Как да определим центъра на тежестта на фигура с неправилна форма. Намиране на центъра на тежестта на вашето тяло

Автор: Да вземем тяло с произволна форма. Възможно ли е да се окачи на конец, така че след окачване да запази позицията си (т.е. да не започне да се върти), когато всякаквипървоначална ориентация (фиг. 27.1)?

С други думи, има ли такава точка, спрямо която сумата от моментите на силите на гравитацията, действащи върху различни части на тялото, би била равна на нула при всякаквиориентация на тялото в пространството?

Читател: Да, така мисля. Такава точка се нарича центъра на тежестта на тялото.

Доказателство.За простота, помислете за тяло под формата на плоска плоча с произволна форма, произволно ориентирана в пространството (фиг. 27.2). Вземете координатната система х 0прис начало в центъра на масата – точка ОТ, тогава x C = 0, при C = 0.

Представяме това тяло като колекция от голям брой точкови маси m i, позицията на всяка от които е дадена от радиус вектора .

По дефиниция на центъра на масата и координатата x C = .

Тъй като в нашата координатна система x C= 0, тогава . Нека умножим това уравнение по жи получи

Както се вижда от фиг. 27.2, | x i| е рамото на силата. И ако x i> 0, тогава моментът на силата М и> 0 и ако x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x iмомент на сила ще бъде M i = m i gx i .Тогава равенство (1) е еквивалентно на , където М ие моментът на гравитацията. А това означава, че при произволна ориентация на тялото, сумата от моментите на силите на гравитацията, действащи върху тялото, ще бъде равна на нула спрямо неговия център на масата.

За да бъде тялото, което разглеждаме, в равновесие, е необходимо да се приложи към него в точка ОТсила T = мгсочещи вертикално нагоре. Моментът на тази сила около точката ОТе равно на нула.

Тъй като разсъжденията ни по никакъв начин не зависеха от това как точно е ориентирано тялото в пространството, доказахме, че центърът на тежестта съвпада с центъра на масата, което и трябваше да се докаже.

Задача 27.1.Намерете центъра на тежестта на безтегловен прът с дължина л, в краищата на които са фиксирани две точкови маси T 1 и T 2 .

T 1 T 2 л	Решение. Ще търсим не центъра на тежестта, а центъра на масата (тъй като те са едно и също). Нека представим оста х(фиг. 27.3). Ориз. 27.3
x C =?

Отговор: далеч от масата T 1 .

СПРИ СЕ! Решете сами: B1-B3.

Твърдение 1 . Ако хомогенното плоско тяло има ос на симетрия, центърът на тежестта е върху тази ос.

Наистина, за всяка точкова маса m i, разположена вдясно от оста на симетрия, има същата точкова маса, разположена симетрично по отношение на първата (фиг. 27.4). В този случай сумата от моментите на силите .

Тъй като цялото тяло може да бъде представено като разделено на подобни двойки точки, общият момент на тежестта спрямо всяка точка, лежаща на оста на симетрия, е нула, което означава, че центърът на тежестта на тялото също е разположен на тази ос. Това води до важен извод: ако тялото има няколко оси на симетрия, тогава центърът на тежестта лежи в пресечната точка на тези оси(фиг. 27.5).

Ориз. 27.5

Твърдение 2. Ако две тела с маси T 1 и T 2 са свързани в едно, тогава центърът на тежестта на такова тяло ще лежи на права линия, свързваща центровете на тежестта на първото и второто тяло (фиг. 27.6).

Ориз. 27.6 Ориз. 27.7

Доказателство.Нека подредим съставното тяло така, че сегментът, свързващ центровете на тежестта на телата, да е вертикален. След това сумата от моментите на тежестта на първото тяло по отношение на точката ОТ 1 е равна на нула, а сумата от моментите на тежестта на второто тяло спрямо точката ОТ 2 е нула (фиг. 27.7).

забележи това рамогравитация на всяка точкова маса t iсъщото по отношение на всяка точка от сегмента ОТ 1 ОТ 2 , а оттам и моментът на тежестта спрямо всяка точка, лежаща на сегмента ОТ 1 ОТ 2 са еднакви. Следователно гравитацията на цялото тяло е нула по отношение на всяка точка от сегмента ОТ 1 ОТ 2. Така центърът на тежестта на съставното тяло лежи върху сегмента ОТ 1 ОТ 2 .

Твърдение 2 предполага важен практически извод, който е ясно формулиран под формата на инструкции.

инструкция,

как да се намери центърът на тежестта на твърдо тяло, ако може да се счупи

на части, като позициите на центровете на тежестта на всяка от тях са известни

1. Заменете всяка част с маса, разположена в центъра на тежестта на тази част.

2. Намерете център на тежестта(и това е същото като центъра на тежестта) на получената система от точкови маси, като изберете удобна координатна система х 0при, по формулите:

Наистина, нека позиционираме съставното тяло по такъв начин, че сегментът ОТ 1 ОТ 2 беше хоризонтално и ще го окачим на конци в точки ОТ 1 и ОТ 2 (фиг. 27.8, а). Ясно е, че тялото ще бъде в равновесие. И този баланс няма да бъде нарушен, ако заменим всяко тяло с точкови маси T 1 и T 2 (фиг. 27.8, b).

Ориз. 27.8

СПРИ СЕ! Решете сами: C3.

