Какво означава безкрайна десетична периодична дроб. Десетични знаци, определения, запис, примери, действия с десетични знаци

Още в началното училище учениците се сблъскват с дроби. И тогава се появяват във всяка тема. Невъзможно е да забравите действия с тези числа. Следователно трябва да знаете цялата информация за обикновените и десетичните дроби. Тези концепции са прости, основното е да разберете всичко в ред.

Защо са необходими дроби?

Светът около нас се състои от цели обекти. Следователно няма нужда от акции. Но ежедневието постоянно тласка хората да работят с части от предмети и неща.

Например, шоколадът се състои от няколко резена. Помислете за ситуацията, в която неговата плочка е образувана от дванадесет правоъгълника. Ако го разделите на две, получавате 6 части. Ще бъде добре разделена на три. Но петимата няма да могат да дадат цял ​​брой резени шоколад.

Между другото, тези резени вече са дроби. И по-нататъшното им разделяне води до появата на по-сложни числа.

Какво е "фракция"?

Това е число, състоящо се от части на едно. Външно изглежда като две числа, разделени с хоризонтална или наклонена черта. Тази характеристика се нарича фракционна. Числото, написано отгоре (вляво), се нарича числител. Този отдолу (вдясно) е знаменателят.

Всъщност дробната черта се оказва знак за деление. Тоест числителят може да се нарече дивидент, а знаменателят - делител.

Какво представляват дробите?

В математиката има само два вида от тях: обикновени и десетични дроби. Учениците се запознават с първите в началните класове, наричайки ги просто „дроби“. Вторите учат в 5 клас. Тогава се появяват тези имена.

Обикновени дроби са всички тези, които са записани като две числа, разделени с черта. Например 4/7. Десетично е число, в което дробната част има позиционен запис и е отделена със запетая от цялото число. Например 4.7. Учениците трябва да са наясно, че двата дадени примера са напълно различни числа.

Всяка проста дроб може да бъде записана като десетична дроб. Това твърдение почти винаги е вярно и обратното. Има правила, които ви позволяват да запишете десетична дроб като обикновена дроб.

Какви подвидове имат тези видове дроби?

По-добре е да започнете в хронологичен ред, тъй като те се изучават. На първо място са обикновените дроби. Сред тях могат да се разграничат 5 подвида.

Правилно. Числителят му винаги е по-малък от знаменателя.

погрешно Числителят му е по-голям или равен на знаменателя.

Редуцируем/нередуцируем. Може да е както правилно, така и грешно. Друго нещо е важно дали числителят и знаменателят имат общи множители. Ако има, тогава те трябва да разделят двете части на дробта, тоест да я намалят.

Смесени. Цяло число се присвоява на обичайната му правилна (неправилна) дробна част. И винаги стои отляво.

Композитен. Образува се от две фракции, разделени една на друга. Тоест, той има три дробни характеристики наведнъж.

Десетичните числа имат само два подвида:

окончателен, т.е. този, в който дробната част е ограничена (има край);

infinite - число, чиито цифри след десетичната запетая не завършват (могат да се пишат безкрайно).

Как да преобразувам десетични числа в обикновени?

Ако това е крайно число, тогава се прилага асоциация по правилото - както чувам, така и пиша. Тоест, трябва да го прочетете правилно и да го запишете, но без запетая, но с дробна черта.

Като намек за необходимия знаменател, не забравяйте, че той винаги е една и няколко нули. Последните трябва да бъдат записани толкова, колкото са цифрите в дробната част на въпросното число.

Как да конвертирате десетични дроби в обикновени, ако цялата им част липсва, тоест е равна на нула? Например 0,9 или 0,05. След прилагане на посоченото правило се оказва, че трябва да напишете нула цели числа. Но не е посочено. Остава да запишем само дробните части. За първото число знаменателят ще бъде 10, за второто - 100. Тоест посочените примери ще имат числа като отговори: 9/10, 5/100. Освен това последното се оказва възможно да се намали с 5. Следователно резултатът за него трябва да бъде записан 1/20.

Как да направим обикновена дроб от десетична, ако цялата й част е различна от нула? Например 5,23 или 13,00108. И двата примера четат цялата част и записват нейната стойност. В първия случай това е 5, във втория 13. След това трябва да преминете към дробната част. С тях е необходимо да се извърши същата операция. Първото число има 23/100, второто има 108/100000. Втората стойност трябва да се намали отново. Отговорът е смесени дроби: 5 23/100 и 13 27/25000.

Как да преобразувам безкраен десетичен знак в обикновена дроб?

Ако е непериодично, тогава такава операция не може да се извърши. Този факт се дължи на факта, че всяка десетична дроб винаги се преобразува или в крайна, или в периодична.

