1. Дифракция на светлината. Принцип на Хюйгенс-Френел.

2. Дифракция на светлината от процеп в успоредни лъчи.

3. Дифракционна решетка.

4. Дифракционен спектър.

5. Характеристики на дифракционната решетка като спектрално устройство.

6. Рентгенов дифракционен анализ.

7. Дифракция на светлината от кръгъл отвор. резолюция на блендата.

8. Основни понятия и формули.

9. Задачи.

В тесен, но най-често използван смисъл, дифракцията на светлината е закръгляването на границите на непрозрачни тела от лъчите на светлината, проникването на светлина в областта на геометрична сянка. При явленията, свързани с дифракцията, има значително отклонение на поведението на светлината от законите на геометричната оптика. (Дифракцията не се проявява само за светлина.)

Дифракцията е вълново явление, което се проявява най-ясно, когато размерите на препятствието са съизмерими (от същия порядък) с дължината на вълната на светлината. Сравнително късното откриване на дифракцията на светлината (16-17 век) е свързано с малките дължини на видимата светлина.

21.1. Дифракция на светлината. Принцип на Хюйгенс-Френел

Дифракция на светлинатанарича комплекс от явления, които се дължат на неговата вълнова природа и се наблюдават по време на разпространението на светлината в среда с резки нееднородности.

Качествено обяснение на дифракцията е дадено от принцип на Хюйгенс,което установява метода за конструиране на вълновия фронт в момент t + Δt, ако неговата позиция в момент t е известна.

1. Според принцип на Хюйгенс,всяка точка от фронта на вълната е център на кохерентни вторични вълни. Обвивката на тези вълни дава позицията на фронта на вълната в следващия момент от времето.

Нека обясним приложението на принципа на Хюйгенс със следния пример. Нека плоска вълна падне върху преграда с дупка, чиято предна част е успоредна на преградата (фиг. 21.1).

Ориз. 21.1.Обяснение на принципа на Хюйгенс

Всяка точка от вълновия фронт, излъчван от дупката, служи като център на вторични сферични вълни. Фигурата показва, че обвивката на тези вълни прониква в областта на геометричната сянка, чиито граници са маркирани с пунктирана линия.

Принципът на Хюйгенс не казва нищо за интензитета на вторичните вълни. Този недостатък беше елиминиран от Френел, който допълни принципа на Хюйгенс с концепцията за интерференцията на вторичните вълни и техните амплитуди. Принципът на Хюйгенс, допълнен по този начин, се нарича принцип на Хюйгенс-Френел.

2. Според принципът на Хюйгенс-Френелголемината на светлинните трептения в дадена точка O е резултат от интерференция в тази точка на излъчени кохерентни вторични вълни всекивълнови повърхностни елементи. Амплитудата на всяка вторична вълна е пропорционална на площта на елемента dS, обратно пропорционална на разстоянието r до точката O и намалява с увеличаване на ъгъла α между нормалното нкъм елемента dS и посока към точка O (фиг. 21.2).

Ориз. 21.2.Излъчване на вторични вълни от вълнови повърхностни елементи

21.2. Дифракция на прорез в успоредни лъчи

Изчисленията, свързани с прилагането на принципа на Хюйгенс-Френел, в общия случай са сложна математическа задача. Въпреки това, в редица случаи с висока степен на симетрия, амплитудата на получените трептения може да бъде намерена чрез алгебрично или геометрично сумиране. Нека демонстрираме това, като изчислим дифракцията на светлината от процеп.

Нека плоска монохроматична светлинна вълна пада върху тесен процеп (AB) в непрозрачна преграда, чиято посока на разпространение е перпендикулярна на повърхността на прореза (фиг. 21.3, а). Зад процепа (успоредно на неговата равнина) поставяме събирателна леща, в фокална равнинакойто поставяме екрана E. Всички вторични вълни, излъчвани от повърхността на прореза в посока паралеленоптична ос на лещата (α = 0), попадат във фокуса на лещата в същата фаза.Следователно в центъра на екрана (O) има максимумсмущения за вълни с всякаква дължина. Нарича се максимум нулев ред.

За да разберем естеството на интерференцията на вторични вълни, излъчвани в други посоки, разделяме повърхността на слота на n еднакви зони (те се наричат ​​зони на Френел) и разглеждаме посоката, за която е изпълнено условието:

където b е ширината на слота и λ - дължината на светлинната вълна.

Лъчите на вторични светлинни вълни, пътуващи в тази посока, ще се пресичат в точка O.

Ориз. 21.3.Дифракция от един процеп: а - път на лъча; b - разпределение на интензитета на светлината (f - фокусно разстояние на лещата)

Продуктът bsina е равен на разликата в пътя (δ) между лъчите, излизащи от краищата на прореза. Тогава разликата в пътя на лъчите, идващи от съседниЗоните на Френел е равно на λ/2 (вижте формула 21.1). Такива лъчи взаимно се компенсират по време на интерференция, тъй като имат еднакви амплитуди и противоположни фази. Нека разгледаме два случая.

