Как да извадим корен от корен. Как да събираме квадратни корени

Библиотеката с произведения на Александър Сергеевич Пушкин е много богата. Съдържа произведения от различни жанрове и различни теми. Литературните критици разделят цялото творчество на поета на няколко периода. Те са общо пет и всеки от тях е свързан с конкретно събитие от живота на Пушкин: завършване на лицея, южно изгнание и др.

На въпроса: "Какво стана темата на текстовете на Александър Сергеевич?" - Невъзможно е да се отговори недвусмислено.

Той пише и за любовта, и за приятелството, и за Родината, засегнати между другото философски теми. Напълно възможно е да се каже, че всичко е станало тема на лириката му.

Но вероятно основната и основна тема за поета беше темата за любовта, която той възпя, и в самото начало на творчеството си той издигна и издигна до ранга на най-ценните човешки чувства, както например в неговото стихотворение „Само любовта е забавлението на студения живот“:

Стократно благословен, който в младостта си е очарователен

Този бърз момент ще хванете в движение;

Кой към радостите и блаженството на неизвестното

Срамежливата красота ще се поклони!

Но постепенно, със съзряването и развитието на творчеството си, поетът се преосмисля тази тема. Започва да дава голямо вниманиечувства и преживявания на жена, както и да се насладите дори на тъгата на любовта:

Тъжно ми е и лесно; тъгата ми е лека;

Скръбта ми е пълна с теб...

Друга посока в творчеството на Пушкин е темата за приятелството. Творбите по тази тема са посветени главно на приятелите от времето на лицея на поета: И. Пушчин, А. Делвиг и В. Кюхелбекер. Приятелството в младостта му олицетворява безгрижието и радостта за Пушкин.

Темата за приятелството, подобно на темата за любовта, постепенно се развива. Писателят започва да вижда в нея трагедия, тъга, разочарование от загубата на близки приятели. Такива мотиви са особено остри в неговата творба "Дванадесети октомври":

Тъжен съм: няма приятел с мен ...

Пия сам и на брега на Нева

Приятелите ми се обаждат...

Но колко от вас пируват и там?

Кой друг ти липсваше?

Следващата важна и нашумяла тема в Лириката на Пушкинстана тема за свободата. В много творби на поета могат да се видят мотивите на любовта към свободата, желанието за ограничение абсолютна власткрал, например в одата "Свобода":

Майстори! ти корона и трон

Законът дава, а не природата;

Вие стоите над хората

Но вечният Закон е над вас.

Александър Сергеевич в него се обръща към властите, в редовете има ясен призив за ограничаване на правомощията на царя от закона, тоест от конституцията.

По-късно авторът се отклонява от строго политическото разбиране на свободата и проявява интерес към свободата на обикновения руски човек. Тоест тази тема също се развива по свой собствен път. Това ясно се вижда в стихотворението "Селото":

Виждам, приятели! потиснати хора

И робството, паднало по волята на краля...

Апогеят на химна на свободата, вече личен, е творбата „От Пиндемонти“, където има ред:

Не огъвайте нито съвест, нито мисли, нито врата ...

Разбира се, говорейки за творчеството на Пушкин, не може да се избегне една от най-дълбоките философски теми, темата за поета и поезията. Александър Сергеевич съзнаваше, че поетът е сам в обществото и често може да бъде неразбран, че шумът и възхвалата на тълпата са само периодични и непостоянни, временни. Това личи много ясно в едно негово стихотворение:

поет! Не ценете любовта на хората.

ентусиазиран похвалите ще преминатминутен шум;

Друга от творбите на тази тема беше "Паметник". Звучи вярата, че творчеството на поета е безсмъртно, че ще остане в сърцата на неговите почитатели, а самият поет ще остане жив след смъртта благодарение на своите творения, което се потвърждава от редовете:

Не, няма да умра цял - душата е в заветната лира

Моята пепел ще оцелее и тлението ще избяга...

Текстовете на великия Александър Сергеевич не губят своята актуалност през годините, защото авторът засегна най-жизнените и неотложни теми дори за наши дни, вечни теми, във всяка от които има постепенна еволюция на мисли, чувства лирически герой. Творчеството, лириката на Пушкин се развива заедно с него, с неговия духовен свят, неговия поглед към всичко около него.

Ефективна подготовка за изпита (всички предмети) -

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които са силни "не много. »
И за тези, които „много дори. "")

В предишния урок разбрахме какво е квадратен корен. Време е да разберете какви са формули за корени, какво са свойства на коренаи какво може да се направи за всичко това.

Формули за корени, свойства на корени и правила за действия с коренипо същество са едно и също нещо. Формули за квадратни корениизненадващо малко. Което, разбира се, радва! По-скоро можете да напишете много всякакви формули, но само три са достатъчни за практична и уверена работа с корени. Всичко останало произтича от тези трите. Въпреки че много се отклоняват в трите формули на корените, да.

Да започнем с най-простото. Ето я:

Напомням ви (от предишния урок): a и b са неотрицателни числа! В противен случай формулата няма смисъл.

то свойство на корените , както виждате, просто, кратко и безобидно. Но с тази коренна формула можете да направите много полезни неща! Нека да разгледаме примеривсички тези полезни неща.

Полезно нещопърви. Тази формула ни позволява умножете корени.

Как да умножим корените?

Да, много просто. Направо към формулата. Например:

Изглежда, че са се умножили, какво от това? Има ли много радост? Съгласен съм, малко. Но как ви харесва това пример?

Корените не се извличат точно от фактори. И резултатът е страхотен! Вече по-добре, нали? За всеки случай ще ви информирам, че може да има колкото искате множители. Формулата за умножение на корена все още работи. Например:

Така че с умножението всичко е ясно защо е необходимо това свойство на корените- също е разбираемо.

Полезно нещо второ. Въвеждане на число под знака на корена.

Как да въведете число под корена?

Да кажем, че имаме този израз:

Възможно ли е да скриете двойката в корена? Лесно! Ако направите корен от две, формулата за умножение на корените ще работи. И как да направите корен от двойка? Да, това също не е въпрос! Двойникът е корен квадратен от четири!

