Нека първо разгледаме решението на системата линейни уравнения Методът на Крамер. За целта използваме вече решените пример 8.

EXCEL има функция за изчисляване на детерминанти (виж т. 7). Нека запишем матрицата на коефициентите и матриците, получени от нея, като заменим всички колони последователно с колоната на свободните членове. Списъкът на изчисленията е показан на фиг. осем:

Матриците се записват в диапазони

И стойностите на детерминантите са в клетките . Колоната за безплатни членове е в G2:G6. Решението на системата е в I2:I6.

Същият примерреши с обратна матрица. EXCEL реализира функции за намиране на обратни матрици и матрици за умножение (виж т. 7). Изброяването на решението е показано на фиг. 9. Матрицата на коефициентите е написана в диапазона, векторът на свободните условия е написан в клетките, обратната матрица е написана в диапазона, решението на системата, получено в резултат на умножаване на матрицата по матрицата се записва в клетките.

Нека предложим друг начин за решаване на линейни системи в EXCELL. Може да не изглежда ефективно за системи, но запознаването с него е полезно за решаване на проблеми с оптимизацията, по-специално проблеми линейно програмиране. Инструментът за този метод е процедурата Намиране на решениекойто се намира в добавки.След извикване на процедурата, прозорецът, показан на фиг. единадесет.

Нека покажем решението на системата с пример.

Пример 12.Решете системата

В клетките се въвежда матрицата на коефициентите на уравненията на системата, в - коефициентите на последното уравнение, в клетките G3: G6 - колоната на свободните членове. Клетките B1:E1 ще бъдат запазени за стойностите на неизвестните. В клетки F3:F6 изчисляваме сумата от произведенията на коефициентите на всяко уравнение по неизвестните (за целта използваме вградената функция SUMPRODUCT). Изберете клетка F6 като целева клетка и извикайте процедурата Намиране на решение. В полето задайте целевата клетка да бъде равенсвободен член на последното уравнение и попълнете полетата. В полето "смяна на клетки"въведете B1:E1. В полето "ограничения"ще въведем първите уравнения. А именно, стойността в клетка F3 трябва да е равна на зададена стойноств клетка G3 (1во уравнение). По подобен начин добавяме две други уравнения. След като попълните всички полета, натиснете .

Решаване на системи от линейни уравнения в Excel

1. Въведение

Много задачи за организиране на строителното производство се свеждат до решаване на системи от линейни уравнения от вида:

a 11x 1a 12x 2a 1n x n b 1,
				a2 n xn
a 21x 1a 22x 2
	n 1 1

наречена система от n линейни алгебрични уравнения(SLAE ) с n

неизвестен.

В този случай произволни числа a ij (i = 1, 2,…,n ;j = 1, 2,…,n) се наричат

коефициенти на неизвестните, а числата b i (i = 1, 2,…, n ) са свободни

членове.

System(1) може да бъде написана в матрична форма

AX=B,

където A е матрицата на коефициентите за неизвестни:

					a2 n
			един 1	един 1
	един 1				един 1

X – колонен вектор от неизвестни X= (x1, x2, …, xn) T:

B е колонен вектор на свободни членове:

b 2B,

или B = (b 1 ,b 2 ,...,b n )T .

2. Матрични операции в Excel

AT Excel за операции с матрици са функции от категория "Математика":

1) MOPRED (матрица) - изчисляване на детерминанта на матрицата, 2) MIN (матрица) - изчисляване на обратната матрица, 3) MULT(матрица1, матрица2)е произведението на матриците, 4)TRANSP(матрица) е транспонирането на матрицата.

Първата от тези функции като резултат връща число(матрична детерминанта), така че се въвежда като обикновена формула (ENTER).

Последните три връщат блок от клетки, така че трябва да бъдат въведени като формули за масив (CTRL+SHIFT+ENTER).

Помислете за проблема с решаването на SLAE, като използвате следния пример

8x 1 2x 2 8x 3 24,

2x 1 2x 2 10x 3 48,

2x 1 4x 2 8x 3 18.

Матрицата на коефициентите за неизвестно A (3) има формата

и колонният вектор на свободните членове е (5)B = (–24, –48, 18)T .