Задача 27.2.Топки с маса са поставени в два върха на равностранен триъгълник Tвсеки. Третият връх съдържа топка с маса 2 T(Фиг. 27.9, а). Страна на триъгълник а. Определете центъра на тежестта на тази система.

T 2T а	Ориз. 27.9
x C = ? при C = ?

Решение. Въвеждаме координатната система х 0при(Фиг. 27.9, b). Тогава

,

.

Отговор: x C = а/2; ; центърът на тежестта лежи на половината от височината AD.

Темата е относително лесна за усвояване, но е изключително важна при изучаването на курса по съпротивление на материалите. Основното внимание тук трябва да се обърне на решаването на проблеми както с плоски и геометрични форми, така и със стандартни валцувани профили.

Въпроси за самоконтрол

1. Какъв е центърът на паралелните сили?

Центърът на успоредните сили е точката, през която минава линията на резултантната система от успоредни сили, приложени в дадени точки, с всяка промяна в посоката на тези сили в пространството.

2. Как да намерим координатите на центъра на успоредните сили?

За да определим координатите на центъра на успоредните сили, използваме теоремата на Вариньон.

Относителна ос х

Mx(R) = ΣMx(Fk), - y C R = Σy kFk и y C = Σy kFk /Σ Fk .

Относителна ос г

M y (R) = ΣM y (Fk), - x C R = Σx kFk и x C = Σx kFk /Σ Fk .

За определяне на координатата z C , завъртете всички сили на 90°, така че да станат успоредни на оста г (Фигура 1.5, b). Тогава

M z (R) = ΣM z (Fk), - z C R = Σz kFk и z C = Σz kFk /Σ Fk .

Следователно формулата за определяне на радиус вектора на центъра на успоредните сили приема формата

r C = Σr kFk /Σ Fk.

3. Какъв е центърът на тежестта на тялото?

Център на тежестта - точка, неизменно свързана с твърдо тяло, през която резултатът от гравитационните сили, действащи върху частиците на това тяло, преминава във всяка позиция на тялото в пространството. За еднородно тяло с център на симетрия (кръг, топка, куб и т.н.) центърът на тежестта се намира в центъра на симетрия на тялото. Положението на центъра на тежестта на твърдото тяло съвпада с положението на неговия център на масата.

4. Как се намира центърът на тежестта на правоъгълник, триъгълник, кръг?

За да намерите центъра на тежестта на триъгълник, трябва да нарисувате триъгълник - фигура, състояща се от три сегмента, свързани помежду си в три точки. Преди да намерите центъра на тежестта на фигурата, трябва да използвате линийка, за да измерите дължината на едната страна на триъгълника. В средата на страната поставете знак, след което свържете противоположния връх и средата на сегмента с линия, наречена медиана. Повторете същия алгоритъм с втората страна на триъгълника, а след това и с третата. Резултатът от вашата работа ще бъде три медиани, които се пресичат в една точка, която ще бъде центърът на тежестта на триъгълника. Ако е необходимо да се определи центърът на тежестта на кръгъл диск с хомогенна структура, тогава първо намерете точката на пресичане на диаметрите на кръга. Това ще бъде центърът на тежестта на това тяло. Като се имат предвид такива фигури като топка, обръч и хомогенен правоъгълен паралелепипед, може безопасно да се каже, че центърът на тежестта на обръча ще бъде в центъра на фигурата, но извън неговите точки центърът на тежестта на топката е геометричният център на сферата, а в последния случай центърът на тежестта е пресечните диагонали на правоъгълен паралелепипед.

5. Как да намерим координатите на центъра на тежестта на плосък съставен участък?

Метод на разделяне:ако плоска фигура може да бъде разделена на краен брой такива части, за всяка от които е известно положението на центъра на тежестта, тогава координатите на центъра на тежестта на цялата фигура се определят по формулите:

X C = ( s k x k) / S; Y C = ( s k y k) / S,

където x k, y k са координатите на центровете на тежестта на частите на фигурата;

s k - тяхната площ;

S \u003d s k - площта на цялата фигура.

6. Център на тежестта

1. В какъв случай е достатъчно да се определи една координата чрез изчисление, за да се определи центърът на тежестта?

В първия случай за определяне на центъра на тежестта е достатъчно да се определи една координата.Тялото е разделено на краен брой части, за всяка от които позицията на центъра на тежестта ° С и площ С известен. Например проекцията на тяло върху равнина xOy (Фигура 1.) може да се представи като две плоски фигури с площи S1 и S2 (S = S 1 + S 2 ). Центровете на тежестта на тези фигури са в точките C 1 (x 1, y 1) и C 2 (x 2, y 2) . Тогава координатите на центъра на тежестта на тялото са

Тъй като центровете на фигурите лежат на оста y (x = 0), намираме само координатата Нас.

2 Как се взема предвид площта на отвора на фигура 4 във формулата за определяне на центъра на тежестта на фигурата?

Метод на отрицателната маса

Този метод се състои в това, че тяло със свободни кухини се счита за твърдо, а масата на свободните кухини се счита за отрицателна. Формата на формулите за определяне на координатите на центъра на тежестта на тялото не се променя.

По този начин, когато се определя центърът на тежестта на тяло със свободни кухини, трябва да се използва методът на разделяне, но масата на кухините трябва да се счита за отрицателна.

