Формули за добавяне на вероятности. Теореми за събиране и умножение на вероятности

В случаите, когато интересното събитие е сборът от други събития, формулата за събиране се използва за определяне на неговата вероятност.

Формулата за добавяне има две основни разновидности - за съвместни и за несъвместни събития. Можете да обосновете тези формули с помощта на диаграми на Venn (фиг. 21). Спомнете си, че в тези диаграми вероятностите за събития са числено равни на площите на зоните, съответстващи на тези събития.

За две несъвместими събития :

P(A+B) = P(A) + P(B).(8, а)

За N несъвместими събития , вероятността за тяхната сума е равна на сумата от вероятностите за тези събития:

= .(8б)

От формулата за добавяне на несъвместими събития има две важни следствия .

Следствие 1.За събития, които образуват пълна група, сумата от техните вероятности е равна на единица:

= 1.

Това се обяснява по следния начин. За събития, които образуват пълна група, от лявата страна на израз (8b) е вероятността едно от събитията да се случи И аз ,но тъй като пълната група изчерпва целия списък от възможни събития, едно от тези събития определено ще се случи. По този начин лявата страна съдържа вероятността за събитие, което определено ще се случи - определено събитие. Вероятността му е равна на единица.

Следствие 2.Сумата от вероятностите за две противоположни събития е равна на единица:

P(A) + P(Ā)= 1.

Това следствие следва от предишното, тъй като противоположните събития винаги образуват пълна група.

Пример 15

ATвероятността за работно състояние на техническото устройство е 0,8. Намерете вероятността от повреда на това устройство за същия период на наблюдение.

Р решение.

Важна забележка. В теорията на надеждността е обичайно да се обозначава вероятността за работно състояние с букватаР, и вероятността за провал е буква р.По-нататък ще използваме тези обозначения. И двете вероятности са функции на времето. Така че за дълги периоди от време вероятността за работоспособно състояние на всеки обект се доближава до нула. Вероятността от повреда на всеки обект е близка до нула за малки периоди от време. В случаите, когато периодът на наблюдение не е посочен в задачите, се приема, че той е еднакъв за всички разглеждани обекти.

Намирането на устройство в състояние на изправност и неизправност са противоположни събития. Използвайки следствие 2, получаваме вероятността за повреда на устройството:

q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0,8 \u003d 0,2.

За две съвместни събитияформула за добавяне на вероятностиизглежда като:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB), (9)

което се илюстрира с диаграмата на Вен (фиг. 22).

Наистина, за да се намери цялата засенчена област (тя съответства на сумата от събития A + B), е необходимо да се извади площта на общата зона от сумата на площите на фигури A и B (тя съответства на продукт на събития AB), тъй като в противен случай ще се брои два пъти.

За три съвместни събития формулата за добавяне вероятности става по-сложно:

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C) - P (AB) - P (AC) - P (BC) + P (ABC).(10)

В диаграмата на Venn (фиг. 23) желаната вероятност е числено равна на общата площ на зоната, образувана от събитията A, B и C (за простота единичният квадрат не е показан върху нея).

След изваждане на площите на зони AB, AC и CB от сумата на площите на зони A, B и C се оказа, че площта на зона ABC е сумирана три пъти и извадена три пъти. Следователно, за да се отчете тази област, тя трябва да се добави към крайния израз.

С увеличаване на броя на членовете формулата за добавяне става все по-тромава, но принципът на нейното изграждане остава същият: първо се сумират вероятностите на събитията, взети поотделно, след това се изваждат вероятностите на всички комбинации от събития по двойки , добавят се вероятностите за събития, взети от тройки, вероятностите за комбинации от събития, взети от четворки и т.н.

Накрая трябва да се подчертае : формула за добавяне на вероятности ставасъбития с брой термини от три или повече е тромаво и неудобно за използване, използването му при решаване на проблеми е непрактично.

Пример 16

За схемата на захранване по-долу (фиг. 24) определете вероятността от повреда на системата като цяло Q Cпо вероятности за неуспех q iотделни елементи (генератор, трансформатори и линии).

Състояния на отказотделни елементи на електрозахранващата система, както и и здравословните състояния винаги са съвместни събития по двойки, тъй като няма фундаментални пречки за едновременен ремонт например на линия и трансформатор. Повреда на системата възниква, когато някой от нейните елементи се повреди: или генераторът, или 1-вият трансформатор, или линията, или 2-ри трансформатор, или повредата на която и да е двойка, всяка тройка или всичките четири елемента. Следователно желаното събитие - повреда на системата е сумата от повредите на отделните елементи. За решаване на проблема може да се използва формулата за добавяне на съвместни събития:

Q c \u003d q g + q t1 + q l + q t2 - q g q t1 - q g q l - q g q t2 - q t1 q l - q t1 q t2 - q l q t2 + q g q t1 q l + q g q l q t2 + q g q t1 q t2 + q t1 q t2 q l - q g q t1 q l q t2.

Това решение още веднъж убеждава в тромавостта на формулата за добавяне на съвместни събития. В бъдеще ще бъде разгледан друг по-рационален начин за решаване на този проблем.

Полученото по-горе решение може да бъде опростено, като се вземе предвид факта, че вероятностите за повреда на отделни елементи на електрозахранващата система за период от една година, обикновено използван при изчисленията на надеждността, са доста малки (от порядъка на 10 -2). Следователно всички термини с изключение на първите четири могат да бъдат изхвърлени, което практически няма да повлияе на числения резултат. След това можете да напишете:

Q с≈q g + q t1 + q l + q t2.

