Какво представляват стационарните точки на функция. Критични точки на функция

Стационарни точки на функция. Необходимо условиелокален екстремум на функцията

Първо достатъчно условиелокален екстремум

Второто и третото достатъчни условия за локален екстремум

Най-малката и най-голямата стойност на функция в сегмент

Изпъкнали функции и инфлексни точки

1. Стационарни точки на функция. Необходимо условие за локален екстремум на функция

Определение 1 . Нека функцията е дефинирана на
. Точка се нарича стационарна точка на функцията
, ако
диференцирани в точка и
.

Теорема 1 (необходимо условие за локален екстремум на функция) . Нека функцията
определени на
и има в точката
местен екстрем. Тогава е изпълнено едно от следните условия:

По този начин, за да се намерят точки, които са съмнителни за екстремум, е необходимо да се намерят стационарни точки на функцията и точки, в които производната на функцията не съществува, но които принадлежат към домейна на функцията.

Пример . Позволявам
. Намерете точки за него, които са съмнителни за екстремум. За да разрешим проблема, първо намираме домейна на функцията:
. Сега намираме производната на функцията:

Точки, в които производната не съществува:
. Стационарни функционални точки:

Защото и
, и
принадлежат към домейна на дефиницията на функцията, тогава и двете ще бъдат подозрителни за екстремум. Но за да се заключи дали наистина ще има екстремум, е необходимо да се приложат достатъчни условия за екстремума.

2. Първо достатъчно условие за локален екстремум

Теорема 1 (първо достатъчно условие за локален екстремум) . Нека функцията
определени на
и се диференцира на този интервал навсякъде, освен евентуално в точката
, но в този момент функция
е непрекъснато. Ако съществуват такива десни и леви полуоколности на точка , във всяка от които
запазва определен знак, тогава

1) функция
има локален екстремум в точката , ако
приема стойности на различни знаци в съответните полу-околности;

2) функция
няма локален екстремум в точката , ако отдясно и отляво на точката
има същия знак.

Доказателство . 1) Да приемем, че в полу-съседство
производна
, и в

.

Така в точката функция
има локален екстремум, а именно, локален максимум, което трябваше да се докаже.

2) Да предположим, че отляво и отдясно на точката производната запазва знака си, например,
. След това на
и
функция
строго монотонно нарастващ, тоест:

Така екстремумът в точката функция
не, което трябваше да се докаже.

Забележка 1 . Ако производната
при преминаване през точка променя знака от "+" на "-", след това в точката функция
има локален максимум и ако знакът се промени от "-" на "+", тогава локален минимум.

Забележка 2 . Важно условие е непрекъснатостта на функцията
в точката . Ако това условие не е изпълнено, тогава теорема 1 може да не е валидна.

Пример . Разглежда се функцията (фиг. 1):

Тази функция е дефинирана на и е непрекъсната навсякъде с изключение на точката
, където има отстраняемо прекъсване. При преминаване през точка

променя знака от "-" на "+", но функцията няма локален минимум в тази точка, но има локален максимум по дефиниция. Наистина, близо до точката
възможно е да се конструира такъв квартал, че за всички аргументи от този квартал стойностите на функцията ще бъдат по-малки от стойността
. Теорема 1 не работи, защото в точката
функцията имаше прекъсване.

Забележка 3 . Първото достатъчно локално екстремално условие не може да се използва, когато производната на функцията
променя знака си във всяка лява и всяка дясна полуоколност на точката .

Пример . Разглежданата функция е:

Тъй като
, тогава
, и следователно
, но
. По този начин:

,

тези. в точката
функция
То има местен минимумпо дефиниция. Нека да видим дали тук работи първото достатъчно условие за локален екстремум.

За
:

За първия член от дясната страна на получената формула имаме:

,

и следователно в малък квартал на точката
знакът на производната се определя от знака на втория член, тоест:

,

което означава, че във всяка околност на точката

ще приеме както положителни, така и отрицателни стойности. Наистина, разгледайте произволна околност на точката
:
. Кога

,

тогава

(фиг. 2) и променя знака си тук безкрайно много пъти. По този начин първото достатъчно условие за локален екстремум не може да се използва в горния пример.

Определения:

екстремумнаречен максимум минимална стойностфункции на дадено множество.

крайна точкае точката, в която се достига максималната или минималната стойност на функцията.

Максимална точкае точката, в която се достига максималната стойност на функцията.

Ниска точкае точката, в която се достига минималната стойност на функцията.

Обяснение.

