Когато векторите са перпендикулярни. Намиране на вектор, перпендикулярен на даден вектор, примери и решения

Инструкция

Ако оригиналният вектор е показан на чертежа в правоъгълна двумерна координатна система и трябва да се изгради перпендикулярна на същото място, изхождайте от определението за перпендикулярност на векторите в равнина. Той гласи, че ъгълът между такава двойка насочени сегменти трябва да бъде равен на 90 °. Възможно е да се конструират безкраен брой такива вектори. Така че нарисувайте произволен удобно местоположениеравнина, перпендикулярна на оригиналния вектор, заделете сегмент върху него, равна на дължинатададена подредена двойка точки и задайте един от нейните краища като начало перпендикулярен вектор. Направете това с транспортир и линийка.

Ако оригиналният вектор е даден от двумерни координати ā = (X₁;Y₁), изхождайте от факта, че скаларното произведение на двойка перпендикулярни вектори трябва да бъде равно на нула. Това означава, че трябва да изберете за желания вектор ō = (X₂,Y₂) такива координати, при които да е валидно равенството (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Това може да стане по следния начин: изберете всяка ненулева стойност за координатата X₂ и изчислете координатата Y₂, като използвате формулата Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Например, за вектор ā = (15;5) ще има вектор ō, с абциса, равно на едно, а ординатата е равна на -(15*1)/5 = -3, т.е. ō = (1;-3).

За тримерна и всяка друга ортогонална координатна система е вярно същото необходимо и достатъчно условие за перпендикулярност на векторите - тяхното скаларно произведение трябва да е равно на нула. Следователно, ако първоначалният насочен сегмент е даден от координатите ā = (X₁,Y₁,Z₁), за подредената двойка точки ō = (X₂,Y₂,Z₂), перпендикулярни на него, изберете такива координати, които отговарят на условието (ā ,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Най-лесният начин е да присвоите единични стойности на X₂ и Y₂ и да изчислите Z₂ от опростеното уравнение Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. Например, за вектора ā = (3,5,4) това ще приеме следната форма: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. След това вземете абсцисата и ординатата на перпендикулярен вектор като единица и в този случай ще бъде равно на -(3+5)/4 = -2.

източници:

• намерете вектор, ако е перпендикулярен

Перпендикулярни се наричат вектор, ъгълът между които е 90º. Перпендикулярните вектори се изграждат с помощта на инструменти за рисуване. Ако техните координати са известни, тогава можете да проверите или намерите перпендикулярността на векторите аналитични методи.

Ще имаш нужда

• - транспортир;
• - компас;
• - владетел.

Инструкция

Построете вектор, перпендикулярен на дадения. За да направите това, в точката, която е началото на вектора, възстановете перпендикуляра към него. Това може да се направи с транспортир, отделяйки ъгъл от 90º. Ако няма транспортир, направете го с компас.

Задайте го на началната точка на вектора. Начертайте окръжност с произволен радиус. След това изградете два, центрирани в точките, където първият кръг пресича линията, върху която лежи векторът. Радиусите на тези кръгове трябва да са равни един на друг и по-големи от първия построен кръг. В пресечните точки на окръжностите построете права линия, която ще бъде перпендикулярна на оригиналния вектор в точката на неговото начало, и оставете върху нея вектор, перпендикулярен на дадения.

Тази статия разкрива значението на перпендикулярността на два вектора върху равнина в тримерното пространство и намирането на координатите на вектор, перпендикулярен на един или цяла двойка вектори. Темата е приложима за задачи, свързани с уравнения на прави и равнини.

Ще разгледаме необходимото и достатъчно условие два вектора да са перпендикулярни, ще решим метода за намиране на вектор, перпендикулярен на даден, и ще се докоснем до ситуации при намиране на вектор, който е перпендикулярен на два вектора.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Необходимо и достатъчно условие два вектора да са перпендикулярни

Нека приложим правилото за перпендикулярните вектори в равнината и в тримерното пространство.

Определение 1

Като се има предвид стойността на ъгъла между два ненулеви вектора, равна на 90 ° (π 2 радиана), се нарича перпендикулярен.

Какво означава това и в какви ситуации е необходимо да знаете за тяхната перпендикулярност?

Установяването на перпендикулярност е възможно чрез чертежа. Когато начертавате вектор върху равнина от дадени точки, можете да измерите геометрично ъгъла между тях. Перпендикулярността на векторите, ако е установена, не е съвсем точна. Най-често тези задачи не ви позволяват да направите това с транспортир, следователно този методприложимо само когато не се знае нищо друго за векторите.

