Как да намерите обиколката на кръг: чрез диаметър и радиус. Терминология, основни формули и характеристики на фигурата

§ 117. Обиколка и площ на кръг.

1. Обиколка.Окръжността е затворена плоска крива линия, всички точки на която са на еднакво разстояние от една точка (О), наречена център на окръжността (фиг. 27).

Кръгът се чертае с пергел. За да направите това, острият крак на компаса се поставя в центъра, а другият (с молив) се завърта около първия, докато краят на молива начертае пълен кръг. Разстоянието от центъра до която и да е точка на окръжността се нарича нейно радиус.От определението следва, че всички радиуси на една окръжност са равни един на друг.

Нарича се отсечка с права линия (AB), свързваща произволни две точки от окръжност и минаваща през нейния център диаметър. Всички диаметри на един кръг са равни един на друг; диаметърът е равен на два радиуса.

Как да намерите обиколката на кръг? В почти някои случаи обиколката може да се намери чрез директно измерване. Това може да се направи например при измерване на обиколката на относително малки предмети (кофа, стъкло и др.). За да направите това, можете да използвате рулетка, плитка или шнур.

В математиката се използва техниката за индиректно определяне на обиколката. Състои се от изчисляване с помощта на готова формула, която сега ще изведем.

Ако вземем няколко големи и малки кръгли предмета (монета, чаша, кофа, варел и др.) и измерим обиколката и диаметъра на всеки от тях, ще получим две числа за всеки предмет (едното измерва обиколката, а другото е дължина на диаметъра). Естествено, за малките обекти тези числа ще бъдат малки, а за големите - големи.

Ако обаче във всеки от тези случаи вземем съотношението на двете получени числа (обиколка и диаметър), то при внимателно измерване ще намерим почти същото число. Нека означим обиколката на кръга с буквата СЪС, дължина на диаметъра буква д, тогава съотношението им ще изглежда така C:D. Реалните измервания винаги са придружени от неизбежни неточности. Но след като завършихме посочения експеримент и направихме необходимите изчисления, получаваме съотношението C:Dприблизително следните числа: 3,13; 3.14; 3.15. Тези числа се различават много малко едно от друго.

В математиката чрез теоретични съображения е установено, че желаното отношение C:Dникога не се променя и е равна на безкрайна непериодична дроб, чиято приблизителна стойност, с точност до десет хилядни, е равна на 3,1416 . Това означава, че всеки кръг е еднакъв брой пъти по-дълъг от своя диаметър. Това число обикновено се обозначава с гръцката буква π (пи). Тогава съотношението на обиколката към диаметъра ще бъде написано, както следва: C:D = π . Ще ограничим този брой само до стотни, т.е π = 3,14.

Нека напишем формула за определяне на обиколката.

защото C:D= π , Че

° С = πD

т.е. обиколката е равна на произведението на числото π на диаметър.

Задача 1.Намерете обиколката ( СЪС) на кръгла стая, ако нейният диаметър е д= 5,5 м.

Като вземем предвид горното, трябва да увеличим диаметъра с 3,14 пъти, за да решим този проблем:

5,5 3,14 = 17,27 (m).

Задача 2.Намерете радиуса на колело, чиято обиколка е 125,6 cm.

Тази задача е обратната на предишната. Да намерим диаметъра на колелото:

125,6 : 3,14 = 40 (cm).

Нека сега намерим радиуса на колелото:

40: 2 = 20 (cm).

2. Площ на кръг.За да се определи площта на кръг, човек може да начертае кръг с даден радиус върху хартия, да го покрие с прозрачна карирана хартия и след това да преброи клетките вътре в кръга (фиг. 28).

Но този метод е неудобен по много причини. Първо, близо до контура на кръга се получават редица непълни клетки, чийто размер е трудно да се прецени. Второ, не можете да покриете голям обект (кръгла цветна леха, басейн, фонтан и т.н.) с лист хартия. Трето, след като преброихме клетките, все още не получихме никакво правило, което да ни позволи да решим друг подобен проблем. Поради това ще действаме по различен начин. Нека сравним кръга с някоя позната фигура и го направим по следния начин: изрежете кръг от хартия, разрежете го първо наполовина по диаметъра, след това разрежете всяка половина наполовина, всяка четвърт на половина и т.н., докато разрежем кръгът, например, на 32 части, оформени като зъби (фиг. 29).

