Дефинирайте матрица. Видове матрици

Матрици. Видове матрици. Операции с матрици и техните свойства.

Детерминанта на матрицата от n-ти ред. N, Z, Q, R, C,

Матрица от порядък m*n е правоъгълна таблица с числа, съдържаща m-редове и n-колони.

Матрично равенство:

Две матрици се наричат ​​равни, ако броят на редовете и колоните на едната от тях е равен съответно на броя на редовете и колоните на другата и съответно. елементите на тези матрици са равни.

Забележка: Елементи с еднакви индекси се съпоставят.

Видове матрици:

Квадратна матрица: За една матрица се казва, че е квадратна, ако броят на редовете е равен на броя на колоните.

Правоъгълна: Матрицата се нарича правоъгълна, ако броят на редовете не е равен на броя на колоните.

Редова матрица: матрица от ред 1*n (m=1) има формата a11,a12,a13 и се нарича редова матрица.

Матрица колона:………….

Диагонал: диагоналът на квадратна матрица, преминаващ от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл, т.е. състоящ се от елементи a11, a22 ...... - се нарича главен диагонал. (дефиниция: квадратна матрица, всички елементи на която са равни на нула, с изключение на тези, разположени на главния диагонал, се нарича диагонална матрица.

Идентичност: Диагоналната матрица се нарича идентичност, ако всички елементи са разположени на главния диагонал и са равни на 1.

Горен триъгълник: A=||aij|| се нарича горна триъгълна матрица, ако aij=0. При условие i>j.

Долен триъгълник: aij=0. аз

Нула: Това е матрица, чиито Els са 0.

Операции с матрици.

1. Транспониране.

2. Умножение на матрица с число.

3. Матрично събиране.

4. Матрично умножение.

Основно действие на св-ва върху матрици.

1.A+B=B+A (комутативност)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (асоциативност)

3.a(A+B)=aA+aB (разпределение)

4.(a+b)A=aA+bA (разпределителен)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.)

6.AB≠BA (без комуник.)

7.A(BC)=(AB)C (асоциативно) – изпълнява се, ако деф. Извършват се матрични продукти.

8.A(B+C)=AB+AC (разпределителен)

(B+C)A=BA+CA (разпределителен)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Детерминанта на квадратна матрица - определение и нейните свойства. Разлагане на детерминантата по редове и колони. Методи за изчисляване на детерминанти.

Ако матрицата A има ред m>1, тогава детерминантата на тази матрица е число.

Алгебричното допълнение Aij на елемента aij от матрица A е второстепенното Mij, умножено по числото

ТЕОРЕМА1: Детерминантата на матрицата А е равна на сумата от произведенията на всички елементи на произволен ред (колона) и техните алгебрични допълнения.

Основни свойства на детерминантите.

1. Детерминантата на матрица няма да се промени, когато се транспонира.

2. При пермутиране на два реда (колони) детерминантата променя знака, но абсолютната му стойност не се променя.

3. Детерминантата на матрица, която има два еднакви реда (колони) е 0.

4. При умножаване на ред (колона) на матрица с число нейният детерминант се умножава по това число.

5. Ако един от редовете (колоните) на матрицата се състои от 0, тогава детерминантата на тази матрица е 0.

6. Ако всички елементи на i-тия ред (колона) на матрица са представени като сума от два члена, то нейният детерминант може да бъде представен като сума от детерминанти на две матрици.

7. Детерминантата няма да се промени, ако съответно елементите на една колона (ред) се добавят към елементите на друга колона (ред) чрез предварително умножение. за същия номер.

8. Сумата от произволни елементи на всяка колона (ред) от детерминанта към съответното алгебрично допълнение на елементи от друга колона (ред) е 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Методи за изчисляване на детерминантата:

1. По дефиниция или теорема 1.

2. Намаляване до триъгълна форма.

Определение и свойства на обратната матрица. Изчисляване на обратната матрица. Матрични уравнения.

Определение: Квадратна матрица от ред n се нарича обратна на матрица А от същия ред и се означава

За да има матрица A обратна матрица, е необходимо и достатъчно детерминантата на матрицата A да е различна от 0.

Свойства на обратната матрица:

1. Уникалност: за дадена матрица A нейната обратна е уникална.

2. матрична детерминанта

3. Операцията на вземане на транспониране и вземане на обратната матрица.

Матрични уравнения:

Нека A и B са две квадратни матрици от един и същи ред.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Концепцията за линейна зависимост и независимост на колоните на матрицата. Свойства на линейна зависимост и линейна независимост на колонната система.

Колони А1,А2…An се наричат ​​линейно зависими, ако има нетривиална линейна комбинация от тях, равна на 0-та колона.

Колони А1,А2…An се наричат ​​линейно независими, ако има нетривиална линейна комбинация от тях, равна на 0-та колона.

Линейна комбинация се нарича тривиална, ако всички коефициенти С(l) са равни на 0 и нетривиална в противен случай.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. За да бъдат колоните линейно зависими е необходимо и достатъчно дадена колона да е линейна комбинация от други колони.

Нека 1 от колоните https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src="> е линейна комбинация от други колони.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> са линейно зависими, тогава всички колони са линейно зависими.

4. Ако една система от колони е линейно независима, то всяка нейна подсистема също е линейно независима.

(Всичко, което се казва за колоните, е вярно и за редовете).

Matrix minors. Основни второстепенни. Ранг на матрицата. Методът на периферни второстепенни за изчисляване на ранга на матрица.

Малкият ред на матрица A е детерминантата, чиито елементи са разположени в пресечната точка на k-редове и k-редове на матрица A.

Ако всички минори от порядък k на матрицата A = 0, тогава всеки минор от порядък k + 1 също е равен на 0.

Основен минор.

Рангът на матрица A е порядъкът на нейния базисен минор.

Методът на граничещи второстепенни: - Избираме ненулев елемент от матрицата A (Ако такъв елемент не съществува, тогава рангът на A = 0)

Ограждаме предишния минор от 1-ви ред с минор от 2-ри ред. (Ако този минор не е равен на 0, тогава рангът >=2) Ако рангът на този минор е =0, тогава граничим избрания минор от 1-ви ред с други минори от 2-ри ред. (Ако всички второстепенни от 2-ри ред = 0, тогава рангът на матрицата = 1).

