Колко асимптоти може да има една графика на функция?

Никой, едно, две, три... или безкраен брой. Няма да отиваме далеч за примери, ще си припомним елементарни функции. Парабола, кубична парабола, синусоида изобщо нямат асимптоти. Графиката на експоненциална логаритмична функция има една асимптота. Арктангенсът, арккотангенсът има два от тях, а тангенсът, котангенсът има безкраен брой. Не е необичайно една графика да има хоризонтални и вертикални асимптоти. Хипербола, винаги ще те обичам.

Какво означава да се намерят асимптоти на графика на функция?

Това означава да намерите техните уравнения и да нарисувате прави линии, ако условието на проблема го изисква. Процесът включва намиране на границите на функцията.

Вертикални асимптоти на графика на функция

Вертикалната асимптота на графиката, като правило, е в точката на безкрайно прекъсване на функцията. Просто е: ако в даден момент функцията претърпи безкрайно прекъсване, тогава правата линия, дадена от уравнението, е вертикалната асимптота на графиката.

Забележка: Моля, обърнете внимание, че нотацията се използва за обозначаване на две напълно различни концепции. Точката се подразбира или уравнението на права линия - зависи от контекста.

По този начин, за да се установи наличието на вертикална асимптота в дадена точка, е достатъчно да се покаже, че поне една от едностранните граници е безкрайна. Най-често това е точката, в която знаменателят на функцията е равен на нула. Всъщност вече открихме вертикални асимптоти в последните примери от урока за непрекъснатост на функция. Но в редица случаи има само една едностранна граница и ако тя е безкрайна, тогава отново - обичайте и предпочитайте вертикалната асимптота. Най-простата илюстрация: и оста y.

От горното следва и очевидният факт: ако функцията е непрекъсната, тогава няма вертикални асимптоти. По някаква причина ми хрумна една парабола. Наистина, къде можете да "залепите" права линия тук? ... да ... разбирам ... последователите на чичо Фройд се свиха в истерия =)

Обратното твърдение по принцип не е вярно: например функцията не е дефинирана върху цялата реална линия, но е напълно лишена от асимптоти.

Наклонени асимптоти на графика на функция

Наклонени (като частен случай - хоризонтални) асимптоти могат да бъдат начертани, ако аргументът на функцията клони към "плюс безкрайност" или "минус безкрайност". Следователно графиката на една функция не може да има повече от 2 наклонени асимптоти. Например, графиката на експоненциална функция има една хоризонтална асимптота при , а графиката на арктангенса при има две такива асимптоти и различни.

Определение . Асимптота на графика на функция е линия, която има свойството, че разстоянието от точката на графиката на функцията до тази линия клони към нула с неограничено разстояние от началото на точката на графиката.

Според методите за намирането им се разграничават три вида асимптоти: вертикални, хоризонтални, наклонени.

Очевидно хоризонталните са специални случаи на наклонените (за ).

Намирането на асимптотите на графиката на функцията се основава на следните твърдения.

Теорема 1 . Нека функцията е дефинирана поне в някаква полуоколност на точката и поне една от нейните едностранни граници е безкрайна в тази точка, т.е. равен. Тогава правата линия е вертикалната асимптота на графиката на функцията.

По този начин вертикалните асимптоти на графиката на функцията трябва да се търсят в точките на прекъсване на функцията или в краищата на нейната област на дефиниране (ако това са крайни числа).

Теорема 2 . Нека функцията е дефинирана за стойности на аргументи, които са достатъчно големи по абсолютна стойност, и има крайна граница на функцията . Тогава линията е хоризонталната асимптота на графиката на функцията.

Може да се случи така , а , и са крайни числа, тогава графиката има две различни хоризонтални асимптоти: лява и дясна. Ако само една от крайните граници или съществува, тогава графиката има или една лява, или една дясна хоризонтална асимптота.

