Как да изчислим вероятността от събитие. Формула за вероятност на събитието

„Случайността не е случайна“... Звучи като казал някой философ, но всъщност изучаването на случайностите е съдбата на великата наука математика. В математиката случайността е теорията на вероятността. В статията ще бъдат представени формули и примери за задачи, както и основните определения на тази наука.

Какво е теория на вероятностите?

Теорията на вероятностите е една от математическите дисциплини, които изучават случайни събития.

За да стане малко по-ясно, нека дадем малък пример: ако хвърлите монета нагоре, тя може да падне глави или опашки. Докато монетата е във въздуха, и двете възможности са възможни. Тоест вероятността от възможни последствия корелира 1:1. Ако една бъде изтеглена от тесте с 36 карти, тогава вероятността ще бъде посочена като 1:36. Изглежда, че няма какво да се изследва и прогнозира, особено с помощта на математически формули. Въпреки това, ако повторите определено действие много пъти, можете да идентифицирате определен модел и въз основа на него да предскажете изхода от събития в други условия.

За да обобщим всичко по-горе, теорията на вероятността в класическия смисъл изучава възможността за настъпване на едно от възможните събития в числен смисъл.

От страниците на историята

Теорията на вероятностите, формулите и примерите за първите задачи се появяват в далечното Средновековие, когато за първи път се появяват опити за предсказване на резултата от игрите с карти.

Първоначално теорията на вероятностите няма нищо общо с математиката. Обосновава се с емпирични факти или свойства на дадено събитие, които могат да бъдат възпроизведени на практика. Първите трудове в тази област като математическа дисциплина се появяват през 17 век. Основатели са Блез Паскал и Пиер Ферма. Дълго време те изучаваха хазарта и видяха определени модели, за които решиха да разкажат на обществеността.

Същата техника е изобретена от Кристиан Хюйгенс, въпреки че той не е бил запознат с резултатите от изследванията на Паскал и Ферма. Понятието "теория на вероятностите", формули и примери, които се считат за първи в историята на дисциплината, са въведени от него.

Не по-малко важни са трудовете на Якоб Бернули, теоремите на Лаплас и Поасон. Те направиха теорията на вероятностите по-скоро като математическа дисциплина. Теорията на вероятностите, формулите и примерите за основни задачи получиха днешния си вид благодарение на аксиомите на Колмогоров. В резултат на всички промени теорията на вероятностите се превърна в един от математическите клонове.

Основни понятия на теорията на вероятностите. Разработки

Основното понятие на тази дисциплина е „събитие“. Събитията са три вида:

Надежден.Тези, които така или иначе ще се случат (монетата ще падне).
Невъзможен.Събития, които няма да се случат при нито един сценарий (монетата ще остане да виси във въздуха).
Случаен.Тези, които ще се случат или няма да се случат. Те могат да бъдат повлияни от различни фактори, които са много трудни за прогнозиране. Ако говорим за монета, тогава случайни фактори, които могат да повлияят на резултата: физическите характеристики на монетата, нейната форма, първоначална позиция, сила на хвърляне и т.н.

Всички събития в примерите са обозначени с главни латински букви, с изключение на R, което има друга роля. Например:

A = "студентите дойдоха на лекцията."
Ā = "студентите не дойдоха на лекцията".

В практическите задачи събитията обикновено се записват с думи.

Една от най-важните характеристики на събитията е тяхната равна възможност. Тоест, ако хвърлите монета, всички варианти на първоначалното падане са възможни, докато не падне. Но събитията също не са еднакво вероятни. Това се случва, когато някой умишлено повлияе на резултата. Например "маркирани" карти за игра или зарове, в които центърът на тежестта е изместен.

Събитията също са съвместими и несъвместими. Съвместимите събития не изключват появата едно на друго. Например:

A = "студентът дойде на лекцията."
B = "студентът дойде на лекцията."

Тези събития са независими едно от друго и появата на едно от тях не влияе на появата на другото. Несъвместимите събития се определят от факта, че настъпването на едното изключва настъпването на другото. Ако говорим за една и съща монета, тогава загубата на "опашки" прави невъзможно появата на "глави" в същия експеримент.

Действия върху събития

Събитията могат да се умножават и събират, съответно в дисциплината са въведени логически връзки „И“ и „ИЛИ“.

Сумата се определя от факта, че или събитие A, или B, или и двете могат да възникнат едновременно. В случай, че са несъвместими, последният вариант е невъзможен, отпада или А, или Б.

Умножаването на събитията се състои в появата на А и Б едновременно.

Сега можете да дадете няколко примера, за да запомните по-добре основите, теорията на вероятностите и формулите. Примери за решаване на проблеми по-долу.

Упражнение 1: Фирмата кандидатства за договори за три вида работа. Възможни събития, които могат да възникнат:

A = "фирмата ще получи първия договор."
A 1 = "фирмата няма да получи първия договор."
B = "фирмата ще получи втори договор."
B 1 = "фирмата няма да получи втори договор"
C = "фирмата ще получи трети договор."
C 1 = "фирмата няма да получи трети договор."