Повечето случаи на доказване на перпендикулярността на два ненулеви вектора в равнина или в пространството се извършват с помощта на необходимо и достатъчно условие за перпендикулярност на два вектора.

Теорема 1

Скаларно произведениедва ненулеви вектора a → и b → равно на нула, за да се изпълни равенството a → , b → = 0 е достатъчна тяхната перпендикулярност.

доказателство 1

Нека дадените вектори a → и b → са перпендикулярни, тогава ще докажем равенството a ⇀ , b → = 0 .

От дефиницията на точково произведение на векторизнаем, че е равно произведението на дължините на дадени вектори и косинуса на ъгъла между тях. По условие a → и b → са перпендикулярни и следователно въз основа на определението ъгълът между тях е 90 °. Тогава имаме a → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 .

Втората част от доказателството

При условие, когато a ⇀ , b → = 0 докажете перпендикулярността на a → и b → .

Всъщност доказателството е обратното на предишното. Известно е, че a → и b → са различни от нула, така че от равенството a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ намираме косинуса. Тогава получаваме cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Тъй като косинусът е нула, можем да заключим, че ъгълът a → , b → ^ на векторите a → и b → е 90 ° . По дефиниция това е необходимо и достатъчно свойство.

Перпендикулярно условие на координатната равнина

Глава точково произведение в координатидемонстрира неравенството (a → , b →) = a x b x + a y b y , валидно за вектори с координати a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) , в равнината и (a → , b → ) = a x b x + a y b y за вектори a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) в пространството. Необходимо и достатъчно условие два вектора да са перпендикулярни координатна равнинаима формата a x b x + a y b y = 0 , за триизмерно пространство a x b x + a y b y + a z b z = 0 .

Нека го приложим на практика и да разгледаме примери.

Пример 1

Проверете свойството перпендикулярност на два вектора a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

Решение

За да разрешите тази задача, трябва да намерите скаларното произведение. Ако по условие ще бъде равно на нула, тогава те са перпендикулярни.

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . Условието е изпълнено, което означава, че дадените вектори са перпендикулярни на равнината.

Отговор:да, дадените вектори a → и b → са перпендикулярни.

Пример 2

Дадени координатни вектори i → , j → , k → . Проверете дали векторите i → - j → и i → + 2 j → + 2 k → могат да бъдат перпендикулярни.

Решение

За да запомните как се определят координатите на вектор, трябва да прочетете статия за векторни координати в правоъгълна системакоординати.Така получаваме, че дадените вектори i → - j → и i → + 2 j → + 2 k → имат съответните координати (1, - 1, 0) и (1, 2, 2) . Заместител числови стойностии получаваме: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

Изразът не е нула, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0 , което означава, че векторите i → - j → и i → + 2 j → + 2 k → не са перпендикулярна, защото условието не е изпълнено.

Отговор:не, векторите i → - j → и i → + 2 j → + 2 k → не са перпендикулярни.

Пример 3

Дадени вектори a → = (1 , 0 , - 2) и b → = (λ , 5 , 1) . Намерете стойността λ, за която дадените вектори са перпендикулярни.

Решение

Използваме условието за перпендикулярност на два вектора в пространството квадратна форма, тогава получаваме

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Отговор:векторите са перпендикулярни при стойност λ = 2.

Има случаи, когато въпросът за перпендикулярността е невъзможен дори при необходимо и достатъчно условие. При известни данни за трите страни на триъгълник върху два вектора е възможно да се намери ъгъл между векторитеи го проверете.

Пример 4

Даден е триъгълник A B C със страни A B = 8, A C = 6, B C = 10 см. Проверете векторите A B → и A C → за перпендикулярност.

Решение

Когато векторите A B → и A C → са перпендикулярни, триъгълникът A B C се счита за правоъгълен. След това прилагаме Питагоровата теорема, където BC е хипотенузата на триъгълника. Равенството B C 2 = A B 2 + A C 2 трябва да бъде изпълнено. От това следва, че 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Следователно A B и A C са катетите на триъгълника A B C, следователно A B → и A C → са перпендикулярни.

Важно е да се научите как да намирате координатите на вектор, перпендикулярен на даден. Това е възможно както в равнината, така и в пространството, при условие че векторите са перпендикулярни.

Намиране на вектор, перпендикулярен на даден в равнина.

Един ненулев вектор a → може да има безкраен брой перпендикулярни вектори в равнината. Нека го представим на координатната права.