Единственото нещо, което е позволено да се направи с такава дроб е да се закръгли. Но тогава десетичната запетая ще бъде приблизително равна на тази безкрайност. Вече може да се превърне в обикновен. Но обратният процес: преобразуване в десетична - никога няма да даде първоначалната стойност. Тоест безкрайните непериодични дроби не се превеждат в обикновени дроби. Това трябва да се помни.

Как да напишем безкрайна периодична дроб под формата на обикновена?

В тези числа след десетичната запетая винаги се появяват една или повече цифри, които се повтарят. Те се наричат ​​периоди. Например 0,3(3). Тук "3" в периода. Те се класифицират като рационални, тъй като могат да бъдат превърнати в обикновени дроби.

Тези, които са се сблъсквали с периодични фракции, знаят, че те могат да бъдат чисти или смесени. В първия случай точката започва веднага от запетаята. Във втория дробната част започва с произволни числа и след това започва повторението.

Правилото, по което трябва да напишете безкраен десетичен знак под формата на обикновена дроб, ще бъде различно за тези два вида числа. Доста лесно е да напишете чисти периодични дроби като обикновени дроби. Както при последните, те трябва да бъдат преобразувани: запишете точката в числителя, а числото 9 ще бъде знаменателят, като се повтаря толкова пъти, колкото цифри има в периода.

Например 0,(5). Числото няма цяло число, така че трябва незабавно да преминете към дробната част. В числителя напишете 5, а в знаменателя - 9. Тоест отговорът ще бъде дробта 5/9.

Правило как да напишете обикновена десетична дроб, която е смесена дроб.

Вижте продължителността на периода. Толкова 9 ще има знаменател.

Запишете знаменателя: първо деветки, след това нули.

За да определите числителя, трябва да напишете разликата на две числа. Всички цифри след десетичната запетая ще бъдат намалени, заедно с точката. Изважда се - без точка е.

Например 0,5(8) - запишете периодичната десетична дроб като обикновена дроб. Дробната част преди точката е една цифра. Така че нула ще бъде едно. В периода също има само една цифра - 8. Тоест има само една деветка. Тоест трябва да напишете 90 в знаменателя.

За да определите числителя от 58, трябва да извадите 5. Получава се 53. Например ще трябва да напишете 53/90 като отговор.

Как се преобразуват обикновените дроби в десетични?

Най-простият вариант е число, чийто знаменател е числото 10, 100 и т.н. Тогава знаменателят просто се изхвърля и се поставя запетая между дробната и целочислената част.

Има ситуации, когато знаменателят лесно се превръща в 10, 100 и т.н. Например числата 5, 20, 25. Достатъчно е да ги умножите съответно по 2, 5 и 4. Само е необходимо да се умножи не само знаменателят, но и числителят с едно и също число.

За всички останали случаи ще ви бъде полезно едно просто правило: разделете числителя на знаменателя. В този случай можете да получите два отговора: крайна или периодична десетична дроб.

Действия с обикновени дроби

Събиране и изваждане

Учениците ги опознават по-рано от останалите. И отначало дробите имат еднакви знаменатели, а след това различни. Общите правила могат да бъдат сведени до такъв план.

Намерете най-малкото общо кратно на знаменателите.

Напишете допълнителни множители към всички обикновени дроби.

Умножете числителите и знаменателите по факторите, дефинирани за тях.

Добавете (извадете) числителите на дробите и оставете общия знаменател непроменен.

Ако числителят на умаляваното е по-малък от изваждаемото, тогава трябва да разберете дали имаме смесено число или правилна дроб.

В първия случай целочислената част трябва да вземе единица. Добавете знаменател към числителя на дроб. И след това направете изваждането.

Във втория - е необходимо да се приложи правилото за изваждане от по-малко число към по-голямо. Тоест, извадете модула на умаляваното от модула на изважданото и поставете знака „-“ в отговор.

Погледнете внимателно резултата от събирането (изваждането). Ако получите неправилна дроб, тогава трябва да изберете цялата част. Тоест, разделете числителя на знаменателя.

Умножение и деление

За тяхното прилагане не е необходимо дробите да се свеждат до общ знаменател. Това улеснява предприемането на действия. Но все пак трябва да спазват правилата.

Когато умножавате обикновени дроби, е необходимо да вземете предвид числата в числителите и знаменателите. Ако някой числител и знаменател имат общ множител, тогава те могат да бъдат намалени.

Умножете числителите.

Умножете знаменателите.

Ако получите редуцируема дроб, тогава тя трябва да бъде опростена отново.

Когато делите, първо трябва да замените делението с умножение, а делителя (втора дроб) с реципрочна (разменете числителя и знаменателя).

