Каква е абсолютната грешка на измерената стойност. Абсолютни и относителни грешки

Грешките при измерване се класифицират според следните видове:

абсолютни и относителни.

Положителни и отрицателни.

постоянен и пропорционален.

Грубо, произволно и систематично.

Абсолютна грешкарезултат от едно измерване (A г) се определя като разликата между следните стойности:

А г = газ- гист. » газ-` г.

Относителна грешка резултат от едно измерване (B г) се изчислява като отношението на следните количества:

От тази формула следва, че големината на относителната грешка зависи не само от величината на абсолютната грешка, но и от стойността на измерваната величина. Когато измерената стойност остане непроменена ( г) относителната грешка на измерване може да бъде намалена само чрез намаляване на абсолютната грешка (A г). Когато абсолютната грешка на измерване е постоянна, за да намалите относителната грешка на измерване, можете да използвате метода за увеличаване на стойността на измереното количество.

Пример.Да приемем, че търговска везна в магазин има постоянна абсолютна грешка при измерване на масата: A m = 10 g. Ако претеглите 100 g бонбони (m 1) на такива везни, тогава относителната грешка при измерване на масата на бонбоните ще бъде :

.

При претегляне на 500 g сладки (m 2) на същите везни относителната грешка ще бъде пет пъти по-малка:

.

Така, ако претеглите 100 g сладкиши пет пъти, тогава поради грешка в измерването на масата няма да получите общо 50 g от продукта от 500 g. С еднократно претегляне на по-голяма маса (500 g) ще загубите само 10 g сладки, т.е. пет пъти по-малко.

Като се има предвид горното, може да се отбележи, че на първо място е необходимо да се стремим към намаляване на относителните грешки на измерването. Абсолютните и относителните грешки могат да бъдат изчислени само след определяне на средната стойност аритметична стойнострезултат от измерването.

Знакът на грешката (положителен или отрицателен) се определя от разликата между единичния и действителния резултат от измерването:

газ-` г > 0 (грешката е положителна);

газ-` г < 0 (грешката е отрицателна).

Ако абсолютната грешка на измерване не зависи от стойността на измереното количество, тогава такава грешка се нарича постоянен. В противен случай грешката ще бъде пропорционален. Естеството на грешката на измерване (постоянна или пропорционална) се определя след специални изследвания.

Груба грешкаизмерване (пропуск) е резултат от измерване, който се различава значително от другите, което обикновено се получава при нарушаване на процедурата за измерване. Наличието на груби измервателни грешки в извадката се установява само по методи математическа статистика(за n>2). Запознайте се сами с методите за откриване на груби грешки.

Разделянето на грешките на случайни и систематични е доста условно.

Да се случайни грешкивключват грешки, които нямат постоянна стойности подпишете. Такива грешки са причинени от следните фактори: неизвестен на изследователя; известни, но нерегламентирани; постоянно се променя.

Случайните грешки могат да бъдат оценени само след извършване на измервания.

Може да се направи количествена оценка на модула на величината на случайна грешка при измерване следните опции: и т.н.

Случайните грешки при измерване не могат да бъдат изключени, те могат само да бъдат намалени. Един от основните начини за намаляване на величината на случайна грешка при измерване е увеличаването на броя на единичните измервания (увеличаване на стойността на n). Това се обяснява с факта, че големината на случайните грешки е обратно пропорционална на стойността на n, например:

Системни грешкиса грешки с постоянна големина и знак или вариращи по известен закон. Тези грешки са причинени от постоянни фактори. Систематичните грешки могат да бъдат количествено определени, намалени и дори елиминирани.

Систематичните грешки се класифицират в типове грешки I, II и III.

До систематично грешки тип Iреферентни грешки известен произход, които могат да бъдат оценени преди измерването чрез изчисление. Тези грешки могат да бъдат елиминирани чрез въвеждането им в резултата от измерването под формата на корекции. Пример за този вид грешка е грешката при титриметричното определяне на обемната концентрация на разтвор, ако титрантът е приготвен при една температура, а концентрацията е измерена при друга. Познавайки зависимостта на плътността на титранта от температурата, е възможно да се изчисли промяната в обемната концентрация на титранта, свързана с промяна в неговата температура преди измерването, и да се вземе предвид тази разлика като корекция в резултат на измерването.

Систематичен грешки тип II- това са грешки с известен произход, които могат да бъдат оценени само по време на експеримента или в резултат на специални изследвания. Този тип грешки включват инструментални (инструментални), реактивни, референтни и други грешки. Запознайте се сами с характеристиките на подобни грешки.

Всяко устройство, когато се използва в процедурата за измерване, въвежда своите инструментални грешки в резултата от измерването. В същото време някои от тези грешки са случайни, а другата част е систематична. Случайните грешки на инструмента не се оценяват отделно, те се оценяват заедно с всички други случайни грешки на измерване.

