По Ваше желание!

1. Елиминирайте ирационалността в знаменателя:

3. Решете експоненциалното уравнение:

4. Решете неравенството:

Аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателно число и винаги се изразява с неотрицателно число, така че това неравенство ще е вярно за всички х, отговарящи на условието: 2-х≥0. От тук получаваме: x≤2. Записваме отговора като числов интервал: (-∞; 2].

5. Решете неравенството: 7 x > -1.

По дефиниция: експоненциална функция се нарича функция от формата y \u003d a x, където a > 0, a ≠ 1, x е всяко число. Обхватът на експоненциалната функция е множеството от всички положителни числа, тъй като положително число на произволна степен ще бъде положително. Ето защо 7 x >0 за всяко x и още повече 7 x > -1, т.е. неравенството е вярно за всички x ∈ (-∞; +∞).

6. Преобразуване в продукт:

Прилагаме формулата за сумата от синуси: сумата от синусите на два ъгъла е равна на удвоения продукт на синуса на полусумата на тези ъгли и косинуса на тяхната полуразлика.

8. Известно е, че f(x) = -15x+3. За какви стойности на x, f(x)=0?

Заменяме числото 0 вместо f (x) и решаваме уравнението:

15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5.

11 . В първата и втората сплави медта и цинкът са в съотношение 5:2 и 3:4. По колко от всяка сплав трябва да се вземе, за да се получат 28 кг нова сплав с еднакво съдържание на мед и цинк.

Разбираме, че новата сплав ще съдържа 14 кг мед и 14 кг цинк. Всички подобни задачи се решават по един и същи начин: съставят уравнение, в лявата и дясната част на което е същото количество вещество (да вземем мед), написано по различни начини (въз основа на специфичните условия на проблема). Имаме 14 кг мед в новата сплав, която ще бъде съставена от мед от двете сплави. Нека масата на първата сплав х kg, тогава масата на втората сплав е ( 28-ми)килограма. В първата сплав има 5 части мед и 2 части цинк, следователно медта ще бъде (5/7) от x kg. За да намерите дроб от число, умножете дробта по даденото число. Във втората сплав 3 части мед и 4 части цинк, т.е. медта съдържа (3/7) от (28) кг. Така:

12. Решете уравнението: log 2 8 x = -1.

По дефиниция на логаритъм:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3.

15. Намерете производната на функцията f(x) = -ln cosx 2 .

20. Намерете стойността на израз:

Модулът на числото може да бъде изразен само като неотрицателно число.Ако под знака на модула има отрицателен израз, тогава при отваряне на модулните скоби всички термини се изписват с противоположни знаци.

22. Решете системата от неравенства:

Първо, решаваме всяко неравенство поотделно.

Имайте предвид, че най-малкият общ период за тези функции ще бъде 2π,следователно бяха приписани както ляво, така и дясно 2πn. Отговор C).

23. Намерете площта на фигурата, ограничена от графиката на функцията y=3-|x-3| и права линия y=0.

Графиката на тази функция ще се състои от две полулинии, излизащи от една точка. Нека напишем уравненията на правите. За x≥3 разширяваме модулните скоби и получаваме: y=3-x+3 ⇒ y=6-x.За х<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

Триъгълник, ограничен от графика на функция и сегмент от оста x, е фигура, чиято площ трябва да се намери. Разбира се, тук ще се справим без интеграли. Намираме площта на триъгълник като половината от произведението на неговата основа и височината, начертана към тази основа. Нашата основа е равна на 6 единични сегмента, а височината, начертана към тази основа, е равна на 3 единични сегмента. Площта ще бъде 9 кв.м. единици

24. Намерете косинуса на ъгъл A на триъгълник с върхове в точки A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2).

За да намерите координатите на вектор, даден от координатите на неговите краища, трябва да извадите координатите на началото от координатите на края.

Ъгъл А се образува от векторите:

25. В кутия има 23 топки: червена, бяла и черна. Белите топки са 11 пъти повече от червените. Колко черни топки?

Нека е в кутията хчервени топки. След това белите 11xтопки.

Червено и бяло x+11x= 12xтопки. Следователно, черни топки 23-12ч.Тъй като това е цяло число топки, единствената възможна стойност е х=1. Оказва се: 1 червена топка, 11 бели топки и 11 черни топки.

Инструкция

Нека на равнината са дадени два ненулеви вектора, начертани от една точка: вектор A с координати (x1, y1) B с координати (x2, y2). Ъгълмежду тях се означава като θ. За да намерите градусната мярка на ъгъла θ, трябва да използвате дефиницията на скаларното произведение.

Скаларното произведение на два ненулеви вектора е число, равно на произведението на дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях, тоест (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Сега трябва да изразите косинуса на ъгъла от това: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Скаларното произведение може да се намери и с помощта на формулата (A,B)=x1*x2+y1*y2, тъй като произведението на два ненулеви вектора е равно на сумата от произведенията на съответните вектори. Ако скаларното произведение на ненулевите вектори е равно на нула, тогава векторите са перпендикулярни (ъгълът между тях е 90 градуса) и по-нататъшните изчисления могат да бъдат пропуснати. Ако скаларното произведение на два вектора е положително, тогава ъгълът между тях векториостър, а ако е отрицателен, тогава ъгълът е тъп.

Сега изчислете дължините на векторите A и B, като използвате формулите: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Дължината на вектор се изчислява като корен квадратен от сумата от квадратите на неговите координати.

Заместете намерените стойности на скаларното произведение и дължините на векторите във формулата за ъгъла, получен в стъпка 2, тоест cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+ y1²)+√(x2²+y2²)). Сега, знаейки стойността на , за да намерим градусната мярка на ъгъла между векторитрябва да използвате таблицата на Bradis или да вземете от това: θ=arccos(cos(θ)).

