Как се решават примери с неправилни дроби. Положителни и отрицателни дроби

Срещаме дроби в живота много по-рано, отколкото започват да учат в училище. Ако разрежете цяла ябълка наполовина, тогава получаваме парче плод - ½. Нарежете го отново - ще бъде ¼. Ето какво представляват дробите. И всичко, изглежда, е просто. За възрастен. За детето (и тази темазапочнете да учите в края основно училище) абстрактно математически понятиявсе още са плашещо неразбираеми и учителят трябва да обясни по достъпен начин какво е правилна дроб и неправилна, обикновена и десетична, какви операции могат да се извършват с тях и най-важното защо е необходимо всичко това.

Какво представляват дробите

Запознаване с нова темав училище започва с обикновени дроби. Те се разпознават лесно по хоризонталната линия, разделяща двете цифри - отгоре и отдолу. Горната част се нарича числител, долната част се нарича знаменател. Има и изписване с малка буква на неправилни и правилни обикновени дроби - чрез наклонена черта, например: ½, 4/9, 384/183. Тази опция се използва, когато височината на реда е ограничена и не е възможно да се приложи "двуетажна" форма на записа. Защо? Да, защото е по-удобно. Малко по-късно ще проверим това.

Освен обикновени има и десетични дроби. Разграничаването им е много лесно: ако в единия случай се използва хоризонтална или наклонена черта, то в другия - запетая, разделяща поредици от числа. Да видим пример: 2.9; 163,34; 1,953. Умишлено използвахме точката и запетая като разделител за разделяне на числата. Първият от тях ще се чете така: „две цели, девет десети“.

Нови концепции

Да се ​​върнем към обикновените дроби. Те биват два вида.

Определението за правилна дроб е следното: това е дроб, чийто числител по-малко от знаменателя. Защо е важно? Сега ще видим!

Имате няколко ябълки, нарязани на половинки. Общо - 5 части. Как се казва: имате ябълки "две и половина" или "пет секунди"? Разбира се, първият вариант звучи по-естествено и когато говорим с приятели, ще го използваме. Но ако трябва да изчислите колко плодове ще получи всеки, ако има петима души в компанията, ще запишем числото 5/2 и ще го разделим на 5 - от гледна точка на математиката това ще бъде по-ясно.

И така, за именуване на правилни и неправилни дроби важи следното правило: ако в една дроб може да се разграничи цяла част (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), то тя е неправилна. Ако това не може да се направи, както в случая с ½, 13/16, 9/10, ще бъде правилно.

Основно свойство на дробта

Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат или разделят едновременно на едно и също число, стойността му няма да се промени. Представете си: тортата е разрязана на 4 равни части и ви дават една. Същата торта беше нарязана на осем парчета и ви даде две. Не е ли все едно? В крайна сметка ¼ и 2/8 са едно и също нещо!

Намаляване

Авторите на задачи и примери в учебниците по математика често се опитват да объркат учениците, като предлагат дроби, които са тромави за писане и всъщност могат да бъдат намалени. Ето пример за правилна фракция: 167/334, която, изглежда, изглежда много "страшна". Но всъщност можем да го запишем като ½. Числото 334 се дели на 167 без остатък - след като извършим тази операция, получаваме 2.

смесени числа

Неправилна дроб може да бъде представена като смесено число. Това е, когато цялата част се изнася напред и се изписва на нивото на хоризонталната линия. Всъщност изразът е под формата на сума: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 и така нататък.

За да извадите цялата част, трябва да разделите числителя на знаменателя. Напишете остатъка от делението над, над линията и цялата част преди израза. Така получаваме две структурни части: цели единици + правилна дроб.

Можете също така да извършите обратната операция - за това трябва да умножите цялата част по знаменателя и да добавите получената стойност към числителя. Нищо сложно.

Умножение и деление

Колкото и да е странно, умножаването на дроби е по-лесно от събирането им. Всичко, което е необходимо, е да удължите хоризонталната линия: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

С разделянето всичко също е просто: трябва да умножите дробите напречно: (7/8) / (14/15) \u003d 7 * 15 / 8 * 14 \u003d 15/16.

Събиране на дроби

Какво да направите, ако трябва да извършите събиране или и в техния знаменател различни числа? Няма да работи по същия начин, както при умножението - тук трябва да разберете определението за правилна дроб и нейната същност. Трябва да доведем условията до общ знаменател, тоест в дъното на двете фракции трябва да има едно и също число.

За да направите това, трябва да използвате основното свойство на дроб: умножете двете части по едно и също число. Например 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Как да изберем към кой знаменател да доведем условията? Това трябва да е най-малкото кратно на двата знаменателя: за 1/3 и 1/9 ще бъде 9; за ½ и 1/7 - 14, защото няма по-малка стойност, деляща се на 2 и 7 без остатък.