имам идеяза центъра на успоредните сили и неговите свойства;

знаяформули за определяне на координатите на центъра на тежестта на плоски фигури;

да бъде в състояние даопределяне на координатите на центъра на тежестта на плоски фигури с прости геометрични форми и стандартни валцовани профили.

ЕЛЕМЕНТИ НА КИНЕМАТИКАТА И ДИНАМИКАТА
След като изучавате кинематиката на точка, обърнете внимание на факта, че праволинейното движение на точка, както неравномерно, така и равномерно, винаги се характеризира с наличието на нормално (центростремително) ускорение. С транслационното движение на тялото (характеризиращо се с движението на всяка от неговите точки) са приложими всички формули на кинематиката на точка. Формулите за определяне на ъгловите стойности на тяло, въртящо се около фиксирана ос, имат пълна семантична аналогия с формулите за определяне на съответните линейни стойности на транслационно движещо се тяло.

Тема 1.7. Точкова кинематика
Когато изучавате темата, обърнете внимание на основните понятия на кинематиката: ускорение, скорост, път, разстояние.

Въпроси за самоконтрол

1. Каква е относителността на понятията за покой и движение?

Механичното движение е промяна в движението на тялото или (неговите части) в пространството спрямо други тела с течение на времето. Полетът на хвърлен камък, въртенето на колело са примери за механично движение.

2. Дефинирайте основните понятия на кинематиката: траектория, разстояние, път, скорост, ускорение, време.

Скоростта е кинематична мярка за движението на точка, характеризираща скоростта на промяна на нейното положение в пространството. Скоростта е векторно количество, т.е. характеризира се не само от модула (скаларен компонент), но и от посоката в пространството.

Както е известно от физиката, при равномерно движение скоростта може да се определи от дължината на изминатия път за единица време: v = s / t = const (приема се, че началото на пътя и времето съвпадат). При праволинейно движение скоростта е постоянна както по абсолютна стойност, така и по посока, а нейният вектор съвпада с траекторията.

Единица за скорост в системата SIсе определя от съотношението дължина / време, т.е. m / s.

Ускорението е кинематична мярка за промяната в скоростта на дадена точка от времето. С други думи, ускорението е скоростта на промяна на скоростта.
Подобно на скоростта, ускорението е векторно количество, т.е. характеризира се не само с модула, но и с посоката в пространството.

При праволинейно движение векторът на скоростта винаги съвпада с траекторията и следователно векторът на изменение на скоростта също съвпада с траекторията.

От курса на физиката е известно, че ускорението е промяна в скоростта за единица време. Ако за кратък период от време Δt скоростта на точката се промени с Δv, тогава средното ускорение за този период от време беше: a cp = Δv/Δt.

Средното ускорение не дава представа за истинската величина на промяната в скоростта във всеки момент от времето. В същото време е очевидно, че колкото по-кратък е разглежданият период от време, през който е настъпила промяната в скоростта, толкова по-близо ще бъде стойността на ускорението до истинската (моментална).
Оттук и дефиницията: истинското (мигновено) ускорение е границата, към която клони средното ускорение, когато Δt клони към нула:

a = lim a cf при t→0 или lim Δv/Δt = dv/dt.

Като се има предвид, че v \u003d ds / dt, получаваме: a \u003d dv / dt \u003d d 2 s / dt 2.

Истинското ускорение при праволинейно движение е равно на първата производна на скоростта или втората производна на координатата (разстоянието от началото на движението) по отношение на времето. Единицата за ускорение е метър, разделен на секунда на квадрат (m/s 2).

Траектория- линия в пространството, по която се движи материална точка.
Пътекае дължината на пътя. Изминатият път l е равен на дължината на дъгата от траекторията, измината от тялото за известно време t. Пътят е скаларна стойност.

Разстояниеопределя позицията на точка върху нейната траектория и се измерва от някакво начало. Разстоянието е алгебрична величина, тъй като в зависимост от позицията на точката спрямо началото и от приетата посока на оста на разстоянието, то може да бъде както положително, така и отрицателно. За разлика от разстоянието, пътят, изминат от точка, винаги се определя от положително число. Пътят съвпада с абсолютната стойност на разстоянието само ако движението на точката започва от началото и следва пътя в една посока.

В общия случай на движение на точката пътят е равен на сумата от абсолютните стойности на разстоянията, изминати от точката за даден период от време:

3. По какви начини може да се даде законът за движение на точка?

1. Естественият начин за задаване на движението на точка.

С естествения метод за уточняване на движението се предполага да се определят параметрите на движението на точка в подвижна отправна система, чието начало съвпада с движещата се точка, а осите са допирателната, нормалата и бинормалата към траектория на точката във всяка нейна позиция. За да зададете закона за движение на точка по естествен начин, е необходимо:

1) познава траекторията на движение;

2) задайте референтната точка на тази крива;

3) установяване на положителна посока на движение;

4) дайте закона за движение на точка по тази крива, т.е. изразява разстоянието от началото до позицията на точка на кривата в даден момент ∪OM=S(t) .

2.Векторен метод за задаване на движението на точка

В този случай позицията на точка в равнина или в пространството се определя от векторна функция. Този вектор се изчертава от фиксирана точка, избрана за начало, краят му определя позицията на движещата се точка.

3. Координатен метод за уточняване на движението на точка

В избраната координатна система координатите на движещата се точка са дадени като функция на времето. В правоъгълна декартова координатна система това ще бъдат уравненията:

4. Как е насочен векторът на истинската скорост на точката при криволинейно движение?