Ранг на матрицата. Методи за намиране на ранг на матрица.

Рангът на матрица A е порядъкът на нейния базисен минор.

Методи за изчисление:

1) Методът за ограждане на минори: -Изберете ненулев елемент от матрицата A (ако няма такъв елемент, тогава ранг = 0) - Ограничете предишния минор от 1-ви ред с минор от 2-ри ред..gif" width= "40" височина="22" >r+1 Mr+1=0.

2) Привеждане на матрица в стъпаловидна форма: този метод се основава на елементарни трансформации. При елементарни трансформации рангът на матрицата не се променя.

Следните трансформации се наричат ​​елементарни трансформации:

Пермутация на два реда (колони).

Умножение на всички елементи на дадена колона (ред) с число, различно от 0.

Добавяне към всички елементи на дадена колона (ред) на елементи от друга колона (ред), предварително умножени по същото число.

Основна малка теорема. Необходимо и достатъчно условие детерминантата да е равна на нула.

Базисният минор на матрицата A е минорът от най-големия k-ти ред, различен от 0.

Основна малка теорема:

Основните редове (колони) са линейно независими. Всеки ред (колона) на матрица A е линейна комбинация от основни редове (колони).

Бележки: Редове и колони, в пресечната точка на които има основен минор, се наричат ​​съответно основни редове и колони.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Необходими и достатъчни условия детерминантата да е равна на нула:

За да е детерминантата от n-ти ред = 0, е необходимо и достатъчно нейните редове (колони) да са линейно зависими.

Системи линейни уравнения, тяхната класификация и форми на запис. Правилото на Крамър.

Да разгледаме система от 3 линейни уравнения с три неизвестни:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:l14image048" width="64" height="38 id=">!}

се нарича детерминанта на системата.

Съставяме още три детерминанти, както следва: заместваме последователно 1, 2 и 3 колони в детерминанта D с колона от свободни членове

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:l14image052" width="93" height="22 id=">!}

Доказателство. И така, разгледайте система от 3 уравнения с три неизвестни. Умножаваме първото уравнение на системата по алгебричното допълнение A11 на елемента a11, второто уравнение по A21 и 3-тото по A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:l14image056" width="247" height="31 id=">!}

Разгледайте всяка от скобите и дясната страна на това уравнение. По теоремата за разширяването на детерминантата по елементите на 1-ва колона

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:l14image060" width="324" height="42 id=">!}

По същия начин може да се покаже, че и .

И накрая, лесно е да се види това

Така получаваме равенството: .

Следователно,.

Равенствата и се извеждат аналогично, откъдето следва твърдението на теоремата.

Системи линейни уравнения. Условие за съвместимост на линейни уравнения. Теоремата на Кронекер-Капели.

Решението на система от алгебрични уравнения е такъв набор от n числа C1,C2,C3……Cn, който, когато се замести в оригиналната система на мястото на x1,x2,x3…..xn, превръща всички уравнения на системата в идентичности.

Система от линейни алгебрични уравнения се нарича последователна, ако има поне едно решение.

Съвместната система се нарича определена, ако има единствено решение, и неопределена, ако има безкрайно много решения.

Условия за съвместимост на системи от линейни алгебрични уравнения.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

ТЕОРЕМА: За да бъде последователна система от m линейни уравнения с n неизвестни, е необходимо и достатъчно рангът на разширената матрица да бъде равен на ранга на матрица A.

Забележка: Тази теорема дава само критерии за съществуване на решение, но не посочва начин за намиране на решение.

10 въпрос.

Системи линейни уравнения. Базисният минорен метод е общ метод за намиране на всички решения на системи от линейни уравнения.

A=a21 a22…..a2n

Основен второстепенен метод:

Нека системата е съвместима и RgA=RgA’=r. Нека основният минор е нарисуван в горния ляв ъгъл на матрицата A.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Забележки: Ако рангът на главната и разглежданата матрица е равен на r=n, то в този случай dj=bj и системата има уникално решение.

Хомогенни системи линейни уравнения.

Система от линейни алгебрични уравнения се нарича хомогенна, ако всички нейни свободни членове са равни на нула.

AX=0 е хомогенна система.

AX = B е нехомогенна система.

Хомогенните системи винаги са последователни.

X1 =x2 =..=xn =0

Теорема 1.

Хомогенните системи имат нехомогенни решения, когато рангът на системната матрица е по-малък от броя на неизвестните.

Теорема 2.

Хомогенна система от n-линейни уравнения с n-неизвестни има ненулево решение, когато детерминантата на матрицата A е равна на нула. (detA=0)

Свойства на разтворите на хомогенни системи.

Всяка линейна комбинация от решение на хомогенна система сама по себе си е решение на тази система.

α1C1 +α2C2; α1 и α2 са някои числа.

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, т.е. k (A C1) = 0; (AC2) = 0

За нехомогенна система това свойство не е валидно.

Фундаментална система за вземане на решения.

Теорема 3.

Ако рангът на матрична система на уравнение с n-неизвестни е r, тогава тази система има n-r линейно независими решения.

Нека базисният минор е в горния ляв ъгъл. Ако r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Система от n-r линейно независими решения на хомогенна система от линейни уравнения с n-неизвестни от ранг r се нарича фундаментална система от решения.

Теорема 4.

Всяко решение на система от линейни уравнения е линейна комбинация от решение на фундаменталната система.

С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

Ако r

12 въпрос.

Общо решение на нееднородна система.

Сън (ген. неравномерен) \u003d COO + SCH (частен)

AX=B (хетерогенна система); AX=0

(ASoo) + ASch = ASch = B, защото (ASoo) = 0

Сън \u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + Mid

Метод на Гаус.

Това е метод за последователно елиминиране на неизвестни (променливи) - той се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации първоначалната система от уравнения се редуцира до еквивалентна система от поетапна форма, от която всички останали променливи се намират последователно , започвайки от последните променливи.

Нека a≠0 (ако това не е така, тогава това се постига чрез пренареждане на уравненията).

1) изключваме променливата x1 от второто, третото ... n-то уравнение, като умножаваме първото уравнение с подходящи числа и добавяме получените резултати към 2-ро, 3-то ... n-то уравнение, след което получаваме:

Получаваме система, еквивалентна на оригиналната.

2) изключете променливата x2

3) изключваме променливата x3 и т.н.

