tài liệu lý thuyết.

Như bạn đã biết, hàm ẩn cho trước của một biến được định nghĩa như sau: hàm của biến độc lập x được gọi là ẩn nếu nó được cho bởi một phương trình không có nghiệm đối với y:

Ví dụ 1.11.

phương trình

ngầm xác định hai chức năng:

Và phương trình

không xác định bất kỳ chức năng.

Định lý 1.2 (tồn tại hàm ẩn).

Cho hàm z \u003d f (x, y) và các đạo hàm riêng của nó f "x và f" y xác định và liên tục trong một lân cận UM0 nào đó của điểm M0 (x0y0). Ngoài ra, f(x0,y0)=0 và f"(x0,y0)≠0, thì phương trình (1.33) xác định trong lân cận của UM0 một hàm ẩn y= y(x), liên tục và khả vi trong một khoảng nào đó D có tâm tại điểm x0 và y(x0)=y0.

Không có bằng chứng.

Từ Định lý 1.2 suy ra rằng trên khoảng D này:

nghĩa là, có một bản sắc trong

trong đó đạo hàm "tổng" được tìm theo (1.31)

Nghĩa là, (1.35) đưa ra công thức tìm đạo hàm của hàm một biến x .

Một hàm ẩn của hai hoặc nhiều biến được định nghĩa tương tự.

Chẳng hạn, nếu trong miền V nào đó của không gian Oxyz thì phương trình sau đúng:

thì với những điều kiện nào đó trên hàm F nó mặc nhiên xác định hàm

Đồng thời, bằng cách tương tự với (1.35), các đạo hàm riêng của nó được tìm như sau:

Ví dụ 1.12. Giả sử rằng phương trình

ngầm định nghĩa một chức năng

tìm z"x,z"y.

do đó theo (1.37) ta được nghiệm.

11. Sử dụng đạo hàm riêng trong hình học.

12. Cực trị của hàm hai biến.

Các khái niệm cực đại, cực tiểu, cực trị của hàm hai biến tương tự như các khái niệm tương ứng của hàm một biến độc lập (xem Mục 25.4).

Cho hàm số z = ƒ(х;у) xác định trong miền D nào đó, điểm N(x0;y0) н D.

Điểm (x0; y0) được gọi là điểm cực đại của hàm số z=ƒ(x; y) nếu tồn tại một lân cận d của điểm (x0; y0) sao cho với mỗi điểm (x; y) khác (xo; yo), lân cận này thỏa mãn bất đẳng thức ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо).

MỘT điểm cực tiểu của hàm số được xác định một cách logic: với mọi điểm (x; y) khác (x0; y0), bất đẳng thức sau thỏa mãn từ lân cận d của điểm (xo; yo): ƒ(x; y) >ƒ(x0; y0).

Trong Hình 210: N1 là điểm cực đại và N2 là điểm cực tiểu của hàm z=ƒ(x;y).

Giá trị của hàm số tại điểm cực đại (cực tiểu) được gọi là cực đại (cực tiểu) của hàm số. Cực đại và cực tiểu của hàm số gọi là cực trị.

Lưu ý rằng, theo định nghĩa, điểm cực trị của hàm nằm trong tập xác định của hàm; cực đại và cực tiểu có tính chất cục bộ (local): giá trị của hàm số tại điểm (x0; y0) được so sánh với giá trị của nó tại các điểm đủ gần (x0; y0). Trong miền D, hàm số có thể có nhiều cực trị hoặc không có cực trị.

46.2. cần thiết và đủ điều kiện cực trị

Xét điều kiện tồn tại cực trị của hàm số.

Định lý 46.1 (điều kiện cần để có một cực trị). Nếu tại điểm N (x0; y0) hàm khả vi z \u003d ƒ (x; y) có một cực trị, thì các đạo hàm riêng của nó tại điểm này bằng 0: ƒ "x (x0; y0) \u003d 0, ƒ" y(x0; y0 )=0.

Chúng tôi sửa một trong các biến. Giả sử, ví dụ, y=y0. Sau đó, chúng ta nhận được hàm ƒ(x; y0)=φ(x) của một biến, có cực trị tại x = x0. Do đó, theo điều kiện cần để có cực trị của hàm một biến (xem đoạn 25.4), φ "(x0) \u003d 0, tức là ƒ "x (x0; y0) \u003d 0.

Tương tự, có thể chỉ ra rằng ƒ "y (x0; y0) \u003d 0.