На фигурата, в близост до точката x = 3, функцията достига максималната си стойност (т.е. в близост до тази конкретна точка няма по-висока точка). В околността на x = 8 тя отново има максимална стойност (отново, нека поясним: точно в тази околност няма точка отгоре). В тези точки увеличението се заменя с намаление. Те са максимални точки:

xmax = 3, xmax = 8.

В близост до точката x = 5 се достига минималната стойност на функцията (т.е. в близост до x = 5 няма точка отдолу). В този момент намалението се заменя с увеличение. Това е минималната точка:

Максималните и минималните точки са екстремни точки на функцията, а стойностите на функцията в тези точки са нейни крайности.

Критични и стационарни точки на функцията:

Необходимо условие за екстремум:

Достатъчно условие за екстремум:

На сегмента, функцията г = f(х) може да достигне своята минимална или максимална стойност или в критични точки, или в краищата на сегмента.

Алгоритъм на изследване непрекъсната функция г = f(х) за монотонност и екстремуми:

Домейн на функция, изчисляване на нейната производна, намиране на домейн на производна на функция, намиране точкипреобразуване на производната в нула, докажете, че намерените точки принадлежат към областта на дефиниране на оригиналната функция.

Пример 1 Идентифициране на критично точкифункции y = (x - 3)² (x-2).

Решение Намерете обхвата на функцията, в този случайбез ограничения: x ∈ (-∞; +∞); Изчислете производната y’. Според правилата за диференциране на произведението от две има: y' = ((x - 3)²)' (x - 2) + (x - 3)² (x - 2)' = 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3)² 1. След като се окаже квадратно уравнение: y' = 3 x² - 16 x + 21.

Намерете домейна на производната на функцията: x ∈ (-∞; +∞) Решете уравнението 3 x² - 16 x + 21 = 0, за да намерите за кое се равнява на нула: 3 x² - 16 x + 21 = 0 .

D \u003d 256 - 252 = 4x1 \u003d (16 + 2) / 6 \u003d 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3, така че производната изчезва за стойности на x, равни на 3 и 7/3.

Определете дали намерените принадлежат точкидомейни на оригиналната функция. Тъй като x (-∞; +∞), тогава и двете точкиса критични.

Пример 2 Идентифициране на критично точкифункции y = x² - 2/x.

Решение Домейн на функцията: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), тъй като x е в знаменателя. Изчислете производната y’ = 2 x + 2/x².

Домейнът на производната на функцията е същият като този на оригинала: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Решете уравнението 2 x + 2/x² = 0:2 x = -2 /x² → x = -едно.

И така, производната изчезва при x = -1. Необходимо, но недостатъчно условие за критичност е изпълнено. Тъй като x=-1 попада в интервала (-∞; 0) ∪ (0; +∞), тази точка е критична.

източници:

• Критичен обем на продажбите, pcsThreshold

Много жени страдат от предменструален синдром, който се проявява не само с болезнени усещания, но и с повишен апетит. В резултат на това критичните дни могат значително да забавят процеса на отслабване.

Причини за повишен апетит по време на критични дни

Причината за повишаване на апетита в периода на критичните дни е промяна в общия хормонален фон в женското тяло. Няколко дни преди началото на менструацията нивото на хормона прогестерон се повишава, тялото се настройва на възможното и се опитва да направи допълнителни резерви от енергия под формата на телесни мазнини, дори ако жената седи. По този начин промяната в теглото в критични дни е нормално явление.

Как да се храним по време на менструация

Опитайте се да не ядете сладкиши, сладкарски изделия и други висококалорични храни, съдържащи "бързи" тези дни. Техният излишък веднага ще се отложи в мазнини. Много жени през този период наистина искат да ядат шоколад, в този случай можете да си купите черен шоколад и да се поглезите с няколко резена, но не повече. Да не се използва по време на менструация алкохолни напитки, маринати, туршии, пушени меса, семена и ядки. Туршиите и пушените меса обикновено трябва да бъдат ограничени в диетата 6-8 дни преди началото на менструацията, тъй като такива продукти увеличават водните резерви в организма и този период се характеризира с увеличаване на натрупването на течност. За да намалите количеството сол в диетата си, добавете я към минимално количествов готови ястия.

Препоръчително е да се използват нискомаслени млечни продукти, растителни храни, зърнени храни. Бобови растения, варени картофи, ориз ще бъдат полезни - продукти, които съдържат "бавни" въглехидрати. Морски дарове, черен дроб, риба, говеждо месо, птици, яйца, бобови растения, сушени плодове ще помогнат за попълване на загубата на желязо. Пшеничните трици ще бъдат полезни. естествена реакцияпо време на менструация са подуване. Леките диуретични билки ще помогнат за коригиране на състоянието: босилек, копър, магданоз, целина. Те могат да се използват като подправка. През втората половина на цикъла се препоръчва да се консумират протеинови продукти (постно месо и риба, млечни продукти), а количеството на въглехидратите в диетата трябва да се намали възможно най-много.