Даден е ненулев вектор a → , лежащ на правата a. Тогава даденото b → , разположено на произволна права, перпендикулярна на правата a, става перпендикулярна и a → . Ако векторът j → или някой от векторите λ j → е перпендикулярен на вектора i → с λ равно на всеки реално числоосвен нула, тогава намирането на координатите на вектора b → перпендикулярен на a → = (a x , a y) се свежда до безкраен набор от решения. Но е необходимо да се намерят координатите на вектора, перпендикулярен на a → = (a x , a y) . За да направите това, е необходимо да запишете условието за перпендикулярност на векторите в следната форма a x · b x + a y · b y = 0 . Имаме b x и b y , които са желаните координати на перпендикулярния вектор. Когато a x ≠ 0, стойността на b y е различна от нула и b x се изчислява от неравенството a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Когато a x = 0 и a y ≠ 0, присвояваме на b x всяка стойност, различна от нула, и b y се намира от израза b y = - a x · b x a y .

Пример 5

Даден е вектор с координати a → = (- 2 , 2) . Намерете вектор, перпендикулярен на дадения.

Решение

Означете желания вектор като b → (b x , b y) . Можете да намерите неговите координати от условието, че векторите a → и b → са перпендикулярни. Тогава получаваме: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . Присвоете b y = 1 и заместете: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 . Следователно от формулата получаваме b x = - 2 - 2 = 1 2 . Следователно векторът b → = (1 2 , 1) е вектор, перпендикулярен на a → .

Отговор: b → = (1 2 , 1) .

Ако се повдигне въпросът за триизмерното пространство, проблемът се решава по същия принцип. При даден вектор a → = (a x, a y, a z) съществува безкрайно множествоперпендикулярни вектори. Ще го оправя на координатата триизмерна равнина. Дадено е a → лежащо на правата a . Равнината, перпендикулярна на правата a, се означава с α. В този случай всеки ненулев вектор b → от равнината α е перпендикулярен на a → .

Необходимо е да се намерят координатите b → перпендикулярни на ненулевия вектор a → = (a x , a y , a z) .

Нека b → е дадено с координати b x , b y и b z . За да ги намерите, е необходимо да приложите дефиницията на условието за перпендикулярност на два вектора. Трябва да е спазено равенството a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0. От условието a → - ненулево, което означава, че една от координатите има стойност, различна от нула. Да предположим, че a x ≠ 0, (a y ≠ 0 или a z ≠ 0). Следователно имаме право да разделим цялото неравенство a x b x + a y b y + a z b z = 0 на тази координата, получаваме израза b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x . Присвояваме произволна стойност на координатите b y и b x , изчисляваме стойността b x въз основа на формулата b x = - a y · b y + a z · b z a x . Желаният перпендикулярен вектор ще има стойност a → = (a x , a y , a z) .

Нека да разгледаме доказателството с пример.

Пример 6

Даден е вектор с координати a → = (1 , 2 , 3) ​​​​  . Намерете вектор, перпендикулярен на дадения.

Решение

Означете желания вектор като b → = (b x , b y , b z) . Въз основа на условието, че векторите са перпендикулярни, скаларното произведение трябва да е равно на нула.

a ⇀, b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Ако стойността b y = 1, b z = 1, тогава b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . От това следва, че координатите на вектора b → (- 5 , 1 , 1) . Векторът b → е един от перпендикулярните вектори на дадения.

Отговор: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Намиране на координатите на вектор, перпендикулярен на два дадени вектора

Трябва да намерите координатите на вектора в триизмерното пространство. Той е перпендикулярен на неколинеарните вектори a → (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) . При условие, че векторите a → и b → са колинеарни, в задачата ще бъде достатъчно да се намери вектор, перпендикулярен на a → или b → .

При решаването се използва концепцията за векторно произведение на вектори.

Кръстосано произведение на вектори a → и b → е вектор, който е едновременно перпендикулярен на a → и b → . За решаването на този проблем се използва векторното произведение a → × b →. За триизмерното пространство има формата a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Нека анализираме по-подробно векторния продукт, използвайки примера на проблема.

Пример 7

Дадени са вектори b → = (0 , 2 , 3) ​​​​и a → = (2 , 1 , 0). Намерете едновременно координатите на всеки перпендикулярен вектор към данните.

Решение

За да решите, трябва да намерите кръстосаното произведение на векторите. (Трябва да се обърне към параграф изчисления на матрични детерминантиза намиране на вектора). Получаваме:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Отговор: (3 , - 6 , 4) - координати на вектор, който е едновременно перпендикулярен на дадени a → и b → .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Условието за перпендикулярност на векторите

Векторите са перпендикулярни тогава и само ако техният точков продукт е нула.

