Формули за бързо умножение. Онлайн калкулатор. Опростяване на полином. Умножение на полином

Математически изрази (формули) съкратено умножение(квадрата на сбора и разликата, куба на сбора и разликата, разликата на квадратите, сбора и разликата на кубовете) са изключително незаменими в много области точни науки. Тези 7 записа на знака са незаменими при опростяване на изрази, решаване на уравнения, умножаване на полиноми, съкращаване на дроби, решаване на интеграли и много други. Така че ще бъде много полезно да разберете как се получават, за какво служат и най-важното как да ги запомните и след това да ги приложите. След това нанасяне формули за съкратено умножениена практика най-трудното ще бъде да се види какво е хи какво имат. Очевидно няма ограничения за аи bне, което означава, че може да бъде всеки числов или буквален израз.

И така, ето ги:

Първо х 2 - на 2 = (x - y) (x + y).Да изчисля разлика на квадратитедва израза, е необходимо разликите на тези изрази да се умножат по техните суми.

Второ (x + y) 2 = х 2 + 2xy + y 2. Да намеря сума на квадратдва израза, трябва да добавите към квадрата на първия израз два пъти произведението на първия израз по втория плюс квадрата на втория израз.

трето (x - y) 2 = х 2 - 2xy + y 2. Да изчисля разлика на квадратдва израза трябва да бъдат извадени от квадрата на първия израз двойно произведениеот първия израз по втория плюс квадрата на втория израз.

Четвърто (x + y) 3 = х 3 + 3x 2 y + 3x 2 + на 3.Да изчисля сборен кубдва израза, трябва да добавите към куба на първия израз три пъти произведението на квадрата на първия израз и втория, плюс три пъти произведението на първия израз и квадрата на втория, плюс куба на втори израз.

Пето (x - y) 3 = х 3 - 3x 2 y + 3x 2 - на 3. Да изчисля куб на разликатадва израза, е необходимо да се извади от куба на първия израз три пъти произведението на квадрата на първия израз по втория плюс три пъти произведението на първия израз и квадрата на втория минус куба на втория изразяване.

шесто х 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2)Да изчисля сбор от кубоведва израза, трябва да умножите сумите на първия и втория израз по непълния квадрат на разликата на тези изрази.

седмо х 3 - на 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2)Да се направи калкулация куб разликидва израза, е необходимо разликата на първия и втория израз да се умножи по непълния квадрат на сбора на тези изрази.

Не е трудно да запомните, че всички формули се използват за извършване на изчисления в обратна посока (от дясно на ляво).

Съществуването на тези закономерности е известно преди около 4 хиляди години. Те бяха широко използвани от хората древен Вавилони Египет. Но в онези епохи те са били изразени вербално или геометрично и не са използвали букви в изчисленията.

Да анализираме доказателство за сума квадрат(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Това математическа закономерностдоказа древногръцкият учен Евклид, който работи в Александрия през 3 век пр. н. е., той използва геометричния метод за доказване на формулата за това, тъй като учените не използват букви за означаване на числа древна Елада. Те навсякъде използваха не „a 2“, а „квадрат върху отсечка a“, не „ab“, а „правоъгълник, ограден между отсечки a и b“.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите своя лична информацияпо всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебен ред, в съдебни производства и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Силови формулиизползвани в процеса на намаляване и опростяване сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.

Номер ° Се н-та степен на число акога:

Операции със степени.

1. Умножителни степени с същата базатехните резултати са:

a ma n = a m + n.

2. При разделянето на градуси с една и съща основа техните показатели се изваждат:

3. Степента на произведението на 2 или Повече ▼фактори е равно на произведението на степените на тези фактори:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Степента на дроб е равна на отношението на степените на делителя и делителя:

(a/b) n = a n / b n.

5. Повишаване на степен на степен, показателите се умножават:

(am) n = a m n .

Всяка формула по-горе е правилна в посоките отляво надясно и обратно.

Например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции с корени.

1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:

3. Когато повдигате корен на степен, достатъчно е да повдигнете числото на корена на тази степен:

4. Ако увеличим степента на корена в нведнъж и в същото време повишава до нта степен е коренно число, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалим степента на корена в нкорен едновременно нстепен от радикалното число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Степен с отрицателен показател.Степента на някакво число с неположителен (цял) показател се определя като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютна стойностнеположителен индикатор:

Формула a m:a n = a m - nможе да се използва не само за м> н, но и при м< н.

Например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

За формулиране a m:a n = a m - nстана справедлив при m=n, имате нужда от наличието на нулева степен.

Степен с нулев показател.Степента на всяко ненулево число с нулев показател е равна на единица.

Например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен с дробен показател.Да се вдигне реално число адо известна степен м/н, трябва да извлечете корена нта степен на мта степен на това число а.

Формули или правила за намалено умножение се използват в аритметиката и по-специално в алгебрата за по-бърз процес на изчисляване на големи алгебрични изрази. Самите формули са извлечени от съществуващите правила в алгебрата за умножение на няколко полинома.

Използването на тези формули осигурява доста бързо решение на различни задачи по математика, а също така помага за опростяване на изрази. правила алгебрични трансформацииви позволяват да извършвате някои манипулации с изрази, след което можете да получите израза от лявата страна на равенството, което е от дясната страна, или да трансформирате правилната странаравно (за да получите израза от лявата страна след знака за равенство).

Удобно е да знаете формулите, използвани за съкратено умножение по памет, тъй като те често се използват при решаване на задачи и уравнения. Следват основните формули, включени в този списък, и името им.