Коренът, между другото, може да бъде направен от всяко неотрицателно число! Това ще бъде корен квадратен от това число. 3 е коренът от 9. 8 е коренът от 64. 11 е коренът от 121. Е, и така нататък.

Разбира се, няма нужда да рисувате толкова подробно. Освен, за начало. Достатъчно е да разберем, че всяко неотрицателно число, умножено по корена, може да бъде поставено под корена. Но не забравяйте! - под корена това число ще стане квадратсебе си. Това действие - въвеждане на число под корена - може да се нарече и умножаване на числото по корена. Най-общо може да се напише:

Процесът е прост, както можете да видите. Защо е нужна тя?

Като всяка трансформация, тази процедура разширява нашите възможности. Възможности да превърнете едно жестоко и неудобно изражение в меко и пухкаво). Ето един прост за вас пример:

Както виждаш root свойство,което позволява да се въведе фактор под знака на корена, е доста подходящо за опростяване.

В допълнение, добавянето на множител под корена прави лесно и лесно сравняването на стойности различни корени. Без никаква калкулация и калкулатор! Третото полезно нещо.

Как да сравним корените?

Това умение е много важно при солидни мисии, при отключване на модули и други готини неща.

Сравнете тези изрази. Кое е повече? Без калкулатор! Всеки с калкулатор. ъ-ъ-ъ. Накратко, всеки може да го направи!)

Не го казваш веднага. И ако въведете числа под знака на корена?

Запомнете (изведнъж, не знаех?): ако числото под знака на корена е по-голямо, тогава самият корен е по-голям! Оттук веднага правилният отговор, без никакви сложни изчисления и изчисления:

Страхотно е, нали? Но това не е всичко! Спомнете си, че всички формули работят както отляво надясно, така и отдясно наляво. Досега сме използвали формулата за умножение на корени отляво надясно. Нека изпълним това основно свойство назад, отдясно наляво. Като този:

И каква е разликата? Дава ли ти нещо!? Разбира се! Сега ще видите сами.

Да предположим, че трябва да извлечем (без калкулатор!) корен квадратен от числото 6561. Някои хора на този етап ще изпаднат в неравна борба със задачата. Но ние сме упорити, не се отказваме! Полезно нещо четвърто.

Как да извлечем корени от големи числа?

Припомняме формулата за извличане на корени от продукт. Тази, която публикувах по-горе. Но къде ни е работата? Имаме огромно число 6561 и това е всичко. Да, няма изкуство. Но ако имаме нужда, ние Нека да направим! Нека разложим това число на множители. Имаме право.

Първо, нека разберем на какво точно се дели това число? Какво, не знаеш!? Забравихте ли признаците за делимост!? Напразно. Отидете на Специален раздел 555, темата е "Дроби", ето ги. Това число се дели на 3 и 9. Защото сборът от цифрите (6+5+6+1=18) се дели на тези числа. Това е един от признаците за делимост. Не е нужно да делим на три (сега ще разберете защо), а ще делим на 9. Поне в някой ъгъл. Получаваме 729. Значи намерихме два фактора! Първата е деветка (сами си я избрахме), а втората е 729 (така се получи). Вече можете да пишете:

Добивам представа? Нека направим същото с числото 729. То също се дели на 3 и 9. Отново, не делим на 3, а на 9. Получаваме 81. И ние знаем това число! Записваме:

Всичко се оказа лесно и елегантно! Коренът трябваше да бъде премахнат парче по парче, добре, добре. Това може да стане с всякакви големи числа. Умножете ги и тръгвайте!

Между другото, защо не трябваше да делиш на 3, позна ли? Да, защото коренът от три не се извлича точно! Има смисъл да се разложи на такива фактори, че поне един корен да може да бъде добре извлечен. Това е 4, 9, 16 добре и така нататък. Разделете огромното си число на тези числа на свой ред, виждате ли, и сте късметлия!

Но не е задължително. Може би няма късмет. Да кажем, че числото 432, разложено на множители и използвайки коренната формула за продукта, ще даде следния резултат:

Ми добре. Така или иначе сме опростили израза. В математиката е прието да се оставя най-много малък бройот възможното. В процеса на решаване всичко зависи от примера (може би всичко се редуцира без опростяване), но в отговора е необходимо да се даде резултат, който не може да бъде допълнително опростен.

Между другото, знаете ли какво направихме с корена на 432 сега?

Ние извадени фактори от под знака на корена ! Така се нарича тази операция. И тогава задачата ще падне - " извадете фактора под знака на корена„Но мъжете дори не знаят.) Ето още една полза за теб свойства на корена.Полезно нещо пето.

Как да извадя множителя изпод корена?

Лесно. Факторизирайте израза на корена и извлечете корените, които са извлечени. Ние гледаме:

Нищо свръхестествено. Важно е да изберете правилните множители. Тук сме разложили 72 като 36 2. И всичко се оказа добре. Или можеха да го разложат по различен начин: 72 = 6 12. И какво от това!? Нито от 6, нито от 12 се вади корена. Какво да правя?!

ОК е. Или потърсете други опции за разлагане, или продължете да излагате всичко докрай! Като този:

Както можете да видите, всичко се получи. Това, между другото, не е най-бързият, но най-надеждният начин. Разложете числото на най-малките множители и след това съберете същите на купчини. Методът се прилага успешно и при умножаване на неудобни корени. Например, трябва да изчислите:

Умножете всичко - получавате лудо число! И тогава как да извлечете корена от него ?! Умножаване отново? Не, нямаме нужда от допълнителна работа. Веднага разлагаме на фактори и събираме същите на купчини:

Това е всичко. Разбира се, не е необходимо да се излага до спирка. Всичко се определя от вашите лични способности. Доведе примера до състояние, в което всичко ти е яснотака че вече можете да разчитате. Основното нещо е да не правите грешки. Не човек за математика, а математика за човек!)