1) n = 2k е четно число. В този случай се получава по двойки изчезване на лъчи от всички зони на Френел, а в точката О" се наблюдава минимум на интерференционната картина.

минимуминтензитет по време на дифракция в процеп се наблюдава за посоките на лъчите на вторичните вълни, които отговарят на условието

Извиква се цяло число k минимална поръчка.

2) n = 2k - 1 е нечетно число. В този случай излъчването на една зона на Френел ще остане незагасено, а в точката О" ще се наблюдава максимумът на интерференционната картина.

Максимумът на интензитета по време на дифракция в процеп се наблюдава за посоките на лъчите на вторичните вълни, които отговарят на условието:

Извиква се цяло число k максимална поръчка.Припомнете си, че за посоката α = 0 имаме максимален нулев ред.

От формула (21.3) следва, че с увеличаване на дължината на светлинната вълна се увеличава ъгълът, при който се наблюдава максимум от порядък k > 0. Това означава, че при едно и също k лилавата ивица е най-близо до центъра на екрана, а червената е най-далеч.

На фигура 21.3, bпоказва разпределението на интензитета на светлината върху екрана в зависимост от разстоянието до центъра му. Основната част от светлинната енергия е концентрирана в централния максимум. С увеличаване на порядъка на максимума интензивността му бързо намалява. Изчисленията показват, че I 0:I 1:I 2 = 1:0,047:0,017.

Ако процепът е осветен с бяла светлина, тогава централният максимум ще бъде бял на екрана (това е общо за всички дължини на вълната). Страничните максимуми ще се състоят от цветни ленти.

Феномен, подобен на дифракция на прорези, може да се наблюдава върху бръснарско ножче.

21.3. Дифракционна решетка

В случай на дифракция на прорези интензитетите на максимумите от порядъка k > 0 са толкова незначителни, че не могат да бъдат използвани за решаване на практически задачи. Следователно, като спектрален инструмент се използва дифракционна решетка,който е система от паралелни равноотдалечени слотове. Дифракционна решетка може да се получи чрез нанасяне на непрозрачни щрихи (драскотини) върху плоскопаралелна стъклена пластина (фиг. 21.4). Пространството между щрихите (прорезите) пропуска светлина.

На повърхността на решетката се нанасят удари с диамантен нож. Тяхната плътност достига 2000 удара на милиметър. В този случай ширината на решетката може да бъде до 300 mm. Общият брой на слотовете на решетката е означен с N.

Разстоянието d между центровете или краищата на съседни слотове се нарича константа (период)дифракционна решетка.

Дифракционната картина върху решетката се определя като резултат от взаимна интерференция на вълни, идващи от всички процепи.

Пътят на лъчите в дифракционната решетка е показан на фиг. 21.5.

Нека върху решетката падне плоска монохроматична светлинна вълна, чиято посока на разпространение е перпендикулярна на равнината на решетката. Тогава повърхностите на прорезите принадлежат към една и съща вълнова повърхност и са източници на кохерентни вторични вълни. Помислете за вторични вълни, чиято посока на разпространение удовлетворява условието

След преминаване през лещата лъчите на тези вълни ще се пресичат в точка О.

Продуктът dsina е равен на разликата в пътя (δ) между лъчите, идващи от краищата на съседни слотове. Когато условието (21.4) е изпълнено, вторичните вълни пристигат в точката O" в същата фазаи максимумът от модела на смущение се появява на екрана. Максимумите, удовлетворяващи условието (21.4), се наричат главни максимуми на поръчкатак. Самото условие (21.4) се нарича основната формула на дифракционната решетка.

Основни върховепо време на дифракцията на решетката се наблюдават посоките на лъчите на вторичните вълни, които отговарят на условието: dsinα = ± κ λ; k = 0,1,2,...

Ориз. 21.4.Напречно сечение на дифракционната решетка (а) и нейния символ (б)

Ориз. 21.5.Дифракция на светлина върху дифракционна решетка

Поради редица причини, които не са разгледани тук, има (N - 2) допълнителни максимума между основните максимуми. При голям брой процепи интензитетът им е незначителен и цялото пространство между главните максимуми изглежда тъмно.

Условието (21.4), което определя позициите на всички основни максимуми, не отчита дифракцията от единичен процеп. Може да се случи, че за някаква посока условието максимумза решетката (21.4) и условието минимумза празнината (21.2). В този случай съответният основен максимум не възниква (формално той съществува, но интензивността му е нула).

Колкото по-голям е броят на процепите в дифракционната решетка (N), толкова повече светлинна енергия преминава през решетката, толкова по-интензивни и по-остри ще бъдат максимумите. Фигура 21.6 показва графиките на разпределението на интензитета, получени от решетки с различен брой прорези (N). Периодите (d) и ширините на прореза (b) са еднакви за всички решетки.

Ориз. 21.6.Разпределение на интензитета за различни стойности на N

21.4. Дифракционен спектър

От основната формула на дифракционната решетка (21.4) се вижда, че ъгълът на дифракция α, при който се образуват основните максимуми, зависи от дължината на вълната на падащата светлина. Следователно максимумите на интензитета, съответстващи на различни дължини на вълните, се получават на различни места на екрана. Това прави възможно използването на решетката като спектрално устройство.