След това продължете както при умножението (започвайки от стъпка 1).

В задачи, в които трябва да умножите (делите) с цяло число, последното се предполага, че се записва като неправилна дроб. Тоест със знаменател 1. След това продължете както е описано по-горе.



Операции с десетични знаци

Събиране и изваждане

Разбира се, винаги можете да превърнете десетичната дроб в обикновена дроб. И действайте според вече описания план. Но понякога е по-удобно да се действа без този превод. Тогава правилата за тяхното събиране и изваждане ще бъдат абсолютно еднакви.

Изравнете броя на цифрите в дробната част на числото, тоест след десетичната запетая. Задайте липсващия брой нули в него.

Напишете дробите така, че запетаята да е под запетаята.

Добавяне (изваждане) като естествени числа.

Махнете запетаята.

Умножение и деление

Важно е, че не е необходимо да добавяте нули тук. Предполага се, че дробите се оставят така, както са дадени в примера. И след това вървете по план.

За умножение трябва да напишете дроби една под друга, без да обръщате внимание на запетаите.

Умножете като естествени числа.

Поставете запетая в отговора, като преброите от десния край на отговора толкова цифри, колкото са в дробните части на двата фактора.

За да разделите, първо трябва да преобразувате делителя: направете го естествено число. Тоест, умножете го по 10, 100 и т.н., в зависимост от това колко цифри има в дробната част на делителя.

Умножете дивидента по същото число.

Разделете десетичната запетая на естествено число.

Поставете запетая в отговора в момента, в който приключи разделянето на цялата част.



Ами ако в един пример има и двата вида дроби?

Да, в математиката често има примери, в които трябва да извършвате операции с обикновени и десетични дроби. Има две възможни решения на тези проблеми. Трябва обективно да претеглите числата и да изберете най-доброто.

Първи начин: представя обикновени десетични знаци

Подходящо е, ако при разделяне или преобразуване се получат крайни фракции. Ако поне едно число дава периодична част, тогава тази техника е забранена. Следователно, дори и да не обичате да работите с обикновени дроби, ще трябва да ги преброите.

Вторият начин: напишете десетичните дроби като обикновени

Тази техника е удобна, ако има 1-2 цифри в частта след десетичната запетая. Ако има повече от тях, може да се получи много голяма обикновена дроб и десетичните записи ще ви позволят да изчислите задачата по-бързо и по-лесно. Следователно винаги е необходимо трезво да се оцени задачата и да се избере най-простият метод за решение.

Фактът, че много квадратни корени са ирационални числа, не омаловажава значението им, по-специално числото $\sqrt2$ се използва много често в различни инженерни и научни изчисления. Това число може да се изчисли с точността, която е необходима във всеки конкретен случай. Можете да получите това число с толкова знака след десетичната запетая, за колкото имате търпение.

Например числото $\sqrt2$ може да бъде определено до шест знака след десетичната запетая: $\sqrt2=1,414214$. Тази стойност не се различава много от истинската стойност, тъй като $1,414214 \times 1,414214=2,000001237796$. Този отговор се различава от 2 с малко над една милионна. Следователно стойността на $\sqrt2$, равна на $1,414214$, се счита за доста приемлива за решаване на повечето практически задачи. В случай, че се изисква по-голяма точност, не е трудно да се получат толкова значими цифри след десетичната запетая, колкото е необходимо в този случай.

Въпреки това, ако проявите рядка упоритост и се опитате да извлечете Корен квадратенот числото $\sqrt2$, докато постигнете точния резултат, никога няма да завършите работата си. Това е безкраен процес. Без значение колко знака след десетичната запетая имате, винаги ще има още няколко.

Този факт може да ви учуди толкова, колкото превръщането на $\frac13$ в безкраен десетичен знак $0,333333333…$ и така нататък безкрайно или превръщането на $\frac17$ в $0,142857142857142857…$ и така нататък безкрайно. На пръв поглед може да изглежда, че тези безкрайни и ирационални квадратни корени са явления от един и същи ред, но това изобщо не е така. В крайна сметка тези безкрайни дроби имат дробен еквивалент, докато $\sqrt2$ няма такъв еквивалент. И защо точно? Факт е, че десетичният еквивалент на $\frac13$ и $\frac17$, както и безкраен брой други дроби, са периодични безкрайни дроби.

В същото време десетичният еквивалент на $\sqrt2$ е непериодична дроб. Това твърдение е вярно и за всяко ирационално число.

Проблемът е, че всеки десетичен знак, който е приближение на корен квадратен от 2, е непериодична дроб. Без значение колко напредваме в изчисленията, всяка дроб, която получим, ще бъде непериодична.