Về mặt hình học, các đẳng thức ƒ "x (x0; y0) \u003d 0 và ƒ "y (x0; y0) \u003d 0 có nghĩa là tại điểm cực trị của hàm z \u003d ƒ (x; y), mặt phẳng tiếp tuyến với mặt biểu diễn hàm số ƒ (x; y ), song song với mặt phẳng Oxy, vì phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến là z=z0 (xem công thức (45.2)).

z ghi chú. Một hàm có thể có cực trị tại những điểm không tồn tại ít nhất một trong các đạo hàm riêng. Ví dụ, chức năng có cực đại tại điểm O(0; 0) (xem Hình 211), nhưng không có đạo hàm riêng tại điểm này.

Điểm tại đó các đạo hàm riêng cấp một của hàm z ≈ ƒ(x; y) bằng 0, tức là f "x=0, f" y=0, được gọi là điểm dừng của hàm z.

Điểm dừng và điểm không tồn tại ít nhất một đạo hàm riêng được gọi là điểm tới hạn.

Tại các điểm tới hạn, hàm số có thể có hoặc không có cực trị. Sự bằng 0 của các đạo hàm riêng là điều kiện cần nhưng chưa đủ để tồn tại một cực trị. Ví dụ, xét hàm z = xy. Đối với cô ấy, điểm O (0; 0) là tới hạn (trong đó z "x \u003d y và z" y - x biến mất). Tuy nhiên, hàm z=xy không có cực trị, vì trong một lân cận đủ nhỏ của điểm O(0; 0) tồn tại các điểm tại đó z>0 (điểm I và III của các phần tư) và z< 0 (точки II и IV четвертей).

Như vậy, để tìm cực trị của hàm số trong một miền xác định, cần nghiên cứu thêm từng điểm tới hạn của hàm số.

Định lý 46.2 (điều kiện đủ của một cực trị). cho vào điểm dừng(xo; yo) và một số lân cận của nó, hàm số ƒ(x; y) có các đạo hàm riêng liên tục đến bao hàm cấp hai. Ta hãy tính tại điểm (x0;y0) các giá trị A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Chứng tỏ

1. nếu Δ > 0 thì hàm số ƒ(x; y) tại điểm (x0; y0) có cực trị: cực đại nếu A< 0; минимум, если А > 0;

2. nếu Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Trường hợp Δ = 0 thì tại điểm (x0; y0) có thể có hoặc không có cực trị. Nghiên cứu thêm là cần thiết.

NHIỆM VỤ

1.

Ví dụ. Tìm các khoảng tăng và giảm của hàm số . Giải pháp. Bước đầu tiên là tìm diện tích của định nghĩa chức năng. Trong ví dụ của chúng ta, biểu thức ở mẫu số sẽ không biến mất, do đó, . Hãy chuyển sang hàm đạo hàm: Để xác định khoảng tăng, khoảng giảm của hàm số theo một tiêu thức đủ, ta giải bất phương trình và trên miền xác định. Hãy để chúng tôi sử dụng một tổng quát của phương pháp khoảng thời gian. Căn thực duy nhất của tử số là x=2, và mẫu số biến mất tại x=0. Các điểm này chia miền xác định thành các khoảng trong đó đạo hàm của hàm giữ nguyên dấu của nó. Hãy đánh dấu những điểm này trên dòng số. Bằng các dấu cộng và dấu trừ, chúng ta biểu thị một cách có điều kiện các khoảng mà đạo hàm dương hoặc âm. Các mũi tên bên dưới biểu thị dạng đồ thị tăng hoặc giảm của hàm trên khoảng tương ứng. Như vậy, Và . Tại điểm x=2 hàm số xác định và liên tục nên phải cộng cho cả khoảng tăng và khoảng giảm. Tại điểm x=0 chức năng không được xác định, vì vậy điểm này không được bao gồm trong các khoảng thời gian bắt buộc. Chúng tôi trình bày đồ thị của hàm để so sánh các kết quả thu được với nó. Trả lời: chức năng tăng với , giảm trên khoảng (0; 2] .

2.

ví dụ.

Đặt khoảng cho độ lồi và độ lõm của đường cong y = 2 – x 2 .

Hãy tìm y"" và xác định đâu là đạo hàm cấp hai dương và đâu là âm. y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e x. Bởi vì y"" = e x > 0 với mọi x, thì đường cong lõm ở mọi nơi.

y = x 3 . Bởi vì y"" = 6x, Cái đó y"" < 0 при x < 0 и y"" > 0 khi x> 0. Do đó, tại x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 là lõm.

3.