Да приложим знанията на практика? Нека започнем с едно просто:

Правило за събиране на квадратни корени

Свойства на квадратния корен

Досега сме извършили пет аритметични операции с числа: събиране, изваждане, умножение, деление и степенуване и различни свойства на тези операции бяха активно използвани в изчисленията, например a + b = b + a и n -b n = (ab) n и др.

Тази глава въвежда нова операция - извличане корен квадратенот неотрицателно число. За да го използвате успешно, трябва да се запознаете със свойствата на тази операция, което ще направим в този раздел.

Доказателство. Нека въведем следната нотация:
Трябва да докажем това за отрицателни числа x, y, z, x = yz.

Така че x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Тогава x 2 \u003d y 2 z 2, т.е. x 2 \u003d (yz) 2.

Ако квадратидве неотрицателни числа са равни, тогава самите числа са равни, което означава, че от равенството x 2 \u003d (yz) 2 следва, че x \u003d yz и това трябваше да се докаже.

Да донесем кратка бележкадоказателство на теоремата:

Забележка 1. Теоремата остава валидна за случая, когато радикалният израз е произведение на повече от два неотрицателни множителя.

Забележка 2. Теорема 1 може да се напише с помощта на „ако. , тогава” (както е обичайно за теоремите в математиката). Даваме съответната формулировка: ако a и b са неотрицателни числа, тогава равенството .

Ето как формулираме следната теорема.

(Кратка формулировка, която е по-удобна за използване на практика: коренът на дробта равен на дробот корените или коренът на частното е равен на частното на корените.)

Този път ще дадем само кратък запис на доказателството, а вие се опитайте да направите съответните коментари, подобни теми, което формира същността на доказателството на теорема 1.

Пример 1. Изчислете .
Решение. Използване на първото свойство квадратни корени(теорема 1), получаваме

Забележка 3. Разбира се, този пример може да бъде решен по различен начин, особено ако имате под ръка калкулатор: умножете числата 36, 64, 9 и след това вземете корен квадратен от получения продукт. Съгласете се обаче, че предложеното по-горе решение изглежда по-културно.

Забележка 4. При първия метод извършихме изчисления директно. Вторият начин е по-елегантен:
кандидатствахме формула a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) и използва свойството квадратни корени.

Забележка 5. Някои "горещи глави" понякога предлагат следното "решение" на Пример 3:

Това, разбира се, не е вярно: виждате - резултатът не е същият като в нашия пример 3. Факт е, че няма собственост като не и свойства Има само свойства, отнасящи се до умножението и делението на квадратни корени. Бъдете внимателни и внимателни, не приемайте пожелателни мисли.

Пример 4. Изчислете: а)
Решение. Всяка формула в алгебрата се използва не само "отдясно наляво", но и "отляво надясно". И така, първото свойство на квадратните корени означава, че ако е необходимо, то може да бъде представено като , и обратно, което може да бъде заменено с израза. Същото важи и за второто свойство на квадратните корени. Имайки това предвид, нека решим предложения пример.

Завършвайки раздела, отбелязваме още един доста прост и в същото време важна собственост:
ако a > 0 и n - естествено число , тогава

Пример 5Изчисли , без да използвате таблица с квадрати на числа и калкулатор.

Решение. Нека разложим коренното число на основни фактори:

Забележка 6. Този пример може да бъде решен по същия начин като подобен пример в § 15. Лесно е да се досетите, че отговорът ще бъде „80 с опашка“, тъй като 80 2 2 . Нека намерим "опашката", т.е. последната цифра на желаното число. Досега знаем, че ако се извлече коренът, тогава отговорът може да бъде 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 или 89. Трябва да се проверят само две числа: 84 и 86, тъй като само те, когато е на квадрат, ще даде като резултат четирицифренчисло, завършващо на 6, т.е. същата цифра, която завършва с числото 7056. Имаме 84 2 \u003d 7056 - това е, от което се нуждаем. означава,

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 клас: учеб. за общо образование институции.- 3-то изд., финал. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с.: ил.

Книги, изтегляне на учебници по математика, резюмета в помощ на учителя и учениците, учат онлайн

Ако имате корекции или предложения за този урокпишете ни.

Ако искате да видите други корекции и предложения за уроци, вижте тук - Образователен форум.

Как да събираме квадратни корени

Корен квадратен от число хнарече номер А, който в процеса на умножаване сам по себе си ( А*А) може да даде число х.
Тези. A * A = A 2 = X, и √X = A.

Върху квадратни корени ( √x), както и с други числа, можете да извършвате аритметични операции като изваждане и събиране. За да извадите и добавите корени, те трябва да бъдат свързани с помощта на знаци, съответстващи на тези действия (напр √x - √y ).
И тогава донесете корените при тях най-простата форма- ако между тях има подобни е необходимо да се направи отливка. Състои се в това, че коефициентите на подобни термини се вземат със знаците на съответните термини, след което се ограждат в скоби и се извеждат общ коренизвън множителните скоби. Коефициентът, който сме получили, е опростен според обичайните правила.

Стъпка 1. Извличане на квадратни корени

Първо, за да добавите квадратни корени, първо трябва да извлечете тези корени. Това може да стане, ако числата под знака за корен са перфектни квадрати. Например, вземете дадения израз √4 + √9 . Първо число 4 е квадратът на числото 2 . Второ число 9 е квадратът на числото 3 . Така може да се получи следното равенство: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Всичко, примерът е решен. Но не винаги става така.

Стъпка 2. Изваждане на множителя на число от под корена

Ако пълни квадратчетане е под знака за корен, можете да опитате да извадите множителя на числото от под знака за корен. Например вземете израза √24 + √54 .

Нека разложим числата на множители:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

В списъка 24 имаме множител 4 , може да се извади от знака за квадратен корен. В списъка 54 имаме множител 9 .

Получаваме равенството:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Като се има предвид този пример, ние получаваме премахването на фактора под знака на корена, като по този начин опростяваме дадения израз.

Стъпка 3. Намаляване на знаменателя

Да разгледаме следната ситуация: сумата от два квадратни корена е знаменателят на дроб, например, A / (√a + √b).
Сега сме изправени пред задачата „да се отървем от ирационалността в знаменателя“.
Да използваме по следния начин: умножете числителя и знаменателя на дробта по израза √a - √b.

Сега получаваме съкратената формула за умножение в знаменателя:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

По същия начин, ако знаменателят съдържа разликата на корените: √a - √b, числителят и знаменателят на дробта се умножават по израза √a + √b.

Да вземем за пример една дроб:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Пример за намаляване на сложния знаменател

Сега нека обмислим достатъчно сложен примеросвобождаване от ирационалността в знаменателя.

Да вземем за пример една дроб: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Трябва да вземете неговия числител и знаменател и да умножите по израза √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Стъпка 4. Изчислете приблизителната стойност на калкулатора

Ако имате нужда само от приблизителна стойност, това може да се направи с калкулатор, като се изчисли стойността на корен квадратен. Отделно за всяко число се изчислява стойността и се записва с необходимата точност, която се определя от броя на десетичните знаци. Освен това се извършват всички необходими операции, както при обикновените числа.

Пример за прогнозно изчисление

Необходимо е да се изчисли приблизителната стойност на този израз √7 + √5 .

В резултат на това получаваме:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Моля, обърнете внимание: при никакви обстоятелства не добавяйте квадратни корени, т.к прости числа, това е напълно недопустимо. Тоест, ако съберете корен квадратен от пет и три, не можем да получим корен квадратен от осем.

Полезен съвет: ако решите да факторизирате число, за да извлечете квадрат от знака за корен, трябва да направите обратна проверка, тоест да умножите всички фактори, получени от изчисленията, и крайния резултат от това математическото изчисление трябва да бъде числото, което първоначално ни беше дадено.

Действие с корени: събиране и изваждане

Извличането на корен квадратен от число не е единствената операция, която може да се извърши с този математически феномен. Точно както обикновените числа, квадратните корени могат да се добавят и изваждат.

Правила за събиране и изваждане на корен квадратен

Действия като добавяне и изваждане на квадратен корен са възможни само ако коренният израз е един и същ.

Можете да добавяте или изваждате изрази 2 3 и 63, но не и 5 6 и 9 4 . Ако е възможно да се опрости изразът и да се доведе до корени със същото число на корена, тогава опростете и след това добавете или извадете.

Основни действия: Основите

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Опростете коренния израз. За да направите това, е необходимо коренният израз да се разложи на 2 фактора, единият от които е квадратно число (числото, от което се извлича целият квадратен корен, например 25 или 9).
2. След това трябва да извлечете корена от квадратно число и запишете получената стойност преди знака за корен. Моля, обърнете внимание, че вторият фактор се въвежда под знака за корен.
3. След процеса на опростяване е необходимо да се подчертаят корените със същите радикални изрази - само те могат да се добавят и изваждат.
4. За корени с еднакви радикални изрази е необходимо да добавите или извадите множителите, които предхождат знака на корена. Основният израз остава непроменен. Не събирайте и не изваждайте корени!

Ако имате пример с голямо количествоидентични радикални изрази, след това подчертайте тези изрази с единични, двойни и тройни линии, за да улесните процеса на изчисление.

Нека опитаме този пример:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Първо трябва да разложите 50 на 2 фактора 25 и 2, след това да вземете корен от 25, което е 5, и да извадите 5 изпод корена. След това трябва да умножите 5 по 6 (множителя в корена) и да получите 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Първо, трябва да разложите 8 на 2 фактора: 4 и 2. След това от 4 извлечете корена, който е равен на 2, и извадете 2 изпод корена. След това трябва да умножите 2 по 2 (факторът в корена) и да получите 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Първо, трябва да разложите 12 на 2 фактора: 4 и 3. След това извлечете корена от 4, който е 2, и го извадете изпод корена. След това трябва да умножите 2 по 5 (факторът в корена) и да получите 10 3 .

Резултат от опростяването: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

В резултат на това видяхме колко еднакви радикални изрази се съдържат в този пример. Сега нека се упражняваме с други примери.

• Опростете (45) . Разлагаме 45 на множители: (45) = (9 × 5) ;
• Изваждаме 3 от под корена (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Събираме множителите при корените: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• Опростяване 6 40 . Разлагаме 40 на множители: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Изваждаме 2 от под корена (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10;
• Умножаваме множителите, които са пред корена: 12 10;
• Записваме израза в опростен вид: 12 10 - 3 10 + 5;
• Тъй като първите два члена имат едни и същи корени, можем да ги извадим: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Както виждаме, не е възможно да се опростят радикалните числа, затова в примера търсим членове с еднакви радикални числа, извършваме математически операции (събиране, изваждане и т.н.) и записваме резултата:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Съвети:

• Преди добавяне или изваждане е задължително да се опростят (ако е възможно) радикалните изрази.
• Събирането и изваждането на корени с различни коренни изрази е строго забранено.
• Не добавяйте и не изваждайте цяло число или квадратен корен: 3 + (2 x) 1/2.
• Когато извършвате операции с дроби, трябва да намерите число, което се дели на всеки знаменател, след което да доведете дробите до общ знаменател, след това добавете числителите и оставете знаменателите непроменени.

Свойства на аритметичния корен квадратен. Степен на аритметичния корен квадратен

Преобразуване на аритметични квадратни корени. Преобразуване на аритметични квадратни корени

Да извлека корен квадратен от полином, е необходимо да се изчисли полиномът и да се извлече коренът от полученото число.

внимание!Невъзможно е да се извлече коренът от всеки член (намален и изваден) поотделно.

Шчоб да спечели корен квадратен от полином, изискването е да се изчисли богатият член и от изваденото число да се извади корен.

уважение!Невъзможно е да се извлече корен от кожната добавка (променена и видима) OKremo.

За да извлечете корен квадратен от произведението (коефициент), можете да изчислите квадратния корен на всеки фактор (дивидент и делител) и да вземете получените стойности чрез продукта (коефициент).

За да спечелите корен квадратен от добутка (части), можете да изчислите корен квадратен от множителя на кожата (разделен и dilnik) и да премахнете стойността, като вземете допълнителен (често).