Представете си дроб с огромен брой непериодични цифри след десетичната запетая. Ако внезапно след милионната цифра цялата последователност от десетични знаци се повтори, тогава десетичен знак- периодичен и за него има еквивалент под формата на отношение на цели числа. Ако фракция с огромен брой (милиарди или милиони) непериодични десетични знаци в даден момент има безкрайна поредица от повтарящи се цифри, например $…55555555555…$, това също означава, че тази дроб е периодична и има еквивалент за него под формата на отношение на цели числа.

Въпреки това, в случая на техните десетични еквиваленти са напълно непериодични и не могат да станат периодични.

Разбира се, можете да зададете следния въпрос: „И кой може да знае и да каже със сигурност какво се случва с дроб, да речем, след знак за трилион? Кой може да гарантира, че дробта няма да стане периодична? Има начини неопровержимо да се докаже, че ирационалните числа са непериодични, но такива доказателства изискват сложен математически апарат. Но ако изведнъж се окаже, че става ирационално число периодична дроб, това би означавало пълен срив на основите на математическите науки. А всъщност това едва ли е възможно. Това не е само за да хвърляте кокалчетата от едната страна на другата, тук има сложна математическа теория.

Тази статия е за десетични знаци. Тук ще разгледаме десетичния запис на дробни числа, ще въведем понятието десетична дроб и ще дадем примери за десетични дроби. След това нека поговорим за цифрите на десетичните дроби, дайте имената на цифрите. След това ще се съсредоточим върху безкрайни десетични дроби, да речем за периодични и непериодични дроби. След това изброяваме основните действия с десетични дроби. В заключение установяваме позицията на десетичните дроби върху координатния лъч.

Навигация в страницата.

Десетичен запис на дробно число

Четене на десетични знаци

Нека кажем няколко думи за правилата за четене на десетични дроби.

Десетичните дроби, които съответстват на правилните обикновени дроби, се четат по същия начин като тези обикновени дроби, само преди това се добавя „нула цяло“. Например десетичната дроб 0,12 съответства на обикновената дроб 12/100 (тя се чете „дванадесет стотни“), следователно 0,12 се чете като „нула точка и дванадесет стотни“.

Десетичните дроби, които съответстват на смесени числа, се четат точно по същия начин като тези смесени числа. Например десетичната дроб 56.002 съответства на смесено число, следователно десетичната дроб 56.002 се чете като "петдесет и шест кома две хилядни."

Места в десетични знаци

При записа на десетичните дроби, както и при записа на естествените числа, стойността на всяка цифра зависи от нейната позиция. Наистина, числото 3 в десетично 0,3 означава три десети, в десетично 0,0003 - три десетхилядни, а в десетично 30 000,152 - три десетки хиляди. Така можем да говорим за цифри в десетични знаци, както и за цифрите в естествените числа.

Имената на цифрите в десетичната дроб до десетичната запетая напълно съвпадат с имената на цифрите в естествените числа. А имената на цифрите в десетичната дроб след десетичната запетая се виждат от следващата таблица.

Например в десетичната дроб 37.051 числото 3 е на мястото на десетиците, 7 е на мястото на единиците, 0 е на десетото място, 5 е на стотното място, 1 е на хилядното място.

Цифрите в десетичната дроб също се различават по старшинство. Ако се движим от цифра на цифра отляво надясно в десетичния запис, тогава ще се движим от Старшида се младши чинове. Например, цифрата на стотните е по-стара от цифрата на десетите, а цифрата на милионните е по-млада от цифрата на стотните. В тази последна десетична дроб можем да говорим за най-значимите и най-малко значимите цифри. Например в десетична 604.9387 старши (най-висок)цифрата е цифрата на стотиците и младши (най-нисък)- десетхилядно място.

За десетични дроби се извършва разгъване в цифри. То е аналогично на разлагането в цифри на естествените числа. Например десетичното разширение на 45.6072 е: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. И свойствата на добавяне от разширяването на десетична дроб в цифри ви позволяват да отидете до други представяния на тази десетична дроб, например 45.6072=45+0.6072 или 45.6072=40.6+5.007+0.0002 или 45.6072= 45.0072+0.6 .

Крайни десетични знаци

До тук говорихме само за десетични дроби, в чийто запис има краен брой цифри след десетичната запетая. Такива дроби се наричат ​​крайни десетични дроби.

Определение.

Крайни десетични знаци- Това са десетични дроби, чиито записи съдържат краен брой знаци (цифри).

Ето няколко примера за крайни десетични знаци: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.

Въпреки това, не всяка обикновена дроб може да бъде представена като крайна десетична дроб. Например дробта 5/13 не може да бъде заменена с равна дроб с един от знаменателите 10, 100, ..., следователно не може да бъде преобразувана в крайна десетична дроб. Ще говорим повече за това в теоретичния раздел за преобразуване на обикновени дроби в десетични дроби.