Продължавайки процеса на последователно елиминиране на променливите x4;x5...xr-1 получаваме за (r-1)-та стъпка.

Числото нула на последното n-r в уравненията означава, че лявата им страна изглежда така: 0x1 +0x2+..+0xn

Ако поне едно от числата вr+1, вr+2… не е равно на нула, то съответното равенство е несъстоятелно и системата (1) не е съгласувана. По този начин, за всяка последователна система, това vr+1 … vm е равно на нула.

Последните n-r уравнения в системата (1;r-1) са идентичности и могат да бъдат игнорирани.

Възможни са два случая:

а) броят на уравненията на системата (1; r-1) е равен на броя на неизвестните, т.е. r \u003d n (в този случай системата има триъгълна форма).

b)r

Преходът от система (1) към еквивалентна система (1; r-1) се нарича директно движение на метода на Гаус.

За намиране на променлива от системата (1; r-1) - по обратния ход на метода на Гаус.

Трансформациите на Гаус се извършват удобно, като се изпълняват не с уравнения, а с разширена матрица на техните коефициенти.

13 въпрос.

подобни матрици.

Ще разглеждаме само квадратни матрици от ред n/

За матрица A се казва, че е подобна на матрица B (A~B), ако съществува неособена матрица S, така че A=S-1BS.

Свойства на подобни матрици.

1) Матрица А е подобна на себе си. (A~A)

Ако S=E, тогава EAE=E-1AE=A

2) Ако A~B, тогава B~A

Ако A=S-1BS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B

3) Ако A~B и в същото време B~C, тогава A~C

Като се има предвид, че A=S1-1BS1 и B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, където S3 = S2S1

4) Детерминантите на подобни матрици са равни.

Като се има предвид, че A~B, е необходимо да се докаже, че detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (намаляване) = detB.

5) Ранговете на подобни матрици са еднакви.

Собствени вектори и собствени стойности на матрици.

Числото λ се нарича собствена стойност на матрицата A, ако има ненулев вектор X (колона на матрицата), такъв че AX = λ X, векторът X се нарича собствен вектор на матрицата A, а множеството от всички собствени стойности ​се нарича спектър на матрицата A.

Свойства на собствените вектори.

1) Когато умножаваме собствен вектор по число, получаваме собствен вектор със същата собствена стойност.

AX \u003d λ X; Х≠0

α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) = \u003d λ (α X)

2) Собствените вектори с по двойки различни собствени стойности са линейно независими λ1, λ2,.. λk.

Нека системата се състои от 1-ви вектор, нека направим индуктивна стъпка:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - умножете по A.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \u003d 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0

Умножете по λn+1 и извадете

C1 X1 +C2 X2 + .. +Cn Xn+ Cn+1 Xn+1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Необходимо е C1 \u003d C2 \u003d ... \u003d Cn \u003d 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

Характеристично уравнение.

A-λE се нарича характеристична матрица за матрица A.

За да бъде ненулев вектор X собствен вектор на матрицата A, съответстващ на собствената стойност λ, е необходимо той да бъде решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (A - λE)X = 0

Системата има нетривиално решение, когато det (A - XE) = 0 - това е характеристично уравнение.

Изявление!

Характеристичните уравнения на подобни матрици съвпадат.

det(S-1AS - λЕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λЕ)S) = det S-1 det(A - λЕ) detS= det(A - λЕ)

Характеристичен полином.

det(A – λЕ) - функция по отношение на параметъра λ

det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Този полином се нарича характерен полином на матрицата A.

Последица:

1) Ако матриците са A~B, тогава сборът на техните диагонални елементи е еднакъв.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2) Наборът от собствени стойности на подобни матрици съвпадат.

Ако характеристичните уравнения на матриците са еднакви, тогава те не са непременно подобни.

За матрица А

За матрица Б

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

За да бъде диагонализирана матрица A от порядък n, е необходимо да съществуват линейно независими собствени вектори на матрицата A.

Последица.

Ако всички собствени стойности на матрицата A са различни, тогава тя е диагонализирана.

Алгоритъм за намиране на собствени вектори и собствени стойности.

1) съставете характеристичното уравнение

2) намерете корените на уравненията

3) съставете система от уравнения за определяне на собствения вектор.

λi (A-λi E)X = 0

4) намерете основната система от решения

x1,x2..xn-r, където r е рангът на характеристичната матрица.

r = Rg(A - λi E)

5) собствен вектор, собствените стойности λi се записват като:

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, където C12 + C22 + ... C2n ≠0

6) проверяваме дали матрицата може да бъде приведена до диагонална форма.

7) намерете Ag

Ag = S-1AS S=

15 въпрос.

Основа на права, равнина, пространство.

DIV_ADBLOCK371">

Модулът на вектора е неговата дължина, т.е. разстоянието между A и B (││, ││). Модулът на вектор е равен на нула, когато този вектор е нула (│ō│=0)

4. Орт вектор.

Ортът на даден вектор е вектор, който има същата посока като дадения вектор и има модул, равен на единица.

Еднаквите вектори имат равни ортове.

5. Ъгъл между два вектора.

Това е по-малката част от областта, ограничена от два лъча, излизащи от една и съща точка и насочени в същата посока като дадените вектори.

Добавяне на вектори. Умножение на вектор по число.

1) Събиране на два вектора

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Умножение на вектор със скалар.

Произведението на вектор и скалар е нов вектор, който има:

a) = произведения на модула на умножения вектор по абсолютната стойност на скалара.

б) посоката е същата като на умножения вектор, ако скаларът е положителен, и противоположна, ако скаларът е отрицателен.

λ a(вектор)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Свойства на линейните операции върху вектори.

1. Законът за общността.

2. Законът за асоциативността.

3. Събиране с нула.

a(вектор)+ō= a(вектор)

4. Събиране с противоположно.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6;7 Закон за дистрибутивността.

Изразяване на вектор чрез неговия модул и единичен вектор.

Максималният брой линейно независими вектори се нарича базис.

Базис върху права е всеки ненулев вектор.

Базис на равнината са всеки два некаленарни вектора.

Базис в пространството е система от всеки три некомпланарни вектора.