За да извадите корен квадратен от дроб, трябва да извлечете корен квадратен от числителя и знаменателя поотделно и да оставите получените стойности като дроб или да изчислите като частно (ако е възможно по условие).

За да спечелите корен квадратен от дробта, трябва да вземете квадратния корен от книгата с номера и банера на okremo и да лишите стойността на фракцията с дроб или да я преброите като част (както е възможно за ума).

Фактор може да бъде изваден от под знака за корен и фактор може да бъде въведен под знака за корен. При изваждане на множител от него се извлича корен, а при въвеждане се повдига на съответната степен.

Третият знак за корен може да бъде умножен и знакът за корен може да бъде умножен. По вина на умножителя корените се изкривяват, а с въвеждането корените се изграждат на по-високите крака.

Примери. Приложи

За да преобразувате сумата (разликата) на квадратни корени, трябва да приведете коренните изрази към една основа на степента, ако е възможно, извлечете корените от степените и ги напишете пред знаците на корените, а останалите квадратни корени с могат да се добавят едни и същи коренни изрази, за които коефициентите се добавят преди корена на знака и се добавя същия квадратен корен.

За да преобразувате сумата (цената) на квадратните корени, е необходимо да приведете корените към една от основите на стъпката, както е възможно, да вземете корена на стъпките и да ги запишете преди знаците на корените и решението на квадратни корени с еднакви коренни думи, какво мога да събера и да добавя същия квадратен корен.

Привеждаме всички радикални изрази към база 2.

От четна степен коренът се извлича напълно, от нечетна степен коренът на основата в степен 1 ​​се оставя под знака на корена.

Даваме подобни цели числа и събираме коефициентите с еднакви корени. Записваме бинома като произведение на число и бином на сбора.

Приведете всички подкорени на вирази към основа 2.

От сдвоения етап корените се изтеглят в ред, от несдвоения етап корените на основата в етап 1 се запълват под знака на корена.

Предлага се подобни числа и коефициенти да се добавят към едни и същи корени. Записваме бинома като допълнение към числото i на суми бинома.

Привеждаме радикалните изрази към най-малката основа или произведението на степени с най-малката основа. Извличаме корена от четни степени на радикални изрази, оставяме остатъците под формата на основа на степен с индикатор 1 или произведението на такива бази под знака на корена. Даваме подобни членове (добавете коефициентите на същите корени).

Водим корена на вирази до най-малката основа или добавяне на стъпки с най-малките основи. От парните стъпала под корените на вираза се вземат корените, излишъкът в основата на стъпалото с индикатор 1 или добавянето на такива основи се запълва под знака на корена. Предлагаме подобни членове (събираме коефициентите на едни и същи корени).

Нека заменим делението на дроби с умножение (със заместване на втората дроб с реципрочната). Умножете отделно числителите и знаменателите. Под всеки знак на корена подчертаваме степените. Да режем същите множителив числителя и знаменателя. Извличаме корени от четни степени.

Заменяме делението на дроби с умножение (със замяна на друга дроб с връщане). Умножете okremo числа и знамена на дроби. Под кожния знак на корена се виждат стъпки. Ще ускорим същите множители в книжката с номера и банера. Обвинете корена на двойните стъпки.

За да сравним два квадратни корена, техните радикални изрази трябва да бъдат доведени до степен със същата основа, тогава колкото повече се показва степента на радикалния израз, толкова повече стойносткорен квадратен.

В този пример радикалните изрази не могат да бъдат сведени до една основа, тъй като основата е 3 в първия и 3 и 7 във втория.

Вторият начин за сравнение е да добавите коренния фактор към коренния израз и да сравните числови стойностивкоренени изрази. За квадратен корен, колкото по-голям е коренният израз, толкова по-голяма е стойността на корена.

За съпоставяне на два квадратни корена, техните подкорени трябва да бъдат приведени до ниво със същата основа, докато колкото по-голям е индикаторът за степента на подкорена на вируса, толкова по-голяма е стойността на квадратния корен.

В този случай не е възможно да се доведат до една основа коренните корени на виразите, тъй като в първата основата е 3, а в другата - 3 и 7.

Друг начин за изравняване е да добавите коренния коефициент към кореновата вираза и да изравните числените стойности на кореновата вираза. Квадратният корен има повече подкорен вираз, толкова по-голяма е стойността на корена.

Използвайки разпределителния закон за умножение и правилото за умножение на корени с еднакви показатели (в нашия случай квадратни корени), получихме сумата от два квадратни корена с произведението под знака на корена. Разлагаме 91 на прости множители и изваждаме корена от скоби с общи множители (13 * 5).

Получихме произведението на корен и бином, в който един от мономите е цяло число (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny закон за умножение и правилото за умножение на корени със същите показатели (в нашия случай - квадратни корени), взе сумата от два квадратни корена с допълнителен знак на корена. Можем да изложим 91 множителя с прости думи и да вземем корена за арките от коренните множители (13 * 5).

Взехме добавянето на корен и двоичен файл, който има един от монономите в цялото число (1).

Пример 9:

В радикалните изрази избираме чрез множители числата, от които можем да извлечем целия квадратен корен. Извличаме квадратния корен от степените и слагаме числата чрез коефициентите на квадратния корен.

Членовете на този полином имат общ фактор √3, който може да бъде изваден от скобите. Нека представим подобни термини.

В подкоренните вирази се разглежда като множител на числото, от което може да се извади корен квадратен. Обвиняваме квадратните корени на стъпките и поставяме числата чрез коефициентите на квадратните корени.

Членовете на този полином имат общ множител √3, който може да бъде обвинен за ръцете. Предлагаме подобни допълнения.

Произведението на сбора и разликата на две същите бази(3 и √5), използвайки формулата за съкратено умножение, може да се запише като разликата на квадратите на основите.

Квадратният корен на квадрат винаги е равен на радикалния израз, така че ще се отървем от радикала (знака за корен) в израза.

Добуток сумата и разликата на две еднакви бази (3 і √5) от формулата за бързо умножение могат да бъдат записани като разлика на квадратни основи.

