определение:Точката x0 се нарича точка на локален максимум (или минимум) на функцията, ако в някаква околност на точката x0 функцията приема най-голямата (или най-малката) стойност, т.е. за всички х от някаква околност на точката x0 условието f(x) f(x0) (или f(x) f(x0)) е изпълнено.

Комбинирани местни високи или ниски точки често срещано име- точки на локалния екстремум на функцията.

Обърнете внимание, че в точките на локален екстремум функцията достига своята максимална или минимална стойност само в някакъв локален регион. Има случаи, когато според стойността на уmaxуmin .

Необходим критерий за съществуване на локален екстремум на функция

Теорема . Ако непрекъсната функция y = f(x) има локален екстремум в точката x0, тогава в тази точка първата производна е или нула, или не съществува, т.е. локалният екстремум се осъществява в критични точки от първи вид.

В точките на локалния екстремум или допирателната е успоредна на оста 0x, или има две допирателни (вижте фигурата). Имайте предвид, че критичните точки са необходимо, но не достатъчно условие за локален екстремум. Локален екстремум има само в критични точки от първи вид, но не всички критични точки имат локален екстремум.

Например: кубична парабола y = x3, има критична точка x0=0, в която производната y/(0)=0, но критичната точка x0=0 не е екстремна точка, а има инфлексна точка в нея (виж по-долу).

Достатъчен критерий за наличие на локален екстремум на функция

Теорема . Ако, когато аргументът преминава през критична точка от първи вид, отляво надясно, първата производна y / (x)

променя знака от „+“ на „-“, тогава непрекъснатата функция y(x) в тази критична точка има локален максимум;

променя знака от „-“ на „+“, тогава непрекъснатата функция y(x) има локален минимум в тази критична точка

не променя знака, тогава няма локален екстремум в тази критична точка, има инфлексна точка.

За локален максимум зоната на нарастваща функция (y/0) се заменя с зоната на намаляваща функция (y/0). За локален минимум зоната на намаляваща функция (y/0) се заменя с зоната на нарастваща функция (y/0).

Пример: Изследвайте функцията y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 за монотонност, екстремум и изградете графика на функцията.

Нека намерим критичните точки от първи вид, като дефинираме производната (y/) и я приравним към нула: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Ние ще решим квадратен тричленизползвайки дискриминанта:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) Нека разделим числената ос чрез критични точки на 3 области и да определим знаците на производната (y/) в тях. Въз основа на тези знаци намираме областите на монотонност (нарастване и намаляване) на функциите и чрез промяна на знаците определяме точките на локален екстремум (максимум и минимум).

Резултатите от изследването са представени под формата на таблица, от която могат да се направят следните изводи:

• 1. В интервала y /(-10) 0 функцията нараства монотонно (знакът на производната y е оценен от контролната точка x = -10, взета в този интервал);
• 2. В интервала (-5; -1) y /(-2) 0 функцията монотонно намалява (знакът на производната y се оценява от контролната точка x = -2, взета в този интервал);
• 3. В интервала y /(0) 0 функцията нараства монотонно (знакът на производната y се оценява от контролната точка x = 0, взета в този интервал);
• 4. При преминаване през критичната точка x1k \u003d -5, производната променя знака от "+" на "-", следователно тази точка е локална максимална точка
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. При преминаване през критичната точка x2k \u003d -1, производната променя знака от "-" на "+", следователно тази точка е локална минимална точка
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) Ще изградим графика въз основа на резултатите от изследването с участието на допълнителни изчисления на стойностите на функцията в контролни точки:

сграда правоъгълна система Oxy координати;

показват координатите на максималната (-5; 16) и минималната (-1; -16) точки;

за да прецизираме графиката, изчисляваме стойността на функцията в контролните точки, като ги избираме отляво и отдясно на максималните и минималните точки и вътре в средния интервал, например: y(-6)=(-6)3 +9(-6)2+15(-6 )-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) и (0;-9) - изчислени контролни точки, които се нанасят за построяване на графика;

показваме графиката под формата на крива с изпъкналост нагоре в максималната точка и изпъкналост надолу в минималната точка и минаваща през изчислените контролни точки.