Безкрайни десетични дроби: периодични дроби и непериодични дроби

Когато пишете десетична дроб след десетична запетая, можете да позволите възможността за безкраен брой цифри. В този случай ще стигнем до разглеждането на така наречените безкрайни десетични дроби.

Определение.

Безкрайни десетични знаци- Това са десетични дроби, в записа на които има безкраен брой цифри.

Ясно е, че не можем да запишем безкрайните десетични дроби изцяло, поради което при записването им те се ограничават само до определен краен брой цифри след десетичната запетая и поставят многоточие, обозначаващо безкрайно продължаваща последователност от цифри. Ето няколко примера за безкрайни десетични дроби: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Ако погледнете внимателно последните две безкрайни десетични дроби, тогава във фракцията 2.111111111 ... ясно се вижда безкрайно повтарящото се число 1, а във фракцията 69.74152152152 ..., започвайки от третия десетичен знак, повтарящата се група числа 1, 5 и 2 се вижда ясно. Такива безкрайни десетични дроби се наричат ​​периодични.

Определение.

Периодични десетични знаци(или просто периодични дроби) са безкрайни десетични дроби, в записа на които, започвайки от определен знак след десетичната запетая, има някаква цифра или група от цифри, която се нарича дробен период.

Например периодът на периодичната дроб 2.111111111… е числото 1, а периодът на дробта 69.74152152152… е група от числа като 152.

За безкрайни периодични десетични дроби е приета специална нотация. За краткост се разбрахме да изпишем точката веднъж, като я поставим в скоби. Например периодичната дроб 2.111111111… се записва като 2,(1) , а периодичната дроб 69.74152152152… се записва като 69.74(152) .

Струва си да се отбележи, че за една и съща периодична десетична дроб можете да посочите различни периоди. Например, периодичният десетичен знак 0.73333… може да се разглежда като дроб 0.7(3) с период 3, както и дроб 0.7(33) с период 33 и така нататък 0.7(333), 0.7 (3333) ), ... Можете също така да разгледате периодичната дроб 0,73333 ... така: 0,733(3) или така 0,73(333) и т.н. Тук, за да избегнем двусмислие и несъответствия, ние се съгласяваме да считаме за период на десетична дроб най-кратката от всички възможни последователности от повтарящи се цифри и започвайки от най-близката позиция до десетичната запетая. Тоест периодът на десетичната дроб 0.73333… ще се счита за последователност от една цифра 3, а периодичността започва от втората позиция след десетичната запетая, тоест 0.73333…=0.7(3) . Друг пример: периодичната дроб 4.7412121212… има период 12, периодичността започва от третата цифра след десетичната запетая, тоест 4.7412121212…=4.74(12) .

Безкрайни десетични периодични дроби се получават чрез преобразуване в десетични дроби на обикновени дроби, чиито знаменатели съдържат прости множители, различни от 2 и 5.

Тук си струва да споменем периодични дроби с период 9. Ето примери за такива дроби: 6.43(9) , 27,(9) . Тези дроби са друга нотация за периодични дроби с период 0 и е обичайно да се заменят с периодични дроби с период 0. За да направите това, период 9 се заменя с период 0 и стойността на следващата най-висока цифра се увеличава с единица. Например, дроб с период 9 от формата 7,24(9) се заменя с периодична дроб с период 0 от формата 7,25(0) или равна крайна десетична дроб от 7,25. Друг пример: 4,(9)=5,(0)=5 . Равенството на дроб с период 9 и съответстващата й дроб с период 0 се установява лесно след замяна на тези десетични дроби с техните равни обикновени дроби.

И накрая, нека разгледаме по-отблизо безкрайните десетични числа, които нямат безкрайно повтаряща се последователност от цифри. Те се наричат ​​непериодични.

Определение.

Неповтарящи се десетични знаци(или просто непериодични дроби) са безкрайни десетични знаци без точка.

Понякога непериодичните дроби имат форма, подобна на тази на периодичните дроби, например 8,02002000200002 ... е непериодична дроб. В тези случаи трябва да сте особено внимателни, за да забележите разликата.

Имайте предвид, че непериодичните дроби не се преобразуват в обикновени дроби, безкрайните непериодични десетични дроби представляват ирационални числа.

Операции с десетични знаци

Едно от действията с десетични числа е сравнението, като също така са дефинирани четири основни аритметики операции с десетични знаци: събиране, изваждане, умножение и деление. Разгледайте отделно всяко от действията с десетични дроби.