Коефициентът на разширение на вектор в някакъв базис се нарича компонентите или координатите на вектора в дадения базис.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> извършете събиране и умножение със скалар, след това като резултат произволен брой такива действия, които получаваме:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> се наричат ​​линейно зависими, ако има нетривиална линейна комбинация от тях, равна на ō.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> се наричат ​​линейно независими, ако няма нетривиална линейна комбинация от тях.

Свойства на линейно зависими и независими вектори:

1) системата от вектори, съдържаща нулевия вектор, е линейно зависима.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> са линейно зависими, някои вектори трябва да бъдат линейна комбинация от други вектори.

3) ако някои от векторите от системата a1 (вектор), a2 (вектор) ... ak (вектор) са линейно зависими, то всички вектори са линейно зависими.

4) ако всички вектори https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Линейни операции в координати.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">+ (λа3)DIV_ADBLOCK374">

Скаларното произведение на 2 вектора е число, равно на произведението на векторите и косинуса на ъгъла между тях.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13">

3. (a;b)=0 тогава и само ако векторите са ортогонални или някой от векторите е равен на 0.

4. Дистрибутивност (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Изразяване на скаларното произведение на a и b чрез техните координати

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

Когато условието (), h, l=1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> и се извиква третият вектор, който отговаря на следните уравнения:

3. - надясно

Свойства на векторния продукт:

4. Векторно произведение на координатни вектори

ортонормална основа.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Често 3 символа се използват за обозначаване на ортите на ортонормална основа

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Ако е ортонормална основа, тогава

DIV_ADBLOCK375">

Права на равнина. Взаимно разположение на 2 прави линии. Разстоянието от точка до права линия. Ъгъл между две прави. Условие за успоредност и перпендикулярност на 2 прави.

1. Частен случай на разположение на 2 прави в равнина.

1) - уравнението на права успоредна ос OX

2) - уравнението на права линия, успоредна на оста OS

2. Взаимно разположение на 2 прави линии.

Теорема 1 Нека уравненията на правите са дадени по отношение на афинната координатна система

А) Тогава необходимото и достатъчно условие при пресичането им е:

Б) Тогава необходимото и достатъчно условие за това, че правите са успоредни е условието:

Б) Тогава необходимо и достатъчно условие за сливането на редовете в едно е условието:

3. Разстояние от точка до права.

Теорема. Разстояние от точка до права спрямо декартовата координатна система:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Ъгъл между две прави. Перпендикулярно състояние.

Нека 2 прави линии са дадени по отношение на декартовата координатна система чрез общи уравнения.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Ако , тогава линиите са перпендикулярни.

24 въпрос.

самолет в космоса. Условие за комплонарност за вектор и равнина. Разстоянието от точка до равнина. Условие за успоредност и перпендикулярност на две равнини.

1. Условие за комплонарност за вектор и равнина.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:Untitled4.jpg" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:Untitled5.jpg" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Ъгъл между 2 равнини. Перпендикулярно състояние.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Ако , тогава равнините са перпендикулярни.

25 въпрос.

Права линия в пространството. Различни видове уравнения на права линия в пространството.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Векторно уравнение на права линия в пространството.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Каноничното уравнение е директно.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:Untitled3.jpg" width="56" height="51"> !}

28 въпрос.

Елипса. Извеждане на уравнението на каноничната елипса. Формата. Имоти

Елипса е геометричното място на точките, за които сумата от разстоянията от две фиксирани разстояния, наречени фокуси, е дадено число 2a по-голямо от разстоянието 2c между фокусите.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="(!LANG:image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="изображение043" width="81 height=44" height="44"> 0=!}

на фиг.2 r1=a+ex r2=a-ex

Ур-е допирателна към елипса

DIV_ADBLOCK378">

Канонично уравнение на хипербола

Форма и Св.

y=±b/a умножете по корена на (x2-a2)

Оста на симетрия на хипербола е нейните оси

Сегмент 2а - реалната ос на хиперболата

Ексцентричност e=2c/2a=c/a

Ако b=a получаваме равнобедрена хипербола

Асимптотата е права линия, ако при неограничено отстраняване на точката M1 по кривата разстоянието от точката до правата линия клони към нула.

lim d=0 за x-> ∞

d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c)

тангенс на хипербола

xx0/a2 - yy0/b2 = 1

парабола - геометричното място на точките, еднакво отдалечени от точка, наречена фокус, и дадена права, наречена директриса

Уравнение на канонична парабола

Имоти

оста на симетрия на параболата минава през нейния фокус и е перпендикулярна на директрисата

ако завъртите параболата, получавате елипсовиден параболоид

всички параболи са подобни

Въпрос 30. Изследване на уравнението на общата форма на крива от втори ред.

Деф. тип крива с водещи членове A1, B1, C1

A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

1. AC=0 ->крива от параболичен тип

A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0

A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0

Ако E=0 => Ax2+2Dx+F=0

тогава x1=x2 - се слива в едно

x1≠x2 - правите са успоредни Oy

x1≠x2 и въображаеми корени, няма геометричен образ

C≠0 A=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

Заключение: параболичната крива е или парабола, или 2 успоредни линии, или въображаема, или се сливат в една.

2.AC>0 -> крива от елиптичен тип

Допълвайки оригиналното уравнение до пълния квадрат, трансформираме го в каноничното, след което получаваме случаите

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - елипса

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - въображаема елипса

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - точка с координата x0 y0

Заключение: крива ел. типът е или елипса, или въображаема, или точка

3. AC<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 хипербола, реалната ос е успоредна

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 хипербола, реална ос, успоредна на Oy

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 ur-e от две линии

Заключение: крива от хиперболичен тип е или хипербола, или две прави линии

Матрица измерение се нарича таблица с числа, съдържаща редове и колони. Числата се наричат ​​елементи на тази матрица, където е номерът на реда, е номерът на колоната, в пресечната точка на която се намира този елемент. Матрица, съдържаща редове и колони, изглежда така: .

Видове матрици:

1) при - квадрат , и те се обаждат матричен ред ;

2) квадратна матрица, в която всички недиагонални елементи са равни на нула

– диагонал ;

3) диагонална матрица, в която всички диагонални елементи са равни

мерна единица - единичен и се означава с ;

4) при - правоъгълен ;

5) at - матрица-ред (вектор-ред);

6) at - матрица-колона (вектор-колона);

7) за всички е нулева матрица.

Имайте предвид, че основната числена характеристика на квадратната матрица е нейната детерминанта. Детерминантата, съответстваща на матрицата от ти ред, също има ти ред.

