Равни ли са повърхнините на квадратите? Свойства на повърхнините на многоъгълниците Еднаквите многоъгълници имат равни повърхнини

VIII клас: Тема 3. Площи на фигурите. Питагорова теорема.

1. Понятието площ. Фигури с еднакъв размер.

Ако дължината е числова характеристика на линия, тогава площта е числена характеристика на затворена фигура. Въпреки факта, че сме добре запознати с понятието площ от ежедневието, не е лесно да се даде стриктна дефиниция на това понятие. Оказва се, че площта на затворена фигура може да се нарече всяко неотрицателно количество, което има следното свойства за измерване на площите на фигурите:

Еднаквите фигури имат равни площи. Ако дадена затворена фигура е разделена на няколко затворени фигури, тогава площта на фигурата е равна на сумата от площите на съставните й фигури (фигурата на фигура 1 е разделена на нфигури; в този случай площта на фигурата, където Si- квадрат аз-та фигура).

По принцип би било възможно да се излезе с набор от количества, които имат формулираните свойства и следователно характеризират площта на фигурата. Но най-познатата и удобна стойност е тази, която характеризира площта на квадрата като квадрата на неговата страна. Нека наречем това „съгласие“ третото свойство за измерване на площите на фигурите:

Площта на квадрат е равна на квадрата на неговата страна (Фигура 2).

С тази дефиниция площта на фигурите се измерва в квадратни единици ( см 2, км 2, ха=100м 2).

Фигури с равни площи се наричат равни по размер .

коментар: Еднаквите фигури имат равни площи, тоест равните фигури са еднакви по размер. Но фигурите с еднакъв размер не винаги са равни (например фигура 3 показва квадрат и равнобедрен триъгълник, съставени от равни правоъгълни триъгълници (между другото, такива фигури Наречен еднакво съставен ); ясно е, че квадратът и триъгълникът са равни по размер, но не са равни, тъй като не се припокриват).

След това ще изведем формули за изчисляване на площите на всички основни видове многоъгълници (включително добре известната формула за намиране на площта на правоъгълник), въз основа на формулираните свойства за измерване на площите на фигурите.

2. Площ на правоъгълник. Площ на успоредник.

Формула за изчисляване на площта на правоъгълник: Площта на правоъгълник е равна на произведението на двете му съседни страни (Фигура 4).

дадени:

ABCD- правоъгълник;

AD=а, AB=b.

Докажи: SABCD=а× b.

Доказателство:

1. Разширете страната ABза сегмент Б.П.=а, и отстрани AD- за сегмент Д.В.=b. Нека построим успоредник ГПР(Фигура 4). Тъй като Ð А=90°, ГПР- правоъгълник. При което AP=а+b=AV, Þ ГПР– квадрат със страна ( а+b).

2. Нека обозначим пр.н.е.Ç RV=T, CDÇ PR=Q. Тогава BCQP– квадрат със страна а, CDVT– квадрат със страна b, CQRT- правоъгълник със страни аИ b.

Формула за изчисляване на площта на успоредник: Площта на успоредник е равна на произведението на неговата височина и неговата основа (Фигура 5).

коментар: Основата на успоредника обикновено се нарича страната, към която е начертана височината; Ясно е, че всяка страна на успоредник може да служи като основа.

дадени:

ABCD– p/g;

Б.Х.^AD, зÎ AD.

Докажи: SABCD=AD× Б.Х..

Доказателство:

1. Да го занесем в основата ADвисочина CF(Фигура 5).

2. пр.н.е.ïê HF, Б.Х.ïê CF, Þ BCFH- p/g по дефиниция. Д з=90°, Þ BCFH- правоъгълник.

3. BCFH– p/g, Þ според свойството p/g Б.Х.=CF, Þ D BAH=D CDFпо хипотенузата и крака ( AB=CDпо св. п/г, Б.Х.=CF).

4. SABCD=SABCF+Сд CDF=SABCF+Сд BAH=SBCFH=Б.Х.× пр.н.е.=Б.Х.× AD. #

3. Площ на триъгълник.

Формула за изчисляване на площта на триъгълник: Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на неговата височина и основата (Фигура 6).

коментар: В този случай основата на триъгълника е страната, към която е начертана надморската височина. Всяка от трите страни на триъгълника може да служи за негова основа.

дадени:

BD^A.C., дÎ A.C..

Докажи: .