Всеки екземпляр на всеки инструмент има своя лична систематична грешка. За да се оцени тази грешка, е необходимо да се проведат специални изследвания.

Най-надеждният начин за оценка на инструментална систематична грешка тип II е да се провери работата на инструментите спрямо стандартите. За измервателни съдове (пипети, бюрети, цилиндри и др.) се извършва специална процедура - калибриране.

На практика най-често се изисква не да се оцени, а да се намали или елиминира систематичната грешка тип II. Най-често срещаните методи за намаляване на системните грешки са методи на релативизация и рандомизация.Проверете сами тези методи на .

Да се грешки III тип включват грешки с неизвестен произход. Тези грешки могат да бъдат открити само след като всички систематични грешки от тип I и II са елиминирани.

Да се други грешкиние ще приписваме всички други видове грешки, които не са разгледани по-горе (допустими, възможни маргинални грешкии т.н.). Концепцията за възможни пределни грешки се използва в случаите на използване на измервателни уреди и предполага максималната възможна инструментална грешка при измерване (действителната стойност на грешката може да бъде по-малка от стойността на възможната пределна грешка).

При използване на измервателни уреди е възможно да се изчисли възможната абсолютна граница (P` г, и т.н.) или относително (E` ги т.н.) грешки при измерване. Така например възможната ограничаваща абсолютна грешка на измерване се намира като сумата от възможните ограничаващи произволни (x ` г, случайни и т.н.) и неизключени систематични (d` ги т.н.) грешки:

П` г, пр. = x ` г, случаен, пр. + д` ги т.н.

За малки проби (n £ 20), неизвестното население, подчинявайки се нормален законразпределение, случайни възможни пределни грешки на измерване могат да бъдат оценени, както следва:

x` г, случаен, пр. = D` г=S` г½t P, n ½,
където t P,n е квантилът на разпределението на Стюдънт (тест) за вероятността P и размера на извадката n. Абсолютната възможна ограничаваща грешка при измерване в този случай ще бъде равна на:

П` г,пр.= S ` г½t P, n ½+ d` ги т.н.

Ако резултатите от измерването не се подчиняват на нормалния закон за разпределение, тогава грешката се оценява с помощта на други формули.

Определяне на стойността на d` ги т.н. зависи от това дали измервателният уред има клас на точност. Ако измервателният уред няма клас на точност, тогава за стойността d ` ги т.н. може да се приеме минималната стойност на делението на скалатаизмерване . За измервателен уред с известен клас на точност за стойността d` г, например, може да се приеме абсолютната допустима системна грешка на измервателния уред (d г, добавете.):

d` ги т.н." .

d стойност г, добавете. се изчислява въз основа на формулите, дадени в таблица 5.

За много измервателни уреди класът на точност се обозначава под формата на числа a × 10 n, където a е равно на 1; 1,5; 2; 2,5; четири; 5; 6 и п е 1; 0; -един; -2 и т.н., които показват стойността на възможната максимално допустима систематична грешка (Е г, добав.) и специални знаци, указващи неговия тип (относителен, намален, постоянен, пропорционален).

Таблица 5

Примери за обозначаване на класове на точност на измервателни уреди

Абсолютна грешка при измерваненарича стойността, определена от разликата между резултата от измерването хи истинската стойност на измереното количество х 0:

Δ х = |х - х 0 |.

Стойността δ, равна на отношението на абсолютната грешка на измерване към резултата от измерването, се нарича относителна грешка:

Пример 2.1.Приблизителната стойност на числото π е 3,14. Тогава неговата грешка е 0,00159. Абсолютната грешка може да се счита за равна на 0,0016, а относителната грешка е равна на 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Значителни числа.Ако абсолютната грешка на стойността a не надвишава една единица от последната цифра на числото a, тогава се казва, че числото има всички знаци правилни. Да се ​​пишат приблизителни числа, като се запазват само истински знаци. Ако например абсолютната грешка на числото 52400 е равна на 100, то това число трябва да се запише например като 524·10 2 или 0,524·10 5 . Можете да оцените грешката на приблизително число, като посочите колко истински значими цифри съдържа то. При броене на значещи цифри нулите от лявата страна на числото не се броят.

Например числото 0,0283 има три валидни значещи цифри, а 2,5400 има пет валидни значещи цифри.

Правила за закръгляване на числа. Ако приблизителното число съдържа допълнителни (или неправилни) знаци, то трябва да бъде закръглено. При закръгляване възниква допълнителна грешка, която не надвишава половината от единицата на последната значима цифра ( д) закръглено число. При закръгляване се запазват само правилните знаци; допълнителните знаци се изхвърлят и ако първата изхвърлена цифра е по-голяма или равна на д/2, тогава последната запаметена цифра се увеличава с единица.