4. Cho một hàm z=x^2-y^2+5x+4y, một vectơ l=3i-4j và một điểm A(3,2). Tìm dz/dl (theo tôi hiểu, đạo hàm của hàm theo hướng của vectơ), gradz(A), |gradz(A)|. Tìm đạo hàm riêng: z(in x)=2x+5 z(in y)=-2y+4 Tìm giá trị của các đạo hàm tại điểm A(3,2): z(in x)(3,2)= 2*3+ 5=11 z(by y)(3,2)=-2*2+4=0 ^2)=11 Đạo hàm của hàm z theo hướng của vectơ l: dz/dl=z( theo x)*cosa+z(theo y)*cosb, góc a, b-vectơ l với các trục tọa độ. cosa=lх/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6.6.

Để hàm được cho hoàn toàn bằng cách sử dụng phương trình
(1) .
Và để phương trình này, với giá trị nào đó , có nghiệm duy nhất . Giả sử hàm số là hàm số khả vi tại điểm , và
.
Khi đó, đối với giá trị này , có một đạo hàm , được xác định theo công thức:
(2) .

Bằng chứng

Để chứng minh, hãy coi hàm này là một hàm phức tạp của biến:
.
Chúng tôi áp dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức tạp và tìm đạo hàm đối với biến từ bên trái và bộ phận bên phải phương trình
(3) :
.
Vì đạo hàm của hằng số bằng 0 và , nên
(4) ;
.

Công thức đã được chứng minh.

Các công cụ phái sinh của các đơn đặt hàng cao hơn

Hãy để chúng tôi viết lại phương trình (4) bằng cách sử dụng ký hiệu khác:
(4) .
Hơn nữa, và là các hàm phức của biến:
;
.
Sự phụ thuộc xác định phương trình (1):
(1) .

Chúng tôi tìm đạo hàm đối với biến từ bên trái và bên phải của phương trình (4).
Theo công thức tính đạo hàm của hàm phức, ta có:
;
.
Theo công thức sản phẩm phái sinh:

.
Theo công thức tổng đạo hàm:


.

Vì đạo hàm của vế phải của phương trình (4) bằng 0, nên
(5) .
Thay đạo hàm vào đây, ta thu được giá trị của đạo hàm cấp hai ở dạng ẩn.

Vi phân phương trình (5) theo cách tương tự ta được phương trình chứa đạo hàm cấp 3:
.
Thay vào đây các giá trị tìm được của đạo hàm cấp một và cấp hai, ta tìm được giá trị của đạo hàm cấp ba.

Tiếp tục vi phân, người ta có thể tìm thấy đạo hàm của bất kỳ thứ tự nào.

ví dụ

ví dụ 1

Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm được cho hoàn toàn bởi phương trình:
(P1) .

Giải pháp Công thức 2

Ta tìm đạo hàm theo công thức (2):
(2) .

Hãy chuyển tất cả các biến sang vế trái để phương trình có dạng .
.
Từ đây.

Chúng ta tìm đạo hàm theo , giả sử rằng nó không đổi.
;
;
;
.

Ta tìm đạo hàm theo biến, giả sử biến không đổi.
;
;
;
.

Theo công thức (2) ta tìm được:
.

Chúng ta có thể đơn giản hóa kết quả nếu lưu ý rằng theo phương trình ban đầu (A.1), . Thay thế :
.
Nhân tử số và mẫu số với:
.

Giải theo cách thứ hai

Hãy giải ví dụ này theo cách thứ hai. Để làm điều này, chúng tôi tìm đạo hàm đối với biến của phần bên trái và bên phải của phương trình ban đầu (P1).

Chúng tôi áp dụng:
.
Ta áp dụng công thức tính đạo hàm của một phân số:
;
.
Chúng tôi áp dụng công thức cho đạo hàm của một hàm phức tạp:
.
Ta vi phân phương trình ban đầu (P1).
(P1) ;
;
.
Nhân và nhóm các điều khoản.
;
.

Thay thế (từ phương trình (P1)):
.
Hãy nhân lên với:
.

Trả lời

ví dụ 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm đã cho hoàn toàn bằng phương trình:
(P2.1) .

Giải pháp

Đạo hàm của phương trình ban đầu theo biến , giả sử rằng nó là một hàm của :
;
.
Ta áp dụng công thức đạo hàm chức năng phức tạp.
.