Нека решим SLAE (7) в MS Excel по три различни начина.

Матричен метод на решение (обратна матрица)

И двете части на матричното равенство (2) се умножават по обратна матрицаА -1. Получаваме A -1 A X \u003d A -1 B. Тъй като A -1 A \u003d E, където E - матрица на идентичността(диагонална матрица с единици по главния диагонал). Тогава решението на система (2) може да се запише в следния вид

МНОЖЕСТВО(матрица1, матрица2),завършващи във всеки случай с комбинацията

CTRL+SHIFT+ENTER.

Метод на Крамер

Решението на SLAE се намира по формулите на Крамер

	детайл А
		детайл А
	детайл А 2
		детайл А
	детайл А
	детайл А

където det A =A е детерминантата на матрицата (3) на системата (главна детерминанта), detA i =A i (i = 1, 2, …, n ) са детерминантите на матриците A i (спомагателни детерминанти), които се получават от A чрез заместване на i -тата колона с колоната от свободни членове B (5).

За разглеждания SLAE (7) спомагателните матрици имат следния вид

А 148

Нека ги поставим на работния лист (фиг. 1).

Подобна формула (=MOPRED(A3:C5) ) за изчисляване на детерминантата на матрица A е записана в клетка E8 . Остава да се намери решение на системата. Уместно Формули на Excelзаписваме в интервала на решение B7:B9 (фиг. 3), в който ще видим резултата (фиг. 4).

Обърнете внимание на факта (фиг. 3), че при изчисляване на x i (i = 1, 2, 3)

анализира се стойността на детерминантата на системната матрица А , изчислено в клетката E8, а ако е равно на нула, тогава в B7 се поставя текстът „Няма решение“, а в клетки B8 и B9 се поставят празни редове.

3. Решаване на SLAE с помощта на инструмента Solver

Широк клас производствени задачиса проблеми с оптимизацията. Задачите за оптимизация включват намиране на стойностите на аргументите, които доставят функцията, която се нарича цел, минимум или максимална стойностпри наличие на всякакви допълнителни ограничения. Excel има мощен инструмент за решаване на проблеми с оптимизацията.

Това е допълнителен инструмент, наречен Solver

(достъпно чрез меню Инструменти  Решател ) .

Проблемът за решаване на SLAE може да се сведе до проблем за оптимизация.

Защо да приемаме едно от уравненията (например първото) като целева функция, а останалите n -1 се считат за ограничения.

Пишем system(1) като

a 11x 1a 12x 2a 1n x n b 10,

				a2 n xn
a 21x 1a 22x 2
							b0.
	n 1 1

За да се реши този проблем, е необходимо да се напишат изрази (формули) за изчисляване на стойностите на функциите отляво в уравненията на системата (12). Например, нека вземем интервала C7:C9 за тези формули. В клетка C7 въведете формулата =A3*$B$7+B3*$B$8+C3*$B$9-D3 и я копирайте в останалите C8 и C9. =A4*$B$7+B4*$B$8+C4*$B$9-D4 и =A5*$B$7+B5*$B$8+C5*$B$9-D5 ще се появят съответно в тях.

В диалоговия прозорец Търсене на решение (фиг. 5) задайте параметрите за търсене (задайте целевата клетка C7 равна на нула, решението в променливи клетки B7: B9, ограниченията се задават от формули в клетки C8 и C9). След като щракнете върху бутона Изпълнение

интервал B7:B9 получаваме резултата (фиг. 6) - решението на SLAE.

Методът на Крамър се основава на използването на детерминанти при решаване на системи от линейни уравнения. Това значително ускорява процеса на решение.

Методът на Крамър може да се използва за решаване на система от толкова линейни уравнения, колкото неизвестни има във всяко уравнение. Ако детерминантата на системата не е равна на нула, тогава методът на Крамер може да се използва в решението; ако е равна на нула, тогава не може. В допълнение, методът на Cramer може да се използва за решаване на системи от линейни уравнения, които имат уникално решение.

Определение. Детерминантата, съставена от коефициентите на неизвестните, се нарича детерминанта на системата и се означава с (делта).