Допълнителните цифри в целите числа се заменят с нули, а в десетичните дроби се изхвърлят (както и допълнителните нули). Например, ако грешката на измерване е 0,001 mm, тогава резултатът 1,07005 се закръгля до 1,070. Ако първата от модифицираните с нула и изхвърлени цифри е по-малка от 5, останалите цифри не се променят. Например, числото 148935 с точност на измерване 50 има закръгляване от 148900. Ако първата цифра, която трябва да бъде заменена с нули или изхвърлена, е 5 и е последвана от никакви цифри или нули, тогава закръгляването се извършва до най-близката четна номер. Например числото 123,50 се закръгля нагоре до 124. Ако първата цифра, която трябва да бъде заменена с нули или изхвърлена, е по-голяма от 5 или равна на 5, но е последвана от значима цифра, тогава последната оставаща цифра се увеличава с единица. Например числото 6783,6 се закръгля до 6784.

Пример 2.2. При закръгляване на числото 1284 до 1300 абсолютната грешка е 1300 - 1284 = 16, а при закръгляване до 1280 абсолютната грешка е 1280 - 1284 = 4.

Пример 2.3. При закръгляване на числото 197 до 200 абсолютната грешка е 200 - 197 = 3. Относителната грешка е 3/197 ≈ 0,01523 или приблизително 3/200 ≈ 1,5%.

Пример 2.4. Продавачът претегля динята на кантар. В комплекта тежести най-малката е 50 г. Претеглянето даде 3600 г. Това число е приблизително. Точното тегло на динята не е известно. Но абсолютната грешка не надвишава 50 г. Относителната грешка не надвишава 50/3600 = 1,4%.

Грешки при решаването на проблема на настолен компютър

Три вида грешки обикновено се считат за основни източници на грешки. Това са така наречените грешки при отрязване, грешки при закръгляване и грешки при разпространение. Например при използване итеративни методитърсене на корени нелинейни уравнениярезултатите са приблизителни за разлика от директните методи, които дават точно решение.

Грешки при отрязване

Този тип грешка е свързана с грешката, присъща на самия проблем. Може да се дължи на неточност в дефинирането на първоначалните данни. Например, ако в условието на задачата са посочени някакви размери, то на практика за реални обекти тези размери винаги са известни с известна точност. Същото важи и за всеки друг физически параметри. Това включва и неточности формули за изчислениеи техните числени коефициенти.

Грешки при разпространение

Този тип грешки са свързани с използването на един или друг метод за решаване на проблема. В хода на изчисленията неизбежно възниква натрупване или, с други думи, разпространение на грешката. В допълнение към факта, че самите оригинални данни не са точни, възниква нова грешка, когато те се умножават, добавят и т.н. Натрупването на грешката зависи от естеството и броя на аритметичните операции, използвани при изчислението.

Грешки при закръгляване

Този тип грешка се дължи на факта, че истинската стойност на числото не винаги се съхранява точно от компютъра. Когато реално число се съхранява в паметта на компютъра, то се записва като мантиса и експонента почти по същия начин, както числото се показва на калкулатор.

Във физиката и други науки много често е необходимо да се измерват различни величини (например дължина, маса, време, температура, електрическо съпротивлениеи т.н.).

Измерване- процесът на намиране на стойността на физическо количество с помощта на специални технически средства- измервателни уреди.

Измервателен уред наречено устройство, чрез което измерената величина се сравнява с физическа величина от същия вид, взета като мерна единица.

Има директни и косвени методи за измерване.

Директни методи за измерване - методи, при които стойностите на определяните количества се намират чрез директно сравнение на измервания обект с мерната единица (стандарт). Например дължината на тялото, измерена с линийка, се сравнява с единица дължина - метър, масата на тялото, измерена с везни, се сравнява с единица маса - килограм и т.н. Така в резултат директно измерванеопределената стойност се получава веднага, веднага.

Косвени методи за измерване- методи, при които стойностите на определяните величини се изчисляват от резултатите от директни измервания на други величини, с които те са свързани с известна функционална зависимост. Например, определяне на обиколката на кръг въз основа на резултатите от измерване на диаметъра или определяне на обема на тялото въз основа на резултатите от измерването на неговите линейни размери.

Поради несъвършенството на измервателните уреди, нашите сетива, влияние външни влияниявърху средствата за измерване и обекта на измерване, както и други фактори, всички измервания могат да се извършват само с до някъдеточност; следователно резултатите от измерването не дават истинската стойност на измереното количество, а само приблизителна. Ако например телесното тегло се определя с точност до 0,1 mg, това означава, че намереното тегло се различава от истинското телесно тегло с по-малко от 0,1 mg.