Нека се опитаме да изразим следните ситуации, използвайки действия върху събития:

K = "фирмата ще получи всички договори."

В математическа форма уравнението ще изглежда така: K = ABC.

M = "фирмата няма да получи нито един договор."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Ние усложняваме задачата: H = "фирмата ще получи един договор." Тъй като не е известно кой договор ще получи фирмата (първи, втори или трети), е необходимо да се запише цялата гама от възможни събития:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

И 1 пр. н. е. 1 е поредица от събития, при които фирмата не получава първия и третия договор, но получава втория. Други възможни събития също се записват по съответния метод. Символът υ в дисциплината обозначава куп "ИЛИ". Ако преведем горния пример на човешки език, тогава компанията ще получи или третия договор, или втория, или първия. По същия начин можете да напишете други условия в дисциплината "Теория на вероятностите". Формулите и примерите за решаване на проблеми, представени по-горе, ще ви помогнат да го направите сами.

Всъщност вероятността

Може би в тази математическа дисциплина вероятността за събитие е централно понятие. Има 3 определения за вероятност:

класически;
статистически;
геометричен.

Всеки има своето място в изследването на вероятностите. Теорията на вероятностите, формулите и примерите (9 клас) използват предимно класическата дефиниция, която звучи така:

Вероятността за ситуация А е равна на съотношението на броя на резултатите, които благоприятстват нейното възникване, към броя на всички възможни резултати.

Формулата изглежда така: P (A) \u003d m / n.

И всъщност събитие. Ако се появи обратното на A, то може да се запише като Ā или A 1 .

m е броят на възможните благоприятни случаи.

n - всички събития, които могат да се случат.

Например A \u003d „извадете карта със сърдечен цвят“. В едно стандартно тесте има 36 карти, 9 от които са със сърца. Съответно формулата за решаване на проблема ще изглежда така:

P(A)=9/36=0.25.

В резултат на това вероятността от тестето да бъде изтеглена карта с цвят на сърце ще бъде 0,25.

към висшата математика

Сега стана малко известно какво е теорията на вероятностите, формули и примери за решаване на задачи, които се срещат в училищната програма. Теорията на вероятностите обаче се намира и във висшата математика, която се преподава в университетите. Най-често те оперират с геометрични и статистически определения на теорията и сложни формули.

Теорията на вероятностите е много интересна. Формули и примери (висша математика) е по-добре да започнете да учите от малък - от статистическа (или честотна) дефиниция на вероятността.

Статистическият подход не противоречи на класическия подход, но леко го разширява. Ако в първия случай беше необходимо да се определи с каква степен на вероятност ще се случи събитие, тогава в този метод е необходимо да се посочи колко често ще се случи. Тук се въвежда нова концепция за „относителна честота“, която може да бъде означена с W n (A). Формулата не се различава от класическата:

Ако класическата формула се изчислява за прогнозиране, то статистическата се изчислява според резултатите от експеримента. Вземете например една малка задача.

Отделът за технологичен контрол проверява продуктите за качество. От 100 продукта 3 са с лошо качество. Как да намерим честотната вероятност на качествен продукт?

A = "появата на качествен продукт."

W n (A)=97/100=0,97

Така честотата на качествен продукт е 0,97. От къде взе 97? От проверените 100 продукта 3 се оказват некачествени. От 100 изваждаме 3, получаваме 97, това е количеството на качествен продукт.

Малко за комбинаториката

Друг метод на теорията на вероятностите се нарича комбинаторика. Неговият основен принцип е, че ако определен избор A може да бъде направен по m различни начина, а избор B по n различни начина, тогава изборът на A и B може да бъде направен чрез умножение.

Например има 5 пътя от град А до град Б. Има 4 маршрута от град B до град C. Колко начина има да се стигне от град А до град В?

Просто е: 5x4 = 20, тоест има двадесет различни начина да стигнете от точка А до точка С.

Нека усложним задачата. Колко начина има за игра на карти в пасианса? В тесте от 36 карти това е началната точка. За да разберете броя на начините, трябва да „извадите“ една карта от началната точка и да умножите.

Тоест 36x35x34x33x32…x2x1= резултатът не се побира на екрана на калкулатора, така че може просто да се означи като 36!. Знак "!" до числото показва, че цялата серия от числа се умножава помежду си.

В комбинаториката има такива понятия като пермутация, поставяне и комбинация. Всеки от тях има своя собствена формула.

Подреден набор от елементи на набора се нарича оформление. Разположенията могат да се повтарят, което означава, че един елемент може да се използва няколко пъти. И без повторение, когато елементите не се повтарят. n са всички елементи, m са елементите, които участват в поставянето. Формулата за поставяне без повторения ще изглежда така:

A n m =n!/(n-m)!

Връзките на n елемента, които се различават само по реда на разположение, се наричат пермутации. В математиката това изглежда така: P n = n!