Дифракционен спектър- спектър, получен с помощта на дифракционна решетка.

Когато бялата светлина падне върху дифракционна решетка, всички максимуми, с изключение на централния, се разлагат в спектър. Позицията на максимума от ред k за светлина с дължина на вълната λ се дава от:

Колкото по-голяма е дължината на вълната (λ), толкова по-далеч от центъра е k-тият максимум. Следователно лилавата област на всеки основен максимум ще бъде обърната към центъра на дифракционната картина, а червената област ще бъде навън. Обърнете внимание, че когато бялата светлина се разлага с призма, виолетовите лъчи се отклоняват по-силно.

Записвайки основната формула на решетката (21.4), посочихме, че k е цяло число. Колко голям може да бъде? Отговорът на този въпрос се дава от неравенството |sinα|< 1. Из формулы (21.5) найдем

където L е ширината на решетката и N е броят на ходовете.

Например, за решетка с плътност 500 линии на mm, d = 1/500 mm = 2x10 -6 м. За зелена светлина с λ = 520 nm = 520x10 -9 m, получаваме k< 2х10 -6 /(520 х10 -9) < 3,8. Таким образом, для такой решетки (весьма средней) порядок наблюдаемого максимума не превышает 3.

21.5. Характеристики на дифракционната решетка като спектрално устройство

Основната формула на дифракционната решетка (21.4) дава възможност да се определи дължината на вълната на светлината чрез измерване на ъгъла α, съответстващ на позицията на k-тия максимум. Така дифракционната решетка дава възможност за получаване и анализ на спектрите на сложна светлина.

Спектрални характеристики на решетката

Ъглова дисперсия -стойност, равна на отношението на промяната в ъгъла, при който се наблюдава максимумът на дифракцията, към промяната в дължината на вълната:

където k е порядъкът на максимума, α - ъгъла, под който се наблюдава.

Ъгловата дисперсия е толкова по-висока, колкото по-голям е редът k на спектъра и колкото по-малък е периодът на решетка (d).

Резолюция(разрешаваща способност) на дифракционна решетка - стойност, която характеризира нейната способност да дава

където k е редът на максимума и N е броят на решетъчните линии.

От формулата се вижда, че близки линии, които се сливат в спектъра от първи ред, могат да се възприемат отделно в спектрите от втори или трети ред.

21.6. Рентгенов дифракционен анализ

Основната формула на дифракционната решетка може да се използва не само за определяне на дължината на вълната, но и за решаване на обратната задача - намиране на константата на дифракционната решетка от известна дължина на вълната.

За дифракционна решетка може да се приеме структурната решетка на кристала. Ако поток от рентгенови лъчи се насочи към проста кристална решетка под определен ъгъл θ (фиг. 21.7), тогава те ще се дифрактират, тъй като разстоянието между центровете на разсейване (атомите) в кристала съответства на

дължина на вълната на рентгеновите лъчи. Ако на известно разстояние от кристала се постави фотоплака, тя ще регистрира интерференцията на отразените лъчи.

където d е междуравнинното разстояние в кристала, θ е ъгълът между равнината

Ориз. 21.7.Рентгенова дифракция върху проста кристална решетка; точките показват разположението на атомите

кристал и падащия рентгенов лъч (ъгъл на насочване), λ е дължината на вълната на рентгеновото лъчение. Отношението (21.11) се нарича условието на Брег-Вулф.

Ако е известна дължината на вълната на рентгеновите лъчи и се измери ъгълът θ, съответстващ на условие (21.11), тогава може да се определи междуплоскостното (междуатомното) разстояние d. Това се основава на рентгенов дифракционен анализ.

Рентгенов дифракционен анализ -метод за определяне на структурата на вещество чрез изследване на моделите на рентгенова дифракция върху изследваните проби.

Рентгеновите дифракционни модели са много сложни, тъй като кристалът е триизмерен обект и рентгеновите лъчи могат да се дифрактират в различни равнини под различни ъгли. Ако веществото е единичен кристал, тогава дифракционната картина е редуване на тъмни (експонирани) и светли (неекспонирани) петна (фиг. 21.8, а).

В случай, че веществото е смес от голям брой много малки кристали (като в метал или прах), се появява серия от пръстени (фиг. 21.8, b). Всеки пръстен съответства на дифракционен максимум от определен ред k, докато рентгеновата снимка е оформена под формата на кръгове (фиг. 21.8, b).

Ориз. 21.8.Рентгенова картина за единичен кристал (a), рентгенова картина за поликристал (b)

Рентгеновият дифракционен анализ се използва и за изследване на структурите на биологичните системи. По този метод например е установена структурата на ДНК.