Въпреки това, подобни опростявания трябва да се третират с повишено внимание, като внимателно се изучават техните последствия, тъй като термините, които често се отхвърлят, могат да се окажат съизмерими с първите.

Пример 17

Определете вероятността за здравословно състояние на системата Р С, състоящ се от три запазващи се един друг елемента.

Решение. Елементите, резервиращи един друг на логическата диаграма за анализ на надеждността, са показани свързани паралелно (фиг. 25):

Резервираната система е работеща, когато или 1-вият, или 2-рият, или 3-ият елемент работи, или която и да е двойка работи, или и трите елемента заедно. Следователно работоспособното състояние на системата е сумата от работните състояния на отделните елементи. По формулата за добавяне за съвместни събития R c \u003d R 1 + R 2 + R 3 - R 1 R 2 - R 1 R 3 - R 2 R 3 + R 1 R 2 R 3. , където R1, R2и R 3са вероятностите за работоспособно състояние съответно на елементи 1, 2 и 3.

В този случай е невъзможно да се опрости решението чрез изхвърляне на сдвоени продукти, тъй като такова приближение ще даде значителна грешка (тези продукти обикновено са числено близки до първите три члена). Както в пример 16, този проблем има друго по-компактно решение.

Пример 18

За двуверижна предавателна линия (фиг. 26) е известна вероятността от повреда на всяка верига: q 1 = q 2= 0,001. Определете вероятностите линията да има сто процента пропускателна способност - P (R 100), петдесет процента пропускателна способност - P (R 50) и вероятността системата да се повреди - Q.

Линията има 100% капацитет, когато и 1-ва, и 2-ра верига работят:

P (100%) \u003d p 1 p 2 \u003d (1 - q 1) (1 - q 2) \u003d

= (1 – 0,001)(1 – 0,001) = 0,998001.

Линията се проваля, когато и 1-вата, и 2-рата верига се повредят:

P(0%) \u003d q 1 q 2 \u003d 0,001 ∙ 0,001 \u003d 10 -6.

Линията има петдесет процента капацитет, когато 1-вата верига работи и 2-рата се повреди, или когато 2-рата верига работи и 1-вата се повреди:

P (50%) \u003d p 1 q 2 + p 2 q 1 \u003d 2 ∙ 0,999 ∙ 10 -3 \u003d 0,001998.

Последният израз използва формулата за добавяне за несъвместими събития, каквито са те.

Събитията, разглеждани в тази задача, образуват пълна група, така че сумата на техните вероятности е единица.

Изучаването на теория на вероятностите започва с решаване на задачи за събиране и умножение на вероятности. Струва си да се спомене веднага, че ученикът, когато овладее тази област на знанието, може да срещне проблем: ако физическите или химичните процеси могат да бъдат визуализирани и разбрани емпирично, тогава нивото на математическата абстракция е много високо и разбирането тук идва само с опит.

Играта обаче си заслужава свещта, защото формулите - както тези, разгледани в тази статия, така и по-сложните - се използват навсякъде днес и могат да бъдат полезни в работата.

Произход

Колкото и да е странно, тласъкът за развитието на този раздел от математиката беше ... хазартът. Наистина, зарове, хвърляне на монета, покер, рулетка са типични примери, които използват събиране и умножение на вероятности. На примера на задачите във всеки учебник това може да се види ясно. Хората се интересуваха да научат как да увеличат шансовете си за победа и трябва да кажа, че някои успяха в това.

Например, още през 21 век един човек, чието име няма да разкриваме, използва тези знания, натрупани през вековете, буквално да „прочисти“ казиното, спечелвайки няколко десетки милиона долара на рулетка.

Въпреки повишения интерес към темата обаче, едва през 20-ти век е разработена теоретична база, която прави „теорвера" пълноправен. Днес в почти всяка наука можете да намерите изчисления, използващи вероятностни методи.

Приложимост

Важен момент при използване на формулите за събиране и умножение на вероятности, условна вероятност е изпълнимостта на централната гранична теорема. В противен случай, въпреки че може да не бъде осъзнато от ученика, всички изчисления, колкото и правдоподобни да изглеждат, ще бъдат неверни.

Да, силно мотивираният учащ се изкушава да използва нови знания при всяка възможност. Но в този случай трябва да се забави малко и строго да се очертае обхватът на приложимост.

Теорията на вероятностите се занимава със случайни събития, които от емпирична гледна точка са резултати от експерименти: можем да хвърлим шестстранен зар, да изтеглим карта от тесте, да предвидим броя на дефектните части в партида. В някои въпроси обаче е категорично невъзможно да се използват формули от този раздел на математиката. Ще обсъдим характеристиките на разглеждането на вероятностите за събитие, теоремите за добавяне и умножение на събития в края на статията, но засега нека се обърнем към примери.

Основни понятия

Случайно събитие е някакъв процес или резултат, който може или не може да се появи в резултат на експеримент. Например, хвърляме сандвич - той може да падне масло нагоре или масло надолу. Всеки от двата изхода ще бъде случаен и не знаем предварително кой от тях ще се случи.

Когато изучаваме събиране и умножение на вероятности, се нуждаем от още две концепции.