сума квадрат

За да изчислите квадрата на сумата, трябва да намерите сумата, състояща се от квадрата на първия член, два пъти произведението на първия член и втория и квадрата на втория. Под формата на израз това правило се записва по следния начин: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Квадрат на разликата

За да изчислите квадрата на разликата, трябва да изчислите сумата, състояща се от квадрата на първото число, два пъти произведението на първото число по второто (взето от противоположен знак) и квадрата на второто число. Под формата на израз това правило изглежда така: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Разлика на квадратите

Формулата за разликата на две числа на квадрат е равна на произведението от сбора на тези числа и тяхната разлика. Под формата на израз това правило изглежда така: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

сборен куб

За да се изчисли кубът на сумата от два члена, е необходимо да се изчисли сумата, състояща се от куба на първия член, утроения продукт на квадрата на първия член и втория, тройния продукт на първия член и вторият на квадрат и кубът на втория член. Под формата на израз това правило изглежда така: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Сбор от кубове

Според формулата тя е равна на произведението на сумата от тези членове и техния непълен квадрат на разликата. Под формата на израз това правило изглежда така: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Пример.Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата, която се образува чрез добавяне на два куба. Известни са само величините на техните страни.

Ако стойностите на страните са малки, тогава е лесно да се извършат изчисления.

Ако дължините на страните са изразени в тромави числа, тогава в този случай е по-лесно да се приложи формулата "Сума от кубове", което значително ще опрости изчисленията.

куб на разликата

Изразът за кубичната разлика звучи така: като сбор от третата степен на първия член, утроете отрицателния продукт на квадрат на първия член по втория, утройте произведението на първия член на квадрата на втория , и отрицателния куб на втория член. Под формата на математически израз кубът на разликата изглежда така: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Разлика на кубчета

Формулата за разликата на кубовете се различава от сумата на кубовете само с един знак. По този начин разликата на кубовете е формула, равно на произведениеторазликата на дадени числа от техния непълен квадрат на сбора. Под формата на математически израз разликата на кубчетата изглежда така: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Пример.Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата, който ще остане след изваждане от обема на синия куб обемна фигура жълт цвят, което също е куб. Известен е само размерът на страната на малък и голям куб.

Ако стойностите на страните са малки, тогава изчисленията са доста прости. И ако дължините на страните са изразени в значителни числа, тогава си струва да използвате формула, озаглавена "Разлика на кубовете" (или "Разлика на куба"), което значително ще опрости изчисленията.

Ключови думи:

сбор на квадрат, разлика на квадрат, сбор на куб, разлика на куб, разлика на квадрати, сбор на кубове, разлика на кубове

сума квадратот две количества е равно на квадрата на първото плюс два пъти произведението на първото и второто плюс квадрата на второто. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Квадрат на разликатадве количества е равно на квадрата на първото минус два пъти произведението на първото и второто плюс квадрата на второто. (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2
Произведението на сбора от две количества и тяхната разлика е разликите на техните квадрати. (a+b)(a-b)=a 2 -b 2
Да секоличество декдве количества е равно на кубот първата величина плюс три пъти квадрата на първата и втората, плюс три пъти произведението на първата и квадрата на втората, плюс куба на втората.
(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3
Да сеdec разликаот две количества е равно на куба на първото минус три пъти произведението на квадрата на първото и второто плюс три пъти произведението на първото и квадрата на второто минус куба на второто.
(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3
Произведението на сумата от две количества и непълния квадрат на разликата е сборът от техните кубове. (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 +b 3
Произведението на разликата на две количества по непълния квадрат на сумата е разликите на техните кубчета.
(a - b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 - b 3

Много често редуцирането на полином до стандартна формаможе да се направи чрез прилагане на формулите за съкратено умножение. Всички те се доказват чрез директно отваряне на скоби и намаляване на подобни термини. Формулите за съкратено умножение трябва да се знаят наизуст:

Пример. Нека докажем формулата a 3 + b 3 = (а + b)(а 2 – аб + b 2).

Ние имаме: (а + b)(а 2 – аб + b 2) = а 3 – а 2 b + аб 2 + ба 2 – аб 2 – b 3

Комбинирайки подобни термини, виждаме това

(а + b)(а 2 – аб + b 2) = a 3 + b 3, което доказва търсената формула.

По същия начин е доказано, че (а - b)(а 2 + аб + b 2) = a 3 – b 3

Не е достатъчно само да знаете наизуст формулите за съкратено умножение. Трябва да се научим да виждаме и в бетона алгебричен изразтази формула.

Например:

49m 2 - 42mn + 9n 2 = (7m - 3n) 2

Или друг пример, по-сложен:

Тук 3x2 може да се представи като ( √ 3x) 2

Също така е полезно да знаете как да повдигнете бином на степен, по-голяма от 3. Формулата, която ви позволява да напишете разширението на алгебричната сума на два члена с произволна степен, е предложена за първи път от Нютон през 1664–1665 г. и е наречен бином на Нютон. Коефициентите на формулата се наричат биномни коефициенти. Ако n е положително цяло число, тогава коефициентите се равняват на нула за всяко k > n, така че разширението съдържа само крайно числочленове. Във всички останали случаи разширението е безкраен (биномен) ред. (Условията за сходимост на биномните редове са установени за първи път в началото на 19 век от Н. Абел.) Такива специални случаи като

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2и (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +б 3

са били известни много преди Нютон. Ако n е положително цяло число, тогава биномен коефициентза н-кb kв биномната формула има редица комбинации от n до k, означени с C k n. За малки стойности на n, коефициентите могат да бъдат намерени от триъгълника на Паскал:

в която всяко от числата, с изключение на единиците, е равно на сумата от две съседни числа в горния ред. За дадено n съответният (n-ти) ред от триъгълника на Паскал дава по ред коефициентите на биномното разширение n-та степен, което е лесно да се види за n = 2 и n = 3.