Комбинации от n елемента по m са такива съединения, в които е важно кои елементи са били и какъв е общият им брой. Формулата ще изглежда така:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула на Бернули

В теорията на вероятностите, както и във всяка дисциплина, има трудове на изключителни изследователи в своята област, които са я издигнали на ново ниво. Една от тези работи е формулата на Бернули, която ви позволява да определите вероятността определено събитие да се случи при независими условия. Това предполага, че появата на А в експеримент не зависи от появата или липсата на същото събитие в предишни или следващи тестове.

Уравнение на Бернули:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Вероятността (p) за настъпване на събитието (A) е непроменена за всеки опит. Вероятността ситуацията да се случи точно m пъти в n брой експеримента ще бъде изчислена по формулата, която е представена по-горе. Съответно възниква въпросът как да разберете числото q.

Ако събитие А се появи p брой пъти, то съответно може да не се случи. Единицата е число, което се използва за обозначаване на всички резултати от ситуация в дадена дисциплина. Следователно q е число, което показва възможността събитието да не се случи.

Сега знаете формулата на Бернули (теория на вероятностите). Примери за решаване на проблеми (първо ниво) ще бъдат разгледани по-долу.

Задача 2:Посетител на магазина ще направи покупка с вероятност 0,2. 6 посетители са влезли в магазина самостоятелно. Каква е вероятността посетител да направи покупка?

Решение: Тъй като не е известно колко посетители трябва да направят покупка, един или всичките шест, е необходимо да се изчислят всички възможни вероятности, като се използва формулата на Бернули.

A = "посетителят ще направи покупка."

В този случай: p = 0,2 (както е посочено в задачата). Съответно q=1-0.2=0.8.

n = 6 (тъй като в магазина има 6 клиента). Числото m ще се промени от 0 (нито един клиент няма да направи покупка) на 6 (всички посетители на магазина ще закупят нещо). В резултат на това получаваме решението:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Нито един от купувачите няма да направи покупка с вероятност 0,2621.

Как иначе се използва формулата на Бернули (теория на вероятностите)? Примери за решаване на проблеми (второ ниво) по-долу.

След горния пример възникват въпроси къде са отишли C и p. По отношение на p, число на степен 0 ще бъде равно на единица. Що се отнася до C, той може да бъде намерен по формулата:

C n m = n! /m!(n-m)!

Тъй като в първия пример m = 0, съответно C=1, което принципно не влияе на резултата. Използвайки новата формула, нека се опитаме да разберем каква е вероятността за закупуване на стоки от двама посетители.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Теорията на вероятностите не е толкова сложна. Формулата на Бернули, чиито примери са представени по-горе, е пряко доказателство за това.

Формула на Поасон

Уравнението на Поасон се използва за изчисляване на малко вероятни случайни ситуации.

Основна формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

В този случай λ = n x p. Ето такава проста формула на Поасон (теория на вероятностите). Примери за решаване на проблеми ще бъдат разгледани по-долу.

Задача 3О: Фабриката е произвела 100 000 части. Появата на дефектна част = 0,0001. Каква е вероятността да има 5 дефектни части в партида?

Както можете да видите, бракът е малко вероятно събитие и затова формулата на Поасон (теория на вероятностите) се използва за изчисление. Примери за решаване на проблеми от този вид не се различават от другите задачи на дисциплината, ние заместваме необходимите данни в горната формула:

A = "произволно избрана част ще бъде дефектна."

p = 0.0001 (според условието за задание).

n = 100000 (брой части).

m = 5 (дефектни части). Заменяме данните във формулата и получаваме:

R 100 000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375.

Точно като формулата на Бернули (теория на вероятностите), примери за решения, използващи които са написани по-горе, уравнението на Поасон има неизвестно е. По същество то може да се намери по формулата:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Има обаче специални таблици, които съдържат почти всички стойности на e.

Теорема на Моавр-Лаплас

Ако в схемата на Бернули броят на опитите е достатъчно голям и вероятността за възникване на събитие А във всички схеми е една и съща, тогава вероятността за възникване на събитие А определен брой пъти в поредица от опити може да бъде намира се по формулата на Лаплас:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

За да запомните по-добре формулата на Лаплас (теория на вероятностите), примери за задачи за помощ по-долу.

Първо намираме X m, заместваме данните (всички са посочени по-горе) във формулата и получаваме 0,025. Използвайки таблици, намираме числото ϕ (0,025), чиято стойност е 0,3988. Сега можете да замените всички данни във формулата:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Така че вероятността флаерът да удари точно 267 пъти е 0,03.

Формула на Бейс

Формулата на Байс (теория на вероятностите), примери за решаване на задачи, с помощта на които ще бъдат дадени по-долу, е уравнение, което описва вероятността от събитие въз основа на обстоятелствата, които могат да бъдат свързани с него. Основната формула е следната:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

А и Б са определени събития.

P(A|B) - условна вероятност, т.е. събитие A може да се случи, при условие че събитие B е вярно.

Р (В|А) - условна вероятност за събитие В.