Теорема 3 . Нека функцията е дефинирана за стойности на аргумента, които са достатъчно големи по абсолютна стойност и има крайни граници и . Тогава правата е наклонената асимптота на графиката на функцията.

Обърнете внимание, че ако поне една от тези граници е безкрайна, тогава няма наклонена асимптота.

Наклонената асимптота, както и хоризонталната, може да бъде едностранна.

Пример. Намерете всички асимптоти на графиката на функцията.

Решение.

Функцията е дефинирана с . Нека намерим неговите едностранни граници в точки.

защото и (другите две едностранни граници вече не могат да бъдат намерени), тогава линиите са вертикалните асимптоти на графиката на функцията.

Изчислете

(приложете правилото на L'Hopital) = .

Така че правата е хоризонтална асимптота.

Тъй като хоризонталната асимптота съществува, вече не търсим наклонени асимптоти (те не съществуват).

Отговор: Графиката има две вертикални и една хоризонтална асимптота.

Проучване на общата функцияг = f (х ).

Обхват на функцията.Намерете неговия домейн д(f) . Ако не е твърде трудно, тогава е полезно да намерите и диапазона д(f) . (В много случаи обаче въпросът за намирането д(f) се забавя, докато се намерят екстремумите на функцията.)

Специални свойства на функция.Разберете общите свойства на функцията: четно, нечетно, периодичност и др. Не всяка функция има свойства като четно или нечетно. Една функция със сигурност не е нито четна, нито нечетна, ако нейната област на дефиниция е асиметрична спрямо точката 0 на оста вол. По същия начин, за всяка периодична функция, областта на дефиниция се състои или от цялата реална ос, или от обединението на периодично повтарящи се системи от интервали.

Вертикални асимптоти.Разберете как се държи функцията, когато аргументът се доближи до граничните точки на областта на дефиницията д(f), ако има такива гранични точки. В този случай могат да се появят вертикални асимптоти. Ако функцията има такива точки на прекъсване, в които не е дефинирана, тогава тези точки също се проверяват за наличие на вертикални асимптоти на функцията.

Наклонени и хоризонтални асимптоти.Ако обхватът д(f) включва лъчи от формата (a;+) или (−;b), тогава можем да се опитаме да намерим наклонени асимптоти (или хоризонтални асимптоти) при x+ или x−, съответно, т.е. намерете limxf(x). Наклонени асимптоти : г = kx + б,където k=limx+xf(x) и b=limx+(f(x)−x). Хоризонтални асимптоти : г = б,където limxf(x)=b.

Намиране на пресечните точки на графиката с осите. Намиране на пресечната точка на графиката с оста Ой. За да направите това, трябва да изчислите стойността f(0). Намерете и точките на пресичане на графиката с оста вол, защо да намерим корените на уравнението f(х) = 0 (или се уверете, че няма корени). Уравнението често може да бъде решено само приблизително, но разделянето на корените помага да се разбере по-добре структурата на графиката. След това трябва да определите знака на функцията на интервалите между корените и точките на прекъсване.

Намиране на пресечните точки на графиката с асимптотата.В някои случаи може да е необходимо да се намерят характерни точки на графиката, които не са споменати в предишните параграфи. Например, ако функцията има наклонена асимптота, тогава можете да опитате да разберете дали има точки на пресичане на графиката с тази асимптота.

Намиране на интервали на изпъкналост и вдлъбнатост. Това се прави чрез изследване на знака на втората производна f(x). Намерете точките на инфлексия в кръстовищата на изпъкналите и вдлъбнатите интервали. Изчислете стойността на функцията в точките на инфлексия. Ако функцията има други точки на непрекъснатост (различни от точките на инфлексия), в които втората производна е равна на 0 или не съществува, тогава в тези точки също е полезно да се изчисли стойността на функцията. След като намерихме f(x) , решаваме неравенството f(x)0. На всеки от интервалите на решение функцията ще бъде изпъкнала надолу. Решавайки обратното неравенство f(x)0, намираме интервалите, на които функцията е изпъкнала нагоре (т.е. вдлъбната). Ние дефинираме точките на инфлексия като онези точки, в които функцията променя посоката на изпъкналост (и е непрекъсната).