Доказателство:

1. Нека завършим D ABCкъм п/г ABKCчрез преминаване през върха бправ Б.К.ïê A.C., и през върха ° С- прав CKïê AB(Фигура 6).

2. д ABC=D KCBот три страни ( пр.н.е.- общ, AB=KCИ A.C.=К.Б.според St. p/g), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

Следствие 2: Ако вземем предвид p/u D ABCс височина А.Х., начертан към хипотенузата пр.н.е., Че . По този начин, в п/у Височината на D-ke, изтеглена към хипотенузата, е равна на съотношението на произведението на неговите крака към хипотенузата . Тази връзка се използва доста често при решаване на задачи.

4. Следствия от формулата за намиране на площта на триъгълник: съотношението на площите на триъгълници с равни височини или основи; равни триъгълници във фигури; свойство на площите на триъгълниците, образувани от диагоналите на изпъкнал четириъгълник.

От формулата за изчисляване на площта на триъгълник следват две следствия по елементарен начин:

1. Съотношение на площите на триъгълници с равни височини равно на съотношението на техните основи (на фигура 8 ).

2. Съотношение на площите на триъгълници с еднакви основи равно на съотношението на техните височини (на фигура 9 ).

коментар: При решаване на задачи много често се срещат триъгълници с обща височина. В този случай, като правило, техните основи лежат на една и съща права линия, а върхът срещу основите е общ (например на фигура 10 С 1:С 2:С 3=а:b:° С). Трябва да се научите да виждате общата височина на такива триъгълници.

Освен това формулата за изчисляване на площта на триъгълник дава полезни факти, които ви позволяват да намерите равни триъгълници във фигури:

1. Медианата на произволен триъгълник го разделя на два равни триъгълника (на фигура 11 в D A.B.M.и Д ACMвисочина А.Х.– общо и на основание Б.М.И СМ.равен по дефиниция на медиана; следва, че Д A.B.M.и Д ACMравни по размер).

2. Диагоналите на успоредник го разделят на четири равни триъгълника (на фигура 12 А.О.– медиана на триъгълника ABDпо свойството на диагоналите p/g, Þ поради предишните свойства на триъгълниците ABOИ ADOравни по размер; защото Б.О.– медиана на триъгълника ABC, триъгълници ABOИ BCOравни по размер; защото CO– медиана на триъгълника BCD, триъгълници BCOИ DCOравни по размер; По този начин, Сд ADO=Сд ABO=Сд BCO=Сд DCO).

3. Диагоналите на трапец го разделят на четири триъгълника; две от тях, съседни на страничните страни, са еднакви по размер (Фигура 13).

дадени:

ABCD– трапец;

пр.н.е.ïê AD; A.C.Ç BD=О.

Докажи: Сд ABO=Сд DCO.

Доказателство:

1. Да начертаем височините Б.Ф.И CH(Фигура 13). Тогава Д ABDи Д ACDбаза AD– общ, и вис Б.Ф.И CHравен; Þ Сд ABD=Сд ACD.

2. Сд ABO=Сд ABD ‑ Сд AOD=Сд ACD ‑ Сд AOD=Сд DCO. #

Ако начертаете диагоналите на изпъкнал четириъгълник (Фигура 14), се образуват четири триъгълника, чиито площи са свързани с много лесно за запомняне съотношение. Извеждането на тази връзка се основава единствено на формулата за изчисляване на площта на триъгълник; обаче се среща доста рядко в литературата. Като полезна при решаването на проблеми, връзката, която ще бъде формулирана и доказана по-долу, заслужава специално внимание:

Свойство на площите на триъгълниците, образувани от диагоналите на изпъкнал четириъгълник: Ако диагоналите на изпъкнал четириъгълник ABCDпресичат се в точка О, след това (Фигура 14).

ABCD– изпъкнал четириъгълник;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.

Доказателство:

1. Б.Ф.– обща височина D AOBи Д BOC; Þ Сд AOB:Сд BOC=А.О.:CO.

2. Д.Х.– обща височина D AODи Д C.O.D.; Þ Сд AOD:Сд C.O.D.=А.О.:CO.

5. Съотношение на площите на триъгълници с равни ъгли.

Теорема за отношението на площите на триъгълници с равни ъгли: Площите на триъгълници, които имат равни ъгли, се отнасят като произведенията на страните, обхващащи тези ъгли (Фигура 15).

дадени:

д ABC, Д А 1б 1° С 1;

Ð BAC=Ð б 1А 1° С 1.

Докажи:

.

