Как да намерим най-малкото общо кратно на две числа. Нод и нок на две числа, Евклидов алгоритъм

Помислете за решението на следния проблем. Стъпката на момчето е 75 см, а на момичето 60 см. Необходимо е да се намери най-малкото разстояние, на което и двамата ще направят цял ​​брой крачки.

Решение.Целият път, през който ще преминат момчетата, трябва да се дели на 60 и 70 без остатък, тъй като всеки трябва да направи цял брой стъпки. С други думи, отговорът трябва да е кратен както на 75, така и на 60.

Първо ще изпишем всички кратни за числото 75. Получаваме:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Сега нека напишем числата, които ще бъдат кратни на 60. Получаваме:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Сега намираме числата, които са в двата реда.

• Общите кратни на числата ще бъдат числа, 300, 600 и т.н.

Най-малкото от тях е числото 300. В този случай ще се нарича най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.

Връщайки се към условието на проблема, най-малкото разстояние, на което момчетата правят цял ​​брой стъпки, ще бъде 300 см. Момчето ще измине този път в 4 стъпки, а момичето ще трябва да направи 5 стъпки.

Намиране на най-малкото общо кратно

• Най-малкото общо кратно на две естествени числа a и b е най-малкото естествено число, което е кратно и на a, и на b.

За да намерите най-малкото общо кратно на две числа, не е необходимо да записвате всички кратни на тези числа подред.

Можете да използвате следния метод.

Как да намерим най-малкото общо кратно

Първо, трябва да разложите тези числа на прости множители.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Сега нека запишем всички множители, които са в разширението на първото число (2,2,3,5) и добавим към него всички липсващи множители от разширението на второто число (5).

В резултат на това получаваме поредица от прости числа: 2,2,3,5,5. Произведението на тези числа ще бъде най-малко общият множител за тези числа. 2*2*3*5*5 = 300.

Обща схема за намиране на най-малкото общо кратно

• 1. Разложете числата на прости множители.
• 2. Запишете простите множители, които са част от един от тях.
• 3. Добавете към тези фактори всички, които са в разлагането на останалите, но не и в избрания.
• 4. Намерете произведението на всички изписани множители.

Този метод е универсален. Може да се използва за намиране на най-малкото общо кратно на произволен брой естествени числа.

Кратно на число е число, което се дели на дадено число без остатък. Най-малкото общо кратно (LCM) на група числа е най-малкото число, което се дели равномерно на всяко число в групата. За да намерите най-малкото общо кратно, трябва да намерите простите множители на дадените числа. Също така LCM може да се изчисли с помощта на редица други методи, които са приложими за групи от две или повече числа.

стъпки

Поредица от кратни

Вижте тези числа.Описаният тук метод се използва най-добре, когато са дадени две числа, които и двете са по-малки от 10. Ако са дадени големи числа, използвайте различен метод.

• Например, намерете най-малкото общо кратно на числата 5 и 8. Това са малки числа, така че този метод може да се използва.

1. Кратно на число е число, което се дели на дадено число без остатък. В таблицата за умножение могат да бъдат намерени множество числа.

   • Например числата, кратни на 5, са: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишете поредица от числа, кратни на първото число.Направете това под кратни на първото число, за да сравните два реда числа.

   • Например числата, кратни на 8, са: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 и 64.

3. Намерете най-малкото число, което се появява в двете серии от кратни.Може да се наложи да напишете дълги серии от кратни, за да намерите общата сума. Най-малкото число, което се появява в двете серии от кратни, е най-малкото общо кратно.

   • Например най-малкото число, което се появява в поредицата от кратни на 5 и 8, е 40. Следователно 40 е най-малкото общо кратно на 5 и 8.

   Разлагане на прости множители

   1. Вижте тези числа.Описаният тук метод се използва най-добре, когато са дадени две числа, които и двете са по-големи от 10. Ако са дадени по-малки числа, използвайте различен метод.

      • Например, намерете най-малкото общо кратно на числата 20 и 84. Всяко от числата е по-голямо от 10, така че този метод може да се използва.

   2. Разложете на множители първото число.Тоест трябва да намерите такива прости числа, при умножаване на които получавате дадено число. След като намерите прости множители, запишете ги като равенство.