Ta vi phân phương trình ban đầu (A2.1):
;
.
Suy ra từ phương trình ban đầu (A2.1) rằng . Thay thế :
.
Mở rộng các dấu ngoặc và nhóm các thành viên:
;
(P2.2) .
Chúng tôi tìm thấy đạo hàm của thứ tự đầu tiên:
(P2.3) .

Để tìm đạo hàm cấp 2, ta lấy phương trình vi phân (A2.2).
;
;
;
.
Ta thay biểu thức cho đạo hàm bậc nhất (A2.3):
.
Hãy nhân lên với:

;
.
Từ đây ta tìm đạo hàm cấp 2.

Trả lời

ví dụ 3

Tìm đạo hàm bậc ba của hàm đã cho hoàn toàn bằng cách sử dụng phương trình:
(P3.1) .

Giải pháp

Đạo hàm của phương trình ban đầu đối với biến, giả sử đó là một hàm của .
;
;
;
;
;
;
(P3.2) ;

Ta lấy đạo hàm của phương trình (A3.2) đối với biến .
;
;
;
;
;
(P3.3) .

Ta phân biệt phương trình (A3.3).
;
;
;
;
;
(P3.4) .

Từ các phương trình (A3.2), (A3.3) và (A3.4) ta tìm được giá trị của các đạo hàm tại .
;
;
.

Chúng ta sẽ học cách tìm đạo hàm của các hàm được cho một cách ngầm định, tức là được cho bởi một số phương trình có liên hệ giữa các biến với nhau x Và y. Ví dụ về các chức năng được định nghĩa ngầm:

,

,

Đạo hàm của các hàm được xác định ngầm định hoặc đạo hàm hàm ẩn, được tìm thấy khá đơn giản. Bây giờ hãy phân tích quy tắc và ví dụ tương ứng, sau đó tìm hiểu lý do tại sao điều này lại cần thiết.

Để tìm đạo hàm của một hàm đã cho, cần phải phân biệt cả hai vế của phương trình theo x. Những số hạng trong đó chỉ có x sẽ trở thành đạo hàm thông thường của một hàm theo x. Và các số hạng với y phải được phân biệt bằng cách sử dụng quy tắc đạo hàm của một hàm phức, vì y là một hàm của x. Nếu nó khá đơn giản, thì trong đạo hàm thu được của số hạng với x, nó sẽ ra: đạo hàm của hàm theo y, nhân với đạo hàm theo y. Ví dụ: đạo hàm của số hạng sẽ được viết là , đạo hàm của số hạng sẽ được viết là . Hơn nữa, từ tất cả những điều này, cần phải biểu thị "y nét" này và sẽ thu được đạo hàm mong muốn của hàm được cho một cách ngầm định. Hãy xem xét điều này với một ví dụ.

ví dụ 1

Giải pháp. Chúng ta đạo hàm cả hai vế của phương trình theo x, giả sử rằng y là một hàm của x:

Từ đây, chúng tôi nhận được đạo hàm được yêu cầu trong nhiệm vụ:

Bây giờ là điều gì đó về tính chất mơ hồ của các hàm được xác định ngầm định và tại sao cần có các quy tắc đặc biệt để phân biệt chúng. Trong một số trường hợp, người ta có thể xác minh rằng sự thay thế trong phương trình đã cho(xem các ví dụ ở trên) thay vì y, biểu thức của nó qua x dẫn đến thực tế là phương trình này biến thành một đơn vị. Vì thế. phương trình trên ngầm xác định các chức năng sau:

Sau khi thay thế biểu thức y bình phương qua x vào phương trình ban đầu, chúng ta có được danh tính:

.

Các biểu thức mà chúng tôi thay thế thu được bằng cách giải phương trình cho y.

Nếu chúng ta lấy đạo hàm tường minh tương ứng

thì chúng ta sẽ nhận được phản hồi như trong ví dụ 1 - từ một hàm được chỉ định ngầm định:

Nhưng không phải mọi chức năng được cung cấp ngầm định đều có thể được biểu diễn dưới dạng y = f(x) . Vì vậy, ví dụ, các hàm được định nghĩa ngầm

không thể hiện qua chức năng cơ bản, tức là những phương trình này không thể giải được đối với người chơi. Do đó, có một quy tắc tìm đạo hàm hàm ẩn cho trước mà chúng ta đã nghiên cứu và sẽ được áp dụng nhất quán trong các ví dụ khác.

ví dụ 2 Tìm đạo hàm của hàm đã cho:

.

Chúng tôi biểu thị y nguyên tố và - ở đầu ra - đạo hàm của hàm đã cho:

ví dụ 3 Tìm đạo hàm của hàm đã cho:

.