21.7. Дифракция на светлината от кръгъл отвор. Резолюция на блендата

В заключение, нека разгледаме въпроса за дифракцията на светлината от кръгъл отвор, който представлява голям практически интерес. Такива отвори са например зеницата на окото и лещата на микроскопа. Оставете светлината от точков източник да пада върху лещата. Обективът е дупка, която пропуска само частсветлинна вълна. Поради дифракция на екрана, разположен зад лещата, ще се появи дифракционна картина, показана на фиг. 21.9, а.

Що се отнася до празнината, интензитетите на страничните максимуми са малки. Централният максимум под формата на светъл кръг (дифракционно петно) е изображение на светеща точка.

Диаметърът на дифракционното петно ​​се определя по формулата:

където f е фокусното разстояние на лещата, а d е нейният диаметър.

Ако светлината от два точкови източника падне върху отвора (диафрагмата), тогава в зависимост от ъгловото разстояние между тях (β) техните дифракционни петна могат да се възприемат отделно (фиг. 21.9, b) или да се слеят (фиг. 21.9, c).

Представяме без извод формула, която предоставя отделно изображение на близки точкови източници на екрана (разделителна способност на диафрагмата):

където λ е дължината на вълната на падащата светлина, d е диаметърът на отвора (диафрагмата), β е ъгловото разстояние между източниците.

Ориз. 21.9.Дифракция от кръгъл отвор от два точкови източника

21.8. Основни понятия и формули

Край на масата

21.9. Задачи

1. Дължината на вълната на светлината, падаща върху процепа перпендикулярно на неговата равнина, се вписва в ширината на процепа 6 пъти. Под какъв ъгъл ще се види 3-тия дифракционен минимум?

2. Определете периода на решетка с ширина L = 2,5 cm и N = 12500 линии. Напишете отговора си в микрометри.

Решение

d = L/N = 25 000 µm/12 500 = 2 µm. Отговор: d = 2 µm.

3. Каква е константата на дифракционната решетка, ако червената линия (700 nm) в спектъра от 2-ри ред се вижда под ъгъл 30°?

4. Дифракционната решетка съдържа N = 600 линии на L = 1 mm. Намерете най-големия ред на спектъра за светлина с дължина на вълната λ = 600 nm.

5. Оранжевата светлина при 600 nm и зелената светлина при 540 nm преминават през дифракционна решетка с 4000 линии на сантиметър. Какво е ъгловото разстояние между оранжевия и зеления максимум: а) първи ред; б) трети ред?

Δα \u003d α op - α z \u003d 13,88 ° - 12,47 ° = 1,41 °.

6. Намерете най-високия ред на спектъра за жълтата натриева линия λ = 589 nm, ако константата на решетката е d = 2 μm.

Решение

Нека приведем d и λ към едни и същи единици: d = 2 µm = 2000 nm. По формула (21.6) намираме k< d/λ = 2000/ 589 = 3,4. Отговор: k = 3.

7. За изследване на светлинния спектър в областта от 600 nm се използва дифракционна решетка с N = 10 000 слота. Намерете минималната разлика в дължината на вълната, която може да бъде открита от такава решетка при наблюдение на максимуми от втори ред.

Решетката отстрани изглежда така.

Също така намерете приложение светлоотразителни решетки, които се получават чрез нанасяне на тънки щрихи върху полирана метална повърхност с диамантена фреза. Отпечатъци върху желатин или пластмаса след такова гравиране се наричат реплики, но такива дифракционни решетки обикновено са с лошо качество, така че използването им е ограничено. За добри отразяващи решетки се считат тези с обща дължина около 150 mm, с общ брой удари 600 бр./mm.

Основните характеристики на дифракционната решетка са общ брой удариН, плътност на люка n (брой удари на 1 mm) и месечен цикъл(константа) на решетката d, която може да се намери като d = 1/n.

Решетката е осветена от един фронт на вълната и нейните N прозрачни щрихи обикновено се считат за N съгласувани източници.

Ако си спомним явлението намесаот много еднакви източници на светлина, тогава интензитет на светлинатасе изразява по модела:

където i 0 е интензитетът на светлинната вълна, преминала през един процеп

Въз основа на концепцията максимален интензитет на вълнатаполучено от условието:

β = mπ за m = 0, 1, 2… и т.н.

.

Да продължим от спомагателен ъгълβ към пространствения зрителен ъгъл Θ и след това:

(π d sinΘ)/ λ = m π,

Основните максимуми се появяват при условие:

sinΘ m = m λ/ d, при m = 0, 1, 2… и т.н.

интензитет на светлината в големи върховеможе да се намери по формулата:

I m \u003d N 2 i 0.

Следователно е необходимо да се произвеждат решетки с малък период d, тогава е възможно да се получат големи ъгли на разсейване на лъчаи широка дифракционна картина.

Например:

Продължавайки предишното примерНека разгледаме случая, когато в първия максимум червените лъчи (λ cr = 760 nm) се отклоняват под ъгъл Θ k = 27 °, а виолетовите (λ f = 400 nm) се отклоняват под ъгъл Θ f = 14 ° .

Вижда се, че с помощта на дифракционна решетка може да се измери дължина на вълнатаедин или друг цвят. За да направите това, просто трябва да знаете периода на решетката и да измерите ъгъла, но който лъчът се отклонява, съответстващ на необходимата светлина.