И така, последната част от краткия курс "Теория на вероятностите" е формулата на Байс, примери за решаване на проблеми с които са по-долу.

Задача 5: В склада са докарани телефони от три фирми. В същото време част от телефоните, които се произвеждат в първия завод са 25%, във втория – 60%, в третия – 15%. Известно е също, че средният процент на дефектни продукти в първата фабрика е 2%, във втората - 4%, а в третата - 1%. Необходимо е да се намери вероятността произволно избран телефон да бъде дефектен.

A = "произволно взет телефон."

B 1 - телефонът, който направи първата фабрика. Съответно ще се появят въвеждащи B 2 и B 3 (за втория и третия завод).

В резултат на това получаваме:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - така че намерихме вероятността за всяка опция.

Сега трябва да намерите условните вероятности на желаното събитие, тоест вероятността за дефектни продукти във фирмите:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Сега заместваме данните във формулата на Bayes и получаваме:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Статията представя теорията на вероятностите, формули и примери за решаване на проблеми, но това е само върхът на айсберга на една обширна дисциплина. И след всичко написано, ще бъде логично да зададем въпроса дали теорията на вероятностите е необходима в живота. Трудно е за обикновен човек да отговори, по-добре е да попитате някой, който е ударил джакпота повече от веднъж с нейна помощ.

Вероятност - степента (относителна мярка, количествена оценка) на възможността за настъпване на някакво събитие. Когато причините за реално възникване на някакво възможно събитие надвишават противоположните причини, тогава това събитие се нарича вероятно, в противен случай - малко вероятно или невероятно. Преобладаването на положителните основания над отрицателните и обратното може да бъде в различна степен, в резултат на което вероятността (и невероятността) е по-голяма или по-малка. Следователно вероятността често се оценява на качествено ниво, особено в случаите, когато повече или по-малко точна количествена оценка е невъзможна или изключително трудна. Възможни са различни степени на "нива" на вероятност.
Изследването на вероятността от математическа гледна точка е специална дисциплина - теорията на вероятностите. В теорията на вероятностите и математическата статистика концепцията за вероятност е формализирана като числена характеристика на събитие - вероятностна мярка (или нейната стойност) - мярка за набор от събития (подмножества от набор от елементарни събития), приемащи стойности от
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Значение
(\displaystyle 1)
Съответства на валидно събитие. Невъзможно събитие има вероятност от 0 (обратното обикновено не винаги е вярно). Ако вероятността за настъпване на събитие е
(\displaystyle p)
Тогава вероятността да не се случи е равна на
(\displaystyle 1-p)
По-специално, вероятността
(\displaystyle 1/2)
Означава еднаква вероятност за настъпване и ненастъпване на събитието.
Класическата дефиниция на вероятността се основава на концепцията за равновероятността на резултатите. Вероятността е съотношението на броя на резултатите, които благоприятстват дадено събитие, към общия брой на еднакво вероятните резултати. Например, вероятността да получите глави или опашки при произволно хвърляне на монета е 1/2, ако се приеме, че се случват само тези две възможности и те са еднакво вероятни. Тази класическа „дефиниция“ на вероятността може да се обобщи за случая на безкраен брой възможни стойности - например, ако събитие може да се случи с еднаква вероятност във всяка точка (броят на точките е безкраен) от някаква ограничена област на пространство (равнина), тогава вероятността това да се случи в някаква част от тази допустима площ е равна на съотношението на обема (площта) на тази част към обема (площта) на площта на всички възможни точки .
Емпиричното "дефиниране" на вероятността е свързано с честотата на настъпване на дадено събитие, въз основа на факта, че при достатъчно голям брой опити честотата трябва да клони към обективната степен на вероятност на това събитие. В съвременното представяне на теорията на вероятностите, вероятността се дефинира аксиоматично, като специален случай на абстрактната теория за мярката на множество. Въпреки това връзката между абстрактната мярка и вероятността, която изразява степента на възможност за събитие, е именно честотата на неговото наблюдение.
Вероятностното описание на определени явления е широко разпространено в съвременната наука, по-специално в иконометрията, статистическата физика на макроскопичните (термодинамични) системи, където дори в случай на класическо детерминистично описание на движението на частиците, детерминистично описание на цялата система на частици не е практически възможно и целесъобразно. В квантовата физика самите описани процеси имат вероятностен характер.

Искате ли да знаете какви са математическите шансове вашият залог да е успешен? Тогава имаме две добри новини за вас. Първо: за да изчислите проходимостта, не е необходимо да извършвате сложни изчисления и да отделяте много време. Достатъчно е да използвате прости формули, работата с които ще отнеме няколко минути. Второ, след като прочетете тази статия, вие лесно ще можете да изчислите вероятността да преминете някоя от сделките си.

За да определите правилно проходимостта, трябва да предприемете три стъпки:

Изчислете процента на вероятността от изхода на дадено събитие според букмейкърската кантора;
Изчислете сами вероятността от статистически данни;
Разберете стойността на залог при двете вероятности.