Съвместни събития са такива събития, настъпването на едно от които не изключва настъпването на другото. Да кажем, че двама души стрелят по мишена едновременно. Ако единият от тях произведе успешен, това няма да се отрази на способността на втория да уцели право или да пропусне.

Непоследователни събития ще бъдат такива събития, чието възникване е едновременно невъзможно. Например, като извадите само една топка от кутията, не можете да получите едновременно синьо и червено.

Обозначаване

Концепцията за вероятност се обозначава с латинската главна буква P. След това в скоби има аргументи, обозначаващи някои събития.

Във формулите на теоремата за събиране, условната вероятност, теоремата за умножение ще видите изрази в скоби, например: A+B, AB или A|B. Те ще бъдат изчислени по различни начини и сега ще се обърнем към тях.

Допълнение

Разгледайте случаите, в които се използват формулите за събиране и умножение на вероятности.

За несъвместими събития е уместна най-простата формула за добавяне: вероятността за всеки от произволните резултати ще бъде равна на сумата от вероятностите за всеки от тези резултати.

Да предположим, че има кутия с 2 сини, 3 червени и 5 жълти топчета. В кутията има общо 10 елемента. Какъв е процентът на истинност на твърдението, че ще теглим синя или червена топка? Ще бъде равно на 2/10 + 3/10, т.е. петдесет процента.

В случай на несъвместими събития формулата става по-сложна, тъй като се добавя допълнителен член. Ще се върнем към него в един параграф, след като разгледаме още една формула.

Умножение

Събирането и умножаването на вероятностите за независими събития се използват в различни случаи. Ако според условията на експеримента сме доволни от някой от двата възможни резултата, ще изчислим сумата; ако искаме да получим два сигурни резултата един след друг, ще прибегнем до използването на различна формула.

Връщайки се към примера от предишния раздел, искаме първо да нарисуваме синята топка и след това червената. Първото число, което знаем, е 2/10. Какво се случва след това? Остават 9 топки, остават още толкова червени - три броя. Според изчисленията получавате 3/9 или 1/3. Но какво да правя с две числа сега? Правилният отговор е да умножите, за да получите 2/30.

Съвместни събития

Сега отново можем да се обърнем към формулата на сумата за съвместни събития. Защо се отклоняваме от темата? Да научите как се умножават вероятностите. Сега имаме нужда от това знание.

Вече знаем какви ще бъдат първите два члена (същите като във формулата за събиране, разгледана по-рано), но сега трябва да извадим произведението на вероятностите, което току-що научихме как да изчисляваме. За по-голяма яснота записваме формулата: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Оказва се, че в един израз се използват както събиране, така и умножение на вероятности.

Да кажем, че трябва да решим един от двата проблема, за да получим кредит. Първата можем да решим с вероятност 0,3, а втората - 0,6. Решение: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Имайте предвид, че простото сумиране на числата тук няма да е достатъчно.

Условна вероятност

И накрая, съществува концепцията за условна вероятност, чиито аргументи са посочени в скоби и разделени с вертикална черта. Записът P(A|B) гласи следното: „вероятност за събитие A при дадено събитие B“.

Нека да разгледаме един пример: приятел ви дава някакво устройство, нека да е телефон. Може да е счупен (20%) или добър (80%). Можете да поправите всяко устройство, което попадне в ръцете ви с вероятност 0,4 или не можете да направите това (0,6). И накрая, ако устройството е в работно състояние, можете да се свържете с правилния човек с вероятност от 0,7.

Лесно е да се види как работи условната вероятност в този случай: не можете да се свържете с човека, ако телефонът е повреден, а ако е добър, не е необходимо да го поправяте. По този начин, за да получите някакви резултати на "второто ниво", трябва да знаете кое събитие е изпълнено на първото.

Изчисления

Разгледайте примери за решаване на задачи за събиране и умножение на вероятности, като използвате данните от предходния параграф.

Първо, нека намерим вероятността да поправите даденото ви устройство. За да направите това, първо, трябва да е дефектен, и второ, трябва да се справите с ремонта. Това е типичен проблем с умножение: получаваме 0,2 * 0,4 = 0,08.

Каква е вероятността веднага да се свържете с правилния човек? По-лесно от просто: 0,8 * 0,7 \u003d 0,56. В този случай сте установили, че телефонът работи и сте осъществили успешно повикване.

И накрая, помислете за този сценарий: получили сте счупен телефон, поправили сте го, след това сте набрали номера и човекът отсреща е вдигнал телефона. Тук вече е необходимо умножаването на три компонента: 0,2 * 0,4 * 0,7 \u003d 0,056.

Но какво ще стане, ако имате два неработещи телефона наведнъж? Каква е вероятността да поправите поне един от тях? при събиране и умножение на вероятности, тъй като се използват съвместни събития. Решение: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Така, ако в ръцете ви попаднат две повредени устройства, ще можете да го поправите в 64% от случаите.

Внимателна употреба

Както бе споменато в началото на статията, използването на теорията на вероятностите трябва да бъде съзнателно и съзнателно.

Колкото по-голяма е поредицата от експерименти, толкова повече теоретично прогнозираната стойност се доближава до стойността, получена на практика. Например, хвърляме монета. Теоретично, знаейки за съществуването на формули за събиране и умножение на вероятности, можем да предвидим колко пъти ще изпаднат глави и опашки, ако проведем експеримента 10 пъти. Проведохме експеримент и по стечение на обстоятелствата съотношението на изпадналите страни беше 3 към 7. Но ако проведете серия от 100, 1000 или повече опита, се оказва, че графиката на разпределението се доближава все повече и повече до теоретична: 44 до 56, 482 до 518 и т.н.