Доказателство:

1. Поставете го върху лъча ABлинейна отсечка AB 2=А 1б 1, и на гредата A.C.- линеен сегмент A.C. 2=А 1° С 1 (Фигура 15). Тогава Д AB 2° С 2=D А 1б 1° С 1 от двете страни и ъгъла между тях ( AB 2=А 1б 1 и A.C. 2=А 1° С 1 по конструкция, и Р б 2A.C. 2=р б 1А 1° С 1 по условие). Означава,.

2. Свържете точките ° СИ б 2.

3. CH– обща височина D AB 2° Си Д ABC, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. Свойство на ъглополовящата на триъгълник.

Използвайки теоремите за съотношението на площите на триъгълници с еднакви ъгли и за съотношението на площите на триъгълници с еднакви височини, ние просто доказваме факт, който е изключително полезен при решаването на задачи и не е пряко свързан с площите на фигурите :

Свойство на ъглополовяща триъгълник:Симетралата на триъгълник разделя страната, към която е начертан, на сегменти, пропорционални на страните, съседни на тях.

дадени:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.

Доказателство:

1..gif" width="72 height=40" height="40">.

3. От точки 1 и 2 получаваме: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">. #

коментар:Тъй като крайните или средните членове могат да бъдат разменени в правилната пропорция, по-удобно е да запомните свойството на ъглополовящата на триъгълник в следната форма (Фигура 16): .

7. Площ на трапец.

Формула за изчисляване на площта на трапец: Площта на трапец е равна на произведението от неговата височина и половината от сбора на неговите основи.

дадени:

ABCD– трапец;

пр.н.е.ïê AD;

Б.Х.- височина.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.

Доказателство:

1. Нека начертаем диагонал BDи височина DF(Фигура 17). БХДФ– правоъгълник, Þ Б.Х. = DF.

Последица: Съотношението на площите на трапеци с равни височини е равно на съотношението на средните им линии (или съотношението на сумите на основите).

8. Площ на четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали.

Формула за изчисляване на площта на четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали: Площта на четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали е равна на половината от произведението на неговите диагонали.

ABCD– четириъгълник;

A.C.^BD.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

Доказателство:

1. Нека обозначим A.C.Ç BD=О. Тъй като A.C.^BD, А.О.– височина D ABD, А CO– височина D CBD(Фигури 18a и 18b съответно за случаите на изпъкнали и неизпъкнали четириъгълници).

2.
(знаците “+” или “-” съответстват съответно на случаите на изпъкнали и неизпъкнали четириъгълници). #

Питагоровата теорема играе изключително важна роля при решаването на голямо разнообразие от проблеми; позволява ви да намерите неизвестната страна на правоъгълен триъгълник от двете му известни страни. Има много известни доказателства на Питагоровата теорема. Нека представим най-простия от тях, базиран на формули за изчисляване на площите на квадрат и триъгълник:

Питагорова теорема: В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

дадени:

д ABC– п/у;

Ð А=90°.

Докажи:

пр.н.е. 2=AB 2+A.C. 2.

Доказателство:

1. Нека обозначим A.C.=а, AB=b. Нека го поставим на лъча ABлинейна отсечка Б.П.=а, и на гредата A.C.- линеен сегмент CV=b(Фигура 19). Нека начертаем през точката Пдиректен PRïê AV, и през точката V– прав VRïê AP. Тогава ГПР- p/g по дефиниция. Освен това, тъй като Р А=90°, ГПР- правоъгълник. И защото AV=а+b=AP, ГПР– квадрат със страна а+b, И САПРВ=(а+b)2. След това ще разделим страната PRточка Qна сегменти PQ=bИ QR=а, и отстрани RV– точка Tна сегменти RT=bИ телевизор=а.

2.D ABC=D PQB=D RTQ=D ДКТот две страни, Þ Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, пр.н.е.=QB=T.Q.=C.T.и https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. Защото пр.н.е.=QB=T.Q.=C.T., CBQT- ромб По същото време QBC=180°-(р ABC+Ð PBQ)=180°-(Р ABC+Ð ACB)=Ð BAC=90°; Þ CBQT- квадрат, и SCBQT=пр.н.е. 2.

4. . Така, пр.н.е. 2=AB 2+A.C. 2. #

Обратната теорема на Питагор е знак за правоъгълен триъгълник, т.е. позволява ви да проверите дали триъгълникът е правоъгълен, като използвате три известни страни.