Ето как се формулира типична задача, която включва намиране на ВСИЧКИ асимптоти на графиката (вертикална, наклонена / хоризонтална). Въпреки че, за да бъдем по-точни във формулирането на въпроса, говорим за изследване за наличието на асимптоти (в края на краищата може и да няма такива).

Да започнем с нещо просто:

Пример 1

Решение Удобно е да го разделите на две точки:

1) Първо проверяваме дали има вертикални асимптоти. Знаменателят изчезва при и веднага става ясно, че в този момент функцията страда безкрайна празнина, а правата линия, дадена от уравнението, е вертикалната асимптота на графиката на функцията . Но преди да се направи такова заключение, е необходимо да се намерят едностранчиви граници:

Напомням ви за техниката на изчисление, на която също се спрях в статията непрекъснатост на функцията. точки на прекъсване. В израза под знака за граница вместо "x" заместваме . Няма нищо интересно в числителя:
.

Но в знаменателя се оказва безкрайно малко отрицателно число:
, то определя съдбата на лимита.

Лявата граница е безкрайна и по принцип вече е възможно да се даде присъда за наличието на вертикална асимптота. Но едностранните ограничения са необходими не само за това - те ПОМАГАТ ДА РАЗБЕРЕМ КАКнамира се графиката на функцията и се начертава ПРАВИЛНО. Следователно трябва да изчислим и дясната граница:

Заключение: едностранните граници са безкрайни, което означава, че линията е вертикална асимптота на графиката на функцията при .

Първо ограничение краен, което означава, че е необходимо да „продължите разговора“ и да намерите второто ограничение:

Второто ограничение също краен.

Така че нашата асимптота е:

Заключение: правата линия, дадена от уравнението, е хоризонталната асимптота на графиката на функцията при .

Да се ​​намери хоризонталната асимптота Можете да използвате опростената формула:

Ако има крайна граница, тогава линията е хоризонтална асимптота на графиката на функцията при .

Лесно се вижда, че числителят и знаменателят на функцията един ред на растеж, което означава, че желаната граница ще бъде крайна:

Отговор:

Според условието не е необходимо да завършите рисунката, но ако е в разгара си функционално изследване, след това на черновата веднага правим скица:

Въз основа на трите намерени граници, опитайте се да разберете независимо как може да бъде разположена графиката на функцията. Доста трудно? Намерете 5-6-7-8 точки и ги маркирайте на чертежа. Графиката на тази функция обаче е изградена с помощта на трансформации на графиката на елементарна функция, а читателите, които внимателно са разгледали пример 21 от тази статия, лесно ще познаят какъв вид крива е това.

Пример 2

Намерете асимптоти на графиката на функция

Това е пример за „направи си сам“. Процесът, напомням ви, е удобно разделен на две точки - вертикални асимптоти и наклонени асимптоти. В примерния разтвор хоризонталната асимптота се намира с помощта на опростена схема.

На практика най-често се срещат дробно-рационални функции и след обучение върху хиперболи ще усложним задачата:

Пример 3

Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение: Едно, две и готово:

1) Намерени са вертикалните асимптоти в точките на безкрайно прекъсване, така че трябва да проверите дали знаменателят отива на нула. Ние ще решим квадратно уравнение :

Дискриминантът е положителен, така че уравнението има два реални корена и работата се добавя значително =)

За по-нататъшно намиране на едностранни граници е удобно квадратният трином да се факторизира:
(за компактна нотация, "минус" беше въведен в първата скоба). За предпазна мрежа ще извършим проверка, мислено или на чернова, отваряйки скобите.

Нека пренапишем функцията във формата

Намерете едностранни граници в точката:

И по въпроса:

По този начин правите линии са вертикалните асимптоти на графиката на разглежданата функция.