Сега си представете, че този експеримент не се провежда с монета, а с производството на някакво ново химическо вещество, чиято вероятност не знаем. Ще проведем 10 експеримента и без да получим успешен резултат, бихме могли да обобщим: „субстанцията не може да бъде получена“. Но кой знае, ако направихме единадесетия опит, щяхме ли да стигнем целта или не?

Така, ако отивате в неизвестното, в неизследвана област, теорията на вероятността може да не е приложима. Всеки следващ опит в този случай може да е успешен, а обобщения като „Х не съществува“ или „Х е невъзможно“ ще бъдат преждевременни.

Последна дума

И така, разгледахме два вида събиране, умножение и условни вероятности. С по-нататъшното изучаване на тази област е необходимо да се научим да разграничаваме ситуациите, когато се използва всяка конкретна формула. Освен това трябва да разберете дали вероятностните методи са общоприложими при решаването на вашия проблем.

Ако практикувате, след известно време ще започнете да извършвате всички необходими операции изключително в ума си. За тези, които обичат игрите с карти, това умение може да се счита за изключително ценно - ще увеличите значително шансовете си за печалба, като просто изчислите вероятността определена карта или цвят да изпадне. Придобитите знания обаче лесно могат да бъдат приложени в други области на дейност.

Необходимостта от операции върху вероятностите идва, когато вероятностите за някои събития са известни и е необходимо да се изчислят вероятностите за други събития, които са свързани с тези събития.

Вероятностното добавяне се използва, когато е необходимо да се изчисли вероятността от комбинация или логическа сума от случайни събития.

Сума от събития Аи бобозначавам А + били А ∪ б. Сумата от две събития е събитие, което се случва тогава и само ако се случи поне едно от събитията. Означава, че А + б- събитие, което настъпва тогава и само ако настъпи събитие по време на наблюдението Аили събитие б, или по едно и също време Аи б.

Ако събития Аи бса взаимно несъвместими и техните вероятности са дадени, тогава вероятността едно от тези събития да се случи в резултат на един опит се изчислява чрез добавяне на вероятности.

Теорема за събиране на вероятности.Вероятността да се случи едно от две взаимно несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития:

Например два изстрела са произведени по време на лов. Събитие НО– уцелване на патица от първия изстрел, събитие AT– попадение от втори удар, събитие ( НО+ AT) - попадение от първия или втория изстрел или от два изстрела. Така че, ако две събития НОи ATтогава са несъвместими събития НО+ AT- настъпването на поне едно от тези събития или две събития.

Пример 1Една кутия съдържа 30 топки с еднакъв размер: 10 червени, 5 сини и 15 бели. Изчислете вероятността цветна (не бяла) топка да бъде взета, без да се гледа.

Решение. Да приемем, че събитието НО– „червената топка е взета“ и събитието AT- "Синята топка е взета." Тогава събитието е „взета е цветна (не бяла) топка“. Намерете вероятността за събитие НО:

и събития AT:

Разработки НОи AT- взаимно несъвместими, тъй като ако се вземе една топка, тогава не могат да се вземат топки с различни цветове. Затова използваме добавянето на вероятности:

Теорема за събиране на вероятности за няколко несъвместими събития.Ако събитията съставят пълния набор от събития, тогава сумата от техните вероятности е равна на 1:

Сумата от вероятностите за противоположни събития също е равна на 1:

Противоположните събития образуват пълен набор от събития, а вероятността за пълен набор от събития е 1.

Вероятностите за противоположни събития обикновено се обозначават с малки букви. стри р. По-специално,

от което следват следните формули за вероятността от противоположни събития:

Пример 2Мишената в тирето е разделена на 3 зони. Вероятността даден стрелец да стреля по мишена в първата зона е 0,15, във втората зона - 0,23, в третата зона - 0,17. Намерете вероятността стрелецът да уцели целта и вероятността стрелецът да пропусне целта.

Решение: Намерете вероятността стрелецът да уцели целта:

Намерете вероятността стрелецът да пропусне целта:

По-трудни задачи, в които трябва да приложите едновременно събиране и умножение на вероятности - на страницата "Различни задачи за събиране и умножение на вероятности" .

Събиране на вероятности за взаимно съвместни събития

Две случайни събития се наричат съвместни, ако появата на едно събитие не изключва появата на второ събитие в същото наблюдение. Например при хвърляне на зарове събитието НОсе счита за появата на числото 4, а събитието AT- отпадане на четно число. Тъй като числото 4 е четно число, двете събития са съвместими. В практиката се срещат задачи за изчисляване на вероятностите за настъпване на едно от взаимно съвместните събития.

Теорема за събиране на вероятности за съвместни събития.Вероятността едно от съвместните събития да се случи е равна на сумата от вероятностите за тези събития, от която се изважда вероятността за общото случване на двете събития, т.е. произведението на вероятностите. Формулата за вероятностите за съвместни събития е следната:

Тъй като събитията НОи ATсъвместим, събитие НО+ ATвъзниква, ако настъпи едно от три възможни събития: или AB. Съгласно теоремата за събиране на несъвместими събития, изчисляваме, както следва:

Събитие НОвъзниква, ако се случи едно от две несъвместими събития: или AB. Въпреки това, вероятността за възникване на едно събитие от няколко несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на всички тези събития:

По същия начин:

Замествайки изрази (6) и (7) в израз (5), получаваме формулата на вероятността за съвместни събития:

При използване на формула (8) трябва да се има предвид, че събитията НОи ATможе да бъде:

взаимно независими;
взаимно зависими.