Обратна теорема на Питагор: Ако квадратът на страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите му две страни, тогава триъгълникът е правоъгълен и най-дългата му страна е хипотенузата.

дадени:

пр.н.е. 2=AB 2+A.C. 2.

Докажи:д ABC– п/у;

Ð А=90°.

Доказателство:

1. Построяване на прав ъгъл А 1 и поставете сегментите отстрани А 1б 1=ABИ А 1° С 1=A.C.(Фигура 20). В получения п/у Г А 1б 1° С 1 по Питагоровата теорема б 1° С 12=А 1б 12+А 1° С 12=AB 2+A.C. 2; но според състоянието AB 2+A.C. 2=пр.н.е. 2; Þ б 1° С 12=пр.н.е. 2, Þ б 1° С 1=пр.н.е..

2.D ABC=D А 1б 1° С 1 от три страни ( А 1б 1=ABИ А 1° С 1=A.C.по конструкция, б 1° С 1=пр.н.е.от т.1), Þ Ð А=Ð А 1=90°, Þ D ABC- п/у. #

Наричат ​​се правоъгълни триъгълници, чиито дължини на страните са изразени с естествени числа Питагорови триъгълници , а тройките на съответните естествени числа са Питагорови тройки . Питагоровите тройки са полезни за запомняне (по-голямото от тези числа е равно на сумата от квадратите на другите две). Ето някои питагорови тройки:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

Правоъгълен триъгълник със страни 3, 4, 5 е бил използван в Египет за конструиране на прави ъгли и следователно такъв триъгълник Наречен египетски .

10. Формула на Херон.

Формулата на Heron ви позволява да намерите площта на произволен триъгълник от трите му известни страни и е незаменима при решаването на много проблеми.

Формула на Херон: Площ на триъгълник със страни а, bИ ° Ссе изчислява по следната формула: , където е полупериметърът на триъгълника.

дадени:

пр.н.е.=а; A.C.=b; AB=° С.). Тогава .

4. Заменете получения израз за височина във формулата за изчисляване на площта на триъгълника: . #

Източник на работа: Решение 2746.-13. OGE 2017 Математика, I.V. Ященко. 36 опции.

Задача 11.Страната на ромба е 12, а разстоянието от точката на пресичане на диагоналите на ромба до него е 1. Намерете площта на този ромб.

Решение.

Площта на ромба може да се изчисли по същия начин като площта на успоредника, т.е. като произведението на височината h на ромба по дължината на страната a, към която е начертан:

На фигурата червената линия заедно с черната линия показват височината h на ромба, която е равна (тъй като дължините на черната и червената линия са равни). Дължината на страната е a=12 също според условията на задачата. Получаваме площта на ромба:

Отговор: 24.

Задача 12.На карирана хартия е изобразен ромб с размер на квадрат 1x1. Намерете дължината на по-дългия му диагонал.

Решение.

На фигурата сините линии показват диагоналите на ромба. Вижда се, че големият диагонал е 12 клетки.

Отговор: 12.

Задача 13.Кои от следните твърдения са верни?

1) Има правоъгълник, чиито диагонали са взаимно перпендикулярни.

2) Всички квадрати имат равни площи.

3) Един от ъглите на триъгълник винаги не надвишава 60 градуса.

В отговор запишете числата на избраните твърдения без интервали, запетаи или други допълнителни знаци.

Решение.

1) Правилно. Това е правоъгълник, който се превръща в квадрат.

„Магарешки мост“ Доказателството на Питагоровата теорема се е смятало за много трудно в средите на студентите от Средновековието и понякога е било наричано Pons Asinorum „магарешки мост“ или елефуга – „бягството на нещастниците“, тъй като някои „нещастни“ ученици, които нямаше сериозна математическа подготовка, избяга от геометрията. Слабите ученици, които запомняха теореми наизуст, без да разбират и затова бяха наречени „магарета“, не успяха да преодолеят Питагоровата теорема, която им послужи като непреодолим мост.

