Кой вектор се нарича единица. Вектори: определение и основни понятия

Такова понятие като вектор се разглежда в почти всички природни науки и може да има напълно различни значения, така че е невъзможно да се даде недвусмислено определение на вектор за всички области. Но нека се опитаме да го разберем. И така, вектор - какво е това?

Концепцията за вектор в класическата геометрия

Вектор в геометрията е отсечка, за която е посочено коя от точките му е началото и коя е краят. Тоест, казано по-просто, насочен сегмент се нарича вектор.

Съответно се посочва вектор (какво е - обсъдено по-горе), както и сегмент, тоест две главни букви от латинската азбука с добавяне на линия или стрелка, сочеща надясно отгоре. Може да се подписва и с малка (малка) буква от латинската азбука с тире или стрелка. Стрелката винаги сочи надясно и не се променя в зависимост от позицията на вектора.

Така че векторът има посока и дължина.

Обозначаването на вектор съдържа и неговата посока. Това се изразява, както е показано на фигурата по-долу.

Промяната на посоката обръща стойността на вектора.

Дължината на вектора е дължината на сегмента, от който е образуван. Обозначава се като модул от вектор. Това е показано на фигурата по-долу.

Съответно нула е вектор, чиято дължина е равна на нула. От това следва, че нулевият вектор е точка, освен това началната и крайната точка съвпадат в него.

Дължината на вектора винаги е неотрицателна стойност. С други думи, ако има сегмент, то той задължително има определена дължина или е точка, тогава дължината му е нула.

Самата концепция за точка е основна и няма определение.

Векторно добавяне

Има специални формули и правила за вектори, които могат да се използват за извършване на събиране.

Правило на триъгълника. За да добавите вектори според това правило, достатъчно е да комбинирате края на първия вектор и началото на втория, като използвате паралелна транслация, и да ги свържете. Полученият трети вектор ще бъде равен на добавянето на другите два.

правило на успоредник. За да добавите според това правило, трябва да начертаете двата вектора от една точка и след това да начертаете друг вектор от края на всеки от тях. Тоест вторият ще бъде изтеглен от първия, а първият от втория. В резултат на това ще се получи нова пресечна точка и ще се образува успоредник. Ако комбинираме пресечната точка на началото и края на векторите, тогава полученият вектор ще бъде резултат от събирането.

По подобен начин е възможно да се извърши изваждане.

Векторна разлика

Подобно на добавянето на вектори, е възможно да се извърши тяхното изваждане. Тя се основава на принципа, показан на фигурата по-долу.

Тоест, достатъчно е векторът, който трябва да се извади, да бъде представен като противоположен на него вектор и да се изчисли според принципите на събирането.

Също така, абсолютно всеки ненулев вектор може да бъде умножен по всяко число k, това ще промени дължината му с k пъти.

В допълнение към тях има и други векторни формули (например за изразяване на дължината на вектор чрез неговите координати).

Местоположение на векторите

Със сигурност мнозина са срещали такава концепция като колинеарен вектор. Какво е колинеарност?

Колинеарността на векторите е еквивалентна на успоредността на правите линии. Ако два вектора лежат на прави, които са успоредни една на друга или на една и съща права, тогава такива вектори се наричат ​​колинеарни.

Посока. Един спрямо друг, колинеарните вектори могат да бъдат еднакво насочени или противоположно насочени, това се определя от посоката на векторите. Съответно, ако един вектор е сънасочен с друг, тогава противоположният на него вектор е насочен противоположно.

Първата фигура показва два противоположно насочени вектора и трети, който не е колинеарен с тях.

След въвеждане на горните свойства е възможно да се дефинират и равни вектори - това са вектори, които са насочени в една и съща посока и имат еднаква дължина на сегментите, от които са образувани.

В много науки се използва и понятието радиус вектор. Такъв вектор описва позицията на една точка от равнината спрямо друга фиксирана точка (често това е началото).

Вектори във физиката

Да приемем, че при решаването на задачата е възникнало условие: тялото се движи със скорост 3 m/s. Това означава, че тялото се движи в определена посока по една права линия, така че тази променлива ще бъде векторна величина. За да го разрешите, е важно да знаете както стойността, така и посоката, тъй като в зависимост от съображението скоростта може да бъде или 3 m/s, или -3 m/s.

Като цяло векторът във физиката се използва за указване на посоката на силата, действаща върху тялото, и за определяне на резултата.

Когато тези сили са посочени на фигурата, те са обозначени със стрелки с векторен надпис над него. Класически дължината на стрелата е също толкова важна, с помощта на която те показват коя сила е по-силна, но това свойство е второстепенно, не трябва да разчитате на него.

Вектор в линейната алгебра и смятане

Елементите на линейните пространства също се наричат ​​вектори, но в този случай те са подредена система от числа, които описват някои от елементите. Следователно посоката в случая вече не е важна. Дефиницията на вектор в класическата геометрия и в математическия анализ са много различни.

Векторна проекция

Проектиран вектор - какво е това?

Доста често за правилно и удобно изчисление е необходимо да се разложи вектор, разположен в двуизмерно или триизмерно пространство по координатните оси. Тази операция е необходима например в механиката при изчисляване на силите, действащи върху тялото. Векторът във физиката се използва доста често.

За да извършите проекцията, достатъчно е да спуснете перпендикулярите от началото и края на вектора към всяка от координатните оси, получените върху тях сегменти ще се наричат ​​проекция на вектора върху оста.

За да се изчисли дължината на проекцията, е достатъчно да се умножи нейната първоначална дължина по определена тригонометрична функция, която се получава чрез решаване на мини-задача. Всъщност има правоъгълен триъгълник, в който хипотенузата е първоначалният вектор, единият катет е проекцията, а другият катет е спуснатият перпендикуляр.

Най-после се докопах до една обширна и дългоочаквана тема аналитична геометрия. Първо, малко за този раздел от висшата математика... Със сигурност сега си спомняте училищния курс по геометрия с многобройни теореми, техните доказателства, рисунки и т.н. Какво да крия, нелюбим и често неясен предмет за значителна част от учениците. Колкото и да е странно, аналитичната геометрия може да изглежда по-интересна и достъпна. Какво означава прилагателното "аналитичен"? Две щамповани математически завои веднага идват на ум: „графичен метод на решение“ и „аналитичен метод на решение“. Графичен метод, разбира се, е свързано с изграждането на графики, чертежи. Аналитиченедин и същ методвключва решаване на проблеми предимночрез алгебрични операции. В тази връзка алгоритъмът за решаване на почти всички проблеми на аналитичната геометрия е прост и прозрачен, често е достатъчно точно да се приложат необходимите формули - и отговорът е готов! Не, разбира се, изобщо няма да мине без рисунки, освен това, за по-добро разбиране на материала, ще се опитам да ги доведа повече от необходимостта.

Отвореният курс на уроци по геометрия не претендира за теоретична пълнота, той е фокусиран върху решаването на практически проблеми. В моите лекции ще включвам само това, което от моя гледна точка е важно от практическа гледна точка. Ако имате нужда от по-пълна справка за някой подраздел, препоръчвам следната доста достъпна литература:

1) Нещо, което без шега е познато на няколко поколения: Училищен учебник по геометрия, авторите - Л.С. Атанасян и компания. Тази закачалка на училищната съблекалня вече е издържала 20 (!) Преиздания, което, разбира се, не е границата.

