Графика на зависимостта на проекцията на ускорението от времето на движение. Равномерно праволинейно движение

Въпроси.

1. Запишете формулата, чрез която можете да изчислите проекцията на вектора на моментната скорост на праволинейно равномерно ускорено движение, ако знаете: а) проекцията на вектора на началната скорост и проекцията на вектора на ускорението; б) проекцията на вектора на ускорението, като се има предвид, че началната скорост е нула.

2. Каква е графиката на проекцията на вектора на скоростта на равномерно ускорено движение при начална скорост: а) равна на нула; б) не е равно на нула?

3. По какво си приличат и по какво се различават движенията, чиито графики са представени на фигури 11 и 12?

И в двата случая движението става с ускорение, но в първия случай ускорението е положително, а във втория е отрицателно.

Упражнения.

1. Хокейният играч леко удари шайбата с пръчка, давайки й скорост от 2 m / s. Каква ще бъде скоростта на шайбата 4 s след удара, ако в резултат на триене върху леда тя се движи с ускорение 0,25 m / s 2?

2. Скиорът се движи надолу по планината от покой с ускорение равно на 0,2 m/s 2 . След какъв интервал от време скоростта му ще се увеличи до 2 m/s?

3. В същите координатни оси нанесете проекциите на вектора на скоростта (върху оста X, сънасочена с вектора на началната скорост) за праволинейно равномерно ускорено движение за случаите: a) v ox \u003d 1m / s, a x \u003d 0,5 m/s 2 ; б) v ox \u003d 1m / s, a x \u003d 1 m / s 2; в) v ox \u003d 2 m / s, a x \u003d 1 m / s 2.
Мащабът е еднакъв във всички случаи: 1cm - 1m/s; 1 см - 1 сек.

4. По същите координатни оси постройте графики на проекцията на вектора на скоростта (върху оста X, сънасочена с вектора на началната скорост) за праволинейно равномерно ускорено движение за случаите: а) v ox = 4,5 m/s , a x = -1,5 m / s 2; б) v ox \u003d 3 m / s, a x \u003d -1 m / s 2
Изберете свой собствен мащаб.

5. На фигура 13 са показани графиките на модула на вектора на скоростта спрямо времето при праволинейно движение на две тела. Какъв е модулът на ускорение на тяло I? тяло II?

Равномерно праволинейно движениеТова е частен случай на неравномерно движение.

Неравномерно движение- това е движение, при което тяло (материална точка) извършва неравномерни движения през еднакви интервали от време. Например, градски автобус се движи неравномерно, тъй като движението му се състои главно от ускорение и забавяне.

Равнопроменливо движение- това е движение, при което скоростта на тяло (материална точка) се променя по един и същ начин за всякакви равни интервали от време.

Ускорение на тяло при равномерно движениеостава постоянен по големина и посока (a = const).

Равномерното движение може да бъде равномерно ускорено или равномерно забавено.

Равноускорено движение- това е движението на тяло (материална точка) с положително ускорение, тоест при такова движение тялото се ускорява с постоянно ускорение. При равномерно ускорено движение модулът на скоростта на тялото нараства с времето, посоката на ускорението съвпада с посоката на скоростта на движение.

Равномерно забавено движение- това е движението на тяло (материална точка) с отрицателно ускорение, тоест при такова движение тялото се забавя равномерно. При равномерно бавно движение векторите на скоростта и ускорението са противоположни и модулът на скоростта намалява с времето.

В механиката всяко праволинейно движение се ускорява, така че бавното движение се различава от ускореното само по знака на проекцията на вектора на ускорението върху избраната ос на координатната система.

Средна скорост на променливо движениесе определя като движението на тялото се раздели на времето, през което това движение е извършено. Единицата за средна скорост е m/s.

V cp = s / t

- това е скоростта на тялото (материална точка) в даден момент от времето или в дадена точка от траекторията, т.е. границата, към която се стреми средната скорост с безкрайно намаляване на интервала от време Δt:

Вектор на моментната скоростравномерното движение може да се намери като първа производна на вектора на изместване по отношение на времето:

Векторна проекция на скоросттапо оста OX:

V x = x'

това е производната на координатата по отношение на времето (проекциите на вектора на скоростта върху други координатни оси се получават по подобен начин).