Формула за вероятност за взаимно независими събития:

Формула за вероятност за взаимно зависими събития:

Ако събития НОи ATса непоследователни, тогава съвпадението им е невъзможен случай и следователно, П(AB) = 0. Четвъртата вероятностна формула за несъвместими събития е както следва:

Пример 3В автомобилните състезания, когато шофирате в първата кола, вероятността за победа, когато шофирате във втората кола. Намирам:

вероятността и двете коли да спечелят;
вероятността поне една кола да спечели;

1) Вероятността първата кола да спечели не зависи от резултата на втората кола, така че събитията НО(първата кола печели) и AT(втора кола печели) - независими събития. Намерете вероятността и двете коли да спечелят:

2) Намерете вероятността една от двете коли да спечели:

Решете сами задачата за събиране на вероятности и след това вижте решението

Пример 4Хвърлят се две монети. Събитие А- загуба на герб на първата монета. Събитие б- загуба на герб на втората монета. Намерете вероятността за събитие ° С = А + б .

Умножение на вероятностите

Умножението на вероятностите се използва, когато трябва да се изчисли вероятността за логически продукт от събития.

В този случай случайните събития трябва да са независими. Две събития се наричат взаимно независими, ако настъпването на едно събитие не влияе върху вероятността за настъпване на второто събитие.

Теорема за умножение на вероятностите за независими събития.Вероятността за едновременно възникване на две независими събития НОи ATе равна на произведението на вероятностите за тези събития и се изчислява по формулата:

Пример 5Монетата се хвърля три пъти подред. Намерете вероятността гербът да изпадне и трите пъти.

Решение. Вероятността гербът да падне при първото хвърляне на монета, втория път и третия път. Намерете вероятността гербът да изпадне и трите пъти:

Решете сами задачи за умножаване на вероятности и след това вижте решението

Пример 6Има кутия с девет нови тенис топки. За играта се вземат три топки, след играта се връщат обратно. При избора на топки не правят разлика между играни и неиграни топки. Каква е вероятността след три игри да няма неизиграни топки в полето?

Пример 7 32 букви от руската азбука са написани на изрязани азбучни карти. Пет карти се теглят на случаен принцип една след друга и се поставят на масата в реда, в който се появяват. Намерете вероятността буквите да образуват думата "край".

Пример 8От пълно тесте карти (52 листа) се изваждат четири карти наведнъж. Намерете вероятността и четирите карти да са от една боя.

Пример 9Същият проблем като в пример 8, но всяка карта се връща в тестето, след като бъде изтеглена.

По-сложни задачи, в които трябва да приложите както събиране и умножение на вероятности, така и да пресмятате произведението на няколко събития – на страницата „Различни задачи за събиране и умножение на вероятности“ .

Вероятността поне едно от взаимно независимите събития да се случи може да се изчисли чрез изваждане на произведението на вероятностите за противоположни събития от 1, тоест по формулата:

Пример 10Товарите се доставят с три вида транспорт: речен, железопътен и автомобилен транспорт. Вероятността товарът да бъде доставен с речен транспорт е 0,82, с железопътен транспорт 0,87, с автомобилен транспорт 0,90. Намерете вероятността стоката да бъде доставена с поне един от трите вида транспорт.

Теореми за събиране и умножение на вероятности.

Теорема за събиране на вероятности от две събития. Вероятността за сумата от две събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития без вероятността за тяхното съвместно възникване:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Теорема за събиране на вероятности от две несъвместими събития. Вероятността за сумата от две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тях:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Пример 2.16.Стрелецът стреля по мишена, разделена на 3 зони. Вероятността за попадение в първата зона е 0,45, втората - 0,35. Намерете вероятността стрелецът да удари или първата, или втората зона с един изстрел.

Решение.

Разработки НО- "стрелецът удари първата зона" и AT- „стрелецът попадна във втората зона“ - са непоследователни (попадение в една зона изключва попадане в друга), така че теоремата за добавяне е приложима.

Желаната вероятност е равна на:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Теорема за събиране Пнесъвместими събития. Вероятността за сумата от n несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези:

P (A 1 + A 2 + ... + A p) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A p).

Сумата от вероятностите за противоположни събития е равна на единица:

Вероятност на събитието ATприемайки, че е настъпило събитие НО, се нарича условна вероятност на събитието ATи се маркира така: P(B/A),или R A (B).

. Вероятността за произведението на две събития е равна на произведението на вероятността за едно от тях по условната вероятност за другото, при условие че се е случило първото събитие:

P(AB)=P(A)P A(B).

Събитие ATне зависи от събитието НО, ако

PA (B) \u003d P (B),

тези. вероятност за събитие ATне зависи от това дали събитието се е случило НО.

Теорема за умножение на вероятностите за две независими събития.Вероятността за произведението на две независими събития е равна на произведението на техните вероятности:

P(AB)=P(A)P(B).

Пример 2.17.Вероятностите за попадение в целта при стрелба от първото и второто оръдие са съответно равни: стр. 1 = 0,7; стр. 2= 0,8. Намерете вероятността за удар с един залп (от двете пушки) от поне едно от оръжията.