2) Ако погледнете функцията , тогава е съвсем очевидно, че границата ще бъде крайна и имаме хоризонтална асимптота. Нека го покажем накратко:

Така правата линия (абсцисата) е хоризонталната асимптота на графиката на тази функция.

Отговор:

Намерените граници и асимптоти дават много информация за графиката на функцията. Опитайте се мислено да си представите рисунката, като вземете предвид следните факти:

Скицирайте вашата версия на графиката върху чернова.

Разбира се, намерените граници не определят еднозначно вида на графиката и може да сгрешите, но самото упражнение ще бъде от безценна помощ по време на пълно функционално изследване. Правилната снимка е в края на урока.

Пример 4

Намерете асимптоти на графиката на функция

Пример 5

Намерете асимптоти на графиката на функция

Това са задачи за самостоятелно решаване. И двете графики отново имат хоризонтални асимптоти, които веднага се откриват от следните характеристики: в пример 4 ред на растежзнаменателят е по-голям от реда на нарастване на числителя, а в пример 5 числителят и знаменателят един ред на растеж. В примерното решение първата функция се изследва за наличие на наклонени асимптоти по пълен път, а втората - по границата.

Хоризонталните асимптоти, по мое субективно впечатление, са значително по-чести от тези, които са "наистина наклонени". Дългоочакван общ случай:

Пример 6

Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение: класика на жанра:

1) Тъй като знаменателят е положителен, функцията непрекъснатона цялата числова ос и няма вертикални асимптоти. …Добро е? Не точната дума - страхотно! Позиция №1 е затворена.

2) Проверете наличието на наклонени асимптоти:

Първо ограничение краен, така че да продължим. По време на изчисляването на втората граница за премахване несигурност "безкрайност минус безкрайност"привеждаме израза към общ знаменател:

Второто ограничение също краен, следователно графиката на разглежданата функция има наклонена асимптота:

Заключение:

Така за графиката на функцията безкрайно близосе доближава до права линия:

Имайте предвид, че тя пресича своята наклонена асимптота в началото и такива пресечни точки са напълно приемливи - важно е "всичко да е нормално" в безкрайността (всъщност там идва дискусията за асимптоти).

Пример 7

Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение: няма какво много да коментирам, затова ще направя приблизителна извадка на крайно решение:

1) Вертикални асимптоти. Нека проучим въпроса.

Правата линия е вертикалната асимптота за графиката при .

2) Наклонени асимптоти:

Правата линия е наклонената асимптота за графиката при .

Отговор:

Намерените едностранни граници и асимптоти ни позволяват да приемем с голяма сигурност как изглежда графиката на тази функция. Правилно рисуване в края на урока.

Пример 8

Намерете асимптоти на графиката на функция

Това е пример за независимо решение, за удобство при изчисляване на някои граници, можете да разделите числителя на знаменателя термин по термин. И отново, анализирайки резултатите, опитайте се да начертаете графика на тази функция.

Очевидно собствениците на "реалните" наклонени асимптоти са графиките на онези дробно-рационални функции, за които най-високата степен на числителя още еднонай-високата степен на знаменателя. Ако е повече, няма да има наклонена асимптота (например ).

Но в живота се случват и други чудеса:

Пример 9

Решение: функция непрекъснатона цялата числова ос, което означава, че няма вертикални асимптоти. Но може и да има наклони. Ние проверяваме:

Спомням си как попаднах на подобна функция в университета и просто не можех да повярвам, че има наклонена асимптота. Докато не изчислих втората граница:

Строго погледнато, тук има две несигурности: и , но по един или друг начин трябва да използвате метода на решение, който е обсъден в Примери 5-6 на статията за границите на повишената сложност. Умножете и разделете на спрегнатия израз, за ​​да използвате формулата:

Отговор:

Може би най-популярната наклонена асимптота.

Досега безкрайността е успявала да бъде "нарязана със същата четка", но се случва графиката на функц. две различнинаклонени асимптоти за и за :

Пример 10

Разгледайте графиката на функция за асимптоти

Решение: коренният израз е положителен, което означава домейн- всяко реално число и не може да има вертикални пръчици.