Използване

Какво ти е необходимо неправилни дроби? В крайна сметка е много по-удобно веднага да изберете цялата част, да получите смесено число - и това е! Оказва се, че ако трябва да умножите или разделите две дроби, е по-изгодно да използвате грешните.

Да вземем следния пример: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Изглежда, че изобщо няма какво да се реже. Но какво ще стане, ако запишем резултата от събирането в първите скоби като неправилна дроб? Виж: (37/17) / (37/68)

Сега всичко си идва на мястото! Нека напишем примера по такъв начин, че всичко да стане очевидно: (37 * 68) / (17 * 37).

Нека намалим 37 в числителя и знаменателя и накрая разделим горната и долната част на 17. Помните ли основното правило за правилни и неправилни дроби? Можем да ги умножаваме и делим на произволно число, стига да го правим едновременно за числителя и знаменателя.

И така, получаваме отговора: 4. Примерът изглеждаше сложен и отговорът съдържа само една цифра. Това често се случва в математиката. Основното нещо е да не се страхувате и да следвате прости правила.

Често срещани грешки

Когато се упражнява, ученикът лесно може да направи една от популярните грешки. Обикновено те възникват поради невнимание, а понякога и поради факта, че изучаваният материал все още не е правилно депозиран в главата.

Често сумата от числата в числителя предизвиква желание да се намалят отделните му компоненти. Да предположим, че в примера: (13 + 2) / 13, написан без скоби (с хоризонтална линия), много ученици поради неопитност задраскват 13 отгоре и отдолу. Но в никакъв случай не трябва да се прави това, защото е така гаф! Ако вместо събиране имаше знак за умножение, в отговора щяхме да получим числото 2. Но при събиране не се допускат операции с един от членовете, а само с цялата сума.

Децата често правят грешки, когато делят дроби. Нека вземем две правилни несъкратими дроби и ги разделим една на друга: (5/6) / (25/33). Ученикът може да обърка и да напише получения израз като (5*25) / (6*33). Но това щеше да се случи с умножението и в нашия случай всичко ще бъде малко по-различно: (5 * 33) / (6 * 25). Намаляваме възможното и в отговора ще видим 11/10. Записваме получената неправилна дроб като десетичен знак - 1,1.

Скоби

Запомнете това във всеки математически изразиредът на действията се определя от приоритета на знаците за операция и наличието на скоби. При равни други условия последователността от действия се брои отляво надясно. Това важи и за дробите - изразът в числителя или знаменателя се изчислява стриктно според това правило.

Това е резултат от разделянето на едно число на друго. Ако не се разделят напълно, се оказва фракция - това е всичко.

Как да напиша дроб на компютър

Тъй като стандартните инструменти не винаги ви позволяват да създадете фракция, състояща се от две "нива", студентите понякога отиват на различни трикове. Например, те копират числителите и знаменателите в редактора Paint и ги залепват заедно, като начертават хоризонтална линия между тях. Разбира се, има по-опростен вариант, който между другото предоставя много допълнителни функциикоито ще ви бъдат полезни в бъдеще.

Отворете Microsoft Word. Един от панелите в горната част на екрана се нарича "Вмъкване" - щракнете върху него. Вдясно, от страната, където се намират иконите за затваряне и минимизиране на прозореца, има бутон Формула. Точно това ни трябва!

Ако използвате тази функция, на екрана ще се появи правоъгълна област, в която можете да използвате всяка математически знацилипсват на клавиатурата, както и писане на дроби в класическа форма. Тоест разделяне на числителя и знаменателя с хоризонтална лента. Може дори да се изненадате, че такава правилна дроб е толкова лесна за записване.

Научете математика

Ако сте в 5-6 клас, тогава скоро знанията по математика (включително умението да работите с дроби!) Ще се изискват в много учебни предмети. В почти всяка задача във физиката, при измерване на масата на веществата в химията, в геометрията и тригонометрията не могат да се откажат от дробите. Скоро ще се научите да изчислявате всичко наум, без дори да пишете изрази на хартия, но все повече и повече сложни примери. Затова научете какво е правилна дроб и как да работите с нея, бъдете в крак учебна програманаправете домашното си навреме и тогава ще успеете.

Фракцияв математиката, число, състоящо се от една или повече части (фракции) на единица. Фракциите са част от полето рационални числа. Дробите са разделени на 2 формата според начина на записване: обикновенивид и десетичен знак .

Числителят на дроб- число, показващо броя на взетите акции (намира се в горната част на фракцията - над чертата). Знаменател на дроб- число, показващо на колко части е разделена единицата (намира се под линията - в долната част). , от своя страна, се делят на: правилнои грешно, смесени композитентясно свързани с мерните единици. 1 метър съдържа 100 см. Което означава, че 1 м е разделен на 100 равни части. Така 1 cm = 1/100 m (един сантиметър е равен на една стотна от метъра).