Ако векторите A и B са дадени в триизмерно пространство и имат съответно координати (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2), тогава при намиране на косинуса на ъгъла се добавя още една координата. В този случай косинус: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Полезни съвети

Ако два вектора не са начертани от една точка, тогава за да намерите ъгъла между тях чрез паралелен превод, трябва да комбинирате началото на тези вектори.
Ъгълът между два вектора не може да бъде по-голям от 180 градуса.

източници:

• как да изчислим ъгъла между векторите
• Ъгъл между права и равнина

За решаването на много задачи, както приложни, така и теоретични, във физиката и линейната алгебра е необходимо да се изчисли ъгълът между векторите. Тази на пръв поглед проста задача може да създаде много трудности, ако не разбирате ясно същността на скаларния продукт и каква стойност се появява в резултат на този продукт.

Инструкция

Ъгълът между векторите в линейно векторно пространство е минималният ъгъл при , при който се постига сънасоченост на векторите. Един от векторите се пренася около началната си точка. От дефиницията става очевидно, че стойността на ъгъла не може да надвишава 180 градуса (вижте стъпката).

В този случай съвсем правилно се приема, че в линейно пространство, когато векторите се пренасят успоредно, ъгълът между тях не се променя. Следователно за аналитичното изчисляване на ъгъла пространствената ориентация на векторите няма значение.

Резултатът от точковото произведение е число, в противен случай скалар. Запомнете (това е важно да знаете), за да предотвратите грешки при по-нататъшни изчисления. Формулата за скаларното произведение, разположено на равнина или в пространството на векторите, има формата (виж фигурата за стъпката).

Ако векторите са разположени в пространството, извършете изчислението по подобен начин. Единственото нещо, което ще бъде появата на термина в дивидента - това е срокът за приложението, т.е. третият компонент на вектора. Съответно, когато се изчислява модулът на векторите, трябва да се вземе предвид и компонентът z, след което за вектори, разположени в пространството, последният израз се трансформира, както следва (вижте Фигура 6 към стъпката).

Векторът е отсечка с дадена посока. Ъгълът между векторите има физическо значение, например при намиране на дължината на проекцията на вектор върху ос.

Инструкция

Ъгъл между два ненулеви вектора чрез изчисление на точков продукт. По дефиниция произведението е равно на произведението на дължините и ъгъла между тях. От друга страна, вътрешният продукт за два вектора a с координати (x1; y1) и b с координати (x2; y2) се изчислява: ab = x1x2 + y1y2. От тези два начина точковият продукт е лесен за поставяне под ъгъл между векторите.

Намерете дължините или модулите на векторите. За нашите вектори a и b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Намерете вътрешния продукт на вектори, като умножите техните координати по двойки: ab = x1x2 + y1y2. От дефиницията на точковия продукт ab = |a|*|b|*cos α, където α е ъгълът между векторите. Тогава получаваме, че x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Тогава cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Намерете ъгъла α с помощта на таблиците на Брадис.

Подобни видеа

Забележка

Скаларното произведение е скаларна характеристика на дължините на векторите и ъгъла между тях.

Равнината е едно от основните понятия в геометрията. Равнината е повърхност, за която е вярно твърдението - всяка права линия, свързваща две от нейните точки, принадлежи изцяло на тази повърхност. Равнините обикновено се означават с гръцки букви α, β, γ и т.н. Две равнини винаги се пресичат по права линия, която принадлежи и на двете равнини.

Инструкция

Разгледайте полуравнините α и β, образувани в пресечната точка на . Ъгъл, образуван от права a и две полуравнини α и β от двустенен ъгъл. В този случай полуравнините, образуващи двустенен ъгъл от лица, линията a, по която се пресичат равнините, се нарича ръб на двустенния ъгъл.

Двустенен ъгъл, като плосък ъгъл, в градуси. За да направите двустенен ъгъл, е необходимо да изберете произволна точка O на лицето му.И в двата два лъча a са начертани през точката O. Полученият ъгъл AOB се нарича линеен ъгъл на двустенния ъгъл a.

И така, нека са дадени векторът V = (a, b, c) и равнината A x + B y + C z = 0, където A, B и C са координатите на нормалата N. Тогава косинусът на ъгъла α между векторите V и N е: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

За да изчислите стойността на ъгъла в градуси или радиани, трябва да изчислите функцията, обратна на косинуса от получения израз, т.е. аркосинус: α \u003d arcos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Пример: намери ъгълмежду вектор(5, -3, 8) и самолет, дадено от общото уравнение 2 x - 5 y + 3 z = 0. Решение: запишете координатите на нормалния вектор на равнината N = (2, -5, 3). Заместете всички известни стойности в горната формула: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Подобни видеа

Напишете уравнение и изолирайте косинуса от него. Според една формула скаларното произведение на векторите е равно на техните дължини, умножени една по друга и по косинус ъгъл, а от друга - сумата от произведенията на координатите по всяка от осите. Приравнявайки двете формули, можем да заключим, че косинусът ъгълтрябва да бъде равно на съотношението на сумата от произведенията на координатите към произведението на дължините на векторите.

Запишете полученото уравнение. За да направим това, трябва да посочим и двата вектора. Да кажем, че са дадени в 3D декартова система и техните начални точки са в мрежа. Посоката и големината на първия вектор ще бъдат дадени от точката (X₁,Y₁,Z₁), на втория - (X₂,Y₂,Z₂), а ъгълът ще бъде обозначен с буквата γ. Тогава дължините на всеки от векторите могат да бъдат, например, съгласно Питагоровата теорема за образувани от техните проекции върху всяка от координатните оси: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) и √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Заместете тези изрази във формулата, формулирана в предишната стъпка, и ще получите равенството: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Използвайте факта, че сумата от на квадрат синуситеи ко синуситеот ъгъледна стойност винаги дава едно. Следователно, чрез повишаване на полученото на предишната стъпка за ко синуситена квадрат и изваден от единица, и след това

Ъгъл между два вектора , :

Ако ъгълът между два вектора е остър, тогава техният точков продукт е положителен; ако ъгълът между векторите е тъп, тогава скаларното произведение на тези вектори е отрицателно. Скаларното произведение на два ненулеви вектора е нула тогава и само ако тези вектори са ортогонални.