Нека разгледаме подробно всяка от стъпките, като използваме не само формули, но и примери.

Бързо преминаване

Изчисляване на вероятността, заложена в коефициентите за залагане

Първата стъпка е да разберете с каква вероятност букмейкърът оценява шансовете за определен изход. В крайна сметка е ясно, че букмейкърите не залагат коефициенти просто така. За целта използваме следната формула:

Пб=(1/K)*100%,

където P B е вероятността за изход според букмейкърската кантора;

K - коефициентът на букмейкъра за резултата.

Да кажем, че коефициентът за победа на лондонския Арсенал в двубой срещу Байерн е 4. Това означава, че вероятността за неговата победа от БК се приема като (1/4) * 100% = 25%. Или Джокович играе срещу Юг. Коефициентът за победа на Новак е 1.2, шансовете му са равни на (1/1.2)*100%=83%.

Ето как самият букмейкър оценява шансовете за успех на всеки играч и отбор. След като завършихме първата стъпка, преминаваме към втората.

Изчисляване на вероятността за събитие от играча

Втората точка от нашия план е нашата собствена оценка на вероятността от събитието. Тъй като математически не можем да вземем предвид такива параметри като мотивация, игрови тонус, ще използваме опростен модел и ще използваме само статистиката от предишни срещи. За да изчислим статистическата вероятност за резултат, използваме формулата:

ПИ\u003d (UM / M) * 100%,

къдетоПИ- вероятността на събитието според играча;

UM - броят на успешните мачове, в които се е случило такова събитие;

M е общият брой съвпадения.

За да стане по-ясно, нека дадем примери. Анди Мъри и Рафаел Надал са изиграли 14 мача. В 6 от тях са регистрирани общо под 21 мача, в 8 - общо над. Необходимо е да разберете вероятността следващият мач да се играе за общ над: (8/14)*100=57%. Валенсия изигра 74 мача на Местая срещу Атлетико, в които постигна 29 победи. Вероятност за победа на Валенсия: (29/74)*100%=39%.

И всички знаем това само благодарение на статистиката от предишни игри! Естествено, такава вероятност не може да бъде изчислена за нов отбор или играч, така че тази стратегия за залагане е подходяща само за мачове, в които противниците не се срещат за първи път. Сега знаем как да определяме залаганията и собствените вероятности за резултати и имаме всички знания, за да стигнем до последната стъпка.

Определяне на стойността на залог

Стойността (стойността) на залога и проходимостта са пряко свързани: колкото по-висока е оценката, толкова по-голям е шансът за пас. Стойността се изчислява, както следва:

V=ПИ*K-100%,

където V е стойността;

P I - вероятността за изход според по-добрия;

K - коефициентът на букмейкъра за резултата.

Да кажем, че искаме да заложим, че Милан ще спечели мача срещу Рома и сме изчислили, че вероятността червено-черните да спечелят е 45%. Букмейкърът ни предлага коефициент 2.5 за този резултат. Би ли бил ценен такъв залог? Извършваме изчисления: V \u003d 45% * 2,5-100% \u003d 12,5%. Страхотно, имаме ценен залог с добри шансове за преминаване.

Да вземем друг случай. Мария Шарапова играе срещу Петра Квитова. Искаме да направим сделка Мария да спечели, което по наши изчисления е с 60% вероятност. Букмейкърите предлагат множител от 1,5 за този резултат. Определете стойността: V=60%*1.5-100=-10%. Както можете да видите, този залог е без стойност и трябва да се въздържате от него.

Всъщност формули (1) и (2) са кратък запис на условната вероятност, базирана на таблицата на непредвидените характеристики. Да се върнем към разглеждания пример (фиг. 1). Да кажем, че знаем, че определено семейство ще си купи широкоекранен телевизор. Каква е вероятността това семейство наистина да си купи такъв телевизор?

Ориз. 1. Поведение на купувача на широкоекранен телевизор

В този случай трябва да изчислим условната вероятност P (покупката е направена | покупката е планирана). Тъй като знаем, че едно семейство планира да купи, пробното пространство не се състои от всички 1000 семейства, а само от тези, които планират да закупят широкоекранен телевизор. От 250 такива семейства 200 наистина са закупили този телевизор. Следователно вероятността едно семейство наистина да закупи широкоекранен телевизор, ако планира да го направи, може да се изчисли по следната формула:

P (направена покупка | планирана покупка) = брой семейства, които планират и купуват широкоекранен телевизор / брой семейства, планиращи да закупят широкоекранен телевизор = 200 / 250 = 0,8

Същият резултат се дава от формула (2):

къде е събитието НОе, че семейството планира да закупи широкоекранен телевизор и събитието AT- че тя наистина ще го купи. Замествайки реални данни във формулата, получаваме:

дърво на решенията

На фиг. 1 семейства бяха разделени на четири категории: тези, които планираха да купят широкоекранен телевизор и тези, които не го направиха, и тези, които купиха такъв телевизор, и тези, които не го направиха. Подобна класификация може да се направи с помощта на дърво на решенията (фиг. 2). Дървото, показано на фиг. 2 има два клона, съответстващи на семейства, които са планирали да закупят широкоекранен телевизор, и семейства, които не са го направили. Всеки от тези клонове е разделен на два допълнителни клона, съответстващи на семействата, които са закупили и не са закупили широкоекранен телевизор. Вероятностите, записани в края на двата основни клона, са безусловните вероятности за събития НОи НО'. Вероятностите, записани в края на четирите допълнителни клона, са условните вероятности за всяка комбинация от събития НОи AT. Условните вероятности се изчисляват чрез разделяне на общата вероятност от събития на съответната безусловна вероятност за всяко от тях.