Дадени са два вектора a(xa;ya) и b(xb;yb). Тези вектори ще бъдат перпендикулярни, ако изразът xaxb + yayb = 0.

Векторите са успоредни, ако тяхното кръстосано произведение е нула

Уравнение на права на равнина. Основни задачи по права на равнина.

Всяка права линия на равнината може да бъде дадена от уравнението от първи ред Ax + Vy + C = 0, а константите A, B не са равни на нула едновременно, т.е. A2 + B2  0. Това уравнение от първи ред се нарича общо уравнениеправ. В зависимост от стойностите константа A, Bи C са възможни следните специални случаи: - C = 0, A  0, B  0 - правата минава през началото - A = 0, B  0, C  0 ( Чрез

C \u003d 0) - правата линия е успоредна на оста Ox - B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) - правата е успоредна на оста Oy - B = C \u003d 0, A  0 - правата линия съвпада с оста Oy - A \u003d C = 0, B  0 - правата линия съвпада с оста Ox Уравнението на правата линия може да бъде представено в различни формив зависимост от дадени начални условия.

Ако поне един от коефициентите A, B, C ur-i Ax+By+C=0 е 0, т.е
Наречен непълна. По формата на уравнението на права линия може да се прецени нейното положение върху
по дяволите ох. Възможни случаи:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) удовлетворява това уравнение, което означава правата
преминава през произхода
2 A=0 L: Wu+C=0 - нормален v-r n=(0,B) е перпендикулярно на оста OX от тук
следва, че правата е успоредна на оста x
3 V \u003d 0 L: Ay + C \u003d 0 0 - нормалната v-r n \u003d (A, 0) е перпендикулярна на оста OY от тук
следва, че правата е успоредна на оста y
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - не минава през началото и пресича
двете оси.

Уравнението направо　в самолетапреминавайки през две дадени точкии :

Ъгъл между равнините.

Изчисляване на детерминанти

Изчисляването на детерминантите се основава на техните известни свойства, които се прилагат за детерминанти от всички разряди. Тези свойства са:

1. Ако пренаредите два реда (или две колони) на детерминантата, тогава детерминантата ще промени знака.

2. Ако съответните елементи на две колони (или два реда) на детерминантата са равни или пропорционални, то детерминантата е равна на нула.

3. Стойността на детерминантата няма да се промени, ако редовете и колоните се разменят, като се запази редът им.

4. Ако всички елементи на който и да е ред (или колона) имат общ фактор, тогава той може да бъде изваден от детерминантния знак.

5. Стойността на детерминантата няма да се промени, ако съответните елементи на друг ред (или колона) се добавят към елементите на един ред (или колона), умножени по същото число.

Матрица и действие върху тях

Матрица- математически обект, написан като правоъгълна таблица с числа (или кръгови елементи) и позволяващ алгебрични операции (събиране, изваждане, умножение и т.н.) между него и други подобни обекти. Обикновено матриците се представят чрез двумерни (правоъгълни) таблици. Понякога се разглеждат многомерни матрици или неправоъгълни матрици.

Матрицата обикновено се обозначава Главна буква латиницаи разпределете със скоби "(...)" (има и избор квадратни скоби„[…]“ или двойни прави линии „||…||“).

Числата, съставляващи матрицата (елементите на матрицата), често се обозначават със същата буква като самата матрица, но с малки букви (например a11 е елемент от матрица A).

Всеки елемент от матрицата има 2 индекса (aij) - първият "i" показва номера на реда, в който се намира елементът, а вторият "j" е номера на колоната. Те казват "матрица на размерите", което означава, че матрицата има m реда и n колони. Винаги в една и съща матрица

Матрични операции

Нека aij са елементи от матрица A и bij са елементи от матрица B.

Линейни операции:

Умножението на матрица A с число λ (нотация: λA) се състои в конструирането на матрица B, чиито елементи се получават чрез умножаване на всеки елемент от матрицата A по това число, тоест всеки елемент от матрицата B е равен на да се

Събирането на матрици A + B е операция за намиране на матрица C, всички елементи на която са равни на сумата по двойки на всички съответни елементи на матрици A и B, т.е. всеки елемент от матрица C е равен на

Изваждането на матрици A − B се дефинира подобно на събирането, това е операция за намиране на матрица C, чиито елементи

Събирането и изваждането са разрешени само за матрици с еднакъв размер.