или 3/5 (три пети), тук 3 е числителят, 5 е знаменателят. Ако числителят е по-малък от знаменателя, тогава дробта е по-малка от единица и се извиква правилно:

Ако числителят е равен на знаменателя, дробта е равна на едно. Ако числителят е по-голям от знаменателя, дробта е по-голяма от единица. И в двете скорошни случаидробта се нарича грешно:

За да изолирате най-голямото цяло число, съдържащо се в неправилна дроб, трябва да разделите числителя на знаменателя. Ако делението се извърши без остатък, тогава взетата неправилна дроб е равна на частното:

Ако делението се извършва с остатък, тогава (непълното) частно дава желаното цяло число, остатъкът става числител на дробната част; знаменателят на дробната част остава същият.

Извиква се число, което съдържа цяло число и дробна част смесен. Дробна част смесено числоможе би неправилна дроб. Тогава е възможно да се извлече най-голямото цяло число от дробната част и да се представи смесеното число по такъв начин, че дробната част да стане правилна дроб (или да изчезне напълно).

При думата "фракции" много настръхват. Защото помня училището и задачите, които се решаваха по математика. Това беше задължение, което трябваше да бъде изпълнено. Но какво ще стане, ако приемем задачите, съдържащи правилни и неправилни дроби, като пъзел? В крайна сметка много възрастни решават цифрови и японски кръстословици. Разберете правилата и това е. И тук е така. Човек трябва само да се задълбочи в теорията - и всичко ще си дойде на мястото. И примерите ще се превърнат в начин за трениране на мозъка.

Какви видове дроби има?

Да започнем с това какво представлява. Дроб е число, което има част от едно. Може да се напише в две форми. Първият се нарича обикновен. Тоест такъв, който има хоризонтален или наклонен ход. Той се равнява на знака за деление.

При такава нотация числото над тирето се нарича числител, а под него - знаменател.

Сред обикновените дроби се разграничават правилни и грешни дроби. За първото числителят по модул винаги е по-малък от знаменателя. Грешните се наричат ​​така, защото имат обратното. Стойността на правилната дроб винаги е по-малка от единица. Докато грешният винаги е по-голям от това число.

Има и смесени числа, тоест такива, които имат цяла и дробна част.

Вторият вид запис е десетичен знак. За нейния отделен разговор.

Каква е разликата между неправилни дроби и смесени числа?

По принцип нищо. Това е просто различна нотация на едно и също число. Неправилни дроби след прости действия лесно стават смесени числа. И обратно.

Всичко зависи от конкретната ситуация. Понякога в задачите е по-удобно да използвате неправилна дроб. И понякога е необходимо да го преведете в смесено число и тогава примерът ще бъде решен много лесно. Следователно какво да използвате: неправилни дроби, смесени числа - зависи от наблюдателността на решаващия задачата.

Смесеното число също се сравнява със сумата от цялата и дробната част. Освен това секундата винаги е по-малка от единица.

Как да представим смесено число като неправилна дроб?

Ако искате да извършите някакво действие с няколко числа, които са записани в различни видове, тогава трябва да ги направите еднакви. Един от методите е да представите числа като неправилни дроби.

За целта ще трябва да следвате следния алгоритъм:

• умножете знаменателя по цялата част;
• добавете стойността на числителя към резултата;
• напишете отговора над реда;
• оставете знаменателя същия.

Ето примери как да напишете неправилни дроби от смесени числа:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Как да напиша неправилна дроб като смесено число?

Следващият метод е противоположен на описания по-горе. Тоест, когато всички смесени числа се заменят с неправилни дроби. Алгоритъмът на действията ще бъде както следва:

• разделете числителя на знаменателя, за да получите остатъка;
• напишете частното на мястото на цялата част от смесеното;
• остатъкът трябва да бъде поставен над линията;
• делителя ще бъде знаменателят.

Примери за такава трансформация:

76/14; 76:14 = 5 с остатък 6; отговорът е 5 цели числа и 6/14; дробната част в този пример трябва да се намали с 2, получавате 3/7; крайният отговор е 5 цяло 3/7.

108/54; след делението частното 2 се получава без остатък; това означава, че не всички неправилни дроби могат да бъдат представени като смесено число; отговорът е цяло число - 2.

Как се превръща цяло число в неправилна дроб?

Има ситуации, когато такова действие е необходимо. За да получите неправилни дроби с предварително определен знаменател, ще трябва да изпълните следния алгоритъм:

• умножете цяло число по желания знаменател;
• напишете тази стойност над линията;
• поставете знаменател под него.

Най-простият вариант е, когато знаменателят равно на едно. Тогава няма нужда да се размножава. Достатъчно е само да напишете цяло число, което е дадено в примера, и да поставите единица под чертата.

Пример: Направете 5 неправилна дроб със знаменател 3. След като умножите 5 по 3, получавате 15. Това число ще бъде знаменателят. Отговорът на задачата е дроб: 15/3.

Два подхода за решаване на задачи с различни числа

В примера се изисква да се изчислят сборът и разликата, както и произведението и частното на две числа: 2 цели числа 3/5 и 14/11.