Точност на измерванията - характеристика на качеството на измерванията, отразяваща близостта на резултатите от измерването до истинската стойност на измереното количество.

Колкото по-малки са грешките на измерване, толкова по-голяма е точността на измерването. Точността на измерването зависи от инструментите, използвани при измерванията и от общи методиизмервания. Абсолютно безполезно е да се опитвате да надхвърлите тази граница на точност, когато правите измервания при дадени условия. Възможно е да се сведе до минимум въздействието на причините, които намаляват точността на измерванията, но е невъзможно да се отървете напълно от тях, тоест по време на измерванията винаги се правят повече или по-малко значителни грешки (грешки). За повишаване на точността краен резултатвсякакви физическо измерениенеобходимо е да се направи не един, а няколко пъти при едни и същи експериментални условия.

В резултат на i-то измерване (i е числото на измерване) на стойността "X" се получава приблизително число X i, което се различава от истинска стойност Hist с някаква стойност ∆Х i = |Х i – Х|, което е грешка или с други думи грешка. Истинската грешка не ни е известна, тъй като не знаем истинската стойност на измерената стойност. Истинската стойност на измерената физична величина се намира в интервала

Х i – ∆Х< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

където X i е стойността на стойността X, получена по време на измерването (т.е. измерената стойност); ∆X е абсолютната грешка при определяне на стойността на X.

Абсолютна грешка (грешка) на измерване ∆X е абсолютната стойност на разликата между истинската стойност на измерената величина Xist и резултата от измерването X i: ∆X = |X ist - X i |.

Относителна грешка (грешка) измерване δ (характеризиращо точността на измерване) е числено равно на съотношението на абсолютната грешка на измерване ∆X към истинската стойност на измерената стойност X sist (често се изразява като процент): δ \u003d (∆X / X sist) 100% .

Грешките или грешките при измерване могат да бъдат разделени на три класа: систематични, случайни и груби (пропуски).

Систематиченнаричат ​​такава грешка, която остава постоянна или естествено (според някаква функционална зависимост) се променя при многократни измервания на едно и също количество. Такива грешки произтичат от характеристики на дизайнасредства за измерване, недостатъци на приетия метод на измерване, евентуални пропуски на експериментатора, влияние на външни условия или дефект в самия обект на измерване.

Във всяко измервателно устройство е присъща една или друга систематична грешка, която не може да бъде отстранена, но чийто ред може да бъде взет предвид. Систематичните грешки увеличават или намаляват резултатите от измерването, т.е. тези грешки се характеризират с постоянен знак. Например, ако по време на претеглянето една от тежестите има маса с 0,01 g повече от посочената върху нея, тогава намерената стойност на телесното тегло ще бъде надценена с тази сума, независимо колко измервания са направени. Понякога системните грешки могат да бъдат взети предвид или елиминирани, понякога това не може да се направи. Например, фаталните грешки включват грешки на инструмента, за които можем да кажем само, че не надвишават определена стойност.

Случайни грешки наречени грешки, които променят своята величина и знак по непредвидим начин от опит в опит. Появата на случайни грешки се дължи на действието на множество разнообразни и неконтролируеми причини.

Например, при теглене с везна, тези причини могат да бъдат вибрации на въздуха, утаени прахови частици, различно триене в лявото и дясното окачване на чашите и т.н. Случайните грешки се проявяват във факта, че след измерване на същата стойност на X същите експериментални условия, ние различни стойности: X1, X2, X3,…, X i,…, X n, където X i е резултатът от i-тото измерване. Не е възможно да се установи някаква закономерност между резултатите, затова се взема предвид резултатът от i -тото измерване на X случайна величина. Случайни грешки могат определено влияниедо едно измерване, но при множество измервания те се подчиняват статистически законии тяхното влияние върху резултатите от измерването може да бъде взето предвид или значително намалено.

Пропуски и гафове- прекомерно големи грешки, което ясно изкривява резултата от измерването. Този клас грешки най-често се причинява от неправилни действия на експериментатора (например, поради невнимание, вместо четенето на устройството „212“ се изписва съвсем различно число - „221“). Измерванията, съдържащи пропуски и груби грешки, трябва да се отхвърлят.

Измерванията по отношение на тяхната точност могат да се извършват с технически и лабораторни методи.

При използване на технически методи измерването се извършва еднократно. В този случай те се задоволяват с такава точност, при която грешката не надвишава някаква предварително определена зададена стойностопределя се от грешката на използваното измервателно оборудване.

При лабораторни методиизмервания, се изисква да се посочи стойността на измерената величина по-точно, отколкото позволява еднократното й измерване технически метод. В този случай се правят няколко измервания и се изчислява средноаритметичната стойност на получените стойности, която се приема като най-надеждната (истинска) стойност на измерената стойност. След това се оценява точността на резултата от измерването (отчитане на случайни грешки).