Нека проверим дали съществуват наклонени асимптоти.

Ако "x" клони към "минус безкрайност", тогава:
(когато въвеждате "x" под квадратния корен, трябва да добавите знак "минус", за да не загубите отрицателния знаменател)

Изглежда необичайно, но тук несигурността е „безкрайност минус безкрайност“. Умножете числителя и знаменателя по свързания израз:

Така правата линия е наклонената асимптота на графиката при .

С "плюс безкрайност" всичко е по-тривиално:

А правата - при .

Отговор:

Ако ;
, ако .

Не мога да устоя на графичното изображение:


Това е един от клоновете хипербола .

Не е необичайно потенциалното присъствие на асимптоти първоначално да е ограничено функционален обхват:

Пример 11

Разгледайте графиката на функция за асимптоти

Решение: това е очевидно , следователно разглеждаме само дясната полуравнина, където има графика на функцията.

1) Функция непрекъснатона интервала , което означава, че ако вертикалната асимптота съществува, тогава тя може да бъде само оста y. Изследваме поведението на функцията близо до точката на дясно:

Забележка, тук НЯМА двусмислие(върху такива случаи вниманието беше фокусирано в началото на статията Методи за гранично решение).

Така правата линия (ос y) е вертикалната асимптота за графиката на функцията при .

2) Изследването на наклонената асимптота може да се извърши по пълната схема, но в статията Правила на Лопиталоткрихме, че линейна функция с по-висок порядък на нарастване от логаритмична, следователно: (вижте пример 1 от същия урок).

Заключение: абсцисната ос е хоризонталната асимптота на графиката на функцията при .

Отговор:

Ако ;
, ако .

Чертеж за яснота:

Интересното е, че една на пръв поглед подобна функция изобщо няма асимптоти (които желаят могат да проверят това).

Два последни примера за самообучение:

Пример 12

Разгледайте графиката на функция за асимптоти

За да проверим за вертикални асимптоти, първо трябва да намерим функционален обхвати след това изчислете двойка едностранни граници в „подозрителни“ точки. Наклонените асимптоти също не са изключени, тъй като функцията е дефинирана до "плюс" и "минус" безкрайност.

Пример 13

Разгледайте графиката на функция за асимптоти

И тук може да има само наклонени асимптоти, а посоките трябва да се разглеждат отделно.

Надявам се, че сте намерили правилната асимптота =)

Пожелавам ти успех!

Решения и отговори:

Пример 2:Решение :
. Нека намерим едностранни ограничения:

Направо е вертикалната асимптота на графиката на функцията при .
2) Наклонени асимптоти.

Направо .
Отговор:

рисуване към пример 3:

Пример 4:Решение :
1) Вертикални асимптоти. Функцията претърпява безкрайно прекъсване в даден момент . Нека изчислим едностранните граници:

Забележка: безкрайно малко отрицателно число на четна степен е равно на безкрайно малко положително число: .

Направо е вертикалната асимптота на графиката на функцията.
2) Наклонени асимптоти.


Направо (абсцисата) е хоризонталната асимптота на графиката на функцията при .
Отговор:

В много случаи начертаването на функция е по-лесно, ако първо начертаете асимптотите на кривата.

Определение 1. Асимптоти се наричат ​​такива линии, до които графиката на функцията се доближава толкова близо, колкото желаете, когато променливата клони към плюс безкрайност или минус безкрайност.

Определение 2. Права линия се нарича асимптота на графиката на функция, ако разстоянието от променливата точка Мграфиката на функцията до тази линия клони към нула, когато точката се отдалечава за неопределено време Мот началото на координатите по всяко разклонение на графиката на функцията.

Има три вида асимптоти: вертикални, хоризонтални и наклонени.

