này trở nên rất phức tạp khi xem xét một số lượng lớn các điện tích điểm hoặc phân bố theo không gian. Khó khăn càng lớn hơn khi có chất điện môi hoặc chất dẫn điện trong không gian, khi dưới tác dụng của trường ngoài E 0, xảy ra sự phân bố lại các điện tích cực nhỏ, tạo ra trường E bổ sung của riêng chúng. Do đó, để giải quyết những vấn đề này một cách thực tế, các phương pháp và kỹ thuật phụ trợ là được sử dụng sử dụng bộ máy toán học phức tạp. Chúng ta sẽ xem xét phương pháp đơn giản nhất dựa trên việc áp dụng định lý Ostrogradsky–Gauss. Để xây dựng định lý này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm mới:

A) mật độ điện tích

Nếu vật tích điện lớn thì bạn cần biết sự phân bố điện tích bên trong vật thể.

Mật độ điện tích khối lượng- được đo bằng điện tích trên một đơn vị thể tích:

Mật độ điện tích bề mặt– được đo bằng điện tích trên một đơn vị bề mặt của vật thể (khi điện tích phân bố trên bề mặt):

Mật độ điện tích tuyến tính(phân bố điện tích dọc theo dây dẫn):

b) vector cảm ứng tĩnh điện

Vector cảm ứng tĩnh điện (vectơ dịch chuyển điện) là đại lượng vectơ đặc trưng của điện trường.

Vectơ bằng tích của vectơ hằng số điện môi tuyệt đối của môi trường tại một điểm cho trước:

Hãy kiểm tra kích thước D theo đơn vị SI:

, bởi vì
,

thì kích thước D và E không trùng nhau và giá trị số của chúng cũng khác nhau.

Từ định nghĩa nó theo sau đó đối với trường vectơ nguyên tắc xếp chồng tương tự được áp dụng như đối với trường :

Cánh đồng được biểu diễn bằng đồ họa bằng các đường cảm ứng, giống như trường . Các đường cảm ứng được vẽ sao cho tiếp tuyến tại mỗi điểm trùng với hướng và số dòng bằng giá trị số của D tại một vị trí nhất định.

Để hiểu ý nghĩa của phần giới thiệu Hãy xem một ví dụ.

	ε> 1	Tại ranh giới của khoang với chất điện môi, các điện tích âm liên quan tập trung và Trường giảm theo hệ số  và mật độ giảm đột ngột.
Với trường hợp tương tự: D = Eεε 0	, thì: dòng cứ tiếp tục liên tục. dòng bắt đầu với mức phí miễn phí (lúc trên bất kỳ - ràng buộc hoặc tự do), và tại ranh giới điện môi, mật độ của chúng không thay đổi. Như vậy– tính liên tục của đường cảm ứng tạo điều kiện thuận lợi cho việc tính toán , và biết mối liên hệ Với bạn có thể tìm thấy vectơ .

V) dòng vector cảm ứng tĩnh điện

Xét bề mặt S trong điện trường và chọn hướng pháp tuyến

1. Nếu trường đều thì số đường sức đi qua mặt S:

2. Nếu trường không đồng nhất thì bề mặt được chia thành các phần tử vô hạn dS, được coi là phẳng và trường xung quanh chúng là đồng nhất. Do đó, thông lượng qua phần tử bề mặt là: dN = D n dS,

và tổng lưu lượng qua bề mặt bất kỳ là:

(6)

Thông lượng cảm ứng N là đại lượng vô hướng; phụ thuộc vào  có thể > 0 hoặc< 0, или = 0.

Thông lượng vectơ cường độ điện trường. Hãy để một nền tảng nhỏ DS(Hình 1.2) cắt các đường sức điện trường có hướng trùng với pháp tuyến N góc tới trang web này Một. Giả sử rằng vectơ lực căng E không thay đổi trong trang web DS, hãy xác định dòng chảy vector căng thẳng thông qua nền tảng DS Làm sao

DFE =E DS vì Một.(1.3)

Vì mật độ của đường dây điện bằng trị số của lực căng E, khi đó số đường dây điện đi qua khu vựcDS, sẽ bằng số với giá trị luồngDFEqua bề mặtDS. Chúng ta biểu diễn vế phải của biểu thức (1.3) dưới dạng tích vô hướng của các vectơ E VàDS= NDS, Ở đâu N– vectơ đơn vị vuông góc với bề mặtDS. Đối với khu vực tiểu học d S biểu thức (1.3) có dạng

dFE = E d S

Trên toàn bộ trang web S thông lượng của vectơ lực căng được tính như tích phân trên bề mặt

Dòng vectơ cảm ứng điện. Thông lượng của vectơ cảm ứng điện được xác định tương tự như thông lượng của vectơ cường độ điện trường

dFD = D d S

Có một số sự mơ hồ trong các định nghĩa về dòng chảy do thực tế là đối với mỗi bề mặt có hai bình thường theo hướng ngược lại. Đối với một bề mặt kín, pháp tuyến ngoài được coi là dương.

Định lý Gauss. Hãy xem xét điểm tích cực sạc điện q, nằm bên trong một bề mặt đóng tùy ý S(Hình 1.3). Dòng vectơ cảm ứng qua phần tử bề mặt d S bằng
(1.4)

Thành phần d S D = d S vì Mộtphần tử bề mặt d S theo hướng của vectơ cảm ứngDcoi như một phần tử của mặt cầu có bán kính r, ở trung tâm nơi đặt điện tíchq.

Xét rằng d S D/ r 2 bằng nhau cơ thể cơ bản góc dw, theo đó từ điểm đặt điện tíchqphần tử bề mặt d nhìn thấy được S, ta biến đổi biểu thức (1.4) về dạng d FD = q d w / 4 P, từ đâu, sau khi tích phân trên toàn bộ không gian xung quanh điện tích, tức là trong góc khối từ 0 đến 4P, chúng tôi nhận được

FD = q.

Dòng của vectơ cảm ứng điện qua một bề mặt kín có hình dạng tùy ý bằng điện tích chứa bên trong bề mặt đó.

Nếu một bề mặt đóng tùy ý S không bao gồm một khoản phí điểm q(Hình 1.4), sau đó, sau khi xây dựng một bề mặt hình nón với đỉnh ở điểm đặt điện tích, chúng ta chia bề mặt S thành hai phần: S 1 và S 2. Vectơ dòng chảy D qua bề mặt S chúng ta tìm thấy dưới dạng tổng đại số của thông lượng qua các bề mặt S 1 và S 2:

.

Cả hai bề mặt tính từ điểm đặt điện tích q có thể nhìn thấy từ một góc vững chắc w. Do đó dòng chảy bằng nhau

Vì khi tính toán dòng chảy qua một bề mặt kín, chúng ta sử dụng bên ngoài bình thường lên bề mặt, dễ dàng nhận thấy dòng chảy F 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Tổng lưu lượng Ф D= 0. Điều này có nghĩa là Dòng của vectơ cảm ứng điện qua một bề mặt kín có hình dạng tùy ý không phụ thuộc vào các điện tích nằm bên ngoài bề mặt đó.

Nếu điện trường được tạo ra bởi hệ điện tích điểm q 1 , q 2 ,¼ , qn, được bao phủ bởi một bề mặt kín S, khi đó, theo nguyên lý chồng chất, thông lượng của vectơ cảm ứng qua bề mặt này được xác định bằng tổng các thông lượng tạo ra bởi mỗi điện tích. Dòng của vectơ cảm ứng điện qua một bề mặt kín có hình dạng tùy ý bằng tổng đại số các điện tích phủ bởi bề mặt đó:

Cần lưu ý rằng các khoản phí tôi không nhất thiết phải là điểm, điều kiện cần là diện tích tích điện phải được bao phủ hoàn toàn bởi bề mặt. Nếu trong một không gian giới hạn bởi một mặt kín S, điện tích phân bố liên tục thì giả sử mỗi khối cơ bản d V. có một khoản phí. Trong trường hợp này, ở vế phải của biểu thức (1.5), tổng đại số của các điện tích được thay thế bằng tích phân trên thể tích được bao bọc bên trong một bề mặt kín S:

(1.6)

Biểu thức (1.6) là công thức tổng quát nhất Định lý Gauss: dòng của vectơ cảm ứng điện qua một bề mặt kín có hình dạng tùy ý bằng tổng điện tích trong thể tích bao phủ bởi bề mặt đó và không phụ thuộc vào các điện tích nằm bên ngoài bề mặt đang xét. Định lý Gauss cũng có thể được viết cho dòng vectơ cường độ điện trường:

.

Một tính chất quan trọng của điện trường được rút ra từ định lý Gauss: đường sức bắt đầu hoặc kết thúc chỉ trên điện tích hoặc đi đến vô cùng. Chúng ta hãy nhấn mạnh một lần nữa rằng, mặc dù cường độ điện trường E và cảm ứng điện D phụ thuộc vào vị trí trong không gian của mọi điện tích, dòng chuyển động của các vectơ này qua một bề mặt kín tùy ý S chỉ được xác định những điện tích nằm bên trong bề mặt S.

Dạng vi phân của định lý Gauss. Lưu ý rằng dạng tích phânĐịnh lý Gauss mô tả mối liên hệ giữa nguồn điện trường (điện tích) và đặc tính của điện trường (căng thẳng hoặc cảm ứng) trong thể tích V. tùy ý, nhưng đủ để hình thành các mối quan hệ tích phân, độ lớn. Bằng cách chia khối lượng V. cho khối lượng nhỏ V tôi, ta thu được biểu thức

có giá trị cả về mặt tổng thể và cho từng học kỳ. Chúng ta hãy biến đổi biểu thức kết quả như sau:

(1.7)

và xét giới hạn mà biểu thức ở vế phải của đẳng thức, đặt trong dấu ngoặc nhọn, có xu hướng chia thể tích không giới hạn V.. Trong toán học giới hạn này được gọi là sự khác biệt vectơ (trong trường hợp này là vectơ cảm ứng điện D):

Phân kỳ vectơ D trong tọa độ Descartes:

Do đó, biểu thức (1.7) được chuyển về dạng:

.

Xét rằng với phép chia không giới hạn, tổng ở vế trái của biểu thức cuối cùng trở thành tích phân thể tích, chúng ta thu được

Mối quan hệ kết quả phải được thỏa mãn đối với bất kỳ khối lượng được chọn tùy ý nào V.. Điều này chỉ có thể thực hiện được nếu giá trị của các số nguyên tại mỗi điểm trong không gian là như nhau. Do đó, sự phân kỳ của vectơ D liên hệ với mật độ điện tích tại cùng một điểm bởi đẳng thức

hoặc cho vectơ cường độ trường tĩnh điện

Những đẳng thức này thể hiện định lý Gauss trong dạng vi phân.

Lưu ý rằng trong quá trình chuyển sang dạng vi phân của định lý Gauss, thu được một mối quan hệ có tính chất tổng quát:

.

Biểu thức này được gọi là công thức Gauss-Ostrogradsky và kết nối tích phân thể tích của sự phân kỳ của một vectơ với dòng của vectơ này qua một bề mặt kín giới hạn thể tích.

Câu hỏi

1) Ý nghĩa vật lý của định lý Gauss đối với trường tĩnh điện trong chân không

2) Có một điện tích điểm ở giữa khối lập phươngq. Thông lượng của một vectơ là gì? E:

a) qua toàn bộ bề mặt của hình lập phương; b) đi qua một trong các mặt của hình lập phương.

Câu trả lời sẽ thay đổi nếu:

a) điện tích không nằm ở tâm hình lập phương mà ở bên trong nó ; b) điện tích nằm ngoài khối lập phương.

3) Mật độ tuyến tính, bề mặt, khối lượng là gì.

4) Nêu mối quan hệ giữa thể tích và mật độ điện tích bề mặt.

5) Trường bên ngoài các mặt phẳng vô hạn song song và tích điện đều có thể khác 0 không?