МАКСИМАЛЕН И МИНИМУМ ТОЧКИ

точки, в които отнема най-голямото или най-малка стойноствърху областта на дефиницията; такива точки се наричат също точки на абсолютен максимум или абсолютен минимум. Ако f е дефинирано върху топологична интервал X, след това точката х 0Наречен точка на локален максимум (локален минимум), ако такава точка съществува х 0,че за ограничаването на разглежданата функция до тази околност, точката х 0е абсолютната максимална (минимална) точка. Разграничете точките на строг и нестрог максимум (mini m u m a) (както абсолютни, така и локални). Например точка т.нар точка на нестрог (строг) локален максимум на функцията f, ако съществува такава околност на точката х 0,което важи за всички (съответно f(x) x0). )/

За функции, дефинирани в крайномерни области, от гледна точка на диференциалното смятане, има условия и критерии дадена точка да бъде локална максимална (минимум) точка. Нека функцията f е дефинирана в определена околност на кутията x 0 на реалната ос. Ако x 0 -точка на нестрог локален максимум (минимум) и в тази точка съществува f"( x0), тогава е равно на нула.

Ако дадена функция f е диференцируема в околност на точка x 0,с изключение може би на самата тази точка, в която тя е непрекъсната, и производната f" от всяка страна на точката x0запазва постоянен знак в този квартал, то за да x0беше точка на строг локален максимум (локален минимум), е необходимо и достатъчно производната да промени знака от плюс на минус, т.е. f "(x)> 0 при x<.x0и f"(x)<0 при x>x0(съответно от минус към плюс: е"(Х) <0 при х<x0и f"(x)>0, когато x>x 0). Въпреки това, не за всяка функция, диференцируема в околност на точка x 0,може да се говори за промяна на знака на производната в този момент. . "

Ако функцията f има в точката х 0 тпроизводни, освен това, за да х 0е точка на строг локален максимум, е необходимо и достатъчно τ да е четен и f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Нека функцията f( x 1 ..., x p] е дефиниран в n-мерна околност на точка и е диференцируем в тази точка. Ако x (0) е нестрога локална максимална (минимум) точка, тогава функцията f в тази точка е равна на нула. Това условие е еквивалентно на равенството на нула в тази точка на всички частни производни от 1-ви ред на функцията f. Ако една функция има 2-ри непрекъснати частични производни при x(0), всички нейни 1-ви производни се нулират при x(0) и диференциалът от 2-ри ред при x(0) е отрицателна (положителна) квадратна форма, тогава x(0) е точка на строг локален максимум (минимум). Условията са известни за М. и М. Т. диференцируеми функции, когато се налагат определени ограничения върху промените в аргументите: уравненията на ограниченията са изпълнени. Необходими и достатъчни условия за максимум (минимум) на реална функция, която има повече от сложна структура, се изучават в специални клонове на математиката: например в изпъкнал анализ, математическо програмиране (Вижте също Максимизиране и минимизиране на функцията). M. и m.t. функции, дефинирани върху многообразия се изучават в вариационно смятане като цяло,и M. и m.t. за функции, дефинирани във функционални пространства, т.е. за функционали, в вариационно смятане.Също така има различни методичислена приблизителна находка на М. и м. т.

Лит.: I l и n V. A., Позня до Е. Г., Основи математически анализ, 3-то изд., част 1, М., 1971; КудрявцевЛ. Л. Д. Кудрявцев.

Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.