Giải pháp. Đạo hàm cả hai vế của phương trình theo x:

.

Ví dụ 4 Tìm đạo hàm của hàm đã cho:

.

Giải pháp. Đạo hàm cả hai vế của phương trình theo x:

.

Chúng tôi thể hiện và nhận được đạo hàm:

.

Ví dụ 5 Tìm đạo hàm của hàm đã cho:

Giải pháp. Chúng ta chuyển các số hạng ở vế phải của phương trình sang vế trái và để lại số 0 ở vế phải. Đạo hàm cả hai vế của phương trình theo x.

Cho một hệ phương trình

hoặc ngắn gọnF(x, y)=0 (1)

Sự định nghĩa. Hệ thống (1) xác định một chức năng được xác định ngầm địnhy= f(x) TRÊND r N

,

Nếu như x D : F(x , f(x)) = 0.

Định lý (sự tồn tại và duy nhất của một ánh xạ xác định ngầm định bởi một hệ phương trình). Cho phép

Sau đó, trong một số khu phốbạn (x 0 ) có một chức năng duy nhất (ánh xạ) được xác định trong vùng lân cận nàyy = f(x), như vậy mà

 x bạn (x 0 ) : F(x, f(x))=0 vày 0 = f(x 0 ).

Hàm này khả vi liên tục trong một số lân cận của điểmx 0 .

5. Tính đạo hàm của hàm ẩn cho bởi hệ phương trình

Hệ thống đã cho

(1)

Chúng ta sẽ giả sử rằng các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất của hàm ẩn cho bởi hệ phương trình này được thỏa mãn. Chúng tôi ký hiệu chức năng này y= f(x) . Sau đó, trong một số lân cận của điểm x 0 danh tính

(F(x, f(x))=0) (2)

Phân biệt các danh tính này đối với x j chúng tôi nhận được

=0 (3)

Các đẳng thức này có thể viết dưới dạng dạng ma trận

, (3)

hoặc mở rộng

.

Lưu ý rằng quá trình chuyển đổi từ bình đẳng F(x, f(x))=0 ĐẾN
, tương ứng với các quy tắc phân biệt cho trường hợp khi x Và y là các điểm trong không gian một chiều. ma trận không suy biến theo giả thiết, do đó phương trình ma trận
có một giải pháp
. Như vậy, người ta có thể tìm đạo hàm riêng cấp một của các hàm ẩn . Để tìm sự khác biệt, chúng tôi ký hiệu

đê = ,dx = , phân biệt đẳng thức (2) chúng tôi nhận được

=0 ,

hoặc ở dạng ma trận

. (4)

mở rộng

.

Như trong trường hợp đạo hàm riêng, công thức (4) chúng ta có dạng tương tự như đối với trường hợp không gian một chiều N=1, P=1. Giải pháp cho phương trình ma trận này có thể được viết là
. Để tìm các đạo hàm riêng của bậc hai, cần phải vi phân các đẳng thức (3) (để tính vi phân cấp hai, bạn cần lấy vi phân (4) ). Như vậy, chúng tôi nhận được

,

thông qua đâu MỘT các điều khoản không chứa những điều mong muốn được chỉ định
.

Ma trận các hệ số của hệ thống này để xác định đạo hàm
là ma trận Jacobian .

Một công thức tương tự có thể thu được cho sự khác biệt. Trong mỗi trường hợp này, bạn sẽ nhận được phương trình ma trận với cùng một ma trận hệ số trong một hệ phương trình để xác định đạo hàm hoặc vi phân mong muốn. Điều tương tự sẽ xảy ra dưới sự khác biệt sau đây.

Ví dụ 1. Tìm ,,tại điểm bạn=1, v=1.

Giải pháp. Đạo hàm các đẳng thức đã cho

(5)

Lưu ý rằng, theo cách đặt vấn đề, chúng ta nên xem xét như các biến độc lập x, y. Sau đó, các chức năng sẽ được z, bạn, v. Như vậy hệ thống (5) để quyết định về điều chưa biết du, đv, dz . Ở dạng ma trận, nó trông như thế này

.

Hãy giải hệ này bằng quy tắc Cramer. ma trận hệ số quyết định

, Yếu tố quyết định "được thay thế" thứ ba cho dz sẽ bằng (nó được tính bằng cách mở rộng trên cột cuối cùng)

, Sau đó

dz =
, Và
,
.

khác biệt hóa (5) lại ( x, y – biến độc lập)

Ma trận hệ số của hệ thống là như nhau, yếu tố quyết định thứ ba

Giải hệ này, ta thu được biểu thức của đ 2 z nơi bạn có thể tìm thấy đạo hàm mong muốn.