Детерминанти

се получават чрез заместване на коефициентите при съответните неизвестни със свободни членове:

;

.

Теорема на Крамър. Ако детерминантата на системата е различна от нула, тогава системата от линейни уравнения има едно единствено решение и неизвестното е равно на отношението на детерминантите. Знаменателят е детерминантата на системата, а числителят е детерминантата, получена от детерминантата на системата чрез заместване на коефициентите с неизвестните със свободни членове. Тази теорема е валидна за система от линейни уравнения от произволен ред.

Пример 1Решете системата от линейни уравнения:

Според Теорема на Крамърние имаме:

И така, решението на система (2):

онлайн калкулатор, решителен методКрамер.

Три случая при решаване на системи от линейни уравнения

Както се вижда от Теореми на Крамър, при решаване на система от линейни уравнения могат да възникнат три случая:

Първи случай: системата от линейни уравнения има единствено решение

(системата е последователна и категорична)

Втори случай: системата от линейни уравнения има безброенрешения

(системата е последователна и неопределена)

** ,

тези. коефициентите на неизвестните и свободните членове са пропорционални.

Трети случай: системата от линейни уравнения няма решения

(непоследователна система)

Така че системата млинейни уравнения с нпроменливи се нарича несъвместимиако няма решения и ставаако има поне едно решение. ставна системасе наричат ​​уравнения, които имат само едно решение определени, и повече от един несигурен.

Примери за решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер

Нека системата

.

Въз основа на теоремата на Крамър

………….
,

където
-

системен идентификатор. Останалите детерминанти се получават чрез замяна на колоната с коефициентите на съответната променлива (неизвестна) със свободни членове:

Пример 2

.

Следователно системата е категорична. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите

По формулите на Крамер намираме:

И така, (1; 0; -1) е единственото решение на системата.

За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатора, методът за решаване на Cramer.

Ако в системата от линейни уравнения няма променливи в едно или повече уравнения, то в детерминантата съответните им елементи са равни на нула! Това е следващият пример.

Пример 3Решете системата от линейни уравнения по метода на Крамер:

.

Решение. Намираме детерминантата на системата:

Разгледайте внимателно системата от уравнения и детерминантата на системата и повторете отговора на въпроса в кои случаи един или повече елементи от детерминантата са равни на нула. И така, детерминантата не е равна на нула, следователно системата е определена. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите за неизвестните

По формулите на Крамер намираме:

И така, решението на системата е (2; -1; 1).

За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатора, методът за решаване на Cramer.

Най-горе на страницата

Продължаваме заедно да решаваме системи, използвайки метода на Крамер

Както вече споменахме, ако детерминантата на системата е равна на нула, а детерминантите за неизвестните не са равни на нула, системата е непоследователна, тоест няма решения. Нека илюстрираме със следния пример.

Пример 6Решете системата от линейни уравнения по метода на Крамер:

Решение. Намираме детерминантата на системата:

Детерминантата на системата е равна на нула, следователно системата от линейни уравнения е или непоследователна и определена, или непоследователна, т.е. няма решения. За да изясним, изчисляваме детерминантите за неизвестните

Детерминантите за неизвестните не са равни на нула, следователно системата е непоследователна, тоест няма решения.

За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатора, методът за решаване на Cramer.

В задачи върху системи от линейни уравнения има и такива, в които освен буквите, обозначаващи променливи, има и други букви. Тези букви означават някакво число, най-често реално число. На практика такива уравнения и системи от уравнения водят до проблеми при търсенето общи имотивсякакви явления или предмети. Тоест измислихте ли някакви нов материалили устройство и за да се опишат свойствата му, които са общи, независимо от размера или броя на копията, е необходимо да се реши система от линейни уравнения, където вместо някои коефициенти за променливи има букви. Не е нужно да търсите далеч за примери.

Следващият пример е за подобен проблем, само че броят на уравненията, променливите и буквите, обозначаващи някакво реално число, се увеличава.