Решение.

Вероятността за поразяване на целта от всяко от оръжията не зависи от резултата от стрелбата от другото оръжие, така че събитията НО- "Първи удар с пистолет" и AT– „второ попадение“ са независими.

Вероятност на събитието AB- "и двата пистолета са ударени":

Желана вероятност

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Теорема за умножение на вероятностите Псъбития.Вероятността за продукт от n събития е равна на произведението на едно от тях по условните вероятности на всички останали, изчислени при предположението, че всички предишни събития са се случили:

Пример 2.18. Една урна съдържа 5 бели, 4 черни и 3 сини топки. Всеки тест се състои в това, че една топка се тегли на случаен принцип, без да се връща обратно. Намерете вероятността бяла топка да се появи при първия опит (събитие A), черна топка при втория опит (събитие B) и синя топка при третия опит (събитие C).

Решение.

Вероятност бяла топка да се появи в първия опит:

Вероятността черна топка да се появи при втория опит, изчислена като се приеме, че бяла топка се е появила при първия опит, т.е. условната вероятност:

Вероятността синя топка да се появи в третия опит, изчислена като се приеме, че бяла топка се е появила в първия опит и черна във втория, т.е. условната вероятност:

Желаната вероятност е равна на:

Теорема за умножение на вероятностите Пнезависими събития.Вероятността за произведение от n независими събития е равна на произведението на техните вероятности:

P (A 1 A 2 ... A p) \u003d P (A 1) P (A 2) ... P (A p).

Вероятността поне едно от събитията да се случи. Вероятността за възникване на поне едно от събитията A 1 , A 2 , ..., A p, независими в съвкупността, е равна на разликата между единица и произведението на вероятностите на противоположни събития:

Пример 2.19.Вероятностите за попадение в целта при стрелба от три оръдия са следните: стр. 1 = 0,8; стр. 2 = 0,7;стр. 3= 0,9. Намерете вероятността за поне едно попадение (събитие НО) с един залп от всички оръдия.

Решение.

Вероятността за поразяване на целта от всяко от оръдията не зависи от резултатите от стрелба от други оръдия, така че разглежданите събития A 1(ударен от първия пистолет), А 2(ударен от втория пистолет) и A 3(удар от третия пистолет) са независими в сбора.

Вероятности за събития, противоположни на събития A 1, А 2и A 3(т.е. вероятности за пропуск), съответно, са равни на:

, , .

Желаната вероятност е равна на:

Ако независими събития A 1, A 2, ..., A pимат същата вероятност Р, тогава вероятността за настъпване на поне едно от тези събития се изразява с формулата:

Р(А)= 1 – q n ,

където q=1-p

2.7. Формула за пълна вероятност. Формула на Бейс.

Нека събитието НОможе да възникне, ако настъпи едно от несъвместимите събития N 1, N 2, ..., N p, образувайки пълна група от събития. Тъй като не е известно предварително кое от тези събития ще се случи, те се наричат хипотези.

Вероятност за настъпване на събитие НОизчислено от формула за обща вероятност:

P (A) \u003d P (N 1) P (A / N 1) + P (N 2) P (A / N 2) + ... + P (N p) P (A / N p).

Да приемем, че е проведен експеримент, в резултат на който събитието НОсе случи. Вероятности за условни събития N 1, N 2, ..., N pотносно събитието НОопределен Формули на Бейс:

Пример 2.20. В група от 20 студента, явили се на изпита, 6 са отлични, 8 са добри, 4 са задоволително и 2 са слабо подготвени. В изпитните работи има 30 въпроса. Добре подготвен ученик може да отговори на всичките 30 въпроса, добре подготвен ученик може да отговори на 24, задоволителен ученик може да отговори на 15, а слаб студент може да отговори на 7.

Произволно избран ученик отговори на три случайни въпроса. Намерете вероятността този ученик да е подготвен: а) отлично; б) лошо.

Решение.

Хипотези – „ученикът е добре подготвен”;

– „ученикът е добре подготвен”;

– „ученикът е подготвен задоволително”;

- "ученикът е слабо подготвен."

Преди опит:

; ; ; ;

7. Какво се нарича пълна група от събития?

8. Кои събития се наричат еднакво вероятни? Дайте примери за такива събития.

9. Какво се нарича елементарен резултат?

10. Какви резултати наричам благоприятни за това събитие?

11. Какви операции могат да се извършват върху събития? Дайте им определения. Как се обозначават? Дай примери.

12. Какво се нарича вероятност?

13. Каква е вероятността за определено събитие?

14. Каква е вероятността за невъзможно събитие?

15. Какви са границите на вероятността?

16. Как се определя геометричната вероятност на равнината?

17. Как се определя вероятността в пространството?

18. Как се определя вероятността по права линия?

19. Каква е вероятността за сумата от две събития?

20. Каква е вероятността за сумата от две несъвместими събития?

21. Каква е вероятността за сумата от n несъвместими събития?

22. Каква е условната вероятност? Дай пример.

23. Формулирайте теоремата за умножение на вероятностите.

24. Как да намерим вероятността за настъпване на поне едно от събитията?

25. Какви събития се наричат хипотези?

26. Кога се използват формулата за пълна вероятност и формулите на Байс?