Các hàm ẩn được xác định bởi một hệ phương trình

Cho một hệ phương trình

hoặc ngắn gọn F(x, y)= 0. (6.7)

Sự định nghĩa. Hệ thống(6.7)định nghĩa ngầm hàm đã cho y=f(x)đến DÌR n

nếu "xОD:F(x , f(x)) = 0.

Định lý (sự tồn tại và duy nhất của một ánh xạ xác định ngầm định bởi một hệ phương trình).Cho phép

1) Tôi(x, y)từ (6.4) được xác định và có đạo hàm riêng liên tục cấp một, (i= 1…, p, k= 1…, n, j= 1, …,p) trong lân cận U(m 0)điểm M 0 (x 0 , y 0), x 0 = , y 0 =

2) F(m 0)=0,

3) điều tra.

Sau đó, trong một số khu phố U(x 0)có một hàm duy nhất (ánh xạ) được xác định trong vùng lân cận này y = f(x), như vậy mà

"xО U(x 0) :F(x, f(x))=0và y 0 = f(x 0).

Hàm này khả vi liên tục trong một lân cận nào đó của điểm x 0 .

Hệ thống đã cho

Chúng ta sẽ giả sử rằng các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất của hàm ẩn cho bởi hệ phương trình này được thỏa mãn. Chúng tôi ký hiệu chức năng này y=f(x) . Sau đó, trong một số lân cận của điểm x 0 danh tính là đúng

Phân biệt các danh tính này đối với xj chúng tôi nhận được

= 0.(6.9)

Các đẳng thức này có thể viết dưới dạng ma trận

hoặc mở rộng

Lưu ý rằng quá trình chuyển đổi từ bình đẳng F(x, f(x))=0k , tương ứng với các quy tắc phân biệt cho trường hợp khi x Và y là các điểm trong không gian một chiều. Ma trận không suy biến theo điều kiện nên phương trình ma trận có nghiệm. Như vậy, có thể tìm được đạo hàm riêng cấp một của các hàm ẩn. Để tìm sự khác biệt, chúng tôi ký hiệu

đê= , dx=, đạo hàm đẳng thức (6.8), ta thu được

hoặc ở dạng ma trận

mở rộng

Cũng giống như trường hợp đạo hàm riêng, công thức (6.10) có dạng giống như trường hợp không gian một chiều n= 1, p= 1. Giải pháp của phương trình ma trận này có thể được viết là Để tìm đạo hàm riêng cấp hai cần lấy vi phân (6.9) (để tính vi phân cấp hai cần lấy đạo hàm (6.10)). Như vậy, chúng tôi nhận được

thông qua đâu MỘT các điều khoản không chứa những điều mong muốn được biểu thị.

Ma trận hệ số của hệ thống này để xác định đạo hàm là ma trận Jacobian.

Một công thức tương tự có thể thu được cho sự khác biệt. Trong mỗi trường hợp này, một phương trình ma trận sẽ thu được với cùng một ma trận các hệ số trong hệ phương trình để xác định các đạo hàm hoặc vi phân mong muốn. Điều tương tự sẽ xảy ra dưới sự khác biệt sau đây.

ví dụ 1 Tìm, tại một điểm u= 1,v= 1.

Giải pháp. Đạo hàm các đẳng thức đã cho

Lưu ý rằng nó xuất phát từ điều kiện của vấn đề mà chúng ta nên coi là các biến độc lập x, y. Sau đó, các chức năng sẽ được z, ư, v. Như vậy, hệ (6.11) phải được giải theo các ẩn số du, dv, dz.Ở dạng ma trận, nó trông như thế này

Hãy giải hệ này bằng quy tắc Cramer. ma trận hệ số quyết định

Yếu tố quyết định "được thay thế" thứ ba cho dz sẽ bằng (nó được tính bằng cách mở rộng trên cột cuối cùng)

dz = , Và, .

Ta lại đạo hàm (6.11) ( x, y- biến độc lập)

Ma trận hệ số của hệ thống là như nhau, yếu tố quyết định thứ ba

Giải hệ này, ta thu được biểu thức của d2z nơi bạn có thể tìm thấy đạo hàm mong muốn.

6.3. ánh xạ khả vi

ánh xạ dẫn xuất. Hiển thị thông thường. Điều kiện cần và đủ để có phụ thuộc hàm.