Ориз. 2. Дърво на решенията

Например, за да се изчисли вероятността едно семейство да купи широкоекранен телевизор, ако планира да го направи, трябва да се определи вероятността от събитието покупка планирана и завършенаи след това го разделете на вероятността на събитието планирана покупка. Придвижвайки се по дървото на решенията, показано на фиг. 2, получаваме следния (подобен на предишния) отговор:

Статистическа независимост

В примера за закупуване на широкоекранен телевизор, вероятността произволно избрано семейство да закупи широкоекранен телевизор, като се има предвид, че са планирали да го направят, е 200/250 = 0,8. Спомнете си, че безусловната вероятност произволно избрано семейство да закупи широкоекранен телевизор е 300/1000 = 0,3. От това следва един много важен извод. Априорната информация, че семейството е планирало покупка, влияе върху вероятността за самата покупка.С други думи, тези две събития зависят едно от друго. За разлика от този пример, има статистически независими събития, чиито вероятности не зависят едно от друго. Статистическата независимост се изразява чрез идентичността: P(A|B) = P(A), където P(A|B)- вероятност за събитие НОприемайки, че е настъпило събитие AT, P(A)е безусловната вероятност за събитие А.

Моля, имайте предвид, че събитията НОи AT P(A|B) = P(A). Ако в таблицата за непредвидени обстоятелства, която има размер 2 × 2, това условие е изпълнено за поне една комбинация от събития НОи AT, ще важи за всяка друга комбинация. В нашия пример събитията планирана покупкаи покупката е завършенане са статистически независими, тъй като информацията за едно събитие влияе върху вероятността от друго.

Нека разгледаме пример, който показва как да тестваме статистическата независимост на две събития. Нека попитаме 300 семейства, закупили широкоекранен телевизор, дали са доволни от покупката си (фиг. 3). Определете дали степента на удовлетвореност от покупката и вида на телевизора са свързани.

Ориз. 3. Данни за удовлетвореността на клиентите за широкоекранни телевизори

Според тези данни,

В същото време,

P (клиентът е доволен) = 240 / 300 = 0,80

Следователно вероятността клиентът да е доволен от покупката и семейството да е закупило HDTV е равна и тези събития са статистически независими, тъй като не са свързани помежду си.

Правило за умножение на вероятностите

Формулата за изчисляване на условната вероятност ви позволява да определите вероятността от съвместно събитие А и Б. Формула за разделяне (1)

по отношение на съвместната вероятност P(A и B), получаваме общото правило за умножение на вероятностите. Вероятност на събитието А и Бе равна на вероятността от събитието НОпри условие, че събитието AT AT:

(3) P(A и B) = P(A|B) * P(B)

Помислете например за 80 домакинства, които са закупили широкоекранен HDTV (Фигура 3). От таблицата се вижда, че 64 семейства са доволни от покупката, а 16 не са. Да предположим, че две семейства са случайно избрани сред тях. Определете вероятността и двамата купувачи да бъдат доволни. Използвайки формула (3), получаваме:

P(A и B) = P(A|B) * P(B)

къде е събитието НОе, че второто семейство е доволно от покупката си и събитието AT- че първото семейство е доволно от покупката си. Вероятността първото семейство да е доволно от покупката си е 64/80. Въпреки това, вероятността второто семейство също да е доволно от покупката си зависи от отговора на първото семейство. Ако първото семейство не бъде върнато в извадката след проучването (селекция без връщане), броят на респондентите пада до 79. Ако първото семейство е било доволно от покупката си, вероятността второто семейство също да бъде доволно е 63/ 79, тъй като само 63 останаха в примерните семейства, доволни от покупката си. По този начин, замествайки конкретни данни във формула (3), получаваме следния отговор:

P(A и B) = (63/79)(64/80) = 0,638.

Следователно вероятността и двете семейства да са доволни от покупките си е 63,8%.

Да предположим, че след проучването първото семейство е върнато в извадката. Определете вероятността и двете семейства да бъдат доволни от покупката си. В този случай вероятностите и двете семейства да са доволни от покупката си са еднакви и равни на 64/80. Следователно, P(A и B) = (64/80)(64/80) = 0,64. По този начин вероятността и двете семейства да са доволни от покупките си е 64,0%. Този пример показва, че изборът на второто семейство не зависи от избора на първото. По този начин, замествайки във формула (3) условната вероятност P(A|B)вероятност P(A), получаваме формула за умножаване на вероятностите за независими събития.

Правило за умножаване на вероятностите за независими събития.Ако събития НОи ATса статистически независими, вероятността от събитие А и Бе равна на вероятността от събитието НОумножено по вероятността за събитието AT.

(4) P(A и B) = P(A)P(B)

Ако това правило е вярно за събития НОи AT, което означава, че те са статистически независими. По този начин има два начина за определяне на статистическата независимост на две събития:

Разработки НОи ATса статистически независими един от друг тогава и само ако P(A|B) = P(A).
Разработки НОи бса статистически независими един от друг тогава и само ако P(A и B) = P(A)P(B).

Ако в таблицата за непредвидени обстоятелства, която има размер 2 × 2, едно от тези условия е изпълнено за поне една комбинация от събития НОи б, ще важи за всяка друга комбинация.

Безусловна вероятност за елементарно събитие

(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)

където събития B 1 , B 2 , … B k са взаимно изключващи се и изчерпателни.

Ние илюстрираме приложението на тази формула на примера на фиг.1. Използвайки формула (5), получаваме:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

където P(A)- вероятността покупката да е планирана, P(B 1)- вероятността покупката да бъде направена, P(B 2)- вероятността покупката да не бъде направена.

ТЕОРЕМА НА БАЙЕС

Условната вероятност за събитие взема предвид информацията, че е настъпило друго събитие. Този подход може да се използва както за прецизиране на вероятността, като се вземе предвид новополучената информация, така и за изчисляване на вероятността наблюдаваният ефект да е резултат от някаква конкретна причина. Процедурата за прецизиране на тези вероятности се нарича теорема на Байс. За първи път е разработен от Томас Байс през 18 век.

Да предположим, че компанията, спомената по-горе, проучва пазара за нов модел телевизор. В миналото 40% от създадените от компанията телевизори са били успешни, а 60% от моделите не са били признати. Преди да обявят пускането на нов модел, търговците внимателно проучват пазара и улавят търсенето. В миналото успехът на 80% от моделите, които са получили признание, е бил предсказан предварително, докато 30% от благоприятните прогнози са се оказали грешни. За новия модел маркетинговият отдел даде благоприятна прогноза. Каква е вероятността нов модел телевизор да се търси?

Теоремата на Bayes може да бъде извлечена от дефинициите на условната вероятност (1) и (2). За да изчислим вероятността Р(В|А), приемаме формулата (2):

и заместваме вместо P(A и B) стойността от формула (3):

P(A и B) = P(A|B) * P(B)

Замествайки формула (5) вместо P(A), получаваме теоремата на Bayes:

където събитията B 1 , B 2 , ... B k са взаимно изключващи се и изчерпателни.

Нека въведем следното обозначение: събитие S - Търси се телевизия, събитие S' - Телевизорът не е в търсенето, събитие F - благоприятна прогноза, събитие F' - лоша прогноза. Да кажем, че P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Прилагайки теоремата на Бейс, получаваме:

Вероятността за търсене на нов модел телевизор при благоприятна прогноза е 0,64. По този начин вероятността от липса на търсене при благоприятна прогноза е 1–0,64=0,36. Процесът на изчисление е показан на фиг. четири.

Ориз. 4. (a) Байесови изчисления за оценка на вероятността за търсене на телевизия; (б) Дърво на вземане на решения за проучване на търсенето на нов модел телевизор

Нека разгледаме пример за приложение на теоремата на Байс за медицинска диагностика. Вероятността човек да страда от определено заболяване е 0,03. Медицинският тест ви позволява да проверите дали това е така. Ако човек е наистина болен, вероятността за точна диагноза (която твърди, че човек е болен, когато е наистина болен) е 0,9. Ако човек е здрав, вероятността от фалшиво положителна диагноза (която твърди, че човек е болен, когато е здрав) е 0,02. Да кажем, че медицинският тест е положителен. Каква е вероятността човекът наистина да е болен? Каква е вероятността за точна диагноза?

Нека въведем следното обозначение: събитие D - човекът е болен, събитие D' - човекът е здрав, събитие T - положителна диагноза, събитие T' - диагнозата е отрицателна. От условията на задачата следва, че Р(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, Р(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Прилагайки формула (6), получаваме:

Вероятността човек с положителна диагноза да е наистина болен е 0,582 (виж също фиг. 5). Имайте предвид, че знаменателят на формулата на Bayes е равен на вероятността за положителна диагноза, т.е. 0,0464.

Кратка теория

За количествено сравнение на събитията според степента на възможността за тяхното възникване се въвежда числена мярка, която се нарича вероятност за събитие. Вероятността за случайно събитиесе нарича число, което е израз на мярка за обективната възможност за настъпване на събитие.

Стойностите, които определят колко значими са обективните основания за разчитане на настъпването на събитие, се характеризират с вероятността на събитието. Трябва да се подчертае, че вероятността е обективна величина, която съществува независимо от познаващия и е обусловена от съвкупността от условия, които допринасят за настъпването на дадено събитие.