Дифракционна решетка

ДифракцияВсяко отклонение на разпространението на светлината от права линия се нарича, което не е свързано с отражение и пречупване.Качествен метод за изчисляване на дифракционната картина е предложен от Френел. Основната идея на метода е Принцип на Хюйгенс-Френел:

Всяка точка, до която вълната достига, служи като източник на кохерентни вторични вълни, а по-нататъшното разпространение на вълната се определя от интерференцията на вторичните вълни.

Географското място на точките, за които трептенията имат еднакви фази, се нарича вълнова повърхност . Вълновият фронт също е вълнова повърхност.

Дифракционна решеткае съвкупност от голям брой успоредни слотове или огледала с еднаква ширина и разположени един от друг на същото разстояние. Периодът на решетката ( д) нарича се разстоянието между средните точки на съседни процепи или, което е същото, сумата от ширината на прореза (a) и непрозрачната междина (b) между тях (d = a + b).

Помислете за принципа на работа на дифракционната решетка. Нека паралелен сноп бели светлинни лъчи падне върху решетката нормално спрямо нейната повърхност (фиг. 1). На прорезите на решетката, чиято ширина е съизмерима с дължината на вълната на светлината, възниква дифракция.

В резултат на това зад дифракционната решетка, съгласно принципа на Хюйгенс-Френел, от всяка точка на процепа светлинните лъчи ще се разпространяват във всички възможни посоки, които могат да бъдат свързани с ъгли на отклонение φ светлинни лъчи ( ъгли на дифракция) от първоначалната посока. Лъчи, успоредни един на друг (дифрактиращи под същия ъгъл) φ ) може да се фокусира чрез поставяне на събирателна леща зад решетката. Всеки лъч от успоредни лъчи ще се събира в задната фокална равнина на лещата в определена точка А. Паралелните лъчи, съответстващи на различни ъгли на дифракция, ще се събират в други точки от фокалната равнина на лещата. В тези точки ще се наблюдава интерференция на светлинни вълни, излъчвани от различни процепи на решетката. Ако оптичната разлика в пътя между съответните лъчи монохроматична светлина е равна на цяло число дължини на вълната, κ = 0, ±1, ±2, …, тогава в точката, където лъчите се припокриват, ще се наблюдава максималният интензитет на светлината за дадена дължина на вълната Фигура 1 показва, че оптичната разлика в пътя Δ между два успоредни лъча, излизащи от съответните точки на съседни слотове е равно на

където φ е ъгълът на отклонение на лъча от решетката.

Следователно условието за настъпването главни интерференционни максимумирешетки или решетъчно уравнение

, (2)

където λ е дължината на светлинната вълна.

Във фокалната равнина на лещата за лъчи, които не са претърпели дифракция, се наблюдава централен бял максимум от нулев порядък ( φ = 0, κ = 0), вдясно и вляво от които има цветни максимуми (спектрални линии) от първи, втори и следващи редове (фиг. 1). Интензитетът на максимумите намалява с увеличаване на реда им; с увеличаване на ъгъла на дифракция.

Една от основните характеристики на дифракционната решетка е нейната ъглова дисперсия. Ъглова дисперсиярешетка определя ъгловото разстояние dφмежду посоките за две спектрални линии, които се различават по дължина на вълната с 1 nm ( = 1 nm), и характеризира степента на разтягане на спектъра близо до дадена дължина на вълната:

Формулата за изчисляване на ъгловата дисперсия на решетката може да бъде получена чрез диференциране на уравнение (2) . Тогава

. (5)

От формула (5) следва, че ъгловата дисперсия на решетката е толкова по-голяма, колкото по-голям е редът на спектъра.

За решетки с различни периоди ширината на спектъра е по-голяма за решетка, характеризираща се с по-малък период. Обикновено в рамките на един порядък тя варира незначително (особено за решетки с малък брой линии на милиметър), така че дисперсията остава почти непроменена в рамките на един порядък. Спектърът, получен с постоянна дисперсия, се разтяга равномерно в целия диапазон на дължината на вълната, което благоприятно отличава спектъра на решетката от спектъра, даден от призма.

Ъгловата дисперсия е свързана с линейната дисперсия. Линейната дисперсия може също да се изчисли с помощта на формулата

, (6) където е линейното разстояние на екрана или фотографската плака между спектралните линии, fе фокусното разстояние на лещата.

Характеризира се и дифракционната решетка резолюция. Тази стойност характеризира способността на дифракционната решетка да даде отделно изображение на две близки спектрални линии

Р = , (7)

където l е средната дължина на вълната на разрешените спектрални линии; dl е разликата между дължините на вълните на две съседни спектрални линии.

Зависимост на разделителната способност от броя на прорезите на дифракционната решетка нсе определя по формулата

Р = = kN, (8)

където ке редът на спектъра.