Дадено: ABC, C=90°, B=60°, AB=12 cm AC=10 cm Намерете: SABC Решете устно CA B Дадено е: ABC, C=90°, AB=18 cm, BC=9 cm Намерете: B , A Отговор: A=30º, B=60º Отговор: 30 cm²

C² = a 2 + b 2 a b c C A B c = a 2 + b cbа В правоъгълен триъгълник a и b са катетите, c е хипотенузата. Попълнете таблицата. b =c²-a² a =c²-b² b 2 =c²-a² a 2 =c²-b²

Решение 3. ACD е правоъгълник, D=45° DAC=45°ACD - равнобедрен CD = AC = 4 SADC = 8. Така че площта на цялата фигура S ABCB = SABC + SADC = Дадено е: AB=2 3, BC=2, B= 90 ACD=90 BAC=3 0, D=45 Намерете: S ABCB. Задача 30º D C B A Площ на цялата фигура S ABCB = SABC + SADC 2. ABC е правоъгълник, SABC = 2 3; BAC=30° AC = 2BC = 4.

497 Един от диагоналите на успоредник е неговата височина. Намерете този диагонал, ако периметърът на успоредника е 50 см и разликата между съседните страни е 1 см. AD ​​CB Дадено е: ABCD - успоредник, BD AD, P ABCD = 50 см, AB-AD = 1 см. Намерете: BD. Решение. Нека AD=x см, тогава AB=(x+1) см. Защото P ABCD =2·(AB+AD), тогава 50=2·(x+1+x) 25=2x+1 x=12, което означава AD=12 см, AB=13 см. 1. AD=12 см , AB=13 см. 2. Намерете BD с помощта на Питагоровата теорема: AB²=ВD²+AD² BD=5 (cm) 12 cm 13 cm

BC с 6 см. Намерете: BC, CD, AD. " title="Problem Площта на правоъгълен трапец е 120 cm², а височината му е 8 cm. Намерете всички страни на трапеца, ако едната му основа е с 6 cm по-голяма от другата. D BC A N Дадена : ABCD - трапец, AB AD , S ABCD = 120 см², AB = 8 см, AD>BC с 6 см. Намерете: BC, CD, AD." class="link_thumb"> 16 !}Задача Площта на правоъгълен трапец е 120 см², а височината му е 8 см. Намерете всички страни на трапеца, ако едната му основа е с 6 см по-голяма от другата. D BC A N Дадено е: ABCD - трапец, AB AD, S ABCD = 120 см², AB = 8 см, AD>BC с 6 см. Намерете: BC, CD, AD. Решение. Нека BC=x cm, тогава AD=(x+6) cm Защото S ABCD = ·8·(x+6+x)=120, 4(2x+6)=120 2x+6 = 30 x = 12, което означава BC 12 cm, AD=18 cm AB=8 cm, BC= 12 cm, AD=18 cm Допълнително построяване: CH AD, тогава ABCN е правоъгълник. CH=AB=8 cm, AH=BC=12 cm, след това HD=AD-AH=6 cm 12 cm 18 cm 6 cm Намерете CD с помощта на Питагоровата теорема: CD2=CH2+HD2 CD=8²+6²CD=10 (cm ) Отговор: AB=8 cm, BC=12 cm, CD=10 cm, AD=18 cm. BC с 6 см. Намерете: BC, CD, AD. "> BC с 6 см. Намерете: BC, CD, AD. Решение. Нека BC=x cm, тогава AD=(x+6) cm Тъй като S ABCD = ·8·(x+6+x)= 120, 4 (2x+6)=120 2x+6 = 30 x = 12, което означава BC 12 cm, AD=18 cm 1. 2. AB=8 cm, BC=12 cm, AD=18 cm Допълнителна формация: CH AD, тогава ABCN е правоъгълник CH=AB=8 cm, AH=BC=12 cm, тогава HD=AD-AH=6 cm 12 cm 18 cm 6 cm Намерете CD като използвате Питагоровата теорема: CD²=CH²+HD² CD=8² +6²CD=10 (cm) Отговор: AB=8 cm, BC=12 cm, CD=10 cm, AD=18 cm."> BC по 6 cm. Намерете: BC, CD, AD. " title="Problem Площта на правоъгълен трапец е 120 cm², а височината му е 8 cm. Намерете всички страни на трапеца, ако едната му основа е с 6 cm по-голяма от другата. D BC A N Дадена : ABCD - трапец, AB AD , S ABCD = 120 см², AB = 8 см, AD>BC с 6 см. Намерете: BC, CD, AD."> title="Задача Площта на правоъгълен трапец е 120 см², а височината му е 8 см. Намерете всички страни на трапеца, ако едната му основа е с 6 см по-голяма от другата. D BC A N Дадено е: ABCD - трапец, AB AD, S ABCD = 120 см², AB = 8 см, AD>BC с 6 см. Намерете: BC, CD, AD."> !} AB C M N Дадено е: ABC, BC=7,5 cm, AC=3,2 cm, AM BC, BN AC, AM=2,4 cm Намерете: BN Решение: SABC =½AM·CB=½·2,4 ·7,5=9 cm² S ABC =½BN· AC BN=2·S ABC:AC=2·9:3,2=5,625 см Отговор: 5,625 см. Двете страни на триъгълника са 7,5 см и 4 см. Височината, прекарана към по-голямата страна, е равна на 2,4 см. Намерете височината изтеглен към по-малката от тези страни. 470

