След получаване точкова оценкажелателно е да има данни за надеждността на такава оценка. Ясно е, че стойността е само приблизителна стойност на параметъра q. Изчислената точкова оценка може да е близка до изчисления параметър или може да е много различна от него. Точковата оценка не носи информация за точността на процедурата за оценка. Особено важно е да имате информация за надеждността на оценките за малки извадки. В такива случаи трябва да се използват интервални оценки.

задача интервална оценкав самото общ изгледможе да се формулира по следния начин: по образец, конструкт числов интервал, по отношение на което с предварително избрана вероятност можем да кажем, че оцененият параметър се намира в този интервал. Тук има няколко подхода. Най-често срещаният метод за оценка на интервала е метод на доверителния интервал.

Доверителен интервалза параметърр се нарича интервал, съдържащ неизвестна стойностпараметър населениес дадена вероятностж , т.е.

.

Числото g се нарича ниво на увереност, а числото a=1–g – ниво на надеждност. Вероятността за доверие се дава предварително и се определя от конкретни условия. Обикновено се използва g=0,9; 0,95; 0,99 (съответно а=0,1; 0,05; 0,01).

Дължина доверителен интервал, която характеризира точността на интервалната оценка, зависи от размера на извадката ни ниво на увереност g. С увеличаване на стойността ндължината на доверителния интервал намалява и когато вероятността g се доближава до единица, тя се увеличава.

Често доверителният интервал се изгражда симетрично по отношение на точковата оценка, т.е. като

, (3.15)

Тук се нарича числото D маргинален(или стандартен) грешка при вземане на проби. Въпреки това, не винаги е възможно да се изградят симетрични интервали; освен това понякога трябва да се ограничат едностранните доверителни интервали:

или .

Тъй като при иконометрични проблеми често е необходимо да се изградят доверителни интервали за параметрите на случайни променливи, които имат нормална дистрибуция , представяме схемите на тяхното разположение.

3.4.2. Доверителен интервал за оценка на генерала
средно с известна обща дисперсия

Позволявам количествен признак хпопулацията има нормално разпределение с дадена дисперсия s 2 и неизвестно математическо очакване а. За оценка на параметъра аизвлечена проба х 1 , х 2 , …, X n, състояща се от ннезависими нормално разпределени случайни променливи с параметри аи s, където s е известно и стойността аоценено по извадка:

.

Нека оценим точността на това приблизително равенство. За да направим това, задаваме вероятността g и се опитваме да намерим число D, така че връзката

.

След това използваме свойствата на нормалното разпределение. Известно е, че сумата е нормална разпределени количествасъщо има нормално разпределение. Следователно средната стойност има нормално разпределение, чието математическо очакване и дисперсия са равни на

Следователно,

.

Нека сега използваме формулата за намиране на вероятностите за отклонение на нормално разпределена случайна променлива от математическо очакване:

,

където F( х) е функцията на Лаплас. Замяна хна и s на , получаваме

,

където . От последното равенство намираме това пределна извадкова грешкаще бъде равно на

.

Като се има предвид, че ниво на увереносте дадено и равно на g, получаваме крайния резултат.

Интервалната оценка на общата средна (математическо очакване) има формата

, (3.17)

или по-накратко

където числото t g се определя от равенството .

Представяме ценностите T g за широко приети нива на доверие:

, , .

Нека обсъдим как това влияе върху точността на оценката на параметрите аразмер на извадката н, стойността на стандартното отклонение s, както и стойността на нивото на достоверност g.

а) При увеличаване нточността на оценката се повишава. За съжаление увеличението на точността (т.е. намаляването на дължината на доверителния интервал) е пропорционално на , а не на 1/ н, т.е. се случва много по-бавно от увеличаването на броя на наблюденията. Например, ако искаме да увеличим точността на изводите с фактор 10 чрез чисто статистически средства, тогава трябва да увеличим размера на извадката с фактор 100.

б) Колкото по-голямо е, толкова по-ниска е точността. Зависимостта на точността от този параметър е линейна.

в) Колкото по-висока е доверителната вероятност g, толкова повече стойностпараметър T g , т.е. толкова по-ниска е точността. Освен това между g и T g има нелинейна връзка. С увеличаването на g стойността T g рязко нараства (при ). Следователно, с голяма сигурност (с високо ниво на увереност), можем да гарантираме само относително ниска точност. (Интервалът на доверителност ще бъде широк.) И обратното: когато посочим за неизвестен параметър аотносително тесни граници, ние рискуваме да направим грешка - с относително голяма вероятност.

Имайте предвид, че стойността

Наречен средна извадкова грешка. За без повторно вземане на пробитази формула ще приеме формата

. (3.20)

Тогава пределната извадкова грешка D ще бъде T-множествена средна грешка:

Пример 3.7.Въз основа на дългосрочно проследяване на теглото хпакети с ядки, напълнени автоматично, се установява, че стандартното отклонение на теглото на пакетите е s=10 Ж. Претеглени са 25 пакета, като средното им тегло е . В какъв интервал с 95% надеждност се намира истинската стойност на средното тегло на пакета?

.

За да определим 95% доверителен интервал, изчисляваме пределна грешкапроби

Следователно 95% доверителен интервал за истинската стойност на средното тегло на пакета ще бъде

,

На пръв поглед може да изглежда, че полученият резултат представлява само теоретичен резултат, тъй като стандартното отклонение s по правило също е неизвестно и се изчислява от примерни данни. Въпреки това, ако пробата е достатъчно голяма, тогава полученият резултат е доста приемлив за практическа употреба, тъй като функцията на разпределение ще се различава малко от нормалната, и оценката на дисперсията с 2 ще бъде достатъчно близо до истинската стойност на s 2 . Освен това полученият резултат често се използва в случаите, когато разпределението на генералната съвкупност се различава от нормалното. Това се дължи на факта, че сумата от независими случайни променливи, поради централната гранична теорема, с големи проби има разпределение, близко до нормалното. а

Пример 3.8.Да приемем, че в резултат извадково проучванеусловия на живот на жителите на града въз основа на самослучайна повторна извадка, следното вариационна серия:

Таблица 3.5

Изградете 95% доверителен интервал за изследваната черта.

Решение.Нека изчислим извадката средна стойности дисперсията на изследваната черта.

Таблица 3.6

Общата площ на жилищата на 1 човек, м 2	Броят на жителите n i	Средата на интервала x i
До 5.0		2,5	20,0	50,0
5,0–10,0		7,5	712,5	5343,8
10,0–15,0		12,5	2550,0	31875,0
15,0–20,0		17,5	4725,0	82687,5
20,0–25,0		22,5	4725,0	106312,5
25,0–30,0		27,5	3575,0	98312,5
30.0 и повече		32,5	2697,5	87668,8
Обща сума		–	19005,0	412250,0

; ; .

Средна грешкапроба ще бъде

.

Нека дефинираме пределната извадкова грешка с вероятност от 0,95 ():

Да поставим границите на общата авария

.

Така въз основа на проведеното извадково проучване с вероятност 0,95 можем да заключим, че средният размеробщата площ на 1 човек за града като цяло варира от 18,6 до 19,4 м 2. а

3.4.3. Доверителен интервал за оценка на генерала
средно с неизвестна обща дисперсия

По-горе проблемът за конструиране на интервална оценка за математическото очакване на нормално разпределение беше решен, когато неговата дисперсия е известна. На практика обаче дисперсията обикновено също е неизвестна и се изчислява от същата извадка като математическото очакване. Това води до необходимостта от използване на друга формула при определяне на доверителния интервал за математическото очакване на случайна величина с нормално разпределение. Тази постановка на проблема е особено подходяща за малки извадки.

Нека количественият знак хнаселението има нормално разпределение н(а,s), и двата параметъра аи s са неизвестни. Според образеца х 1 , х 2 , …, X n, изчислете средната аритметична стойност и коригираната дисперсия:

, .

За да се намери доверителният интервал в този случай, се изгражда статистика

имащ разпределение на Стюдънт с брой степени на свобода n=n–1, независимо от стойностите на параметрите a и s. Като изберем ниво на достоверност g и знаем размера на извадката n, можем да намерим число t, така че равенството

,

.

От тук намираме

интервална оценка за общото средно (математическо очакване) с неизвестни s:

, (3.22)

или по-накратко

Номер T (Студентски коефициент) се намира от таблици за разпределение на Стюдънт. Обърнете внимание, че това е функция на два аргумента: доверителната вероятност g и броя на степените на свобода к=н–1, т.е. t=t(g,n).

Трябва да се внимава, когато се използват таблици за разпределения на Student. Първо, обикновено в таблиците вместо нивото на достоверност g се използва нивото на надеждност a=1–g. Второ, много често стойностите на т.нар. едностранен t-тест на Стюдънт

Или .

В този случай стойностите трябва да се вземат в таблиците, ако нивото на надеждност се използва в таблицата или ако нивото на доверие се използва в таблицата.

Въпреки привидното сходство на формулите (3.17) и (3.22), между тях има съществена разлика, която се състои във факта, че коефициентът на Стюдънт Tзависи не само от нивото на доверие, но и от размера на извадката. Тази разлика е особено забележима при малки проби. (Напомняме, че за големи извадки разликата между разпределението на Стюдънт и нормалното разпределение практически изчезва.) В този случай използването на нормалното разпределение води до неоправдано стесняване на доверителния интервал, т.е. до неоправдано повишаване на точността. Например ако н=5 и g=0,99, тогава, използвайки разпределението на Стюдънт, получаваме T=4,6 и използвайки нормалното разпределение, - T=2,58, т.е. доверителен интервал в последен случайпочти два пъти по-тесен от интервала при използване на разпределението на Стюдънт.

Пример 3.9.Анализатор на фондовия пазар оценява средната възвръщаемост на определени акции. произволна извадка 15 дни показаха, че средната (годишна) доходност със средна стандартно отклонение. Ако приемем, че възвръщаемостта на акциите подлежи на нормален законразпределение, изградете 95% доверителен интервал за средната възвръщаемост на вида акции, който представлява интерес за анализатора.

Решение.Тъй като размерът на извадката н=15, тогава е необходимо да се приложи разпределението на Стюдънт със степени на свобода. Според таблиците за разпределението на Студента намираме

.

Използвайки тази стойност, изграждаме 95% доверителен интервал:

.

Следователно един анализатор може да бъде 95% сигурен, че средната годишна възвръщаемост на акциите е между 8,44% и 12,3%. а

Обмисли строителство доверителен интервал за оценка на математическото очакване.

Нека е обемната проба от генералната съвкупност на обема
;- извадкова средна; - извадково стандартно отклонение.

Доверителен интервал на нивото на надеждност за математическо очакване (обща авария) има формата

,

където -пределна извадкова грешка, което зависи от размера на извадката , ниво на увереност и е равен на половината от доверителния интервал.

средно общообразователно неизвестен служи като доверителен интервал:

където - извадкова средна; -поправеноизвадково стандартно отклонение; - параметър, който се намира според таблицата за разпределение на Студент за (
) степени на свобода и вероятност за увереност .

Интервална оценка с надеждност средно общообразователно при нормално разпределение на генералната съвкупност с известен стандартно отклонение служи като доверителен интервал:

където - извадкова средна;
- извадково стандартно отклонение; - стойността на аргумента на функцията на Лаплас
, при което
;- размер на извадката.

заключения. Доверителен интервалза средната стойност, представлява диапазона от стойности около резултата, където с даденото ниво на достоверност се намира „истинската“ (неизвестна) средна стойност на характеристиката.

Добре известно е например, че колкото по-„несигурна“ е една прогноза за времето (т.е. колкото по-широк е доверителният интервал), толкова по-вероятно е тя да бъде вярна.

Пример.Намерете доверителен интервал с надеждност от 0,95 за оценка на математическото очакване на случайна променлива с нормално разпределение, ако стандартното й отклонение е известно
, извадкова средна стойност
и размер на извадката
.

Нека използваме формулата
. Значение намерете от таблицата със стойности на функцията на Лаплас
, като се има предвид това
, т.е.
. Намираме според таблицата за стойността на функцията
стойност на аргумента
. Получаваме доверителния интервал:

; или
.

Тестови задачи

1. Дължината на доверителния интервал намалява с увеличаване:

1) стойности на извадката 2) размер на извадката

3) ниво на достоверност 4) средна стойност на извадката

2. Дължината на доверителния интервал с увеличаване на размера на извадката:

1) намалява; 2) нараства;

3) не се променя; 4) се колебае.

3. Дължината на доверителния интервал с нарастваща увереност:

1) промени, 2) намалява,

3) нараства, 4) е постоянен.

4. Отбележете два верни отговора. Символи и във формулата на доверителния интервал означава:

1) оценка на параметъра; 2) доверителен интервал;

3) размер на извадката; 4) вероятност за доверие.

Отговори. един. 2). 2. 1 3. 2). 4. 4) и 3).

Тестови въпроси

Какво се разбира под термина "интервална оценка на параметъра на разпределението"?

Определете доверителен интервал.

Какво е точност на оценката и надеждност на оценката?

Какво е ниво на увереност? Какви стойности приема?

Как ще се промени дължината на доверителния интервал, ако увеличите: 1) размера на извадката, 2) нивото на доверителност? Обосновете отговора.

Запишете формулата за намиране на доверителния интервал на математическото очакване на нормално разпределена случайна променлива, ако обща дисперсия: 1) известен; 2) е неизвестен.

Страница 2

Качеството на изходните данни (статистиката) за показателите за надеждност на електрическото оборудване (заедно с показателите за повреда от прекъсване на електрозахранването и информацията за режимите на работа и прекъсването) се оценява по точност - ширината на доверителния интервал, покриващ индикатора, и надеждност - вероятността да не направите грешка при избора на този интервал. точност математически моделинадеждността се оценява по тяхната адекватност към реален обект, а точността на метода за изчисляване на надеждността - по адекватността на полученото решение спрямо идеалното.

Сега коефициентът на вариация на дебита, както и самият дебит, по същество зависят от &0 / &1 - Така, например, с pi 1 m и ku / k 5, средният дебит намалява в сравнение с първоначалния с около 2 пъти, а ширината на доверителния интервал е почти 3 пъти. Очевидно уточняването на параметрите на дънната зона в този случай предоставя значителна информация и значително подобрява качеството на прогнозата.

Инвариантността на броя опити n на всеки етап оказва значително влияние върху точността на резултатите. Ширината на доверителния интервал намалява с увеличаване на размера на извадката.

Доверителните интервали се наричат ​​интервали, в които има определени (доверителни) вероятности истински ценностипрогнозни параметри. Обикновено ширината на доверителния интервал се изразява чрез стандартното отклонение на резултатите от индивидуалните наблюдения ax.

Ширината на доверителния интервал зависи от желаната статистическа надеждност e, размера на извадката n и разпределението произволни стойности, особено от scatter. Дължината и ширината на доверителните интервали също се определят от наличната (случайна) извадка.

Но ширината на доверителния интервал в този случай се оказва неприемливо голяма. В този случай обаче ширината на доверителния интервал е твърде голяма.

Следователно границите на доверителния интервал са (23 85 - 2 776 - 0 13; 23 85 2 776X X0 13) (23 49; 24 21) MPa. От резултатите се вижда, че ширината на доверителния интервал за същата вероятност трябва да бъде почти 15 пъти по-голяма поради факта, че при по-малкоима по-малко доверие в тях.

От съотношението (2.29) следва, че вероятността доверителният интервал (0 - D; в D) със случайни граници да покрие известния параметър 0 е равна на y. Стойността D, равна на половината от ширината на доверителния интервал, се нарича точност на оценката, а вероятността y е доверителната вероятност (или надеждност) на оценката.

Интервалът (04, 042) се нарича доверителен интервал, неговите граници 04 и 0W, които са случайни променливи, съответно долната и горната граница на доверие. Всяка интервална оценка може да се характеризира с комбинация от две числа: ширината на доверителния интервал H 04 - 0I, който е мярка за точността на оценката на параметъра 0, и доверителната вероятност y, която характеризира степента на надеждност ( надеждност) на резултатите.

При тези условия се определят доверителните граници: за Me и разпределение на използване, а за Mn - разпределение на Стюдънт. От графиките се вижда, че при малък брой n наблюдавани откази ширината на доверителния интервал, който характеризира възможно отклонение в оценката на параметъра на разпределението, е голяма. Действителната стойност на параметъра може да се различава няколко пъти от стойността, получена от опита на съответния статистическа оценка. С увеличаването на n границите на доверителния интервал постепенно се стесняват. За да се получат достатъчно точни и надеждни оценки, е необходимо по време на теста голямо числоповреди, което от своя страна изисква значително количество тестове, особено при висока надеждност на обектите.

Точност на оценката, ниво на достоверност (надеждност)

Доверителен интервал

При вземане на проби от малък обем трябва да се използват интервални оценки. това избягва гафове, за разлика от точковите оценки.

Извиква се интервална оценка, която се определя от две числа – краищата на интервала, покриващ оценявания параметър. Интервални оценкиви позволяват да установите точността и надеждността на оценките.

Позволявам статистическа характеристика* служи като оценка на неизвестния параметър. Предполагаме постоянно число(може също случайна величина). Ясно е, че * определя параметъра β по-точно, толкова по-малък абсолютна стойностразлики | - * |. С други думи, ако >0 и | - * |< , то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образом, положително числохарактеризира точността на оценката.

въпреки това статистически методине ни позволяват да твърдим категорично, че оценката * удовлетворява неравенството | - *|<, можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Надеждността (вероятността за доверие) на оценката за * е вероятността, с която неравенството | - *|<. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Нека вероятността | - *|<, равна т.е.

Замяна на неравенството | - *|< равносильным ему двойным неравенством -<| - *|<, или *- <<*+, имеем

R(*-< <*+)=.

Доверителният интервал се нарича (*-, *+), който покрива неизвестния параметър с дадена надеждност.

Доверителни интервали за оценка на математическото очакване на нормално разпределение, когато са известни.

Интервална оценка с надеждността на математическото очакване a на нормално разпределен количествен признак X от средната стойност на извадката x с известно стандартно отклонение на генералната съвкупност е доверителният интервал

x - t(/n^?)< a < х + t(/n^?),

където t(/n^?)= е точността на оценката, n е обемът на извадката, t е стойността на аргумента на функцията на Лаплас Ф(t), при която Ф(t)=/2.

От равенството t(/n^?)= можем да направим следните заключения:

1. с увеличаване на размера на извадката n броят намалява и следователно точността на оценката се увеличава;

2. повишаването на надеждността на оценката = 2Ф(t) води до нарастване на t (Ф(t) е нарастваща функция), следователно до нарастване; с други думи, увеличаването на надеждността на класическата оценка води до намаляване на нейната точност.

Пример. Случайната променлива X има нормално разпределение с известно стандартно отклонение =3. Намерете доверителните интервали за оценка на неизвестното очакване a от средните стойности на извадката x, ако размерът на извадката е n = 36 и надеждността на оценката е зададена на 0,95.

Решение. Да намерим t. От връзката 2Ф(t) = 0,95 получаваме Ф (t) = 0,475. Според таблицата намираме t=1,96.

Намерете точността на оценката:

измерване на доверителния интервал на точност

T(/n^?)= (1,96,3)//36 = 0,98.

Доверителният интервал е: (x - 0,98; x + 0,98). Например, ако x = 4,1, тогава доверителният интервал има следните граници на доверителност:

х - 0,98 = 4,1 - 0,98 = 3,12; х + 0,98 = 4,1 + 0,98 = 5,08.

По този начин стойностите на неизвестния параметър a, в съответствие с данните от извадката, удовлетворяват неравенството 3.12< а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3,12 < а < 5,08) = 0,95. Действительно, так как а - постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 достоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12 < а < 5,08 невозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было указано, изменяются от выборки к выборке.

Нека обясним значението на дадената надеждност. Надеждност = 0,95 показва, че ако се вземат достатъчно голям брой проби, тогава 95% от тях определят такива доверителни интервали, в които параметърът действително е затворен; само в 5% от случаите може да надхвърли доверителния интервал.

Ако се изисква да се оцени математическото очакване с предварително определена точност и надеждност, тогава минималният размер на извадката, който ще гарантира тази точност, се намира по формулата

Доверителни интервали за оценка на математическото очакване на нормално разпределение с неизвестно

Интервална оценка с надеждността на математическото очакване a на нормално разпределен количествен признак X от средната стойност на извадката x с неизвестно стандартно отклонение на генералната съвкупност е доверителният интервал

x - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?),

където s е "коригираното" стандартно отклонение на извадката, t() се намира в таблицата според даденото и n.

Пример. Количественият атрибут X на генералната съвкупност е нормално разпределен. Въз основа на размера на извадката n=16 бяха установени средната стойност на извадката x = 20,2 и „коригираното“ стандартно отклонение s = 0,8. Оценете неизвестната средна стойност, като използвате доверителен интервал с надеждност 0,95.

Решение. Нека намерим t(). Използвайки таблицата, за = 0,95 и n=16 намираме t()=2,13.

Нека намерим границите на доверие:

x - t () (s / n ^?) \u003d 20,2 - 2,13 *. 0,8/16^? = 19,774

x + t()(s/n^?) = 20,2 + 2,13 * 0,8/16^? = 20,626

И така, с надеждност от 0,95, неизвестният параметър a се съдържа в доверителен интервал от 19,774< а < 20,626

Оценка на истинската стойност на измерената стойност

Нека се направят n независими равни измервания на някаква физическа величина, чиято истинска стойност е неизвестна.

Резултатите от отделните измервания ще разглеждаме като случайни величини Хl, Х2,…Хn. Тези величини са независими (измерванията са независими). Те имат едно и също математическо очакване a (истинската стойност на измерената стойност), еднакви дисперсии ^2 (еквивалентни измервания) и са нормално разпределени (това предположение се потвърждава от опита).

По този начин всички предположения, направени при извличането на доверителните интервали, са изпълнени и следователно сме свободни да използваме формули. С други думи, истинската стойност на измереното количество може да бъде оценена от средноаритметичното на резултатите от отделните измервания, като се използват доверителни интервали.

Пример. Въз основа на данните от девет независими еднакво точни измервания на физична величина са установени средноаритметичното от резултатите от отделните измервания x = 42,319 и „коригираното“ стандартно отклонение s = 5,0. Изисква се оценка на истинската стойност на измерената величина с надеждност = 0,95.

Решение. Истинската стойност на измерената величина е равна на нейното математическо очакване. Следователно проблемът се свежда до оценка на математическото очакване (в неизвестното) с помощта на доверителен интервал, покриващ a с дадена надеждност = 0,95.

x - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?)

Използвайки таблицата, за y \u003d 0,95 и l \u003d 9 намираме

Намерете точността на оценката:

t()(s/n^?) = 2,31 * 5/9^?=3,85

Нека намерим границите на доверие:

x - t () (s / n ^?) \u003d 42,319 - 3,85 \u003d 38,469;

x + t () (s / n ^?) \u003d 42,319 + 3,85 \u003d 46,169.

Така че, с надеждност от 0,95, истинската стойност на измерената стойност се намира в доверителния интервал от 38,469< а < 46,169.

Доверителни интервали за оценка на стандартното отклонение на нормално разпределение.

Нека количественият атрибут X на генералната съвкупност е разпределен нормално. Изисква се да се оцени неизвестното общо стандартно отклонение от "коригираното" извадково стандартно отклонение s. За да направим това, използваме оценката на интервала.

Интервална оценка (с надеждност) на стандартното отклонение o на нормално разпределен количествен атрибут X от „коригираното“ извадково стандартно отклонение s е доверителният интервал

s (1 -- q)< < s (1 + q) (при q < 1),

0 < < s (1 + q) (при q > 1),

където q се намира съгласно таблицата за дадено n n.

Пример 1. Количественият признак X на генералната съвкупност е нормално разпределен. Въз основа на извадка с размер n = 25 беше намерено „коригирано“ стандартно отклонение s = 0,8. Намерете доверителния интервал, покриващ общото стандартно отклонение с надеждност 0,95.

Решение. Според таблицата, според данните = 0,95 и n = 25, намираме q = 0,32.

Необходимият доверителен интервал s (1 -- q)< < s (1 + q) таков:

0,8(1-- 0,32) < < 0,8(1+0,32), или 0,544 < < 1,056.

Пример 2. Количественият признак X на генералната съвкупност е нормално разпределен. Въз основа на извадка с размер n=10 беше намерено „коригирано“ стандартно отклонение s = 0,16. Намерете доверителния интервал, покриващ общото стандартно отклонение с надеждност 0,999.

Решение. Според таблицата на приложението, според данните = 0,999 и n=10, намираме 17= 1,80 (q > 1). Желаният доверителен интервал е:

0 < < 0,16(1 + 1,80), или 0 < < 0,448.

Степенточност на измерване

В теорията на грешките е обичайно да се характеризира точността на измерване (точността на инструмента), като се използва стандартното отклонение на случайните грешки на измерването. За оценка се използва "коригираното" стандартно отклонение s. Тъй като резултатите от измерването обикновено са взаимно независими, имат едно и също математическо очакване (истинската стойност на измереното количество) и същата дисперсия (в случай на еднакво точни измервания), теорията, представена в предходния параграф, е приложима за оценка на измерването точност.

Пример. Въз основа на 15 еднакво точни измервания е установено „коригирано“ стандартно отклонение s = 0,12. Намерете точността на измерване с надеждност 0,99.

Решение. Точността на измерване се характеризира със стандартното отклонение на случайните грешки, така че проблемът се свежда до намиране на доверителния интервал s (1 - q)< < s (1 + q) , покрывающего с заданной надежностью 0,99

Според таблицата за приложение за = 0,99 и n=15 намираме q = 0,73.

Желаният доверителен интервал

0,12(1-- 0,73) < < 0,12(1+0,73), или 0.03 < < 0,21.

Оценка на вероятността (биномно разпределение) чрез относителна честота

Интервалната оценка (с надеждност) на неизвестната вероятност p от биномното разпределение по отношение на относителната честота w е доверителният интервал (с приблизителни краища p1 и p2)

p1< p < p2,

където n е общият брой тестове; m е броят на повторенията на събитието; w е относителната честота, равна на отношението m/n; t е стойността на аргумента на функцията на Лаплас, при която Ф(t) = /2.

Коментирайте. За големи стойности на n (от порядъка на стотици) можете да вземете като приблизителни граници на доверителния интервал