От възможността за извършване на измервания по два метода следва наличието на два метода за оценка на точността на измерванията: технически и лабораторен.

Един от най важни въпросив числения анализ е въпросът как грешката, която възниква на определено място в хода на изчисленията, се разпространява по-нататък, т.е. дали нейното влияние става по-голямо или по-малко с извършването на последващи операции. Краен случай е изваждането на две почти равни числа: дори при много малки грешки на двете числа, относителната грешка на разликата може да бъде много голяма. Такава относителна грешка ще се разпространява по-нататък във всички следващи аритметични операции.

Един от източниците на изчислителни грешки (грешки) е приблизителното представяне реални числав компютър, поради ограничеността на битовата мрежа. Въпреки че първоначалните данни се представят в компютър с висока точност, натрупването на грешки при закръгляване в процеса на броене може да доведе до значителна резултатна грешка и някои алгоритми могат да се окажат напълно неподходящи за реални изчисления на компютър. Можете да научите повече за представянето на реални числа в компютър.

Разпространение на грешки

Като първа стъпка в справянето с такъв проблем като разпространението на грешката е необходимо да се намерят изрази за абсолютните и относителните грешки на резултата от всяко от четирите аритметични операции като функция на количествата, включени в операцията и техните грешки.

Абсолютна грешка

Допълнение

Има две приближения и на две величини и , както и съответните абсолютни грешки и . След това, в резултат на добавяне, имаме

.

Грешката на сумата, която означаваме с , ще бъде равна на

.

Изваждане

По същия начин получаваме

.

Умножение

При умножаване имаме

.

Тъй като грешките обикновено са много по-малки от самите стойности, пренебрегваме произведението на грешките:

.

Грешката на продукта ще бъде

.

дивизия

.

Преобразуваме този израз във формата

.

Коефициентът в скоби може да бъде разширен в серия

.

Умножавайки и пренебрегвайки всички членове, които съдържат продукти от грешки или степени на грешки, по-високи от първите, имаме

.

Следователно,

.

Трябва ясно да се разбере, че знакът на грешката е известен само в много редки случаи. Не е факт например, че грешката се увеличава при събиране и намалява при изваждане, защото във формулата за събиране има плюс, а за изваждане - минус. Ако, например, грешките на две числа имат противоположни знаци, тогава ситуацията ще бъде точно обратната, тоест грешката ще намалее при добавяне и ще се увеличи при изваждане на тези числа.

Относителна грешка

След като сме извели формулите за разпространение на абсолютни грешки в четири аритметични операции, е доста лесно да изведем съответните формули за относителни грешки. За събиране и изваждане формулите бяха модифицирани, за да включват изрично относителната грешка на всяко оригинално число.

Допълнение

.

Изваждане

.

Умножение

.

дивизия

.

Започваме аритметичната операция с две приблизителни стойности и със съответните грешки и . Тези грешки могат да бъдат от всякакъв произход. Стойностите и могат да бъдат експериментални резултати, съдържащи грешки; те могат да бъдат резултати от предварително изчисление според някакъв безкраен процес и следователно могат да съдържат грешки в ограниченията; те може да са резултат от предишни аритметични операции и може да съдържат грешки при закръгляване. Естествено, те могат да съдържат и трите вида грешки в различни комбинации.

Горните формули дават израз за грешката на резултата от всяка от четирите аритметични операции като функция от ; грешка при закръгляване в това аритметична операцияпри което не е взето предвид. Ако в бъдеще ще е необходимо да се изчисли как грешката на този резултат се разпространява в следващите аритметични операции, тогава е необходимо да се изчисли грешката на резултата, изчислен по една от четирите формули добавете грешка при закръгляване отделно.

Графики на изчислителни процеси

Сега нека разгледаме един удобен начин за изчисляване на разпространението на грешката в някои аритметични изчисления. За тази цел ще изобразим последователността от операции в изчисление с помощта на брояи ще напишем коефициенти близо до стрелките на графиката, което ще ни позволи относително лесно да определим общата грешка на крайния резултат. Този метод е удобен и с това, че улеснява определянето на приноса на всяка грешка, възникнала в хода на изчисленията, към общата грешка.

Фиг. 1. Графика на изчислителен процес

На Фиг. 1е изобразена графика на изчислителния процес. Графиката трябва да се чете отдолу нагоре, следвайки стрелките. Първо се извършват операции, разположени на някакво хоризонтално ниво, след това операции, разположени на повече високо ниво, и т.н. От фиг. 1 например се вижда, че хи гпърво се добавя и след това се умножава по z. Графиката, показана в Фиг. 1, е само изображение на самия изчислителен процес. За да се изчисли общата грешка на резултата, е необходимо да се допълни тази графика с коефициенти, които са написани близо до стрелките съгласно следните правила.