След това ги сгъваме, както е показано на Фигура 30, т.е. първо подреждаме 16 зъба във формата на трион, след това поставяме 15 зъба в получените отвори и накрая разрязваме последния останал зъб наполовина по радиуса и прикрепете едната част отляво, другата - отдясно. Тогава ще получите фигура, наподобяваща правоъгълник.

Дължината на тази фигура (основата) е приблизително равна на дължината на полукръга, а височината е приблизително равна на радиуса. Тогава площта на такава фигура може да се намери чрез умножаване на числата, изразяващи дължината на полукръга и дължината на радиуса. Ако означим площта на кръг с буквата С, обиколката на буква СЪС, радиус буква r, тогава можем да напишем формулата за определяне на площта на кръг:

което гласи така: Площта на кръга е равна на дължината на полукръга, умножена по радиуса.

Задача.Намерете площта на кръг, чийто радиус е 4 см. Първо намерете дължината на кръга, след това дължината на полукръга и след това го умножете по радиуса.

1) Обиколка СЪС = π д= 3,14 8 = 25,12 (cm).

2) Дължина на половин кръг ° С / 2 = 25,12 : 2 = 12,56 (cm).

3) Площ на кръга S = ° С / 2 r= 12,56 4 = 50,24 (кв. см).

§ 118. Повърхнина и обем на цилиндър.

Задача 1.Намерете общата повърхност на цилиндър с диаметър на основата 20,6 cm и височина 30,5 cm.

С форма на цилиндър (фиг. 31) са: кофа, чаша (нефасетирана), тенджера и много други предмети.

Пълната повърхнина на цилиндър (като пълната повърхнина на правоъгълен паралелепипед) се състои от странична повърхнина и площите на две основи (фиг. 32).

За да си представите ясно за какво говорим, трябва внимателно да направите модел на цилиндър от хартия. Ако от този модел извадим две основи, т.е. два кръга, и разрежем страничната повърхност по дължина и я разгънем, тогава ще бъде напълно ясно как да изчислим общата повърхност на цилиндъра. Страничната повърхност ще се разгъне в правоъгълник, чиято основа е равна на дължината на кръга. Следователно решението на проблема ще изглежда така:

1) Обиколка: 20,6 3,14 = 64,684 (cm).

2) Площ на страничната повърхност: 64,684 30,5 = 1972,862 (cm2).

3) Площ на една основа: 32.342 10.3 = 333.1226 (кв.см).

4) Пълна повърхност на цилиндъра:

1972,862 + 333,1226 + 333,1226 = 2639,1072 (кв. см) ≈ 2639 (кв. см).

Задача 2.Намерете обема на желязна бъчва с форма на цилиндър с размери: диаметър на основата 60 cm и височина 110 cm.

За да изчислите обема на цилиндър, трябва да запомните как изчислихме обема на правоъгълен паралелепипед (полезно е да прочетете § 61).

Нашата единица за измерване на обем ще бъде кубичен сантиметър. Първо трябва да разберете колко кубични сантиметра могат да бъдат поставени върху основната площ и след това да умножите намереното число по височината.

За да разберете колко кубични сантиметра могат да бъдат положени върху основната площ, трябва да изчислите основната площ на цилиндъра. Тъй като основата е кръг, трябва да намерите площта на кръга. След това, за да определите обема, го умножете по височината. Решението на задачата има формата:

1) Обиколка: 60 ​​3,14 = 188,4 (cm).

2) Площ на кръга: 94,2 30 = 2826 (кв. см).

3) Обем на цилиндъра: 2826,110 = 310,860 (cc. cm).

Отговор. Обем на цевта 310,86 куб.м. дм.

Ако означим обема на един цилиндър с буквата V, основна площ С, височина на цилиндъра з, тогава можете да напишете формула за определяне на обема на цилиндър:

V = S H

което гласи така: Обемът на цилиндъра е равен на площта на основата, умножена по височината.