2) Геометрия в 2 тома. Авторите Л.С. Атанасян, Базилев В.Т.. Това е литература за висше образование, ще ви трябва първи том. Рядко срещаните задачи могат да изпаднат от полезрението ми и урокът ще бъде от безценна помощ.

И двете книги са безплатни за изтегляне онлайн. Освен това можете да използвате моя архив с готови решения, които можете да намерите на страницата Изтеглете примери по висша математика.

От инструментите отново предлагам собствена разработка - софтуерен пакетвърху аналитичната геометрия, което значително ще опрости живота и ще спести много време.

Предполага се, че читателят е запознат с основните геометрични понятия и фигури: точка, права, равнина, триъгълник, паралелограм, паралелепипед, куб и др. Препоръчително е да запомните някои теореми, поне теоремата на Питагор, здравейте повторители)

И сега ще разгледаме последователно: концепцията за вектор, действия с вектори, векторни координати. По-нататък препоръчвам да прочетете най-важната статия Точково произведение на вектори, както и Вектор и смесено произведение на вектори. Местната задача няма да бъде излишна - Разделяне на сегмента в това отношение. Въз основа на горната информация можете уравнение на права линия в равнинас най-простите примери за решения, което ще позволи научете как да решавате задачи по геометрия. Следните статии също са полезни: Уравнение на равнина в пространството, Уравнения на права линия в пространството, Основни задачи за права и равнина, други раздели на аналитичната геометрия. Естествено, стандартните задачи ще бъдат разгледани по пътя.

Концепцията за вектор. безплатен вектор

Първо, нека повторим училищната дефиниция на вектор. векторНаречен насоченисегмент, за който са посочени неговото начало и край:

В този случай началото на отсечката е точката , краят на отсечката е точката . Самият вектор се означава с . Посокае от съществено значение, ако пренаредите стрелката към другия край на сегмента, получавате вектор и това вече е напълно различен вектор. Удобно е да се идентифицира концепцията за вектор с движението на физическо тяло: трябва да признаете, че влизането през вратите на институт или излизането от вратите на института са напълно различни неща.

Удобно е да се разглеждат отделни точки от една равнина, пространство като т.нар нулев вектор. Такъв вектор има еднакъв край и начало.

!!! Забележка: Тук и по-долу можете да приемете, че векторите лежат в една равнина или можете да приемете, че са разположени в пространството - същността на изложения материал е валидна както за равнината, така и за пространството.

Обозначения:Мнозина веднага обърнаха внимание на пръчка без стрелка в обозначението и казаха, че също поставят стрелка на върха! Точно така, можете да напишете със стрелка: , но допустимо и запис, който ще използвам по-късно. Защо? Очевидно такъв навик се е развил от практически съображения, стрелците ми в училище и университета се оказаха твърде разнообразни и рошави. В образователната литература понякога те изобщо не се занимават с клинопис, а подчертават буквите с удебелен шрифт: , като по този начин намекват, че това е вектор.

Това беше стилът, а сега относно начините за писане на вектори:

1) Векторите могат да бъдат написани с две главни латински букви:
и така нататък. Докато първата буква непременнообозначава началната точка на вектора, а втората буква обозначава крайната точка на вектора.

2) Векторите също се изписват с малки латински букви:
По-специално, нашият вектор може да бъде преназначен за краткост с малка латинска буква.

Дължинаили модулненулев вектор се нарича дължина на отсечката. Дължината на нулевия вектор е нула. Логично.

Дължината на вектора се обозначава със знака модул: ,

Как да намерим дължината на вектор, ще научим (или ще повторим, за кого как) малко по-късно.

Това беше елементарна информация за вектора, позната на всички ученици. В аналитичната геометрия т.нар безплатен вектор.

Ако е съвсем просто - вектор може да бъде изчертан от всяка точка:

Използвахме да наричаме такива вектори равни (дефиницията на равни вектори ще бъде дадена по-долу), но от чисто математическа гледна точка това е СЪЩИЯТ ВЕКТОР или безплатен вектор. Защо безплатно? Защото в хода на решаването на проблеми можете да „прикрепите“ един или друг вектор към ВСЯКА точка от равнината или пространството, от което се нуждаете. Това е много готин имот! Представете си вектор с произволна дължина и посока - той може да бъде "клониран" безкрайно много пъти и във всяка точка на пространството, всъщност той съществува НАВСЯКЪДЕ. Има такава студентска поговорка: Всеки преподавател в f ** u във вектора. В края на краищата, не само остроумна рима, всичко е математически правилно - вектор може да бъде прикрепен и там. Но не бързайте да се радвате, самите ученици страдат по-често =)

Така, безплатен вектор- това е Много еднакви насочени сегменти. Училищната дефиниция на вектор, дадена в началото на параграфа: „Насочен сегмент се нарича вектор ...“, предполага специфиченнасочен сегмент, взет от дадено множество, който е прикрепен към определена точка в равнината или пространството.

Трябва да се отбележи, че от гледна точка на физиката концепцията за свободен вектор като цяло е неправилна и има значение точката на приложение на вектора. Наистина, директен удар с еднаква сила по носа или по челото е достатъчен, за да се развие глупавият ми пример води до различни последствия. Въпреки това, не е безплатновектори се намират и в хода на vyshmat (не отивайте там :)).

Действия с вектори. Колинеарност на вектори

В училищния курс по геометрия се разглеждат редица действия и правила с вектори: събиране по правилото на триъгълника, събиране по правилото на успоредника, правилото за разликата на векторите, умножение на вектор по число, скаларно произведение на вектори и др.Като начало повтаряме две правила, които са особено подходящи за решаване на задачи от аналитичната геометрия.

Правило за събиране на вектори по правилото на триъгълниците

Помислете за два произволни ненулеви вектора и:

Необходимо е да се намери сумата от тези вектори. Поради факта, че всички вектори се считат за свободни, ние отлагаме вектора от крайвектор:

Сумата от векторите е векторът . За по-добро разбиране на правилото е препоръчително да му вложим физически смисъл: нека някое тяло направи път по вектора , а след това по вектора . Тогава сумата от векторите е векторът на резултантния път, започващ от точката на тръгване и завършващ в точката на пристигане. Подобно правило е формулирано за сумата от произволен брой вектори. Както се казва, тялото може да върви по своя път силно зигзагообразно или може би на автопилот - по резултантния вектор на сумата.

Между другото, ако векторът е отложен от започнетевектор , тогава получаваме еквивалента правило на успоредникдобавяне на вектори.

Първо, за колинеарността на векторите. Двата вектора се наричат колинеаренако лежат на една права или на успоредни прави. Грубо казано, говорим за паралелни вектори. Но по отношение на тях винаги се използва прилагателното "колинеарни".

Представете си два колинеарни вектора. Ако стрелките на тези вектори са насочени в една и съща посока, тогава такива вектори се наричат съпосочен. Ако стрелките изглеждат в различни посоки, тогава векторите ще бъдат противоположно насочени.

Обозначения:колинеарността на векторите се записва с обичайната икона за паралелизъм: , докато детайлизирането е възможно: (векторите са сънасочени) или (векторите са насочени противоположно).