При неравномерно движение на точка модулът на нейната скорост се променя с времето.
Представете си точка, чието движение е дадено по естествен начин от уравнението s = f(t).

Ако за кратък период от време Δt точката е изминала пътя Δs, тогава нейната средна скорост е равна на:

vav = ∆s/∆t.

Средната скорост не дава представа за истинската скорост във всеки даден момент от време (истинската скорост иначе се нарича мигновена). Очевидно е, че колкото по-кратък е интервалът от време, за който се определя средната скорост, толкова по-близо до моментната скорост ще бъде нейната стойност.

Истинската (моментна) скорост е границата, към която клони средната скорост, когато Δt клони към нула:

v = lim v cf при t→0 или v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.

Така числената стойност на истинската скорост е v = ds/dt.
Истинската (моментна) скорост за всяко движение на точка е равна на първата производна на координатата (т.е. разстоянието от началото на движението) по отношение на времето.

Когато Δt клони към нула, Δs също клони към нула и, както вече разбрахме, векторът на скоростта ще бъде насочен тангенциално (т.е. ще съвпадне с истинския вектор на скорост v). От това следва, че границата на вектора на условната скорост v p, равна на границата на съотношението на вектора на преместване на точката към безкрайно малък интервал от време, е равна на вектора на истинската скорост на точката.

5. Как са насочени допирателното и нормалното ускорение на точката?

Посоката на вектора на ускорението съвпада с посоката на промяна на скоростта Δ = - 0

Тангенциалното ускорение в дадена точка е насочено тангенциално към траекторията на точката; ако движението е ускорено, тогава посоката на вектора на тангенциалното ускорение съвпада с посоката на вектора на скоростта; ако движението е бавно, тогава посоката на вектора на тангенциалното ускорение е противоположна на посоката на вектора на скоростта.

6. Какво движение прави точката, ако тангенциалното ускорение е нула, а нормалното не се променя с времето?

Равномерно криволинейно движениехарактеризиращ се с факта, че числената стойност на скоростта е постоянна ( v= конст), скоростта се променя само по посока. В този случай тангенциалното ускорение е нула, тъй като v= конст(фиг.b),

и нормалното ускорение не е равно на нула, тъй като r - крайна стойност.

7. Как изглеждат кинематичните графики с равномерно и еднакво променливо движение?

При равномерно движение тялото изминава равни разстояния за всякакви равни интервали от време. За кинематично описание на равномерно праволинейно движение, координатната ос ОХудобни за поставяне по линията на движение. Положението на тялото по време на равномерно движение се определя чрез задаване на една координата х. Векторът на преместване и векторът на скоростта винаги са насочени успоредно на координатната ос ОХ. Следователно преместването и скоростта по време на праволинейно движение могат да бъдат проектирани върху оста ОХи разглеждайте техните проекции като алгебрични величини.

При равномерно движение пътят се променя според линейна връзка. в координати. Графиката е наклонена линия.

В резултат на изучаването на темата студентът трябва:

имам идеяза пространството, времето, траекторията; средна и истинска скорост;

знаяначини за уточняване на движението на точка; параметри на движение на точката по дадена траектория.

Определянето на центъра на тежестта на произволно тяло чрез последователно сумиране на силите, действащи върху отделните му части, е трудна задача; улеснява се само за тела със сравнително проста форма.

Нека тялото се състои само от две тежести с маса и свързани с прът (фиг. 125). Ако масата на пръта е малка в сравнение с масите и , тогава тя може да бъде пренебрегната. Всяка от масите се влияе от гравитацията, равна съответно на и; и двете са насочени вертикално надолу, тоест успоредни един на друг. Както знаем, резултантната на две успоредни сили е приложена в точката , която се определя от условието

Ориз. 125. Определяне на центъра на тежестта на тяло, състоящо се от два товара

Следователно центърът на тежестта разделя разстоянието между два товара в съотношение, обратно на отношението на техните маси. Ако това тяло е окачено в точка, то ще остане в равновесие.

Тъй като две равни маси имат общ център на тежестта в точка, която разполовява разстоянието между тези маси, веднага става ясно, че например центърът на тежестта на хомогенен прът се намира в средата на пръта (фиг. 126) .

Тъй като всеки диаметър на хомогенен кръгъл диск го разделя на две напълно еднакви симетрични части (фиг. 127), центърът на тежестта трябва да лежи върху всеки диаметър на диска, т.е. в точката на пресичане на диаметрите - в геометричния центъра на диска. Разсъждавайки по подобен начин, можем да установим, че центърът на тежестта на хомогенна топка е в нейния геометричен център, центърът на тежестта на хомогенен правоъгълен паралелепипед е в пресечната точка на неговите диагонали и т.н. Центърът на тежестта на обръч или пръстен лежи в центъра му. Последният пример показва, че центърът на тежестта на тялото може да лежи извън тялото.

Ориз. 126. Центърът на тежестта на еднороден прът е в средата му

Ориз. 127. Центърът на хомогенен диск лежи в неговия геометричен център

Ако тялото има неправилна форма или ако е нехомогенно (например има кухини), тогава изчисляването на позицията на центъра на тежестта често е трудно и тази позиция е по-удобна за намиране чрез опит. Нека, например, е необходимо да се намери центърът на тежестта на парче шперплат. Нека го закачим на конец (фиг. 128). Очевидно в равновесно положение центърът на тежестта на тялото трябва да лежи върху продължението на нишката, в противен случай силата на тежестта ще има момент спрямо точката на окачване, който ще започне да върти тялото. Следователно, начертавайки права линия върху нашето парче шперплат, представляваща продължението на нишката, можем да твърдим, че центърът на тежестта лежи на тази права линия.