- това е стойност, която определя скоростта на промяна на скоростта на тялото, т.е. границата, към която промяната на скоростта клони с безкрайно намаляване на интервала от време Δt:

Вектор на ускорението на равномерното движениеможе да се намери като първа производна на вектора на скоростта по отношение на времето или като втора производна на вектора на изместване по отношение на времето:

Ако тялото се движи праволинейно по оста OX на праволинейна декартова координатна система, съвпадаща по посока с траекторията на тялото, тогава проекцията на вектора на скоростта върху тази ос се определя по формулата:

V x = v 0x ± a x t

Знакът "-" (минус) пред проекцията на вектора на ускорението се отнася за равномерно забавено движение. Уравненията на проекциите на вектора на скоростта върху други координатни оси се записват по подобен начин.

Тъй като ускорението е постоянно (a \u003d const) с равномерно променливо движение, графиката на ускорението е права линия, успоредна на оста 0t (времева ос, фиг. 1.15).

Ориз. 1.15. Зависимост на ускорението на тялото от времето.

Скорост срещу времее линейна функция, чиято графика е права линия (фиг. 1.16).

Ориз. 1.16. Зависимост на скоростта на тялото от времето.

Графика на скоростта спрямо времето(фиг. 1.16) показва това

В този случай изместването е числено равно на площта на фигурата 0abc (фиг. 1.16).

Площта на трапец е половината от сумата от дължините на основите му, умножена по височината. Основите на трапеца 0abc са числено равни:

0a = v 0bc = v

Височината на трапеца е t. По този начин площта на трапеца и следователно проекцията на изместване върху оста OX е равна на:

При равномерно забавено движение проекцията на ускорението е отрицателна, а във формулата за проекцията на преместването пред ускорението се поставя знакът “–” (минус).

Графиката на зависимостта на скоростта на тялото от времето при различни ускорения е показана на фиг. 1.17. Графиката на зависимостта на преместването от времето при v0 = 0 е показана на фиг. 1.18.

Ориз. 1.17. Зависимост на скоростта на тялото от времето за различни стойности на ускорението.

Ориз. 1.18. Зависимост на преместването на тялото от времето.

Скоростта на тялото в даден момент t 1 е равна на тангенса на ъгъла на наклон между допирателната към графиката и времевата ос v \u003d tg α, а движението се определя по формулата:

Ако времето на движение на тялото е неизвестно, можете да използвате друга формула за изместване, като решите система от две уравнения:

Това ще ни помогне да изведем формула за проекцията на преместването:

Тъй като координатата на тялото по всяко време се определя от сумата на първоначалната координата и проекцията на изместване, тя ще изглежда така:

Графиката на координатата x(t) също е парабола (както и графиката на изместване), но върхът на параболата обикновено не съвпада с началото. За х< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Начертаването се използва за показване на зависимостта на една величина от друга. В този случай на едната ос се нанася промяна на една стойност, а на другата ос промяна на друга стойност. При праволинейно равномерно движение скоростта на тялото остава постоянна, променят се само времето и изминатото разстояние в зависимост от него. Следователно най-голям интерес за такова движение представлява графика, която отразява зависимостта на пътя от времето.

При конструирането на такава графика се отбелязва промяна във времето (t) на една от осите на координатната равнина. Например 1s, 2s, 3s и т.н. Нека това е оста x. На другата ос (в този случай y) се отбелязва промяната в изминатото разстояние. Например 10 м, 20 м, 30 м и т.н.

Началото на координатната система се приема за начало на движението. Това е началната точка, в която времето, прекарано в движение, е нула и изминатото разстояние също е нула. Това е първата точка на графиката на пътя спрямо времето.

След това втората точка на графиката се намира в координатната равнина. За да направите това, за известно време пътищата намират пътя, изминат през това време. Ако скоростта на тялото е 30 m/s, то може да бъде точка с координати (1; 30) или (2; 60) и т.н.

След като се маркира втората точка, се прекарва лъч през две точки (първата е началото). Началото на лъча е началото на координатите. Този лъч е графика на пътя спрямо времето за праволинейно равномерно движение. Лъчът няма край, което означава, че колкото повече време прекарате по пътя, толкова по-дълъг ще бъде пътят.

Като цяло, графиката на път спрямо време се нарича права линия, минаваща през началото.

За да докажете, че графиката е права линия и, да речем, не е счупена линия, можете да изградите поредица от точки в координатната равнина. Например, ако скоростта е 5 km/h, тогава точките (1; 5), (2; 10), (3; 15), (4; 20) могат да бъдат маркирани на координатната равнина. След това ги свържете последователно един с друг. Ще видите, че ще се получи направо.

Колкото по-голяма е скоростта на тялото, толкова по-бързо се увеличава изминатото разстояние. Ако на една и съща координатна равнина начертаем времевите зависимости на пътя за две тела, движещи се с различни скорости, то графиката на тялото, което се движи по-бързо, ще има по-голям ъгъл с положителната посока на времевата ос.