      • Например, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\умножено по 10=20)и 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\пъти (\mathbf (5) )=10). Така простите множители на числото 20 са числата 2, 2 и 5. Запишете ги като израз: .

   3. Разложете второто число на прости множители.Направете това по същия начин, както разложихте първото число, тоест намерете такива прости числа, които при умножаване ще получат това число.

      • Например, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)и 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). И така, простите множители на числото 84 са числата 2, 7, 3 и 2. Запишете ги като израз: .

   4. Запишете множителите, общи за двете числа.Запишете такива множители като операция за умножение. Докато записвате всеки множител, задраскайте го и в двата израза (изрази, които описват разлагането на числа на прости множители).

      • Например, общият множител за двете числа е 2, така че напишете 2 × (\displaystyle 2\times )и задраскайте 2 в двата израза.
      • Общият множител за двете числа е друг множител на 2, така че напишете 2 × 2 (\displaystyle 2\пъти 2)и задраскайте второто 2 в двата израза.

   5. Добавете останалите множители към операцията за умножение.Това са фактори, които не са зачеркнати и в двата израза, тоест фактори, които не са общи за двете числа.

      • Например в израза 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\пъти 2\пъти 5)и двата (2) са задраскани, защото са общи множители. Коефициентът 5 не е зачеркнат, така че напишете операцията за умножение, както следва: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\пъти 2\пъти 5)
      • В израза 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\пъти 7\пъти 3\пъти 2)и двете двойки (2) също са зачеркнати. Коефициентите 7 и 3 не са зачеркнати, така че запишете операцията за умножение, както следва: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Изчислете най-малкото общо кратно.За да направите това, умножете числата в операцията за писмено умножение.

      • Например, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\пъти 2\пъти 5\пъти 7\пъти 3=420). Така че най-малкото общо кратно на 20 и 84 е 420.

      Намиране на общи делители

      1. Начертайте решетка, както бихте направили за игра на тик-так-палец.Такава мрежа се състои от две успоредни линии, които се пресичат (под прав ъгъл) с две други успоредни линии. Това ще доведе до три реда и три колони (мрежата изглежда много като знака #). Напишете първото число в първия ред и втората колона. Напишете второто число в първия ред и третата колона.

         • Например, намерете най-малкото общо кратно на 18 и 30. Напишете 18 в първия ред и втората колона и напишете 30 в първия ред и третата колона.

      2. Намерете общия делител на двете числа.Запишете го в първия ред и първата колона. По-добре е да търсите прости делители, но това не е задължително условие.

         • Например 18 и 30 са четни числа, така че общият им делител е 2. Затова напишете 2 в първия ред и първата колона.

      3. Разделете всяко число на първия делител.Запишете всяко частно под съответното число. Частното е резултат от разделянето на две числа.

         • Например, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), така че напишете 9 под 18.
         • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), така че напишете 15 под 30.

      4. Намерете делител, общ за двете частни.Ако няма такъв делител, пропуснете следващите две стъпки. В противен случай запишете делителя във втория ред и първата колона.

         • Например 9 и 15 се делят на 3, така че напишете 3 във втория ред и първата колона.

      5. Разделете всяко частно на втория делител.Запишете всеки резултат от деленето под съответното частно.

         • Например, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), така че напишете 3 под 9.
         • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), така че напишете 5 под 15.

      6. Ако е необходимо, допълнете мрежата с допълнителни клетки.Повторете горните стъпки, докато частните получат общ делител.

      7. Оградете числата в първата колона и последния ред на мрежата.След това запишете маркираните числа като операция за умножение.

         • Например, числата 2 и 3 са в първата колона, а числата 3 и 5 са ​​в последния ред, така че напишете операцията за умножение така: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\пъти 3\пъти 3\пъти 5).

      8. Намерете резултата от умножението на числа.Това ще изчисли най-малкото общо кратно на двете дадени числа.

         • Например, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\пъти 3\пъти 3\пъти 5=90). Така че най-малкото общо кратно на 18 и 30 е 90.

      Алгоритъм на Евклид

      1. Запомнете терминологията, свързана с операцията деление.Дивидентът е числото, което се разделя. Делителят е числото, на което се дели. Частното е резултат от разделянето на две числа. Остатъкът е числото, което остава при разделяне на две числа.