Упражнение.Намерете ъгъла между векторите и

Решение.Косинус на желания ъгъл

16. Изчисляване на ъгъл между прави, права и равнина

Ъгъл между права и равнинапресичащ тази права, а не перпендикулярен на нея, е ъгълът между правата и нейната проекция върху тази равнина.

Определянето на ъгъла между права и равнина ни позволява да заключим, че ъгълът между права и равнина е ъгълът между две пресичащи се прави: самата права и нейната проекция върху равнината. Следователно ъгълът между права и равнина е остър ъгъл.

Ъгълът между перпендикулярна права и равнина се счита за равен, а ъгълът между успоредна права и равнина или изобщо не се определя, или се счита за равен на .

§ 69. Изчисляване на ъгъла между прави линии.

Задачата за изчисляване на ъгъла между две прави линии в пространството се решава по същия начин, както в равнината (§ 32). Означаваме с φ ъгъла между правите л 1 и л 2 , а през ψ - ъгълът между насочващите вектори а и b тези прави линии.

Тогава ако

ψ 90° (фиг. 206.6), тогава φ = 180° - ψ. Очевидно е, че и в двата случая е вярно равенството cos φ = |cos ψ|. По формула (1) § 20 имаме

Следователно,

Нека линиите са дадени от техните канонични уравнения

Тогава ъгълът φ между линиите се определя с помощта на формулата

Ако една от линиите (или и двете) е дадена от неканонични уравнения, тогава за да изчислите ъгъла, трябва да намерите координатите на векторите на посоката на тези линии и след това да използвате формула (1).

17. Успоредни прави, Теореми за успоредни прави

Определение.Две прави в една равнина се наричат паралеленако нямат допирни точки.

Две линии в три измерения се наричат паралеленако лежат в една равнина и нямат общи точки.

Ъгъл между два вектора.

От дефиницията на точковия продукт:

.

Условие за ортогоналност на два вектора:

Условие за колинеарност за два вектора:

.

Следва от определение 5 - . Наистина, от дефиницията на произведението на вектор от число следва. Следователно, въз основа на правилото за векторно равенство, ние пишем , , , което предполага . Но векторът, получен от умножението на вектор по число, е колинеарен на вектора.

Проекция от вектор към вектор:

.

Пример 4. Дадени точки , , , .

Намерете скаларното произведение.

Решение. намираме по формулата на скаларното произведение на вектори, зададени от техните координати. Тъй като

, ,

Пример 5Дадени точки , , , .

Намерете проекция.

Решение. Тъй като

, ,

Въз основа на проекционната формула имаме

.

Пример 6Дадени точки , , , .

Намерете ъгъла между векторите и .

Решение. Обърнете внимание, че векторите

, ,

не са колинеарни, тъй като техните координати не са пропорционални:

.

Тези вектори също не са перпендикулярни, тъй като техният точков продукт е .

да намерим,

Ъгъл намерете от формулата:

.

Пример 7Определете за кои вектори и колинеарен.

Решение. В случай на колинеарност, съответните координати на векторите и трябва да бъде пропорционален, т.е.

.

От тук и .

Пример 8. Определете при каква стойност на вектора и са перпендикулярни.

Решение. вектор и са перпендикулярни, ако техният точков продукт е нула. От това условие получаваме: . Това е, .

Пример 9. намирам , ако , , .

Решение. Поради свойствата на скаларното произведение имаме:

Пример 10. Намерете ъгъла между векторите и , където и - единични вектори и ъгълът между векторите и е равен на 120o.

Решение. Ние имаме: , ,

Накрая имаме: .

5 Б. векторен продукт.

Определение 21.векторно изкуствовектор към вектор се нарича вектор или , дефиниран от следните три условия:

1) Модулът на вектора е , където е ъгълът между векторите и , т.е. .

От това следва, че модулът на кръстосано произведение е числено равен на площта на успоредник, изграден върху вектори и като страни.

2) Векторът е перпендикулярен на всеки от векторите и ( ; ), т.е. перпендикулярна на равнината на успоредника, построен върху векторите и .

3) Векторът е насочен по такъв начин, че ако се гледа от края му, най-късият завой от вектор към вектор би бил обратно на часовниковата стрелка (векторите , , образуват дясна тройка).

Как да изчислим ъглите между векторите?

При изучаването на геометрията възникват много въпроси по темата за векторите. Ученикът изпитва особени трудности, когато е необходимо да се намерят ъглите между векторите.

Основни термини

Преди да разгледате ъглите между векторите, е необходимо да се запознаете с дефиницията на вектор и концепцията за ъгъл между векторите.

Векторът е сегмент, който има посока, т.е. сегмент, за който са дефинирани началото и края му.

Ъгълът между два вектора в равнина, които имат общ произход, е по-малкият от ъглите, под които е необходимо да се премести един от векторите около обща точка до позиция, в която посоките им съвпадат.

Формула на разтвора

След като разберете какво е вектор и как се определя неговият ъгъл, можете да изчислите ъгъла между векторите. Формулата за решение за това е доста проста и резултатът от нейното прилагане ще бъде стойността на косинуса на ъгъла. По дефиниция той е равен на частното от скаларното произведение на векторите и произведението на техните дължини.