Десетично сравнениепо същество се основава на сравнение на обикновени дроби, съответстващи на сравнените десетични дроби. Преобразуването на десетични дроби в обикновени обаче е доста трудоемка операция и безкрайните неповтарящи се дроби не могат да бъдат представени като обикновена дроб, така че е удобно да се използва побитово сравнение на десетични дроби. Побитовото сравнение на десетични числа е подобно на сравнението на естествени числа. За по-подробна информация ви препоръчваме да проучите сравнението на материала на статията на десетични дроби, правила, примери, решения.

Да преминем към следващата стъпка - умножение на десетични знаци. Умножението на крайните десетични дроби се извършва подобно на изваждането на десетични дроби, правила, примери, решения за умножение по колона от естествени числа. При периодичните дроби умножението може да се сведе до умножение на обикновени дроби. От своя страна умножението на безкрайни непериодични десетични дроби след тяхното закръгляне се свежда до умножаване на крайни десетични дроби. Препоръчваме допълнително изучаване на материала на статията умножение на десетични дроби, правила, примери, решения.

Десетични знаци върху координатния лъч

Има едно към едно съответствие между точките и десетичните знаци.

Нека да разберем как се конструират точки върху координатния лъч, съответстващ на дадена десетична дроб.

Можем да заменим крайните десетични дроби и безкрайните периодични десетични дроби с равни на тях обикновени дроби и след това да конструираме съответните обикновени дроби върху координатния лъч. Например десетична дроб 1.4 съответства на обикновена дроб 14/10, следователно точката с координата 1.4 се отстранява от началото в положителна посока с 14 сегмента, равни на една десета от един сегмент.

Десетичните дроби могат да бъдат маркирани на координатния лъч, като се започне от разширяването на тази десетична дроб в цифри. Например, да речем, че трябва да изградим точка с координата 16.3007, тъй като 16.3007=16+0.3+0.0007, тогава можем да стигнем до тази точка чрез последователно полагане на 16 единични сегмента от началото на координатите, 3 сегмента, дължината от които равна на една десета от единица, и 7 сегмента, чиято дължина е равна на десет хилядна от единичен сегмент.

Този метод за конструиране на десетични числа върху координатния лъч ви позволява да се приближите колкото искате до точката, съответстваща на безкрайна десетична дроб.

Понякога е възможно точно да се начертае точка, съответстваща на безкраен десетичен знак. Например, , тогава тази безкрайна десетична дроб 1,41421... съответства на точката на координатния лъч, отдалечена от началото с дължината на диагонала на квадрат със страна 1 единичен сегмент.

Обратният процес на получаване на десетична дроб, съответстваща на дадена точка от координатния лъч, е т.нар. десетично измерване на сегмент. Да видим как се прави.

Нека нашата задача е да стигнем от началото до дадена точка на координатната линия (или безкрайно да се приближаваме до нея, ако е невъзможно да стигнем до нея). С десетично измерване на сегмент можем последователно да отложим произволен брой единични сегменти от началото, след това сегменти, чиято дължина е равна на една десета от единичен сегмент, след това сегменти, чиято дължина е равна на една стотна от единичен сегмент и т.н. . Записвайки броя на начертаните сегменти от всяка дължина, получаваме десетичната дроб, съответстваща на дадена точка от координатния лъч.

Например, за да стигнете до точка M на горната фигура, трябва да отделите 1 единичен сегмент и 4 сегмента, чиято дължина е равна на десета от единицата. Така точката М съответства на десетичната дроб 1,4.

Ясно е, че точките на координатния лъч, които не могат да бъдат достигнати по време на десетичното измерване, съответстват на безкрайни десетични дроби.

Библиография.

• Математика: проучвания. за 5 клетки. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21 изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 клас: учебник. за общо образование институции / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-ро изд., Рев. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидати за технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Известно е, че ако знаменателят Пнередуцируема дроб в нейното канонично разширение има прост множител, който не е равен на 2 и 5, тогава тази дроб не може да бъде представена като крайна десетична дроб. Ако в този случай се опитаме да запишем оригиналната несъкратима дроб като десетична дроб, разделяйки числителя на знаменателя, тогава процесът на деление не може да приключи, т.к. в случай на завършването му след краен брой стъпки, бихме получили крайна десетична дроб в частното, което противоречи на доказаната по-рано теорема. Така че в този случай десетичният запис за положително рационално число е а= се представя като безкрайна дроб.

Например дроб = 0,3636... . Лесно се вижда, че остатъците при разделянето на 4 на 11 периодично се повтарят, следователно десетичните знаци ще се повтарят периодично, т.е. Оказва се безкраен периодичен десетичен знак, което може да се запише като 0,(36).