В първия подходсмесеното число ще бъде представено като неправилна дроб.

След като изпълните описаните по-горе стъпки, получавате следната стойност: 13/5.

За да намерите сумата, трябва да преобразувате дробите в същия знаменател. 13/5, умножено по 11, става 143/55. И 14/11 след умножаване по 5 ще приеме формата: 70/55. За да изчислите сумата, трябва само да съберете числителите: 143 и 70 и след това да запишете отговора с един знаменател. 213/55 - тази неправилна дроб е отговорът на задачата.

При намиране на разликата същите тези числа се изваждат: 143 - 70 = 73. Отговорът е дроб: 73/55.

Когато умножавате 13/5 и 14/11, не е необходимо да привеждате до общ знаменател. Просто умножете числителите и знаменателите по двойки. Отговорът ще бъде: 182/55.

По същия начин с разделението. За правилно решениетрябва да замените делението с умножение и да обърнете делителя: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Във втория подходНеправилна дроб се превръща в смесено число.

След извършване на действията на алгоритъма, 14/11 ще се превърне в смесено число с цяла част 1 и дробна 3/11.

Когато изчислявате сумата, трябва да съберете отделно целите и дробните части. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Крайният отговор е 3 цяло 48/55. При първия подход имаше дроб 213/55. Можете да проверите правилността, като го преобразувате в смесено число. След разделянето на 213 на 55, частното е 3, а остатъкът е 48. Лесно е да се види, че отговорът е правилен.

При изваждане знакът "+" се заменя с "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. За да проверите отговора от предишния подход, трябва да го преобразувате в смесено число: 73 се дели на 55 и получавате частно 1 и остатък 18.

За да намерите произведението и частното, е неудобно да използвате смесени числа. Тук винаги се препоръчва да преминете към неправилни дроби.

Тази статия е за обикновени дроби. Тук ще се запознаем с понятието дроб от цяло, което ще ни доведе до определението за обикновена дроб. След това ще се съсредоточим върху приети обозначенияза обикновени дроби и дайте примери за дроби, кажете за числителя и знаменателя на дроб. След това ще дадем определения за правилни и неправилни, положителни и отрицателни дроби, а също така ще разгледаме позицията на дробните числа на координатен лъч. В заключение изброяваме основните действия с дроби.

Навигация в страницата.

Дялове на цялото

Първо представяме концепция за споделяне.

Да приемем, че имаме някакъв обект, съставен от няколко абсолютно еднакви (т.е. равни) части. За по-голяма яснота можете да си представите например ябълка, нарязана на няколко равни части, или портокал, състоящ се от няколко равни резена. Всяка от тези равни части, които съставят целия обект, се нарича дял от цялотоили просто акции.

Имайте предвид, че акциите са различни. Нека обясним това. Да кажем, че имаме две ябълки. Нека разрежем първата ябълка на две равни части, а втората на 6 равни части. Ясно е, че делът на първата ябълка ще бъде различен от дела на втората ябълка.

В зависимост от броя на дяловете, които съставляват целия обект, тези дялове имат свои собствени имена. Да анализираме споделяйте имена. Ако обектът се състои от две части, всяка от тях се нарича една втора част от целия обект; ако обектът се състои от три части, тогава всяка от тях се нарича една трета част и т.н.

Един секунден удар има специално име - половината. Една трета се нарича трети, и една четворна - четвърт.

За краткост следното обозначения на дялове. Една втора акция се определя като или 1/2, една трета акция - като или 1/3; една четвърт дял - като или 1/4 и т.н. Имайте предвид, че нотацията с хоризонтална лента се използва по-често. За да консолидираме материала, нека дадем още един пример: записът означава сто шестдесет и седма част от цялото.

Концепцията за дял естествено се простира от обекти до величини. Например една от мерките за дължина е метърът. За измерване на дължини, по-малки от метър, могат да се използват части от метър. Така че можете да използвате, например, половин метър или една десета или хилядна от метъра. Дяловете на други количества се прилагат по подобен начин.

Обикновени дроби, определение и примери за дроби

За описание на броя на акциите се използват обикновени дроби. Нека дадем пример, който ще ни позволи да се доближим до определението на обикновените дроби.

Нека един портокал се състои от 12 части. Всеки дял в този случай представлява една дванадесета от цял ​​портокал, т.е. Нека обозначим два удара като , три удара като , и така нататък, 12 удара като . Всеки от тези записи се нарича обикновена дроб.

Сега нека дадем общ определение на обикновени дроби.

Изразената дефиниция на обикновените дроби ни позволява да донесем примери за обикновени дроби: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . А ето и записите не отговарят на изразената дефиниция на обикновените дроби, тоест те не са обикновени дроби.

Числител и знаменател

За удобство в обикновените дроби различаваме числител и знаменател.

Определение.

Числителобикновена дроб (m / n) е естествено число m.

Определение.

Знаменателобикновена дроб (m / n) е естествено число n.