Обясненията, които сме дали на концепцията за вероятност, не са математическа дефиниция, тъй като те не определят тази концепция количествено. Има няколко дефиниции на вероятността от случайно събитие, които се използват широко при решаване на конкретни проблеми (класически, аксиоматични, статистически и др.).

Класическата дефиниция на вероятността от събитиесвежда тази концепция до по-елементарна концепция за еднакво вероятни събития, която вече не подлежи на дефиниране и се приема за интуитивно ясна. Например, ако зарът е хомогенен куб, тогава падането на която и да е от страните на този куб ще бъде еднакво вероятни събития.

Нека определено събитие се раздели на еднакво вероятни случаи, сборът от които дава събитието. Тоест случаите от , на които се разпада, се наричат благоприятни за събитието, тъй като появата на един от тях осигурява офанзивата.

Вероятността за събитие ще бъде обозначена със символа.

Вероятността за събитие е равна на отношението на броя на благоприятните за него случаи от общия брой уникални, еднакво възможни и несъвместими случаи към броя, т.е.

Това е класическата дефиниция на вероятността. По този начин, за да се намери вероятността за събитие, е необходимо, след разглеждане на различните резултати от теста, да се намери набор от единствените възможни, еднакво възможни и несъвместими случаи, да се изчисли общият им брой n, броят на случаите m, които предпочитайте това събитие и след това извършете изчислението съгласно горната формула.

Вероятността за събитие, равна на съотношението на броя на резултатите от опита, благоприятни за събитието, към общия брой резултати от опита, се нарича класическа вероятностслучайно събитие.

От определението следват следните свойства на вероятността:

Свойство 1. Вероятността за определено събитие е равна на единица.

Свойство 2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.

Свойство 3. Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно.

Свойство 4. Вероятността за възникване на събития, които образуват пълна група, е равна на единица.

Свойство 5. Вероятността за настъпване на противоположното събитие се определя по същия начин, както вероятността за настъпване на събитие А.

Броят на събитията, които благоприятстват появата на противоположното събитие. Следователно вероятността да се случи противоположното събитие е равна на разликата между единица и вероятността да се случи събитие А:

Важно предимство на класическата дефиниция на вероятността от събитие е, че с негова помощ вероятността от събитие може да се определи, без да се прибягва до опит, а въз основа на логически разсъждения.

Когато набор от условия е изпълнен, определено събитие определено ще се случи, а невъзможното определено няма да се случи. Сред събитията, които при създаване на комплекс от условия могат да настъпят или да не настъпят, за появата на едни може да се разчита с повече основание, за появата на други с по-малко основание. Ако, например, в урната има повече бели топки, отколкото черни, тогава има повече причини да се надяваме за появата на бяла топка, когато се извади произволно от урната, отколкото за появата на черна топка.

Пример за решение на проблем

Пример 1

Една кутия съдържа 8 бели, 4 черни и 7 червени топки. На случаен принцип се изтеглят 3 топки. Намерете вероятностите за следните събития: - изтеглена е поне 1 червена топка, - има поне 2 топки от един и същи цвят, - има поне 1 червена и 1 бяла топка.

Решението на проблема

Намираме общия брой резултати от теста като броя на комбинациите от 19 (8 + 4 + 7) елемента от по 3 всеки:

Намерете вероятността за събитие– изтеглена поне 1 червена топка (1,2 или 3 червени топки)

Изисквана вероятност:

Нека събитието- има поне 2 топки от един и същи цвят (2 или 3 бели топки, 2 или 3 черни топки и 2 или 3 червени топки)

Брой резултати, благоприятстващи събитието:

Изисквана вероятност:

Нека събитието– има поне една червена и една бяла топка

(1 червена, 1 бяла, 1 черна или 1 червена, 2 бели или 2 червени, 1 бяла)

Брой резултати, благоприятстващи събитието:

Изисквана вероятност:

Отговор: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Пример 2

Хвърлят се два зара. Намерете вероятността сумата от точките да е най-малко 5.

Решение

Нека събитието е сбор от точки не по-малко от 5

Нека използваме класическата дефиниция на вероятността:

Общ брой възможни резултати от опита

Броят опити, които благоприятстват събитието, което ни интересува

На изпуснатата страна на първия зар могат да се появят една точка, две точки ..., шест точки. по подобен начин са възможни шест изхода при второто хвърляне на зара. Всеки от резултатите от първия зар може да се комбинира с всеки от резултатите от втория. По този начин общият брой на възможните елементарни резултати от теста е равен на броя на поставянията с повторения (селекция с поставяния на 2 елемента от набор от том 6):

Намерете вероятността за обратното събитие - сборът от точки е по-малък от 5

Следните комбинации от изпуснати точки ще благоприятстват събитието:

№

1-ва кост

2-ра кост

Представена е геометричната дефиниция на вероятността и е дадено решението на добре известната задача за срещата.