Допълнение

Нека две стрелки, които влизат в кръга за събиране, излизат от два кръга със стойности и . Тези стойности могат да бъдат както първоначални, така и резултати. предишни изчисления. След това стрелката, водеща от към знака + в кръга, получава коефициента, докато стрелката, водеща от към знака + в кръга, получава коефициента.

Изваждане

Ако операцията се извърши, тогава съответните стрелки получават коефициенти и .

Умножение

И двете стрелки, включени в кръга за умножение, получават коефициент +1.

дивизия

Ако се извърши деление, тогава стрелката от към оградената наклонена черта получава коефициент +1, а стрелката от към оградената наклонена черта получава коефициент −1.

Значението на всички тези коефициенти е следното: относителната грешка на резултата от всяка операция (кръгче) се включва в резултата от следващата операция, умножена по коефициентите на стрелката, свързваща тези две операции.

Примери

Фиг.2. Графика на изчислителния процес за събиране , и

Нека сега приложим графичната техника към примери и да илюстрираме какво означава разпространението на грешката в практическите изчисления.

Пример 1

Помислете за проблема с добавянето на четири положителни числа:

, .

Графиката на този процес е показана в фиг.2. Нека приемем, че всички начални стойности са дадени точно и нямат грешки и нека , и са относителните грешки на закръгляване след всяка следваща операция на добавяне. Последователното прилагане на правилото за изчисляване на общата грешка на крайния резултат води до формулата

.

Като намалим сумата в първия член и умножим целия израз по , получаваме

.

Като се има предвид, че грешката при закръгляване е (в този случайпредполага се, че реално числов компютър е представен във формата десетична дробс Tзначими цифри), най-накрая имаме

Измерването на дадена величина е операция, в резултат на която установяваме колко пъти измерената стойност е по-голяма (или по-малка) от съответната стойност, приета за стандарт (мерна единица). Всички измервания могат да бъдат разделени на два вида: директни и индиректни.

ДИРЕКТНИ това са измервания, в които пряко интересните физическо количество(маса, дължина, времеви интервали, промяна на температурата и др.).

КОСВЕНИ - това са измервания, при които количеството, което ни интересува, се определя (изчислява) от резултатите от преките измервания на други величини, свързани с него чрез определена функционална зависимост. Например определяне на скоростта равномерно движениечрез измерване на изминатото разстояние за определен период от време, измерване на телесната плътност чрез измерване на телесна маса и обем и др.

Обща характеристика на измерванията е невъзможността да се получи истинската стойност на измереното количество, резултатът от измерването винаги съдържа някакъв вид грешка (грешка). Това се обяснява както с принципно ограничената точност на измерване, така и с естеството на самите измервани обекти. Следователно, за да се покаже колко близо е полученият резултат до истинската стойност, грешката на измерване се посочва заедно с получения резултат.

Например, измерихме фокусното разстояние на обектив f и написахме това

f = (256 ± 2) мм (1)

Това означава, че фокусното разстояние е между 254 и 258 мм. Но всъщност това равенство (1) има вероятностен смисъл. Не можем да кажем с пълна сигурност, че стойността е в посочените граници, има само известна вероятност за това, следователно равенството (1) трябва да бъде допълнено с указание за вероятността, с която това съотношение има смисъл (по-долу ще формулираме това твърдение по-точно).

Оценката на грешките е необходима, тъй като без да се знаят какви са те, е невъзможно да се направят категорични изводи от експеримента.

Обикновено се изчисляват абсолютната и относителната грешка. Абсолютната грешка Δx е разликата между истинската стойност на измерената величина μ и резултата от измерването x, т.е. Δx = μ - x

Отношението на абсолютната грешка към истинската стойност на измерената стойност ε = (μ - x)/μ се нарича относителна грешка.

Абсолютната грешка характеризира грешката на метода, който е избран за измерване.

Относителната грешка характеризира качеството на измерванията. Точността на измерване е реципрочната на относителната грешка, т.е. 1/ε.

§ 2. Класификация на грешките

Всички грешки при измерване са разделени на три класа: пропуски (груби грешки), систематични и случайни грешки.

ЗАГУБАТА се причинява от рязко нарушаване на условията на измерване при индивидуални наблюдения. Това е грешка, свързана с удар или счупване на устройството, груба грешка в изчисленията на експериментатора, непредвидена намеса и др. една груба грешка обикновено се появява в не повече от едно или две измерения и рязко се различава по големина от другите грешки. Наличието на пропуск може значително да изкриви резултата, съдържащ пропуска. Най-лесният начин е да установите причината за приплъзването и да я отстраните по време на процеса на измерване. Ако пропускът не е бил изключен по време на процеса на измерване, тогава това трябва да се направи при обработката на резултатите от измерването, като се използват специални критерии, които позволяват обективно разграничаване във всяка серия от наблюдения гафако съществува.