Детерминанта на матрица от 1-ви ред се нарича число.

Детерминанта на матрица от 2-ри ред нарече номер . (1.1)

Детерминанта на матрица от 3-ти ред нарече номер . (1.2)

Нека дадем определенията, необходими за по-нататъшното изложение.

Малолетният М ij елемент а ij матрици н-ред А се нарича детерминанта на матрицата ( n-1)-ред, получен от матрица A чрез изтриване аз-ти ред и й-та колона.

Алгебрично допълнение А ij елемент а ij матрици н- от ред А се нарича минор на този елемент, взет със знака .

Нека формулираме основните свойства на детерминантите, които са присъщи на детерминантите от всички поръчки и да опростим тяхното изчисляване.

1. При транспониране на матрица нейната детерминанта не се променя.

2. При размяна на два реда (колони) от една матрица детерминантата й сменя знака.

3. Детерминанта с два пропорционални (равни) реда (колони) е равна на нула.

4. Общият множител на елементите на всеки ред (колона) на детерминантата може да бъде изваден от знака на детерминантата.

5. Ако елементите на който и да е ред (колона) на детерминантата са сбор от два члена, то детерминантата може да се разложи на сумата от две съответни детерминанти.

6. Детерминантата няма да се промени, ако елементите на който и да е ред (колона) се добавят към съответните елементи на другия ред (колона), предварително умножени по произволно число.

7. Детерминантата на матрицата е равна на сумата от продуктите на елементите на всеки от нейните редове (колони) и алгебричните допълнения на тези елементи.

Нека обясним това свойство на примера на детерминанта от 3-ти ред. В този случай свойство 7 означава това – разширяване на определителя с елементите на 1-ви ред. Обърнете внимание, че редът (колоната), където има нула елементи, е избран за разширение, тъй като членовете, съответстващи на тях в разширението, изчезват.

Свойство 7 е теоремата на Лаплас за разлагането на детерминантата.

8. Сумата от произведенията на елементите на произволен ред (колона) от детерминантата и алгебричните допълнения на съответните елементи от другия му ред (колона) е равна на нула.

Последното свойство често се нарича псевдоразлагане на детерминантата.

Въпроси за самопроверка.

1. Какво се нарича матрица?

2. Каква матрица се нарича квадратна? Какво се разбира под неговия ред?

3. Каква матрица се нарича диагонал, идентичност?

4. Каква матрица се нарича матрица на ред и матрица на колона?

5. Каква е основната числена характеристика на квадратната матрица?

6. Кое число се нарича определител от 1-ви, 2-ри и 3-ти ред?

7. Какво се нарича второстепенно и алгебрично допълнение на матричен елемент?

8. Какви са основните свойства на детерминантите?

9. Кое свойство може да се използва за изчисляване на детерминантата на всеки ред?

Матрични действия(схема 2)

Върху множеството от матрици са дефинирани редица операции, като основните от тях са следните:

1) транспониране – замяна на редовете на матрицата с колони, а колоните с редове;

2) умножението на матрица с число се извършва елемент по елемент, т.е , където , ;

3) добавяне на матрици, дефинирано само за матрици с една и съща размерност;

4) умножение на две матрици, определено само за последователни матрици.

Сумата (разликата) на две матрици се нарича такава получена матрица, всеки елемент от която е равен на сумата (разликата) на съответните елементи на термините на матрицата.

Двете матрици се наричат съгласен ако броят на колоните на първия е равен на броя на редовете на другия. Произведението на две последователни матрици и такава получена матрица се нарича , Какво , (1.4)

където , . От това следва, че елементът на -тия ред и -та колона на матрицата е равен на сумата от произведенията по двойки на елементите на -тия ред на матрицата и елементите на -та колона на матрица .

Продуктът на матриците не е комутативен, тоест A . Б Б . A. Изключение е например произведението на квадратни матрици с идентичността A . E = E . НО.

Пример 1.1.Умножете матрици A и B, ако:

.

Решение.Тъй като матриците са последователни (броят на колоните на матрицата е равен на броя на редовете на матрицата), използваме формула (1.4):

Въпроси за самопроверка.

1. Какви действия се извършват върху матрици?

2. Какво се нарича сбор (разлика) на две матрици?

3. Какво се нарича произведение на две матрици?

Метод на Крамър за решаване на квадратни системи от линейни алгебрични уравнения(схема 3)

Нека дадем редица необходими определения.

Системата от линейни уравнения се нарича разнородни , ако поне един от неговите безплатни членове е различен от нула, и хомогенен ако всички негови свободни членове са равни на нула.

Решаване на системата от уравнения се нарича подреден набор от числа, който, замествайки променливи в система, превръща всяко от нейните уравнения в идентичност.

Системата от уравнения се нарича става ако има поне едно решение и несъвместими ако няма решения.

Съвместната система от уравнения се нарича определени ако има уникално решение и несигурен ако има повече от едно решение.

Помислете за нехомогенна квадратна система от линейни алгебрични уравнения, която има следния общ вид:

. (1.5) Основната матрица на системата линейни алгебрични уравнения се нарича матрица, съставена от коефициенти в неизвестните: .

Детерминантата на основната матрица на системата се нарича основен определящ фактор и се обозначава.

Спомагателният детерминант се получава от основния детерминант чрез замяна на i-тата колона с колоната със свободни членове.

Теорема 1.1 (теорема на Крамър).Ако основната детерминанта на квадратична система от линейни алгебрични уравнения е различна от нула, тогава системата има уникално решение, изчислено по формулите:

Ако основната детерминанта , тогава системата или има безкраен набор от решения (за всички нулеви спомагателни детерминанти), или изобщо няма решение (ако поне една от спомагателните детерминанти е различна от нула)

В светлината на горните дефиниции теоремата на Крамър може да бъде формулирана по различен начин: ако главният детерминант на система от линейни алгебрични уравнения е различен от нула, тогава системата е съвместно дефинирана и, освен това, ; ако главният детерминант е нула, тогава системата е или последователна неопределена (за всички ), или несъгласувана (ако поне един от е различен от нула).

След това полученият разтвор трябва да се провери.