Вижте какво е "МАКСИМАЛНА И МИНИМАЛНА ТОЧКА" в други речници:

Дискретен максимален принцип на Понтрягин за процеси на дискретно управление. За такъв процес M. p. може да не бъде удовлетворен, въпреки че за неговия непрекъснат аналог, който се получава чрез замяна на оператора за крайна разлика с диференциален ... ... Математическа енциклопедия

Теорема, изразяваща едно от основни свойствааналитичен модул. функции. Нека f(z) е регулярна аналитична или холоморфна функция на p-комплексни променливи в област D на комплексно числово пространство, различно от константа, M. m. s. в ... ... Математическа енциклопедия

Най-големите и съответно най-малките стойности на функция, която приема реални стойности. Извиква се точката от областта на дефиниция на въпросната функция, в която тя взема максимум или минимум. съответно максималната точка или минималната точка ... ... Математическа енциклопедия

Вижте Максимум и минимум на функция, Максимум и минимум на точка... Математическа енциклопедия

Смисъл непрекъсната функция, което е максимумът или минимумът (вижте Максимални и минимални точки). Терминът LE ... Математическа енциклопедия

Индикатор- (Индикатор) Индикаторът е Информационна система, вещество, устройство, устройство, което показва промените във всеки параметър Индикатори на графиките на валутния пазар на Forex, какво представляват и къде могат да бъдат изтеглени? Описание на индикаторите MACD, ... ... Енциклопедия на инвеститора

Този термин има други значения, вижте Екстремни (значения). Екстремум (лат. extremum екстремен) в математиката е максималното или минимална стойностфункции на дадено множество. Точката, в която се достига екстремума е ... ... Wikipedia

Диференциално смятанераздел от математическия анализ, който изучава концепциите за производна и диференциал и как те могат да бъдат приложени към изследването на функции. Съдържание 1 Диференциално смятане на функции на една променлива ... Wikipedia

Лемниската и нейните трикове Лемниската на Бернули е плоска алгебрична крива. Определя се като геометрично мястоточки, продукти ... Wikipedia

Разминаване- (Дивергенция) Дивергенция като индикатор Търговска стратегия с MACD дивергенция Съдържание Съдържание Раздел 1. на. Раздел 2. Дивергенция как. Дивергенцията е термин, използван в икономиката за обозначаване на движението по различни ... ... Енциклопедия на инвеститора

Промяна на функцията в определена точкаи се определя като граница на нарастването на функцията спрямо нарастването на аргумента, което клони към нула. За да го намерите, използвайте таблицата с производни. Например, производната на функцията y = x3 ще бъде равна на y’ = x2.

Приравнете тази производна на нула (in този случай x2=0).

Намерете стойността на дадената променлива. Това ще бъдат стойностите, за които тази производна ще бъде равна на 0. За да направите това, заменете произволни числа в израза вместо x, при което целият израз ще стане нула. Например:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Нанесете получените стойности върху координатната права и изчислете знака на производната за всяка от получените. На координатната права се отбелязват точки, които се приемат за начало. За да изчислите стойността в интервалите, заменете произволни стойности, които отговарят на критериите. Например за предишната функция до интервала -1 можете да изберете стойност -2. За -1 до 1 можете да изберете 0, а за стойности, по-големи от 1, изберете 2. Заменете тези числа в производната и разберете знака на производната. В този случай производната с x = -2 ще бъде равна на -0,24, т.е. отрицателен и ще има знак минус на този интервал. Ако x=0, тогава стойността ще бъде равна на 2 и върху този интервал се поставя знак. Ако x=1, тогава производната също ще бъде равна на -0,24 и се поставя минус.

Ако при преминаване през точка на координатната линия производната промени знака си от минус на плюс, тогава това е минимална точка, а ако от плюс на минус, това е максимална точка.

Подобни видеа

Полезни съвети

За да намерите производната, има онлайн услуги, които изчисляват желани стойностии изведете резултата. На такива сайтове можете да намерите производни до 5 поръчки.

източници:

• Една от услугите за изчисляване на деривати
• максимална точка на функцията

Максималните точки на функцията заедно с минималните точки се наричат ​​точки на екстремум. В тези точки функцията променя поведението си. Крайностите се определят ограничено числови интервалии винаги са местни.

Инструкция

Процесът на намиране на локални екстремуми се нарича функция и се извършва чрез анализ на първата и втората производни на функцията. Преди да започнете изследването, уверете се, че определен интервалстойността на аргумента принадлежи на позволени стойности. Например за функцията F=1/x стойността на аргумента x=0 е невалидна. Или за функцията Y=tg(x), аргументът не може да има стойност x=90°.

Уверете се, че функцията Y е диференцируема на всичко даден сегмент. Намерете първата производна на Y". Очевидно, преди да достигне точката на локалния максимум, функцията расте, а когато премине през максимума, функцията става намаляваща. Първата производна по свой начин физически смисълхарактеризира скоростта на изменение на функцията. Докато функцията нараства, скоростта на този процес е положителна стойност. При преминаване през локален максимум функцията започва да намалява и скоростта на процеса на промяна на функцията става отрицателна. Преходът на скоростта на изменение на функцията през нула се случва в точката на локалния максимум.

>> Крайности

Функция екстремум

Определение за екстремум

функция y = f(x) се извиква повишаване на (намаляващ) в някакъв интервал, ако за x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Ако диференцируема функция y \u003d f (x) на сегмент нараства (намалява), тогава нейната производна на този сегмент f " (х )> 0

(е"(х)< 0).

Точка х относно Наречен локална максимална точка (минимум) на функцията f (x ), ако има околност на точката x o, за всички точки от които неравенството f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).

Извикват се максималните и минималните точки екстремни точки, а стойностите на функцията в тези точки са нейни екстремуми.

екстремни точки

Необходими условия за екстремум . Ако точка х относно е точка на екстремум на функцията f (x), тогава или f " (x o ) = 0, или f(x o ) не съществува. Такива точки се наричат критичен,където самата функция е дефинирана в критичната точка. Екстремумите на една функция трябва да се търсят сред нейните критични точки.

Първо достатъчно условие. Позволявам х относно - критична точка. Ако f" (x ) при преминаване през точката х относно променя знака плюс на минус, след това в точката x oфункцията има максимум, в противен случай има минимум. Ако производната не променя знака при преминаване през критична точка, тогава в точката х относно няма екстремум.

Второто достатъчно условие. Нека функцията f(x) има
е" (x ) в близост до точката х относно и втората производна в самата точка x o. Ако f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x oе локална минимална (максимална) точка на функцията f(x). Ако =0, тогава трябва или да се използва първото достатъчно условие, или да се включат по-високи.

На сегмент функцията y \u003d f (x) може да достигне най-малката или най-голямата стойност или в критични точки, или в краищата на сегмента.

Пример 3.22.

Решение.защото f " (

Задачи за намиране на екстремума на функция

Пример 3.23. а

Решение. хи г г
0 ≤ х≤
> 0, докато x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции кв.. единици).

Пример 3.24. p ≈

Решение.стр
С"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Пример 3.22.Намерете екстремума на функцията f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение.защото f " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), тогава критичните точки на функцията x 1 \u003d 2 и x 2 \u003d 3. Екстремните точки могат да бъдат само в тези точки. Тъй като при преминаване през точката x 1 \u003d 2, производната променя знака от плюс на минус, тогава в тази точка функцията има максимум. При преминаване през точката x 2 \u003d 3, производната променя знака от минус на плюс, следователно в точката x 2 \u003d 3 функцията има минимум. Изчисляване на стойностите на функцията в точки
x 1 = 2 и x 2 = 3, намираме екстремумите на функцията: максимум f (2) = 14 и минимум f (3) = 13.

Пример 3.23.В близост до каменната стена е необходимо да се изгради правоъгълна зона, така че да бъде оградена с телена мрежа от три страни, а от четвъртата страна да граничи със стената. За това има алинейни метри от мрежата. При какво съотношение на страните сайтът ще има най-голяма площ?

Решение.Обозначете страните на сайта през хи г. Площта на обекта е равна на S = xy. Позволявам ге дължината на страната, съседна на стената. Тогава по условие трябва да е спазено равенството 2x + y = a. Следователно y = a - 2x и S = ​​x (a - 2x), където
0 ≤ х≤ a /2 (дължината и ширината на подложката не могат да бъдат отрицателни). S "= a - 4x, a - 4x = 0 за x = a/4, откъдето
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Тъй като x = a /4 е единствената критична точка, нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. За x a /4 S "> 0, докато x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв.. единици). Тъй като S е непрекъснат и неговите стойности в краищата на S(0) и S(a /2) са равни на нула, тогава намерената стойност ще бъде най-висока стойностфункции. По този начин най-благоприятното съотношение на страните на сайта при дадените условия на проблема е y = 2x.

Пример 3.24.Необходимо е да се изработи затворен цилиндричен резервоар с вместимост V=16 p ≈ 50 м 3. Какви трябва да бъдат размерите на резервоара (радиус R и височина H), за да се използва най-малко материал за производството му?

Решение.Квадрат пълна повърхностцилиндърът е S = 2стр R(R+H). Знаем обема на цилиндъра V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Така че S(R) = 2стр (R2+16/R). Намираме производната на тази функция:
С"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2). С" (R) = 0 за R 3 = 8, следователно,
R = 2, H = 16/4 = 4.

$E \подмножество \mathbb(R)^(n)$. Казва се, че $f$ има локален максимумв точката $x_(0) \in E$, ако съществува околност $U$ на точката $x_(0)$, така че за всички $x \in U$ неравенството $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Локалният максимум се нарича строг , ако околността $U$ може да бъде избрана по такъв начин, че за всички $x \in U$, различни от $x_(0)$, има $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Определение
Нека $f$ е действителна функциявърху отвореното множество $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Казва се, че $f$ има местен минимумв точката $x_(0) \in E$, ако съществува околност $U$ на точката $x_(0)$, така че за всички $x \in U$ неравенството $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Казва се, че локалният минимум е строг, ако околността $U$ може да бъде избрана така, че за всички $x \in U$, различни от $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\вдясно)$.

Локален екстремум съчетава концепциите за локален минимум и локален максимум.

теорема ( необходимо условиеекстремум на диференцируема функция)
Нека $f$ е реална функция върху отворено множество $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ако в точката $x_(0) \in E$ функцията $f$ има локален екстремум и в тази точка, тогава $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Равенството на диференциала на нула е еквивалентно на факта, че всички са равни на нула, т.е. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

В едномерния случай това е . Означаваме $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, където $h$ е произволен вектор. Функцията $\phi$ е дефинирана за достатъчно малки модулни стойности на $t$. Освен това по отношение на , той е диференцируем и $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Нека $f$ има локален максимум при x $0$. Следователно функцията $\phi$ при $t = 0$ има локален максимум и според теоремата на Ферма $(\phi)' \left(0\right)=0$.
И така, получихме, че $df \left(x_(0)\right) = 0$, т.е. функция $f$ в точката $x_(0)$ е равна на нула върху всеки вектор $h$.

Определение
Точките, в които диференциалът е равен на нула, т.е. тези, при които всички частни производни са равни на нула, се наричат ​​стационарни. критични точки функциите $f$ са онези точки, в които $f$ не е диференцируемо или е равно на нула. Ако точката е неподвижна, тогава все още не следва, че функцията има екстремум в тази точка.

Пример 1
Нека $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Тогава $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, така че $\left(0,0\right)$ е неподвижна точка, но в този момент функцията няма екстремум. Наистина, $f \left(0,0\right) = 0$, но е лесно да се види, че във всяка околност на точката $\left(0,0\right)$ функцията приема както положителни, така и отрицателни стойности.

Пример 2
Функцията $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ има начало на координатите като стационарна точка, но е ясно, че в тази точка няма екстремум.

Теорема (достатъчно условие за екстремум).
Нека функция $f$ е два пъти непрекъснато диференцируема върху отворено множество $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Нека $x_(0) \in E$ е неподвижна точка и $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Тогава

1. ако $Q_(x_(0))$ е , тогава функцията $f$ в точката $x_(0)$ има локален екстремум, а именно минимум, ако формата е положително определена, и максимум, ако формата е отрицателно-определени;
2. ако квадратна форма$Q_(x_(0))$ е недефиниран, тогава функцията $f$ в точката $x_(0)$ няма екстремум.

Нека използваме разширението по формулата на Тейлър (12.7 стр. 292) . Като вземем предвид, че частичните производни от първи ред в точката $x_(0)$ са равни на нула, получаваме $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ частично x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ където $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ и $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ за $h \rightarrow 0$, тогава дясна часте положителен за всеки вектор $h$ с достатъчно малка дължина.
Така стигнахме до заключението, че в някаква околност на точката $x_(0)$ неравенството $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ е изпълнено, ако само $ x \neq x_ (0)$ (поставяме $x=x_(0)+h$\right). Това означава, че в точката $x_(0)$ функцията има строг локален минимум и по този начин първата част от нашата теорема е доказана.
Да предположим сега, че $Q_(x_(0))$ е неопределена форма. Тогава има вектори $h_(1)$, $h_(2)$, така че $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Тогава получаваме $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ За достатъчно малък $t>0$ дясната страна е положителен. Това означава, че във всяка близост на точката $x_(0)$ функцията $f$ приема стойности $f \left(x\right)$, по-големи от $f \left(x_(0)\right)$.
По същия начин получаваме, че във всяка околност на точката $x_(0)$ функцията $f$ приема стойности, по-малки от $f \left(x_(0)\right)$. Това заедно с предходното означава, че функцията $f$ няма екстремум в точката $x_(0)$.

Обмисли специален случайот тази теорема за функция $f \left(x,y\right)$ от две променливи, дефинирани в някаква околност на точката $\left(x_(0),y_(0)\right)$ и имащи непрекъснати частни производни от първи и втори ред. Нека $\left(x_(0),y_(0)\right)$ е неподвижна точка и нека $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Тогава предишната теорема приема следната форма.

Теорема
Нека $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Тогава:

1. ако $\Delta>0$, тогава функцията $f$ има локален екстремум в точката $\left(x_(0),y_(0)\right)$, а именно минимум, ако $a_(11)> 0$ и максимум, ако $a_(11)<0$;
2. ако $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Примери за решаване на проблеми

Алгоритъм за намиране на екстремума на функция на много променливи:

1. Намираме стационарни точки;
2. Намираме диференциала от 2-ри ред във всички стационарни точки
3. Използвайки достатъчното условие за екстремума на функция на няколко променливи, разглеждаме диференциала от втори ред във всяка стационарна точка

1. Изследвайте функцията до екстремума $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Решение

   Намерете частични производни от първи ред: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Съставете и решете системата: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ От второто уравнение изразяваме $x=4 \cdot y^(2)$ — заместваме в първото уравнение: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ надясно )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ В резултат се получават 2 стационарни точки:
   1) $y=0 \Дясна стрелка x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Нека проверим изпълнението на достатъчното екстремално условие:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) За точка $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) За точка $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, така че има екстремум в точката $M_(2)$ и тъй като $A_(2)>0 $, тогава това е минимумът.
   Отговор: Точката $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ е минималната точка на функцията $f$.
   

2. Изследвайте функцията за екстремума $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Решение

   Намерете неподвижни точки: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Съставете и решете системата: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ е неподвижна точка.
   Нека проверим изпълнението на условието за достатъчен екстремум: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Отговор: няма крайности.
   

Времево ограничение: 0

Навигация (само номера на задания)

0 от 4 изпълнени задачи

Информация

Направете този тест, за да проверите знанията си по темата, която току-що прочетохте, Локални екстремуми на функции на много променливи.

Вече сте правили теста преди. Не можете да го стартирате отново.

Тестът се зарежда...

Трябва да влезете или да се регистрирате, за да започнете теста.

Трябва да завършите следните тестове, за да започнете този:

резултати

Верни отговори: 0 от 4

Твоето време:

Времето изтече

Постигнахте 0 от 0 точки (0 )

Вашият резултат е записан в класацията

1. С отговор
2. Проверих

Задача 1 от 4

1 .

Брой точки: 1

Изследвайте функцията $f$ за екстремуми: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Правилно


Не правилно


1. Задача 2 от 4

   2 .

   Брой точки: 1

   Дали функцията $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$