От уравнението за дифракционната решетка (1) можем да направим следните заключения:

1. Дифракционната решетка ще даде забележима дифракция (значителни ъгли на дифракция) само ако периодът на решетка е съизмерим с дължината на вълната на светлината, т.е. д»l» 10 –4 см. Решетки с период по-малък от дължината на вълната не дават дифракционни максимуми.

2. Положението на главните максимуми на дифракционната картина зависи от дължината на вълната. Спектралните компоненти на излъчването на немонохроматичен лъч се отклоняват от решетката под различни ъгли ( дифракционен спектър). Това прави възможно използването на дифракционната решетка като спектрален инструмент.

3. Максималният ред на спектъра при нормално падане на светлина върху дифракционна решетка се определя от съотношението:

кмакс. £ д¤л.

Дифракционните решетки, използвани в различни области на спектъра, се различават по размер, форма, материал на повърхността, профил и честота на линиите, което позволява да се покрие областта на спектъра от неговата ултравиолетова част (l » 100 nm) до инфрачервената част ( l » 1 μm). В спектралните инструменти широко се използват гравирани решетки (реплики), които представляват отпечатъци на решетки върху специални пластмаси, последвани от нанасяне на метален отразяващ слой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

решетканаречено спектрално устройство, което представлява система от определен брой процепи, разделени от непрозрачни празнини.

Много често в практиката се използва едномерна дифракционна решетка, състояща се от успоредни прорези с еднаква широчина, разположени в една и съща равнина, които са разделени от непрозрачни междини с еднаква ширина. Такава решетка се прави с помощта на специална машина за разделяне, която нанася успоредни удари върху стъклена плоча. Броят на такива удари може да бъде повече от хиляда на милиметър.

Отражателните дифракционни решетки се считат за най-добри. Това е колекция от области, които отразяват светлина, с области, които отразяват светлина. Такива решетки представляват полирана метална плоча, върху която с фреза се нанасят удари, разсейващи светлината.

Дифракционната картина на решетката е резултат от взаимната интерференция на вълни, които идват от всички процепи. Следователно, с помощта на дифракционна решетка се осъществява многостранна интерференция на кохерентни светлинни лъчи, които са претърпели дифракция и които идват от всички процепи.

Да приемем, че на дифракционната решетка ширината на процепа ще бъде a, ширината на непрозрачния участък ще бъде b, тогава стойността:

се нарича период на (постоянната) дифракционна решетка.

Дифракционна картина върху едномерна дифракционна решетка

Нека си представим, че монохроматична вълна пада нормално към равнината на дифракционната решетка. Поради факта, че слотовете са разположени на равни разстояния един от друг, разликите в пътя (), които идват от двойка съседни слотове за избраната посока, ще бъдат еднакви за цялата дадена дифракционна решетка:

Основните минимуми на интензитета се наблюдават в посоките, определени от условието:

В допълнение към основните минимуми, в резултат на взаимна интерференция на светлинни лъчи, изпратени от двойка процепи, те взаимно се компенсират в някои посоки, което означава, че се появяват допълнителни минимуми. Те възникват в посоки, където разликата в пътя на лъчите е нечетен брой полувълни. Условието за допълнителни минимуми се записва като:

където N е броят на прорезите на дифракционната решетка; k' приема всяка целочислена стойност с изключение на 0, . Ако решетката има N слота, тогава между двата основни максимума има допълнителен минимум, който разделя вторичните максимуми.

Условието за основните максимуми на дифракционната решетка е изразът:

Тъй като стойността на синуса не може да бъде по-голяма от единица, тогава броят на основните максимуми:

Ако бялата светлина се пропусне през решетката, тогава всички максимуми (с изключение на централния m=0) ще бъдат разложени в спектър. В този случай виолетовата област на този спектър ще бъде насочена към центъра на дифракционната картина. Това свойство на дифракционната решетка се използва за изследване на състава на светлинния спектър. Ако периодът на решетката е известен, тогава изчисляването на дължината на вълната на светлината може да се сведе до намиране на ъгъла, който съответства на посоката до максимума.

Примери за решаване на проблеми

ПРИМЕР 1

Упражнение	Какъв е максималният ред на спектъра, който може да се получи с помощта на дифракционна решетка с константа m, ако монохроматичен лъч светлина с дължина на вълната m пада върху нея перпендикулярно на повърхността?
Решение	Като основа за решаване на задачата използваме формулата, която е условие за наблюдаване на основните максимуми за дифракционната картина, получена при преминаване на светлината през дифракционна решетка: Максималната стойност е едно, така че: От (1.2) изразяваме , получаваме: Нека направим изчисленията:
Отговор

ПРИМЕР 2

Упражнение

Монохроматична светлина с дължина на вълната преминава през дифракционна решетка. На разстояние L от решетката се поставя екран. Върху него се проектира дифракционна картина с помощта на леща, разположена близо до решетката. В този случай първият дифракционен максимум се намира на разстояние l от централния. Какъв е броят линии на единица дължина на дифракционната решетка (N), ако светлината пада върху нея нормално?

Решение

Да направим рисунка.

Дифракционна решетка - оптично устройство, което представлява набор от голям брой успоредни, обикновено на еднакво разстояние един от друг, слотове.