Вертикални асимптоти

Определение. Направо х = ае вертикална асимптота на графиката на функцията ако точка х = ае точка на счупване от втори видза тази функция.

От определението следва, че линията х = ае вертикалната асимптота на графиката на функцията f(х), ако е изпълнено поне едно от следните условия:

В същото време функцията f(х) може изобщо да не се дефинира, съответно за х ≥ аи х ≤ а .

коментар:

Пример 1Функционална графика г=вн хима вертикална асимптота х= 0 (т.е. съвпадащ с оста Ой) на границата на областта на дефиниция, тъй като границата на функцията, когато x клони към нула вдясно, е равна на минус безкрайност:

(фиг. по-горе).

сами и след това вижте решенията

Пример 2Намерете асимптотите на графиката на функцията.

Пример 3Намерете асимптоти на графиката на функция

Хоризонтални асимптоти

Ако (границата на функцията, когато аргументът клони към плюс или минус безкрайност, е равна на някаква стойност b), тогава г = b – хоризонтална асимптота крив г = f(х ) (дясно, когато x клони към плюс безкрайност, ляво, когато x клони към минус безкрайност, и двустранно, ако границите, когато x клони към плюс или минус безкрайност, са равни).

Пример 5Функционална графика

при а> 1 има лява хоризонтална асимптота г= 0 (т.е. съвпадащ с оста вол), тъй като границата на функцията, когато "x" клони към минус безкрайност, е равна на нула:

Кривата няма дясна хоризонтална асимптота, тъй като границата на функцията, когато x клони към плюс безкрайност, е равна на безкрайност:

Наклонени асимптоти

Вертикалните и хоризонталните асимптоти, които разгледахме по-горе, са успоредни на координатните оси, следователно, за да ги конструираме, се нуждаехме само от определено число - точка на абсцисната или ординатната ос, през която минава асимптотата. Повече е необходимо за наклонена асимптота - наклон к, който показва ъгъла на наклона на правата, и пресечната точка b, което показва колко линията е над или под началото. Тези, които не са имали време да забравят аналитичната геометрия и от нея - уравненията на правата линия, ще забележат, че за наклонена асимптота намират уравнение на наклона. Съществуването на наклонена асимптота се определя от следната теорема, въз основа на която се намират току-що посочените коефициенти.

Теорема.За да направите крива г = f(х) имаше асимптота г = kx + b , е необходимо и достатъчно да съществуват крайни граници ки bна разглежданата функция, тъй като променливата клони към хдо плюс безкрайност и минус безкрайност:

(1)

(2)

Така намерените числа ки bи са коефициентите на наклонената асимптота.

В първия случай (когато х клони към плюс безкрайност) се получава дясната наклонена асимптота, във втория (когато х клони към минус безкрайност) тя е лявата. Дясната наклонена асимптота е показана на фиг. отдолу.

При намиране на уравнението на наклонената асимптота е необходимо да се вземе предвид тенденцията на x както към плюс безкрайност, така и към минус безкрайност. За някои функции, например за дробни рационални числа, тези граници съвпадат, но за много функции тези граници са различни и може да съществува само една от тях.

Когато границите съвпадат с х, клонящо към плюс безкрайност и минус безкрайност, правата линия г = kx + b е двустранна асимптота на кривата.

Ако поне една от границите, определящи асимптотата г = kx + b , не съществува, тогава графиката на функцията няма наклонена асимптота (но може да има вертикална).

Лесно се вижда, че хоризонталната асимптота г = bе частен случай на наклонен г = kx + bпри к = 0 .

Следователно, ако една крива има хоризонтална асимптота в която и да е посока, тогава няма наклонена асимптота в тази посока и обратно.

Пример 6Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение. Функцията е дефинирана на цялата числова ос с изключение на х= 0, т.е.

Следователно, в точката на счупване х= 0 кривата може да има вертикална асимптота. Наистина, границата на функцията, когато x клони към нула отляво, е плюс безкрайност:

Следователно, х= 0 е вертикалната асимптота на графиката на тази функция.

