Действия с квадратни корени. Модул

Свойства на квадратния корен

Досега сме извършили пет аритметични операции с числа: събиране, изваждане, умножение, деление и степенуване и различни свойства на тези операции бяха активно използвани в изчисленията, например a + b = b + a, an-bn = (ab) n и т.н.

Тази глава въвежда нова операция - извличане на корен квадратен от неотрицателно число. За да го използвате успешно, трябва да се запознаете със свойствата на тази операция, което ще направим в този раздел.

Доказателство. Нека въведем следната нотация: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="(!LANG:Равенство" width="120" height="25 id=">!}.

Ето как формулираме следната теорема.

(Кратка формулировка, която е по-удобна за използване на практика: коренът на дроб е равен на частта на корените или коренът на частното е равен на частното на корените.)

Този път ще дадем само кратък запис на доказателството, а вие можете да се опитате да направите подходящи коментари, подобни на тези, които съставляват същността на доказателството на теорема 1.

Забележка 3. Разбира се, този пример може да бъде решен по различен начин, особено ако имате под ръка калкулатор: умножете числата 36, 64, 9 и след това вземете корен квадратен от получения продукт. Съгласете се обаче, че предложеното по-горе решение изглежда по-културно.

Забележка 4. При първия метод извършихме изчисления директно. Вторият начин е по-елегантен:
кандидатствахме формула a2 - b2 = (a - b) (a + b) и използва свойството квадратни корени.

Забележка 5. Някои "горещи глави" понякога предлагат следното "решение" на Пример 3:

Това, разбира се, не е вярно: виждате - резултатът не е същият като в нашия пример 3. Факт е, че няма собственост https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="(!LANG:Задача" width="148" height="26 id=">!}Има само свойства, отнасящи се до умножението и делението на квадратни корени. Бъдете внимателни и внимателни, не приемайте пожелателни мисли.

Завършвайки параграфа, отбелязваме още едно доста просто и в същото време важно свойство:
ако a > 0 и n - естествено число, тогава

Преобразуване на изрази, съдържащи операция за квадратен корен

Досега сме извършвали само трансформации рационални изрази, използвайки за това правилата за операции с полиноми и алгебрични дроби, формули за съкратено умножение и др. В тази глава въведохме нова операция - операцията за извличане на квадратен корен; установихме това

където, припомнете си, a, b са неотрицателни числа.

Използвайки тези формули, можете да извършвате различни трансформации на изрази, съдържащи операция за квадратен корен. Нека разгледаме няколко примера и във всички примери ще приемем, че променливите приемат само неотрицателни стойности.

Пример 3Въведете фактор под знака за квадратен корен:

Пример 6. Опростете израза Решение. Нека извършим последователни трансформации:

Площта на квадратен парцел е 81 dm². Намерете неговата страна. Да предположим, че дължината на страната на квадрата е хдециметри. Тогава площта на парцела е х² квадратни дециметра. Тъй като според условието тази площ е 81 dm², тогава х² = 81. Дължината на страната на квадрат е положително число. Положително число, чийто квадрат е 81, е числото 9. При решаването на задачата беше необходимо да се намери числото x, чийто квадрат е 81, т.е. решаване на уравнението х² = 81. Това уравнение има два корена: х 1 = 9 и х 2 \u003d - 9, тъй като 9² \u003d 81 и (- 9)² \u003d 81. И двете числа 9 и - 9 се наричат ​​квадратни корени от числото 81.

Забележете, че един от квадратните корени х= 9 е положително число. Нарича се аритметичен квадратен корен от 81 и се обозначава с √81, така че √81 = 9.

Аритметичен корен квадратен от число ае неотрицателно число, чийто квадрат е равен на а.

Например числата 6 и -6 са квадратен корен от 36. Числото 6 е аритметичен квадратен корен от 36, тъй като 6 е неотрицателно число и 6² = 36. Числото -6 не е аритметичен корен.

Аритметичен корен квадратен от число асе обозначава по следния начин: √ а.

Знакът се нарича знак за аритметичен квадратен корен; асе нарича коренен израз. Израз √ аПрочети като това: аритметичният корен квадратен от число а.Например √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. В случаите, когато е ясно, че говорим за аритметичен корен, те накратко казват: „корен квадратен от а«.