работана ненулев вектор по число е вектор, чиято дължина е равна на , а векторите и са сънасочени към и противоположно насочени към .

Правилото за умножаване на вектор по число е по-лесно за разбиране с изображение:

Разбираме по-подробно:

1) Посока. Ако множителят е отрицателен, тогава векторът променя посокатакъм обратното.

2) Дължина. Ако факторът се съдържа в или , тогава дължината на вектора намалява. И така, дължината на вектора е два пъти по-малка от дължината на вектора. Ако модулният множител е по-голям от едно, тогава дължината на вектора се увеличавана време.

3) Моля, имайте предвид, че всички вектори са колинеарни, докато един вектор се изразява чрез друг, например, . Обратното също е вярно: ако един вектор може да бъде изразен чрез друг, тогава такива вектори задължително са колинеарни. По този начин: ако умножим вектор по число, получаваме колинеарни(спрямо оригинала) вектор.

4) Векторите са съпосочни. Векторите и също са съпосочни. Всеки вектор от първата група е противоположен на всеки вектор от втората група.

Какви вектори са равни?

Два вектора са равни, ако са еднопосочни и имат еднаква дължина. Имайте предвид, че ко-посоката предполага, че векторите са колинеарни. Дефиницията ще бъде неточна (излишна), ако кажете: "Два вектора са равни, ако са колинеарни, еднакво насочени и имат еднаква дължина."

От гледна точка на концепцията за свободен вектор, равните вектори са един и същ вектор, който вече беше обсъден в предишния параграф.

Векторни координати в равнината и пространството

Първата точка е да разгледаме вектори в равнина. Начертайте декартова правоъгълна координатна система и я оставете настрана от началото единиченвектори и:

Вектори и ортогонален. Ортогонално = Перпендикулярно. Препоръчвам бавно да свикнете с термините: вместо успоредност и перпендикулярност, ние използваме думите съответно колинеарности ортогоналност.

Обозначаване:ортогоналността на векторите се записва с обичайния перпендикулярен знак, например: .

Разглежданите вектори се наричат координатни векториили orts. Тези вектори образуват базана повърхността. Каква е основата, мисля, че е интуитивно ясно за мнозина, по-подробна информация можете да намерите в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Векторна основаС прости думи, основата и началото на координатите определят цялата система - това е един вид основа, върху която кипи пълен и богат геометричен живот.

Понякога изградената основа се нарича ортонормалнаоснова на равнината: "орто" - тъй като координатните вектори са ортогонални, прилагателното "нормализиран" означава единица, т.е. дължините на базисните вектори са равни на единица.

Обозначаване:основата обикновено се изписва в скоби, вътре в които в строг редбазисните вектори са изброени, например: . Координатни вектори забранено еразменете местата.

Всякаквиравнинен вектор единствения начинизразено като:
, където - числа, които се наричат векторни координатив тази основа. Но самият израз Наречен векторно разлаганебаза .

Сервирана вечеря:

Да започнем с първата буква от азбуката: . Чертежът ясно показва, че при разлагането на вектора по базис се използват току-що разгледаните:
1) правилото за умножение на вектор с число: и ;
2) събиране на вектори по правилото на триъгълника: .

Сега мислено отделете вектора от всяка друга точка на равнината. Съвсем очевидно е, че покварата му „ще го следва безмилостно“. Ето я свободата на вектора - векторът "носи всичко със себе си". Това свойство, разбира се, е вярно за всеки вектор. Странно е, че самите базисни (безплатни) вектори не трябва да се отделят от началото, единият може да бъде начертан например долу вляво, а другият горе вдясно и нищо няма да се промени от това! Вярно е, че не е нужно да правите това, защото учителят също ще покаже оригиналност и ще ви нарисува „пас“ на неочаквано място.

Вектори, илюстрират точно правилото за умножение на вектор по число, векторът е сънасочен с базисния вектор, векторът е насочен срещуположно на базисния вектор. За тези вектори една от координатите е равна на нула, тя може да бъде щателно написана, както следва:


А базисните вектори, между другото, са така: (всъщност те се изразяват чрез себе си).

И накрая: , . Между другото, какво е векторно изваждане и защо не ви казах за правилото за изваждане? Някъде в линейната алгебра, не помня къде, отбелязах, че изваждането е специален случай на събиране. И така, разширенията на векторите "de" и "e" се записват спокойно като сума: . Пренаредете членовете на места и проследете чертежа колко ясно работи доброто старо събиране на вектори според правилото на триъгълника в тези ситуации.

Разгледана декомпозиция на формата понякога се нарича векторно разлагане в системата орт(т.е. в системата от единични вектори). Но това не е единственият начин да напишете вектор, следната опция е често срещана:

Или със знак за равенство:

Самите базисни вектори се записват по следния начин: и

Тоест координатите на вектора са посочени в скоби. В практическите задачи се използват и трите варианта на запис.

Съмнявах се дали да говоря, но все пак ще кажа: векторните координати не могат да бъдат пренареждани. Строго на първо мястозапишете координатата, която съответства на единичния вектор, строго на второ мястозапишете координатата, която съответства на единичния вектор. Наистина и са два различни вектора.

Намерихме координатите на самолета. Сега помислете за векторите в триизмерното пространство, тук всичко е почти същото! Ще бъде добавена само още една координата. Трудно е да се изпълняват триизмерни чертежи, така че ще се огранича до един вектор, който за простота ще отложа от произхода:

Всякакви 3d космически вектор единствения начинразширяване в ортонормална основа:
, където са координатите на вектора (числото) в дадения базис.

Пример от снимката: . Нека да видим как работят правилата за векторни действия тук. Първо, умножаване на вектор по число: (червена стрелка), (зелена стрелка) и (пурпурна стрелка). Второ, ето пример за добавяне на няколко, в този случай три вектора: . Векторът на сумата започва от началната точка на изход (началото на вектора) и завършва в крайната точка на пристигане (края на вектора).

Всички вектори на триизмерното пространство, разбира се, също са свободни, опитайте се психически да отложите вектора от всяка друга точка и ще разберете, че неговото разширяване „остава с него“.

Подобно на случая със самолета, в допълнение към писането широко се използват варианти със скоби: или .

Ако един (или два) координатни вектора липсват в разширението, тогава вместо тях се поставят нули. Примери:
вектор (щателно ) - записвам ;
вектор (щателно ) - записвам ;
вектор (щателно ) - записвам .

Базисните вектори се записват, както следва:

Тук може би са всички минимални теоретични знания, необходими за решаване на задачи на аналитичната геометрия. Може би има твърде много термини и определения, така че препоръчвам на манекените да препрочетат и разберат тази информация отново. И ще бъде полезно за всеки читател да се обръща от време на време към основния урок за по-добро усвояване на материала. Колинеарност, ортогоналност, ортонормална база, векторно разлагане - тези и други понятия ще бъдат често използвани в това, което следва. Отбелязвам, че материалите на сайта не са достатъчни за преминаване на теоретичен тест, колоквиум по геометрия, тъй като внимателно кодирам всички теореми (освен без доказателства) - в ущърб на научния стил на представяне, но плюс за вашето разбиране на субекта. За подробна теоретична информация моля да се поклоните на професор Атанасян.