Систематичната грешка е компонент на грешката на измерване, който остава постоянен и редовно се променя по време на повтарящи се измервания на една и съща стойност. Систематични грешки възникват, ако не се вземе предвид напр. топлинно разширениепри измерване на обема на течност или газ, произведени при бавно променяща се температура; ако при измерване на масата не се вземе предвид ефектът на подемната сила на въздуха върху претегленото тяло и върху тежестите и др.

Системни грешки се наблюдават, ако мащабът на линийката е нанесен неточно (неравномерно); капилярката на термометъра в различни части има различно напречно сечение; с отсъствие електрически токпрез амперметъра, стрелката на уреда не е на нула и т.н.

Както се вижда от примерите, систематична грешкасе причинява от определени причини, стойността му остава постоянна (нулево отместване на скалата на инструмента, неравномерни скали) или се променя според определен (понякога доста сложен) закон (неравномерност на скалата, неравномерно напречно сечение на капилярен термометър и др.).

Можем да кажем, че системната грешка е смекчен израз, който замества думите "грешка на експериментатора".

Тези грешки възникват, защото:

1. неточни измервателни уреди;
2. реалната инсталация е малко по-различна от идеалната;
3. теорията на явлението не е съвсем вярна, т.е. никакви ефекти не са взети предвид.

Знаем какво да правим в първия случай, необходимо е калибриране или градуиране. В други два случая готова рецептане съществува. Колкото по-добре познавате физиката, колкото повече опит имате, толкова по-вероятно е да откриете подобни ефекти и следователно да ги елиминирате. Общи правила, няма рецепти за идентифициране и отстраняване на системни грешки, но може да се направи известна класификация. Различаваме четири вида систематични грешки.

1. Систематични грешки, чието естество ви е известно и стойността може да бъде намерена, следователно, изключени чрез въвеждането на изменения. Пример.Претегляне на неравни везни. Нека разликата на дължините на ръцете е 0,001 мм. С дължина на кобилицата 70 мми телесно тегло 200 Жсистематичната грешка ще бъде 2,86 мг. Систематичната грешка на това измерване може да бъде елиминирана чрез прилагане специални методипретегляне (метод на Гаус, метод на Менделеев и др.).
2. Системни грешки, за които се знае, че са по-малко от определено определена стойност. В този случай, когато записвате отговор, те могат да бъдат посочени максимална стойност. Пример.Паспортът, прикрепен към микрометъра, гласи: „Допустимата грешка е ± 0,004 мм. Температура +20 ± 4 ° C. Това означава, че чрез измерване на размерите на тялото с този микрометър при температурите, посочени в паспорта, ще имаме абсолютна грешка, не повече от ± 0,004 ммза всякакви резултати от измерване.

   Често максималната абсолютна грешка, дадена от даден уред, се обозначава с класа на точност на уреда, който се изобразява на скалата на уреда със съответното число, взето най-често в кръг.

   Числото, указващо класа на точност, показва максималната абсолютна грешка на инструмента, изразена като процент от най-голямата стойностизмерената стойност включена горен лимитвезни.

   Нека при измерванията се използва волтметър със скала от 0 до 250 AT, неговият клас на точност е 1. Това означава, че максималната абсолютна грешка, която може да се направи при измерване с този волтметър, няма да бъде повече от 1% от най-високата стойност на напрежението, която може да бъде измерена на тази скала на инструмента, с други думи:

   δ = ±0,01 250 AT= ±2,5 AT.

   Класът на точност на електрическите измервателни уреди определя максималната грешка, чиято стойност не се променя при движение от началото към края на скалата. В този случай относителната грешка се променя драстично, тъй като инструментите осигуряват добра точност, когато стрелката се отклонява почти до цялата скала и не я дава при измерване в началото на скалата. Оттук и препоръката: изберете инструмента (или скалата на многодиапазонния инструмент), така че стрелката на инструмента по време на измервания да излиза извън средата на скалата.

   Ако класът на точност на устройството не е посочен и няма паспортни данни, тогава половината от цената на най-малкото деление на устройството се приема като максимална грешка на устройството.

   Няколко думи за точността на владетелите. Металните линийки са много точни: милиметровите деления се прилагат с грешка не повече от ±0,05 мм, а сантиметровите са не по-лоши от с точност до 0,1 мм. Грешката на измерванията, направени с точността на такива линийки, е практически равна на грешката при четене с око (≤0,5 мм). По-добре е да не използвате дървени и пластмасови владетели, техните грешки могат да се окажат неочаквано големи.