Действието на намиране на корен квадратен от число се нарича извличане на корен квадратен. Това действие е обратното на повдигането на квадрат.

Всяко число може да бъде повдигнато на квадрат, но не всяко число може да бъде квадратен корен. Например, невъзможно е да се извлече корен квадратен от числото - 4. Ако такъв корен съществува, тогава, обозначавайки го с буквата х, ще получим грешно равенство x² \u003d - 4, тъй като има неотрицателно число отляво и отрицателно число отдясно.

Израз √ аима смисъл само когато a ≥ 0. Дефиницията на корен квадратен може да се запише накратко като: √ a ≥ 0, (√а)² = а. Равенство (√ а)² = авалидно за a ≥ 0. По този начин, за да се уверите, че корен квадратен от неотрицателно число асе равнява b, т.е. че √ а =b, трябва да проверите дали са изпълнени следните две условия: b ≥ 0, b² = а.

Корен квадратен от дроб

Нека изчислим. Обърнете внимание, че √25 = 5, √36 = 6 и проверете дали равенството е валидно.

защото и , тогава равенството е вярно. Така, .

Теорема:Ако а≥ 0 и b> 0, тоест коренът на дробта е равен на корена на числителя, разделен на корена на знаменателя. Изисква се да се докаже, че: и .

Тъй като √ а≥0 и √ b> 0, тогава .

Чрез свойството за повишаване на дроб на степен и определяне на корен квадратен теоремата е доказана. Нека да разгледаме няколко примера.

Изчислете , съгласно доказаната теорема .

Втори пример: Докажете това , ако а ≤ 0, b < 0. .

Друг пример: Изчислете.

.

Преобразуване на квадратен корен

Изваждане на множителя изпод знака на корена. Нека бъде даден израз. Ако а≥ 0 и b≥ 0, тогава по теоремата за корена на произведението можем да запишем:

Такава трансформация се нарича разлагане на коренния знак. Помислете за пример;

Изчислете при х= 2. Директно заместване х= 2 в радикалния израз води до сложни изчисления. Тези изчисления могат да бъдат опростени, ако първо премахнем факторите под знака за корен: . Сега замествайки x = 2, получаваме:.

Така че, когато се извади факторът под знака на корена, радикалният израз се представя като продукт, в който един или повече фактори са квадратите на неотрицателни числа. След това се прилага теоремата за коренния продукт и се взема коренът на всеки фактор. Помислете за пример: Опростете израза A = √8 + √18 - 4√2, като извадите факторите под знака за корен в първите два члена, получаваме:. Подчертаваме, че равенството валидно само когато а≥ 0 и b≥ 0. ако а < 0, то .

Урок и презентация по темата:
"Свойства на квадратен корен. Формули. Примери за решения, задачи с отговори"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения. Всички материали се проверяват с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин "Интеграл" за 8 клас
Интерактивно учебно помагало "Геометрия за 10 минути" за 8 клас
Образователен комплекс "1C: Училище. Геометрия, 8 клас"

Свойства на квадратен корен

Продължаваме да изучаваме квадратни корени. Днес ще разгледаме основните свойства на корените. Всички основни свойства са интуитивни и съответстват на всички операции, които сме правили преди.

Свойство 1. Коренът квадратен от произведението на две неотрицателни числа е равен на произведението от корените квадратни на тези числа: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Обичайно е да се доказват всякакви свойства, нека го направим.
Нека $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Тогава трябва да докажем, че $x=y*z$.
Нека повдигнем на квадрат всеки израз.
Ако $\sqrt(a*b)=x$, тогава $a*b=x^2$.
Ако $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, тогава повдигайки двата израза на квадрат, получаваме: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, т.е. $x^2=(y*z)^2$. Ако квадратите на две неотрицателни числа са равни, то и самите числа са равни, което трябваше да се докаже.

От нашето свойство следва, че например $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Забележка 1. Свойството е валидно и за случая, когато под корена има повече от два неотрицателни фактора.
Имот 2. Ако $a≥0$ и $b>0$, тогава е валидно следното равенство: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Тоест, коренът на частното е равен на частното на корените.
Доказателство.
Нека използваме таблицата и накратко докажем нашето свойство.