§ 119. Таблици за изчисляване на обиколката на кръг по диаметър.

При решаването на различни производствени проблеми често е необходимо да се изчисли обиколката. Нека си представим работник, който произвежда кръгли детайли по посочените му диаметри. Всеки път, когато знае диаметъра, той трябва да изчисли обиколката. За да спести време и да се застрахова от грешки, той се обръща към готови таблици, в които са посочени диаметрите и съответните дължини на обиколките.

Ще представим малка част от такива таблици и ще ви кажем как да ги използвате.

Нека се знае, че диаметърът на кръга е 5 м. Поглеждаме в таблицата във вертикалната колона под буквата дномер 5. Това е дължината на диаметъра. До това число (вдясно, в колоната, наречена „Обиколка“) ще видим числото 15,708 (m). По абсолютно същия начин откриваме, че if д= 10 см, тогава обиколката е 31,416 см.

Използвайки същите таблици, можете да извършвате и обратни изчисления. Ако обиколката на кръг е известна, тогава съответният диаметър може да бъде намерен в таблицата. Нека обиколката е приблизително 34,56 см. Нека намерим в таблицата най-близкото до това число. Това ще бъде 34,558 (разлика 0,002). Диаметърът, съответстващ на тази обиколка, е приблизително 11 cm.

Споменатите тук таблици са налични в различни справочници. По-специално те могат да бъдат намерени в книгата „Четирицифрени математически таблици“ на В. М. Брадис. и в книгата с аритметични задачи на С. А. Пономарев и Н. И. Сирнева.

Кръгът е затворена крива, всички точки на която са на еднакво разстояние от центъра. Тази фигура е плоска. Следователно решението на проблема, чийто въпрос е как да се намери обиколката, е доста просто. Ще разгледаме всички налични методи в днешната статия.

Описания на фигури

В допълнение към доста проста описателна дефиниция, има още три математически характеристики на кръг, които сами по себе си съдържат отговора на въпроса как да се намери обиколката:

• Състои се от точки A и B и всички останали, от които AB може да се види под прав ъгъл. Диаметърът на тази фигура е равен на дължината на разглеждания сегмент.
• Включва само онези точки X, така че съотношението AX/BX е постоянно и не е равно на единица. Ако това условие не е изпълнено, то това не е кръг.
• Състои се от точки, за всяка от които е в сила следното равенство: сумата от квадратите на разстоянията до другите две е дадена стойност, която винаги е повече от половината от дължината на отсечката между тях.

Терминология

Не всеки в училище имаше добър учител по математика. Следователно отговорът на въпроса как да се намери обиколката допълнително се усложнява от факта, че не всеки знае основните геометрични понятия. Радиусът е сегмент, който свързва центъра на фигура с точка на крива. Специален случай в тригонометрията е единичната окръжност. Хордата е сегмент, който свързва две точки на крива. Под това определение попада например вече обсъденият АВ. Диаметърът е хордата, минаваща през центъра. Числото π е равно на дължината на единичен полукръг.

Основни формули

Дефинициите директно следват геометрични формули, които ви позволяват да изчислите основните характеристики на кръг:

1. Дължината е равна на произведението на числото π и диаметъра. Формулата обикновено се записва по следния начин: C = π*D.
2. Радиусът е равен на половината от диаметъра. Може също да се изчисли чрез изчисляване на частното от разделянето на обиколката на удвоеното число π. Формулата изглежда така: R = C/(2* π) = D/2.
3. Диаметърът е равен на частното от обиколката, разделено на π или два пъти радиуса. Формулата е доста проста и изглежда така: D = C/π = 2*R.
4. Площта на кръга е равна на произведението на π и квадрата на радиуса. По подобен начин в тази формула може да се използва диаметър. В този случай площта ще бъде равна на частното от произведението на π и квадрата на диаметъра, делено на четири. Формулата може да бъде записана по следния начин: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

Как да намерите обиколката на кръг по диаметър

За простота на обяснението, нека обозначим с букви характеристиките на фигурата, необходими за изчислението. Нека C е желаната дължина, D нейният диаметър и π приблизително равно на 3,14. Ако имаме само едно известно количество, тогава проблемът може да се счита за решен. Защо това е необходимо в живота? Да предположим, че решим да оградим кръгъл басейн с ограда. Как да изчислим необходимия брой колони? И тук на помощ идва способността за изчисляване на обиколката. Формулата е следната: C = π D. В нашия пример диаметърът се определя въз основа на радиуса на басейна и необходимото разстояние от оградата. Да предположим например, че нашето домашно изкуствено езерце е широко 20 метра и ние ще поставим стълбовете на десет метра разстояние от него. Диаметърът на получения кръг е 20 + 10*2 = 40 м. Дължината е 3,14*40 = 125,6 метра. Ще ни трябват 25 стълба, ако разстоянието между тях е около 5 m.

Дължина през радиуса

Както винаги, нека започнем, като зададем букви на характеристиките на кръга. Всъщност те са универсални, така че математиците от различни страни не е задължително да знаят езиците на другите. Да приемем, че C е обиколката на окръжността, r е нейният радиус и π е приблизително равно на 3,14. Формулата в този случай изглежда така: C = 2*π*r. Очевидно това е абсолютно правилно уравнение. Както вече разбрахме, диаметърът на кръг е равен на удвоения радиус, така че тази формула изглежда така. В живота този метод също често може да бъде полезен. Например, печем торта в специална плъзгаща се форма. За да не се замърсява, се нуждаем от декоративна обвивка. Но как да изрежете кръг с необходимия размер. Тук на помощ идва математиката. Тези, които знаят как да намерят обиколката на кръг, веднага ще кажат, че трябва да умножите числото π по два пъти радиуса на формата. Ако радиусът му е 25 см, тогава дължината ще бъде 157 сантиметра.

Примерни проблеми

Вече разгледахме няколко практически случая на придобитите знания за това как да намерим обиколката на кръг. Но често не сме загрижени за тях, а за истинските математически задачи, съдържащи се в учебника. Все пак учителят дава точки за тях! Така че нека разгледаме един по-сложен проблем. Да приемем, че обиколката на кръга е 26 см. Как да намерим радиуса на такава фигура?

Примерно решение

Първо, нека запишем какво ни е дадено: C = 26 cm, π = 3,14. Също така запомнете формулата: C = 2* π*R. От него можете да извлечете радиуса на окръжността. Така R= C/2/π. Сега нека да преминем към действителното изчисление. Първо, разделете дължината на две. Получаваме 13. Сега трябва да разделим на стойността на числото π: 13/3,14 = 4,14 см. Важно е да не забравите да напишете отговора правилно, тоест с мерни единици, в противен случай целият практически смисъл на такива проблеми се губят. Освен това за такова невнимание можете да получите оценка с една точка по-ниска. И колкото и досадно да е, ще трябва да се примирите с това състояние на нещата.

Звярът не е толкова страшен, колкото го описват

Така че се справихме с толкова трудна на пръв поглед задача. Както се оказва, просто трябва да разберете значението на термините и да запомните няколко прости формули. Математиката не е толкова страшна, просто трябва да положите малко усилия. Така че геометрията ви очаква!

1. По-труден за намиране обиколка през диаметър, така че нека първо да разгледаме тази опция.

Пример: Намерете обиколката на кръг, чийто диаметър е 6 cm. Използваме формулата за обиколката на кръга по-горе, но първо трябва да намерим радиуса. За да направите това, разделяме диаметъра от 6 cm на 2 и получаваме радиуса на кръга 3 cm.

След това всичко е изключително просто: умножете числото Pi по 2 и по получения радиус от 3 cm.
2 * 3,14 * 3 см = 6,28 * 3 см = 18,84 см.

2. Сега нека отново да разгледаме простата опция намерете обиколката на окръжността, радиусът е 5 cm

Решение: Умножете радиуса от 5 см по 2 и умножете по 3,14. Не се тревожете, защото пренареждането на множителите не влияе на резултата и формула за обиколкаможе да се използва в произволен ред.

5см * 2 * 3,14 = 10 см * 3,14 = 31,4 см - това е намерената обиколка за радиус от 5 см!

Онлайн калкулатор за обиколка

Нашият калкулатор за обиколка ще извърши незабавно всички тези прости изчисления и ще напише решението в ред и с коментари. Ще изчислим обиколката за радиус от 3, 5, 6, 8 или 1 cm, или диаметърът е 4, 10, 15, 20 dm; нашият калкулатор не се интересува от коя стойност на радиуса да намери обиколката.

Всички изчисления ще бъдат точни, тествани от специалисти математици. Резултатите могат да се използват при решаване на училищни задачи по геометрия или математика, както и при работни изчисления в строителството или при ремонт и декорация на помещения, когато се изискват точни изчисления по тази формула.

По този начин обиколката ( ° С) може да се изчисли чрез умножаване на константата π на диаметър ( д), или умножаване π с два пъти радиуса, тъй като диаметърът е равен на два радиуса. следователно формула за обиколкаще изглежда така:

° С = πD = 2πR

Където ° С- обиколка, π - постоянен, д- диаметър на кръга, Р- радиус на окръжността.

Тъй като окръжността е границата на окръжност, обиколката на окръжност може също да се нарече дължина на окръжност или периметър на окръжност.

Проблеми с обиколката

Задача 1.Намерете обиколката на кръг, ако диаметърът му е 5 cm.

Тъй като обиколката е равна на π умножена по диаметъра, тогава дължината на кръг с диаметър 5 cm ще бъде равна на:

° С≈ 3,14 5 = 15,7 (cm)

Задача 2.Намерете дължината на окръжност, чийто радиус е 3,5 m.

Първо, намерете диаметъра на кръга, като умножите дължината на радиуса по 2:

д= 3,5 2 = 7 (m)

Сега нека намерим обиколката чрез умножение π на диаметър:

° С≈ 3,14 7 = 21,98 (m)

Задача 3.Намерете радиуса на окръжност с дължина 7,85 m.

За да намерите радиуса на кръг въз основа на неговата дължина, трябва да разделите обиколката на 2 π

Площ на кръг

Площта на кръга е равна на произведението на числото π на квадратен радиус. Формула за намиране на площта на кръг:

С = πr 2

Където Се площта на кръга и r- радиус на окръжността.

Тъй като диаметърът на кръг е равен на два пъти радиуса, радиусът е равен на диаметъра, разделен на 2:

Проблеми, свързани с площта на кръг

Задача 1.Намерете площта на кръг, ако радиусът му е 2 cm.

Тъй като площта на кръга е π умножена по радиуса на квадрат, тогава площта на кръг с радиус 2 cm ще бъде равна на:

С≈ 3,14 2 2 = 3,14 4 = 12,56 (cm 2)

Задача 2.Намерете площта на кръг, ако диаметърът му е 7 cm.

Първо намерете радиуса на кръга, като разделите диаметъра му на 2:

7:2=3,5(cm)

Сега нека изчислим площта на кръга по формулата:

С = πr 2 ≈ 3,14 3,5 2 = 3,14 12,25 = 38,465 (cm 2)

Този проблем може да се реши по друг начин. Вместо първо да намерите радиуса, можете да използвате формулата за намиране на площта на кръг, като използвате диаметъра:

С = π	д 2	≈ 3,14	7 2	= 3,14	49	=	153,86	= 38,465 (cm 2)
	4		4		4		4

Задача 3.Намерете радиуса на окръжността, ако нейната площ е 12,56 m2.

За да намерите радиуса на кръг от неговата площ, трябва да разделите площта на кръга π и след това вземете корен квадратен от резултата:

r = √С : π

следователно радиусът ще бъде равен на:

r≈ √12,56: 3,14 = √4 = 2 (m)

Номер π

Обиколката на предметите, които ни заобикалят, може да бъде измерена с помощта на измервателна лента или въже (нишка), чиято дължина след това може да бъде измерена отделно. Но в някои случаи измерването на обиколката е трудно или практически невъзможно, например вътрешната обиколка на бутилка или просто обиколката на кръг, начертан на хартия. В такива случаи можете да изчислите обиколката на кръг, ако знаете дължината на неговия диаметър или радиус.