Сега да преминем към практическата част:

Най-простите задачи на аналитичната геометрия.
Действия с вектори в координати

Задачите, които ще се разглеждат, е силно желателно да се научите да ги решавате напълно автоматично, а формулите запаметявам, дори не го помнете нарочно, те сами ще го запомнят =) Това е много важно, тъй като други проблеми на аналитичната геометрия се основават на най-простите елементарни примери и ще бъде досадно да прекарвате допълнително време в ядене на пешки. Не е нужно да закопчавате горните копчета на ризата си, много неща са ви познати от училище.

Поднасянето на материала ще следва паралелен ход – както за самолета, така и за космоса. Поради причината, че всички формули ... ще видите сами.

Как да намеря вектор с две точки?

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава векторът има следните координати:

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава векторът има следните координати:

Това е, от координатите на края на векторатрябва да извадите съответните координати векторно начало.

Упражнение:За същите точки запишете формулите за намиране на координатите на вектора. Формули в края на урока.

Пример 1

Дадени са две точки в равнината и . Намерете векторни координати

Решение:по съответната формула:

Като алтернатива може да се използва следната нотация:

Естетите ще решат така:

Лично аз съм свикнал с първата версия на записа.

Отговор:

Съгласно условието не се изискваше изграждане на чертеж (което е типично за проблемите на аналитичната геометрия), но за да обясня някои точки на манекени, няма да бъда твърде мързелив:

Трябва да се разбере разлика между координатите на точката и векторните координати:

Координати на точкиса обичайните координати в правоъгълна координатна система. Мисля, че всеки знае как да начертае точки в координатната равнина от 5-6 клас. Всяка точка има строго определено място в равнината и не може да бъде преместена никъде.

Координатите на същия векторе нейното разширяване спрямо основата , в случая . Всеки вектор е свободен, следователно, ако е необходимо, можем лесно да го отложим от друга точка в равнината. Интересното е, че за вектори изобщо не можете да построите оси, правоъгълна координатна система, имате нужда само от основа, в този случай ортонормална основа на равнината.

Записите на точкови координати и векторни координати изглеждат подобни: , и чувство за координатиабсолютно различно, и трябва да сте добре запознати с тази разлика. Тази разлика, разбира се, важи и за космоса.

Дами и господа, пълним ръцете си:

Пример 2

а) Дадени точки и . Намерете вектори и .
б) Дават се точки и . Намерете вектори и .
в) Дадени точки и . Намерете вектори и .
г) Дават се точки. Намерете вектори .

Може би достатъчно. Това са примери за самостоятелно решение, опитайте се да не ги пренебрегвате, ще ви се отплати ;-). Чертежи не са задължителни. Решения и отговори в края на урока.

Какво е важно при решаването на задачи на аналитичната геометрия?Важно е да бъдете ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНИ, за да избегнете майсторската грешка „две плюс две е равно на нула“. Извинявам се предварително ако съм сгрешил =)

Как да намерим дължината на сегмент?

Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака за модул.

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли по формулата

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли по формулата

Забележка: Формулите ще останат правилни, ако съответните координати се разменят: и , но първата опция е по-стандартна

Пример 3

Решение:по съответната формула:

Отговор:

За по-голяма яснота ще направя чертеж

Линеен сегмент - не е вектор, и не можете да го преместите никъде, разбира се. Освен това, ако завършите чертежа в мащаб: 1 единица. \u003d 1 cm (две тетрадни клетки), тогава отговорът може да се провери с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на сегмента.

Да, решението е кратко, но в него има няколко важни момента, които бих искал да изясня:

Първо, в отговора задаваме измерението: „единици“. В условието не пише КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно общата формулировка ще бъде математически компетентно решение: „единици“ - съкратено като „единици“.

Второ, нека повторим учебния материал, който е полезен не само за разглеждания проблем:

обърни внимание на важен технически трик – изваждане на множителя изпод корена. В резултат на изчисленията получихме резултата и добрият математически стил включва изваждане на множителя изпод корена (ако е възможно). По-подробно процесът изглежда така: . Разбира се, оставянето на отговора във формуляра няма да е грешка – но определено е недостатък и сериозен аргумент за заяждане от страна на учителя.

Ето и други често срещани случаи:

Често се получава достатъчно голям брой под корена, например. Как да бъдем в такива случаи? На калкулатора проверяваме дали числото се дели на 4:. Да, разделете напълно, така: . Или може би числото отново може да се раздели на 4? . По този начин: . Последната цифра на числото е нечетна, така че разделянето на 4 за трети път очевидно не е възможно. Опитвам се да разделя на девет: . Като резултат:
Готов.

Заключение:ако под корена получим напълно неизвличащо се число, тогава се опитваме да извадим фактора под корена - на калкулатора проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49, и т.н.

В процеса на решаване на различни задачи често се откриват корени, винаги се опитвайте да извлечете фактори под корена, за да избегнете по-нисък резултат и ненужни проблеми с финализирането на вашите решения според забележката на учителя.

Нека повторим квадратурата на корените и другите степени едновременно:

Правилата за действия със степени в общ вид могат да бъдат намерени в училищен учебник по алгебра, но мисля, че всичко или почти всичко вече е ясно от дадените примери.

Задача за самостоятелно решение с отсечка в пространството:

Пример 4

Дадени точки и . Намерете дължината на отсечката.

Решение и отговор в края на урока.

Как да намерим дължината на вектор?

Ако е даден плосък вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата.

Ако е даден пространствен вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата .

ВЕКТОР
Във физиката и математиката векторът е величина, която се характеризира със своята числена стойност и посока. Във физиката има много важни величини, които са вектори, като сила, позиция, скорост, ускорение, въртящ момент, импулс, електрически и магнитни полета. Те могат да бъдат противопоставени на други величини, като маса, обем, налягане, температура и плътност, които могат да бъдат описани с обикновено число, и се наричат ​​"скалари". Векторна нотация се използва при работа с количества, които не могат да бъдат напълно определени с помощта на обикновени числа. Например, искаме да опишем позицията на обект спрямо някаква точка. Можем да кажем колко километра са от дадена точка до даден обект, но не можем да определим напълно местоположението му, докато не знаем посоката, в която се намира. По този начин местоположението на обект се характеризира с числова стойност (разстояние в километри) и посока. Графично векторите се изобразяват като насочени сегменти от права линия с определена дължина, както на фиг. 1. Например, за да представите графично сила от пет килограма, трябва да начертаете права линия с дължина пет единици по посока на силата. Стрелката показва, че силата действа от A към B; ако силата действа от B към A, тогава бихме написали или За удобство векторите обикновено се обозначават с удебелени главни букви (A, B, C и т.н.); векторите A и -A имат равни числени стойности, но противоположни по посока. Числената стойност на вектора A се нарича модул или дължина и се означава с A или |A|. Това количество, разбира се, е скалар. Вектор, чието начало и край съвпадат, се нарича нулев вектор и се обозначава с O.