Наистина, като окачим тялото в различни точки и начертаем вертикални линии, ще се уверим, че всички те се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на тежестта на тялото (тъй като трябва да лежи едновременно на всички такива линии). По подобен начин може да се определи положението на центъра на тежестта не само на плоска фигура, но и на по-сложно тяло. Положението на центъра на тежестта на самолета се определя чрез търкалянето му с колела върху платформата на везната. Резултатът от силите на тежестта върху всяко колело ще бъде насочен вертикално и можете да намерите линията, по която действа, по закона за добавяне на успоредни сили.

Ориз. 128. Точката на пресичане на вертикални линии, начертани през точките на окачване, е центърът на тежестта на тялото

При промяна на масите на отделните части на тялото или при промяна на формата на тялото се променя положението на центъра на тежестта. И така, центърът на тежестта на самолета се движи, когато горивото се изразходва от резервоарите, когато се зарежда багаж и т.н. За визуален експеримент, илюстриращ движението на центъра на тежестта, когато се променя формата на тялото, е удобно да се вземе две еднакви пръти, свързани с панта (фиг. 129). В случай, че прътите са продължение един на друг, центърът на тежестта лежи върху оста на прътите. Ако прътите са огънати на пантата, тогава центърът на тежестта е извън прътите, върху ъглополовящата на ъгъла, който образуват. Ако върху една от решетките се постави допълнително натоварване, тогава центърът на тежестта ще се премести към това натоварване.

Ориз. 129. а) Центърът на тежестта на прътите, свързани с шарнир, разположен на една права линия, лежи върху оста на прътите, б) Центърът на тежестта на огъната система от пръти е извън прътите

81.1. Къде е центърът на тежестта на две еднакви тънки пръчици с дължина 12 см и закрепени под формата на буквата Т?

81.2. Докажете, че центроидът на равномерна триъгълна плоча лежи в пресечната точка на медианите.

Ориз. 130. Към упражнение 81.3

81.3. Хомогенна дъска с маса 60 kg лежи върху две опори, както е показано на фиг. 130. Определете силите, действащи върху опорите.

Забележка.Центърът на тежестта на симетрична фигура е върху оста на симетрия.

Центърът на тежестта на пръта е в средата на височината. При решаване на проблеми се използват следните методи:

1. метод на симетрия: центърът на тежестта на симетричните фигури е върху оста на симетрия;

2. метод на разделяне: сложните участъци се разделят на няколко прости части, положението на центровете на тежестта на които е лесно да се определи;

3. метод на отрицателните площи: кухините (дупките) се разглеждат като част от сечение с отрицателна площ.

Примери за решаване на проблеми

Пример1.Определете позицията на центъра на тежестта на фигурата, показана на фиг. 8.4.

Решение

Разделяме фигурата на три части:

По подобен начин се определя при C = 4,5 см.

Пример 2Намерете позицията на центъра на тежестта на симетрична прътова ферма ADBE(фиг. 116), чиито размери са както следва: AB = 6м, D.E.= 3 м и EF= 1м.

Решение

Тъй като фермата е симетрична, нейният център на тежестта лежи върху оста на симетрия Д.Ф.С избраната (фиг. 116) система от координатни оси на абсцисата на центъра на тежестта на фермата

Следователно неизвестна е само ординатата при Cцентър на тежестта на фермата. За да го определим, разделяме фермата на отделни части (пръчки). Дължините им се определят от съответните триъгълници.

от ∆AEFние имаме

от ΔADFние имаме

Центърът на тежестта на всеки прът е в средата му, координатите на тези центрове се определят лесно от чертежа (фиг. 116).

Намерените дължини и ординати на центровете на тежестта на отделните части на фермата се въвеждат в таблицата и по формулата

определяне на ординатата насцентъра на тежестта на тази плоска ферма.

Следователно центърът на тежестта ОТцялата ферма лежи на оста Д.Ф.симетрия на фермата на разстояние 1,59 m от точката Е.

Пример 3Определете координатите на центъра на тежестта на съставното сечение. Секцията се състои от лист и валцовани профили (фиг. 8.5).

Забележка.Често рамките са заварени от различни профили, създавайки необходимия дизайн. По този начин се намалява консумацията на метал и се образува структура с висока якост.

За стандартните валцувани профили са известни техните собствени геометрични характеристики. Те са дадени в съответните стандарти.

Решение

1. Обозначаваме цифрите с числа и изписваме необходимите данни от таблиците:

1 - канал № 10 (GOST 8240-89); височина h = 100 mm; ширина на рафта b= 46 mm; площ на напречното сечение A 1\u003d 10,9 cm 2;

2 - I-лъч № 16 (GOST 8239-89); височина 160 мм; ширина на рафта 81 мм; площ на сечението A 2 - 20,2 cm 2;

3 - лист 5x100; дебелина 5 мм; ширина 100 мм; площ на сечението A 3 \u003d 0,5 10 \u003d 5 cm 2.

2. От чертежа могат да се определят координатите на центровете на тежестта на всяка фигура.

Композитното сечение е симетрично, така че центърът на тежестта е върху оста на симетрия и координатната хС = 0.

3. Определяне на центъра на тежестта на съставно сечение:

Пример 4Определете координатите на центъра на тежестта на сечението, показано на фиг. осем, а.Секцията се състои от два ъгъла 56x4 и канал № 18. Проверете правилността на определяне на позицията на центъра на тежестта. Посочете позицията му в секцията.

Решение

1. : два ъгъла 56 x 4 и канал № 18. Нека ги обозначим с 1, 2, 3 (виж фиг. 8, а).

2. Посочете центровете на тежесттавсеки профил използване на таблица. 1 и 4 прил. I, и ги обозначават C 1, C 2,От 3 .

3. Да изберем система от координатни оси.ос присъвместими с оста на симетрия и ос хнарисувайте през центровете на тежестта на ъглите.

4. Определете координатите на центъра на тежестта на целия участък.Тъй като оста присъвпада с оста на симетрия, след това минава през центъра на тежестта на сечението, следователно x s= 0. Координата насдефинирайте по формулата

Използвайки таблиците за приложение, ние определяме площите на всеки профил и координатите на центровете на тежестта:

Координати 1и на 2са равни на нула, тъй като ос хпреминава през центровете на тежестта на ъглите. Заместете получените стойности във формулата, за да определите нас:

5. Нека посочим центъра на тежестта на сечението на фиг. 8 и ще го обозначим с буквата С.Показваме разстоянието y C \u003d 2,43 cm от оста хдо точка С.

Тъй като ъглите са разположени симетрично, имат еднаква площ и координати, тогава A 1 \u003d A 2, y 1 = y 2 .Следователно формулата за определяне при Cможе да се опрости:

6. Да направим проверка.За тази ос хнека начертаем по долния ръб на ъгловия рафт (фиг. 8, b). ос приНека го оставим както в първото решение. Формули за определяне x Cи при Cне се променят:

Площите на профила ще останат същите, но координатите на центровете на тежестта на ъглите и канала ще се променят. Нека ги изпишем:

Намиране на координатата на центъра на тежестта:

Според намерените координати x sи наспоставяме на чертежа точка C. Положението на центъра на тежестта, намерено по два начина, е в една и съща точка. Нека го проверим. Разлика между координатите при s,намерени в първото и второто решение е: 6,51 - 2,43 \u003d 4,08 cm.

Това е равно на разстоянието между осите x в първото и второто решение: 5,6 - 1,52 = 4,08 cm.

Отговор: при= 2,43 cm, ако оста x минава през центровете на тежестта на ъглите, или y c = 6,51 cm, ако оста x минава по долния ръб на ъгловия фланец.

Пример 5Определете координатите на центъра на тежестта на сечението, показано на фиг. 9, а.Участъкът се състои от I-лъч № 24 и канал № 24а. Покажете позицията на центъра на тежестта върху секцията.

Решение

1.Нека разделим секцията на валцувани профили: I-лъч и канал. Нека ги наречем 1 и 2.

3. Посочваме центровете на тежестта на всеки профил C 1 и C 2 с помощта на таблици за приложение.

4. Да изберем система от координатни оси. Оста x е съвместима с оста на симетрия, а оста y прекарваме през центъра на тежестта на I-лъча.

5. Определете координатите на центъра на тежестта на сечението. Y-координатата c = 0, тъй като оста хсъвпада с оста на симетрия. Координатата x с се определя по формулата

Според таблицата 3 и 4 ап. I и схемата на раздела, ние определяме

Заменете числовите стойности във формулата и получете

5. Нека маркираме точката C (център на тежестта на секцията) според намерените стойности x c и y c (виж фиг. 9, а).

Проверката на решението трябва да се извърши независимо с позицията на осите, както е показано на фиг. 9, б. В резултат на решението получаваме x c \u003d 11,86 см. Разликата между стойностите на x c за първото и второто решение е 11,86 - 6,11 \u003d 5,75 см, което е равно на разстоянието между y оси със същите решения b dv / 2 = 5,75 cm.

Отговор: x c \u003d 6,11 cm, ако оста y минава през центъра на тежестта на I-лъча; x c \u003d 11,86 cm, ако оста y минава през лявата крайна точка на I-лъча.

Пример 6Железопътният кран лежи върху релси, разстоянието между които е AB = 1,5 m (фиг. 1.102). Силата на тежестта на количката на крана е G r = 30 kN, центърът на тежестта на количката е в точка C, която лежи на линията KL на пресечната точка на равнината на симетрия на количката с равнината на чертежа. Силата на тежестта на лебедката на крана Q l \u003d 10 kN се прилага в точката Д.В точка E се прилага силата на тежестта на противотежестта G„=20 kN. В точка H се прилага силата на тежестта на стрелата G c = 5 kN. Надвесът на крана спрямо линията KL е 2 m. коефициент на устойчивост на крана в ненатоварено състояние и какъв товар Еможе да се повдигне с този кран, при условие че коефициентът на стабилност трябва да бъде поне два.

Решение

1. В ненатоварено състояние кранът има опасност от преобръщане при завъртане около релсата НО.Следователно, по отношение на точката НОмомент на стабилност

2. Преобръщащ момент около точка НОсъздадена от гравитацията на противотежестта, т.е.