За да разберем как може да стане това, нека вземем няколко кръгли предмета, чиято обиколка и диаметър могат да бъдат измерени. Нека изчислим съотношението на дължината към диаметъра и в резултат получаваме следната серия от числа:

От това можем да заключим, че съотношението на дължината на кръг към неговия диаметър е постоянна стойност за всеки отделен кръг и за всички кръгове като цяло. Тази връзка се обозначава с буквата π .

Използвайки това знание, можете да използвате радиуса или диаметъра на кръг, за да намерите неговата дължина. Например, за да изчислите дължината на кръг с радиус 3 cm, трябва да умножите радиуса по 2 (така получаваме диаметъра) и получения диаметър да умножим по π . В резултат на това с помощта на броя π Научихме, че дължината на окръжност с радиус 3 cm е 18,84 cm.

Кръгът е крива линия, която обхваща кръг. В геометрията формите са плоски, така че определението се отнася до двуизмерно изображение. Приема се, че всички точки на тази крива са разположени на еднакво разстояние от центъра на окръжността.

Кръгът има няколко характеристики, въз основа на които се правят изчисления, свързани с тази геометрична фигура. Те включват: диаметър, радиус, площ и обиколка. Тези характеристики са взаимосвързани, тоест за изчисляването им е достатъчна информация за поне един от компонентите. Например, като знаете само радиуса на геометрична фигура, можете да използвате формулата, за да намерите обиколката, диаметъра и площта.

• Радиусът на кръга е сегментът вътре в кръга, свързан с неговия център.
• Диаметърът е сегмент вътре в кръг, свързващ неговите точки и минаващ през центъра. По същество диаметърът е два радиуса. Точно така изглежда формулата за изчисляването му: D=2r.
• Има още един компонент на кръг - акорд. Това е права линия, която свързва две точки на окръжност, но не винаги минава през центъра. Така че хордата, която минава през него, също се нарича диаметър.

Как да разберете обиколката? Нека разберем сега.

Обиколка: формула

За обозначаване на тази характеристика е избрана латинската буква p. Архимед също доказа, че съотношението на обиколката на кръга към неговия диаметър е едно и също число за всички кръгове: това е числото π, което е приблизително равно на 3,14159. Формулата за изчисляване на π е: π = p/d. Според тази формула стойността на p е равна на πd, тоест обиколката: p= πd. Тъй като d (диаметър) е равен на два радиуса, същата формула за обиколката може да бъде записана като p=2πr.Нека разгледаме приложението на формулата, използвайки прости задачи като пример:

Проблем 1

В основата на Цар камбаната диаметърът е 6,6 метра. Каква е обиколката на основата на камбаната?

1. И така, формулата за изчисляване на окръжността е p= πd
2. Заместете съществуващата стойност във формулата: p=3,14*6,6= 20,724

Отговор: Обиколката на основата на камбаната е 20,7 метра.

Проблем 2

Изкуственият спътник на Земята се върти на разстояние 320 км от планетата. Радиусът на Земята е 6370 км. Каква е дължината на кръговата орбита на сателита?

1. 1. Изчислете радиуса на кръговата орбита на спътника на Земята: 6370+320=6690 (km)
2. 2. Изчислете дължината на кръговата орбита на сателита по формулата: P=2πr
3. 3.P=2*3.14*6690=42013.2

Отговор: дължината на кръговата орбита на спътника на Земята е 42013,2 км.

Методи за измерване на обиколка

Изчисляването на обиколката на кръг не се използва често на практика. Причината за това е приблизителната стойност на числото π. В ежедневието, за да се намери дължината на окръжност, се използва специално устройство - кривомер. На кръга се маркира произволна начална точка и от нея уредът се води строго по линията, докато отново достигне тази точка.

Как да намерите обиколката на кръг? Просто трябва да запазите прости формули за изчисление в главата си.