Примери за използване на свойства на квадратен корен

Пример 1
Изчислете: $\sqrt(81*25*121)$.

Решение.
Разбира се, можем да вземем калкулатор, да умножим всички числа под корена и да извършим операцията за извличане на квадратния корен. И ако няма калкулатор под ръка, какво тогава?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
Отговор: 495.

Пример 2. Изчислете: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Решение.
Представяме радикалното число като неправилна дроб: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Нека използваме свойство 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 долара.
Отговор: 3.4.

Пример 3
Изчислете: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Решение.
Можем да оценим нашия израз директно, но той почти винаги може да бъде опростен. Нека се опитаме да направим това.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Така $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Отговор: 32.

Момчета, имайте предвид, че няма формули за операциите събиране и изваждане на коренни изрази и изразите по-долу не са правилни.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Пример 4
Изчислете: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; б) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Решение.
Представените по-горе свойства работят както отляво надясно, така и в обратен ред, тоест:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Нека използваме това, за да решим нашия пример.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Отговор: а) 16; б) 2.

Имот 3. Ако $a≥0$ и n е естествено число, тогава е валидно следното равенство: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Например. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ и т.н.

Пример 5
Изчислете: $\sqrt(129600)$.

Решение.
Представеното ни число е доста голямо, нека го разложим на прости множители.
Получихме: $129600=5^2*2^6*3^4$ или $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Отговор: 360.

Задачи за самостоятелно решаване

1. Изчислете: $\sqrt(144*36*64)$.
2. Изчислете: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Изчислете: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Изчислете:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
б) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Математиката се ражда, когато човек осъзнава себе си и започва да се позиционира като автономна единица на света. Желанието да измервате, сравнявате, изчислявате това, което ви заобикаля, е това, което е в основата на една от фундаменталните науки на нашето време. Първоначално това бяха части от елементарната математика, които позволяваха да се свържат числата с техните физически изрази, по-късно заключенията започнаха да се представят само теоретично (поради тяхната абстрактност), но след известно време, както каза един учен, " математиката достигна тавана на сложността, когато всички числа." Концепцията за "квадратен корен" се появява във време, когато може лесно да бъде подкрепена от емпирични данни, излизащи отвъд равнината на изчисленията.

Как започна всичко

Първото споменаване на корена, който в момента се обозначава като √, е записано в писанията на вавилонските математици, които полагат основите на съвременната аритметика. Разбира се, те изглеждаха малко като сегашната форма - учените от онези години за първи път използваха обемисти таблетки. Но през второто хилядолетие пр.н.е. д. те излязоха с приблизителна формула за изчисление, която показа как да се извади корен квадратен. Снимката по-долу показва камък, върху който вавилонски учени са издълбали изходния процес √2 и той се оказва толкова правилен, че несъответствието в отговора се открива само в десетия знак след десетичната запетая.

Освен това коренът се използва, ако е необходимо да се намери страната на триъгълник, при условие че другите две са известни. Е, когато се решават квадратни уравнения, няма измъкване от извличането на корена.

Наред с вавилонските трудове обектът на статията е изследван в китайския труд "Математика в девет книги", а древните гърци стигат до извода, че всяко число, от което коренът не е извлечен без остатък, дава ирационален резултат.

Произходът на този термин се свързва с арабското представяне на числото: древните учени вярвали, че квадратът на произволно число расте от корена, като растение. На латински тази дума звучи като radix (може да се проследи модел - всичко, което има "коренно" семантично натоварване, е съгласно, било то репичка или ишиас).

Учените от следващите поколения подхванаха тази идея, обозначавайки я като Rx. Например, през 15-ти век, за да се покаже, че квадратният корен е взет от произволно число a, те са написали R 2 a. „Кърлежът“ √, познат на съвременния облик, се появява едва през 17 век благодарение на Рене Декарт.

Нашите дни

Математически квадратният корен от y е числото z, чийто квадрат е y. С други думи, z 2 =y е еквивалентно на √y=z. Това определение обаче е приложимо само за аритметичния корен, тъй като предполага неотрицателна стойност на израза. С други думи, √y=z, където z е по-голямо или равно на 0.