         • Например в израза 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)Почивка. 3:
           15 е делимото
           6 е делителя
           2 е частен
           3 е остатъкът.

Най-голям общ делител

Определение 2

Ако естествено число a се дели на естествено число $b$, тогава $b$ се нарича делител на $a$, а числото $a$ се нарича кратно на $b$.

Нека $a$ и $b$ са естествени числа. Числото $c$ се нарича общ делител както на $a$, така и на $b$.

Множеството от общи делители на числата $a$ и $b$ е крайно, тъй като никой от тези делители не може да бъде по-голям от $a$. Това означава, че сред тези делители има най-големият, който се нарича най-голям общ делител на числата $a$ и $b$ и се обозначава със следната нотация:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​или \ D \ (a;b)$

За да намерите най-големия общ делител на две числа:

1. Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

Пример 1

Намерете gcd на числата $121$ и $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Изберете числата, които са включени в разширението на тези числа

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

$gcd=2\cdot 11=22$

Пример 2

Намерете НОД на мономи $63$ и $81$.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това:

Нека разложим числата на прости множители

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Ние избираме числата, които са включени в разширението на тези числа

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Нека намерим произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

$gcd=3\cdot 3=9$

Можете да намерите НОД на две числа по друг начин, като използвате набора от делители на числа.

Пример 3

Намерете НОД на числата $48$ и $60$.

Решение:

Намерете набора от делители на $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Сега нека намерим набора от делители на $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Нека намерим пресечната точка на тези множества: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - това множество ще определи множеството от общи делители на числата $48$ и $60 $. Най-големият елемент в този набор ще бъде числото $12$. Така че най-големият общ делител на $48$ и $60$ е $12$.

Дефиниция на NOC

Определение 3

общо кратно на естествените числа$a$ и $b$ е естествено число, което е кратно на $a$ и $b$.

Общите кратни на числата са числа, които се делят на оригинала без остатък. Например за числата $25$ и $50$ общите кратни ще бъдат числата $50,100,150,200$ и т.н.

Най-малкото общо кратно ще се нарича най-малко общо кратно и ще се означава с LCM$(a;b)$ или K$(a;b).$

За да намерите LCM на две числа, трябва:

1. Разлагайте числата на прости множители
2. Изпишете факторите, които са част от първото число и добавете към тях факторите, които са част от второто и не отиват към първото

Пример 4

Намерете LCM на числата $99$ и $77$.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това

Разлагайте числата на прости множители

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Запишете факторите, включени в първия

добавете към тях фактори, които са част от втория и не отиват към първия

Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаното най-малко общо кратно

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Съставянето на списъци с делители на числа често отнема много време. Има начин да се намери GCD, наречен алгоритъм на Евклид.

Изявления, на които се основава алгоритъмът на Евклид:

Ако $a$ и $b$ са естествени числа и $a\vdots b$, тогава $D(a;b)=b$

Ако $a$ и $b$ са естествени числа, така че $b

Използвайки $D(a;b)= D(a-b;b)$, можем последователно да намаляваме разглежданите числа, докато достигнем двойка числа, така че едното от тях да се дели на другото. Тогава по-малкото от тези числа ще бъде търсеният най-голям общ делител за числата $a$ и $b$.

Свойства на GCD и LCM

1. Всяко общо кратно на $a$ и $b$ се дели на K$(a;b)$
2. Ако $a\vdots b$ , тогава K$(a;b)=a$

Ако K$(a;b)=k$ и $m$-естествено число, то K$(am;bm)=km$

Ако $d$ е общ делител за $a$ и $b$, тогава K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ако $a\vdots c$ и $b\vdots c$ , тогава $\frac(ab)(c)$ е общо кратно на $a$ и $b$

За всякакви естествени числа $a$ и $b$ равенството

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Всеки общ делител на $a$ и $b$ е делител на $D(a;b)$

Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията под заглавие LCM - най-малко общо кратно, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), и обърнете специално внимание на решаването на примери. Нека първо покажем как LCM на две числа се изчислява по отношение на GCD на тези числа. След това обмислете намирането на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числа на прости множители. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM на три или повече числа и също ще обърнем внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.