Графиката на тази функция няма хоризонтална асимптота, тъй като границата на функцията, когато x клони към плюс безкрайност, е равна на плюс безкрайност:

Нека разберем наличието на наклонена асимптота:

Има ограничени граници к= 2 и b= 0 . Направо г = 2хе двустранна наклонена асимптота на графиката на тази функция (фиг. вътре в примера).

Пример 7Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение. Функцията има една точка на прекъсване х= −1 . Нека изчислим едностранните граници и да определим вида на прекъсването:

Заключение: х= −1 е точка на прекъсване от втори род, така че правата х= −1 е вертикалната асимптота на графиката на тази функция.

Търсене на наклонени асимптоти. Тъй като тази функция е частично рационална, границите за и за ще съвпадат. Така намираме коефициентите за заместване на правата линия - наклонена асимптота в уравнението:

Замествайки намерените коефициенти в уравнението на права линия с наклон, получаваме уравнението на наклонената асимптота:

г = −3х + 5 .

На фигурата графиката на функцията е маркирана в бордо, а асимптотите са в черно.

Пример 8Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение. Тъй като тази функция е непрекъсната, нейната графика няма вертикални асимптоти. Търсим наклонени асимптоти:

.

По този начин графиката на тази функция има асимптота г= 0 при и няма асимптота при .

Пример 9Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение. Първо търсим вертикални асимптоти. За да направим това, намираме домейна на функцията. Функцията е дефинирана, когато неравенството е в сила и . променлив знак хсъответства на знака. Следователно, разгледайте еквивалентното неравенство. От това получаваме обхвата на функцията: . Вертикалната асимптота може да бъде само на границата на областта на функцията. Но х= 0 не може да бъде вертикална асимптота, тъй като функцията е дефинирана за х = 0 .

Помислете за дясната граница при (лявата граница не съществува):

.

Точка х= 2 е точка на прекъсване от втори род, така че линията х= 2 - вертикална асимптота на графиката на тази функция.

Търсим наклонени асимптоти:

Така, г = х+ 1 - наклонена асимптота на графиката на тази функция при . Търсим наклонена асимптота за:

Така, г = −х − 1 - наклонена асимптота при .

Пример 10Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение. Функцията има обхват . Тъй като вертикалната асимптота на графиката на тази функция може да бъде само на границата на областта на дефиниране, ще намерим едностранните граници на функцията при .

Асимптота на графиката на функция y \u003d f (x) се нарича линия, която има свойството, че разстоянието от точката (x, f (x)) до тази линия клони към нула с неограничено отстраняване на точката на графиката от началото.

Фигура 3.10. дадени са графични примери вертикален, хоризонталнаи косоасимптота.

Намирането на асимптотите на графиката се основава на следните три теореми.

Теорема за вертикалната асимптота. Нека функцията y \u003d f (x) е дефинирана в някаква околност на точката x 0 (евентуално изключвайки самата тази точка) и поне една от едностранните граници на функцията е равна на безкрайност, т.е. Тогава линията x \u003d x 0 е вертикалната асимптота на графиката на функцията y \u003d f (x).

Очевидно линията x \u003d x 0 не може да бъде вертикална асимптота, ако функцията е непрекъсната в точката x 0, тъй като в този случай . Следователно вертикалните асимптоти трябва да се търсят в точките на прекъсване на функция или в краищата на нейната област.

Теорема за хоризонталната асимптота. Нека функцията y \u003d f (x) е дефинирана за достатъчно голямо x и има краен предел на функцията. Тогава правата y = b е хоризонталната асимптота на графиката на функцията.

Коментирайте. Ако само една от границите е крайна, тогава функцията има съответно лявостранноили дясностраннохоризонтална асимптота.

В случай, че , функцията може да има наклонена асимптота.

Теорема за наклонена асимптота. Нека функцията y = f(x) е дефинирана за достатъчно голямо x и има крайни граници . Тогава правата y = kx + b е наклонена асимптота на графиката на функцията.