Като цяло, което е валидно за определяне на алгебричен корен, стойността на израз може да бъде положителна или отрицателна. Така, поради факта, че z 2 =y и (-z) 2 =y, имаме: √y=±z или √y=|z|.

Поради факта, че любовта към математиката се е увеличила само с развитието на науката, има различни прояви на привързаност към нея, които не се изразяват в сухи изчисления. Например, наред с такива интересни събития като деня на Пи, се празнуват и празниците на квадратния корен. Празнуват се девет пъти на сто години и се определят на следния принцип: числата, които означават деня и месеца по ред, трябва да бъдат корен квадратен от годината. Така че следващият път този празник ще бъде отбелязан на 4 април 2016 г.

Свойства на квадратния корен върху полето R

Почти всички математически изрази имат геометрична основа, тази съдба не подмина и √y, което се определя като страна на квадрат с площ y.

Как да намерим корена на число?

Има няколко алгоритъма за изчисление. Най-простият, но в същото време доста тромав, е обичайното аритметично изчисление, което е както следва:

1) от числото, чийто корен ни трябва, се изваждат последователно нечетни числа - докато остатъкът от изхода стане по-малък от извадения или дори равен на нула. Броят на ходовете в крайна сметка ще стане желаното число. Например, изчисляване на корен квадратен от 25:

Следващото нечетно число е 11, остатъкът е: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

За такива случаи има разширение на серия Тейлър:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n, където n приема стойности от 0 до

+∞ и |y|≤1.

Графично представяне на функцията z=√y

Да разгледаме елементарна функция z=√y върху полето от реални числа R, където y е по-голямо или равно на нула. Диаграмата й изглежда така:

Кривата расте от началото и задължително пресича точката (1; 1).

Свойства на функцията z=√y върху полето от реални числа R

1. Областта на дефиниране на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (нулата е включена).

2. Диапазонът от стойности на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (отново е включена нула).

3. Функцията приема минималната стойност (0) само в точката (0; 0). Няма максимална стойност.

4. Функцията z=√y не е нито четна, нито нечетна.

5. Функцията z=√y не е периодична.

6. Има само една пресечна точка на графиката на функцията z=√y с координатните оси: (0; 0).

7. Пресечната точка на графиката на функцията z=√y е и нулата на тази функция.

8. Функцията z=√y непрекъснато нараства.

9. Функцията z=√y приема само положителни стойности, следователно нейната графика заема първия координатен ъгъл.

Опции за показване на функцията z=√y

В математиката, за да се улесни изчисляването на сложни изрази, понякога се използва степенната форма на записване на квадратния корен: √y=y 1/2. Тази опция е удобна, например, при повдигане на функция на степен: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Този метод също е добро представяне за диференциране с интегриране, тъй като благодарение на него квадратният корен се представя от обикновена степенна функция.

А в програмирането заместването на символа √ е комбинацията от букви sqrt.

Струва си да се отбележи, че в тази област квадратният корен е много търсен, тъй като е част от повечето геометрични формули, необходими за изчисления. Самият алгоритъм за броене е доста сложен и се основава на рекурсия (функция, която се самоизвиква).

Квадратният корен в комплексното поле C

Като цяло темата на тази статия стимулира откриването на полето на комплексните числа C, тъй като математиците бяха преследвани от въпроса за получаване на корен от четна степен от отрицателно число. Така се появи въображаемата единица i, която се характеризира с много интересно свойство: нейният квадрат е -1. Благодарение на това квадратни уравнения и с отрицателен дискриминант получиха решение. В C, за квадратния корен, същите свойства са приложими като в R, единственото нещо е, че ограниченията върху коренния израз са премахнати.

Коренни формули. свойства на квадратния корен.

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

В предишния урок разбрахме какво е квадратен корен. Време е да разберете какви са формули за корени, какво са свойства на коренаи какво може да се направи за всичко това.

Формули за корени, свойства на корени и правила за действия с корени- по същество е едно и също нещо. Има изненадващо малко формули за квадратни корени. Което, разбира се, радва! По-скоро можете да напишете много всякакви формули, но само три са достатъчни за практична и уверена работа с корени. Всичко останало произтича от тези трите. Въпреки че мнозина се отклоняват в трите формули на корените, да ...

Да започнем с най-простото. Ето я:

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.