Навигация в страницата.

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd

Един от начините за намиране на най-малкото общо кратно се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ви позволява да изчислите най-малкото общо кратно на две положителни цели числа чрез известния най-голям общ делител. Съответната формула има формата LCM(a, b)=a b: НОД(a, b) . Помислете за примери за намиране на LCM според горната формула.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на двете числа 126 и 70.

Решение.

В този пример a=126 , b=70 . Нека използваме връзката между LCM и GCD, изразена с формулата LCM(a, b)=a b: НОД(a, b). Тоест първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим НОК на тези числа по написаната формула.

Намерете gcd(126, 70), като използвате алгоритъма на Евклид: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , следователно gcd(126, 70)=14 .

Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Отговор:

LCM(126, 70)=630.

Пример.

Какво е LCM(68, 34)?

Решение.

защото 68 се дели равномерно на 34, тогава gcd(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Отговор:

LCM(68, 34)=68.

Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за цели положителни числа a и b: ако числото a се дели на b, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a.

Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители

Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата на прости множители. Ако направим произведение на всички прости множители на тези числа, след което изключим от това произведение всички общи прости множители, които присъстват в разширенията на тези числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на тези числа.

Обявеното правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b: НОД(a, b). Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички множители, включени в разширенията на числата a и b. На свой ред, gcd(a, b) е равно на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разширенията на числата a и b (което е описано в раздела за намиране на gcd с помощта на разлагането на числа на прости множители ).

Да вземем пример. Нека знаем, че 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Съставете произведението на всички множители на тези разширения: 2 3 3 5 5 5 7 . Сега изключваме от този продукт всички множители, които присъстват както в разгръщането на числото 75, така и в разгръщането на числото 210 (такива множители са 3 и 5), тогава произведението ще приеме формата 2 3 5 5 7 . Стойността на този продукт е равна на най-малкото общо кратно на числата 75 и 210, т.е. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Пример.

След като разложите числата 441 и 700 на прости множители, намерете най-малкото общо кратно на тези числа.

Решение.

Нека разложим числата 441 и 700 на прости множители:

Получаваме 441=3 3 7 7 и 700=2 2 5 5 7 .

Сега нека направим произведение на всички фактори, включени в разширенията на тези числа: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Нека изключим от този продукт всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . По този начин, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Отговор:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Правилото за намиране на LCM с помощта на разлагането на числата на прости множители може да се формулира малко по-различно. Ако добавим липсващите множители от разлагането на числото b към множителите от разлагането на числото a, тогава стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.

Например, нека вземем всички едни и същи числа 75 и 210, тяхното разлагане на прости множители е както следва: 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Към множителите 3, 5 и 5 от разлагането на числото 75 добавяме липсващите множители 2 и 7 от разлагането на числото 210, получаваме произведението 2 3 5 5 7 , чиято стойност е LCM(75 , 210).

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.

Решение.

Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2 2 3 7 и 648=2 2 2 3 3 3 3 . Към множителите 2, 2, 3 и 7 от разлагането на числото 84 добавяме липсващите множители 2, 3, 3 и 3 от разлагането на числото 648, получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7, което е равно на 4 536 . Така желаното най-малко общо кратно на числата 84 и 648 е 4536.

Отговор:

LCM(84, 648)=4 536 .

Намиране на LCM на три или повече числа

Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Спомнете си съответната теорема, която дава начин да се намери LCM на три или повече числа.

Теорема.

Нека са дадени положителни цели числа a 1 , a 2 , …, a k, най-малкото общо кратно m k на тези числа се намира в последователното изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Разгледайте приложението на тази теорема на примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.

Пример.

Намерете LCM на четирите числа 140, 9, 54 и 250.

Решение.

В този пример a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Първо намираме m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). За да направим това, използвайки Евклидовия алгоритъм, ние определяме gcd(140, 9) , имаме 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , следователно gcd( 140, 9)=1 , откъдето LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Тоест m 2 =1 260 .

Сега намираме m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Нека го изчислим чрез gcd(1 260, 54) , което също се определя от алгоритъма на Евклид: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Тогава gcd(1 260, 54)=18 , откъдето LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Тоест m 3 \u003d 3 780.