Събиране и умножение на вероятности. Тази статия ще се фокусира върху решаването на проблеми в теорията на вероятностите. По-рано вече анализирахме някои от най-простите задачи, за решаването им е достатъчно да знаете и разберете формулата (съветвам ви да я повторите).

Има задачи, които са малко по-сложни, за тяхното решаване трябва да знаете и разбирате: правилото за добавяне на вероятности, правилото за умножение на вероятностите, понятията за зависими и независими събития, противоположни събития, съвместни и несъвместими събития. Не се страхувайте от определения, всичко е просто)).В тази статия ще разгледаме точно такива задачи.

Някои важни и прости теории:

несъвместими ако възникването на едно от тях изключва възникването на останалите. Тоест, може да се случи само едно конкретно събитие или друго.

Класически пример: при хвърляне на зар (зарове) може да падне само един, или само два, или само три и т.н. Всяко от тези събития е несъвместимо с останалите и настъпването на едно от тях изключва настъпването на другото (в един тест). Същото е и с монетата - загубата на "орел" елиминира възможността за загуба на "опашка".

Това важи и за по-сложни комбинации. Например, светят две осветителни лампи. Всеки от тях може или не може да изгори за известно време. Има опции:

Първият изгаря, а вторият изгаря
Първият изгаря, а вторият не изгаря
Първият не изгаря, а вторият изгаря
Първият не изгаря, а вторият изгаря.

Всичките тези 4 варианта на събития са несъвместими - те просто не могат да се случат заедно и нито един от тях с друг ...

Определение: Събитията се наричат ставаако настъпването на едно от тях не изключва настъпването на другото.

Пример: дама ще бъде взета от тесте карти и карта пика ще бъде взета от тесте карти. Разглеждат се две събития. Тези събития не са взаимно изключващи се - можете да изтеглите Дама пика и по този начин ще се случат и двете събития.

На сумата от вероятностите

Сумата от две събития A и B се нарича събитие A + B, което се състои в това, че или събитието A, или събитието B, или и двете ще се появят едновременно.

Ако възникне несъвместимисъбития A и B, тогава вероятността от сумата от тези събития е равна на сумата от вероятностите на събитията:

Пример за зарове:

Хвърляме зар. Каква е вероятността да получите число, по-малко от четири?

Числата по-малки от четири са 1,2,3. Знаем, че вероятността да получим 1 е 1/6, 2 е 1/6, а 3 е 1/6. Това са несъвместими събития. Можем да приложим правилото за добавяне. Вероятността да получите число по-малко от четири е:

Всъщност, ако изхождаме от концепцията за класическата вероятност: тогава броят на възможните резултати е 6 (броят на всички лица на куба), броят на благоприятните резултати е 3 (един, два или три). Желаната вероятност е 3 към 6 или 3/6 = 0,5.

* Вероятността за сумата от две съвместни събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития, без да се взема предвид тяхното съвместно възникване: P (A + B) \u003d P (A) + P (B) -P (AB )

За умножението на вероятностите

Нека възникнат две несъвместими събития A и B, техните вероятности са съответно P(A) и P(B). Продуктът от две събития A и B се нарича такова събитие A B, което се състои в това, че тези събития ще се случат заедно, тоест ще се случат както събитие A, така и събитие B. Вероятността за такова събитие е равна на продукта от вероятностите за събития А и Б.Изчислява се по формулата:

Както вече сте забелязали, логическата връзка "И" означава умножение.

Пример със същия зар:Хвърлете зар два пъти. Каква е вероятността да хвърлите две шестици?

Вероятността да хвърлите шестица за първи път е 1/6. Второто време също е равно на 1/6. Вероятността да получите шестица както първия, така и втория път е равна на произведението на вероятностите:

С прости думи: когато дадено събитие се случи в един тест, И след това се случи друго (други), тогава вероятността те да се появят заедно е равна на произведението на вероятностите за тези събития.

Решавахме задачи със зарове, но използвахме само логически разсъждения, не използвахме формулата на продукта. В проблемите, разгледани по-долу, не можете да правите без формули или по-скоро ще бъде по-лесно и по-бързо да получите резултата с тях.

Струва си да се спомене още един нюанс. При разсъждения при решаване на проблеми се използва понятието ЕДНОВРЕМЕННОСТ на събитията. Събитията се случват ЕДНОВРЕМЕННО - това не означава, че се случват в една секунда (в един момент от времето). Това означава, че те се случват в определен период от време (с един тест).

Например:

Две лампи изгарят за една година (може да се каже - едновременно за една година)

Два автомата се развалят за един месец (може да се каже - едновременно за един месец)

Зарът се хвърля три пъти (точките падат едновременно, което означава в един тест)

Биатлонистът прави пет удара. Събития (изстрели) се случват по време на един тест.

Събития A и B са независими, ако вероятността за някое от тях не зависи от настъпването или ненастъпването на другото събитие.

Помислете за задачите:

Две фабрики произвеждат едно и също стъкло за автомобилни фарове. Първата фабрика произвежда 35% от тези очила, втората - 65%. Първата фабрика произвежда 4% от дефектните очила, а втората - 2%. Намерете вероятността чаша, закупена случайно в магазин, да бъде дефектна.

Първата фабрика произвежда 0,35 продукта (стъкла). Вероятността за закупуване на дефектно стъкло от първата фабрика е 0,04.

Втората фабрика произвежда стъкла 0,65. Вероятността за закупуване на дефектно стъкло от втората фабрика е 0,02.