Пример 1.2.Решете системата по метода на Крамер

Решение.Тъй като основната детерминанта на системата

е различно от нула, тогава системата има уникално решение. Изчисляване на спомагателни детерминанти

Използваме формулите на Крамер (1.6): , ,

Въпроси за самопроверка.

1. Какво се нарича решение на система от уравнения?

2. Каква система от уравнения се нарича съвместима, несъвместима?

3. Каква система от уравнения се нарича определена, неопределена?

4. Каква матрица на системата от уравнения се нарича основна?

5. Как се изчисляват спомагателни детерминанти на система от линейни алгебрични уравнения?

6. Каква е същността на метода на Крамър за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения?

7. Каква може да бъде система от линейни алгебрични уравнения, ако нейният основен детерминант е равен на нула?

Решаване на квадратни системи от линейни алгебрични уравнения по метода на обратната матрица(схема 4)

Извиква се матрица, която има ненулев детерминант неизродени ; с детерминанта равна на нула - изродени .

Матрицата се нарича обратна за дадена квадратна матрица, ако при умножаване на матрицата по нейната обратна както отдясно, така и отляво, се получава матрицата за идентичност, т.е. (1.7)

Забележете, че в този случай произведението на матрици и е комутативно.

Теорема 1.2.Необходимо и достатъчно условие за съществуването на обратна матрица за дадена квадратна матрица е разликата от нула на детерминантата на дадената матрица

Ако основната матрица на системата се оказа изродена по време на проверката, тогава няма обратна за нея и разглежданият метод не може да бъде приложен.

Ако основната матрица е неособена, т.е. детерминантата е 0, тогава за нея можете да намерите обратната матрица, като използвате следния алгоритъм.

1. Изчислете алгебричните допълнения на всички елементи на матрицата.

2. Изпишете намерените алгебрични добавки към транспонираната матрица.

3. Съставете обратната матрица по формулата: (1.8)

4. Проверете коректността на намерената матрица A-1 по формула (1.7). Имайте предвид, че тази проверка може да бъде включена в крайната проверка на самото системно решение.

Система (1.5) от линейни алгебрични уравнения може да бъде представена като матрично уравнение: , където е основната матрица на системата, е колоната с неизвестни и е колоната със свободни членове. Умножаваме това уравнение отляво по обратната матрица, получаваме:

Тъй като по дефиниция на обратната матрица, уравнението приема формата или . (1.9)

По този начин, за да решите квадратична система от линейни алгебрични уравнения, трябва да умножите колоната със свободни членове отляво по обратната матрица за основната матрица на системата. След това трябва да проверите получения разтвор.

Пример 1.3.Решете системата, като използвате метода на обратната матрица

Решение.Изчислете основната детерминанта на системата

. Следователно матрицата е неособена и нейната обратна матрица съществува.

Намерете алгебричните допълнения на всички елементи на основната матрица:

Записваме алгебричните добавки, транспонирани в матрицата

. Използваме формули (1.8) и (1.9), за да намерим решение на системата

Въпроси за самопроверка.

1. Каква матрица се нарича изродена, неизродена?

2. Каква матрица се нарича обратна за дадена? Какво е условието за съществуването му?

3. Какъв е алгоритъмът за намиране на обратната матрица за дадена?

4. На какво матрично уравнение е еквивалентна системата от линейни алгебрични уравнения?

5. Как се решава система от линейни алгебрични уравнения, като се използва обратната матрица за основната матрица на системата?

Изследване на нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения(схема 5)

Изследването на всяка система от линейни алгебрични уравнения започва с преобразуването на нейната разширена матрица по метода на Гаус. Нека размерността на основната матрица на системата е .

Матрица наречена разширена системна матрица , ако заедно с коефициентите на неизвестните съдържа колона със свободни членове. Следователно измерението е .

Методът на Гаус се основава на елементарни трансформации , които включват:

– пермутация на матрични редове;

– умножение на редовете на матрицата с число, различно от волана;

– поелементно събиране на матрични редове;

- заличаване на нулевата линия;

– транспониране на матрица (в този случай трансформациите се извършват по колони).

Елементарните трансформации довеждат оригиналната система до еквивалентна на нея система. системи се наричат ​​еквивалентни ако имат еднакъв набор от решения.

Ранг на матрицата е най-високият ред на ненулевите минори. Елементарните трансформации не променят ранга на матрицата.

Следващата теорема отговаря на въпроса дали една нехомогенна система от линейни уравнения има решения.

Теорема 1.3 (теорема на Кронекер-Капели).Една нехомогенна система от линейни алгебрични уравнения е последователна тогава и само тогава, когато рангът на разширената матрица на системата е равен на ранга на нейната основна матрица, т.е.

Нека означим броя на редовете, оставащи в матрицата след метода на Гаус като (съответно, системата остава уравнения). Тези линии матрици се наричат основен .

Ако , тогава системата има уникално решение (тя е съвместно дефинирана), нейната матрица се редуцира до триъгълна форма чрез елементарни трансформации. Такава система може да бъде решена по метода на Крамер, като се използва обратната матрица или универсалния метод на Гаус.

Ако (броят на променливите в системата е повече от уравненията), матрицата се редуцира до стъпаловидна форма чрез елементарни трансформации. Такава система има много решения и е съвместно неопределена. В този случай, за да се намерят решения на системата, е необходимо да се извършат редица операции.

1. Оставете в левите части на уравненията на системата от неизвестни ( базисни променливи ), преместете останалите неизвестни в дясната страна ( свободни променливи ). След разделянето на променливите на основни и свободни, системата приема формата:

. (1.10)

2. От коефициентите при основните променливи направете второстепенна ( основен минор ), която трябва да е различна от нула.

3. Ако основният минор на система (1.10) е равен на нула, то една от основните променливи се заменя със свободна; проверете получената минорна основа за различна от нула.

4. Прилагайки формули (1.6) на метода на Крамър, разглеждайки десните части на уравненията като техни свободни членове, намерете израза на основните променливи през свободните в общ вид. Полученият подреден набор от системни променливи е негов общо решение .

5. Давайки произволни стойности на свободните променливи в (1.10), изчислете съответните стойности на основните променливи. Полученият подреден набор от стойности на всички променливи се извиква частно решение системи, съответстващи на дадени стойности на свободни променливи. Системата има безкраен брой конкретни решения.

6. Вземете основно решение система е конкретно решение, получено при нулеви стойности на свободни променливи.

Обърнете внимание, че броят на базисните набори от променливи на системата (1.10) е равен на броя на комбинациите от елементи по елементи. Тъй като всеки основен набор от променливи има свое собствено основно решение, следователно системата също има основни решения.

Една хомогенна система от уравнения винаги е съвместима, тъй като има поне едно - нулево (тривиално) решение. За да има хомогенна система от линейни уравнения с променливи ненулеви решения, е необходимо и достатъчно нейният основен детерминант да е равен на нула. Това означава, че рангът на основната му матрица е по-малък от броя на неизвестните. В този случай изследването на хомогенна система от уравнения за общи и частни решения се извършва подобно на изследването на нехомогенна система. Решенията на хомогенна система от уравнения имат важно свойство: ако са известни две различни решения на хомогенна система от линейни уравнения, тогава тяхната линейна комбинация също е решение на тази система. Лесно е да се провери валидността на следната теорема.

Теорема 1.4.Общото решение на нехомогенна система от уравнения е сумата от общото решение на съответната хомогенна система и частно решение на нехомогенната система от уравнения

Пример 1.4.

Разгледайте дадената система и намерете едно конкретно решение:

Решение.Нека напишем разширената матрица на системата и приложим към нея елементарни трансформации:

. Тъй като и , то по теорема 1.3 (Кронекер-Капели) дадената система от линейни алгебрични уравнения е непротиворечива. Броят на променливите, т.е., означава, че системата е неопределена. Броят на базовите набори от системни променливи е равен на

. Следователно 6 набора от променливи могат да бъдат основни: . Нека разгледаме един от тях. Тогава системата, получена в резултат на метода на Гаус, може да бъде пренаписана във формата

. Основна детерминанта . Използвайки метода на Крамер, търсим общото решение на системата. Спомагателни детерминанти

По формули (1.6) имаме

. Този израз на основните променливи по отношение на свободните е общото решение на системата:

За конкретни стойности на свободни променливи, от общото решение получаваме конкретно решение на системата. Например конкретно решение съответства на стойностите на свободните променливи . За , получаваме основното решение на системата

Въпроси за самопроверка.

1. Каква система от уравнения се нарича хомогенна, нехомогенна?

2. Каква матрица се нарича разширена?

3. Избройте основните елементарни трансформации на матрици. Какъв метод за решаване на системи от линейни уравнения се основава на тези трансформации?

4. Какво се нарича ранг на матрица? По какъв начин може да се изчисли?

5. Какво гласи теоремата на Кронекер-Капели?

6. До какъв вид може да се приведе системата от линейни алгебрични уравнения в резултат на нейното решаване по метода на Гаус? Какво означава това?

7. Кои редове на матрицата се наричат ​​основни?

8. Кои променливи на системата се наричат ​​основни, кои са свободни?

9. Кое решение на нехомогенна система се нарича частно?

10. Какво решение се нарича основно? Колко основни решения има една нехомогенна система от линейни уравнения?

11. Какво решение на нехомогенна система от линейни алгебрични уравнения се нарича общо? Формулирайте теорема за общото решение на нехомогенна система от уравнения.

12. Какви са основните свойства на решенията на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения?

Имайте предвид, че елементите на матрицата могат да бъдат не само числа. Представете си, че описвате книгите, които са на вашата лавица. Нека вашият рафт е в ред и всички книги стоят на строго определени места. Таблицата, която ще съдържа описанието на вашата библиотека (според рафтовете и последователността на книгите на рафта), също ще бъде матрица. Но такава матрица няма да бъде числова. Друг пример. Вместо числа има различни функции, обединени помежду си от някаква зависимост. Получената таблица също ще се нарича матрица. С други думи, Matrix е всяка правоъгълна маса, съставена от хомогененелементи. Тук и по-долу ще говорим за матрици, съставени от числа.

Вместо скоби, матриците се изписват с квадратни скоби или прави двойни вертикални линии.

(2.1*)

Определение 2. Ако в израза(1) m = n, тогава говорят за квадратна матрица, какво ако , нещо за правоъгълен.

В зависимост от стойностите на m и n има някои специални видове матрици:

Най-важната характеристика квадратматрицата е негова детерминантили детерминант, който е съставен от матрични елементи и се обозначава

Очевидно D E =1; .

Определение 3. Ако , след това матрицатаА Наречен неизродени или не особено.

Определение 4. Ако detA = 0, след това матрицатаА Наречен изродени или специален.

Определение 5. Две матрициА иб Наречен равен и пишиА=Б ако имат еднакви размери и съответните им елементи са равни, т.е..

Например, матриците и са равни, защото те са равни по размер и всеки елемент от едната матрица е равен на съответния елемент от другата матрица. Но матриците не могат да бъдат наречени равни, въпреки че детерминантите на двете матрици са равни и размерите на матриците са еднакви, но не всички елементи на едни и същи места са равни. Матриците са различни, защото имат различни размери. Първата матрица е 2x3, а втората 3x2. Въпреки че броят на елементите е еднакъв - 6 и самите елементи са еднакви 1, 2, 3, 4, 5, 6, но те са на различни места във всяка матрица. Но матриците и са равни, съгласно дефиниция 5.

Определение 6. Ако фиксираме определен брой колони на матрицатаА и същия брой редове, тогава елементите в пресечната точка на посочените колони и редове образуват квадратна матрицан- ти ред, чиято детерминанта Наречен незначителенк- матрица от ти редА.

Пример. Изпишете три минора от втория ред на матрицата

Точки в пространството, продукт Rvдава друг вектор, който определя позицията на точката след въртенето. Ако vе вектор ред, същата трансформация може да се получи с помощта на vRТ, къде Р T - транспониран към Рматрица.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

C# - Конзола - Олимпийски игри - Квадратна спирала

Матрица: определение и основни понятия

Къде да получите сила и вдъхновение Презареждане 4 квадратна матрица

Сума и разлика на матрици, умножение на матрица с число

Транспонирана матрица / Транспонирана матрица

субтитри

Главен диагонал

Елементи а ii (аз = 1, ..., н) образуват главния диагонал на квадратна матрица. Тези елементи лежат на въображаема права линия, минаваща от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл на матрицата. Например главният диагонал на матрицата 4x4 на фигурата съдържа елементите а 11 = 9, а 22 = 11, а 33 = 4, а 44 = 10.