3. Оттук и коефициентът на устойчивост на крана в ненатоварено състояние

4. При натоварване на стрелата на крана с товар Еима опасност от преобръщане на крана при завъртане около релсата B. Следователно по отношение на точката ATмомент на стабилност

5. Преобръщащ момент спрямо релсата AT

6. Според условието на задачата работата на крана е разрешена с коефициент на устойчивост k B ≥ 2, т.е.

Контролни въпроси и задачи

1. Защо силите на привличане към Земята, действащи върху точките на тялото, могат да се приемат като система от паралелни сили?

2. Запишете формули за определяне на положението на центъра на тежестта на нехомогенни и еднородни тела, формули за определяне на положението на центъра на тежестта на плоски секции.

3. Повторете формулите за определяне на положението на центъра на тежестта на прости геометрични фигури: правоъгълник, триъгълник, трапец и половин кръг.

4.
Какво се нарича статичен момент на площта?

5. Изчислете статичния момент на тази фигура спрямо оста вол. ч= 30 см; b= 120 см; с= 10 cm (фиг. 8.6).

6. Определете координатите на центъра на тежестта на защрихованата фигура (фиг. 8.7). Размерите са дадени в мм.

7. Определете координатата прифигури 1 на съставното сечение (фиг. 8.8).

Когато решавате, използвайте референтните данни на таблиците на GOST "Гореща валцована стомана" (вижте Приложение 1).

6.1. Главна информация

Център на паралелни сили
Помислете за две успоредни сили, насочени в една и съща посока и , приложени към тялото в точките НО 1 и НО 2 (фиг.6.1). Тази система от сили има резултатна, чиято линия на действие минава през определена точка ОТ. Точкова позиция ОТможе да се намери с помощта на теоремата на Varignon:

Ако завъртите силата и близо до точките НО 1 и НО 2 в една посока и под същия ъгъл, тогава получаваме нова система от успоредни мазнини с еднакви модули. В този случай тяхната резултатна също ще премине през точката ОТ. Такава точка се нарича център на успоредни сили.
Помислете за система от успоредни и еднакво насочени сили, приложени към твърдо тяло в точки. Тази система има резултат.
Ако всяка сила от системата се завърти в близост до точките на тяхното приложение в една и съща посока и под същия ъгъл, тогава ще се получат нови системи от еднакво насочени успоредни сили с еднакви модули и точки на приложение. Резултатът от такива системи ще има същия модул Р, но всеки път в различна посока. Положена сила Е 1 и Е 2 открият, че техният резултат Р 1 , който винаги ще минава през точката ОТ 1 , чието положение се определя от равенството . Допълнително добавяне Р 1 и Е 3 , намерете техния резултат, който винаги ще минава през точката ОТ 2 лежи на линията НО 3 ОТ 2. Довеждайки процеса на добавяне на сили до края, ще стигнем до извода, че резултатната от всички сили наистина винаги ще минава през една и съща точка ОТ, чиято позиция спрямо точките ще остане непроменена.
Точка ОТ, през която минава линията на действие на произтичащата система от успоредни сили за всяко въртене на тези сили в близост до точките на тяхното прилагане в една и съща посока под същия ъгъл, се нарича център на успоредни сили (фиг. 6.2).

Фиг.6.2

Нека определим координатите на центъра на паралелните сили. Тъй като позицията на точката ОТпо отношение на тялото е непроменена, то нейните координати не зависят от избора на координатната система. Завъртете всички сили близо до тяхното приложение, така че да станат успоредни на оста OUи приложете теоремата на Varignon към въртящи се сили. защото R"е резултантната на тези сили, тогава според теоремата на Вариньон имаме , защото , , получаваме

Оттук намираме координатата на центъра на успоредните сили zc:

За определяне на координатата xcсъставете израз за момента на силите около оста Оз.

За определяне на координатата ycзавъртете всички сили, така че да станат успоредни на оста Оз.

Позицията на центъра на паралелните сили спрямо началото (фиг. 6.2) може да се определи от неговия радиус вектор:

6.2. Център на тежестта на твърдо тяло

център на тежесттана твърдо тяло е точка, неизменно свързана с това тяло ОТ, през която минава линията на действие на резултантната на силите на тежестта на дадено тяло, за всяко положение на тялото в пространството.
Центърът на тежестта се използва при изследване на стабилността на равновесните положения на телата и непрекъснатите среди под въздействието на гравитацията и в някои други случаи, а именно: в съпротивлението на материалите и в строителната механика - при използване на правилото на Верещагин.
Има два начина за определяне на центъра на тежестта на тялото: аналитичен и експериментален. Аналитичният метод за определяне на центъра на тежестта следва пряко от концепцията за центъра на паралелните сили.
Координатите на центъра на тежестта, като център на паралелни сили, се определят по формулите:

където Р- тегло на цялото тяло; pk- тегло на телесните частици; xk, yk, zk- координати на частици от тялото.
За хомогенно тяло теглото на цялото тяло и всяка част от него е пропорционално на обема P=Vγ, pk =vk γ, където γ - тегло на единица обем, V- обем на тялото. Заместване на изрази П, pkвъв формулите за определяне на координатите на центъра на тежестта и, намалявайки с общ фактор γ , получаваме:

Точка ОТ, чиито координати се определят от получените формули, се нарича центъра на тежестта на обема.
Ако тялото е тънка хомогенна плоча, тогава центърът на тежестта се определя по формулите:

където С- площ на цялата плоча; ск- площта на неговата част; xk, yk- координати на центъра на тежестта на частите на плочата.
Точка ОТв този случай се нарича зона на центъра на тежестта.
Числителите на изрази, които определят координатите на центъра на тежестта на равнинни фигури, се наричат ​​с статични моменти на районаотносно осите прии х:

Тогава центърът на тежестта на площта може да се определи по формулите:

За тела, чиято дължина е многократно по-голяма от размерите на напречното сечение, се определя центърът на тежестта на линията. Координатите на центъра на тежестта на линията се определят по формулите:

където Л- дължина на линията; лк- дължината на частите му; xk, yk, zk- координата на центъра на тежестта на частите на линията.