Квадратният корен на квадратния zavzhd е равен на подкоренната вираза, така че ще наричаме радикала (знака на корена) на виразата.

Отново на училище. Добавяне на корени

В днешно време модерната електроника компютриизчисляването на корена на числото не е представено предизвикателна задача. Например √2704=52, всеки калкулатор ще изчисли това вместо вас. За щастие, калкулаторът е не само в Windows, но и в обикновен, дори най-прост телефон. Вярно е, че ако изведнъж (с малка степен на вероятност, чието изчисление, между другото, включва добавяне на корени) се окажете без налични средства, тогава, уви, ще трябва да разчитате само на мозъка си.

Обучението на ума никога не се проваля. Особено за тези, които не работят толкова често с числа и още повече с корени. Добавянето и изваждането на корени е добра тренировка за отегчения ум. И ще ви покажа добавянето на корени стъпка по стъпка. Примери за изрази могат да бъдат следните.

Уравнението, което трябва да се опрости, е:

Това е ирационален израз. За да го опростите, трябва да намалите всички радикални изрази до общ изглед. Правим го на етапи:

Първото число вече не може да бъде опростено. Да преминем към втория член.

3√48 разлагаме 48 на множители: 48=2×24 или 48=3×16. Корен квадратен от 24 не е цяло число, т.е. има дробен остатък. Тъй като се нуждаем от точна стойност, приблизителните корени не са подходящи за нас. Корен квадратен от 16 е 4, извадете го от знака за корен. Получаваме: 3×4×√3=12×√3

Следващият ни израз е отрицателен, т.е. написано със знак минус -4×√(27.) Разлагане на множители 27. Получаваме 27=3×9. Ние не използваме дробни множители, защото е по-трудно да се изчисли корен квадратен от дроби. Изваждаме 9 изпод знака, т.е. изчислете квадратния корен. Получаваме следния израз: -4×3×√3 = -12×√3

Следващият член √128 изчислява частта, която може да бъде извадена изпод корена. 128=64×2 където √64=8. Ако ви е по-лесно, можете да представите този израз така: √128=√(8^2×2)

Пренаписваме израза с опростени термини:

Сега събираме числата със същия радикален израз. Не можете да добавяте или изваждате изрази с различни радикални изрази. Добавянето на корени изисква спазване на това правило.

Получаваме следния отговор:

√2=1×√2 - Надявам се, че в алгебрата е обичайно да се пропускат такива елементи, няма да е новина за вас.

Изразите могат да бъдат представени не само чрез квадратни корени, но и чрез кубични или n-ти корени.

Събирането и изваждането на корени с различни експоненти, но с еквивалентен коренен израз, се извършва по следния начин:

Ако имаме израз като √a+∛b+∜b, тогава можем да опростим този израз по следния начин:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Доведохме двама такива членове общ показателкорен. Тук беше използвано свойството на корените, което гласи: ако числото на степента на радикалния израз и числото на коренния показател се умножат по едно и също число, тогава изчислението му ще остане непроменено.

Забележка: експонентите се добавят само когато се умножават.

Помислете за пример, в който дроби присъстват в израз.

Нека го решим стъпка по стъпка:

5√8=5*2√2 - изваждаме извлечената част изпод корена.

Ако тялото на корена е представено с дроб, тогава често тази дроб няма да се промени, ако се вземе корен квадратен от дивидента и делителя. В резултат на това получихме равенството, описано по-горе.

Ето и отговора.

Основното нещо, което трябва да запомните е, че корен с четен показател не се извлича от отрицателни числа. Ако радикален израз с четна степен е отрицателен, тогава изразът е неразрешим.

Добавянето на корените е възможно само ако коренните изрази съвпадат, тъй като те са като термини. Същото важи и за различието.

Добавянето на корени с различни числени показатели се извършва чрез редуциране на двата члена до степен на общ корен. Този закон действа по същия начин като редукция до общ знаменател при добавяне или изваждане на дроби.

Ако радикалният израз съдържа число, повдигнато на степен, тогава този израз може да бъде опростен, при условие че има общ знаменател между корена и експонентата.

Корен квадратен от произведение и дроб

Корен квадратен от a е число, чийто квадрат е a. Например, числата -5 и 5 са ​​корените квадратни от числото 25. Тоест корените на уравнението x^2=25 са корените квадратни от числото 25. Сега трябва да се научите как да работите с операция за квадратен корен: проучете основните му свойства.

Корен квадратен от произведението

√(a*b)=√a*√b

Корен квадратен от произведението на две неотрицателни числа, е равно на произведениетокорен квадратен от тези числа. Например, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Важно е да се разбере, че това свойство се отнася и за случая, когато радикалният израз е произведение на три, четири и т.н. неотрицателни множители.

Понякога има друга формулировка на това свойство. Ако a и b са неотрицателни числа, тогава е валидно следното равенство: √(a*b) =√a*√b. Няма абсолютно никаква разлика между тях, можете да използвате едната или другата формулировка (коя е по-удобна за запомняне).

Корен квадратен от дроб

Ако a>=0 и b>0, тогава е вярно следното равенство:

√(a/b)=√a/√b.

Например, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Това свойство също има различна формулировка, според мен по-удобна за запомняне.
Корен квадратен от частното е равен на частното от корените.

Струва си да се отбележи, че тези формули работят както отляво надясно, така и отдясно наляво. Тоест, ако е необходимо, можем да представим произведението на корените като корен на произведението. Същото важи и за втория имот.

Както можете да видите, тези свойства са много удобни и бих искал да имам същите свойства за събиране и изваждане:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Но за съжаление такива имоти са квадратни нямат корени, и така не може да се направи в изчисленията..