Два вектора се наричат ​​равни (или свободни), ако техните модули и посоки са еднакви. В механиката и физиката обаче това определение трябва да се използва с повишено внимание, тъй като две еднакви сили, приложени към различни точки на тялото, обикновено водят до различни резултати. В тази връзка векторите се разделят на „свързани“ или „плъзгащи се“, както следва: Свързаните вектори имат фиксирани точки на приложение. Например, радиус-векторът показва позицията на точка спрямо някакъв фиксиран произход. Свързаните вектори се считат за равни, ако не само имат еднакви модули и посоки, но имат и обща точка на приложение. Плъзгащите се вектори са равни вектори, разположени на една и съща права линия.
Добавяне на вектори.Идеята за добавяне на вектор идва от факта, че можем да намерим един вектор, който има същия ефект като два други вектора заедно. Ако, за да стигнем до някаква точка, трябва да изминем първо A километра в едната посока и след това B километра в другата посока, тогава можем да стигнем до крайната си точка, като извървим C километра в трета посока (фиг. 2). В този смисъл може да се каже, че

A+B=C.
Векторът C се нарича "резултатен вектор" на A и B и е даден от конструкцията, показана на фигурата; върху векторите A и B е построен успоредник като върху страните, а C е диагонал, свързващ началото на A и края на B. От фиг. 2 се вижда, че добавянето на вектори е "комутативно", т.е. A + B = B + A. По същия начин можете да добавите няколко вектора, като ги свържете последователно в "непрекъсната верига", както е показано на фиг. 3 за три вектора D, E и F. От фиг. 3 също показва това

(D + E) + F = D + (E + F), т.е. добавянето на вектори е асоциативно. Могат да се сумират произволен брой вектори и не е необходимо векторите да лежат в една и съща равнина. Изваждането на вектори се представя като добавяне към отрицателен вектор. Например A - B = A + (-B), където, както е дефинирано по-рано, -B е вектор, равен на B по абсолютна стойност, но противоположен по посока. Това правило за добавяне вече може да се използва като реален критерий за проверка дали дадено количество е вектор или не. Движенията обикновено са предмет на условията на това правило; същото може да се каже и за скоростите; силите се събират по същия начин, както може да се види от "триъгълника на силите". Въпреки това, някои количества, които имат както числени стойности, така и посоки, не се подчиняват на това правило и следователно не могат да се разглеждат като вектори. Пример са крайните ротации.
Умножение на вектор по скалар.Продуктът mA или Am, където m (m # 0) е скалар и A е ненулев вектор, се определя като друг вектор, който е m пъти по-дълъг от A и има същата посока като A, ако m е положително, и обратното, ако m е отрицателно, както е показано на фиг. 4, където m е съответно 2 и -1/2. Освен това 1A = A, т.е. когато се умножи по 1, векторът не се променя. Стойността -1A е вектор, равен по дължина на A, но противоположна по посока, обикновено се записва като -A. Ако A е нулев вектор и (или) m = 0, тогава mA е нулев вектор. Умножението е разпределително, т.е.

Можем да добавим произволен брой вектори и редът на членовете не влияе на резултата. Обратното също е вярно: всеки вектор се разлага на два или повече „компонента“, т.е. в два или повече вектора, които, когато се добавят заедно, ще дадат оригиналния вектор като резултат. Например на фиг. 2, A и B са компоненти на C. Много математически операции с вектори се опростяват, ако векторът се разложи на три компонента в три взаимно перпендикулярни посоки. Нека изберем правилната декартова координатна система с оси Ox, Oy и Oz, както е показано на фиг. 5. Под дясна координатна система имаме предвид, че осите x, y и z са позиционирани така, както могат да бъдат позиционирани съответно палецът, показалецът и средният пръст на дясната ръка. От една дясна координатна система винаги е възможно да се получи друга дясна координатна система чрез подходящо завъртане. На фиг. 5 показва разлагането на вектора A на три компонента и Те се събират във вектора A , тъй като

Следователно,

Човек може също първо да добави и да получи и след това да добави към Проекциите на вектора A върху трите координатни оси, означени Ax, Ay и Az, се наричат ​​"скаларни компоненти" на вектора A:

където a, b и g са ъглите между A и трите координатни оси. Сега въвеждаме три вектора на единична дължина i, j и k (орти), имащи същата посока като съответните оси x, y и z. След това, ако Ax се умножи по i, тогава полученият продукт е вектор, равен на и

Два вектора са равни тогава и само тогава, когато съответните им скаларни компоненти са равни. Така A = B тогава и само ако Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Два вектора могат да бъдат добавени чрез добавяне на техните компоненти:

В допълнение, според теоремата на Питагор:

Линейни функции. Изразът aA + bB, където a и b са скалари, се нарича линейна функция на векторите A и B. Това е вектор, който е в същата равнина като A и B; ако A и B не са успоредни, тогава когато a и b се променят, векторът aA + bB ще се движи по цялата равнина (фиг. 6). Ако A, B и C не всички лежат в една и съща равнина, тогава векторът aA + bB + cC (a, b и c се променят) се движи в пространството. Да предположим, че A, B и C са единични вектори i, j и k. Векторът ai лежи на оста x; векторът ai + bj може да се движи по цялата равнина xy; векторът ai + bj + ck може да се движи в пространството.

Човек може да избере четири взаимно перпендикулярни вектора i, j, k и l и да дефинира четиримерен вектор като количеството A = Axi + Ayj + Azk + Awl
с дължина

и човек може да продължи до пет, шест или произволен брой измерения. Въпреки че е невъзможно да се представи такъв вектор визуално, тук няма математически трудности. Такава нотация често е полезна; например състоянието на движеща се частица се описва от шестмерен вектор P (x, y, z, px, py, pz), чиито компоненти са нейната позиция в пространството (x, y, z) и импулс (px , py, pz). Такова пространство се нарича "фазово пространство"; ако разгледаме две частици, тогава фазовото пространство е 12-измерно, ако три, тогава 18 и т.н. Броят на измеренията може да се увеличава неограничено; обаче, количествата, с които ще се занимаваме, се държат почти по същия начин като тези, които ще разгледаме в останалата част от тази статия, а именно триизмерните вектори.
Умножение на два вектора.Правилото за векторно добавяне е получено чрез изучаване на поведението на количествата, представени от вектори. Няма очевидна причина два вектора да не могат да бъдат умножени по някакъв начин, но това умножение ще има смисъл само ако може да се докаже, че е математически издържано; освен това е желателно продуктът да има определено физическо значение. Има два начина за умножаване на вектори, които отговарят на тези условия. Резултатът от един от тях е скалар, такъв продукт се нарича "скаларен продукт" или "вътрешен продукт" на два вектора и се записва ACHB или (A, B). Резултатът от друго умножение е вектор, наречен "напречен продукт" или "външен продукт" и се записва A*B или []. Точковите продукти имат физическо значение за едно, две или три измерения, докато векторните продукти са дефинирани само за три измерения.
Скаларни произведения.Ако под действието на някаква сила F точката, към която е приложена, се премести на разстояние r, тогава извършената работа е равна на произведението на r и компонента F в посока r. Този компонент е равен на F cos bF, rc, където bF, rc е ъгълът между F и r, т.е. Свършена работа = Fr cos bF, rc. Това е пример за физическа обосновка на скаларното произведение, дефинирано за всеки два вектора A, B с помощта на формулата
A*B = AB cos bA, Bs.
Тъй като всички количества от дясната страна на уравнението са скалари, тогава A*B = B*A; следователно скаларното умножение е комутативно. Скаларното умножение също има разпределително свойство: A*(B + C) = A*B + A*C. Ако векторите A и B са перпендикулярни, тогава cos bA, Bc е равно на нула и следователно A*B = 0, дори ако нито A, нито B са равни на нула. Ето защо не можем да делим с вектор. Да предположим, че разделихме двете страни на уравнението A*B = A*C на A. Това би дало B = C и ако можеше да се извърши разделяне, тогава това равенство щеше да бъде единственият възможен резултат. Ако обаче пренапишем уравнението A*B = A*C като A*(B - C) = 0 и помним, че (B - C) е вектор, тогава е ясно, че (B - C) не е непременно нула и следователно B не трябва да е равно на C. Тези противоречиви резултати показват, че векторното разделяне е невъзможно. Скаларното произведение дава друг начин за записване на числената стойност (модул) на вектора: A*A = AA*cos 0° = A2;
Ето защо

Скаларното произведение може да се запише и по друг начин. За да направите това, запомнете, че: A = Ax i + Ayj + Azk. забележи това

Тогава,

Тъй като последното уравнение съдържа x, y и z като индекси, уравнението изглежда зависи от конкретната избрана координатна система. Това обаче не е така, както се вижда от дефиницията, която не зависи от избраните координатни оси.
Векторни произведения на изкуството.Вектор или външно произведение от вектори е вектор, чийто модул е ​​равен на произведението на техните модули и синуса на ъгъла, перпендикулярен на оригиналните вектори и заедно с тях съставляващ правилната тройка. Този продукт се въвежда най-лесно чрез разглеждане на връзката между скоростта и ъгловата скорост. Първият е вектор; сега ще покажем, че последният може да се интерпретира и като вектор. Ъгловата скорост на въртящо се тяло се определя по следния начин: изберете произволна точка от тялото и начертайте перпендикуляр от тази точка към оста на въртене. Тогава ъгловата скорост на тялото е броят радиани, които тази линия е завъртяла за единица време. Ако ъгловата скорост е вектор, тя трябва да има числова стойност и посока. Числената стойност се изразява в радиани за секунда, посоката може да се избира по оста на въртене, може да се определи чрез насочване на вектора в посоката, в която би се движел десният винт при въртене с тялото. Помислете за въртенето на тяло около фиксирана ос. Ако инсталираме тази ос вътре в пръстен, който на свой ред е фиксиран върху ос, вмъкната вътре в друг пръстен, можем да завъртим тялото вътре в първия пръстен с ъглова скорост w1 и след това да накараме вътрешния пръстен (и тялото) да се върти с ъглова скорост w2. Фигура 7 обяснява същността на въпроса; кръглите стрелки показват посоката на въртене. Това тяло е твърда сфера с център O и радиус r.

Ориз. 7. СФЕРА С ЦЕНТЪР O, се върти с ъглова скорост w1 вътре в пръстена BC, който от своя страна се върти вътре в пръстена DE с ъглова скорост w2. Сферата се върти с ъглова скорост, равна на сумата от ъгловите скорости и всички точки на линията POP" са в състояние на мигновен покой.

Нека придадем на това тяло движение, което е сумата от две различни ъглови скорости. Това движение е доста трудно за визуализиране, но е съвсем очевидно, че тялото вече не се върти около фиксирана ос. Все пак може да се каже, че се върти. За да покажем това, нека изберем някаква точка P на повърхността на тялото, която в момента, който разглеждаме, се намира на голяма окръжност, свързваща точките, в които две оси пресичат повърхността на сферата. Нека пуснем перпендикуляри от P към оста. Тези перпендикуляри стават радиусите PJ и PK съответно на окръжностите PQRS и PTUW. Нека начертаем линия POPў, минаваща през центъра на сферата. Сега точката P, в разглеждания момент от време, едновременно се движи по окръжностите, които се докосват в точката P. За малък интервал от време Dt, P се премества на разстояние

Това разстояние е нула, ако

В този случай точката P е в състояние на мигновен покой и по същия начин всички точки от линията POP, оста на въртене на сферата, точно както колело, търкалящо се по пътя във всеки момент от времето, се върти около най-ниската си точка., той се движи във времето Dt на разстояние

В окръжност с радиус r sin w1. По дефиниция ъгловата скорост

От тази формула и връзката (1) получаваме

С други думи, ако запишете числова стойност и изберете посоката на ъгловата скорост, както е описано по-горе, тогава тези количества се събират като вектори и могат да се считат за такива. Сега можете да въведете кръстосаното произведение; разглеждаме тяло, въртящо се с ъглова скорост w. Избираме всяка точка P от тялото и произволно начало O, което се намира на оста на въртене. Нека r е вектор, насочен от O към P. Точка P се движи по окръжност със скорост V = w r sin (w, r). Векторът на скоростта V е допирателна към окръжността и сочи в посоката, показана на фиг. осем.

Това уравнение дава зависимостта на скоростта V на точка от комбинацията от два вектора w и r. Използваме тази връзка, за да дефинираме нов вид продукт и записваме: V = w * r. Тъй като резултатът от такова умножение е вектор, този продукт се нарича векторен продукт. За всеки два вектора A и B, ако A * B = C, тогава C = AB sin bA, Bc и посоката на вектора C е такава, че е перпендикулярна на равнината, минаваща през A и B и сочи в същото посока като посоката на движение на дясновъртящия винт, ако той е успореден на C и се върти от A към B. С други думи, можем да кажем, че A, B и C, в този ред, образуват правилния набор от координатни оси. Векторното произведение е антикомутативно; векторът B * A има същия модул като A * B, но е насочен в обратна посока: A * B = -B * A. Този продукт е разпределителен, но не асоциативен; може да се докаже, че

Нека да видим как векторното произведение е записано чрез компоненти и единични вектори. Първо, за всеки вектор A, A * A = AA sin 0 = 0.
Следователно, в случай на единични вектори, i * i = j * j = k * k = 0 и i * j = k, j * k = i, k * i = j. Тогава,

Това равенство може да се запише и като детерминанта:

Ако A * B = 0, тогава или A, или B е 0, или A и B са колинеарни. По този начин, както при точковия продукт, деленето с вектор не е възможно. Стойността на A * B е равна на площта на успоредник със страни A и B. Това е лесно да се види, тъй като B sin bA, Bc е неговата височина и A е неговата основа. Има много други физически величини, които са векторни продукти. Един от най-важните векторни продукти се появява в теорията на електромагнетизма и се нарича вектор на Пойнтинг P. Този вектор се дефинира, както следва: P = E * H, където E и H са съответно векторите на електрическото и магнитното поле. P векторът може да се разглежда като даден енергиен поток във ватове на квадратен метър във всяка точка. Ето още няколко примера: моментът на сила F (въртящ момент) спрямо началото, действащ върху точка, чийто радиус вектор е r, се определя като r * F; частица, разположена в точка r, с маса m и скорост V, има ъглов момент mr * V спрямо началото; силата, действаща върху частица, носеща електрически заряд q през магнитно поле B със скорост V, е qV * B.
Тройни работи.От три вектора можем да образуваме следните тройни произведения: вектор (A*B) * C; вектор (A*B)*C; скалар (A * B)*C. Първият тип е произведение на вектор C и скалар A*B; вече говорихме за такива произведения. Вторият тип се нарича двойно кръстосано произведение; векторът A * B е перпендикулярен на равнината, в която лежат A и B, и следователно (A * B) * C е вектор, лежащ в равнината A и B и перпендикулярен на C. Следователно, най-общо, (A * B) * C не е равно на A * (B * C). Като напишем A, B и C по отношение на техните x, y и z координати (компоненти) и умножим, можем да покажем, че A * (B * C) = B * (A*C) - C * (A* Б). Третият тип продукт, който се среща при изчисленията на решетката във физиката на твърдото тяло, е числено равен на обема на паралелепипед с ръбове A, B, C. Тъй като (A * B) * C = A * (B * C), знаците на скаларни и векторни умножения могат да бъдат разменени и продуктът често се записва като (A B C). Този продукт е равен на детерминантата