6) Một lưỡng cực điện được đặt bên trong một bề mặt kín. Dòng chảy qua bề mặt này là gì

Khó khăn nhất là nghiên cứu các hiện tượng điện trong môi trường điện không đồng nhất. Trong môi trường như vậy, ε có các giá trị khác nhau, thay đổi đột ngột ở ranh giới điện môi. Giả sử chúng ta xác định cường độ trường tại mặt phân cách giữa hai môi trường: ε 1 =1 (chân không hoặc không khí) và ε 2 =3 (lỏng - dầu). Tại bề mặt phân cách, trong quá trình chuyển đổi từ chân không sang điện môi, cường độ trường giảm ba lần và từ thông của vectơ cường độ giảm cùng một lượng (Hình 12.25, a). Sự thay đổi đột ngột của vectơ cường độ trường tĩnh điện tại mặt phân cách giữa hai môi trường sẽ gây ra những khó khăn nhất định khi tính toán trường. Đối với định lý Gauss, trong những điều kiện này, nó thường mất đi ý nghĩa.

Vì độ phân cực và điện áp của các chất điện môi khác nhau là khác nhau nên số lượng đường sức trong mỗi chất điện môi cũng sẽ khác nhau. Khó khăn này có thể được loại bỏ bằng cách đưa ra một đặc tính vật lý mới của trường, cảm ứng điện D (hoặc vectơ chuyển vị điện ).

Theo công thức

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =const

Nhân tất cả các phần của các đẳng thức này với hằng số điện ε 0 chúng ta thu được

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =const

Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu ε 0 εE=D thì quan hệ áp chót sẽ có dạng

D 1 = D 2 = D 0 = hằng số

Vector D, bằng tích của cường độ điện trường trong chất điện môi và hằng số điện môi tuyệt đối của nó, được gọi làvector dịch chuyển điện

(12.45)

Đơn vị dịch chuyển điện – mặt dây chuyền mỗi mét vuông(C/m2).

Độ dịch chuyển điện là một đại lượng vectơ và cũng có thể được biểu thị dưới dạng

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

Ngược lại với điện áp E, độ dịch chuyển điện D không đổi trong tất cả các chất điện môi (Hình 12.25, b). Do đó, sẽ thuận tiện hơn khi mô tả đặc trưng của điện trường trong môi trường điện môi không đồng nhất không phải bằng cường độ E mà bằng vectơ dịch chuyển D. Vector D mô tả trường tĩnh điện được tạo ra bởi các điện tích tự do (tức là trong chân không), nhưng với sự phân bố của chúng trong không gian như khi có chất điện môi, vì các điện tích liên kết phát sinh trong chất điện môi có thể gây ra sự phân phối lại các điện tích tự do tạo ra trường.

Trường vector được biểu diễn bằng đồ họa bằng các đường dịch chuyển điện giống như trường được mô tả bằng các đường sức.

Đường dịch chuyển điện - đây là những đường thẳng có tiếp tuyến tại mỗi điểm trùng phương với vectơ dịch chuyển điện.

Các đường thẳng của vectơ E có thể bắt đầu và kết thúc với bất kỳ điện tích nào - tự do và ràng buộc, trong khi các đường thẳng của vectơD- chỉ với phí miễn phí. Đường vectơDKhông giống như các đường căng thẳng, chúng liên tục.

Vì vectơ dịch chuyển điện không gặp sự gián đoạn tại mặt phân cách giữa hai môi trường nên tất cả các đường cảm ứng phát ra từ các điện tích được bao quanh bởi một bề mặt kín nào đó sẽ xuyên qua nó. Vì vậy, đối với vectơ dịch chuyển điện, định lý Gauss hoàn toàn giữ nguyên ý nghĩa đối với môi trường điện môi không đồng nhất.

Định lý Gauss về trường tĩnh điện trong chất điện môi : dòng của vectơ dịch chuyển điện qua một bề mặt kín tùy ý bằng tổng đại số các điện tích chứa bên trong bề mặt này.

(12.47)