• 13. Шофиране през пътни кръстовища 2018 с коментари онлайн 13.1. При завиване надясно или наляво водачът трябва да даде път на пешеходците и велосипедистите, пресичащи платното, на което той завива. Тази инструкция се отнася за всички […]
• Родителска среща"Права, задължения и отговорности на родителите" Презентация към урока Изтеглете презентация (536.6 kB) Внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представлява всички […]
• Регионален майчин капиталв Орловска област Регионалната майчинска столица (МК) в Орел и Орловска област е създадена през 2011 г. Сега това е допълнителна мярка за социална подкрепа. големи семействапод формата на еднократна парична сума [...]
• Размерът на еднократната помощ за ранна регистрация през 2018 г. Страницата, която поискахте, не беше намерена. Може да сте въвели грешен адрес или страницата да е премахната. Използвайте […]
• Адвокат по икономически дела икономическа сфера- достатъчно обемна концепция. Такива действия включват измама, незаконен бизнес, пране на пари, незаконно банково […]
• Пресслужбата на Централната банка Руска федерация(Банката на Русия) Пресслужба 107016, Москва, ул. Neglinnaya, 12www.cbr.ru При назначаването на временна администрация Департаментът за външни и обществени връзки на Банката на Русия информира, че в съответствие с параграф 2 […]
• основни характеристикии кратък прегледводни пътища Класификация на водните басейни Класификацията на водните басейни за плаване на развлекателни (малки) плавателни съдове, контролирани от GIMS на Русия, се извършва в зависимост от […]
• Кучерена = адвокатът на Виктор Цой И това е ексклузивно: днешното писмо от Анатолий Кучерена. В продължение на темата. Все още никой не е публикувал това писмо. И трябва, според мен. Част 1 за сега. Скоро ще публикувам и втората част, подписана от известния адв. Защо е важно? […]

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебен ред, в съдебни производства и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Здравейте котенца! AT последен пътанализирахме подробно какви са корените (ако не си спомняте, препоръчвам да прочетете). Основният извод от този урок: има само един универсална дефинициякорени, които трябва да знаете. Другото са глупости и загуба на време.

Днес отиваме по-далеч. Ще се научим да умножаваме корени, ще изучаваме някои задачи, свързани с умножението (ако тези задачи не бъдат решени, тогава те могат да станат фатални на изпита) и ще се упражняваме правилно. Така че запасете се с пуканки, настанете се удобно - и започваме. :)

Все още не сте пушили, нали?

Урокът се оказа доста голям, затова го разделих на две части:

1. Първо, ще разгледаме правилата за умножение. Капачката изглежда подсказва: това е, когато има два корена, между тях има знак „умножение“ - и ние искаме да направим нещо с него.
2. След това ще анализираме обратната ситуация: има такава голям корен, и нямахме търпение да го представим като произведение на два корена по по-прост начин. С какъв страх е необходимо е отделен въпрос. Ще анализираме само алгоритъма.

За тези, които нямат търпение да скочат направо в част 2, заповядайте. Да започнем с останалите по ред.

Основно правило за умножение

Да започнем с най-простото - класическите квадратни корени. Тези, които са означени с $\sqrt(a)$ и $\sqrt(b)$. За тях всичко е ясно:

правило за умножение. За да умножите един квадратен корен по друг, просто трябва да умножите техните радикални изрази и да запишете резултата под общия радикал:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Не се налагат допълнителни ограничения върху числата отдясно или отляво: ако съществуват корените на множителя, значи продуктът също съществува.

Примери. Разгледайте четири примера с числа наведнъж:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \край (подравняване)\]

Както можете да видите, основното значение на това правило е да опрости ирационални изрази. И ако в първия пример щяхме да извлечем корените от 25 и 4 без нови правила, тогава калайът започва: $\sqrt(32)$ и $\sqrt(2)$ не се броят сами по себе си, но тяхното произведение се оказва точен квадрат, така че коренът от него е равен на рационално число.

Отделно бих искал да отбележа последния ред. Там и двата радикални израза са дроби. Благодарение на продукта много фактори се компенсират и целият израз се превръща в адекватно число.

Разбира се, не винаги всичко ще бъде толкова красиво. Понякога под корените ще има пълни глупости - не е ясно какво да се прави с него и как да се трансформира след умножаване. Малко по-късно, когато започнете да учите ирационални уравненияи неравенства, обикновено ще има всякакви променливи и функции. И много често компилаторите на проблемите просто разчитат на факта, че ще намерите някои договорни условия или фактори, след което задачата ще бъде значително опростена.

Освен това не е необходимо да се умножават точно два корена. Можете да умножите три наведнъж, четири - да, дори десет! Това няма да промени правилото. Погледни:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \край (подравняване)\]

И отново малка забележка към втория пример. Както можете да видите, в третия множител под корена има десетична дроб - в процеса на изчисление го заместваме с обикновен, след което всичко лесно се намалява. И така: силно препоръчвам да се отървете от десетичните дроби във всеки ирационални изрази(т.е. съдържащи поне една радикална икона). Това ще ви спести много време и нерви в бъдеще.

Но то беше лирическо отклонение. Сега помислете повече общ случай- когато коренният индекс съдържа произволно число $n$, а не само "класическите" две.

Случаят на произволен индикатор

И така, намерихме квадратния корен. И какво да правя с кубчета? Или изобщо с корени от произволна степен $n$? Да, всичко е същото. Правилото остава същото:

За да се умножат два корена от степен $n$, е достатъчно да се умножат техните коренни изрази, след което резултатът се записва под един радикал.

Като цяло, нищо сложно. Освен ако обемът на изчисленията не може да бъде повече. Нека да разгледаме няколко примера:

Примери. Изчислете продуктите:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \край (подравняване)\]

И отново внимание на втория израз. Ние се размножаваме кубични корени, отървавам се от десетична дроби в резултат получаваме произведението на числата 625 и 25 в знаменателя.Това е доста голямо число- Лично аз не обмислям веднага на какво е равно.

Затова просто избрахме точния куб в числителя и знаменателя и след това използвахме един от ключови свойства(или, ако желаете, определението) на корена на $n$-та степен:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\надясно|. \\ \край (подравняване)\]

Такива "измами" могат да ви спестят много време на изпита или контролна работатака че запомни:

Не бързайте да умножавате числата в радикалния израз. Първо проверете: какво ще стане, ако точната степен на който и да е израз е „криптирана“ там?