Вероятността стъклото да е закупено в първата фабрика И в същото време да е дефектно е 0,35∙0,04 = 0,0140.

Вероятността стъклото да е закупено във втората фабрика И в същото време да е дефектно е 0,65∙0,02 = 0,0130.

Купуването на дефектно стъкло в магазин предполага, че то (дефектното стъкло) е закупено ИЛИ от първата фабрика, ИЛИ от втората. Това са несъвместими събития, тоест добавяме получените вероятности:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Отговор: 0,027

Ако гросмайстор А. играе с бели, тогава той печели гросмайстор Б. с вероятност 0,62. Ако A. играе черно, тогава A. бие B. с вероятност 0,2. Гросмайсторите А. и Б. играят две игри, като във втората игра сменят цвета на фигурите. Намерете вероятността A. да спечели и двата пъти.

Шансовете за спечелване на първата и втората игра са независими един от друг. Казва се, че гросмайсторът трябва да спечели и двата пъти, тоест да спечели първия път И в същото време да спечели втория път. В случай, че независими събития трябва да се случат заедно, вероятностите за тези събития се умножават, т.е. използва се правилото за умножение.

Вероятността за генериране на тези събития ще бъде равна на 0,62∙0,2 = 0,124.

Отговор: 0,124

При изпита по геометрия студентът получава един въпрос от списъка с изпитни въпроси. Вероятността това да е въпрос с вписан кръг е 0,3. Вероятността това да е въпрос на паралелограм е 0,25. Няма въпроси, свързани с тези две теми едновременно. Намерете вероятността студентът да получи въпрос по една от тези две теми на изпита.

Тоест, необходимо е да се намери вероятността ученикът да получи въпрос ИЛИ по темата „Вписана окръжност“, ИЛИ по темата „Успоредник“. В този случай вероятностите се сумират, тъй като тези събития са несъвместими и може да се случи всяко от тези събития: 0,3 + 0,25 = 0,55.

*Несъвпадащите събития са събития, които не могат да се случат по едно и също време.

Отговор: 0,55

Биатлонистката стреля пет пъти по мишените. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,9. Намерете вероятността биатлонистът да удари мишените първите четири пъти и да пропусне последния. Закръглете резултата до най-близката стотна.

Тъй като биатлонистът уцелва целта с вероятност 0,9, той пропуска с вероятност 1 - 0,9 = 0,1

*Пропускът и попадението са събития, които не могат да се случат едновременно с един изстрел, сумата от вероятностите за тези събития е 1.

Говорим за извършване на няколко (независими) събития. Ако едно събитие се случи и в същото време друго (последващо) се случи по същото време (тест), тогава вероятностите за тези събития се умножават.

Вероятността за генериране на независими събития е равна на произведението на техните вероятности.

По този начин вероятността за събитието "удар, удар, удар, удар, пропуснат" е равна на 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.

Като закръглим до стотни, получаваме 0,07

Отговор: 0,07

Магазинът разполага с две разплащателни машини. Всеки от тях може да бъде дефектен с вероятност от 0,07, независимо от другия автомат. Намерете вероятността поне един автомат да е изправен.

Намерете вероятността и двата автомата да са дефектни.

Тези събития са независими, така че вероятността ще бъде равна на произведението на вероятностите за тези събития: 0,07∙0,07 = 0,0049.

Това означава, че вероятността двата автомата да работят или един от тях ще бъде равна на 1 - 0,0049 = 0,9951.

* И двата са изправни, а някой напълно - отговаря на условието "поне един".

Човек може да представи вероятностите за всички (независими) събития за тестване:

1. „дефектен-дефектен“ 0,07∙0,07 = 0,0049

2. „Добър-дефектен“ 0,93∙0,07 = 0,0651

3. "Грешен-Грешен" 0,07∙0,93 = 0,0651

4. “здравословно” 0,93∙0,93 = 0,8649

За да се определи вероятността поне един автомат да е в добро състояние, е необходимо да се добавят вероятностите за независими събития 2,3 и 4: определено събитие Събитие се нарича събитие, което със сигурност ще се случи в резултат на преживяване. Събитието се нарича невъзможенако никога не се случи в резултат на опит.

Например, ако една топка бъде изтеглена на случаен принцип от кутия, съдържаща само червени и зелени топки, тогава появата на бяла топка сред изтеглените топки е невъзможно събитие. Появата на червените и появата на зелените топки образуват пълна група от събития.

определение:Събитията се наричат еднакво възможно , ако няма причина да се смята, че един от тях ще се появи в резултат на експеримента с по-голяма вероятност.

В горния пример появата на червени и зелени топки са еднакво вероятни събития, ако кутията съдържа същия брой червени и зелени топки. Ако в кутията има повече червени топки, отколкото зелени, тогава появата на зелена топка е по-малко вероятна от появата на червена.

В ние ще разгледаме повече задачи, където се използват сумата и произведението на вероятностите за събития, не го пропускайте!

Това е всичко. Пожелавам ти успех!

С уважение, Александър Крутицких.

Мария Ивановна се кара на Вася:
Петров защо не беше на училище вчера?!
Майка ми ми изпра панталоните вчера.
- Какво от това?
- И аз минавах покрай къщата и видях, че вашите висят. Мислех, че няма да дойдеш.

P.S: Ще бъда благодарен, ако разкажете за сайта в социалните мрежи.