икономическа концепциякритичен обем продажбисъответства на позицията на предприятието на пазара, при която приходите от продажба на стоки са минимални. Тази ситуация се нарича точка на рентабилност, когато търсенето на продукти пада и печалбите едва покриват разходите. За определяне на критичния обем продажбиизползвайте няколко метода.

Инструкция

Цикълът на работа не се ограничава до неговите дейности - производство или услуги. Това е сложна работа на определена структура, включваща работата на ключов персонал, управленски персонал, мениджъри и др., Както и икономисти, чиято задача е финансовият анализ на предприятието.

Целта на този анализ е да се изчислят някои величини, които в една или друга степен влияят върху размера на крайната печалба. то различни видовеобеми на производство и продажби, пълни и средни, показатели за търсене и др. Основната задача е да се определи такъв обем на производството, при който се установява стабилна връзка между разходите и печалбите.

Минимален обем продажби, при който приходите покриват изцяло разходите, но не увеличават собствения капитал на фирмата, се нарича критичен обем продажби. Има три метода за изчисляване на метода на този показател: метод на уравнения, пределен доход и графичен.

За определяне на критичния обем продажбиспоред първия метод направете уравнение под формата: Vp - Zper - Zpos \u003d Pp \u003d 0, където: Vp - приходи от продажбии Zper и Zpos - променливи и постоянни разходи Pp - печалба от продажбии.

Според друг метод, първият термин, приходи от продажби, представляват като произведение на пределния доход от единица стоки по обема продажбиСъщото важи и за променливите разходи. Фиксираните разходи се прилагат за цялата партида стоки, така че оставете този компонент общ: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

Изразете стойността на N от това уравнение и ще получите критичния обем продажби:N = Zpos / (MD - Zper1), където Zper1 - променливи разходи за единица стока.

Графичен методвключва изграждане. Приложи към координатна равнинадва реда: функция на приходите от продажбиминус функцията на разходите и печалбата. По абсцисната ос се нанася обемът на производството, а по ординатната ос - доходът от съответното количество стоки, изразен в парични единици. Пресечната точка на тези линии съответства на критичния обем продажби, позицията на рентабилност.

източници:

• как да идентифицираме критичната работа

Критично мисленее набор от съждения, въз основа на които се формират определени изводи и се прави оценка на обектите на критика. Това е особено характерно за изследователи и учени от всички клонове на науката. Критичното мислене заема по-високо ниво от обикновеното мислене.

Стойността на опита във формирането на критично мислене

Трудно е да анализираш и да правиш изводи за това, което не разбираш добре. Следователно, за да се научим да мислим критично, е необходимо да изучаваме обектите във всички възможни връзки и отношения с други явления. Както и голямо значениев този случай той притежава информация за такива обекти, способността да изгражда логически вериги от преценки и да прави разумни заключения.

Например преценете стойността произведение на изкуствотое възможно само чрез познаване на достатъчно други плодове литературна дейност. В същото време не е лошо да сте познавач на историята на развитието на човечеството, формирането на литературата и литературна критика. Далече от исторически контекстпроизведението може да загуби предназначението си. За да бъде оценката на едно художествено произведение достатъчно пълна и обоснована, е необходимо да използвате и своите литературни познания, които включват правилата за конструиране художествен текств рамките на отделните жанрове, система от различни литературни средства, класификация и анализ съществуващи стиловеи тенденции в литературата и др. В същото време е важно да се изучава вътрешната логика на сюжета, последователността от действия, разположението и взаимодействието на героите в произведението на изкуството.

Характеристики на критичното мислене

Други характеристики на критичното мислене включват:
- знанието за изучавания обект е само отправна точка за по-нататък мозъчна дейностсвързани с изграждането на логически вериги;
- последователно изградени и базирани на здрав разумразсъжденията водят до идентифициране на вярна и погрешна информация за обекта на изследване;
- критичното мислене винаги е свързано с оценката на наличната информация за даден обекти съответните заключения, оценката от своя страна е свързана с вече наличните умения.

За разлика от обикновеното мислене, критичното не е подчинено на сляпа вяра. Критичното мислене позволява цялата системасъждения за обекта на критика, за да се разбере същността му, да се разкрие истинско знаниеза това и опровергайте неверните. Тя се основава на логиката, дълбочината и пълнотата на изследването, истинността, адекватността и последователността на преценките. В същото време очевидните и доказани твърдения се приемат като постулати и не изискват повторно доказване и оценка.

Критични точки са точките, в които производната на функцията е равна на нула или не съществува. Ако производната е 0, тогава функцията в тази точка взема локален минимум или максимум. На графиката в такива точки функцията има хоризонтална асимптота, тоест допирателната е успоредна на оста x.

Такива точки се наричат стационарен. Ако видите „гърбица“ или „дупка“ на непрекъсната функционална диаграма, не забравяйте, че максимумът или минимумът е достигнат в критичната точка. Разгледайте следната задача като пример.

Пример 1 Намерете критичните точки на функцията y=2x^3-3x^2+5 .
Решение. Алгоритъмът за намиране на критични точки е както следва:

Така че функцията има две критични точки.

Освен това, ако трябва да изучите функцията, тогава определяме знака на производната отляво и отдясно на критичната точка. Ако производната промени знака от "-" на "+" при преминаване през критична точка, тогава функцията приема местен минимум. Ако от "+" до "-" трябва локален максимум.

Вторият тип критични точкитова са нулите на знаменателя на дробни и ирационални функции

Функции с логаритми и тригонометрия, които не са дефинирани в тези точки


Третият тип критични точкиимат частично непрекъснати функции и модули.
Например всяка модулна функция има минимум или максимум в точка на прекъсване.

Например модул y = | x -5 | в точката x = 5 има минимум (критична точка).
Производната не съществува в него, но отдясно и отляво приема съответно 1 и -1.

Опитайте се да идентифицирате критичните точки на функциите

1)
2)
3)
4)
5)

Ако в отговор получите стойността
1) х=4;
2) x=-1;x=1;
3) х=9;
4) x=Pi*k;
5) х=1.
тогава вече знаеш как да намерите критични точкии да могат да се справят с обикновен контрол или тестове.

Помислете за следната фигура.

Той показва графиката на функцията y = x^3 - 3*x^2. Помислете за някакъв интервал, съдържащ точката x = 0, например от -1 до 1. Такъв интервал се нарича още околност на точката x = 0. Както можете да видите на графиката, в тази околност функцията y = x^ 3 - 3*x^2 вземания най-висока стойностточно в точката x = 0.

Максимум и минимум на функция

В този случай точката x = 0 се нарича максимална точка на функцията. По аналогия с това, точката x = 2 се нарича минимална точка на функцията y = x^3 - 3*x^2. Защото има такъв квартал на тази точка, в който стойността в тази точка ще бъде минимална сред всички останали стойности от този квартал.

точка максимумфункция f(x) се нарича точка x0, при условие че има околност на точката x0, така че за всички x, които не са равни на x0 от тази околност, неравенството f(x)< f(x0).

точка минимумфункция f(x) се нарича точка x0, при условие че има околност на точката x0, така че за всички x, които не са равни на x0 от тази околност, неравенството f(x) > f(x0) е изпълнено.

В точките на максимум и минимум на функциите стойността на производната на функцията е равна на нула. Но това не е достатъчно условие за съществуването на функция в максимална или минимална точка.

Например функцията y = x^3 в точката x = 0 има производна, равна на нула. Но точката x = 0 не е минималната или максималната точка на функцията. Както знаете, функцията y = x^3 нараства по цялата реална ос.

По този начин минималните и максималните точки винаги ще бъдат сред корена на уравнението f’(x) = 0. Но не всички корени на това уравнение ще бъдат максимални или минимални точки.

Стационарни и критични точки

Точките, в които стойността на производната на дадена функция е равна на нула, се наричат ​​стационарни точки. Може също да има точки на максимум или минимум в точки, където производната на функцията изобщо не съществува. Например y = |x| в точката x = 0 има минимум, но производната не съществува в тази точка. Тази точка ще бъде критичната точка на функцията.

Критичните точки на функция са точките, в които производната е равна на нула или производната не съществува в тази точка, тоест функцията в тази точка е недиференцируема. За да се намери максимумът или минимумът на функция, трябва да е изпълнено достатъчно условие.

Нека f(x) е някаква функция, диференцируема на интервала (a;b). Точката x0 принадлежи на този интервал и f'(x0) = 0. Тогава:

1. ако при преминаване през стационарната точка x0 функцията f (x) и нейната производна променят знака от „плюс“ на „минус“, тогава точката x0 е максималната точка на функцията.

2. ако при преминаване през стационарната точка x0 функцията f (x) и нейната производна сменят знака от „минус“ на „плюс“, тогава точката x0 е минималната точка на функцията.