С цялата очевидност на тази забележка, трябва да призная, че повечето неподготвени студенти направо не виждат точните степени. Вместо това те умножават всичко напред и след това се чудят: защо са получили толкова брутални числа? :)

Всичко това обаче е детска игра спрямо това, което ще изучаваме сега.

Умножение на корени с различни показатели

Е, сега можем да умножим корени с еднакви показатели. Ами ако резултатите са различни? Кажете, как се умножава обикновен $\sqrt(2)$ по някакви глупости като $\sqrt(23)$? Възможно ли е изобщо да се направи това?

Да, разбира се, че можете. Всичко се прави по тази формула:

Правило за умножение на корен. За да умножите $\sqrt[n](a)$ по $\sqrt[p](b)$, просто направете следната трансформация:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Тази формула обаче работи само ако радикалните изрази са неотрицателни. Това е много важна забележка, към който ще се върнем малко по-късно.

Засега нека да разгледаме няколко примера:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \край (подравняване)\]

Както можете да видите, нищо сложно. Сега нека разберем откъде идва изискването за неотрицателност и какво ще се случи, ако го нарушим. :)

Лесно е да се умножат корените.

Защо радикалните изрази трябва да са неотрицателни?

Разбира се, можете да бъдете като учители в училищеи умело цитирайте учебника:

Изискването за неотрицателност е свързано с различни определениякорени от четна и нечетна степен (съответно техните области на дефиниране също са различни).

Е, стана ли по-ясно? Лично аз, когато прочетох тази глупост в 8-ми клас, разбрах за себе си нещо подобно: „Изискването за неотрицателност е свързано с *#&^@(*#@^#)~%“ - накратко аз не разбирах нищо по това време. :)

Така че сега ще обясня всичко по нормален начин.

Първо, нека разберем откъде идва горната формула за умножение. За да направите това, нека ви напомня едно важно свойство на корена:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

С други думи, можем спокойно да повдигнем радикалния израз до всеки естествена степен$k$ - в този случай индексът на корена ще трябва да бъде умножен по същата степен. Следователно можем лесно да намалим всякакви корени до общ индикатор, след което да умножим. Ето откъде идва формулата за умножение:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Но има един проблем, който силно ограничава приложението на всички тези формули. Помислете за това число:

Според току-що дадената формула можем да добавим произволна степен. Нека опитаме да добавим $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Премахнахме минуса точно защото квадратът изгаря минуса (като всяка друга четна степен). А сега да изпълним обратна трансформация: "намали" двойката в експонента и степен. В крайна сметка всяко равенство може да се чете както отляво надясно, така и отдясно наляво:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](а); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \край (подравняване)\]

Но тогава се случва нещо лудо:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Това не може да се дължи на $\sqrt(-5) \lt 0$ и $\sqrt(5) \gt 0$. Така че за дори градусии отрицателни числа, нашата формула вече не работи. След което имаме две възможности:

1. Да се ​​биеш в стената, за да твърдиш, че математиката е глупава наука, където „има някакви правила, но това е неточно“;
2. Въведете допълнителни ограничения, при което формулата ще стане 100% работеща.

В първия вариант ще трябва постоянно да хващаме „неработещи“ случаи - това е трудно, дълго и като цяло фу. Затова математиците предпочетоха втория вариант. :)

Но не се тревожете! На практика това ограничение не влияе по никакъв начин на изчисленията, тъй като всички описани проблеми се отнасят само до корените на нечетна степен и минусите могат да бъдат извадени от тях.

Затова формулираме друго правило, което се прилага като цяло за всички действия с корени:

Преди да умножите корените, уверете се, че радикалните изрази са неотрицателни.

Пример. В числото $\sqrt(-5)$ можете да извадите минуса от знака на корена - тогава всичко ще бъде наред:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt((((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Почувствай разликата? Ако оставите минус под корена, тогава, когато радикалният израз е на квадрат, той ще изчезне и ще започнат глупости. И ако първо извадите минус, тогава можете дори да вдигнете / премахнете квадратче, докато посинеете - числото ще остане отрицателно. :)

По този начин най-правилният и най-надежден начин за умножаване на корените е следният:

1. Премахнете всички минуси под радикалите. Минусите са само в корените с нечетна множественост - те могат да бъдат поставени пред корена и, ако е необходимо, намалени (например, ако има два от тези минуси).
2. Извършете умножение според правилата, разгледани по-горе в днешния урок. Ако индексите на корените са еднакви, просто умножете коренните изрази. И ако са различни, използваме злата формула \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Радваме се на резултата и добрите оценки. :)

Добре? Да тренираме ли?

Пример 1. Опростете израза:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \край (подравняване)\]

Това е най-простият вариант: индикаторите на корените са еднакви и нечетни, проблемът е само в минуса на втория множител. Издържаме този минус нафиг, след което всичко се обмисля лесно.

Пример 2. Опростете израза:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( подравняване)\]

Тук мнозина биха се объркали от резултата ирационално число. Да, случва се: не можахме напълно да се отървем от корена, но поне значително опростихме израза.

Пример 3. Опростете израза:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Ето на това бих искал да ви обърна внимание. Тук има две точки:

1. Под корена не е конкретно числоили степен, а променливата е $a$. На пръв поглед това е малко необичайно, но в действителност при решаване задачи по математиканай-често ще трябва да се справяте с променливи.
2. В крайна сметка успяхме да „намалим“ коренния експонент и степен в радикалния израз. Това се случва доста често. И това означава, че е възможно значително да се опростят изчисленията, ако не използвате основната формула.

Например можете да направите това:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \край (подравняване)\]

Всъщност всички трансформации са извършени само с втория радикал. И ако не нарисувате подробно всички междинни стъпки, тогава в крайна сметка количеството изчисления значително ще намалее.

Всъщност вече сме срещали подобна задача по-горе при решаването на примера $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Сега може да се напише много по-лесно:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \край (подравняване)\]

Е, разбрахме умножението на корените. Сега помислете за обратната операция: какво да правите, когато има работа под корена?