Периодично повтарящите се числа 3 и 6 образуват точка. Може да се окаже, че между запетаята и началото на първата точка има няколко цифри. Тези числа формират предпериода. Например,

0,1931818... Процесът на деление на 17 на 88 е безкраен. Числата 1, 9, 3 образуват предпериода; 1, 8 - период. Примерите, които разгледахме, отразяват модел, т.е. всяко положително рационално число може да бъде представено чрез крайна или безкрайна периодична десетична дроб.

Теорема 1.Нека една обикновена дроб е несъкратима и е в каноничното разширение на знаменателя нима прост множител, различен от 2 и 5. Тогава обикновената дроб може да бъде представена чрез безкрайна периодична десетична дроб.

Доказателство. Вече знаем, че процесът на деление на естествено число мдо естествено число нще бъде безкраен. Нека покажем, че ще бъде периодично. Наистина при разделяне мна ностатъците ще бъдат по-малки н,тези. числа от формата 1, 2, ..., ( н- 1), което показва, че броят на различните остатъци е краен и следователно, като се започне от определена стъпка, някои остатъци ще се повторят, което ще доведе до повторение на десетичните знаци на частното и безкрайната десетична дроб става периодична.

Има още две теореми.

Теорема 2.Ако разлагането на знаменателя на несъкратима дроб на прости множители не включва числата 2 и 5, то когато тази дроб се превърне в безкрайна десетична дроб, ще се получи чиста периодична дроб, т.е. Дроб, чийто период започва веднага след десетичната запетая.

Теорема 3.Ако разширението на знаменателя включва фактори 2 (или 5) или и двете, тогава безкрайната периодична дроб ще бъде смесена, т.е. между запетаята и началото на точката ще има няколко цифри (предпериод), а именно толкова, колкото е най-големият от показателите на факторите 2 и 5.

Теореми 2 и 3 са поканени да докажат на читателя сами.

28. Начини за преминаване от безкрайна периодика
десетични дроби в обикновени дроби

Нека има периодична дроб а= 0,(4), т.е. 0,4444... .

Да се ​​размножаваме ас 10, получаваме

10а= 4,444…4…Þ 10 а = 4 + 0,444….

Тези. десет а = 4 + а, получихме уравнението за а, решавайки го, получаваме: 9 а= 4 Þ а = .

Обърнете внимание, че 4 е както числителят на получената дроб, така и периодът на дробта 0,(4).

правилопревръщането в обикновена дроб на чиста периодична дроб се формулира по следния начин: числителят на дробта е равен на периода, а знаменателят се състои от такъв брой деветки, колкото има цифри в периода на фракцията.

Нека сега докажем това правило за дроб, чийто период се състои от П

а= . Да се ​​размножаваме ана 10 н, получаваме:

10н × а = = + 0, ;

10н × а = + а;

(10н – 1) а = Þ а == .

И така, формулираното по-рано правило е доказано за всяка чиста периодична дроб.

Нека сега е дадена дроб а= 0.605(43) - смесено периодично. Да се ​​размножаваме апо 10 с такъв показател колко цифри има в предпериода, т.е. с 10 3 , получаваме

10 3 × а= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × а = 605 + = 605 + = = ,

тези. 10 3 × а= .

правилопревръщането в обикновена дроб на смесена периодична дроб се формулира по следния начин: числителят на дробта е равен на разликата между числото, записано с цифри преди началото на втория период, и числото, записано с цифри преди началото на първия период, знаменателят се състои от такъв брой деветки, колкото цифри има в периода и такъв брой нули, колко цифри има преди началото на първия период.

Нека сега докажем това правило за дроб, чийто предпериод се състои от Пцифри и период от да сецифри. Нека има периодична дроб

Обозначете в= ; r= ,

с= ; тогава с=в × 10k + r.

Да се ​​размножаваме апо 10 с такъв показател колко цифри има в предпериода, т.е. на 10 н, получаваме:

а×10 н = + .

Като вземем предвид въведената по-горе нотация, пишем:

а × 10н= в+ .

И така, формулираното по-горе правило е доказано за всяка смесена периодична дроб.

Всяка безкрайна периодична десетична дроб е форма на запис на някакво рационално число.

От съображения за еднаквост, понякога краен десетичен знак също се счита за безкраен периодичен десетичен знак с период "нула". Например 0,27 = 0,27000...; 10,567 = 10,567000...; 3 = 3000... .

Сега следното твърдение става вярно: всяко рационално число може да бъде (и освен това по уникален начин) изразено чрез безкрайна десетична периодична дроб, а всяка безкрайна периодична десетична дроб изразява точно едно рационално число (периодични десетични дроби с период 9 не се разглеждат).