Пример 8Решете системата от линейни уравнения по метода на Крамер:

Решение. Намираме детерминантата на системата:

Намиране на детерминанти за неизвестни

» Урок 15

Урок 15

Метод на Крамер

(SLN)
- системен идентификатор
Ако детерминантата на SLE е различна от нула, тогава решението на системата се определя еднозначно от формулите на Крамер:
, , ()
където:

	За да направите това, в колоната, където е променливата x, и следователно в първата колона, вместо коефициентите при x, поставяме свободните коефициенти, които в системата от уравнения са от дясната страна на уравненията
	За да направите това, в колоната, където е променливата y (2-ра колона), вместо коефициентите при y, поставяме свободните коефициенти, които в системата от уравнения са от дясната страна на уравненията
	За целта в колоната, където стои променливата z, което означава третата колона, вместо коефициентите при z, поставяме свободните коефициенти, които в системата от уравнения са от дясната страна на уравненията

Упражнение 1.Решете SLE с Cramer Formulas в Excel

Напредък на решението

1. Записваме уравнението в матрична форма:

2. Въведете матрица A и B в Excel.

3. Намерете детерминантата на матрица A. Тя трябва да е равна на 30.

4. Детерминантата на системата е различна от нула, следователно - решението се определя еднозначно от формулите на Крамер.

5. Попълнете стойностите dX, dY, dZ в листа на Excel (вижте фигурата по-долу).

6. За да изчислите стойностите dX, dY, dZ в клетки F8, F12, F16, трябва да въведете функция, която изчислява съответно детерминантата dX, dY, dZ.

7. За да изчислите стойността на X в клетка I8, трябва да въведете формулата =F8/B5 (според формулата на Cramer dX/|A|).

8. Въведете формули, за да изчислите сами Y и Z.

Задача 2: самостоятелно намерете решението на SLE по метода на Cramer:

Формули на Крамер и матричен методрешения на системи от линейни уравнения нямат сериозна практическо приложение, тъй като включват тромави изчисления. В практиката най-често методът на Гаус се използва за решаване на системи от линейни уравнения.

Метод на Гаус

Процесът на решаване на Гаус се състои от две стъпки.

1. Прав удар:системата се свежда до стъпаловидна (по-специално триъгълна) форма.

За да се реши система от уравнения, се изписва разширената матрица на тази система

и над редовете на тази матрица произвеждат елементарни трансформации, довеждайки го до формата, когато нулите ще бъдат разположени под главния диагонал.
Разрешено е извършването на елементарни трансформации на матрици.
С помощта на тези трансформации всеки път се получава разширената матрица нова система, еквивалентен на оригиналния, т.е. система, чието решение съвпада с решението на първоначалната система.

2. Обратен: има последователно определяне на неизвестни от тази поетапна система.

Пример.Задаване на съвместимост и решаване на системата

Решение.
Директен ход:Нека напишем разширената матрица на системата и разменим първия и втория ред, така че елементът да е равен на единица (по-удобно е да се извършват матрични трансформации по този начин).



.

Ние имаме Ранговете на системната матрица и нейната разширена матрица съвпадаха с броя на неизвестните. Според теоремата на Кронекер-Капели системата от уравнения е последователна и нейното решение е единствено.
Обратно движение:Нека запишем системата от уравнения, чиято разширена матрица получихме в резултат на трансформации:

Така че имаме.
Освен това, замествайки в третото уравнение, намираме .
Като заместим и във второто уравнение, получаваме .
Като заместим в първото намерено уравнение, получаваме .
Така имаме решение на системата.

Решение на SLE по метода на Гаус в Excel:

Текстът ще ви подкани да въведете формула от вида: (=A1:B3+$C$2:$C$3) в диапазона от клетки и т.н., това са така наречените "формули за масиви". Microsoft Excelавтоматично го огражда във фигурни скоби (( )). За да въведете този тип формула, изберете целия диапазон, където искате да вмъкнете формулата, въведете формулата без къдрави скоби в първата клетка (за примера по-горе - =A1:B3+$C$2:$C$3) и натиснете Ctrl +Shift+Enter.
Нека имаме система от линейни уравнения:

1. Нека запишем коефициентите на системата от уравнения в клетки A1:D4 и колоната със свободни членове в клетки E1:E4. Ако в клеткаA1е 0, трябва да размените редовете, така че тази клетка да има ненулева стойност. За по-голяма яснота можете да добавите запълване на клетките, в които се намират свободните членове.