   Работният микрометър осигурява точност от 0,01 мм, а грешката при измерване с шублер се определя от точността, с която може да се направи отчитане, т.е. нониус точност (обикновено 0,1 ммили 0,05 мм).

3. Систематични грешки, дължащи се на свойствата на измервания обект. Тези грешки често могат да бъдат сведени до случайни. Пример.. Определя се електропроводимостта на някакъв материал. Ако за такова измерване се вземе парче тел, което има някакъв вид дефект (удебеляване, пукнатина, нехомогенност), тогава ще бъде направена грешка при определяне на електрическата проводимост. Повтарянето на измерванията дава една и съща стойност, т.е. има някаква системна грешка. Нека измерим съпротивлението на няколко сегмента от такъв проводник и да намерим средната стойност на електрическата проводимост на този материал, която може да бъде по-голяма или по-малка от електрическата проводимост на отделните измервания, следователно грешките, направени в тези измервания, могат да бъдат приписани до така наречените случайни грешки.
4. Системни грешки, чието съществуване не е известно. Пример.. Определете плътността на всеки метал. Първо, намерете обема и масата на пробата. Вътре в пробата има празнота, за която не знаем нищо. Ще бъде направена грешка при определяне на плътността, която ще се повтори за произволен брой измервания. Даденият пример е прост, източникът на грешката и нейната величина могат да бъдат определени без особени затруднения. Грешки от този тип могат да бъдат открити с помощта на допълнителни изследвания, като се извършват измервания по напълно различен метод и при различни условия.

RANDOM е компонентът на грешката на измерване, който се променя произволно при повтарящи се измервания на една и съща стойност.

Когато се извършват многократни измервания на едно и също постоянно, непроменливо количество с еднаква грижа и при едни и същи условия, ние получаваме резултати от измерване, някои от които се различават един от друг, а някои от тях съвпадат. Такива несъответствия в резултатите от измерванията показват наличието на случайни компоненти на грешката в тях.

Случайната грешка възниква от едновременното действие на много източници, всеки от които сам по себе си има незабележим ефект върху резултата от измерването, но общият ефект на всички източници може да бъде доста силен.

Случайна грешка може да приеме различни абсолютни стойности, които не могат да бъдат предвидени за даден акт на измерване. Тази грешка може еднакво да бъде както положителна, така и отрицателна. В експеримента винаги присъстват случайни грешки. При липса на систематични грешки, те причиняват разсейване на повтарящите се измервания около истинската стойност ( фиг.14).

Ако в допълнение има систематична грешка, тогава резултатите от измерването ще бъдат разпръснати по отношение не на истинската, а на отклонената стойност ( фиг.15).

Ориз. 14 Фиг. петнадесет

Да приемем, че с помощта на хронометър измерваме периода на трептене на махалото и измерването се повтаря многократно. Грешки при стартиране и спиране на хронометъра, грешка в еталонната стойност, малко неравномерно движение на махалото, всичко това причинява разсейване в резултатите от многократните измервания и следователно може да се класифицира като случайни грешки.

Ако няма други грешки, тогава някои резултати ще бъдат донякъде надценени, докато други ще бъдат леко подценени. Но ако в допълнение към това часовникът изостава, тогава всички резултати ще бъдат подценени. Това вече е системна грешка.

Някои фактори могат да причинят както систематични, така и случайни грешки едновременно. Така че, като включваме и изключваме хронометъра, можем да създадем малък неравномерен спред в моментите на стартиране и спиране на часовника спрямо движението на махалото и по този начин да въведем случайна грешка. Но ако освен това всеки път, когато бързаме да включим хронометъра и закъсняваме с изключването му, това ще доведе до системна грешка.

Случайните грешки се дължат на грешка на паралакса при отчитане на деленията на скалата на инструмента, разклащане на основата на сградата, влияние на леко движение на въздуха и др.

Въпреки че е невъзможно да се изключат случайни грешки на отделните измервания, математическата теория на случайните явления ни позволява да намалим влиянието на тези грешки върху крайния резултат от измерването. По-долу ще бъде показано, че за това е необходимо да се направят не едно, а няколко измервания и колкото по-малка стойност на грешката искаме да получим, толкова повече измерениятрябва да бъдат извършени.

Трябва да се има предвид, че ако случайната грешка, получена от данните от измерването, се окаже значително по-малка от грешката, определена от точността на инструмента, тогава очевидно няма смисъл да се опитваме допълнително да намалим величината на така или иначе случайна грешка, резултатите от измерването няма да станат по-точни от това.

Напротив, ако случайната грешка е по-голяма от инструменталната (систематична) грешка, тогава измерването трябва да се извърши няколко пъти, за да се намали стойността на грешката за дадена поредица от измервания и да направи тази грешка по-малка от или с един порядък величина с грешката на инструмента.