Остава да се намери m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). За да направим това, намираме НОД(3 780, 250) с помощта на алгоритъма на Евклид: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Следователно gcd(3 780, 250)=10, откъдето gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Тоест m 4 \u003d 94 500.

Така че най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.

Отговор:

LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.

В много случаи най-малкото общо кратно на три или повече числа се намира удобно чрез разлагане на прости множители на дадени числа. В този случай трябва да се спазва следното правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите множители от разлагането на второто число се добавят към всички множители от разлагането на първото число, липсващите множители от разлагането на третото число се добавя към получените множители и т.н.

Помислете за пример за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагането на числа на прости множители.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на пет числа 84, 6, 48, 7, 143.

Решение.

Първо, получаваме разширенията на тези числа в прости множители: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 прости множители) и 143=11 13 .

За да намерите LCM на тези числа, към множителите на първото число 84 (те са 2 , 2 , 3 и 7 ) трябва да добавите липсващите множители от разгръщането на второто число 6 . Разгръщането на числото 6 не съдържа липсващи множители, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разгръщането на първото число 84. Допълнително към множителите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 2 и 2 от разгръщането на третото число 48, получаваме набор от множители 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма нужда да добавяте фактори към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към множителите 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разлагането на числото 143 . Получаваме произведението 2 2 2 2 3 7 11 13 , което е равно на 48 048 .

Нека започнем да изучаваме най-малкото общо кратно на две или повече числа. В раздела ще дадем определение на термина, ще разгледаме теорема, която установява връзка между най-малкото общо кратно и най-големия общ делител и ще дадем примери за решаване на задачи.

Общи кратни - определение, примери

В тази тема ще се интересуваме само от общи кратни на цели числа, различни от нула.

Определение 1

Общо кратно на цели числае цяло число, което е кратно на всички дадени числа. Всъщност това е всяко цяло число, което може да бъде разделено на което и да е от дадените числа.

Определението за общи кратни се отнася до две, три или повече цели числа.

Пример 1

Според дефиницията, дадена по-горе за числото 12, общите кратни са 3 и 2. Също така числото 12 ще бъде общо кратно на числата 2, 3 и 4. Числата 12 и -12 са обикновени кратни на числата ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

В същото време общото кратно на числата 2 и 3 ще бъдат числата 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 и редица други.

Ако вземем числа, които се делят на първото число от двойката и не се делят на второто, тогава такива числа няма да бъдат общи кратни. И така, за числата 2 и 3 числата 16 , − 27 , 5009 , 27001 няма да бъдат общи кратни.

0 е общо кратно на всеки набор от ненулеви цели числа.

Ако си припомним свойството на делимост по отношение на противоположни числа, тогава се оказва, че някакво цяло число k ще бъде общо кратно на тези числа по същия начин, както числото - k. Това означава, че общите делители могат да бъдат положителни или отрицателни.

Възможно ли е да се намери LCM за всички номера?

Общото кратно може да се намери за всякакви цели числа.

Пример 2

Да предположим, че ни е дадено кцели числа a 1 , a 2 , … , a k. Числото, което получаваме при умножението на числата a 1 a 2 … a kспоред свойството на делимост, то ще бъде разделено на всеки от факторите, които са били включени в оригиналния продукт. Това означава, че произведението на числата a 1 , a 2 , … , a kе най-малкото общо кратно на тези числа.

Колко общи кратни могат да имат тези цели числа?

Група от цели числа може да има голям брой общи кратни. Всъщност броят им е безкраен.

Пример 3

Да предположим, че имаме някакво число k. Тогава произведението на числата k · z , където z е цяло число, ще бъде общо кратно на числата k и z . Като се има предвид, че броят на числата е безкраен, тогава броят на общите кратни е безкраен.

Най-малко общо кратно (LCM) - определение, символ и примери

Припомнете си концепцията за най-малкото число от даден набор от числа, която разгледахме в раздела Сравнение на цели числа. Имайки предвид тази концепция, нека формулираме дефиницията на най-малкото общо кратно, което има най-голяма практическа стойност сред всички общи кратни.

Определение 2

Най-малкото общо кратно на дадени цели числае най-малкото положително общо кратно на тези числа.