И така, числителят се намира над дробната лента (вляво от наклонената черта), а знаменателят е под дробната лента (вдясно от наклонената черта). Например, нека вземем обикновена дроб 17/29, числителят на тази дроб е числото 17, а знаменателят е числото 29.

Остава да обсъдим значението, което се съдържа в числителя и знаменателя на обикновена дроб. Знаменателят на фракцията показва от колко акции се състои един елемент, числителят от своя страна показва броя на тези акции. Например, знаменателят 5 на дробта 12/5 означава, че един елемент се състои от пет части, а числителят 12 означава, че са взети 12 такива части.

Естествено число като дроб със знаменател 1

Знаменателят на обикновена дроб може да бъде равен на единица. В този случай можем да приемем, че обектът е неделим, с други думи, той е нещо цяло. Числителят на такава дроб показва колко цели елемента са взети. По този начин, обикновена дробна формата m/1 има значението на естествено число m . Така обосновахме равенството m/1=m .

Нека пренапишем последното равенство така: m=m/1 . Това равенство ни позволява да представим всяко естествено число m като обикновена дроб. Например числото 4 е дроб 4/1, а числото 103498 е дроб 103498/1.

Така, всяко естествено число m може да бъде представено като обикновена дроб със знаменател 1 като m/1 и всяка обикновена дроб от формата m/1 може да бъде заменена с естествено число m.

Дробна лента като знак за деление

Представянето на оригиналния обект под формата на n дяла не е нищо повече от разделяне на n равни части. След като артикулът е разделен на n дяла, можем да го разделим поравно между n души - всеки ще получи по един дял.

Ако първоначално имаме m идентични елементи, всеки от които е разделен на n дяла, тогава можем да разделим по равно тези m елемента между n души, давайки на всеки човек по един дял от всеки от m елемента. В този случай всеки човек ще има m акции 1/n, а m акции 1/n дава обикновена дроб m/n. По този начин обикновената дроб m/n може да се използва за представяне на разделянето на m елемента между n души.

Така че имаме изрична връзка между обикновените дроби и деленето (вижте общата идея за разделяне на естествени числа). Тази връзка се изразява по следния начин: Лентата на дроб може да се разбира като знак за деление, тоест m/n=m:n.

С помощта на обикновена дроб можете да напишете резултата от деленето на две естествени числа, за които не се извършва целочислено деление. Например резултатът от разделянето на 5 ябълки на 8 души може да се запише като 5/8, тоест всеки ще получи пет осми от ябълка: 5:8=5/8.

Равни и неравни обикновени дроби, сравнение на дроби

Доста естествено действие е сравнение на обикновени дроби, защото е ясно, че 1/12 от портокала е различна от 5/12, а 1/6 от ябълката е същата като другата 1/6 от тази ябълка.

В резултат на сравняването на две обикновени дроби се получава един от резултатите: дробите са равни или не са равни. В първия случай имаме равни обикновени дроби, а във втория неравни обикновени дроби. Нека дадем определение за равни и неравни обикновени дроби.

Определение.

равен, ако равенството a d=b c е вярно.

Определение.

Две обикновени дроби a/b и c/d не е равно, ако равенството a d=b c не е изпълнено.

Ето няколко примера за равни дроби. Например обикновената дроб 1/2 е равна на дробта 2/4, тъй като 1 4=2 2 (ако е необходимо, вижте правилата и примерите за умножение на естествени числа). За по-голяма яснота можете да си представите две еднакви ябълки, първата е нарязана наполовина, а втората - на 4 части. Очевидно е, че две четвърти от една ябълка е 1/2 дял. Други примери за равни обикновени дроби са дробите 4/7 и 36/63 и двойката дроби 81/50 и 1620/1000.

А обикновените дроби 4/13 и 5/14 не са равни, тъй като 4 14=56, а 13 5=65, тоест 4 14≠13 5. Друг пример за неравни обикновени дроби са дробите 17/7 и 6/4.

Ако при сравняване на две обикновени дроби се окаже, че те не са равни, тогава може да се наложи да разберете коя от тези обикновени дроби по-малкодруга и коя Повече ▼. За да разберете, се използва правилото за сравняване на обикновени дроби, чиято същност е да се приведат сравняваните дроби до общ знаменател и след това да се сравнят числителите. Подробна информация по тази тема е събрана в статията сравнение на дроби: правила, примери, решения.

Дробни числа

Всяка фракция е запис дробно число. Тоест дробта е просто „обвивка“ на дробно число, неговата външен вид, а целият семантичен товар се съдържа точно в дробно число. Въпреки това, за краткост и удобство, концепцията за дроб и дробно число се комбинират и просто се наричат ​​дроб. Тук е уместно да перифразираме известната поговорка: казваме дроб - имаме предвид дробно число, казваме дробно число - имаме предвид дроб.

Дроби на координатния лъч

Всички дробни числа, съответстващи на обикновени дроби, имат свое уникално място на , т.е. има взаимно еднозначно съответствие между дроби и точки от координатния лъч.

За да стигнете до точката, съответстваща на фракцията m / n на координатния лъч, е необходимо да отложите m сегмента от началото в положителна посока, чиято дължина е 1 / n част от единичния сегмент. Такива сегменти могат да бъдат получени чрез разделяне на един сегмент на n равни части, което винаги може да се направи с помощта на пергел и линийка.

Например, нека покажем точката M на координатния лъч, съответстващ на дробта 14/10. Дължината на отсечката с краища в точка О и най-близката до нея точка, отбелязана с малка чертичка, е 1/10 от единичната отсечка. Точката с координата 14/10 се отдалечава от началото с 14 такива сегмента.

Равните дроби съответстват на едно и също дробно число, т.е. равни дробиса координатите на една и съща точка от координатния лъч. Например една точка съответства на координатите 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 на координатния лъч, тъй като всички записани дроби са равни (намира се на разстояние от половината от единичния сегмент, отложено от произходът в положителна посока).

На хоризонтален и насочен надясно координатен лъч точката, чиято координата е голяма дроб, се намира вдясно от точката, чиято координата е по-малка фракция. По същия начин точката с по-малка координата лежи отляво на точката с по-голяма координата.

Правилни и неправилни дроби, определения, примери

Сред обикновените дроби има правилни и неправилни дроби. Това разделение основно има сравнение на числителя и знаменателя.

Нека дадем дефиниция на правилни и неправилни обикновени дроби.

Определение.

Правилна дроб е обикновена дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя, т.е. ако m

Определение.

Неправилна дробе обикновена дроб, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя, т.е. ако m≥n, тогава обикновената дроб е неправилна.

Ето няколко примера за правилни дроби: 1/4 , , 32 765/909 003 . Наистина във всяка от написаните обикновени дроби числителят е по-малък от знаменателя (ако е необходимо, вижте статията сравнение на естествените числа), така че те са правилни по дефиниция.

А ето и примери за неправилни дроби: 9/9, 23/4,. Наистина, числителят на първата от написаните обикновени дроби е равен на знаменателя, а в останалите дроби числителят е по-голям от знаменателя.

Има също определения за правилни и неправилни дроби, базирани на сравняване на дроби с единица.

Определение.

правилноако е по-малко от едно.

Определение.

Обикновената дроб се нарича грешно, ако е равно на 1 или по-голямо от 1 .

Така че обикновената дроб 7/11 е правилна, тъй като 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 и 27/27=1.

Нека помислим с какво обикновените дроби с числител, по-голям или равен на знаменателя, заслужават такова име - "грешни".

Нека вземем за пример неправилната дроб 9/9. Тази дроб означава, че са взети девет части от обект, който се състои от девет части. Тоест от наличните девет споделяния можем да съставим цяла тема. Тоест неправилната дроб 9/9 по същество дава цял обект, тоест 9/9=1. По принцип неправилните дроби с числител, равен на знаменателя, означават един цял обект и такава дроб може да бъде заменена с естествено число 1.

Сега разгледайте неправилните дроби 7/3 и 12/4. Съвсем очевидно е, че от тези седем трети можем да направим два цели обекта (един цял обект е 3 дяла, тогава за съставяне на два цели обекта ни трябват 3 + 3 = 6 дяла) и пак ще остане една трета дял. Тоест неправилната част 7/3 по същество означава 2 елемента и дори 1/3 от дела на такъв елемент. А от дванадесет четвъртинки можем да направим три цели предмета (три предмета с по четири части). Тоест дробта 12/4 по същество означава 3 цели обекта.

Разгледаните примери ни водят до следния извод: неправилните дроби могат да бъдат заменени или с естествени числа, когато числителят се раздели на знаменателя (например 9/9=1 и 12/4=3), или сумата от естествено число и правилна дроб, когато числителят не се дели равномерно на знаменателя (например 7/3=2+1/3 ). Може би точно това неправилни дроби заслужават такова име - „грешни“.

От особен интерес е представянето на неправилна дроб като сбор от естествено число и правилна дроб (7/3=2+1/3). Този процес се нарича извличане на цяло число от неправилна дроб и заслужава отделно и по-внимателно разглеждане.

Също така си струва да се отбележи, че има много тясна връзка между неправилните дроби и смесените числа.

Положителни и отрицателни дроби

Всяка обикновена дроб съответства на положително дробно число (вижте статията положителни и отрицателни числа). Тоест обикновените дроби са положителни дроби. Например обикновените дроби 1/5, 56/18, 35/144 са положителни дроби. Когато е необходимо да се подчертае положителността на фракция, тогава пред нея се поставя знак плюс, например +3/4, +72/34.

Ако поставите знак минус пред обикновена дроб, тогава този запис ще съответства на отрицателно дробно число. В този случай може да се говори за отрицателни дроби. Ето няколко примера за отрицателни дроби: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Положителните и отрицателните дроби m/n и −m/n са противоположни числа. Например дробите 5/7 и −5/7 са противоположни дроби.

Положителните дроби, като положителните числа като цяло, означават увеличение, доход, промяна на някаква стойност нагоре и т.н. Отрицателните дроби съответстват на разход, дълг, промяна на всяка стойност в посока на намаляване. Например, отрицателна дроб -3/4 може да се тълкува като дълг, чиято стойност е 3/4.

По хоризонтала и насочени вдясно отрицателни дроби са разположени вляво от референтната точка. Точките от координатната права, чиито координати са положителната дроб m/n и отрицателната дроб −m/n, се намират на същото разстояние от началото, но от противоположните страни на точката O .

Тук си струва да споменем дроби от формата 0/n. Тези дроби са равни на числото нула, тоест 0/n=0.

Положителните дроби, отрицателните дроби и 0/n дроби се комбинират, за да образуват рационални числа.

Действия с дроби

Едно действие с обикновени дроби - сравняване на дроби - вече разгледахме по-горе. Дефинирани са още четири аритметични операции с дроби- събиране, изваждане, умножение и деление на дроби. Нека се спрем на всеки от тях.

Общата същност на действията с дроби е подобна на същността на съответните действия с естествени числа. Нека направим една аналогия.

Умножение на дробиможе да се разглежда като действие, при което от дроб се намира дроб. За да изясним, нека вземем пример. Да предположим, че имаме 1/6 от ябълка и трябва да вземем 2/3 от нея. Частта, от която се нуждаем, е резултат от умножаването на дробите 1/6 и 2/3. Резултатът от умножението на две обикновени дроби е обикновена дроб (която в конкретен случай е равна на естествено число). Освен това препоръчваме да проучите информацията от статията умножение на дроби - правила, примери и решения.

Библиография.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник за 5 клетки. образователни институции.
• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 клас: учебник за образователни институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати за технически училища).

Изучавайки царицата на всички науки – математиката, в един момент всеки се сблъсква с дробите. Въпреки че тази концепция (както самите видове дроби или математическите операции с тях) изобщо не е трудна, трябва да се третира внимателно, защото в реалния живот извън училище ще бъде много полезна. И така, нека опресним знанията си за дробите: какво е това, за какво служи, какви видове дроби има и как да направите различни аритметични операции.

Нейно величество фракцията: какво е това

Дробите в математиката са числа, всяко от които се състои от една или повече части на единицата. Такива дроби се наричат ​​още обикновени или прости. Като правило те се записват като две числа, които са разделени с хоризонтална или наклонена черта, нарича се "дробна". Например: ½, ¾.

Горното или първото от тези числа е числителят (показва колко дроби от числото са взети), а долното или второто е знаменателят (показва на колко части е разделена единицата).

Дробната лента всъщност функционира като знак за деление. Например 7:9=7/9

Традиционно обикновените дроби са по-малки от единица. Докато десетичните знаци могат да бъдат по-големи от него.

За какво са дробите? Да, за всичко, защото в реалния свят не всички числа са цели числа. Например, две ученички в кафенето купиха заедно един вкусен шоколад. Когато щяха да споделят десерта, срещнаха приятелка и решиха да почерпят и нея. Сега обаче е необходимо правилно да разделите шоколадовата лента, като се има предвид, че тя се състои от 12 квадрата.

Отначало момичетата искаха да си поделят всичко поравно, а след това всяко получи по четири парчета. Но след размисъл решили да почерпят приятелката си не с 1/3, а с 1/4 шоколадови бонбони. И тъй като ученичките не са учили добре дроби, те не са взели предвид, че в такава ситуация в резултат ще имат 9 парчета, които са много зле разделени на две. Този доста прост пример показва колко е важно да можете да намерите правилно частта от число. Но в живота има много повече такива случаи.

Видове дроби: обикновени и десетични

Всички математически дроби са разделени на две големи цифри: обикновена и десетична. Характеристиките на първия от тях бяха описани в предишния параграф, така че сега си струва да обърнете внимание на втория.

Десетичната запетая е позиционно обозначение на част от число, което е фиксирано в буква, разделена със запетая, без тире или наклонена черта. Например: 0,75, 0,5.

Всъщност десетичната дроб е идентична с обикновената, но нейният знаменател винаги е единица, последвана от нули - откъдето идва и името ѝ.

Числото пред десетичната запетая е цялата част, а всичко след десетичната запетая е дробната част. Всяка проста дроб може да се преобразува в десетична. И така, десетичните дроби, посочени в предишния пример, могат да бъдат записани като обикновени: ¾ и ½.

Струва си да се отбележи, че както десетичните, така и обикновените дроби могат да бъдат както положителни, така и отрицателни. Ако те са предшествани от знак "-", тази фракция е отрицателна, ако "+" - тогава положителна.

Подвидове обикновени дроби

Има такива видове прости дроби.

Подвид на десетичната дроб

За разлика от простата, десетичната дроб е разделена само на 2 вида.

• Краен - получи името си поради факта, че след десетичната запетая има ограничен (окончателен) брой цифри: 19,25.
• Безкрайна дроб е число с безкраен брой цифри след десетичната запетая. Например, когато разделите 10 на 3, резултатът ще бъде безкрайна дроб 3,333 ...

Събиране на дроби

Извършването на различни аритметични манипулации с дроби е малко по-трудно, отколкото с обикновени числа. Въпреки това, ако научите основните правила, решаването на всеки пример с тях няма да е трудно.

Например: 2/3+3/4. Най-малкото общо кратно за тях ще бъде 12, следователно е необходимо това число да бъде във всеки знаменател. За да направите това, умножаваме числителя и знаменателя на първата дроб по 4, получава се 8/12, правим същото с втория член, но само умножаваме по 3 - 9/12. Сега можете лесно да решите примера: 8/12+9/12= 17/12. Получената дроб е неправилна стойност, тъй като числителят е по-голям от знаменателя. Тя може и трябва да се преобразува в правилната смесена чрез разделяне на 17:12 = 1 и 5/12.

Ако се добавят смесени дроби, първо действията се извършват с цели числа, а след това с дробни.

Ако примерът съдържа десетична и обикновена дроб, е необходимо и двете да станат прости, след което да ги приведете към един знаменател и да ги добавите. Например 3.1+1/2. Числото 3.1 може да се запише като смесена дроб от 3 и 1/10 или като неправилно - 31/10. Общият знаменател за термините ще бъде 10, така че трябва да умножите числителя и знаменателя 1/2 по 5 на свой ред, получава се 5/10. Тогава можете лесно да изчислите всичко: 31/10+5/10=35/10. Полученият резултат е неправилна свиваема дроб, ние я привеждаме в нормална форма, намалявайки я с 5: 7/2=3 и 1/2, или десетична - 3,5.

Когато добавяте 2 десетични знака, важно е да има еднакъв брой цифри след десетичния знак. Ако това не е така, просто трябва да добавите необходимия брой нули, защото в десетична дроб това може да стане безболезнено. Например 3,5+3,005. За да решите тази задача, трябва да добавите 2 нули към първото число и след това да добавите на свой ред: 3,500 + 3,005 = 3,505.

Изваждане на дроби

Когато изваждате дроби, струва си да направите същото като при добавяне: намалете до общ знаменател, извадете един числител от друг, ако е необходимо, преобразувайте резултата в смесена дроб.

Например: 16/20-5/10. Общият знаменател ще бъде 20. Трябва да приведете втората дроб към този знаменател, като умножите двете й части по 2, получавате 10/20. Сега можете да решите примера: 16/20-10/20= 6/20. Този резултат обаче се отнася за редуцируеми дроби, така че си струва да разделите двете части на 2 и резултатът е 3/10.

Умножение на дроби

Делението и умножението на дроби са много по-прости операции от събирането и изваждането. Факт е, че при изпълнението на тези задачи не е необходимо да се търси общ знаменател.

За да умножите дроби, просто трябва да умножите последователно двата числителя, а след това и двата знаменателя. Намалете получения резултат, ако дробта е намалена стойност.

Например: 4/9x5/8. След алтернативно умножение резултатът е 4x5/9x8=20/72. Такава дроб може да бъде намалена с 4, така че крайният отговор в примера е 5/18.

Как да разделим дроби

Разделянето на дроби също е просто действие, всъщност все още се свежда до умножаването им. За да разделите една дроб на друга, трябва да обърнете втората и да умножите по първата.

Например деление на дроби 5/19 и 5/7. За да решите примера, трябва да размените знаменателя и числителя на втората дроб и да умножите: 5/19x7/5=35/95. Резултатът може да бъде намален с 5 - получава се 7/19.

Ако трябва да разделите дроб на просто число, техниката е малко по-различна. Първоначално си струва да напишете това число като неправилна дроб и след това да го разделите по същата схема. Например 2/13:5 трябва да се запише като 2/13:5/1. Сега трябва да обърнете 5/1 и да умножите получените дроби: 2/13x1/5= 2/65.

Понякога трябва да разделите смесени фракции. Трябва да се справите с тях като с цели числа: да ги превърнете в неправилни дроби, да обърнете делителя и да умножите всичко. Например 8 ½: 3. Превръщане на всичко в неправилни дроби: 17/2: 3/1. Това е последвано от обръщане 3/1 и умножение: 17/2x1/3= 17/6. Сега трябва да преведете грешната дроб в правилната - 2 цели числа и 5/6.

Така че, след като разбрахте какво представляват дробите и как можете да извършвате различни аритметични операции с тях, трябва да се опитате да не забравяте за това. В крайна сметка хората винаги са по-склонни да разделят нещо на части, отколкото да добавят, така че трябва да можете да го направите правилно.