2. Необходимо е да намалим коефициента при x1 във всички уравнения с изключение на първото до 0. Първо, нека направим това за второто уравнение. Копирайте първия ред в клетки A6:E6 без промени, в клетки A7:E7 трябва да въведете формулата: (=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)). Така изваждаме първия ред от втория ред, умножен по A2/$A$1, т.е. отношението на първите коефициенти на второто и първото уравнения. За удобство при попълване на редове 8 и 9 препратките към клетките на първия ред трябва да са абсолютни (използваме символа $).

3. Копираме въведената формула в редове 8 и 9, като по този начин се отърваваме от коефициентите пред x1 във всички уравнения с изключение на първото.

4. Сега нека приведем коефициентите пред x2 в третото и четвъртото уравнение до 0. За да направите това, копирайте получените 6-ти и 7-ми ред (само стойности) в редове 11 и 12 и в клетки A13:E13 въведете формулата (=A8:E8-$ A$7:$E$7*(B8/$B$7)), които след това копираме в клетки A14:E14. Така се реализира разликата на редове 8 и 7, умножена по коефициента B8/$B$7. .

5. Остава да доведем коефициента при x3 в четвъртото уравнение до 0, за това отново ще направим същото: копирайте получените 11-ти, 12-ти и 13-ти редове (само стойности) в редове 16-18 и въведете формулата ( = A14: E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)). Така се реализира разликата между редове 14 и 13, умножена по коефициента C14/$C$13. Не забравяйте да размените редовете, за да се отървете от 0 в знаменателя на дробта.

6. Изчистването напред по Гаус е завършено. Нека започнем обратното изпълнение от последния ред на получената матрица. Необходимо е да се разделят всички елементи от последния ред на коефициента при х4. За целта в ред 24 въвеждаме формулата (=A19:E19/D19).

7. Нека приведем всички редове в подобна форма, за това попълваме редовете 23, 22, 21 със следните формули:

23: (=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18) - изваждаме четвъртия ред, умножен по коефициента при x4 на третия ред от третия ред.

22: (=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17) – извадете третия и четвъртия ред от втория ред, умножени по съответните коефициенти.

21: (=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16) – извадете втория, третия и четвъртия от първия ред, умножени по съответните коефициенти.

Резултатът (корените на уравнението) се изчислява в клетки E21:E24.

Съставител: Салий Н.А.

Системата от линейни алгебрични уравнения също може да бъде решена с помощта на добавка „Търсене на решение“.Когато използвате тази добавка, се изгражда последователност от приближения , i=0,1,…n.

Да се ​​обадим остатъчен вектор следващ вектор:

Задача на Excelе да намерете такова приближение , при което остатъчният вектор ще стане нула, т.е. за да се постигне съвпадение на стойностите на дясната и лявата част на системата.

Като пример разгледайте SLAE (3.27).

Последователност:

1. Нека направим таблица, както е показано на фигура 3.4. Нека въведем коефициентите на системата (матрица A) в клетки A3:C5.

Фиг.3.4. Решаване на SLAE с помощта на добавката „Търсене на решение“

2. В клетки A8:C8 ще се формира решението на системата (x 1, x 2, x 3). Първоначално те остават празни, т.е. нула. По-нататък ще ги наричаме променящи се клетки.. Въпреки това, за да контролирате правилността на формулите, въведени по-долу, е удобно да въведете всякакви стойности в тези клетки, например единици. Тези стойности могат да се разглеждат като нулево приближение на решението на системата, = (1, 1, 1).

3. В колона D въвеждаме изрази за изчисляване на левите части на оригиналната система. За да направите това, в клетка D3 въведете и след това копирайте формулата надолу в края на таблицата:

D3=SUMPRODUCT(A3:C3;$A$8:$C$8).

Използвана функция SUMPRODUCTпринадлежи към категорията Математически.

4. В колона E записваме стойностите на десните части на системата (матрица B).

5. В колона F въвеждаме остатъци в съответствие с формула (3.29), т.е. въведете формулата F3=D3-E3 и я копирайте надолу в края на таблицата.

6. Няма да е излишно да проверите правилността на изчисленията за случая = (1, 1, 1).

7. Изберете екип Данни\Анализ\Търсене на решение.

Ориз. 3.5. Прозорец за добавяне на Solver

В прозореца Намиране на решение(фиг.3.5) в полето Сменяеми клеткипосочете блок $A$8:$C$8,и в полето Ограничения – $F$3:$F$5=0. След това щракнете върху бутона Добаветеи въведе тези ограничения. И след това бутона Бягай

Полученото решение на системи (3.28) х 1 = 1; х 2 = –1х 3 = 2 се записва в клетки A8:C8, фиг.3.4.

Реализация на метода на Якоби с помощта на MS Excel

Като пример, разгледайте системата от уравнения (3.19), чието решение е получено по-горе по метода на Якоби (Пример 3.2)

Нека приведем тази система в нормална форма:

Секвениране

1. Нека направим таблица, както е показано на фиг. 3.6.:

Въвеждаме матрици и (3.15) в клетки B6:E8.

Значение д– в H5.

Номер на итерация кще формираме в колона А на таблицата с помощта на автоматично попълване.

Като нулево приближение избираме вектора

= (0, 0, 0) и го въведете в клетки B11:D11.

2. Използвайки изрази (3.29), в клетки B12:D12 записваме формули за изчисляване на първо приближение:

B12=$E$6+B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6,

C12=$E$7+B11*$B$7+C11*$C$7+D11*$D$7,

D12=$E$8+B11*$B$8+C11*$C$8+D11*$D$8.

Тези формули могат да бъдат записани по различен начин, използвайки Функция на Excel SUMPRODUCT

В клетка E12 въведете формулата: E12=ABS(B11-B12) и я копирайте вдясно в клетки F12:G12.

Фиг.3.6. Схема за решаване на СЛАУ по метода на Якоби

3. В клетка H12 въведете формулата за изчисление M(k),използвайки израз (3.18): H12 = MAX(E12:G12). Функцията MAX е в категорията статистически.

4. Изберете клетки B12:H12 и ги копирайте надолу в края на таблицата. Така получаваме кприближения на решението на SLAE.

5. Определете приблизителното решение на системата и броя на итерациите, необходими за постигане на дадената точност д.

За да направим това, ние оценяваме степента на близост на две съседни итерации, използвайки формула (3.18). Да използваме условно форматиранев клетките на колоната.

Резултатът от такова форматиране е видим на фигура 3.6. Клетките от колоната H, чиито стойности отговарят на условието (3.18), т.е. по-малко д=0,1, тониран.

Анализирайки резултатите, ние приемаме четвъртата итерация като приблизително решение на оригиналната система със зададена точност e=0.1, т.е.

Изследване природата на итеративния процес. За да направите това, изберете блок от клетки A10:D20 и, като използвате майстор на диаграма,ще изградим графики на промените във всеки компонент на вектора на решението в зависимост от номера на итерацията,

Показаните графики (фиг. 3.7) потвърждават конвергенцията на итеративния процес.

Ориз. 3.7. Илюстрация на конвергентен итеративен процес

Промяна на стойността дв клетка H5 получаваме ново приблизително решение на оригиналната система с нова точност.

Прилагане на метода на почистване с помощта на Excel

Обмислете решението следваща системалинейни алгебрични уравнения по метода "почистване" с помощта на таблици превъзходен.

Вектори:

Секвениране

1. Нека направим таблица, както е показано на фигура 3.8. Началните данни на разширената матрица на системата (3.30), т.е. векторите ще бъдат въведени в клетки B5:E10.

2. Относно състезателните коефициенти U 0 =0 и V 0 =0влизат съответно в клетки G4 и H4.

3. Изчислете коефициентите на почистване L i, U i, V i. За да направите това, в клетки F5, G5, H5 изчисляваме L 1 , U 1 , V 1. по формула (3.8). За целта въвеждаме формулите:

F5=B5*G4+C5; G5=-D5/F5, H5 = (E5-B5*H4)/F5 и след това ги копирайте.

Фиг.3.8. Проектна схема на метода "почистване".

4. В клетка I10 изчисляваме x6по формула (3.10)

I10 = (E10-B10*H9)/(B10*G9+C10).

5. Използвайки формула (3.7), изчисляваме всички останали неизвестни x 5 x 4, x 3, x 2, x 1.За да направите това, в клетка I9 изчисляваме x5по формула (3.6): I9=G9*I10+H9 . И след това копирайте тази формула нагоре.

тестови въпроси

1. Система от линейни алгебрични уравнения (СЛАУ). Какво е решението на SLAE. Когато има уникално SLAE решение.

2. основни характеристикидиректни (точни) методи за решаване на SLAE. Методи на Гаус и разчиствания.

3. Обща характеристика итеративни методи SLAU решения. Методи на Якоби ( прости итерации) и Гаус-Зайдел.

4. Условия за сходимост на итеративни процеси.

5. Какво се разбира под термините на условността на задачите и изчисленията, правилността на проблема за решаване на SLAE.

Глава 4

Числено интегриране

При решаването на достатъчно голям набор от технически проблеми се налага да се сблъскате с необходимостта от изчисляване определен интеграл:

изчисление области, ограничени от криви, работа, инерционни моменти, умножение на диаграмипо формулата на Мор и др. се свежда до изчисляване на определен интеграл.

Ако е непрекъснат на интервала [ а, б] функция y = f(x)има противопроизводно на този сегмент F(x), т.е. F' (x) = f(x), тогава интегралът (4.1) може да се изчисли с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц:

Но само за тесен клас функции y=f(x)антипроизводно F(x)може да се изрази в елементарни функции. Освен това функцията y=f(x)може да се посочи графично или таблично. В тези случаи се използват различни формули за приблизително изчисляване на интегралите.

Такива формули се наричат квадратурни формули или формули числено интегриране.

Формулите за числено интегриране са добре илюстрирани графично. Известно е, че стойността на определения интеграл (4.1) пропорционалноплощта на криволинейния трапец, образуван от интегранта y=f(x), направо x=a и x=b,ос ОХ(фиг.4.1).

Проблемът за изчисляване на определения интеграл (4.1) се заменя с проблема за изчисляване на площта на този криволинеен трапец. Проблемът с намирането на площта на криволинейна линия обаче не е лесен.

Следователно идеята за числено интегриране ще бъде при замяна на криволинеен трапец с фигура, чиято площ се изчислява доста просто.

y=f(x)

г

х

xi

xi+1

xn=b

xo=a

Si

Фиг.4.1. Геометрична интерпретация на численото интегриране

За това интеграционният сегмент [ а, б] се разделят на нравен елементарни сегменти (i=0, 1, 2, …..,n-1),стъпка по стъпка h=(b-a)/n.При което криволинеен трапецще проникне в n елементарни криволинейни трапецис равни основи ч(фиг.4.1).

Всеки елементарен криволинеен трапец се заменя с фигура, чиято площ се изчислява доста просто. Нека обозначим тази област Si.Сумата от всички тези области се нарича интегрална сумаи се изчислява по формулата

Тогава приближената формула за изчисляване на определения интеграл (4.1) има вида

Точността на изчислението по формула (4.4) зависи от стъпката ч, т.е. върху броя на дяловете н.С нарастването нинтегралната сума се доближава до точната стойност на интеграла

Това е добре илюстрирано на фигура 4.2.

Фиг.4.2. Зависимостта на точността на изчисляване на интеграла

върху броя на дяловете

В математиката е доказано теорема: ако функцията y=f(x) е непрекъсната върху , тогава границата на интегралната сума b n съществува и не зависи от начина, по който сегментът е разделен на елементарни сегменти.

Формула (4.4) може да се използва, ако степента на точност на такива приближения.Съществуват различни формули за оценка на грешката на израза (4.4), но като правило те са доста сложни. Ще оценим точността на приближението (4.4) по метода половин стъпка.