Обърнете внимание, че (A B C) = 0, ако и трите вектора лежат в една и съща равнина или ако A = 0 или (и) B = 0 или (и) C = 0.
ВЕКТОРНА ДИФЕРЕНЦИАЦИЯ
Да предположим, че векторът U е функция на една скаларна променлива t. Например, U може да бъде радиус векторът, начертан от началото до движещата се точка, а t може да бъде времето. Нека t се промени с малко Dt, което ще промени U с DU. Това е показано на фиг. 9. Съотношението DU/Dt е вектор, насочен в същата посока като DU. Можем да дефинираме производната на U по отношение на t като

при условие че съществува такова ограничение. От друга страна, може да се представи U като сбор от компонентите по трите оси и да се напише

Ако U е радиус векторът r, тогава dr/dt е скоростта на точката, изразена като функция на времето. Диференцирайки отново по отношение на времето, получаваме ускорението. Да предположим, че точката се движи по кривата, показана на фиг. 10. Нека s е разстоянието, изминато от точката по кривата. За малък интервал от време Dt точката ще измине разстоянието D по кривата; позицията на радиус вектора ще се промени на Dr. Следователно Dr/Ds е вектор, насочен като Dr. По-нататък

Dr vector - промяна на радиус-вектор.

е единичен вектор, допирателен към кривата. Това може да се види от факта, че когато точката Q се доближава до точката P, PQ се приближава до допирателната и Dr се доближава до Ds. Формулите за диференциране на произведение са подобни на формулите за диференциране на произведение на скаларни функции; обаче, тъй като кръстосаното произведение е антикомутативно, редът на умножение трябва да бъде запазен. Ето защо,

Така виждаме, че ако векторът е функция на една скаларна променлива, тогава можем да представим производната почти по същия начин, както в случая на скаларна функция.
Векторни и скаларни полета. Градиент.Във физиката често трябва да се работи с векторни или скаларни величини, които се променят от точка на точка в дадена област. Такива области се наричат ​​"поля". Например, скалар може да бъде температура или налягане; векторът може да бъде скоростта на движеща се течност или електростатичното поле на система от заряди. Ако сме избрали някаква координатна система, тогава всяка точка P (x, y, z) в дадената област съответства на някакъв радиус-вектор r (= xi + yj + zk), а също и стойността на векторната величина U (r) или скаларът f (r), свързан с него. Нека приемем, че U и f са уникално дефинирани в домейна; тези. всяка точка съответства на една и само една стойност U или f, въпреки че различните точки могат, разбира се, да имат различни стойности. Да кажем, че искаме да опишем скоростта, с която U и f се променят, докато се движим през тази област. Простите частични производни, като dU / dx и df / dy, не ни подхождат, защото зависят от конкретно избрани координатни оси. Въпреки това е възможно да се въведе векторен диференциален оператор, независим от избора на координатни оси; този оператор се нарича "градиент". Нека имаме работа със скаларно поле f. Първо, като пример, помислете за контурна карта на област на държава. В този случай f е височината над морското равнище; контурните линии свързват точки с еднаква f стойност. Когато се движите по някоя от тези линии, f не се променя; ако се движим перпендикулярно на тези линии, тогава скоростта на промяна на f ще бъде максимална. Можем да свържем всяка точка с вектор, указващ големината и посоката на максималната промяна на скоростта f; такава карта и някои от тези вектори са показани на фиг. 11. Ако направим това за всяка точка от полето, получаваме векторно поле, свързано със скаларното поле f. Това е полето на вектор, наречен "градиент" f, който се записва като grad f или Cf (символът C се нарича също "nabla").

В случай на три измерения, контурните линии стават повърхности. Малко изместване Dr (= iDx + jDy + kDz) води до промяна на f, което се записва като

където точките означават термини от по-висок ред. Този израз може да се запише като скален продукт

Разделете дясната и лявата страна на това равенство на Ds и нека Ds клони към нула; тогава

където dr/ds е единичният вектор в избраната посока. Изразът в скобите е вектор в зависимост от избраната точка. Така че df/ds има максимална стойност, когато dr/ds сочи в същата посока, изразът в скоби е градиентът. По този начин,

- вектор, равен по големина и съвпадащ по посока с максималната скорост на изменение на f спрямо координатите. Градиентът f често се записва като

Това означава, че операторът C съществува сам по себе си. В много случаи той се държи като вектор и всъщност е "векторен диференциален оператор" - един от най-важните диференциални оператори във физиката. Въпреки факта, че C съдържа единични вектори i, j и k, неговото физическо значение не зависи от избраната координатна система. Каква е връзката между Cf и f? Първо, да предположим, че f определя потенциала във всяка точка. За всяко малко изместване Dr, стойността на f ще се промени с

Ако q е количество (например маса, заряд), преместено от Dr, тогава извършената работа при преместване на q от Dr е равна на

Тъй като Dr е преместване, qСf е сила; -Cf е напрежението (сила на единица количество), свързано с f. Например нека U е електростатичният потенциал; тогава E е напрегнатостта на електрическото поле, дадена по формулата E = -СU. Нека приемем, че U е създаден от точков електрически заряд от q кулона, поставен в началото. Стойността на U в точката P (x, y, z) с радиус вектор r се дава по формулата

Където e0 е диелектричната константа на свободното пространство. Ето защо

откъдето следва, че E действа в посока r и големината му е равна на q/(4pe0r3). Познавайки скаларно поле, човек може да определи свързаното векторно поле. Възможно е и обратното. От гледна точка на математическата обработка, скаларните полета са по-лесни за работа от векторните полета, тъй като те са дадени от една функция от координати, докато векторното поле изисква три функции, съответстващи на векторните компоненти в три посоки. По този начин възниква въпросът: при дадено векторно поле, можем ли да запишем скаларното поле, свързано с него?
Дивергенция и ротор.Видяхме резултата от C, действащ върху скаларна функция. Какво се случва, ако C се приложи към вектор? Има две възможности: нека U (x, y, z) е вектор; тогава можем да образуваме произведение на кръст и точка, както следва:

Първият от тези изрази е скалар, наречен дивергенция на U (обозначен divU); вторият е вектор, наречен ротор U (означен като rotU). Тези диференциални функции, дивергенция и curl, се използват широко в математическата физика. Представете си, че U е някакъв вектор и че той и първите му производни са непрекъснати в някаква област. Нека P е точка в тази област, заобиколена от малка затворена повърхност S, ограничаваща обема DV. Нека n е единичен вектор, перпендикулярен на тази повърхност във всяка точка (n променя посоката си, докато се движи около повърхността, но винаги има единична дължина); нека n сочи навън. Нека покажем това