Помните ли как в първия урок за десетични дроби казах, че има числови дроби, които не могат да бъдат представени като десетични (вижте урока „Десетични дроби“)? Научихме също как да разлагаме на множители знаменателите на дроби, за да проверим дали има числа, различни от 2 и 5.

И така: излъгах. И днес ще научим как да превеждаме абсолютно всяка цифрова дроб в десетична. В същото време ще се запознаем с цял клас дроби с безкрайна значима част.

Повтарящ се десетичен знак е всеки десетичен знак, който има:

1. Значимата част се състои от безкраен брой цифри;
2. На определени интервали числата в значимата част се повтарят.

Наборът от повтарящи се цифри, които съставляват значимата част, се нарича периодична част от дробта, а броят на цифрите в този набор е периодът на дробта. Останалият сегмент от значимата част, който не се повтаря, се нарича непериодична част.

Тъй като има много определения, струва си да разгледаме подробно някои от тези фракции:

Тази фракция се среща най-често при проблеми. Непериодична част: 0; периодична част: 3; продължителност на периода: 1.

Непериодична част: 0,58; периодична част: 3; продължителност на периода: отново 1.

Непериодична част: 1; периодична част: 54; продължителност на периода: 2.

Непериодична част: 0; периодична част: 641025; дължина на периода: 6. За удобство повтарящите се части са разделени една от друга с интервал – при това решение не е необходимо да се прави това.

Непериодична част: 3066; периодична част: 6; продължителност на периода: 1.

Както можете да видите, дефиницията на периодична дроб се основава на концепцията значителна част от число. Ето защо, ако сте забравили какво е, препоръчвам да го повторите - вижте урока "".

Преход към периодичен десетичен знак

Да разгледаме обикновена дроб от формата a/b. Нека разложим знаменателя му на прости множители. Има две възможности:

1. В разширението присъстват само фактори 2 и 5. Тези дроби лесно се редуцират до десетични - вижте урока "Десетични дроби". Ние не се интересуваме от такива;
2. В разширението има нещо друго освен 2 и 5. В този случай дробта не може да бъде представена като десетична, но може да бъде превърната в периодична десетична.

За да зададете периодична десетична дроб, трябва да намерите нейната периодична и непериодична част. как? Преобразувайте дробта в неправилна и след това разделете числителя на знаменателя с "ъгъл".

При това ще се случи следното:

1. Първо разделете цяла частако съществува;
2. Може да има няколко числа след десетичната запетая;
3. След известно време ще започнат номерата повторете.

Това е всичко! Повтарящите се цифри след десетичната запетая се означават с периодичната част, а това, което е отпред - непериодично.

Задача. Преобразувайте обикновени дроби в периодични десетични знаци:

Всички дроби без цяло число, така че просто разделяме числителя на знаменателя с „ъгъл“:

Както можете да видите, остатъците се повтарят. Нека напишем дробта в "правилната" форма: 1,733 ... = 1,7(3).

Резултатът е дроб: 0,5833 ... = 0,58(3).

Пишем в нормална форма: 4.0909 ... = 4, (09).

Получаваме дроб: 0,4141 ... = 0, (41).

Преход от периодичен десетичен към обикновен

Да разгледаме периодичен десетичен знак X = abc (a 1 b 1 c 1). Изисква се прехвърлянето му в класическия "двуетажен". За да направите това, следвайте четири прости стъпки:

1. Намерете периода на дробта, т.е. пребройте колко цифри има в периодичната част. Нека е число k;
2. Намерете стойността на израза X · 10 k . Това е еквивалентно на изместване на десетичната запетая с цяла точка надясно - вижте урока "Умножение и деление на десетични дроби";
3. Извадете оригиналния израз от полученото число. В този случай периодичната част "изгаря" и остава обикновена дроб;
4. Намерете X в полученото уравнение. Всички десетични дроби се преобразуват в обикновени.

Задача. Преобразуване в обикновена неправилна дроб от число:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Работа с първата дроб: X = 9,(6) = 9,666 ...

Скобите съдържат само една цифра, така че периодът k = 1. След това умножаваме тази дроб по 10 k = 10 1 = 10. Имаме:

10X = 10 9,6666... ​​​​= 96,666...

Извадете първоначалната дроб и решете уравнението:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9Х=87;
X = 87/9 = 29/3.

Сега нека се заемем с втората дроб. Така че X = 32, (39) = 32,393939 ...

Период k = 2, така че умножаваме всичко по 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Извадете първоначалната дроб отново и решете уравнението:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99Х = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Да стигнем до третата дроб: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Схемата е същата, така че просто ще дам изчисленията:

Период k = 1 ⇒ умножете всичко по 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

И накрая, последната дроб: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Отново, за удобство, периодичните части са разделени една от друга с интервали. Ние имаме:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475 : 9999 = 25/101.