Дифракционна решетка може да се получи чрез нанасяне на непрозрачни драскотини (щрихи) върху стъклена плоча. Ненадраскани места - пукнатини - ще пропускат светлина; ударите, съответстващи на празнината между прорезите, се разпръскват и не пропускат светлина. Напречното сечение на такава дифракционна решетка ( а) и неговия символ б)показано на фиг. 19.12. Общата ширина на слота аи интервал bмежду пукнатините се нарича постояненили период на решетка:

c = a + b.(19.28)

Ако лъч от кохерентни вълни падне върху решетката, тогава вторичните вълни, пътуващи във всички възможни посоки, ще се намесят, образувайки дифракционна картина.

Нека плоскопаралелен лъч от кохерентни вълни пада нормално върху решетката (фиг. 19.13). Нека изберем някаква посока на вторичните вълни под ъгъл a спрямо нормалата към решетката. Лъчите, идващи от крайните точки на два съседни слота, имат разлика в пътя d = А"Б".Същата разлика в пътя ще бъде за вторични вълни, идващи от съответно разположени двойки точки на съседни слотове. Ако тази разлика в пътя е кратно на цяло число дължини на вълните, тогава ще предизвика смущение основни върхове,за които условието ÷ А „Б¢÷ = ± kл , или

с sin a = ± кл , (19.29)

където k = 0,1,2,... — ред на главните максимуми.Те са симетрични спрямо центъра (к= 0, а = 0). Равенството (19.29) е основната формула на дифракционната решетка.

Между основните максимуми се образуват минимуми (допълнителни), чийто брой зависи от броя на всички слотове на решетката. Нека изведем условие за допълнителни минимуми. Нека разликата в пътя на вторичните вълни, движещи се под ъгъл a от съответните точки на съседни слотове, е равна на l /Н,т.е.

d= с sin a=l /Н,(19.30)

където не броят на прорезите в дифракционната решетка. Тази разлика в пътя е 5 [виж (19.9)] съответства на фазовата разлика Dj= 2 стр /Н.

Ако приемем, че вторичната вълна от първия слот има нулева фаза в момента на добавяне с други вълни, тогава фазата на вълната от втория слот е равна на 2 стр /Н,от третия 4 стр /Н,от четвъртия - 6p /Ни т.н. Резултатът от добавянето на тези вълни, като се вземе предвид фазовата разлика, се получава удобно с помощта на векторна диаграма: сумата нидентични вектори на напрегнатост на електрическото поле, ъгълът (фазова разлика) между всеки съседен от които е 2 стр /Н,е равно на нула. Това означава, че условие (19.30) отговаря на минимума. С разликата в пътя на вторичните вълни от съседните слотове d = 2(л /Н)или фазова разлика Dj = 2 (2p/n)също ще се получи минимална интерференция на вторични вълни, идващи от всички слотове и т.н.

Като илюстрация, на фиг. 19.14 показва векторна диаграма, съответстваща на дифракционна решетка, състояща се от шест прореза: и т.н. - вектори на интензитета на електрическия компонент на електромагнитните вълни от първия, втория и т.н. прорези. Пет допълнителни минимума, възникващи по време на интерференция (сумата на векторите е равна на нула), се наблюдават при фазова разлика на вълните, идващи от съседни слотове от 60° ( а), 120° (б), 180° (в), 240° (G)и 300° (д).

Ориз. 19.14

Така може да се увери, че между централния и всеки първи главен максимум има н-1 допълнителни минимуми, отговарящи на условието

с sin a = ± l /Н; 2л /N, ..., ±(Н- 1)л /Н.(19.31)

Между първия и втория са разположени и главни максимуми Н- 1 допълнителен минимум, отговарящ на условието

с sin a = ± ( N+ 1)л /N, ±(N+ 2) л /Н, ...,(2Н- 1)л /Н,(19.32)

и т.н. По този начин между всеки два съседни главни максимума има N - 1допълнителни минимуми.

При голям брой прорези отделните допълнителни минимуми почти не се различават и цялото пространство между основните максимуми изглежда тъмно. Колкото по-голям е броят на процепите в дифракционната решетка, толкова по-остри са основните максимуми. На фиг. 19.15 са снимки на дифракционната картина, получена от решетки с различни номера нпрорези (константата на дифракционната решетка е еднаква), а на фиг. 19.16 - графика на разпределението на интензитета.

Нека специално да отбележим ролята на минимумите от един прорез. В посоката, съответстваща на условието (19.27), всеки слот дава минимум, така че минимумът от един слот ще бъде запазен за цялата решетка. Ако за някаква посока минималните условия за празнината (19.27) и основният максимум на решетката (19.29) са изпълнени едновременно, тогава съответният основен максимум няма да възникне. Обикновено те се опитват да използват основните максимуми, които се намират между първите минимуми от един слот, т.е. в интервала

arcsin(l /a) > а > - arcsin(l /a) (19.33)

Когато бяла или друга немонохроматична светлина падне върху дифракционна решетка, всеки основен максимум, с изключение на централния, ще бъде разложен на спектър [виж Фиг. (19.29)]. В такъв случай кпоказва ред на спектъра.

По този начин решетката е спектрално устройство, следователно характеристиките са от съществено значение за нея, което позволява да се оцени възможността за разграничаване (разрешаване) на спектрални линии.

Една от тези характеристики е ъглова дисперсияопределя ъгловата ширина на спектъра. Числено е равно на ъгловото разстояние da между две спектрални линии, чиито дължини на вълните се различават с единица (dl. = 1):

д= da/dl.

Диференцирайки (19.29) и използвайки само положителни стойности на количествата, получаваме

с cos a da = .. кдл.

От последните две равенства имаме

д = ..к /(° Сзащото а). (19.34)

Тъй като обикновено се използват малки ъгли на дифракция, cos a » 1. Ъглова дисперсия дколкото по-високо, толкова по-висок е редът кспектър и колкото по-малка е константата сдифракционна решетка.

Способността за разграничаване на близки спектрални линии зависи не само от ширината на спектъра или ъгловата дисперсия, но и от ширината на спектралните линии, които могат да се наслагват една върху друга.

Общоприето е, че ако между два дифракционни максимума с еднакъв интензитет има област, където общият интензитет е 80% от максимума, тогава спектралните линии, на които тези максимуми съответстват, вече са разрешени.

В този случай, според JW Rayleigh, максимумът на една линия съвпада с най-близкия минимум на другата, което се счита за критерий за разделителна способност. На фиг. 19.17 са показани зависимости на интензитета аз отделни линии на дължината на вълната (плътна крива) и техния общ интензитет (пунктирана крива). От фигурите е лесно да се види, че двете линии са неразрешени ( а) и ограничаваща разделителна способност ( b), когато максимумът на едната линия съвпада с най-близкия минимум на другата.

Разделителната способност на спектралната линия се определя количествено резолюция,равно на отношението на дължината на вълната към най-малкия интервал от дължини на вълната, който все още може да бъде разрешен:

R=л./Дл.. (19.35)

Така че, ако има две близки линии с дължини на вълните l 1 ³ l 2, Dl = l 1 - l 2 , тогава (19.35) може да се запише приблизително като

Р= l 1 /(l 1 - l 2), или Р= l 2 (l 1 - l 2) (19.36)

Състоянието на главния максимум за първата вълна

сгрях а = k l 1 .

Съвпада с най-близкия минимум за втората вълна, чието условие е

сгрях а = k l 2 + l 2 /Н.

Приравнявайки десните части на последните две равенства, имаме

к l 1 = k l 2 + l 2 /N,k(l 1 - l 2) = l 2 /Н,

откъдето [като се вземе предвид (19.36)]

Р =к Н .

Така че разделителната способност на дифракционната решетка е толкова по-голяма, колкото по-голям е редът кспектър и число нинсулти.

Помислете за пример. В спектъра, получен от дифракционна решетка с броя на слотовете N= 10 000, има две линии близо до дължината на вълната l = 600 nm. При каква е най-малката разлика в дължината на вълната Dl тези линии се различават в спектъра от трети ред (k = 3)?

За да отговорим на този въпрос, приравняваме (19.35) и (19.37), l/Dl = kN,откъдето Dl = l/( kN). Замествайки числените стойности в тази формула, намираме Dl = 600 nm / (3,10 000) = 0,02 nm.

Така например линиите с дължини на вълните 600,00 и 600,02 nm са различими в спектъра, а линиите с дължини на вълните 600,00 и 600,01 nm са неразличими

Извеждаме формулата за дифракционната решетка за косо падане на кохерентни лъчи (фиг. 19.18, b е ъгълът на падане). Условията за образуване на дифракционната картина (леща, екран във фокалната равнина) са същите като при нормално падане.

Нека начертаем перпендикуляри А „Бпадащи лъчи и AB"към вторични вълни, разпространяващи се под ъгъл a спрямо перпендикуляра, повдигнат към равнината на решетката. От фиг. 19.18 става ясно, че към позицията A¢Bлъчите имат еднаква фаза, от AB"и тогава фазовата разлика на лъчите се запазва. Следователно разликата в пътя е

d \u003d BB "-AA".(19.38)

От Д АА"Бние имаме AA¢= ABгрях b = с sinb. От Д BB"Aнамирам BB" = ABгрях а = сгрях а. Заместване на изрази за AA¢и BB"в (19.38) и като вземем предвид условието за главните максимуми, имаме

с(sin a - sin b) = ± kl. (19.39)

Централният главен максимум съответства на посоката на падащите лъчи (a=b).

Наред с прозрачните дифракционни решетки се използват отразяващи решетки, при които върху метална повърхност се нанасят щрихи. Наблюдението се извършва в отразена светлина. Отражателните дифракционни решетки, направени върху вдлъбната повърхност, могат да образуват дифракционна картина без леща.

В съвременните дифракционни решетки максималният брой линии е повече от 2000 на 1 mm, а дължината на решетката е повече от 300 mm, което дава стойността ноколо милион.