Тук S показва, че тези интеграли са взети по цялата повърхност, da е елемент от повърхността на S. За простота ще изберем удобната форма на S под формата на малък паралелепипед (както е показано на фиг. 12) с страни Dx, Dy и Dz; точка P е центърът на паралелепипеда. Изчисляваме интеграла от уравнение (4) първо върху едно лице на паралелепипеда. За предната страна n = i (единичният вектор е успореден на оста x); Da = DyDz. Приносът към интеграла от предната страна е равен на

На противоположната страна n = -i; това лице допринася за интеграла

Използвайки теоремата на Тейлър, получаваме общия принос от двете лица

Обърнете внимание, че DxDyDz = DV. По подобен начин може да се изчисли приносът на другите две двойки лица. Пълният интеграл е равен на

и ако зададем DV (r) 0, тогава членовете от по-висок ред изчезват. Съгласно формула (2) изразът в скоби е divU, което доказва равенството (4). Равенството (5) може да се докаже по същия начин. Нека използваме фиг. 12; тогава приносът от предната повърхност към интеграла ще бъде равен на

И като използваме теоремата на Тейлър, получаваме, че общият принос към интеграла от две лица има формата

тези. това са два члена от израза за rotU в уравнение (3). Останалите четири термина ще бъдат получени след като се вземат предвид приносите от останалите четири лица. Какво всъщност означават тези съотношения? Разгледайте равенството (4). Да приемем, че U е скоростта (на течност, например). Тогава nЧU da = Un da, където Un е нормалната компонента на вектора U спрямо повърхността. Следователно Un da ​​е обемът на течността, протичаща през da за единица време, и е обемът на течността, протичаща през S за единица време. Следователно,

Скоростта на разширяване на единица обем около точка P. Това е мястото, където дивергенцията получава името си; показва скоростта, с която течността се разширява от (т.е. отклонява се от) P. За да обясните физическото значение на ротора U, помислете за друг повърхностен интеграл върху малък цилиндричен обем с височина h около P; плоскопаралелните повърхности могат да бъдат ориентирани във всяка посока, която изберем. Нека k е единичният вектор, перпендикулярен на всяка повърхност, и нека площта на всяка повърхност е DA; тогава общият обем DV = hDA (фиг. 13). Помислете сега за интеграла

Интегрантът е споменатото по-горе тройно скаларно произведение. Този продукт ще бъде нула на плоски повърхности, където k и n са успоредни. На извита повърхност

Където ds е елементът на кривата, както е показано на фиг. 13. Сравнявайки тези равенства с връзката (5), получаваме това

Все още приемаме, че U е скоростта. Каква ще бъде средната ъглова скорост на течността около k в този случай? Очевидно е, че

ако DA не е равно на 0. Този израз е максимален, когато k и rotU сочат в една и съща посока; това означава, че rotU е вектор, равен на удвоената ъглова скорост на течността в точка P. Ако течността се върти около P, тогава rotU е #0 и U векторите ще се въртят около P. Оттук и името ротор. Теоремата за дивергенцията (теоремата на Остроградски-Гаус) е обобщение на формула (4) за крайни обеми. Тя заявява, че за някакъв обем V, ограничен от затворена повърхност S,

Векторът е математически обект, който се характеризира с посока и величина. В геометрията векторът е отсечка в равнина или в пространството, която има своя специфична посока и дължина.

Векторна нотация

За обозначаване на вектор се използва или една малка буква, или две главни букви, които съответстват на началото и края на вектора, докато над буквите се показва хоризонтално тире. Първата буква показва началото на вектора, втората - края (виж Фигура 1). Графично показване на вектор показва стрелка, показваща посоката му.

Какви са координатите на вектор в равнината и в пространството?

Координатите на вектора са коефициентите на единствената възможна линейна комбинация от базисни вектори в избраната координатна система. Звучи сложно, но всъщност е доста просто. Да вземем пример.

Да предположим, че трябва да намерим координатите на вектора a. Нека го поставим в триизмерна координатна система (вижте Фигура 2) и извършете проекции на вектора върху всяка ос. Векторът a в този случай ще бъде записан по следния начин: a= a x i+ a y j+ a z k, където i, j, k са базисни вектори, a x , a y , a z са коефициентите, които определят координатите на вектора a. Самият израз ще се нарича линейна комбинация. На равнина (в правоъгълна координатна система) линейната комбинация ще се състои от две бази и коефициенти.

Векторни отношения

В теорията на векторите има такъв термин като отношението на векторите. Тази концепция определя местоположението на векторите един спрямо друг в равнината и в пространството. Най-известните специални случаи на векторни отношения са:

• колинеарност;
• съпосоченост;
• копланарност;
• равенство.

Колинеарните вектори лежат на една и съща права линия или са успоредни един на друг, съпосочените вектори имат една и съща посока, копланарните вектори са разположени в една и съща равнина или в успоредни равнини, равните вектори имат една и съща посока и дължина.

Векторът е насочен сегмент от права линия в евклидовото пространство, в който единият край (точка A) се нарича начало на вектора, а другият край (точка B) се нарича край на вектора (фиг. 1). . Векторите се означават:

Ако началото и краят на вектора са еднакви, тогава векторът се извиква нулев вектори означено 0 .

Пример. Нека началото на вектора в двумерното пространство има координати А(12,6) , а краят на вектора е координатите б(12.6). Тогава векторът е нулев вектор.

Дължина на рязане ABНаречен модул (дълго, нормата) вектор и се означава с | а|. Нарича се вектор с дължина, равна на единица единичен вектор. В допълнение към модула, векторът се характеризира с посока: векторът има посока от Ада се б. Векторът се нарича вектор, противоположноствектор .

Двата вектора се наричат колинеаренако лежат на една права или на успоредни прави. На фиг. 3 червени вектора са колинеарни, тъй като те лежат на една и съща права линия и сините вектори са колинеарни, защото лежат на успоредни прави. Два колинеарни вектора се наричат еднакво насочениако техните краища лежат от една и съща страна на линията, свързваща техните начала. Два колинеарни вектора се наричат противоположни посокиако техните краища лежат на противоположните страни на линията, свързваща техните начала. Ако два колинеарни вектора лежат на една и съща права, тогава те се наричат ​​еднакво насочени, ако един от лъчите, образувани от един вектор, съдържа изцяло лъча, образуван от другия вектор. В противен случай векторите се наричат ​​противоположно насочени. На Фигура 3 сините вектори са в същата посока, а червените вектори са в противоположната посока.

Двата вектора се наричат равенако имат равни модули и са еднакво насочени. На фиг.2 векторите са равни, защото техните модули са равни и имат еднаква посока.

Векторите се наричат компланаренако лежат в една равнина или в успоредни равнини.

AT нВ пространствено векторно пространство разгледайте набора от всички вектори, чиято начална точка съвпада с началото. Тогава векторът може да се запише в следната форма:

(1)

където x 1 , x 2 , ..., x nвекторни координати на крайната точка х.

Векторът, записан във вида (1), се нарича редов вектор, и векторът, записан като

(2)

Наречен колонен вектор.

Номер нНаречен измерение (в ред) вектор. Ако тогава векторът се извиква нулев вектор(защото началната точка на вектора ). Два вектора хи гса равни тогава и само тогава, когато съответните им елементи са равни.