Площта на правоъгълен триъгълник е 168 cm². Намерете краката му, ако отношението на дължините им е 7:12. A C B Дадено е: ABC, C = 90º, AC: BC = 7:12, S ABC = 168 cm² Намерете: AC, BC. Решение: SABC =½AC·BC 168=½7x·12x 168=42x² x=2 AC=14 см, BC=24 см Отговор: 14 см и 24 см. 472

Свойства на площите 10. Еднаквите многоъгълници имат равни площи. D B A C N ABC = NFD F

Свойства на площите 20. Ако един многоъгълник е съставен от няколко многоъгълника, тогава неговата площ е равна на сумата от площите на тези многоъгълници. C B D A F

Свойства на площите 30. Площта на квадрат е равна на квадрата на страната му. 3 cm S=9 cm 2 Използвайки свойствата на повърхнините, намерете повърхнините на фигурите

Мерни единици за площ 1 m 2 = 100 dm 2 1 dm 2 = 100 cm 2

Единици за измерване на площ 1 km 2 1 ha 1 a 1 m 2 1 dm 2 1 cm 2 1 mm 2: 100: 100

Площ на правоъгълник b S Нека докажем, че S = ab a a КВАДРАТ СЪС СТРАНА a 2 a+b = S + a 2 + b 2 a 2 +2 ab + b 2 = 2 S + a 2 + b 2 S (a+b) 2 S 2 ab = 2 S S = ab b 2 b: 2

Подът на помещението, което има формата на правоъгълник със страни 5, 5 m и 6 m, трябва да бъде покрит с правоъгълен паркет. Дължината на всяка паркетна дъска е 30 см, а ширината е 5 см. Колко такива дъски са необходими за покриване на пода? 6 м 5,5 м 5 см 30 см

Площите на квадратите, построени върху страните на правоъгълника, са 64 cm 2 и 121 cm 2. Намерете площта на правоъгълника. 121 cm 2 S-? 64 см 2

Страните на всеки от правоъгълниците ABCD и ARMK са равни на 6 см и 10 см. Намерете площта на фигурата, състояща се от всички точки, които принадлежат на поне един от тези правоъгълници. A 10 cm P B 6 cm 10 cm D K C 6 cm M

ABCD е правоъгълник, AC е диагонал. Намерете лицето на триъгълника ABC. A a D АBC = ADC b SABC = B C

ABCD е правоъгълник. Намерете: SABF. B CE = DE, C F E A D SABCD = Q

AB = BC = 3, AF = 5, Намерете: SABCDEF. B EF = 2. C 3 D E 3 A 2 5 F

S=102 C Точките K, M, T и E са разположени 5 съответно на страни AD, AB, BC и DC на квадрат E ABCD, така че KD=7, AK=3, AM=5, BT=8, CE=5 . Намерете площта на четириъгълника KMTE. D T B 2 8 M 5 7 K 3 A

Площта на петоъгълника ABCD е 48 cm 2. Намерете лицето и периметъра на квадрата ABCD. C B O A 1) 48: 3 * 4 = 64 (cm 2) SАВСD 2) AB = 8 (cm), PAVСD = 8 * 4 = 32 (cm) D

ABCD и MDKP са равни квадрати. AB = 8 см. Намерете лицето на четириъгълника ASKM. B C 64 cm 2 8 cm 32 cm 2 D A 32 cm 2 M K 32 cm 2 R

ABCD и DСМK са квадрати. AB = 6 см. Намерете лицето на четириъгълника OSPD. C H 6 cm A O M R D K

ABCD – правоъгълник; M, K, P, T са средите на страните му, AB = 6 см, AD = 12 см. Намерете лицето на четириъгълника MKRT. H K 6 cm M A C R T 12 cm D

ABCD – правоъгълник; M, K, P, T са средните точки на страните му, AB = 16 см, BC = 10 см. Намерете площта на шестоъгълника AMKSRT. C P 10 cm K B D T M 16 cm A