6.3. Методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на телата

Въз основа на получените формули е възможно да се предложат практически методи за определяне на центровете на тежестта на телата.
1. Симетрия. Ако тялото има център на симетрия, тогава центърът на тежестта е в центъра на симетрия.
Ако тялото има равнина на симетрия. Например равнината XOU, тогава центърът на тежестта лежи в тази равнина.
2. разделяне. За тела, състоящи се от прости тела, се използва методът на разделяне. Тялото е разделено на части, чийто център на тежестта се намира по метода на симетрията. Центърът на тежестта на цялото тяло се определя по формулите за център на тежестта на обема (площта).

Пример. Определете центъра на тежестта на плочата, показана на фигурата по-долу (фиг. 6.3). Плочата може да бъде разделена на правоъгълници по различни начини и да се определят координатите на центъра на тежестта на всеки правоъгълник и тяхната площ.

Фиг.6.3

Отговор: х° С=17,0см; г° С=18,0 см.

3. Допълнение. Този метод е специален случай на метода на разделяне. Използва се, когато тялото има нарези, нарези и др., ако са известни координатите на центъра на тежестта на тялото без нарез.

Пример. Определете центъра на тежестта на кръгла плоча с изрез с радиус r = 0,6 Р(фиг. 6.4).

Фиг.6.4

Кръглата плоча има център на симетрия. Нека поставим началото на координатите в центъра на плочата. Площ на плоча без прорез, зона на прорез. Назъбена площ на плочата; .
Назъбената плоча има ос на симетрия O1 x, следователно, yc=0.

4. Интеграция. Ако тялото не може да бъде разделено на краен брой части, чиито позиции на центровете на тежестта са известни, тялото се разделя на произволни малки обеми, за които формулата, използваща метода на разделяне, приема формата: .
По-нататък те преминават към границата, клонейки елементарните обеми към нула, т.е. договаряне на обеми в точки. Сумите се заменят с интеграли, разширени до целия обем на тялото, след което формулите за определяне на координатите на центъра на тежестта на обема приемат формата:

Формули за определяне на координатите на центъра на тежестта на района:

Координатите на центъра на тежестта на площта трябва да се определят при изследване на равновесието на плочите, при изчисляване на интеграла на Мор в строителната механика.

Пример. Определете центроида на кръгова дъга с радиус Рс централен ъгъл AOB= 2α (фиг. 6.5).

Ориз. 6.5

Дъгата на окръжност е симетрична на оста о, следователно центърът на тежестта на дъгата лежи върху оста о, yс = 0.
Според формулата за центъра на тежестта на линия:

6.Експериментален начин. Центровете на тежестта на нехомогенни тела със сложна конфигурация могат да се определят експериментално: чрез окачване и претегляне. Първият начин е, че тялото е окачено на кабел в различни точки. Посоката на въжето, на което е окачено тялото, ще даде посоката на гравитацията. Пресечната точка на тези посоки определя центъра на тежестта на тялото.
Методът на претегляне се състои в това, че първо се определя теглото на тялото, като например автомобил. След това на везните се определя налягането на задния мост на автомобила върху опората. Чрез съставяне на уравнение на равновесие по отношение на някаква точка, например, оста на предните колела, можете да изчислите разстоянието от тази ос до центъра на тежестта на автомобила (фиг. 6.6).

Фиг.6.6

Понякога при решаване на задачи е необходимо да се прилагат едновременно различни методи за определяне на координатите на центъра на тежестта.

6.4. Центрове на тежестта на някои прости геометрични фигури

За да се определят центровете на тежестта на тела с обща форма (триъгълник, кръгова дъга, сектор, сегмент), е удобно да се използват референтни данни (Таблица 6.1).

Таблица 6.1

Координати на центъра на тежестта на някои еднородни тела

№	Име на фигурата	Снимка
	дъга от окръжност: центърът на тежестта на дъга от хомогенна окръжност е върху оста на симетрия (координатна yc=0). Ре радиусът на окръжността.
	Хомогенен кръгъл сектор yc=0). където α е половината от централния ъгъл; Ре радиусът на окръжността.
	сегмент: центърът на тежестта е разположен върху оста на симетрия (координат yc=0). където α е половината от централния ъгъл; Ре радиусът на окръжността.
	Полукръг:
	Триъгълник: центърът на тежестта на еднороден триъгълник е в точката на пресичане на неговите медиани. където x1, y1, x2, y2, x3, y3- координати на върховете на триъгълника
	Конус: центърът на тежестта на еднороден кръгъл конус лежи на неговата височина и е на разстояние 1/4 от височината от основата на конуса.