Скаларното произведение на векторите се разглежда като сумата от съответните координати на векторите на множителите, умножени един по друг. Дължината на вектор или неговият модул се изчислява като квадратен корен от сумата от квадратите на неговите координати.

След като сте получили стойността на косинуса на ъгъла, можете да изчислите стойността на самия ъгъл с помощта на калкулатор или с помощта на тригонометрична таблица.

Пример

След като разберете как да изчислите ъгъла между векторите, решението на съответния проблем става просто и ясно. Като пример, разгледайте простата задача за намиране на големината на ъгъл.

На първо място, ще бъде по-удобно да се изчислят стойностите на дължините на векторите и тяхното скаларно произведение, необходими за решаване. Използвайки описанието по-горе, получаваме:

Замествайки получените стойности във формулата, изчисляваме стойността на косинуса на желания ъгъл:

Това число не е една от петте общи косинусови стойности, така че за да получите стойността на ъгъла, ще трябва да използвате калкулатор или тригонометричната таблица на Bradis. Но преди да получим ъгъла между векторите, формулата може да бъде опростена, за да се отърве от допълнителния отрицателен знак:

Окончателният отговор може да бъде оставен в тази форма, за да се поддържа точността, или можете да изчислите стойността на ъгъла в градуси. Според таблицата на Брадис стойността му ще бъде приблизително 116 градуса и 70 минути, а калкулаторът ще покаже стойност от 116,57 градуса.

Изчисляване на ъгъл в n-мерно пространство

Когато разглеждаме два вектора в триизмерното пространство, е много по-трудно да разберем за кой ъгъл говорим, ако те не лежат в една и съща равнина. За да опростите възприятието, можете да нарисувате два пресичащи се сегмента, които образуват най-малкия ъгъл между тях, и това ще бъде желаният. Въпреки наличието на трета координата във вектора, процесът на изчисляване на ъглите между векторите няма да се промени. Изчислете скаларното произведение и модулите на векторите, аркосинуса на тяхното частно и ще бъде отговорът на тази задача.

В геометрията често възникват проблеми с пространства, които имат повече от три измерения. Но за тях алгоритъмът за намиране на отговора изглежда подобен.

Разлика между 0 и 180 градуса

Една от често срещаните грешки при писане на отговор на задача, предназначена за изчисляване на ъгъла между векторите, е решението да се напише, че векторите са успоредни, т.е. желаният ъгъл се оказа 0 или 180 градуса. Този отговор е неправилен.

След получаване на стойност на ъгъл от 0 градуса в резултат на решението, правилният отговор би бил да обозначим векторите като съпосочни, т.е. векторите ще имат една и съща посока. В случай на получаване на 180 градуса, векторите ще имат характер на противоположни посоки.

Специфични вектори

Чрез намиране на ъглите между векторите може да се намери един от специалните типове, в допълнение към ко-насочените и противоположно насочените, описани по-горе.

• Няколко вектора, успоредни на една равнина, се наричат ​​копланарни.
• Вектори, които са еднакви по дължина и посока, се наричат ​​равни.
• Вектори, които лежат на една и съща права линия, независимо от посоката, се наричат ​​колинеарни.
• Ако дължината на вектора е нула, т.е. началото и краят му съвпадат, тогава той се нарича нула, а ако е единица, тогава се нарича единица.

Как да намерим ъгъла между векторите?

помогнете ми моля! Знам формулата, но не мога да я разбера
вектор a (8; 10; 4) вектор b (5; -20; -10)

Александър Титов

Ъгълът между векторите, зададен от техните координати, се намира по стандартния алгоритъм. Първо трябва да намерите скаларното произведение на векторите a и b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Заменяме тук координатите на тези вектори и разглеждаме:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
След това определяме дължините на всеки от векторите. Дължината или модулът на вектор е корен квадратен от сумата от квадратите на неговите координати:
|а| = корен от (x1^2 + y1^2 + z1^2) = корен от (8^2 + 10^2 + 4^2) = корен от (64 + 100 + 16) = корен от 180 = 6 корен от 5
|b| = корен квадратен от (x2^2 + y2^2 + z2^2) = корен квадратен от (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = корен квадратен от (25 + 400 + 100 ) = корен квадратен от 525 = 5 корена от 21.
Умножаваме тези дължини. Получаваме 30 корена от 105.
И накрая, разделяме скаларното произведение на векторите на произведението на дължините на тези вектори. Получаваме -200 / (30 корена от 105) или
- (4 корен от 105) / 63. Това е косинусът на ъгъла между векторите. А самият ъгъл е равен на арккосинуса на това число
f \u003d arccos (-4 корен от 105) / 63.
Ако сметнах правилно.

Как да изчислим синуса на ъгъл между векторите от координатите на векторите

Михаил Ткачев

Ние умножаваме тези вектори. Точковият им продукт е равен на произведението от дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях.
Ъгълът ни е неизвестен, но координатите са известни.
Нека го запишем математически така.
Нека дадени вектори a(x1;y1) и b(x2;y2)
Тогава

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Ние спорим.
a*b-скаларно произведение на вектори е равно на сумата от произведенията на съответните координати на координатите на тези вектори, т.е. равно на x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-произведението на векторни дължини е равно на √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Косинусът на ъгъла между векторите е:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Като знаем косинуса на даден ъгъл, можем да изчислим неговия синус. Нека обсъдим как да го направим:

Ако косинусът на даден ъгъл е положителен, тогава този ъгъл се намира в 1 или 4 четвърти, така че неговият синус е или положителен, или отрицателен. Но тъй като ъгълът между векторите е по-малък или равен на 180 градуса, тогава неговият синус е положителен. Разсъждаваме по подобен начин, ако косинусът е отрицателен.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Това е)))) Успех в разгадаването)))

Дмитрий Левищев

Фактът, че е невъзможно директно синусиране, не е вярно.
В допълнение към формулата:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Има и този:
||=|a|*|b|*sin A
Тоест, вместо скаларното произведение, можете да вземете модула на векторното произведение.

Точково произведение на вектори

Продължаваме да се занимаваме с вектори. На първия урок Вектори за манекениразгледахме концепцията за вектор, действия с вектори, векторни координати и най-простите задачи с вектори. Ако сте попаднали на тази страница за първи път от търсачка, горещо препоръчвам да прочетете горната уводна статия, защото за да усвоите материала, трябва да се ръководите в използваните от мен термини и обозначения, да имате основни познания за вектори и да може да решава елементарни проблеми. Този урок е логично продължение на темата и в него ще анализирам подробно типични задачи, които използват скаларното произведение на векторите. Това е МНОГО ВАЖНА работа.. Опитайте се да не пропускате примерите, те идват с полезен бонус - практиката ще ви помогне да консолидирате преминатия материал и да "хванете ръка" за решаване на често срещани задачи на аналитичната геометрия.

Добавяне на вектори, умножение на вектор по число.... Би било наивно да се мисли, че математиците не са измислили нещо друго. В допълнение към вече разгледаните действия, има редица други операции с вектори, а именно: точково произведение на вектори, кръстосано произведение на вектории смесено произведение на вектори. Скаларният продукт на векторите ни е познат от училище, другите два продукта традиционно са свързани с курса на висшата математика. Темите са прости, алгоритъмът за решаване на много проблеми е стереотипен и разбираем. Единственото нещо. Има прилично количество информация, така че е нежелателно да се опитвате да овладеете и разрешите ВСИЧКО И НАЕДНОВЕД. Това важи особено за манекените, повярвайте ми, авторът абсолютно не иска да се чувства като Чикатило от математиката. Е, не и от математиката, разбира се =) По-подготвените ученици могат да използват материалите избирателно, в известен смисъл, за да „придобият“ липсващите знания, за вас аз ще бъда безобиден граф Дракула =)

И накрая, нека отворим малко вратата и да погледнем какво се случва, когато два вектора се срещнат...

Дефиниция на скаларното произведение на векторите.
Свойства на скаларното произведение. Типични задачи

Концепцията за точков продукт

Първо за ъгъл между векторите. Мисля, че всеки интуитивно разбира какъв е ъгълът между векторите, но за всеки случай малко повече. Помислете за свободни ненулеви вектори и . Ако отложим тези вектори от произволна точка, тогава получаваме картина, която мнозина вече са представили психически:

Признавам, тук описах ситуацията само на ниво разбиране. Ако имате нужда от строго определение на ъгъла между векторите, моля, вижте учебника, но за практически задачи ние по принцип не се нуждаем от него. Също ТУК И ПО-НАДАДЕ, понякога ще пренебрегвам нулевите вектори поради ниското им практическо значение. Направих резервация специално за напреднали посетители на сайта, които могат да ме упрекнат в теоретичната непълнота на някои от следващите твърдения.

може да приема стойности от 0 до 180 градуса (от 0 до радиани) включително. Аналитично този факт се записва като двойно неравенство: или (в радиани).

В литературата иконата на ъгъл често се пропуска и просто се изписва.

определение:Скаларното произведение на два вектора е ЧИСЛО, равно на произведението на дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях:

Това е доста строго определение.

Ние се фокусираме върху съществена информация:

Обозначаване:скаларното произведение се означава с или просто .

Резултатът от операцията е ЧИСЛО: Умножете вектор по вектор, за да получите число. Наистина, ако дължините на векторите са числа, косинусът на ъгъла е число, тогава техният продукт също ще бъде число.

Само няколко примера за загряване:

Пример 1

Решение:Използваме формулата . В такъв случай:

Отговор:

Косинусовите стойности могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. Препоръчвам да го отпечатате - ще се изисква в почти всички секции на кулата и ще се изисква много пъти.

Чисто от математическа гледна точка скаларното произведение е безразмерно, тоест резултатът в случая е просто число и това е. От гледна точка на проблемите на физиката, скаларното произведение винаги има определен физически смисъл, тоест след резултата трябва да се посочи една или друга физическа единица. Каноничният пример за изчисляване на работата на сила може да се намери във всеки учебник (формулата е точно точков продукт). Работата на силата се измерва в джаули, следователно отговорът ще бъде написан доста конкретно, например.

Пример 2

Намерете дали , а ъгълът между векторите е .

Това е пример за самостоятелно решаване, отговорът е в края на урока.

Ъгъл между векторите и стойността на точковия продукт

В пример 1 скаларното произведение се оказа положително, а в пример 2 – отрицателно. Нека разберем от какво зависи знакът на скаларното произведение. Нека да разгледаме нашата формула: . Дължините на ненулевите вектори винаги са положителни: , така че знакът може да зависи само от стойността на косинуса.

Забележка: За по-добро разбиране на информацията по-долу е по-добре да проучите косинусовата графика в ръководството Свойства на графики и функции. Вижте как косинусът се държи на отсечката.

Както вече беше отбелязано, ъгълът между векторите може да варира в рамките , като са възможни следните случаи:

1) Ако ъгълмежду вектори пикантен: (от 0 до 90 градуса), след това , и точковият продукт ще бъде положителен съвместно режисиран, тогава ъгълът между тях се счита за нула и скаларното произведение също ще бъде положително. Тъй като , тогава формулата е опростена: .

2) Ако ъгълмежду вектори глупав: (от 90 до 180 градуса), след това , и съответно, точковият продукт е отрицателен: . Специален случай: ако векторите насочен противоположно, тогава се разглежда ъгълът между тях разгърнати: (180 градуса). Скаларното произведение също е отрицателно, тъй като

Обратните твърдения също са верни:

1) Ако , тогава ъгълът между тези вектори е остър. Алтернативно, векторите са еднопосочни.

2) Ако , тогава ъгълът между тези вектори е тъп. Алтернативно, векторите са насочени противоположно.

Но третият случай е от особен интерес:

3) Ако ъгълмежду вектори прав: (90 градуса) тогава и точковият продукт е нула: . Обратното също е вярно: ако , то . Компактното изявление е формулирано по следния начин: Скаларното произведение на два вектора е нула тогава и само ако дадените вектори са ортогонални. Кратка математическа нотация:

! Забележка : повторете основите на математическата логика: иконата за двустранно логическо следствие обикновено се чете "ако и само тогава", "ако и само ако". Както виждате, стрелките са насочени и в двете посоки – „от това следва това, и обратното – от това следва това“. Между другото, каква е разликата от иконата за еднопосочно следване? Претенции за икона само чече "от това следва това", а не фактът, че е вярно обратното. Например: , но не всяко животно е пантера, така че иконата не може да се използва в този случай. В същото време, вместо иконата могаизползвайте едностранна икона. Например, докато решавахме задачата, открихме, че заключихме, че векторите са ортогонални: - такъв запис ще бъде правилен и дори по-подходящ от .

Третият случай е от голямо практическо значение., тъй като ви позволява да проверите дали векторите са ортогонални или не. Ще решим тази задача във втория раздел на урока.

Свойства на точков продукт

Нека се върнем към ситуацията, когато два вектора съвместно режисиран. В този случай ъгълът между тях е нула, , а формулата за скаларно произведение приема формата: .

Какво се случва, ако един вектор се умножи сам по себе си? Ясно е, че векторът е насочен със себе си, така че използваме горната опростена формула:

Номерът се нарича скаларен квадратвектор , и се означават като .

По този начин, скаларният квадрат на вектор е равен на квадрата на дължината на дадения вектор:

От това равенство можете да получите формула за изчисляване на дължината на вектор:

Въпреки че изглежда неясно, но задачите на урока ще поставят всичко на мястото си. За да разрешим проблемите, ние също се нуждаем свойства на точков продукт.

За произволни вектори и всяко число са верни следните свойства:

1) - подвижни или комутативензакон за скаларен продукт.

2) - разпределение или разпределителензакон за скаларен продукт. Просто казано, можете да отваряте скоби.

3) - комбинация или асоциативензакон за скаларен продукт. Константата може да бъде извадена от скаларното произведение.

Често всякакви свойства (които също трябва да бъдат доказани!) се възприемат от студентите като ненужни боклуци, които трябва само да бъдат запомнени и безопасно забравени веднага след изпита. Изглежда, че това, което е важно тук, всеки вече знае от първи клас, че продуктът не се променя от пермутация на факторите:. Трябва да ви предупредя, че във висшата математика с такъв подход е лесно да объркате нещата. Така, например, комутативното свойство не е валидно за алгебрични матрици. Не е вярно за кръстосано произведение на вектори. Ето защо е най-малкото по-добре да се задълбочите във всички свойства, които ще срещнете в хода на висшата математика, за да разберете какво може и какво не може да се направи.

Пример 3

.

Решение:Първо, нека изясним ситуацията с вектора. за какво става въпрос? Сумата от векторите и е добре дефиниран вектор, който се означава с . Геометрична интерпретация на действия с вектори можете да намерите в статията Вектори за манекени. Същият магданоз с вектор е сборът от векторите и .

И така, според условието се изисква да се намери скаларното произведение. На теория трябва да приложите работещата формула , но проблемът е, че не знаем дължините на векторите и ъгъла между тях. Но в условието подобни параметри са дадени за вектори, така че ще отидем по друг начин:

(1) Заменяме изрази на вектори .

(2) Отваряме скобите според правилото за умножение на полиноми, вулгарен език може да се намери в статията Комплексни числаили Интегриране на дробно-рационална функция. Няма да се повтарям =) Между другото, разпределителното свойство на скаларното произведение ни позволява да отворим скобите. Имаме право.

(3) В първия и последния член записваме компактно скаларните квадрати на векторите: . Във втория член използваме комутативността на скаларното произведение: .

(4) Ето подобни термини: .

(5) В първия член използваме формулата за скаларен квадрат, която беше спомената не толкова отдавна. В последния мандат съответно работи същото: . Вторият член се разширява по стандартната формула .

(6) Заменете тези условия , и ВНИМАТЕЛНО извършете окончателните изчисления.

Отговор:

Отрицателната стойност на точковия продукт показва факта, че ъгълът между векторите е тъп.

Задачата е типична, ето пример за самостоятелно решение:

Пример 4

Намерете скаларното произведение на векторите и , ако е известно, че .

Сега друга често срещана задача, само за новата формула за дължина на вектора. Обозначенията тук ще се припокриват малко, така че за по-голяма яснота ще го пренапиша с различна буква:

Пример 5

Намерете дължината на вектора, ако .

Решениеще бъде както следва:

(1) Предоставяме векторния израз.

(2) Използваме формулата за дължина: , докато имаме цяло число като вектор "ve".

(3) Използваме училищната формула за квадрат на сбора. Обърнете внимание как работи любопитно тук: - всъщност това е квадратът на разликата и всъщност е така. Тези, които желаят, могат да пренаредят векторите на места: - получи се същото до пренареждане на условията.

(4) Това, което следва, вече е познато от предишните две задачи.

Отговор:

Тъй като говорим за дължина, не забравяйте да посочите размерите - "единици".

Пример 6

Намерете дължината на вектора, ако .

Това е пример за „направи си сам“. Пълно решение и отговор в края на урока.

Продължаваме да изстискваме полезни неща от скаларния продукт. Нека да разгледаме нашата формула отново . По правилото на пропорцията нулираме дължините на векторите до знаменателя на лявата страна:

Нека разменим частите:

Какъв е смисълът на тази формула? Ако са известни дължините на два вектора и тяхното скаларно произведение, тогава може да се изчисли косинусът на ъгъла между тези вектори и, следователно, самият ъгъл.

Скаларното произведение число ли е? Номер. Дължините на вектора числа ли са? Числа. Така че дробта също е число. И ако косинусът на ъгъла е известен: , тогава с помощта на обратната функция е лесно да се намери самият ъгъл: .

Пример 7

Намерете ъгъла между векторите и , ако е известно, че .

Решение:Използваме формулата:

На последния етап от изчисленията беше използвана техника - елиминиране на ирационалността в знаменателя. За да премахна ирационалността, умножих числителя и знаменателя по .

Така че, ако , тогава:

Стойностите на обратните тригонометрични функции могат да бъдат намерени от тригонометрична таблица. Въпреки че това се случва рядко. В задачите на аналитичната геометрия много по-често се появява някаква тромава мечка и стойността на ъгъла трябва да се намери приблизително с помощта на калкулатор. Всъщност ще виждаме тази картина отново и отново.

Отговор:

Отново не забравяйте да посочите размерността - радиани и градуси. Лично аз, за ​​да „премахна всички въпроси“, предпочитам да посоча и двете (освен ако, разбира се, по условие не се изисква отговорът да се представи само в радиани или само в градуси).

Сега ще можете сами да се справите с по-трудна задача:

Пример 7*

Дадени са дължините на векторите и ъгълът между тях. Намерете ъгъла между векторите , .

Задачата не е толкова трудна, колкото многостранна.
Нека анализираме алгоритъма за решение:

1) Според условието се изисква да се намери ъгълът между векторите и , така че трябва да използвате формулата .

2) Намираме скаларното произведение (вижте примери № 3, 4).

3) Намерете дължината на вектора и дължината на вектора (вижте примери № 5, 6).

4) Краят на решението съвпада с пример № 7 - знаем числото , което означава, че е лесно да се намери самият ъгъл:

Кратко решение и отговор в края на урока.

Вторият раздел на урока е посветен на същия точков продукт. Координати. Ще бъде още по-лесно, отколкото в първата част.

Точково произведение на вектори,
зададени от координати в ортонормална основа

Отговор:

Излишно е да казвам, че работата с координати е много по-приятна.

Пример 14

Намерете скаларното произведение на вектори и ако

Това е пример за „направи си сам“. Тук можете да използвате асоциативността на операцията, тоест да не броите, а веднага да извадите тройката от скаларното произведение и да умножите по нея последно. Решение и отговор в края на урока.

В края на параграфа, провокативен пример за изчисляване на дължината на вектор:

Пример 15

Намерете дължини на вектори , ако

Решение:отново се предлага методът от предишния раздел: но има и друг начин:

Нека намерим вектора:

И дължината му според тривиалната формула:

Скаларното произведение тук изобщо не е от значение!

Колко без работа е при изчисляване на дължината на вектор:
Спри се. Защо не се възползвате от очевидното свойство за дължина на вектор? Какво може да се каже за дължината на вектор? Този вектор е 5 пъти по-дълъг от вектора. Посоката е противоположна, но това няма значение, защото говорим за дължина. Очевидно дължината на вектора е равна на произведението модулчисла за дължина на вектора:
- знакът на модула "изяжда" възможния минус на числото.

По този начин:

Отговор:

Формулата за косинуса на ъгъла между векторите, дадени с координати

Сега имаме пълна информация, така че получената по-рано формула за косинуса на ъгъла между векторите изразете чрез векторни координати:

Косинус на ъгъла между равнинните вектории, дадено в ортонормалната основа, се изразява с формулата:
.

Косинус на ъгъла между пространствените вектори, дадено в ортонормалната основа, се изразява с формулата:

Пример 16

Дадени са три върха на триъгълник. Намерете (ъгъл на върха).

Решение:По условие чертежът не е задължителен, но все пак:

Необходимият ъгъл е маркиран със зелена дъга. Веднага си спомняме училищното обозначение на ъгъла: - специално внимание на средатабуква - това е върхът на ъгъла, от който се нуждаем. За краткост може да се напише и просто.

От чертежа е съвсем очевидно, че ъгълът на триъгълника съвпада с ъгъла между векторите и , с други думи: .

Желателно е да се научите как да извършвате анализа, извършен мислено.

Нека намерим векторите:

Нека изчислим скаларното произведение:

И дължините на векторите:

Косинус на ъгъл:

Именно този ред на задачата препоръчвам на манекените. По-напредналите читатели могат да напишат изчисленията "на един ред":

Ето пример за "лоша" косинусова стойност. Получената стойност не е окончателна, така че няма много смисъл да се отървем от ирационалността в знаменателя.

Нека намерим ъгъла:

Ако погледнете чертежа, резултатът е доста правдоподобен. За проверка на ъгъла може да се измери и с транспортир. Не повреждайте покритието на монитора =)

Отговор:

В отговора не забравяйте това попита за ъгъла на триъгълника(а не за ъгъла между векторите), не забравяйте да посочите точния отговор: и приблизителната стойност на ъгъла: намерени с калкулатор.

Тези, които са харесали процеса, могат да изчислят ъглите и да се уверят, че каноничното равенство е вярно

Пример 17

Триъгълникът е даден в пространството чрез координатите на неговите върхове. Намерете ъгъла между страните и

Това е пример за „направи си сам“. Пълно решение и отговор в края на урока

Малък последен раздел ще бъде посветен на проекциите, в които скаларното произведение също е „замесено“:

Проекция на вектор върху вектор. Векторна проекция върху координатни оси.
Векторни насочващи косинуси

Помислете за вектори и:

Проектираме вектора върху вектора , за това пропускаме от началото и края на вектора перпендикуляриза вектор (зелени пунктирани линии). Представете си, че светлинните лъчи падат перпендикулярно на вектор. Тогава сегментът (червената линия) ще бъде "сянката" на вектора. В този случай проекцията на вектор върху вектор е ДЪЛЖИНАТА на отсечката. Тоест, ПРОЕКЦИЯТА Е ЧИСЛО.

Това ЧИСЛО се обозначава по следния начин: "голям вектор" означава вектор КОЕТОпроект, "вектор с малък индекс" обозначава вектора НАкойто се проектира.

Самият запис гласи така: „проекцията на вектора „a“ върху вектора „be““.

Какво се случва, ако векторът "be" е "твърде къс"? Начертаваме права линия, съдържаща вектора "be". И векторът "а" вече ще бъде проектиран към посоката на вектора "be", просто - на права линия, съдържаща вектора "be". Същото нещо ще се случи, ако векторът "а" се остави настрана в тридесетото царство - той все още лесно ще се проектира върху правата, съдържаща вектора "бе".

Ако ъгълътмежду вектори пикантен(както е на снимката), тогава

Ако векторите ортогонален, тогава (проекцията е точка, чиито размери се приемат за нула).

Ако ъгълътмежду вектори глупав(на фигурата мислено пренаредете стрелката на вектора), след това (същата дължина, но взета със знак минус).

Отделете тези вектори от една точка:

Очевидно при преместване на вектор неговата проекция не се променя

При изучаването на геометрията възникват много въпроси по темата за векторите. Ученикът изпитва особени трудности, когато е необходимо да се намерят ъглите между векторите.

Основни термини

Преди да разгледате ъглите между векторите, е необходимо да се запознаете с дефиницията на вектор и концепцията за ъгъл между векторите.

Векторът е сегмент, който има посока, т.е. сегмент, за който са дефинирани началото и края му.

Ъгълът между два вектора в равнина, които имат общ произход, е по-малкият от ъглите, под които е необходимо да се премести един от векторите около обща точка до позиция, в която посоките им съвпадат.

Формула на разтвора

След като разберете какво е вектор и как се определя неговият ъгъл, можете да изчислите ъгъла между векторите. Формулата за решение за това е доста проста и резултатът от нейното прилагане ще бъде стойността на косинуса на ъгъла. По дефиниция той е равен на частното от скаларното произведение на векторите и произведението на техните дължини.

Скаларното произведение на векторите се разглежда като сумата от съответните координати на векторите на множителите, умножени един по друг. Дължината на вектор или неговият модул се изчислява като квадратен корен от сумата от квадратите на неговите координати.

След като сте получили стойността на косинуса на ъгъла, можете да изчислите стойността на самия ъгъл с помощта на калкулатор или с помощта на тригонометрична таблица.

Пример

След като разберете как да изчислите ъгъла между векторите, решението на съответния проблем става просто и ясно. Като пример, разгледайте простата задача за намиране на големината на ъгъл.

На първо място, ще бъде по-удобно да се изчислят стойностите на дължините на векторите и тяхното скаларно произведение, необходими за решаване. Използвайки описанието по-горе, получаваме:

Замествайки получените стойности във формулата, изчисляваме стойността на косинуса на желания ъгъл:

Това число не е една от петте общи косинусови стойности, така че за да получите стойността на ъгъла, ще трябва да използвате калкулатор или тригонометричната таблица на Bradis. Но преди да получим ъгъла между векторите, формулата може да бъде опростена, за да се отърве от допълнителния отрицателен знак:

Окончателният отговор може да бъде оставен в тази форма, за да се поддържа точността, или можете да изчислите стойността на ъгъла в градуси. Според таблицата на Брадис стойността му ще бъде приблизително 116 градуса и 70 минути, а калкулаторът ще покаже стойност от 116,57 градуса.

Изчисляване на ъгъл в n-мерно пространство

Когато разглеждаме два вектора в триизмерното пространство, е много по-трудно да разберем за кой ъгъл говорим, ако те не лежат в една и съща равнина. За да опростите възприятието, можете да нарисувате два пресичащи се сегмента, които образуват най-малкия ъгъл между тях, и това ще бъде желаният. Въпреки наличието на трета координата във вектора, процесът на изчисляване на ъглите между векторите няма да се промени. Изчислете скаларното произведение и модулите на векторите, аркосинуса на тяхното частно и ще бъде отговорът на тази задача.

В геометрията често възникват проблеми с пространства, които имат повече от три измерения. Но за тях алгоритъмът за намиране на отговора изглежда подобен.

Разлика между 0 и 180 градуса

Една от често срещаните грешки при писане на отговор на задача, предназначена за изчисляване на ъгъла между векторите, е решението да се напише, че векторите са успоредни, т.е. желаният ъгъл се оказа 0 или 180 градуса. Този отговор е неправилен.

След получаване на стойност на ъгъл от 0 градуса в резултат на решението, правилният отговор би бил да обозначим векторите като съпосочни, т.е. векторите ще имат една и съща посока. В случай на получаване на 180 градуса, векторите ще имат характер на противоположни посоки.

Специфични вектори

Чрез намиране на ъглите между векторите може да се намери един от специалните типове, в допълнение към ко-насочените и противоположно насочените, описани по-горе.

• Няколко вектора, успоредни на една равнина, се наричат ​​копланарни.
• Вектори, които са еднакви по дължина и посока, се наричат ​​равни.
• Вектори, които лежат на една и съща права линия, независимо от посоката, се наричат ​​колинеарни.
• Ако дължината на вектора е нула, т.е. началото и краят му съвпадат, тогава той се нарича нула, а ако е единица, тогава се нарича единица.