Например, ако едно тяло се движи със скорост 10 km / h, а второто - 20 km / h, тогава точките (1; 10) за едно тяло и (1; 20) за друго могат да бъдат маркирани в координатната равнина . Ясно е, че втората точка е по-отдалечена от времевата ос и правата през нея образува по-голям ъгъл от правата през точката, отбелязана за първото тяло.

Графиките на пътя спрямо времето за праволинейно равномерно движение могат да се използват за бързо намиране на изминалото време от известна стойност на изминатото разстояние или път от известно време. За да направите това, начертайте перпендикулярна линия от стойността на координатната ос, която е известна, до пресечната точка с графиката. Освен това от получената пресечна точка начертайте перпендикуляр на другата ос, като по този начин получите желаната стойност.

В допълнение към графиките на пътя спрямо времето, можете да начертаете графики на пътя спрямо скоростта и скоростта спрямо времето. Но тъй като скоростта е постоянна при праволинейно равномерно движение, тези графики са прави линии, успоредни на осите на пътя или времето и преминаващи на нивото на декларираната скорост.

Еднообразно движение- това е движение с постоянна скорост, тоест когато скоростта не се променя (v \u003d const) и няма ускорение или забавяне (a \u003d 0).

Праволинейно движение- това е движение по права линия, т.е. траекторията на праволинейното движение е права линия.

Равномерно праволинейно движениее движение, при което тялото прави едни и същи движения за всякакви равни интервали от време. Например, ако разделим някакъв интервал от време на сегменти от една секунда, тогава при равномерно движение тялото ще се движи на същото разстояние за всеки от тези сегменти от време.

Скоростта на равномерното праволинейно движение не зависи от времето и във всяка точка от траекторията е насочена по същия начин като движението на тялото. Тоест векторът на преместване съвпада по посока с вектора на скоростта. В този случай средната скорост за всеки период от време е равна на моментната скорост:

V cp = v

Изминато разстояниепри праволинейно движение е равен на модула на преместване. Ако положителната посока на оста OX съвпада с посоката на движение, тогава проекцията на скоростта върху оста OX е равна на скоростта и е положителна:

V x = v, т.е. v > 0

Проекцията на преместването върху оста OX е равна на:

S \u003d vt \u003d x - x 0

където x 0 е началната координата на тялото, x е крайната координата на тялото (или координатата на тялото по всяко време)

Уравнение на движението, тоест зависимостта на координатата на тялото от времето x = x(t), приема формата:

X \u003d x 0 + vt

Ако положителната посока на оста OX е противоположна на посоката на движение на тялото, тогава проекцията на скоростта на тялото върху оста OX е отрицателна, скоростта е по-малка от нула (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

X \u003d x 0 - vt

Зависимост на скоростта, координатите и пътя от времето

Зависимостта на проекцията на скоростта на тялото от времето е показана на фиг. 1.11. Тъй като скоростта е постоянна (v = const), графиката на скоростта е права линия, успоредна на времевата ос Ot.

Ориз. 1.11. Зависимостта на проекцията на скоростта на тялото от времето за равномерно праволинейно движение.

Проекцията на изместване върху координатната ос е числено равна на площта на правоъгълника на OABS (фиг. 1.12), тъй като големината на вектора на изместване е равна на произведението на вектора на скоростта и времето, през което е извършено движението .

Ориз. 1.12. Зависимостта на проекцията на движението на тялото от времето за равномерно праволинейно движение.

Графиката на изместването спрямо времето е показана на фиг. 1.13. От графиката се вижда, че проекцията на скоростта е равна на

V = s 1 / t 1 = tg α

където α е ъгълът на наклона на графиката спрямо времевата ос.Колкото по-голям е ъгълът α, толкова по-бързо се движи тялото, тоест толкова по-голяма е скоростта му (колкото по-дълго се движи тялото за по-малко време). Тангенса на наклона на допирателната към графиката на зависимостта на координатата от времето е равна на скоростта:

Tgα = v

Ориз. 1.13. Зависимостта на проекцията на движението на тялото от времето за равномерно праволинейно движение.

Зависимостта на координатата от времето е показана на фиг. 1.14. От фигурата се вижда, че

Tgα 1 >tgα 2

следователно скоростта на тяло 1 е по-висока от скоростта на тяло 2 (v 1 > v 2).

Tg α 3 = v 3< 0

Ако тялото е в покой, тогава графиката на координатата е права линия, успоредна на времевата ос, т.е.

X \u003d x 0

Ориз. 1.14. Зависимост на координатата на тялото от времето при равномерно праволинейно движение.