Без доказателства.

Наклонената асимптота, както и хоризонталната, може да бъде дясна или лява, ако основата на съответните граници е безкрайност с определен знак.

Изследването на функциите и изграждането на техните графики обикновено включва следните стъпки:

1. Намерете домейна на функцията.

2. Изследвайте функцията за четно-нечетно.

3. Намерете вертикалните асимптоти, като изследвате точките на прекъсване и поведението на функцията на границите на областта на дефиниране, ако те са крайни.

4. Намерете хоризонтални или наклонени асимптоти, като изследвате поведението на функцията в безкрайност.

5. Намерете екстремуми и интервали на монотонност на функцията.

6. Намерете интервалите на изпъкналост на функцията и инфлексните точки.

7. Намерете точки на пресичане с координатните оси и, евентуално, някои допълнителни точки, които прецизират графиката.

Функционален диференциал

Може да се докаже, че ако една функция има граница, равна на крайно число за определена база, тогава тя може да бъде представена като сума от това число и безкрайно малка стойност за същата база (и обратно): .

Нека приложим тази теорема към диференцируема функция: .

По този начин нарастването на функцията Dy се състои от два члена: 1) линеен по отношение на Dx, т.е. f`(x)Dx; 2) нелинейни по отношение на Dx, т.е. a(Dx)Dx. В същото време, тъй като , този втори член е безкрайно малък от по-висок порядък от Dx (тъй като Dx клони към нула, той клони към нула дори по-бързо).

Диференциалфункция се нарича основната част от нарастването на функцията, линейна по отношение на Dx, равна на произведението на производната и нарастването на независимата променлива dy = f `(x)Dx.

Намерете диференциала на функцията y = x.

Тъй като dy = f `(x)Dx = x`Dx = Dx, то dx = Dx, т.е. диференциалът на независима променлива е равен на нарастването на тази променлива.

Следователно формулата за диференциала на функция може да бъде записана като dy = f `(x)dх. Ето защо един от символите за производната е дробта dy/dх.

Геометричният смисъл на диференциала е илюстриран
фигура 3.11. Вземете произволна точка M(x, y) върху графиката на функцията y = f(x). Нека дадем на аргумента x увеличение Dx. Тогава функцията y = f(x) ще получи приращение Dy = f(x + Dх) - f(x). Нека начертаем допирателна към графиката на функцията в точка M, която сключва ъгъл a с положителната посока на оста x, т.е. f `(x) = tg a. От правоъгълен триъгълник MKN
KN \u003d MN * tg a \u003d Dx * tg a \u003d f `(x) Dx \u003d dy.

По този начин диференциалът на функция е нарастването на ординатата на допирателната, начертана към графиката на функцията в дадена точка, когато x се увеличава с Dx.

Свойствата на диференциала са основно същите като тези на производното:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2 .

Има обаче важно свойство на диференциала на функция, което нейната производна няма - това е диференциална инвариантност на формата.

От дефиницията на диференциала за функцията y = f(x), диференциалът е dy = f`(x)dх. Ако тази функция y е комплексна, т.е. y = f(u), където u = j(x), тогава y = f и f `(x) = f `(u)*u`. Тогава dy = f`(u)*u`dx. Но за функцията
u = j(x) диференциал du = u`dx. Следователно dy = f `(u)*du.

Сравнявайки равенствата dy = f `(x)dх и dy = f `(u)*du, се уверяваме, че диференциалната формула не се променя, ако вместо функция на независимата променлива x разглеждаме функция на зависима променлива u. Това свойство на диференциала се нарича инвариантност (т.е. инвариантност) на формата (или формулата) на диференциала.

Въпреки това, все още има разлика в тези две формули: в първата от тях диференциалът на независимата променлива е равен на нарастването на тази променлива, т.е. dx = Dx, а във втория диференциалът на функцията du е само линейната част от нарастването на тази функция Du и само за малки Dх du » Du.