Диагоналът на квадратна матрица, минаващ през долния ляв и горния десен ъгъл, се нарича страна.

Специални видове

Име	Пример с н = 3
Диагонална матрица	[ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix)))
Долна триъгълна матрица	[ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\a_(21)&a_(22)&0\\a_(31)&a_( 32)&a_(33)\end(bmatrix)))
Горна триъгълна матрица	[ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(bmatrix)))

Диагонални и триъгълни матрици

Ако всички елементи извън главния диагонал са нула, Анаречен диагонал. Ако всички елементи над (под) главния диагонал са нула, Асе нарича долна (горна) триъгълна матрица.

Идентификационна матрица

Q(х) = х T брадва

приема само положителни стойности (съответно отрицателни стойности или и двете). Ако квадратичната форма приема само неотрицателни (съответно само неположителни) стойности, симетричната матрица се казва, че е положителна полуопределена (съответно отрицателна полуопределена). Една матрица е неопределена, ако не е нито положителна, нито отрицателна полуопределена.

Симетричната матрица е положително определена тогава и само ако всички нейни собствени стойности са положителни. Таблицата вдясно показва два възможни случая за 2×2 матрици.

Ако използваме два различни вектора, получаваме билинейна форма, свързана с А:

б А (х, г) = х T да.

ортогонална матрица

ортогонална матрицае квадратна матрица с реални елементи, чиито колони и редове са ортогонални единични вектори (т.е. ортонормални). Човек може също да дефинира ортогонална матрица като матрица, чиято обратна е равна на транспонирането:

A T = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)

откъде следва

A T A = A A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),

ортогонална матрица Авинаги обратимо ( А −1 = А T), унитарен ( А −1 = А*) и нормално ( А*А = АА*). Детерминантата на всяка ортонормална матрица е или +1, или −1. Като линейна карта всяка ортонормална матрица с детерминанта +1 е проста ротация, докато всяка ортонормална матрица с детерминанта −1 е или просто отражение, или композиция от отражение и ротация.

Операции

Писта

Определящо det( А) или | А| квадратна матрица Ае число, което определя някои свойства на матрицата. Една матрица е обратима тогава и само тогава, когато нейният детерминант е различен от нула.

Нека има квадратна матрица от n-ти ред

Извиква се матрица A -1 обратна матрицапо отношение на матрицата A, ако A * A -1 = E, където E е матрицата на идентичност от n-ти ред.

Идентификационна матрица- такава квадратна матрица, в която всички елементи по главния диагонал, минаващ от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл, са единици, а останалите са нули, например:

обратна матрицаможе да съществува само за квадратни матрицитези. за тези матрици, които имат еднакъв брой редове и колони.

Теорема за условието за съществуване на обратната матрица

За да има една матрица обратна матрица, е необходимо и достатъчно тя да не е изродена.

Извиква се матрицата A = (A1, A2,...A n). неизродениако колонните вектори са линейно независими. Броят на линейно независимите колонни вектори на матрица се нарича ранг на матрицата. Следователно можем да кажем, че за да съществува обратна матрица, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата да е равен на нейната размерност, т.е. r = n.

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

1. Запишете матрицата A в таблицата за решаване на системи уравнения по метода на Гаус и отдясно (на мястото на десните части на уравненията) й задайте матрица E.
2. Използвайки трансформациите на Джордан, приведете матрица А към матрица, състояща се от единични колони; в този случай е необходимо едновременно да се трансформира матрицата E.
3. Ако е необходимо, пренаредете редовете (уравненията) на последната таблица, така че матрицата на идентичност E да се получи под матрицата A на оригиналната таблица.
4. Напишете обратната матрица A -1, която е в последната таблица под матрицата E на оригиналната таблица.

Пример 1

За матрица A намерете обратната матрица A -1

Решение: Записваме матрицата A и отдясно задаваме матрицата на идентичност E. Използвайки трансформациите на Йордан, редуцираме матрицата A до матрицата на идентичност E. Изчисленията са показани в таблица 31.1.

Нека проверим правилността на изчисленията, като умножим оригиналната матрица A и обратната матрица A -1.

В резултат на умножението на матрицата се получава матрицата на идентичността. Следователно изчисленията са верни.

Отговор:

Решение на матрични уравнения

Матричните уравнения могат да изглеждат така:

AX = B, XA = B, AXB = C,

където A, B, C са дадени матрици, X е желаната матрица.

Матричните уравнения се решават чрез умножаване на уравнението по обратни матрици.

Например, за да намерите матрицата от уравнение, трябва да умножите това уравнение по отляво.

Следователно, за да намерите решение на уравнението, трябва да намерите обратната матрица и да я умножите по матрицата от дясната страна на уравнението.

Други уравнения се решават по подобен начин.

Пример 2

Решете уравнението AX = B, ако

Решение: Тъй като обратното на матрицата е равно (вижте пример 1)

Матричен метод в икономическия анализ

Наред с други, те също намират приложение матрични методи. Тези методи се основават на линейна и векторно-матрична алгебра. Такива методи се използват за целите на анализа на сложни и многоизмерни икономически явления. Най-често тези методи се използват, когато е необходимо да се сравни функционирането на организациите и техните структурни подразделения.

В процеса на прилагане на матрични методи за анализ могат да се разграничат няколко етапа.

На първия етапсе извършва формирането на система от икономически показатели и на нейна основа се съставя матрица от изходни данни, която представлява таблица, в която номерата на системата са показани в отделните й редове (i = 1,2,....,n), а по вертикалните графики - номера на показателите (j = 1,2,....,m).

На втория етапза всяка вертикална колона се разкрива най-голямата от наличните стойности на индикаторите, която се приема като единица.

След това всички суми, отразени в тази колона, се разделят на най-голямата стойност и се формира матрица от стандартизирани коефициенти.

На третия етапвсички компоненти на матрицата са повдигнати на квадрат. Ако те имат различно значение, тогава на всеки показател от матрицата се присвоява определен коефициент на тежест к. Стойността на последния се определя от вещо лице.

На последния четвърти етапнамерени стойности на оценките Rjгрупирани в ред на нарастване или намаляване.

Горепосочените матрични методи трябва да се използват например при сравнителен анализ на различни инвестиционни проекти, както и при оценка на други икономически показатели на организацията.