Има нулева матрица Θ, така че нейното добавяне към друга матрица A не променя A, т.е.

Всички елементи на нулевата матрица са равни на нула.

Нелинейни операции:

Матрично умножение (означение: AB, рядко със знак за умножение) е операция за изчисляване на матрица C, чиито елементи са равни на сумата от произведенията на елементите в съответния ред на първия фактор и колоната на второ.cij = ∑ aikbkj k

Първият множител трябва да има толкова колони, колкото има редове във втория. Ако матрицата A има размерност B - , тогава размерността на техния продукт AB = C е. Матричното умножение не е комутативно.

Матричното умножение е асоциативно. Само квадратни матрици могат да бъдат повдигнати на степен.

Транспонирането на матрицата (символ: AT) е операция, при която матрицата се отразява по главния диагонал, т.е.

Ако A е размерна матрица, тогава AT е размерна матрица

Производна сложна функция

Комплексната функция има вида: F(x) = f(g(x)), т.е. е функция на функция. Например y = sin2x, y = ln(x2+2x) и т.н.

Ако в точката x функцията g (x) е производната g "(x), а в точката u \u003d g (x) функцията f (u) има производната f" (u), тогава производната на комплексната функция f (g (x)) в точка x съществува и е равна на f"(u)g"(x).

Производна неявна функция

В много задачи функцията y(x) се задава по индиректен начин. Например за функциите по-долу

невъзможно е да се получи явно зависимостта y(x).

Алгоритъмът за изчисляване на производната y "(x) на неявна функция е както следва:

Първо, трябва да разграничите двете страни на уравнението по отношение на x, като приемете, че y е диференцируема функция на x и използвате правилото за изчисляване на производната на сложна функция;

Решете полученото уравнение по отношение на производната y "(x).

Нека да разгледаме няколко примера за онагледяване.

Диференцирайте функцията y(x), дадена от уравнението.

Диференцирайте двете страни на уравнението по отношение на променливата x:

което води до резултата

Правилото на Лапитал

Правилото на L'Hopital. Нека f-ция f(x) и g(x) имат в env. t-ki x0 pr-nye f‘ и g‘ изключвайки възможността точно това t-ku x0. Нека lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0, така че f(x)/g(x) за x®x0 дава 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4) когато съвпада с границата на отношението на функцията lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim (x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(Критерий за монотонност на функция, която има производна на интервал) Нека функцията непрекъснато включено

(a,b) и има производна f"(x) във всяка точка. Тогава

1)f нараства с (a,b) тогава и само ако

2) намалява върху (a,b) тогава и само ако

2. (Достатъчно условиестрога монотонност на функция, която има производна на интервал) Нека функцията е непрекъснат на (a,b) и има производна f"(x) във всяка точка. Тогава

1) ако тогава f е строго нарастващо върху (a,b);

2) ако тогава f е строго намаляващо върху (a,b).

Обратното обикновено не е вярно. Производната на строго монотонна функция може да изчезне. Обаче наборът от точки, където производната не е равна на нула, трябва да бъде плътен в интервала (a,b). По-точно се осъществява.

3. (Критерий за строга монотонност на функция, която има производна на интервал) Нека и производната f"(x) е дефинирана навсякъде в интервала. Тогава f стриктно нараства в интервала (a,b), ако и само ако са изпълнени следните две условия:

Скаларно произведение на вектори. Ъгъл между векторите. Условие за паралелност или перпендикулярност на векторите.

Скаларното произведение на векторите е произведението на техните дължини и косинуса на ъгъла между тях:

Точно по същия начин както в планиметрията се доказват следните твърдения:

Скаларното произведение на два ненулеви вектора е нула тогава и само ако тези вектори са перпендикулярни.

Точковият квадрат на вектор, т.е. точковият продукт на самия него и себе си, е равен на квадрата на неговата дължина.

Скаларното произведение на два вектора и дадено от техните координати може да се изчисли по формулата

Векторите са перпендикулярни тогава и само ако техният точков продукт е нула. Пример. Дадени са два вектора и . Тези вектори ще бъдат перпендикулярни, ако изразът x1x2 + y1y2 = 0. Ъгълът между ненулевите вектори е ъгълът между линиите, за които тези вектори са водачи. Ъгълът между всеки вектор и нулев вектор по дефиниция се счита за равен на нула. Ако ъгълът между векторите е 90°, тогава такива вектори се наричат ​​перпендикулярни. Ъгълът между векторите ще бъде обозначен, както следва: