Как да изчислим вероятността от събитие. Основи на баланса на играта: случайност и вероятност от различни събития

В икономиката, както и в други области на човешката дейност или в природата, постоянно се налага да се сблъскваме със събития, които не могат да бъдат точно предвидени. По този начин обемът на продажбите на стоки зависи от търсенето, което може да варира значително, и от редица други фактори, които е почти невъзможно да се вземат предвид. Следователно при организацията на производството и продажбите трябва да се предвиди резултатът от такива дейности въз основа или на собствения предишен опит, или на подобен опит на други хора, или на интуицията, която също до голяма степен се основава на експериментални данни.

За да се оцени по някакъв начин разглежданото събитие, е необходимо да се вземат предвид или специално да се организират условията, при които се записва това събитие.

Изпълнението на определени условия или действия за идентифициране на въпросното събитие се нарича опитили експеримент.

Събитието се нарича случаендали в резултат на експеримента може или не може да се случи.

Събитието се нарича надежден, ако непременно се появи в резултат на това преживяване, и невъзможенако не може да се появи в това преживяване.

Например снеговалежът в Москва на 30 ноември е случайно събитие. Ежедневният изгрев може да се счита за определено събитие. Снеговалежът на екватора може да се разглежда като невъзможно събитие.

Един от основните проблеми в теорията на вероятностите е проблемът за определяне на количествена мярка за възможността за възникване на събитие.

Алгебра на събитията

Събитията се наричат ​​несъвместими, ако не могат да бъдат наблюдавани заедно в едно и също преживяване. Така наличието на две и три коли в един магазин за продажба едновременно са две несъвместими събития.

сумасъбития е събитие, състоящо се в настъпването на поне едно от тези събития

Пример за сбор от събития е наличието на поне един от два продукта в магазин.

работасъбития се нарича събитие, състоящо се в едновременното възникване на всички тези събития

Събитие, състоящо се в появата на две стоки едновременно в магазина, е продукт на събития: - появата на един продукт, - появата на друг продукт.

Събитията образуват пълна група от събития, ако поне едно от тях задължително се появява в преживяването.

Пример.Пристанището разполага с две кейови места за кораби. Могат да се разглеждат три събития: - липса на кораби на кейовите места, - присъствие на един кораб на едно от кейовите места, - присъствие на два кораба на две кейови места. Тези три събития образуват пълна група от събития.

Отсрещасе наричат ​​две уникални възможни събития, които образуват пълна група.

Ако едно от противоположните събития се обозначава с , тогава противоположното събитие обикновено се означава с .

Класически и статистически дефиниции на вероятността от събитие

Всеки от еднакво възможните тестови резултати (експерименти) се нарича елементарен резултат. Те обикновено се означават с букви. Например, хвърля се зар. Може да има шест елементарни изхода според броя точки от страните.

От елементарни резултати можете да съставите по-сложно събитие. И така, събитието с четен брой точки се определя от три резултата: 2, 4, 6.

Количествена мярка за възможността за настъпване на разглежданото събитие е вероятността.

Две дефиниции на вероятността от събитие са най-широко използвани: класическии статистически.

Класическата дефиниция на вероятността е свързана с понятието благоприятен изход.

Изход се нарича благоприятентова събитие, ако настъпването му води до настъпването на това събитие.

В дадения пример разглежданото събитие е четен брой точки на отпадналия ръб, има три благоприятни изхода. В случая генералът
броя на възможните резултати. И така, тук можете да използвате класическата дефиниция на вероятността от събитие.

Класическо определениее равно на отношението на броя на благоприятните резултати към общия брой възможни резултати

където е вероятността за събитието, е броят на благоприятните резултати за събитието, е общият брой възможни резултати.

В разглеждания пример

Статистическата дефиниция на вероятността е свързана с концепцията за относителната честота на поява на дадено събитие в експериментите.

Относителната честота на възникване на дадено събитие се изчислява по формулата

където е броят на поява на събитие в серия от експерименти (тестове).

Статистическа дефиниция. Вероятността за събитие е числото, спрямо което се стабилизира (установява) относителната честота с неограничено увеличаване на броя на експериментите.

В практическите задачи относителната честота за достатъчно голям брой опити се приема като вероятност за събитие.

От тези дефиниции на вероятността за събитие може да се види, че неравенството винаги е в сила

За да се определи вероятността от събитие въз основа на формула (1.1), често се използват комбинаторни формули за намиране на броя на благоприятните резултати и общия брой възможни резултати.

• Вероятност - степента (относителна мярка, количествена оценка) на възможността за настъпване на някакво събитие. Когато причините за реално възникване на някакво възможно събитие надвишават противоположните причини, тогава това събитие се нарича вероятно, в противен случай - малко вероятно или невероятно. Преобладаването на положителните основания над отрицателните и обратното може да бъде в различна степен, в резултат на което вероятността (и невероятността) е по-голяма или по-малка. Следователно вероятността често се оценява на качествено ниво, особено в случаите, когато повече или по-малко точна количествена оценка е невъзможна или изключително трудна. Възможни са различни степени на "нива" на вероятност.

  Изследването на вероятността от математическа гледна точка е специална дисциплина - теорията на вероятностите. В теорията на вероятностите и математическата статистика концепцията за вероятност е формализирана като числена характеристика на събитие - вероятностна мярка (или нейната стойност) - мярка за набор от събития (подмножества от набор от елементарни събития), приемащи стойности от

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Значение

  (\displaystyle 1)

  Съответства на валидно събитие. Невъзможно събитие има вероятност от 0 (обратното обикновено не винаги е вярно). Ако вероятността за настъпване на събитие е

  (\displaystyle p)

  Тогава вероятността да не се случи е равна на

  (\displaystyle 1-p)

  По-специално, вероятността

  (\displaystyle 1/2)

  Означава еднаква вероятност за настъпване и ненастъпване на събитието.

  Класическата дефиниция на вероятността се основава на концепцията за равновероятността на резултатите. Вероятността е съотношението на броя на резултатите, които благоприятстват дадено събитие, към общия брой на еднакво вероятните резултати. Например, вероятността да получите глави или опашки при произволно хвърляне на монета е 1/2, ако се приеме, че се случват само тези две възможности и те са еднакво вероятни. Тази класическа „дефиниция“ на вероятността може да се обобщи за случая на безкраен брой възможни стойности - например, ако събитие може да се случи с еднаква вероятност във всяка точка (броят на точките е безкраен) от някаква ограничена област на пространство (равнина), тогава вероятността това да се случи в някаква част от тази допустима площ е равна на съотношението на обема (площта) на тази част към обема (площта) на площта на всички възможни точки .

  Емпиричното "дефиниране" на вероятността е свързано с честотата на настъпване на дадено събитие, въз основа на факта, че при достатъчно голям брой опити честотата трябва да клони към обективната степен на вероятност на това събитие. В съвременното представяне на теорията на вероятностите, вероятността се дефинира аксиоматично, като специален случай на абстрактната теория за мярката на множество. Въпреки това връзката между абстрактната мярка и вероятността, която изразява степента на възможност за събитие, е именно честотата на неговото наблюдение.

  Вероятностното описание на определени явления е широко разпространено в съвременната наука, по-специално в иконометрията, статистическата физика на макроскопичните (термодинамични) системи, където дори в случай на класическо детерминистично описание на движението на частиците, детерминистично описание на цялата система на частици не е практически възможно и целесъобразно. В квантовата физика самите описани процеси имат вероятностен характер.

Малко вероятно е много хора да се замислят дали е възможно да се изчислят събития, които са повече или по-малко случайни. С прости думи, реалистично ли е да се знае коя страна на зарчето ще падне следващата. Именно този въпрос зададоха двама велики учени, които поставиха основите на такава наука като теорията на вероятностите, в която вероятността от събитие се изучава доста широко.

Произход

Ако се опитате да дефинирате такова понятие като теория на вероятностите, ще получите следното: това е един от клоновете на математиката, който изучава постоянството на случайни събития. Разбира се, тази концепция всъщност не разкрива цялата същност, така че е необходимо да я разгледаме по-подробно.

Бих искал да започна със създателите на теорията. Както бе споменато по-горе, имаше двама от тях и именно те бяха сред първите, които се опитаха да изчислят резултата от дадено събитие, използвайки формули и математически изчисления. Като цяло началото на тази наука се появява през Средновековието. По това време различни мислители и учени се опитаха да анализират хазарта, като рулетка, зарове и т.н., като по този начин установиха модел и процент на изпадане на определено число. Основата е положена през седемнадесети век от гореспоменатите учени.

Първоначално работата им не може да се отдаде на големите постижения в тази област, тъй като всичко, което правеха, беше просто емпирични факти, а експериментите бяха направени визуално, без използването на формули. С течение на времето се оказа, че се постигат страхотни резултати, които се появиха в резултат на наблюдение на хвърлянето на зарове. Именно този инструмент помогна да се изведат първите разбираеми формули.

Съмишленици

Невъзможно е да не споменем такъв човек като Кристиан Хюйгенс, в процеса на изучаване на тема, наречена "теория на вероятностите" (вероятността за събитие се разглежда точно в тази наука). Този човек е много интересен. Той, подобно на учените, представени по-горе, се опита да изведе закономерността на случайните събития под формата на математически формули. Трябва да се отбележи, че той не е направил това заедно с Паскал и Ферма, тоест всичките му произведения по никакъв начин не се пресичат с тези умове. Хюйгенс извади

Интересен факт е, че работата му излезе много преди резултатите от работата на откривателите, или по-скоро двадесет години по-рано. Сред обозначените концепции най-известните са:

• концепцията за вероятността като величина на случайността;
• математическо очакване за дискретни случаи;
• теореми за умножение и събиране на вероятности.

Също така е невъзможно да не си спомним кой също има значителен принос в изследването на проблема. Провеждайки собствени тестове, независимо от никого, той успява да представи доказателство за закона за големите числа. На свой ред учените Поасон и Лаплас, работили в началото на деветнадесети век, успяха да докажат оригиналните теореми. От този момент теорията на вероятностите започва да се използва за анализ на грешките в хода на наблюденията. Руските учени, или по-скоро Марков, Чебишев и Дяпунов, също не могат да заобиколят тази наука. Въз основа на работата, извършена от великите гении, те фиксират този предмет като клон на математиката. Тези фигури са работили още в края на деветнадесети век и благодарение на техния принос се появяват явления като:

• закон на големите числа;
• теория на веригите на Марков;
• централна гранична теорема.

И така, с историята на раждането на науката и с основните хора, които са я повлияли, всичко е повече или по-малко ясно. Сега е време да конкретизираме всички факти.

Основни понятия

Преди да се докоснете до законите и теоремите, си струва да изучите основните понятия на теорията на вероятностите. Водеща роля в него заема събитието. Тази тема е доста обемна, но без нея няма да може да се разбере всичко останало.

Събитие в теорията на вероятностите е всеки набор от резултати от експеримент. Няма толкова много концепции за това явление. И така, ученият Лотман, който работи в тази област, каза, че в този случай говорим за това, което "се е случило, въпреки че може да не се е случило".

Случайните събития (теорията на вероятностите обръща специално внимание на тях) е концепция, която предполага абсолютно всяко явление, което има способността да се случи. Или, обратното, този сценарий може да не се случи, когато са изпълнени много условия. Също така си струва да знаете, че случайните събития обхващат целия обем от явления, които са се случили. Теорията на вероятностите показва, че всички условия могат да се повтарят постоянно. Именно тяхното поведение беше наречено "експеримент" или "тест".

Определено събитие е това, което 100% ще се случи в даден тест. Съответно невъзможно събитие е това, което няма да се случи.

Комбинацията от двойка действия (условно случай А и случай Б) е явление, което се случва едновременно. Те са обозначени като АВ.

Сумата от двойки събития A и B е C, с други думи, ако се случи поне едно от тях (A или B), тогава ще се получи C. Формулата на описаното явление е написана, както следва: C \u003d A + Б.

Несъответстващите събития в теорията на вероятностите предполагат, че двата случая са взаимно изключващи се. Те никога не могат да се случат по едно и също време. Съвместните събития в теорията на вероятностите са техен антипод. Това означава, че ако А се е случило, то не пречи на Б по никакъв начин.

Противоположните събития (теорията на вероятностите се занимава с тях много подробно) са лесни за разбиране. Най-добре е да се справите с тях в сравнение. Те са почти същите като несъвместимите събития в теорията на вероятностите. Но тяхната разлика се състои в това, че едно от многото явления във всеки случай трябва да се случи.

Еднакво вероятни събития са тези действия, чиято възможност за повторение е еднаква. За да стане по-ясно, можем да си представим хвърлянето на монета: загубата на едната й страна е еднакво вероятно да падне от другата.

Благоприятното събитие се вижда по-лесно с пример. Да кажем, че има епизод B и епизод A. Първият е хвърлянето на зара с появата на нечетно число, а вторият е появата на числото пет върху зара. Тогава се оказва, че А предпочита Б.

Независимите събития в теорията на вероятностите се проектират само върху два или повече случая и предполагат независимост на всяко действие от друго. Например A - пускане на опашки при хвърляне на монета и B - получаване на вале от тестето. Те са независими събития в теорията на вероятностите. В този момент стана по-ясно.

Зависимите събития в теорията на вероятностите също са допустими само за тяхното множество. Те предполагат зависимостта на едното от другото, тоест явлението B може да възникне само ако A вече се е случило или, напротив, не се е случило, когато това е основното условие за B.

Резултатът от случаен експеримент, състоящ се от един компонент, са елементарни събития. Теорията на вероятностите обяснява, че това е феномен, който се е случил само веднъж.

Основни формули

И така, понятията "събитие", "теория на вероятностите" бяха разгледани по-горе, дадено е и определение на основните термини на тази наука. Сега е време да се запознаете директно с важните формули. Тези изрази математически потвърждават всички основни концепции в такъв труден предмет като теорията на вероятностите. Вероятността за събитие играе огромна роля и тук.

По-добре е да започнете с основните.И преди да продължите към тях, си струва да помислите какво представлява.

Комбинаториката е преди всичко клон на математиката, тя се занимава с изучаването на огромен брой цели числа, както и различни пермутации както на самите числа, така и на техните елементи, различни данни и т.н., водещи до появата на редица комбинации. В допълнение към теорията на вероятностите, този клон е важен за статистиката, компютърните науки и криптографията.

И така, сега можете да преминете към представянето на самите формули и тяхната дефиниция.

Първият от тях ще бъде израз за броя на пермутациите, изглежда така:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Уравнението се прилага само ако елементите се различават само по своя ред.

Сега ще бъде разгледана формулата за поставяне, изглежда така:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Този израз е приложим не само за реда на елемента, но и за неговия състав.

Третото уравнение от комбинаториката, което е и последното, се нарича формула за броя на комбинациите:

C_n^m = n! : ((n - m))! :м!

Комбинация се нарича селекция, която не е подредена, съответно и това правило важи за тях.

Оказа се лесно да разберем формулите на комбинаториката, сега можем да преминем към класическата дефиниция на вероятностите. Този израз изглежда така:

В тази формула m е броят на условията, благоприятстващи събитието А, а n е броят на абсолютно всички еднакво възможни и елементарни резултати.

Има голям брой изрази, статията няма да обхване всички от тях, но най-важните от тях ще бъдат засегнати, като например вероятността от сумата от събития:

P(A + B) = P(A) + P(B) - тази теорема е за добавяне само на несъвместими събития;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - и това е за добавяне само на съвместими.

Вероятност за създаване на събития:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - тази теорема е за независими събития;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - и това е за зависими.

Формулата на събитието ще завърши списъка. Теорията на вероятностите ни разказва за теоремата на Бейс, която изглежда така:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., н

В тази формула H 1 , H 2 , …, H n е пълната група от хипотези.

Примери

Ако внимателно изучавате всеки клон на математиката, той не е пълен без упражнения и примерни решения. Така е и с теорията на вероятностите: събитията, примерите тук са неразделна част, която потвърждава научните изчисления.

Формула за брой пермутации

Да кажем, че има тридесет карти в тесте карти, започвайки с номинална стойност едно. Следващ въпрос. Колко начина има за подреждане на тестето, така че картите с номинална стойност едно и две да не са една до друга?

Задачата е поставена, сега нека да преминем към нейното решаване. Първо трябва да определите броя на пермутациите на тридесет елемента, за това вземаме горната формула, оказва се, че P_30 = 30!.

Въз основа на това правило ще разберем колко опции има за сгъване на тестето по различни начини, но трябва да извадим от тях тези, в които първата и втората карта са следващите. За да направите това, нека започнем с опцията, когато първият е над втория. Оказва се, че първата карта може да заеме двадесет и девет места - от първо до двадесет и девето, а втората карта от второ до тридесето, се оказва само двадесет и девет места за чифт карти. На свой ред останалите могат да заемат двадесет и осем места и в произволен ред. Тоест, за пермутация от двадесет и осем карти, има двадесет и осем опции P_28 = 28!

В резултат на това се оказва, че ако разгледаме решението, когато първата карта е над втората, има 29 ⋅ 28 допълнителни възможности! = 29!

Използвайки същия метод, трябва да изчислите броя на излишните опции за случая, когато първата карта е под втората. Оказва се също 29 ⋅ 28! = 29!

От това следва, че има 2 ⋅ 29! допълнителни опции, докато има 30 необходими начина за изграждане на тестето! - 2 ⋅ 29!. Остава само да броим.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Сега трябва да умножите всички числа от едно до двадесет и девет помежду си и след това накрая да умножите всичко по 28. Отговорът е 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Примерно решение. Формула за номер на разположение

В тази задача трябва да разберете колко начина има да поставите петнадесет тома на един рафт, но при условие, че има общо тридесет тома.

В този проблем решението е малко по-просто от предишния. Използвайки вече известната формула, е необходимо да се изчисли общият брой аранжименти от тридесет тома от петнадесет.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Отговорът съответно ще бъде равен на 202 843 204 931 727 360 000.

Сега нека приемем задачата малко по-трудна. Трябва да разберете колко начина има да подредите тридесет книги на два рафта, при условие че само петнадесет тома могат да бъдат на един рафт.

Преди да започна решението, бих искал да изясня, че някои проблеми се решават по няколко начина, така че в този има два начина, но и в двата се използва една и съща формула.

В тази задача можете да вземете отговора от предишната, защото там изчислихме колко пъти можете да запълните рафт с петнадесет книги по различни начини. Оказа се, че A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Изчисляваме втория рафт по формулата за пермутация, тъй като в него са поставени петнадесет книги, а остават само петнадесет. Използваме формулата P_15 = 15!.

Оказва се, че общо ще има A_30^15 ⋅ P_15 начина, но освен това произведението на всички числа от тридесет до шестнадесет ще трябва да се умножи по произведението на числата от едно до петнадесет, в резултат на това ще се получи произведение на всички числа от едно до тридесет, тоест отговорът е равен на 30!

Но този проблем може да се реши по различен начин - по-лесно. За да направите това, можете да си представите, че има един рафт за тридесет книги. Всички те са поставени на тази равнина, но тъй като условието изисква да има два рафта, ние разрязахме един дълъг наполовина, получава се по две петнадесет. От това излиза, че опциите за поставяне могат да бъдат P_30 = 30!.

Примерно решение. Формула за номер на комбинация

Сега ще разгледаме вариант на третата задача от комбинаториката. Трябва да разберете колко начина има да подредите петнадесет книги, при условие че трябва да изберете от тридесет абсолютно еднакви.

За решението, разбира се, ще се приложи формулата за броя на комбинациите. От условието става ясно, че редът на еднаквите петнадесет книги не е важен. Следователно, първоначално трябва да разберете общия брой комбинации от тридесет книги от петнадесет.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : петнадесет! = 155 117 520

Това е всичко. Използвайки тази формула, за възможно най-кратко време беше възможно да се реши такъв проблем, отговорът съответно е 155 117 520.

Примерно решение. Класическата дефиниция на вероятността

Използвайки формулата по-горе, можете да намерите отговора в проста задача. Но това ще помогне визуално да видите и проследите хода на действията.

Задачата е дадена, че в урната има десет абсолютно еднакви топки. От тях четири са жълти и шест са сини. От урната се взема една топка. Трябва да разберете вероятността да станете синьо.

За да се реши задачата, е необходимо да се определи получаването на синята топка като събитие А. Това преживяване може да има десет резултата, които от своя страна са елементарни и еднакво вероятни. В същото време шест от десет са благоприятни за събитие А. Решаваме по формулата:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Прилагайки тази формула, открихме, че вероятността да получим синя топка е 0,6.

Примерно решение. Вероятност за сумата от събития

Сега ще бъде представен вариант, който се решава с помощта на формулата за вероятността на сбора от събития. И така, при условие, че има две кутии, първата съдържа една сива и пет бели топки, а втората съдържа осем сиви и четири бели топки. В резултат на това един от тях беше взет от първата и втората кутия. Необходимо е да се разбере какъв е шансът извадените топки да са сиво-бели.

За да се реши този проблем, е необходимо да се обозначат събития.

• И така, A - вземете сива топка от първата кутия: P(A) = 1/6.
• A '- взеха бяла топка и от първата кутия: P (A ") \u003d 5/6.
• B - сива топка е извадена вече от втората кутия: P(B) = 2/3.
• B' - взеха сива топка от втората кутия: P(B") = 1/3.

Според условието на задачата е необходимо да се случи едно от явленията: AB 'или A'B. Използвайки формулата, получаваме: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Сега е използвана формулата за умножаване на вероятността. След това, за да разберете отговора, трябва да приложите уравнението за тяхното добавяне:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Така че, използвайки формулата, можете да решите подобни проблеми.

Резултат

Статията предоставя информация по темата "Теория на вероятностите", в която вероятността от събитие играе решаваща роля. Разбира се, не всичко беше взето под внимание, но въз основа на представения текст можете теоретично да се запознаете с този раздел от математиката. Въпросната наука може да бъде полезна не само в професионалната работа, но и в ежедневието. С негова помощ можете да изчислите всяка възможност за всяко събитие.

В текста бяха засегнати и значими дати от историята на формирането на теорията на вероятностите като наука и имената на хора, чиито трудове са вложени в нея. Ето как човешкото любопитство доведе до факта, че хората се научиха да изчисляват дори случайни събития. Някога те просто се интересуваха от това, но днес вече всички знаят за него. И никой няма да каже какво ни очаква в бъдеще, какви други блестящи открития, свързани с разглежданата теория, ще бъдат направени. Но едно е сигурно - научните изследвания не стоят!

В неговия блог превод на следващата лекция от курса „Принципи на баланса на играта“ от дизайнера на игри Ян Шрайбер, който е работил по проекти като Marvel Trading Card Game и Playboy: the Mansion.

До днес почти всичко, за което говорихме, беше детерминистично, а миналата седмица разгледахме по-отблизо транзитивната механика, като я разбихме толкова подробно, колкото мога да обясня. Но досега не сме обръщали внимание на други аспекти на много игри, а именно недетерминираните моменти - с други думи, случайността.

Разбирането на природата на произволността е много важно за дизайнерите на игри. Ние създаваме системи, които влияят на потребителското изживяване в дадена игра, така че трябва да знаем как работят тези системи. Ако в системата има произволност, трябва да разберем естеството на тази произволност и да знаем как да я променим, за да получим нужните резултати.

Зарове

Нека започнем с нещо просто - хвърляне на зарове. Когато повечето хора мислят за зарове, те си представят шестстранен зар, известен като d6. Но повечето геймъри са виждали много други зарове: четиристранни (d4), осемстрани (d8), дванадесет страни (d12), двадесет страни (d20). Ако сте истински маниак, може да имате някъде зарове с 30 или 100 зърна.

Ако не сте запознати с тази терминология, d означава зар, а числото след него е броят на неговите лица. Ако числото е преди d, тогава то показва броя на заровете при хвърляне. Например в Монопол хвърляте 2d6.

Така че в този случай фразата "зарове" е конвенционално обозначение. Има огромен брой други генератори на произволни числа, които не изглеждат като пластмасови фигури, но изпълняват същата функция - те генерират произволно число от 1 до n. Една обикновена монета също може да бъде представена като двустенна матрица d2.

Видях два дизайна на седемстранен зар: единият приличаше на зар, а вторият приличаше повече на седемстранен дървен молив. Тетраедричен дрейдел, известен също като титотум, е аналог на тетраедрична кост. Игралната дъска с въртяща се стрелка в Chutes & Ladders, където резултатът може да бъде от 1 до 6, съответства на шестстранен зар.

Генератор на произволни числа в компютър може да генерира произволно число от 1 до 19, ако дизайнерът даде такава команда, въпреки че компютърът няма 19-странен зар (като цяло ще говоря повече за вероятността да се получат числа на компютър следващата седмица). Всички тези елементи изглеждат различно, но всъщност са еквивалентни: имате еднакъв шанс за всеки от няколко възможни резултата.

Заровете имат някои интересни свойства, за които трябва да знаем. Първо, вероятността да получите някое от лицата е една и съща (предполагам, че хвърляте обикновен геометричен зар). Ако искате да знаете средната стойност на хвърляне (известно като математическо очакване за тези, които обичат теорията на вероятностите), сумирайте стойностите на всички ръбове и разделете това число на броя на ръбовете.

Сумата от стойностите на всички лица за стандартен шестстранен зар е 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Разделете 21 на броя на лицата и получете средната стойност на хвърлянето: 21 / 6 = 3,5. Това е специален случай, защото приемаме, че всички резултати са еднакво вероятни.

Ами ако имате специални зарове? Например, видях игра с шестстранен зар със специални стикери на лицата: 1, 1, 1, 2, 2, 3, така че се държи като странен тристранен зар, който е по-вероятно да хвърли номер 1, отколкото 2, и е по-вероятно да хвърлите 2, отколкото 3. Каква е средната стойност на хвърляне за този зар? И така, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, разделете на 6 - получавате 5/3, или около 1,66. Така че, ако имате специален зар и играчите хвърлят три зара и след това съберат резултатите, знаете, че общият им брой ще бъде около 5 и можете да балансирате играта въз основа на това предположение.

Зарове и независимост

Както вече казах, ние изхождаме от предположението, че отпадането на всяко лице е еднакво вероятно. Тук няма значение колко зарове хвърляте. Всяко хвърляне на зара е независимо, което означава, че предишните хвърляния не влияят на резултатите от следващите хвърляния. С достатъчно изпитания непременно ще забележите поредица от числа – например хвърляне предимно на по-високи или по-ниски стойности – или други характеристики, но това не означава, че заровете са „горещи“ или „студени“. Ще говорим за това по-късно.

Ако хвърлите стандартен шестстранен зар и числото 6 се появи два пъти подред, вероятността резултатът от следващото хвърляне да бъде 6 също е 1/6. Вероятността не се увеличава, защото зарът „се е загрял ". В същото време вероятността не намалява: неправилно е да се твърди, че числото 6 вече е изпаднало два пъти подред, което означава, че сега трябва да изпадне друго лице.

Разбира се, ако хвърлите зар двадесет пъти и числото 6 излиза всеки път, шансът 6 да се появи двадесет и първия път е доста висок: може просто да имате грешен зар. Но ако зарът е правилен, вероятността да получите всяко от лицата е една и съща, независимо от резултатите от другите хвърляния. Можете също така да си представите, че сменяме зарчето всеки път: ако числото 6 се хвърли два пъти подред, премахнете „горещия“ зар от играта и го заменете с нов. Съжалявам, ако някой от вас вече е знаел за това, но трябваше да изясня това, преди да продължа.

Как да накарате заровете да се хвърлят повече или по-малко произволно

Нека поговорим за това как да получите различни резултати на различни зарове. Ако хвърлите зара само веднъж или няколко пъти, играта ще изглежда по-произволна, когато зарът има повече ръбове. Колкото по-често хвърляте заровете и колкото повече зарове хвърляте, толкова повече резултатите се доближават до средните.

Например, в случай на 1d6 + 4 (тоест, ако хвърлите веднъж стандартен шестстранен зар и добавите 4 към резултата), средната стойност ще бъде число между 5 и 10. Ако хвърлите 5d2, средната също ще бъде число между 5 и 10. Резултатът от хвърляне на 5d2 ще бъде предимно числата 7 и 8, по-рядко други стойности. Същата серия, дори една и съща средна стойност (7,5 и в двата случая), но естеството на случайността е различно.

Чакай малко. Не казах ли току-що, че заровете не се „нагряват“ или „охлаждат“? И сега казвам: ако хвърлите много зарове, резултатите от хвърлянията са по-близо до средната стойност. Защо?

Нека обясня. Ако хвърлите един зар, вероятността всяко от лицата да се появи е една и съща. Това означава, че ако хвърлите много зарове с течение на времето, всяко лице ще се появи приблизително еднакъв брой пъти. Колкото повече зарове хвърлите, толкова повече общият резултат ще се доближава до средния.

Това не е така, защото хвърленото число "причинява" хвърлянето на друго число, което все още не е хвърлено. Тъй като малка поредица от хвърляне на числото 6 (или 20, или каквото и да е) няма да има голяма разлика в крайна сметка, ако хвърлите заровете още десет хиляди пъти и това е предимно средната стойност. Сега ще имате няколко големи числа, а по-късно няколко малки - и с течение на времето те ще се доближат до средната стойност.

Това не е така, защото предишните хвърляния влияят на заровете (сериозно, заровете са направени от пластмаса, нямат мозъка да си помислят: „О, отдавна не се появи 2“), а защото обикновено се случва с много хвърляния.играене на зарове.

Така че е доста лесно да се изчисли за едно произволно хвърляне на зар - поне изчислете средната стойност на хвърлянето. Има и начини да се изчисли „колко случайно“ е нещо и да се каже, че резултатите от хвърляне 1d6 + 4 ще бъдат „по-случайни“ от 5d2. За 5d2 прехвърлените резултати ще бъдат разпределени по-равномерно. За да направите това, трябва да изчислите стандартното отклонение: колкото по-голяма е стойността, толкова по-случайни ще бъдат резултатите. Не бих искал да давам толкова много изчисления днес, ще обясня тази тема по-късно.

Единственото нещо, което ще ви помоля да запомните е, че като общо правило колкото по-малко зарове хвърляте, толкова по-случайни са. И колкото повече страни има зарът, толкова по-голяма е случайността, тъй като има повече възможни опции за стойността.

Как да изчислим вероятността с помощта на броене

Може би се чудите: как можем да изчислим точната вероятност да се появи определен резултат? Всъщност това е доста важно за много игри: ако хвърлите зара първоначално, вероятно ще има някакъв оптимален резултат. Отговорът е: трябва да изчислим две стойности. Първо, общият брой резултати при хвърляне на зарове, и второ, броят на благоприятните резултати. Като разделите втората стойност на първата, получавате желаната вероятност. За да получите процент, умножете резултата по 100.

Примери

Ето един много прост пример. Искате да хвърлите 4 или повече и веднъж да хвърлите шестстранен зар. Максималният брой резултати е 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). От тях 3 изхода (4, 5, 6) са благоприятни. И така, за да изчислим вероятността, разделяме 3 на 6 и получаваме 0,5 или 50%.

Ето един пример, който е малко по-сложен. Искате хвърлянето на 2d6 да излезе с четно число. Максималният брой резултати е 36 (6 опции за всеки зар, един зар не влияе на другия, така че умножаваме 6 по 6 и получаваме 36). Трудността при този тип въпроси е, че е лесно да се брои два пъти. Например при хвърляне на 2d6 има два възможни резултата от 3: 1+2 и 2+1. Изглеждат еднакви, но разликата е кое число се показва на първия зар и кое на втория.

Можете също така да си представите, че заровете са с различни цветове: така, например, в този случай единият зар е червен, другият е син. След това пребройте броя на възможните срещания на четно число:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Оказва се, че има 18 варианта за благоприятен изход от 36 - както в предишния случай, вероятността е 0,5 или 50%. Може би неочаквано, но доста точно.

Симулация Монте Карло

Ами ако имате твърде много зарове за това изчисление? Например, искате да знаете каква е вероятността общо 15 или повече да се появят при хвърляне на 8d6. Има огромен брой различни резултати за осем зара и ръчното им преброяване би отнело много време - дори ако успеем да намерим някакво добро решение за групиране на различните серии от хвърляния на зарове.

В този случай най-лесният начин е да не броите ръчно, а да използвате компютър. Има два начина за изчисляване на вероятността на компютър. Първият начин може да получи точния отговор, но включва малко програмиране или скриптове. Компютърът ще разгледа всяка възможност, ще оцени и преброи общия брой повторения и броя повторения, които съответстват на желания резултат, и след това ще предостави отговорите. Вашият код може да изглежда така:

Ако не сте програмист и искате приблизителен отговор вместо точен, можете да симулирате тази ситуация в Excel, където хвърляте 8d6 няколко хиляди пъти и получавате отговора. За да превъртите 1d6 в Excel, използвайте формулата =FLOOR(RAND()*6)+1.

Има име за ситуацията, когато не знаете отговора и просто опитвате много пъти - симулация Монте Карло. Това е чудесно решение, към което да се прибегнете, когато е твърде трудно да се изчисли вероятността. Страхотното е, че в този случай не е нужно да разбираме как работи математиката и знаем, че отговорът ще бъде „доста добър“, защото, както вече знаем, колкото повече хвърляния, толкова повече резултатът се доближава до средна стойност.

Как да комбинирате независими опити

Ако питате за множество повтарящи се, но независими изпитания, тогава резултатът от едно хвърляне не влияе върху резултата от други хвърляния. Има и друго по-просто обяснение за тази ситуация.

Как да разграничим нещо зависимо от независимо? По принцип, ако можете да изолирате всяко хвърляне (или поредица от хвърляния) на зара като отделно събитие, тогава то е независимо. Например, хвърляме 8d6 и искаме да хвърлим общо 15. Това събитие не може да бъде разделено на няколко независими хвърляния на зарове. За да получите резултата, вие изчислявате сумата от всички стойности, така че резултатът, хвърлен на един зар, влияе върху резултатите, които трябва да се хвърлят на други.

Ето пример за независими хвърляния: играете игра на зарове и хвърляте шестстранни зарове няколко пъти. Първото хвърляне трябва да хвърли 2 или повече, за да останете в играта. За второ хвърляне - 3 или повече. Третото изисква 4 или повече, четвъртото изисква 5 или повече, а петото изисква 6. Ако и петте хвърляния са успешни, вие печелите. В този случай всички хвърляния са независими. Да, ако едно хвърляне е неуспешно, това ще повлияе на резултата от цялата игра, но едно хвърляне не влияе на другото. Например, ако второто ви хвърляне на зара е много добро, това не означава, че следващите ще бъдат също толкова добри. Следователно можем да разгледаме вероятността за всяко хвърляне на зара поотделно.

Ако имате независими вероятности и искате да знаете каква е вероятността всички събития да се случат, определяте всяка отделна вероятност и ги умножавате. Друг начин: ако използвате връзката „и“, за да опишете няколко условия (например каква е вероятността да се случи някакво случайно събитие и друго независимо случайно събитие?) - изчислете отделните вероятности и ги умножете.

Няма значение какво мислите - никога не сумирайте независимите вероятности. Това е често срещана грешка. За да разберете защо това не е наред, представете си ситуация, в която хвърляте монета и искате да знаете каква е вероятността да получите глави два пъти подред. Вероятността за падане от всяка страна е 50%. Ако сумирате тези две вероятности, получавате 100% шанс да получите глави, но знаем, че това не е вярно, защото могат да се появят две последователни опашки. Ако вместо това умножите двете вероятности, получавате 50% * 50% = 25% - което е правилният отговор за изчисляване на вероятността да получите глави два пъти подред.

Пример

Да се ​​върнем към играта на шестстранни зарове, където първо трябва да хвърлите число, по-голямо от 2, след това повече от 3 - и така нататък до 6. Какви са шансовете в дадена серия от пет хвърляния всички резултатите ще бъдат благоприятни?

Както бе споменато по-горе, това са независими опити, така че изчисляваме вероятността за всяко отделно хвърляне и след това ги умножаваме. Вероятността изходът от първото хвърляне да е благоприятен е 5/6. Второто - 4/6. Трети - 3/6. Четвъртият - 2/6, петият - 1/6. Умножаваме всички резултати един по друг и получаваме около 1,5%. Печалбите в тази игра са доста редки, така че ако добавите този елемент към играта си, ще имате нужда от доста голям джакпот.

Отрицание

Ето още един полезен съвет: понякога е трудно да се изчисли вероятността дадено събитие да се случи, но е по-лесно да се определят шансовете дадено събитие да не се случи. Да предположим например, че имаме друга игра: хвърляте 6d6 и печелите, ако поне веднъж хвърлите 6. Каква е вероятността да спечелите?

В този случай има много възможности за разглеждане. Възможно е да се падне едно число 6, тоест на един от заровете да се падне числото 6, а на другите числата от 1 до 5, тогава има 6 варианта кой от заровете да има a 6. Можете да получите числото 6 на две кости зарове, или три, или дори повече, и всеки път ще трябва да правите отделно изчисление, така че е лесно да се объркате тук.

Но нека погледнем проблема от другата страна. Вие губите, ако нито един от заровете не хвърли 6. В този случай имаме 6 независими опита. Вероятността всеки от заровете да хвърли число, различно от 6, е 5/6. Умножете ги - и вземете около 33%. По този начин вероятността да загубите е едно към три. Следователно вероятността за печалба е 67% (или две до три).

От този пример е очевидно, че ако изчислявате вероятността дадено събитие да не се случи, трябва да извадите резултата от 100%. Ако вероятността за печалба е 67%, тогава вероятността за загуба е 100% минус 67%, или 33%, и обратно. Ако е трудно да се изчисли една вероятност, но е лесно да се изчисли противоположната, изчислете противоположната и след това извадете това число от 100%.

Свързващи условия за един независим тест

Казах малко по-рано, че никога не трябва да сумирате вероятности в независими опити. Има ли случаи, в които е възможно да се сумират вероятностите? Да, в една конкретна ситуация.

Ако искате да изчислите вероятността за множество несвързани благоприятни резултати при едно и също изпитване, сумирайте вероятностите за всеки благоприятен резултат. Например, вероятността за хвърляне 4, 5 или 6 на 1d6 е равна на сумата от вероятността за хвърляне 4, вероятността за хвърляне 5 и вероятността за хвърляне 6. Тази ситуация може да бъде представена по следния начин: ако вие използвайте съюза "или" във въпрос за вероятност (например каква е вероятността за един или друг резултат от едно случайно събитие?) - изчислете отделните вероятности и ги сумирайте.

Моля, обърнете внимание: когато изчислявате всички възможни резултати от играта, сумата от вероятностите за тяхното възникване трябва да бъде равна на 100%, в противен случай изчислението ви е направено неправилно. Това е добър начин да проверите отново изчисленията си. Например, анализирахте вероятността да получите всички комбинации в покера. Ако съберете всички резултати, които получавате, трябва да получите точно 100% (или поне стойност, доста близка до 100%: ако използвате калкулатор, може да има малка грешка при закръгляване, но ако добавяте точните числа на ръка, всичко трябва да се събере. ). Ако сумата не се събира, тогава най-вероятно не сте взели предвид някои комбинации или сте изчислили неправилно вероятностите за някои комбинации и изчисленията трябва да бъдат проверени отново.

Неравни вероятности

Досега приемахме, че всяка страна на зарчето пада с еднаква честота, защото това е начинът, по който зарът работи. Но понякога можете да срещнете ситуация, при която са възможни различни резултати и те имат различни шансове да отпаднат.

Например в едно от допълненията към играта с карти Nuclear War има игрално поле със стрелка, която определя резултата от изстрелване на ракета. Най-често нанася нормални щети, повече или по-малко, но понякога щетите се удвояват или утрояват, или ракетата експлодира на стартовата площадка и ви наранява, или се случва някакво друго събитие. За разлика от дъската със стрели в Улеи и стълби или Игра на живот, резултатите от дъската в Ядрена война не са еднакво вероятни. Някои участъци от игралното поле са по-големи и стрелката спира върху тях много по-често, докато други участъци са много малки и стрелката спира върху тях рядко.

И така, на пръв поглед костта изглежда така: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - вече говорихме за това, това е нещо като претеглено 1d3. Следователно трябва да разделим всички тези секции на равни части, да намерим най-малката мерна единица, делителя, на който всичко е кратно, и след това да представим ситуацията във формата d522 (или друга), където наборът от зарове лицата ще представляват същата ситуация, но с повече резултати. Това е един от начините за решаване на проблема и е технически осъществим, но има и по-лесен вариант.

Нека се върнем към нашите стандартни шестстранни зарове. Казахме, че за да изчислите средната стойност на хвърляне за нормален зар, трябва да сумирате стойностите на всички лица и да ги разделите на броя на лицата, но как точно се прави изчислението? Можете да го изразите по различен начин. За шестстранни зарове вероятността всяко лице да се появи е точно 1/6. Сега умножаваме резултата от всеки аспект по вероятността за този резултат (в този случай 1/6 за всеки аспект) и след това сумираме получените стойности. И така, сумирайки (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6), получаваме същия резултат (3.5), както при изчислението по-горе. Всъщност ние изчисляваме това всеки път: умножаваме всеки резултат по вероятността за този резултат.

Можем ли да направим същото изчисление за стрелката на игралната дъска в Ядрена война? Разбира се, че можем. И ако обобщим всички намерени резултати, получаваме средната стойност. Всичко, което трябва да направим, е да изчислим вероятността за всеки резултат за стрелката на игралното поле и да умножим по стойността на резултата.

Друг пример

Споменатият метод за изчисляване на средната стойност също е подходящ, ако резултатите са еднакво вероятни, но имат различни предимства - например, ако хвърлите зар и спечелите повече на някои лица, отколкото на други. Например, нека вземем игра, която се случва в казино: правите залог и хвърляте 2d6. Ако се появят три числа с ниска стойност (2, 3, 4) или четири числа с висока стойност (9, 10, 11, 12), вие ще спечелите сума, равна на вашия залог. Числата с най-ниска и най-висока стойност са специални: ако се появят 2 или 12, ще спечелите два пъти повече от вашия залог. Ако се появи друго число (5, 6, 7, 8), ще загубите залога си. Това е доста проста игра. Но каква е вероятността да спечелите?

Нека започнем, като преброим колко пъти можете да спечелите. Максималният брой резултати при хвърляне 2d6 е 36. Какъв е броят на благоприятните резултати?

• Има 1 опция, която ще хвърли 2, и 1 опция, която ще хвърли 12.
• Има 2 опции за 3 и 2 опции за 11.
• Има 3 опции за 4 и 3 опции за 10.
• Има 4 опции, които ще хвърлят 9.

Обобщавайки всички опции, получаваме 16 благоприятни изхода от 36. Така при нормални условия ще спечелите 16 пъти от 36 възможни - вероятността да спечелите е малко по-малка от 50%.

Но два пъти от тези шестнадесет ще спечелите два пъти повече - все едно сте спечелили два пъти. Ако играете тази игра 36 пъти, като залагате $1 всеки път и всеки от всички възможни резултати се появи веднъж, вие печелите общо $18 (всъщност печелите 16 пъти, но два от тях се броят за две победи). Ако играете 36 пъти и спечелите $18, това не означава ли, че вероятностите са равни?

Отделете време. Ако преброите колко пъти можете да загубите, получавате 20, а не 18. Ако играете 36 пъти, залагайки $1 всеки път, ще спечелите общо $18, когато всички коефициенти се появят. Но ще загубите общо $20 за всичките 20 лоши резултата. В резултат на това ще изостанете малко: губите средно $2 нетно за всеки 36 игри (можете също така да кажете, че губите средно $1/18 на ден). Сега виждате колко лесно е да направите грешка в този случай и да изчислите вероятността неправилно.

пермутация

Досега приемахме, че редът, в който се хвърлят числата, няма значение при хвърлянето на зара. Хвърлянето на 2 + 4 е същото като хвърлянето на 4 + 2. В повечето случаи ръчно броим броя на благоприятните резултати, но понякога този метод е непрактичен и е по-добре да използвате математическа формула.

Пример за тази ситуация е от играта със зарове Farkle. За всеки нов рунд хвърляте 6d6. Ако имате късмет и излязат всички възможни резултати от 1-2-3-4-5-6 (Straight), ще получите голям бонус. Каква е вероятността това да се случи? В този случай има много възможности за загуба на тази комбинация.

Решението е следното: на един от заровете (и само на един) трябва да се падне числото 1. Колко варианта да изпадне числото 1 на един зар? Вариантите са 6, тъй като има 6 зара и на всеки от тях може да се падне числото 1. Съответно вземете един зар и го оставете настрана. Сега на един от останалите зарове трябва да падне числото 2. Има 5 варианта за това. Вземете друг зар и го оставете настрана. След това 4 от останалите зарове може да паднат на 3, 3 от останалите зарове могат да паднат на 4, а 2 от останалите зарове могат да попаднат на 5. В резултат оставате с един зар, на който числото 6 трябва да падне (в последния случай зарът има само една кост и няма избор).

За да преброим броя на благоприятните резултати за получаване на права комбинация, ние умножаваме всички различни независими опции: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - изглежда, че има доста голям брой опции за тази комбинация да излезе.

За да изчислим вероятността да получим права комбинация, трябва да разделим 720 на броя на всички възможни резултати за хвърляне 6d6. Какъв е броят на всички възможни резултати? Всеки зар може да хвърли 6 лица, така че умножаваме 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (много по-голямо число от предишното). Разделяме 720 на 46656 и получаваме вероятност, равна на около 1,5%. Ако сте проектирали тази игра, би било полезно да знаете това, за да можете да създадете подходяща система за точкуване. Сега разбираме защо във Farkle получавате толкова голям бонус, ако уцелите права комбинация: тази ситуация е доста рядка.

Резултатът е интересен и по друга причина. Примерът показва колко рядко за кратък период отпада резултатът, съответстващ на вероятността. Разбира се, ако хвърлим няколко хиляди зара, различни страни на зара ще се появяват доста често. Но когато хвърлим само шест зара, почти никога не се случва всеки един от заровете да излезе. Става ясно, че е глупаво да се очаква, че сега ще изпадне лице, което все още не е имало, защото „отдавна не сме изпускали числото 6“. Вижте, вашият генератор на случайни числа е повреден.

Това ни води до общоприетото погрешно схващане, че всички резултати се появяват с еднаква скорост за кратък период от време. Ако хвърлим зара няколко пъти, честотата на всяко от лицата няма да е еднаква.

Ако някога сте работили върху онлайн игра с някакъв генератор на произволни числа, най-вероятно сте се сблъсквали със ситуация, при която играч пише на техническата поддръжка с оплакване, че генераторът на произволни числа не показва произволни числа. Той стигна до това заключение, защото уби 4 чудовища подред и получи 4 абсолютно еднакви награди, а тези награди трябва да падат само в 10% от времето, така че това очевидно почти никога не трябва да се случва.

Вие се занимавате с математика. Вероятността е 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, тоест 1 резултат от 10 хиляди е доста рядък случай. Това се опитва да ви каже играчът. Има ли проблем в този случай?

Всичко зависи от обстоятелствата. Колко играчи са на вашия сървър сега? Да предположим, че имате доста популярна игра и всеки ден 100 000 души я играят. Колко играчи ще убият четири чудовища подред? Вероятно всичко, по няколко пъти на ден, но да приемем, че половината от тях просто търгуват различни предмети на търгове, чатят на RP сървъри или извършват други игрови дейности - така че само половината от тях ловуват чудовища. Каква е вероятността някой да получи същата награда? В тази ситуация можете да очаквате това да се случва поне няколко пъти на ден.

Между другото, затова изглежда, че на всеки няколко седмици някой печели от лотарията, дори ако този някой никога не е бил вие или някой, когото познавате. Ако достатъчно хора играят редовно, има вероятност някъде да има поне един късметлия. Но ако сами играете на лотарията, тогава е малко вероятно да спечелите, по-вероятно е да бъдете поканени да работите в Infinity Ward.

Карти и пристрастяване

Обсъдихме независими събития, като хвърляне на зар, и сега знаем много мощни инструменти за анализиране на случайността в много игри. Изчислението на вероятността е малко по-сложно, когато става въпрос за теглене на карти от тестето, тъй като всяка карта, която изваждаме, засяга тези, които остават в тестето.

Ако имате стандартно тесте от 52 карти, изтегляте 10 сърца от него и искате да знаете вероятността следващата карта да е от същата боя - вероятността се е променила спрямо оригинала, защото вече сте премахнали една карта сърца от палуба. Всяка карта, която премахнете, променя вероятността следващата карта да се появи в тестето. В този случай предишното събитие засяга следващото, така че наричаме тази вероятност зависима.

Обърнете внимание, че когато казвам „карти“, имам предвид всяка механика на играта, която има набор от обекти и вие премахвате един от обектите, без да го заменяте. „Колоде карти“ в този случай е аналогично на торба с чипове, от която изваждате един чип, или урна, от която се вадят цветни топки (никога не съм виждал игри с урна, от която се вземат цветни топки вън, но учителите по теория на вероятностите по някаква причина този пример е предпочитан).

Свойства на зависимостта

Бих искал да поясня, че когато става въпрос за карти, предполагам, че теглите карти, гледате ги и ги премахвате от тестето. Всяко от тези действия е важно свойство. Ако имах тесте от, да речем, шест карти, номерирани от 1 до 6, щях да ги разбъркам и да изтегля една карта, след което да разбъркам всичките шест карти отново - това би било подобно на хвърляне на шестстранен зар, защото един резултат не засягат тук за следващите. И ако изтегля карти и не ги заменя, тогава като изтегля 1 карта, увеличавам вероятността следващия път да изтегля карта с номер 6. Вероятността ще се увеличи, докато в крайна сметка не изтегля тази карта или не разбъркам тестето.

Фактът, че гледаме на карти, също е важен. Ако извадя карта от тестето и не я погледна, няма да имам допълнителна информация и всъщност вероятността няма да се промени. Това може да звучи нелогично. Как простото обръщане на карта магически може да промени шансовете? Но е възможно, защото можете да изчислите вероятността за неизвестни елементи само въз основа на това, което знаете.

Например, ако разбъркате стандартно тесте карти, разкриете 51 карти и нито една от тях не е дама купа, тогава можете да сте 100% сигурни, че останалата карта е дама купа. Ако разбъркате стандартно тесте карти и изтеглите 51 карти, без да ги гледате, тогава вероятността оставащата карта да е дама купа все още е 1/52. Когато отваряте всяка карта, получавате повече информация.

Изчисляването на вероятността за зависими събития следва същите принципи като за независими събития, с изключение на това, че е малко по-сложно, тъй като вероятностите се променят, когато разкриете картите. Следователно трябва да умножите много различни стойности, вместо да умножавате една и съща стойност. Всъщност това означава, че трябва да комбинираме всички изчисления, които направихме, в една комбинация.

Пример

Разбърквате стандартно тесте от 52 карти и теглите две карти. Каква е вероятността да вземете чифт? Има няколко начина за изчисляване на тази вероятност, но може би най-простият е следният: каква е вероятността, след като сте изтеглили една карта, да не можете да изтеглите чифт? Тази вероятност е нула, така че няма особено значение коя първа карта ще изтеглите, стига да съвпада с втората. Няма значение коя карта ще изтеглим първа, все пак имаме шанс да изтеглим чифт. Следователно вероятността да извадите чифт след изваждане на първата карта е 100%.

Каква е вероятността втората карта да съвпадне с първата? В тестето са останали 51 карти и 3 от тях съвпадат с първата карта (всъщност ще бъдат 4 от 52, но вече сте премахнали една от съвпадащите карти, когато сте изтеглили първата карта), така че вероятността е 1/ 17. Така че следващия път, когато човекът срещу вас на масата играе Texas Hold'em, той казва: „Страхотно, още един чифт? Имам късмет днес“, ще знаете, че с голяма степен на вероятност той блъфира.

Ами ако добавим два жокера, така че имаме 54 карти в тестето и искаме да знаем каква е вероятността да изтеглим чифт? Първата карта може да бъде жокер и тогава в тестето ще има само една съвпадаща карта, а не три. Как да намерим вероятността в този случай? Разделяме вероятностите и умножаваме всяка възможност.

Първата ни карта може да бъде жокер или друга карта. Вероятността да изтеглите жокер е 2/54, вероятността да изтеглите друга карта е 52/54. Ако първата карта е жокер (2/54), тогава вероятността втората карта да съвпадне с първата е 1/53. Умножаваме стойностите (можем да ги умножаваме, защото те са отделни събития и искаме и двете събития да се случат) и получаваме 1/1431 - по-малко от една десета от процента.

Ако първо изтеглите друга карта (52/54), вероятността за съвпадение на втората карта е 3/53. Умножаваме стойностите и получаваме 78/1431 (малко повече от 5,5%). Какво правим с тези два резултата? Те не се пресичат и искаме да знаем вероятността за всеки от тях, така че сумираме стойностите. Получаваме крайния резултат 79/1431 (все пак около 5,5%).

Ако искахме да сме сигурни в точността на отговора, бихме могли да изчислим вероятността за всички други възможни резултати: изтегляне на джокера и несъвпадение на втората карта или изтегляне на друга карта и несъвпадение на втората карта. Обобщавайки тези вероятности и вероятността за печалба, ще получим точно 100%. Няма да давам математиката тук, но можете да опитате математиката, за да проверите отново.

Парадоксът на Монти Хол

Това ни води до един доста добре известен парадокс, който често обърква мнозина, Парадоксът на Монти Хол. Парадоксът е кръстен на водещия на телевизионното предаване Да се ​​споразумеем За тези, които никога не са гледали това телевизионно предаване ще кажа, че беше обратното на The Price Is Right.

В The Price Is Right домакинът (предишен домакин от Боб Баркър, сега Дрю Кери? Няма значение) е ваш приятел. Той иска да спечелите пари или готини награди. Опитва се да ви даде всяка възможност да спечелите, стига да можете да познаете колко всъщност струват спонсорираните артикули.

Монти Хол се държеше различно. Той беше като злия близнак на Боб Баркър. Целта му беше да те накара да изглеждаш като идиот по националната телевизия. Ако бяхте в шоуто, той беше ваш опонент, играехте срещу него и шансовете бяха в негова полза. Може би съм прекалено груб, но гледайки шоу, в което е по-вероятно да попаднете, ако носите смешен костюм, точно това стигам.

Едно от най-известните мемета на шоуто беше следното: има три врати пред вас, врата номер 1, врата номер 2 и врата номер 3. Можете да изберете една врата безплатно. Зад един от тях има страхотна награда - например нова кола. Зад другите две врати няма награди, и двете са без стойност. Те трябва да ви унижават, така че зад тях не стои нищо, а нещо глупаво, например коза или огромна туба паста за зъби - всичко друго, но не и нова кола.

Избирате една от вратите, Монти е на път да я отвори, за да ви уведоми дали сте спечелили или не... но изчакайте. Преди да разберем, нека да разгледаме една от тези врати, които не сте избрали. Монти знае зад коя врата е наградата и винаги може да отвори врата, зад която няма награда. „Избирате ли врата номер 3? Тогава нека отворим врата номер 1, за да покажем, че зад нея няма награда." И сега, от щедрост, той ви предлага възможността да размените избраната врата номер 3 за това, което е зад врата номер 2.

В този момент възниква въпросът за вероятността: тази възможност увеличава ли вероятността ви да спечелите, или я понижава, или остава непроменена? Какво мислиш?

Правилен отговор: възможността да изберете друга врата увеличава шанса за печалба от 1/3 на 2/3. Това е нелогично. Ако не сте се сблъсквали с този парадокс преди, тогава най-вероятно си мислите: чакайте, как е това: като отворихме една врата, магически променихме вероятността? Както видяхме в примера с картите, точно това се случва, когато получим повече информация. Очевидно, когато избирате за първи път, вероятността да спечелите е 1/3. Когато една врата се отвори, това изобщо не променя вероятността за печалба за първия избор: вероятността все още е 1/3. Но вероятността другата врата да е правилна вече е 2/3.

Нека погледнем този пример от другата страна. Вие избирате врата. Вероятността за печалба е 1/3. Предлагам ви да смените другите две врати, което прави Монти Хол. Разбира се, той отваря една от вратите, за да покаже, че зад нея няма награда, но винаги може да направи това, така че това всъщност не променя нищо. Разбира се, ще искате да изберете различна врата.

Ако не разбирате напълно въпроса и се нуждаете от по-убедително обяснение, щракнете върху тази връзка, за да отидете на страхотно малко Flash приложение, което ще ви позволи да изследвате този парадокс по-подробно. Можете да започнете с около 10 врати и след това постепенно да преминете към игра с три врати. Има и симулатор, където можете да играете с произволен брой врати от 3 до 50 или да стартирате няколко хиляди симулации и да видите колко пъти бихте спечелили, ако играете.

Изберете една от трите врати - вероятността да спечелите е 1/3. Сега имате две стратегии: да промените избора след отваряне на грешната врата или не. Ако не промените избора си, тогава вероятността ще остане 1/3, тъй като изборът е само на първия етап и трябва да познаете веднага. Ако промените, тогава можете да спечелите, ако първо изберете грешната врата (след това те отварят друга грешна, правилната остава - променяйки решението, вие просто го вземате). Вероятността да изберете грешна врата в началото е 2/3 - така се оказва, че като промените решението си, вие удвоявате вероятността да спечелите.

Забележка от учител по висша математика и специалист по игрови баланс Максим Солдатов - разбира се, Шрайбер не го е имал, но без него е доста трудно да се разбере тази магическа трансформация

Преразглеждане на парадокса на Монти Хол

Що се отнася до самото шоу, дори съперниците на Монти Хол да не бяха добри по математика, той беше добър в нея. Ето какво направи той, за да промени малко играта. Ако изберете вратата, зад която е наградата, с вероятност 1/3, той винаги ви предлага опцията да изберете друга врата. Избирате кола и след това я сменяте с коза и изглеждате доста глупаво - което е точно това, от което се нуждаете, защото Хол е нещо като зъл човек.

Но ако изберете врата, която няма награда, той ще ви предложи друга врата само през половината време, или просто ще ви покаже новата ви коза и вие ще напуснете сцената. Нека анализираме тази нова игра, в която Monty Hall може да реши дали да ви предложи шанса да изберете друга врата или не.

Да предположим, че той следва този алгоритъм: ако изберете врата с награда, той винаги ви предлага възможност да изберете друга врата, в противен случай е еднакво вероятно да ви предложи да изберете друга врата или да ви даде коза. Каква е вероятността да спечелите?

При една от трите опции веднага избирате вратата, зад която се намира наградата, а домакинът ви кани да изберете друга.

От останалите два варианта от три (първоначално избирате врата без награда), в половината от случаите домакинът ще ви предложи да промените решението си, а в другата половина от случаите не.

Половината от 2/3 е 1/3, тоест в един случай от три ще получите коза, в един случай от три ще изберете грешната врата и домакинът ще ви предложи да изберете друга, а в един случай от три ще изберете правилната врата, но той отново предлага друга.

Ако водещият предложи да изберем друга врата, ние вече знаем, че един от трите случая, когато ни дава коза и ние тръгваме, не се е случил. Това е полезна информация: означава, че шансовете ни за печалба са се променили. Два от трите случая, в които имаме избор: в единия случай това означава, че сме познали правилно, а в другия случай, че сме познали неправилно, така че ако изобщо ни е предложен избор, тогава вероятността да спечелим е 1 /2 , като математически няма значение дали ще останете при избора си или ще изберете друга врата.

Подобно на покера, това е психологическа игра, а не математическа. Защо Монти ти предложи избор? Мисли ли, че сте глупак, който не знае, че изборът на друга врата е „правилното“ решение и упорито ще държи на избора си (все пак ситуацията е психологически по-сложна, когато изберете кола и след това я загубите) ?

Или той, като реши, че сте умна и изберете друга врата, ви предлага този шанс, защото знае, че първоначално сте познали правилно и попадате на куката? Или може би е необичайно мил и ви подтиква да направите нещо полезно за вас, защото отдавна не е давал коли и продуцентите казват, че публиката се отегчава и е по-добре скоро да дадете голяма награда, така че спаднаха ли рейтингите?

Така Монти успява понякога да предложи избор, докато общата вероятност за печалба остава равна на 1/3. Не забравяйте, че вероятността да загубите веднага е 1/3. Има 1/3 шанс да познаете веднага и 50% от тези случаи ще спечелите (1/3 x 1/2 = 1/6).

Вероятността първо да сбъркате, но след това да имате шанс да изберете друга врата е 1/3 и в половината от тези случаи ще спечелите (също 1/6). Добавете две независими възможности за печалба и ще получите вероятност от 1/3, така че няма значение дали ще останете при избора си или ще изберете друга врата - общата вероятност за вашата печалба през цялата игра е 1/3.

Вероятността не става по-голяма, отколкото в ситуацията, когато сте познали вратата и домакинът просто ви е показал какво има зад нея, без да предлага да изберете друга. Целта на предложението не е да се промени вероятността, а да се направи процесът на вземане на решение по-забавен за гледане на телевизия.

Между другото, това е една от причините, поради които покерът може да бъде толкова интересен: в повечето формати между рундовете, когато се правят залози (например флоп, търн и ривър в Texas Hold'em), картите се разкриват постепенно, и ако в началото на играта имате един шанс да спечелите, след всеки рунд на залагане, когато има повече отворени карти, тази вероятност се променя.

Парадоксът на момчето и момичето

Това ни води до друг добре известен парадокс, който озадачава всички, парадоксът момче-момиче. Единственото нещо, за което пиша днес, което не е пряко свързано с игрите (въпреки че предполагам, че просто трябва да ви накарам да създадете подходяща механика на играта). Това е по-скоро пъзел, но интересен и за да го разрешите, трябва да разберете условната вероятност, за която говорихме по-горе.

Задача: Имам приятел с две деца, като поне едното е момиче. Каква е вероятността второто дете също да е момиче? Да приемем, че във всяко семейство шансовете да има момиче и момче са 50/50 и това важи за всяко дете.

Всъщност някои мъже имат повече сперматозоиди с X хромозома или Y хромозома в спермата си, така че шансовете варират леко. Ако знаете, че едното дете е момиче, шансът да имате второ момиченце е малко по-висок, а има и други състояния, като хермафродитизъм. Но за да разрешим този проблем, няма да вземем това предвид и да приемем, че раждането на дете е независимо събитие и раждането на момче и момиче е еднакво вероятно.

Тъй като говорим за шанс 1/2, ние интуитивно очакваме отговорът да бъде 1/2 или 1/4, или някакво друго кратно на две в знаменателя. Но отговорът е 1/3. Защо?

Трудността в този случай е, че информацията, която имаме, намалява броя на възможностите. Да предположим, че родителите са фенове на „Улица Сезам“ и независимо от пола на децата са ги кръстили А и Б. При нормални условия има четири еднакво вероятни възможности: А и Б са две момчета, А и Б са две момичета, А е момче и B е момиче, A е момиче и B е момче. Тъй като знаем, че поне едно дете е момиче, можем да изключим възможността A и B да са две момчета. Така че оставаме с три възможности - все още еднакво вероятни. Ако всички възможности са еднакво вероятни и има три от тях, тогава вероятността за всяка от тях е 1/3. Само в един от тези три варианта и двете деца са момичета, така че отговорът е 1/3.

И отново за парадокса на момче и момиче

Решението на проблема става още по-нелогично. Представете си, че моята приятелка има две деца и едното от тях е момиченце, родено във вторник. Нека приемем, че при нормални условия има еднаква вероятност да се роди дете през всеки от седемте дни от седмицата. Каква е вероятността второто дете също да е момиче?

Може би си мислите, че отговорът пак ще бъде 1/3: какво означава вторник? Но в този случай интуицията ни подвежда. Отговорът е 13/27, което не просто не е интуитивно, но и много странно. Какво има в случая?

Всъщност вторник променя вероятността, защото не знаем кое бебе е родено във вторник или може би и двете са родени във вторник. В този случай използваме същата логика: броим всички възможни комбинации, когато поне едно дете е момиче, родено във вторник. Както в предишния пример, да предположим, че децата са кръстени A и B. Комбинациите изглеждат така:

• А е момиче, което е родено във вторник, Б е момче (в тази ситуация има 7 възможности, по една за всеки ден от седмицата, когато може да се роди момче).
• B - момиче, което е родено във вторник, A - момче (също 7 възможности).
• А е момиче, което е родено във вторник, Б е момиче, което е родено в различен ден от седмицата (6 възможности).
• B - момиче, което е родено във вторник, A - момиче, което не е родено във вторник (също 6 вероятности).
• A и B са две момичета, родени във вторник (1 възможност, трябва да обърнете внимание на това, за да не броите два пъти).

Обобщаваме и получаваме 27 различни еднакво възможни комбинации от раждане на деца и дни с поне една възможност момиче да се роди във вторник. От тях 13 възможности са при раждане на две момичета. Освен това изглежда напълно нелогично - изглежда, че тази задача е измислена само за да причини главоболие. Ако все още сте озадачени, уебсайтът на теоретика на игрите Jesper Juhl има добро обяснение за това.

Ако в момента работите върху игра

Ако има случайност в играта, която проектирате, това е чудесна възможност да я анализирате. Изберете всеки елемент, който искате да анализирате. Първо се запитайте каква бихте очаквали да бъде вероятността за даден елемент в контекста на играта.

Например, ако правите ролева игра и мислите колко вероятно е играчът да победи чудовище в битка, запитайте се какъв процент победа смятате за правилен. Обикновено, в случай на конзолни RPG, играчите се разстройват много, когато загубят, така че е по-добре да губят рядко - 10% от времето или по-малко. Ако сте RPG дизайнер, вероятно знаете по-добре от мен, но трябва да имате основна представа за това каква трябва да бъде вероятността.

След това се запитайте дали вашите вероятности са зависими (както при картите) или независими (както при зарове). Обсъдете всички възможни резултати и техните вероятности. Уверете се, че сумата от всички вероятности е 100%. И, разбира се, сравнете вашите резултати с вашите очаквания. Възможно ли е да хвърляте зарове или да теглите карти, както сте предвидили, или е ясно, че стойностите трябва да се коригират. И, разбира се, ако откриете недостатъци, можете да използвате същите изчисления, за да определите колко трябва да промените стойностите.

Домашна работа

Вашето „домашно“ тази седмица ще ви помогне да усъвършенствате уменията си за вероятности. Ето две игри със зарове и игра на карти, които трябва да анализирате с помощта на вероятността, както и странна механика на играта, която веднъж разработих, върху която ще тествате метода Монте Карло.

Игра #1 - Драконови кости

Това е игра със зарове, която моите колеги и аз веднъж измислихме (благодарение на Джеб Хейвънс и Джеси Кинг) - тя умишлено взривява умовете на хората със своите вероятности. Това е проста казино игра, наречена „Dragon Dice“ и представлява състезание със зарове между играча и заведението.

Получавате обикновен зар 1d6. Целта на играта е да хвърлите число, по-голямо от това на къщата. Том получава нестандартно 1d6 - същото като вашето, но на едно от лицата му вместо на едно - изображението на дракон (по този начин казиното има зар дракон-2-3-4-5-6). Ако институцията получи дракон, тя автоматично печели, а вие губите. Ако и двамата получат едно и също число, това е равенство и хвърляте заровете отново. Този, който хвърли най-голямото число, печели.

Разбира се, не всичко е изцяло в полза на играча, защото казиното има предимство под формата на лице на дракон. Но наистина ли е така? Това е, което трябва да изчислите. Но първо проверете интуицията си.

Да приемем, че печалбата е 2 към 1. Така че, ако спечелите, запазвате залога си и получавате двойна сума. Например, ако заложите $1 и спечелите, вие запазвате този долар и получавате още $2 отгоре, за общо $3. Ако загубите, губите само залога си. Бихте ли играли? Чувствате ли интуитивно, че вероятността е по-голяма от 2 към 1, или все още смятате, че е по-малка? С други думи, средно за 3 игри очаквате ли да спечелите повече от веднъж, по-малко или веднъж?

След като махнете интуицията си от пътя, приложете математиката. Има само 36 възможни позиции и за двата зара, така че можете лесно да ги преброите всички. Ако не сте сигурни относно тази оферта 2 към 1, помислете за следното: Да приемем, че сте играли играта 36 пъти (залагайки $1 всеки път). За всяка победа получавате $2, за всяка загуба губите $1, а равенството не променя нищо. Пребройте всичките си вероятни печалби и загуби и решете дали ще загубите няколко долара или ще спечелите. След това се запитайте колко права се е оказала вашата интуиция. И тогава осъзнай какъв злодей съм.

И, да, ако вече сте се замисляли над този въпрос - умишлено ви обърквам, като изопачавам истинската механика на игрите със зарове, но съм сигурен, че можете да преодолеете това препятствие само с добра мисъл. Опитайте се да разрешите този проблем сами.

Игра #2 - Roll of Luck

Това е игра със зарове, наречена Roll of Luck (също Birdcage, защото понякога заровете не се хвърлят, а се поставят в голяма телена клетка, напомняща на клетката за бинго). Играта е проста, основно се свежда до следното: Заложете, да речем, $1 на число между 1 и 6. След това хвърляте 3d6. За всеки зар, който улучи вашето число, получавате $1 (и запазвате първоначалния си залог). Ако вашето число не падне на нито един от заровете, казиното получава вашия долар, а вие не получавате нищо. Така че, ако заложите на 1 и получите 1 на лицето три пъти, получавате $3.

Интуитивно изглежда, че в тази игра шансовете са равни. Всеки зар е индивидуален шанс за печалба 1 към 6, така че вашият шанс за печалба е 3 към 6 при три хвърляния. Все пак не забравяйте, разбира се, че подреждате три отделни зара и имате право да добавяте само ако сме говорим за отделни печеливши комбинации от едни и същи зарове. Нещо, което ще трябва да умножите.

След като сте изчислили всички възможни резултати (вероятно е по-лесно да се направи в Excel, отколкото на ръка, има 216 от тях), играта все още изглежда четно-нечетно на пръв поглед. Всъщност казиното все още е по-вероятно да спечели - колко повече? По-конкретно, колко пари очаквате да загубите средно на рунд на игра?

Всичко, което трябва да направите, е да съберете печалбите и загубите на всички 216 резултата и след това да ги разделите на 216, което трябва да е доста лесно. Но както можете да видите, има няколко клопки, в които можете да попаднете, поради което казвам, че ако мислите, че има равен шанс за победа в тази игра, сте разбрали погрешно.

Игра #3 - 5 Card Stud

Ако вече сте загрели с предишни игри, нека проверим какво знаем за условната вероятност, използвайки тази игра на карти като пример. Нека си представим покер с тесте от 52 карти. Нека си представим и 5 card stud, където всеки играч получава само 5 карти. Не можете да изхвърлите карта, не можете да изтеглите нова, няма общо тесте - получавате само 5 карти.

Роял флъш е 10-J-Q-K-A в една ръка, за общо четири, така че има четири възможни начина да получите роял флъш. Изчислете вероятността да получите една от тези комбинации.

Трябва да ви предупредя за едно нещо: не забравяйте, че можете да теглите тези пет карти в произволен ред. Тоест, в началото можете да изтеглите асо или десетка, няма значение. Така че, когато правите изчисленията си, имайте предвид, че всъщност има повече от четири начина да получите роял флъш, ако приемем, че картите са раздадени по ред.

Игра #4 - МВФ Лотария

Четвъртата задача няма да бъде толкова лесна за решаване с помощта на методите, за които говорихме днес, но можете лесно да симулирате ситуацията с помощта на програмиране или Excel. На примера на този проблем можете да разработите метода Монте Карло.

По-рано споменах играта Chron X, върху която някога работих, и имаше една много интересна карта - лотарията на МВФ. Ето как работи: използвахте го в игра. След края на рунда картите бяха преразпределени и имаше 10% шанс картата да излезе от игра и произволен играч да получи 5 от всеки тип ресурс, който имаше жетон на тази карта. Карта беше пусната в игра без нито един жетон, но всеки път, когато остана в игра в началото на следващия рунд, тя получи един жетон.

Така че имаше 10% шанс да я поставите в игра, рундът да приключи, картата да излезе от играта и никой няма да получи нищо. Ако не стане (с 90% шанс), има 10% шанс (всъщност 9%, тъй като това е 10% от 90%) тя да напусне играта в следващия кръг и някой да получи 5 ресурса. Ако картата напусне играта след един кръг (10% от наличните 81%, така че вероятността е 8,1%), някой ще получи 10 единици, друг кръг - 15, още 20 и т.н. Въпрос: каква е очакваната стойност на броя ресурси, които ще получите от тази карта, когато най-накрая напусне играта?

Обикновено бихме се опитали да разрешим този проблем, като изчислим вероятността за всеки резултат и умножим по броя на всички резултати. Има 10% шанс да получите 0 (0,1 * 0 = 0). 9%, че ще получите 5 единици ресурси (9% * 5 = 0,45 ресурси). 8,1% от това, което получавате, е 10 (8,1% * 10 = 0,81 ресурси - като цяло очакваната стойност). И така нататък. И тогава щяхме да обобщим всичко.

И сега проблемът е очевиден за вас: винаги има шанс картата да не излезе от играта, тя може да остане в играта завинаги, за безкраен брой рундове, така че няма начин да се изчисли каквато и да е вероятност. Методите, които научихме днес, не ни позволяват да изчислим безкрайната рекурсия, така че ще трябва да я създадем изкуствено.

Ако сте достатъчно добър в програмирането, напишете програма, която ще симулира тази карта. Трябва да имате времеви цикъл, който довежда променливата до началната позиция на нула, показва произволно число и с 10% шанс променливата да излезе от цикъла. В противен случай той добавя 5 към променливата и цикълът се повтаря. Когато най-накрая излезе от цикъла, увеличете общия брой пробни изпълнения с 1 и общия брой ресурси (с колко зависи от това къде е спряла променливата). След това нулирайте променливата и започнете отначало.

Стартирайте програмата няколко хиляди пъти. Накрая разделете общите ресурси на общия брой изпълнения - това ще бъде вашата очаквана стойност на метода Монте Карло. Стартирайте програмата няколко пъти, за да сте сигурни, че числата, които получавате, са приблизително еднакви. Ако разпространението все още е голямо, увеличете броя на повторенията във външния цикъл, докато започнете да получавате съвпадения. Можете да сте сигурни, че каквито и числа да получите в крайна сметка, ще бъдат приблизително верни.

Ако сте нов в програмирането (дори да сте), ето малко упражнение, за да тествате уменията си за Excel. Ако сте дизайнер на игри, тези умения никога няма да са ви излишни.

Сега функциите if и rand ще ви бъдат много полезни. Ранд не изисква стойности, той просто произвежда произволно десетично число между 0 и 1. Обикновено го комбинираме с под и плюсове и минуси, за да симулираме хвърляне на зара, което споменах по-рано. В този случай обаче просто оставяме 10% шанс картата да напусне играта, така че можем просто да проверим дали rand е по-малък от 0,1 и да не се тревожим повече за това.

Ако има три стойности. По ред, условието, което е вярно или не, след това стойността, която се връща, ако условието е вярно, и стойността, която се връща, ако условието е невярно. Така че следната функция ще върне 5% от времето и 0 през останалите 90% от времето: =АКО(РАНД()<0.1,5,0) .

Има много начини да зададете тази команда, но бих използвал тази формула за клетката, която представлява първия кръг, да кажем, че е клетка A1: =АКО(РАНД()<0.1,0,-1) .

Тук използвам отрицателна променлива, която означава „тази карта не е напуснала играта и все още не е дала никакви ресурси“. Така че, ако първият кръг е приключил и картата е извън игра, A1 е 0; иначе е -1.

За следващата клетка, представляваща втория кръг: =АКО(A1>-1, A1, АКО(RAND()<0.1,5,-1)) . Така че, ако първият кръг приключи и картата веднага напусне играта, A1 е 0 (брой ресурси) и тази клетка просто ще копира тази стойност. В противен случай A1 е -1 (картата все още не е напуснала играта) и тази клетка продължава да се движи на случаен принцип: 10% от времето ще върне 5 единици ресурси, през останалото време стойността й ще бъде - 1. Ако приложим тази формула към допълнителни клетки, ще получим допълнителни рундове и до която и клетка да стигнете, ще получите крайния резултат (или -1, ако картата не е напуснала играта след всички рундове, които сте изиграли).

Вземете този ред клетки, който е единственият кръг с тази карта, и копирайте и поставете няколкостотин (или хиляди) редове. Може да не сме в състояние да направим безкраен тест за Excel (има ограничен брой клетки в таблицата), но поне можем да покрием повечето случаи. След това изберете една клетка, където ще поставите средната стойност на резултатите от всички кръгове - Excel любезно предоставя функцията average() за това.

В Windows поне можете да натиснете F9, за да преизчислите всички произволни числа. Както преди, направете това няколко пъти и вижте дали получавате същите стойности. Ако разпространението е твърде голямо, удвоете броя на изпълненията и опитайте отново.

Нерешени проблеми

Ако случайно имате диплома по теория на вероятностите и горните задачи ви се струват твърде лесни - ето две задачи, които си блъскам главата от години, но, уви, не съм толкова добър в математиката, че да ги решавам.

Нерешен проблем №1: Лотария на МВФ

Първата нерешена задача е предишната домашна работа. Мога лесно да използвам метода Монте Карло (използвайки C++ или Excel) и да съм сигурен в отговора на въпроса „колко ресурси ще получи играчът“, но не знам как точно да дам точен доказуем отговор математически (това е безкрайна серия).

Нерешен проблем №2: Последователности на фигури

Тази задача (тя също надхвърля задачите, които се решават в този блог) ми беше хвърлена от познат геймър преди повече от десет години. Докато играеше блекджек във Вегас, той забеляза една интересна особеност: теглейки карти от обувка с 8 тестета, той видя десет фигури подред (една фигура или лицева карта е 10, жокер, поп или дама, така че има общо 16 в стандартно тесте от 52 карти или 128 в обувка от 416 карти).

Каква е вероятността тази обувка да съдържа поне една последователност от десет или повече части? Да приемем, че са разбъркани честно, в произволен ред. Или, ако предпочитате, каква е вероятността никъде да няма последователност от десет или повече форми?

Можем да опростим задачата. Ето поредица от 416 части. Всяка част е 0 или 1. Има 128 единици и 288 нули, произволно разпръснати в последователността. Колко начина има за случайно вмъкване на 128 единици с 288 нули и колко пъти ще има поне една група от десет или повече единици по тези начини?

Всеки път, когато се заемех с решаването на този проблем, ми се струваше лесно и очевидно, но щом навлязох в детайлите, изведнъж се разпадаше и изглеждаше просто невъзможно.

Така че не бързайте да изричате отговора: седнете, помислете внимателно, проучете условията, опитайте да включите реални числа, защото всички хора, с които говорих за този проблем (включително няколко студенти, работещи в тази област), реагираха много по същия начин: „Напълно очевидно е... о, не, чакай, изобщо не е очевидно.“ Това е случаят, когато нямам метод за изчисляване на всички опции. Разбира се, бих могъл грубо да форсирам проблема чрез компютърен алгоритъм, но би било много по-интересно да открия математическия начин за решаването му.

Разбирам, че всеки иска да знае предварително как ще завърши едно спортно събитие, кой ще спечели и кой ще загуби. С тази информация можете да залагате на спортни събития без страх. Но възможно ли е изобщо и ако е така, как да се изчисли вероятността от събитие?

Вероятността е относителна стойност, поради което не може да говори с точност за нито едно събитие. Тази стойност ви позволява да анализирате и оцените необходимостта от залагане на определено състезание. Дефиницията на вероятностите е цяла наука, която изисква внимателно изучаване и разбиране.

Коефициент на вероятност в теорията на вероятностите

При спортните залагания има няколко варианта за изход от състезанието:

• победа на първия отбор;
• победа на втория отбор;
• рисувам;
• обща сума

Всеки резултат от състезанието има своя собствена вероятност и честота, с която това събитие ще се случи, при условие че се запазят първоначалните характеристики. Както споменахме по-рано, невъзможно е точно да се изчисли вероятността за всяко събитие - то може да съвпадне или да не съвпадне. Така вашият залог може или да спечели, или да загуби.

Не може да има точна 100% прогноза за резултатите от състезанието, тъй като много фактори влияят на резултата от мача. Естествено, букмейкърите не знаят изхода от мача предварително и само предполагат резултата, като вземат решение по своята система за анализ и предлагат определени коефициенти за залози.

Как да изчислим вероятността от събитие?

Да кажем, че коефициентът на букмейкъра е 2.1/2 - получаваме 50%. Оказва се, че коефициентът 2 е равен на вероятността от 50%. По същия принцип можете да получите коефициент на вероятност за рентабилност - 1 / вероятност.

Много играчи смятат, че след няколко повторни загуби със сигурност ще се случи победа - това е погрешно мнение. Вероятността да спечелите залог не зависи от броя на загубите. Дори ако хвърлите няколко глави подред в игра с монети, вероятността да хвърлите опашки остава същата - 50%.