Най-малкото общо кратно съществува за произволен брой дадени числа. Съкращението NOK е най-често използваното за означаване на понятие в референтната литература. Стенограма за най-малко общо кратно за числа a 1 , a 2 , … , a kще изглежда като LCM (a 1, a 2, …, a k).

Пример 4

Най-малкото общо кратно на 6 и 7 е 42. Тези. LCM(6, 7) = 42. Най-малкото общо кратно на четири числа - 2, 12, 15 и 3 ще бъде равно на 60. Стенограмата ще бъде LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​​​= 60 .

Не за всички групи от дадени числа най-малкото общо кратно е очевидно. Често трябва да се изчислява.

Връзка между NOC и NOD

Най-малкото общо кратно и най-големият общ делител са свързани. Връзката между понятията се установява от теоремата.

Теорема 1

Най-малкото общо кратно на две цели положителни числа a и b е равно на произведението на числата a и b, делено на най-големия общ делител на числата a и b, тоест LCM (a, b) = a b: gcd (a , б) .

доказателство 1

Да предположим, че имаме някакво число M, което е кратно на числата a и b. Ако числото M се дели на a, има и някакво цяло z , при които равенството M = a k. Според дефиницията за делимост, ако М също се дели на b, така че след това a kразделена на b.

Ако въведем нова нотация за gcd (a , b) as д, тогава можем да използваме равенствата a = a 1 dи b = b 1 · d . В този случай и двете равенства ще бъдат взаимно прости числа.

Вече установихме това по-горе a kразделена на b. Сега това условие може да се запише по следния начин:
a 1 d kразделена на b 1 d, което е еквивалентно на условието а 1 кразделена на b 1според свойствата на делимост.

Според свойството на относително прости числа, ако а 1и b 1са взаимно прости числа, а 1не се дели на b 1въпреки факта, че а 1 кразделена на b 1, тогава b 1трябва да сподели к.

В този случай би било уместно да приемем, че има число T, за което k = b 1 t, и оттогава b1=b:d, тогава k = b: d t.

Сега вместо кпоставени в равенство M = a kизразяване на формата b: d t. Това ни позволява да стигнем до равенство M = a b: d t. При t=1можем да получим най-малкото положително общо кратно на a и b , равен a b: d, при условие че числата a и b положителен.

Така че доказахме, че LCM (a , b) = a b: НОД (a,b).

Установяването на връзка между LCM и GCD ви позволява да намерите най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител на две или повече дадени числа.

Определение 3

Теоремата има две важни следствия:

• кратни на най-малкото общо кратно на две числа са същите като общи кратни на тези две числа;
• най-малкото общо кратно на взаимно прости положителни числа a и b е равно на техния продукт.

Не е трудно да се обосноват тези два факта. Всяко общо кратно на M числа a и b се определя от равенството M = LCM (a, b) t за някаква цяло число t. Тъй като a и b са взаимно прости, тогава gcd (a, b) = 1, следователно, LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Най-малко общо кратно на три или повече числа

За да намерите най-малкото общо кратно на няколко числа, трябва последователно да намерите LCM на две числа.

Теорема 2

Нека се преструваме, че a 1 , a 2 , … , a kса някои положителни цели числа. За изчисляване на LCM m kтези числа трябва да изчислим последователно m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = НОК(m 2 , a 3) , … , m k = НОК(m k - 1, a k) .

Доказателство 2

Първото следствие от първата теорема, обсъдено в тази тема, ще ни помогне да докажем верността на втората теорема. Разсъжденията се изграждат съгласно следния алгоритъм:

• общи кратни на числа а 1и а 2съвпадат с кратни на техния LCM, всъщност те съвпадат с кратни на числото м2;
• общи кратни на числа а 1, а 2и а 3 м2и а 3 м 3;
• общи кратни на числа a 1 , a 2 , … , a kсъвпадат с общи кратни на числа m k - 1и a k, следователно съвпадат с кратни на числото m k;
• поради факта, че най-малкото положително кратно на числото m kе самото число m k, тогава най-малкото общо кратно на числата a 1 , a 2 , … , a kе m k.

Така че доказахме теоремата.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter