Метод на Гаус (последователно изключване на неизвестни). Примери за решения за манекени

Нека разгледаме точните методи за решаване на системата; тук е матрицата на размерите

Метод за решаване на задача се класифицира като точен, ако при предположението, че няма закръгляния, той дава точно решение на проблема след краен брой аритметични и логически операции. Ако броят на ненулевите елементи на матрицата на системата е от порядъка на , то за повечето от използваните в момента точни методи за решаване на такива системи необходимият брой операции е от порядъка на . Следователно, за приложимостта на точните методи е необходимо такъв ред на броя на операциите да е приемлив за даден компютър; други ограничения се налагат от обема и структурата на компютърната памет.

Клаузата за „текущо използвани методи“ има следното значение. Съществуват методи за решаване на такива системи с по-малък брой операции, но те не се използват активно поради силната чувствителност на резултата към изчислителната грешка.

Най-известният от точните методи за решаване на системи от линейни уравнения е методът на елиминиране на Гаус. Нека разгледаме една от възможните му реализации. Ако приемем, че , първото уравнение на системата

разделяме на коефициента , като резултат получаваме уравнението

След това, от всяко от останалите уравнения, първото уравнение се изважда, умножено по съответния коефициент. В резултат на това тези уравнения се трансформират във формата

Оказа се, че първото неизвестно е изключено от всички уравнения с изключение на първото. Освен това, при предположението, че , разделяме второто уравнение на коефициента и изключваме неизвестното от всички уравнения, като се започне от второто и т.н.. В резултат на последователното елиминиране на неизвестните системата от уравнения се трансформира в система на уравнения с триъгълна матрица

Наборът от извършени изчисления, по време на които първоначалната задача е преобразувана във формата (2), се нарича директен ход на метода на Гаус.

От уравнението на система (2) определяме , от и т.н. до . Съвкупността от такива изчисления се нарича обратен ход на метода на Гаус.

Лесно е да се провери, че изпълнението на движението напред по метода на Гаус изисква аритметични операции, а обратното движение изисква аритметични операции.

Изключението възниква в резултат на следните операции: 1) разделяне на уравнението на 2) изваждане на уравнението, получено след такова деление, умножено по , от уравнения с числа k . Първата операция е еквивалентна на умножаване на системата от уравнения вляво по диагоналната матрица

втората операция е еквивалентна на умножение отляво по матрицата

По този начин системата (2), получена в резултат на тези трансформации, може да бъде записана като

Произведението на леви (десни) триъгълни матрици е лява (дясна) триъгълна матрица, така че C е лява триъгълна матрица. От формулата за елементите на обратната матрица

следва, че матрицата, обратна на лява (дясна) триъгълна, е лява (дясна) триъгълна. Следователно матрицата е ляво триъгълна.

Нека въведем нотацията. Според конструкцията всичко и матрицата D са право триъгълни. От тук получаваме представянето на матрицата A като произведение на лявата и дясната триъгълна матрица:

Равенството, заедно с условието , образува система от уравнения по отношение на елементите на триъгълните матрици B и : . Тъй като за и за , тази система може да бъде написана като

(3)

или, което е същото,

Използвайки условието, че всичко получаваме система от рекурентни отношения за определяне на елементите и :

Изчисленията се извършват последователно за комплекти. Тук и по-долу, в случай че горната граница на сумиране е по-малка от долната, се приема, че цялата сума е равна на нула.

По този начин, вместо последователни трансформации на системата (1) във формата (2), могат директно да се изчислят матриците B и с помощта на формули (4). Тези изчисления могат да бъдат извършени само ако всички елементи са различни от нула. Нека са матрици на главни минори от порядъка на матрици A, B, D. Съгласно (3) . Защото тогава. Следователно,

Така че, за да се извършат изчисления по формули (4), е необходимо и достатъчно да се изпълнят условията

В някои случаи е известно предварително, че условие (5) е изпълнено. Например, много проблеми на математическата физика се свеждат до решаване на системи с положително определена матрица A. Но в общия случай това не може да се каже предварително. Възможен е и такъв случай: всичко, но сред количествата има много малки и при разделяне на тях ще се получат големи числа с големи абсолютни грешки. В резултат на това решението ще бъде силно изкривено.

Нека обозначим . Тъй като и , Тогава равенствата са валидни. По този начин, след разлагане на матрицата на оригиналната система в произведението на леви и десни триъгълни матрици, решението на оригиналната система се свежда до последователно решение на две системи с триъгълни матрици; това би изисквало аритметични операции.

Често е удобно да се комбинира последователността от операции за разлагане на матрицата A в произведението на триъгълни матрици и за определяне на вектора d. Уравнения

системите могат да бъдат записани като

Следователно стойностите могат да бъдат изчислени едновременно с останалите стойности с помощта на формули (4).

При решаването на практически задачи често се налага да се решават системи от уравнения с матрица, съдържаща голям брой нулеви елементи.

Обикновено тези матрици имат така наречената лентова структура. По-точно, матрицата A се нарича -диагонал или има лентова структура, ако при . Числото се нарича ширина на лентата. Оказва се, че при решаване на система от уравнения с лентова матрица по метода на Гаус броят на аритметичните операции и необходимото количество компютърна памет могат да бъдат значително намалени.

Задача 1. Изследвайте характеристиките на метода на Гаус и метода за решаване на системата с помощта на разлагането на лентовата матрица A в произведението на лявата и дясната триъгълна матрица. Покажете, че са необходими аритметични операции за намиране на решението (за). Намерете водещия член на броя на операциите при условието .

Задача 2. Оценете количеството заредена компютърна памет по метода на Гаус за лентови матрици.

При изчисляване без помощта на компютър вероятността от случайни грешки е висока. За да се елиминират такива грешки, понякога се въвежда система за управление, състояща се от контролни елементи на уравненията на системата

При преобразуването на уравненията върху контролните елементи се извършват същите операции, както и върху свободните членове на уравненията. В резултат на това контролният елемент на всяко ново уравнение трябва да бъде равен на сумата от коефициентите на това уравнение. Голямо несъответствие между тях показва грешки в изчисленията или нестабилност на изчислителния алгоритъм по отношение на изчислителната грешка.

Например, в случай на привеждане на системата от уравнения във формата с помощта на формули (4), контролният елемент на всяко от уравненията на системата се изчислява по същите формули (4). След изчисляване на всички елементи при фиксиран контрол се извършва проверка на равенството

Обратният ход на метода на Гаус също е придружен от изчисляване на контролните елементи на системните редове.

За да се избегне катастрофалното влияние на изчислителната грешка, се използва методът на Гаус с избора на основния елемент.

Неговата разлика от схемата на метода на Гаус, описан по-горе, е следната. Нека, в хода на елиминирането на неизвестните, системата от уравнения

Нека намерим такова, че и обозначаваме отново и ; тогава ще елиминираме неизвестното от всички уравнения, започвайки с . Такова преназначаване води до промяна в реда на елиминиране на неизвестните и в много случаи значително намалява чувствителността на решението към грешки при закръгляване в изчисленията.

Често се изисква да се решат няколко системи от уравнения с една и съща матрица A. Удобно е да се процедира по следния начин: като се въведе нотацията

Нека извършим изчисления с помощта на формули (4) и изчислим елементите при . В резултат ще се получат p системи от уравнения с триъгълна матрица, съответстващи на първоначалната задача

Ние решаваме тези системи всяка отделно. Оказва се, че общият брой аритметични операции при решаването на p системи от уравнения по този начин е .

Описаната по-горе техника понякога се използва, за да се получи преценка за грешката на решението, която е следствие от грешки при закръгляване в изчисленията, без значителни допълнителни разходи. Те са дадени от вектора z с компоненти, имащи, ако е възможно, същия ред и знак като компонентите на желаното решение; често поради липса на достатъчно информация, която вземат. Векторът се изчислява и заедно с оригиналната система от уравнения се решава системата.

Нека и z са реално получени решения на тези системи. Преценката за грешката на желаното решение може да бъде получена въз основа на хипотезата: относителните грешки при решаване чрез метода на елиминиране на системи с една и съща матрица и различни десни страни, които са съответно стойностите и , се различават не с много голям брой пъти.

Друга техника за получаване на преценка за реалната стойност на грешката, която възниква поради закръгляване в изчисленията, е промяната на мащаба, което променя картината на натрупването на изчислителната грешка.

Заедно с оригиналната система, системата се решава по същия метод

За и , които не са цели степени на две, сравнението на векторите и дава представа за големината на изчислителната грешка. Например, можете да вземете.

Изследването на много проблеми води до необходимостта от решаване на системи от линейни уравнения със симетрична положително определена матрица. Такива системи възникват например при решаване на диференциални уравнения по метода на крайните елементи или чрез методите на крайните разлики. В тези случаи матрицата на системата също има лентова структура.

За решаване на такива системи, както и системи от уравнения от по-обща форма с ермитова матрица, която не е непременно положително определена, се използва методът на квадратния корен (методът на Чолески). Матрица А е представена като

където S е права триъгълна матрица, е нейният конюгат, т.е.

като всички са диагонална матрица с елементи, равни на или -1. Матричното равенство (6) образува система от уравнения

Подобни уравнения за се отхвърлят, тъй като уравненията, съответстващи на двойките и са еквивалентни. От тук получаваме рекурентни формули за определяне на елементите и :

Матрицата S е десен триъгълник и по този начин, след получаване на представяне (6), решението на оригиналната система също се свежда до последователно решение на две системи с триъгълни матрици. Обърнете внимание, че в случай на всички и .

Задача 3. Оценете броя на аритметичните операции и натоварването на паметта на компютъра (приемайки, че количеството памет, необходимо за съхраняване на матрицата A намалява), когато решавате система с реална положително определена матрица A по метода на квадратния корен.

Много софтуерни пакети за решаване на гранични задачи на математическата физика чрез метода на крайните елементи са организирани съгласно следната схема. След като матрицата на система А се формира чрез пренареждане на редове и колони (редовете и колоните се пренареждат едновременно), системата се преобразува във формата с най-малката ширина на лентата. След това се прилага методът на квадратния корен. В същото време, за да се намали обемът на изчисленията при решаване на система с други десни части, матрицата S се запаметява.

В тази статия методът се разглежда като начин за решаване на системи от линейни уравнения (SLAE). Методът е аналитичен, тоест ви позволява да напишете алгоритъм за решение в обща форма и след това да замените стойности от конкретни примери там. За разлика от матричния метод или формулите на Крамер, когато решавате система от линейни уравнения по метода на Гаус, можете да работите и с такива, които имат безкрайно много решения. Или изобщо го нямат.

Какво означава Гаус?

Първо трябва да запишете нашата система от уравнения в Изглежда така. Системата е взета:

Коефициентите са изписани под формата на таблица, а вдясно в отделна колона - безплатни членове. Колоната със свободните членове е отделена за удобство, матрицата, която включва тази колона, се нарича разширена.

Освен това основната матрица с коефициенти трябва да бъде намалена до горната триъгълна форма. Това е основният момент при решаването на системата по метода на Гаус. Просто казано, след определени манипулации, матрицата трябва да изглежда така, така че в долната лява част да има само нули:

След това, ако напишете новата матрица отново като система от уравнения, ще забележите, че последният ред вече съдържа стойността на един от корените, която след това се замества в уравнението по-горе, намира се друг корен и т.н.

Това е най-общо описание на решението по метода на Гаус. И какво се случва, ако изведнъж системата няма решение? Или има безкраен брой от тях? За да се отговори на тези и много други въпроси, е необходимо да се разгледат отделно всички елементи, използвани в решението по метода на Гаус.

Матрици, техните свойства

В матрицата няма скрит смисъл. Това е просто удобен начин за запис на данни за по-късни операции. Дори учениците не трябва да се страхуват от тях.

Матрицата винаги е правоъгълна, защото е по-удобна. Дори в метода на Гаус, където всичко се свежда до изграждане на триъгълна матрица, в записа се появява правоъгълник, само с нули на мястото, където няма числа. Нулите могат да бъдат пропуснати, но те се подразбират.

Матрицата има размер. Неговата "ширина" е броят на редовете (m), неговата "дължина" е броят на колоните (n). Тогава размерът на матрицата A (обикновено се използват главни латински букви за тяхното обозначение) ще бъде означен като A m×n. Ако m=n, тогава тази матрица е квадратна и m=n е нейният ред. Съответно всеки елемент от матрицата A може да бъде обозначен с номера на неговия ред и колона: a xy ; x - номер на ред, промени, y - номер на колона, промени.

B не е основната точка на решението. По принцип всички операции могат да се извършват директно със самите уравнения, но нотацията ще се окаже много по-тромава и ще бъде много по-лесно да се объркате в нея.

Определящо

Матрицата също има детерминанта. Това е много важна характеристика. Откриването на значението му сега не си струва, можете просто да покажете как се изчислява и след това да кажете какви свойства на матрицата определя. Най-лесният начин да намерите детерминантата е чрез диагонали. Въображаеми диагонали се изчертават в матрицата; елементите, разположени на всеки от тях, се умножават, а след това получените произведения се събират: диагонали с наклон надясно - със знак "плюс", с наклон наляво - със знак "минус".

Изключително важно е да се отбележи, че детерминантата може да се изчисли само за квадратна матрица. За правоъгълна матрица можете да направите следното: изберете най-малкото от броя на редовете и броя на колоните (нека бъде k) и след това произволно маркирайте k колони и k реда в матрицата. Елементите, разположени в пресечната точка на избраните колони и редове, ще образуват нова квадратна матрица. Ако детерминантата на такава матрица е число, различно от нула, тогава тя се нарича базов минор на оригиналната правоъгълна матрица.

Преди да продължите с решаването на системата от уравнения по метода на Гаус, не боли да изчислите детерминантата. Ако се окаже, че е нула, веднага можем да кажем, че матрицата има или безкраен брой решения, или изобщо няма. В такъв тъжен случай трябва да отидете по-далеч и да разберете за ранга на матрицата.

Системна класификация

Има такова нещо като ранг на матрица. Това е максималният ред на нейния ненулев детерминант (като си спомним базовия минор, можем да кажем, че рангът на матрицата е редът на базовия минор).

Според това как стоят нещата с ранга, SLAE може да се раздели на:

Става. Прина съвместните системи рангът на основната матрица (състояща се само от коефициенти) съвпада с ранга на разширената (с колона от свободни членове). Такива системи имат решение, но не непременно едно, следователно съвместните системи се разделят допълнително на:
- определени- наличие на уникално решение. В някои системи рангът на матрицата и броят на неизвестните (или броят на колоните, което е едно и също нещо) са равни;
- безсрочен -с безкраен брой решения. Рангът на матриците за такива системи е по-малък от броя на неизвестните.
Несъвместим. Прив такива системи ранговете на основната и разширената матрици не съвпадат. Несъвместимите системи нямат решение.

Методът на Гаус е добър с това, че позволява да се получи или недвусмислено доказателство за непоследователността на системата (без да се изчисляват детерминантите на големи матрици), или общо решение за система с безкраен брой решения по време на решението.

Елементарни трансформации

Преди да преминете директно към решението на системата, е възможно да я направите по-малко тромава и по-удобна за изчисления. Това се постига чрез елементарни трансформации – такива, че изпълнението им по никакъв начин не променя крайния отговор. Трябва да се отбележи, че някои от горните елементарни трансформации са валидни само за матрици, чийто източник е именно SLAE. Ето списък на тези трансформации:

Пермутация на низове. Очевидно е, че ако променим реда на уравненията в системния запис, това няма да повлияе на решението по никакъв начин. Следователно е възможно също така да се разменят редове в матрицата на тази система, без да се забравя, разбира се, за колоната на свободните членове.
Умножаване на всички елементи на низ по някакъв коефициент. Много полезно! С него можете да намалите големи числа в матрицата или да премахнете нули. Наборът от решения, както обикновено, няма да се промени и ще стане по-удобно да извършвате допълнителни операции. Основното е, че коефициентът не е равен на нула.
Изтриване на редове с пропорционални коефициенти. Това отчасти следва от предходния параграф. Ако два или повече реда в матрицата имат пропорционални коефициенти, тогава при умножаване / разделяне на един от редовете с коефициента на пропорционалност се получават два (или отново повече) абсолютно еднакви реда и можете да премахнете допълнителните, оставяйки само един.
Премахване на нулевата линия. Ако в хода на трансформациите някъде се получи низ, в който всички елементи, включително свободния член, са нула, тогава такъв низ може да бъде наречен нула и изхвърлен от матрицата.
Добавяне към елементите на един ред на елементите на друг (в съответните колони), умножени по определен коефициент. Най-неясната и най-важна трансформация от всички. Струва си да се спрем на него по-подробно.

Добавяне на низ, умножен по коефициент

За по-лесно разбиране си струва да разглобите този процес стъпка по стъпка. От матрицата се вземат два реда:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | б 2

Да предположим, че трябва да добавите първото към второто, умножено по коефициента "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

След това в матрицата вторият ред се заменя с нов, а първият остава непроменен.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Трябва да се отбележи, че коефициентът на умножение може да бъде избран по такъв начин, че в резултат на добавянето на два низа един от елементите на новия низ да е равен на нула. Следователно е възможно да се получи уравнение в системата, където ще има едно по-малко неизвестно. И ако получите две такива уравнения, тогава операцията може да се направи отново и да получите уравнение, което вече ще съдържа две по-малко неизвестни. И ако всеки път, когато обръщаме на нула един коефициент за всички редове, които са по-ниски от първоначалния, тогава можем, като стъпала, да слезем до дъното на матрицата и да получим уравнение с едно неизвестно. Това се нарича решаване на системата по метода на Гаус.

Общо взето

Нека има система. Има m уравнения и n неизвестни корена. Можете да го запишете така:

Основната матрица се съставя от коефициентите на системата. Колона с безплатни членове се добавя към разширената матрица и се разделя с лента за удобство.

първият ред на матрицата се умножава по коефициента k = (-a 21 / a 11);
добавени са първият модифициран ред и вторият ред на матрицата;
вместо втория ред в матрицата се вмъква резултатът от добавянето от предходния параграф;
сега първият коефициент в новия втори ред е a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Сега се извършва същата поредица от трансформации, само първият и третият ред са включени. Съответно във всяка стъпка от алгоритъма елементът a 21 се заменя с 31 . След това всичко се повтаря за 41, ... a m1. Резултатът е матрица, в която първият елемент в редовете е равен на нула. Сега трябва да забравим за ред номер едно и да изпълним същия алгоритъм, започвайки от втория ред:

коефициент k \u003d (-a 32 / a 22);
вторият модифициран ред се добавя към "текущия" ред;
резултатът от добавянето се замества в третия, четвъртия и така нататък редове, докато първият и вторият остават непроменени;
в редовете на матрицата първите два елемента вече са равни на нула.

Алгоритъмът трябва да се повтаря, докато се появи коефициентът k = (-a m,m-1 /a mm). Това означава, че последният път, когато алгоритъмът е бил изпълнен, е само за долното уравнение. Сега матрицата изглежда като триъгълник или има стъпаловидна форма. Долният ред съдържа равенството a mn × x n = b m. Коефициентът и свободният член са известни и чрез тях се изразява коренът: x n = b m /a mn. Полученият корен се замества в горния ред, за да се намери x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . И така нататък по аналогия: във всеки следващ ред има нов корен и, достигайки "върха" на системата, можете да намерите много решения. Ще бъде единственият.

Когато няма решения

Ако в един от редовете на матрицата всички елементи, с изключение на свободния член, са равни на нула, тогава уравнението, съответстващо на този ред, изглежда като 0 = b. Няма решение. И тъй като такова уравнение е включено в системата, тогава множеството от решения на цялата система е празно, тоест е изродено.

Когато има безкраен брой решения

Може да се окаже, че в намалената триъгълна матрица няма редове с един елемент - коефициентът на уравнението, и един - свободен член. Има само низове, които, когато бъдат пренаписани, биха изглеждали като уравнение с две или повече променливи. Това означава, че системата има безкраен брой решения. В този случай отговорът може да бъде даден под формата на общо решение. Как да го направя?

Всички променливи в матрицата са разделени на основни и свободни. Основни - това са тези, които стоят "на ръба" на редовете в стъпаловидна матрица. Останалите са безплатни. В общото решение основните променливи са записани чрез свободните.

За удобство матрицата първо се пренаписва обратно в система от уравнения. Тогава в последния от тях, където е останала точно една основна променлива, тя остава от едната страна, а всичко останало се прехвърля от другата. Това се прави за всяко уравнение с една основна променлива. След това в останалите уравнения, където е възможно, вместо основната променлива се замества полученият за нея израз. Ако в резултат на това отново се появи израз, съдържащ само една основна променлива, той отново се изразява оттам и така нататък, докато всяка основна променлива се запише като израз със свободни променливи. Това е общото решение на SLAE.

Можете също така да намерите основното решение на системата - дайте на свободните променливи всякакви стойности и след това за този конкретен случай изчислете стойностите на основните променливи. Има безкрайно много конкретни решения.

Решение с конкретни примери

Ето я системата от уравнения.

За удобство е по-добре веднага да създадете неговата матрица

Известно е, че при решаване по метода на Гаус уравнението, съответстващо на първия ред, ще остане непроменено в края на трансформациите. Следователно ще бъде по-изгодно, ако горният ляв елемент на матрицата е най-малкият - тогава първите елементи на останалите редове след операциите ще се превърнат в нула. Това означава, че в съставената матрица ще бъде изгодно да поставите втория на мястото на първия ред.

втори ред: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

трети ред: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Сега, за да не се объркате, е необходимо да запишете матрицата с междинните резултати от трансформациите.

Очевидно е, че такава матрица може да се направи по-удобна за възприемане с помощта на някои операции. Например, можете да премахнете всички "минуси" от втория ред, като умножите всеки елемент по "-1".

Също така си струва да се отбележи, че в третия ред всички елементи са кратни на три. След това можете да намалите низа с това число, като умножите всеки елемент по "-1/3" (минус - едновременно за премахване на отрицателните стойности).

Изглежда много по-хубаво. Сега трябва да оставим първия ред и да работим с втория и третия. Задачата е да добавите втория ред към третия ред, умножени по такъв коефициент, че елементът a 32 да стане равен на нула.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 дроби и едва тогава, когато отговорите бъдат получени, решете дали да закръглите и преведете в друга форма на нотация)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Матрицата се записва отново с нови стойности.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Както можете да видите, получената матрица вече има стъпаловидна форма. Следователно не са необходими допълнителни трансформации на системата по метода на Гаус. Това, което може да се направи тук, е да се премахне общият коефициент "-1/7" от третия ред.

Сега всичко е красиво. Въпросът е малък - напишете отново матрицата под формата на система от уравнения и изчислете корените

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Алгоритъмът, по който сега ще бъдат намерени корените, се нарича обратно движение в метода на Гаус. Уравнение (3) съдържа стойността на z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

И първото уравнение ви позволява да намерите x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Ние имаме право да наречем такава система съвместна и дори категорична, тоест имаща уникално решение. Отговорът се изписва в следната форма:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Пример за неопределена система

Анализиран е вариантът за решаване на определена система по метода на Гаус, сега е необходимо да се разгледа случаят, ако системата е неопределена, т.е. за нея могат да бъдат намерени безкрайно много решения.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Самата форма на системата вече е тревожна, тъй като броят на неизвестните е n = 5, а рангът на матрицата на системата вече е точно по-малък от това число, тъй като броят на редовете е m = 4, т.е. най-големият ред на квадратната детерминанта е 4. Това означава, че има безкраен брой решения и е необходимо да се търси общият му вид. Методът на Гаус за линейни уравнения прави възможно това.

Първо, както обикновено, се компилира разширената матрица.

Втори ред: коефициент k = (-a 21 / a 11) = -3. В третия ред първият елемент е преди трансформациите, така че не е нужно да пипате нищо, трябва да го оставите както е. Четвърти ред: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Умножавайки последователно елементите на първия ред по всеки от техните коефициенти и добавяйки ги към желаните редове, получаваме матрица със следната форма:

Както можете да видите, вторият, третият и четвъртият ред се състоят от елементи, които са пропорционални един на друг. Вторият и четвъртият обикновено са еднакви, така че един от тях може да бъде премахнат незабавно, а останалите да се умножат по коефициента "-1" и да се получи ред номер 3. И отново, оставете един от двата еднакви реда.

Оказа се такава матрица. Системата все още не е записана, тук е необходимо да се определят основните променливи - стоящи при коефициентите a 11 \u003d 1 и a 22 \u003d 1, и безплатни - всички останали.

Второто уравнение има само една основна променлива - x 2 . Следователно може да се изрази оттам, като се записват променливите x 3 , x 4 , x 5 , които са свободни.

Заместваме получения израз в първото уравнение.

Оказа се уравнение, в което единствената основна променлива е x 1. Нека направим с него същото като с x 2 .

Всички основни променливи, от които има две, са изразени чрез три свободни, сега можете да напишете отговора в общ вид.

Можете също така да посочите едно от конкретните решения на системата. За такива случаи, като правило, нулите се избират като стойности за безплатни променливи. Тогава отговорът ще бъде:

16, 23, 0, 0, 0.

Пример за несъвместима система

Най-бързо е решаването на противоречиви системи от уравнения по метода на Гаус. Приключва веднага щом на един от етапите се получи уравнение, което няма решение. Тоест етапът с изчисляването на корените, който е доста дълъг и досаден, изчезва. Разглежда се следната система:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Както обикновено, матрицата се съставя:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

И се свежда до стъпаловидна форма:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

След първата трансформация, третият ред съдържа уравнение на формата

без решение. Следователно системата е непоследователна и отговорът е празното множество.

Предимства и недостатъци на метода

Ако изберете кой метод за решаване на SLAE на хартия с химикалка, тогава методът, който беше разгледан в тази статия, изглежда най-привлекателен. При елементарните трансформации е много по-трудно да се объркате, отколкото се случва, ако трябва ръчно да търсите детерминанта или някаква сложна обратна матрица. Ако обаче използвате програми за работа с данни от този тип, например електронни таблици, тогава се оказва, че такива програми вече съдържат алгоритми за изчисляване на основните параметри на матриците - детерминанта, второстепенни, обратни и т.н. И ако сте сигурни, че машината сама ще изчисли тези стойности и няма да направи грешка, по-целесъобразно е да използвате матричния метод или формулите на Крамер, тъй като тяхното приложение започва и завършва с изчисляването на детерминанти и обратни матрици.

Приложение

Тъй като решението на Гаус е алгоритъм, а матрицата всъщност е двуизмерен масив, то може да се използва в програмирането. Но тъй като статията се позиционира като ръководство "за манекени", трябва да се каже, че най-лесното място за поставяне на метода са електронни таблици, например Excel. Отново всеки SLAE, въведен в таблица под формата на матрица, ще се разглежда от Excel като двуизмерен масив. А за операциите с тях има много хубави команди: събиране (можете да добавяте само матрици с еднакъв размер!), Умножение по число, умножение на матрици (също с определени ограничения), намиране на обратни и транспонирани матрици и най-важното , изчисляване на детерминантата. Ако тази отнемаща време задача се замени с една команда, е много по-бързо да се определи ранга на матрицата и следователно да се установи нейната съвместимост или несъответствие.

Нека системата е дадена, ∆≠0. (един)
Метод на Гаусе метод за последователно елиминиране на неизвестни.

Същността на метода на Гаус е да преобразува (1) в система с триъгълна матрица, от която след това последователно (обратно) се получават стойностите на всички неизвестни. Нека разгледаме една от изчислителните схеми. Тази верига се нарича верига с единично деление. Така че нека да разгледаме тази диаграма. Нека 11 ≠0 (водещ елемент) раздели на 11 първото уравнение. Вземете
(2)
Използвайки уравнение (2), е лесно да изключите неизвестното x 1 от останалите уравнения на системата (за това е достатъчно да извадите уравнение (2) от всяко уравнение, предварително умножено по съответния коефициент при x 1), т.е. , на първата стъпка получаваме
.
С други думи, на стъпка 1 всеки елемент от следващите редове, започвайки от втория, е равен на разликата между оригиналния елемент и продукта на неговата „проекция“ върху първата колона и първия (трансформиран) ред.
След това, оставяйки само първото уравнение, ще извършим подобна трансформация върху останалите уравнения на системата, получени на първата стъпка: избираме измежду тях уравнение с водещ елемент и го използваме, за да изключим x 2 от останалите уравнения (стъпка 2).
След n стъпки, вместо (1) получаваме еквивалентна система
(3)
Така на първия етап ще получим триъгълна система (3). Тази стъпка се нарича напред.
На втория етап (обратно движение) последователно намираме от (3) стойностите x n , x n -1 , …, x 1 .
Нека означим полученото решение като x 0 . Тогава разликата ε=b-A x 0 се нарича остатъчен.
Ако ε=0, то намереното решение x 0 е правилно.

Изчисленията по метода на Гаус се извършват на два етапа:

Първият етап се нарича директен ход на метода. На първия етап оригиналната система се преобразува в триъгълна форма.
Вторият етап се нарича обратен. На втория етап се решава триъгълна система, еквивалентна на оригиналната.

Коефициентите a 11 , a 22 , ..., се наричат водещи елементи.
На всяка стъпка се приема, че водещият елемент е различен от нула. Ако това не е така, тогава всеки друг елемент може да се използва като лидер, сякаш пренарежда уравненията на системата.

Предназначение на метода на Гаус

Методът на Гаус е предназначен за решаване на системи от линейни уравнения. Отнася се за директни методи на решение.

Видове метод на Гаус

Класически метод на Гаус;
Модификации на метода на Гаус. Една от модификациите на метода на Гаус е схемата с избора на основния елемент. Характеристика на метода на Гаус с избора на основния елемент е такава пермутация на уравненията, така че на k-тата стъпка водещият елемент е най-големият елемент в k-тата колона.
метод на Джордан-Гаус;

Разликата между метода на Джордан-Гаус и класическия Метод на Гауссе състои в прилагане на правилото на правоъгълника, когато посоката на търсене на решение е по главния диагонал (преобразуване към единичната матрица). При метода на Гаус посоката на търсене на решение се извършва по колоните (трансформация към система с триъгълна матрица).
Илюстрирайте разликата Метод на Джордан-Гаусот метода на Гаус на примери.

Пример за решение на Гаус
Нека решим системата:

За удобство на изчисленията разменяме редовете:

Умножете втория ред по (2). Добавете третия ред към втория

Умножете втория ред по (-1). Добавете 2-ри ред към 1-ви

От 1-ви ред изразяваме x 3:
От 2-ри ред изразяваме x 2:
От 3-ти ред изразяваме x 1:

Пример за решение по метода на Йордан-Гаус
Ще решим същата SLAE, използвайки метода на Йордано-Гаус.

Последователно ще изберем разрешаващия елемент на РЕ, който лежи на главния диагонал на матрицата.
Активиращият елемент е равен на (1).

NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - позволяващ елемент (1), A и B - матрични елементи, образуващи правоъгълник с елементи на STE и RE.
Нека представим изчислението на всеки елемент под формата на таблица:

х 1	x2	х 3	б
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Активиращият елемент е равен на (3).
На мястото на разрешаващия елемент получаваме 1, а в самата колона записваме нули.
Всички останали елементи на матрицата, включително елементите на колона B, се определят от правилото на правоъгълника.
За да направите това, изберете четири числа, които са разположени във върховете на правоъгълника и винаги включват разрешаващия елемент на RE.

х 1	x2	х 3	б

0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Активиращият елемент е (-4).
На мястото на разрешаващия елемент получаваме 1, а в самата колона записваме нули.
Всички останали елементи на матрицата, включително елементите на колона B, се определят от правилото на правоъгълника.
За да направите това, изберете четири числа, които са разположени във върховете на правоъгълника и винаги включват разрешаващия елемент на RE.
Нека представим изчислението на всеки елемент под формата на таблица:

х 1	x2	х 3	б


0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Отговор: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Прилагане на метода на Гаус

Методът на Гаус се прилага в много езици за програмиране, по-специално: Pascal, C ++, php, Delphi, а има и онлайн изпълнение на метода на Гаус.

Използване на метода на Гаус

Приложение на метода на Гаус в теорията на игрите

В теорията на игрите при намиране на максималната оптимална стратегия на даден играч се съставя система от уравнения, която се решава по метода на Гаус.

Приложение на метода на Гаус при решаване на диференциални уравнения

За да търсите конкретно решение на диференциално уравнение, първо намерете производните на съответната степен за писменото конкретно решение (y=f(A,B,C,D)), които се заместват в оригиналното уравнение. Освен това, за да се намерят променливите A, B, C, D, се съставя система от уравнения, която се решава по метода на Гаус.

Приложение на метода на Йордано-Гаус в линейното програмиране

В линейното програмиране, по-специално в симплексния метод, за трансформиране на симплексна таблица при всяка итерация се използва правилото на правоъгълника, което използва метода на Йордан-Гаус.

Метод на Гаусстрахотно за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE). Той има няколко предимства пред други методи:

първо, няма нужда да се изследва предварително системата от уравнения за съвместимост;
второ, методът на Гаус може да се използва за решаване не само на SLAE, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните променливи и основната матрица на системата е неизродена, но и на системи от уравнения, в които броят на уравненията не не съвпадат с броя на неизвестните променливи или детерминантата на основната матрица е равна на нула;
трето, методът на Гаус води до резултат с относително малък брой изчислителни операции.

Кратък преглед на статията.

Първо даваме необходимите определения и въвеждаме някои обозначения.

След това описваме алгоритъма на метода на Гаус за най-простия случай, тоест за системи от линейни алгебрични уравнения, броят на уравненията, в които съвпада с броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата не е равно на нула. При решаването на такива системи от уравнения най-ясно се вижда същността на метода на Гаус, който се състои в последователното елиминиране на неизвестни променливи. Следователно методът на Гаус се нарича още метод на последователно елиминиране на неизвестни. Нека покажем подробни решения на няколко примера.

В заключение, ние разглеждаме решението на Гаус на системи от линейни алгебрични уравнения, чиято основна матрица е или правоъгълна, или изродена. Решението на такива системи има някои характеристики, които ще анализираме подробно с примери.

Навигация в страницата.

Основни определения и означения.

Да разгледаме система от p линейни уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n):

Къде са неизвестни променливи, са числа (реални или комплексни), са свободни членове.

Ако , тогава системата от линейни алгебрични уравнения се нарича хомогенен, в противен случай - разнородни.

Наборът от стойности на неизвестни променливи, в които всички уравнения на системата се превръщат в идентичности, се нарича Решение на СЛАУ.

Ако има поне едно решение на система от линейни алгебрични уравнения, то се нарича става, в противен случай - несъвместими.

Ако SLAE има уникално решение, то се извиква определени. Ако има повече от едно решение, системата се извиква несигурен.

Твърди се, че системата е написана координатна формаако има формата
.

Тази система в матрична формазаписи има формата , където - основната матрица на SLAE, - матрицата на колоната с неизвестни променливи, - матрицата на свободните членове.

Ако към матрицата А добавим като (n + 1)-та колона матрицата-стълб от свободни членове, то получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни членове е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е.

Квадратната матрица A се нарича изродениако неговата детерминанта е нула. Ако , тогава се извиква матрицата A неизродени.

Трябва да се отбележи следната точка.

Ако се извършат следните действия със система от линейни алгебрични уравнения

разменете две уравнения,
умножете двете страни на всяко уравнение по произволно и ненулево реално (или комплексно) число k,
към двете части на всяко уравнение добавете съответните части на другото уравнение, умножени по произволно число k,

тогава получаваме еквивалентна система, която има същите решения (или, подобно на оригиналната, няма решения).

За разширена матрица на система от линейни алгебрични уравнения тези действия ще означават елементарни трансформации с редове:

размяна на два низа
умножение на всички елементи от всеки ред на матрицата T с ненулево число k ,
добавяне към елементите на всеки ред от матрицата на съответните елементи от друг ред, умножени по произволно число k .

Сега можем да продължим с описанието на метода на Гаус.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните и основната матрица на системата е неизродена, по метода на Гаус.

Какво бихме правили в училище, ако ни дадат задачата да намерим решение на система от уравнения .

Някои биха го направили.

Имайте предвид, че като добавите лявата страна на първото уравнение към лявата страна на второто уравнение и дясната страна към дясната страна, можете да се отървете от неизвестните променливи x 2 и x 3 и веднага да намерите x 1:

Заместваме намерената стойност x 1 \u003d 1 в първото и третото уравнение на системата:

Ако умножим двете части на третото уравнение на системата по -1 и ги добавим към съответните части на първото уравнение, тогава ние се отърваваме от неизвестната променлива x 3 и можем да намерим x 2:

Заместваме получената стойност x 2 \u003d 2 в третото уравнение и намираме останалата неизвестна променлива x 3:

Други биха постъпили иначе.

Нека решим първото уравнение на системата по отношение на неизвестната променлива x 1 и заместим получения израз във второто и третото уравнение на системата, за да изключим тази променлива от тях:

Сега нека решим второто уравнение на системата по отношение на x 2 и заместим получения резултат в третото уравнение, за да изключим неизвестната променлива x 2 от него:

От третото уравнение на системата се вижда, че x 3 =3. От второто уравнение намираме , а от първото уравнение получаваме .

Познати решения, нали?

Най-интересното тук е, че вторият метод на решение е по същество методът на последователното елиминиране на неизвестните, тоест методът на Гаус. Когато изразихме неизвестни променливи (първо x 1, следващо x 2) и ги заместихме в останалите уравнения на системата, по този начин ги изключихме. Правихме изключението до момента, в който последното уравнение остави само една неизвестна променлива. Процесът на последователно елиминиране на неизвестни се нарича директен метод на Гаус. След като преместването напред приключи, имаме възможност да изчислим неизвестната променлива в последното уравнение. С негова помощ от предпоследното уравнение намираме следващата неизвестна променлива и т.н. Процесът на последователно намиране на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение към първото се нарича обратен метод на Гаус.

Трябва да се отбележи, че когато изразим x 1 чрез x 2 и x 3 в първото уравнение и след това заместим получения израз във второто и третото уравнения, следните действия водят до същия резултат:

Наистина, такава процедура също ни позволява да изключим неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата:

Нюанси с елиминирането на неизвестни променливи по метода на Гаус възникват, когато уравненията на системата не съдържат някои променливи.

Например в SLAU в първото уравнение няма неизвестна променлива x 1 (с други думи, коефициентът пред нея е нула). Следователно не можем да решим първото уравнение на системата по отношение на x 1, за да изключим тази неизвестна променлива от останалите уравнения. Изходът от тази ситуация е да се разменят уравненията на системата. Тъй като разглеждаме системи от линейни уравнения, чиито детерминанти на главните матрици са различни от нула, винаги има уравнение, в което присъства променливата, от която се нуждаем, и можем да пренаредим това уравнение до позицията, от която се нуждаем. За нашия пример е достатъчно да разменим първото и второто уравнения на системата , тогава можете да решите първото уравнение за x 1 и да го изключите от останалите уравнения на системата (въпреки че x 1 вече отсъства във второто уравнение).

Надяваме се да схванете същината.

Нека опишем Алгоритъм на метода на Гаус.

Нека трябва да решим система от n линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи от вида и нека детерминантата на основната му матрица е различна от нула.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Изключваме неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, започвайки от второто. За да направите това, добавете първото уравнение, умножено по към второто уравнение на системата, добавете първото умножено по към третото уравнение и така нататък, добавете първото умножено по към n-то уравнение. Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим x 1 чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и заместим получения израз във всички останали уравнения. Така променливата x 1 се изключва от всички уравнения, като се започне от второто.

След това действаме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направите това, добавете второто, умножено по, към третото уравнение на системата, добавете второто, умножено по, към четвъртото уравнение и така нататък, добавете второто, умножено по, към n-тото уравнение. Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде . Така променливата x 2 се изключва от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминирането на неизвестното x 3, като действаме по подобен начин с частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратния ход на метода на Гаус: изчисляваме x n от последното уравнение като , като използваме получената стойност x n намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение.

Нека анализираме алгоритъма с пример.

Пример.

Метод на Гаус.

Решение.

Коефициентът a 11 е различен от нула, така че нека да преминем към директния ход на метода на Гаус, тоест към елиминирането на неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, с изключение на първото. За да направите това, към лявата и дясната част на второто, третото и четвъртото уравнение добавете лявата и дясната част на първото уравнение, умножени съответно по, и :

Неизвестната променлива x 1 е елиминирана, нека преминем към изключването x 2 . Към лявата и дясната част на третото и четвъртото уравнение на системата добавяме лявата и дясната част на второто уравнение, умножени по и :

За да завършим напредването на метода на Гаус, трябва да изключим неизвестната променлива x 3 от последното уравнение на системата. Добавете към лявата и дясната страна на четвъртото уравнение съответно лявата и дясната страна на третото уравнение, умножени по :

Можете да започнете обратния ход на метода на Гаус.

От последното уравнение, което имаме ,
от третото уравнение получаваме,
от втория
от първия.

За да проверите, можете да замените получените стойности на неизвестни променливи в оригиналната система от уравнения. Всички уравнения се превръщат в идентичности, което означава, че решението по метода на Гаус е намерено правилно.

Отговор:

А сега ще дадем решението на същия пример по метода на Гаус в матрична форма.

Пример.

Намерете решение на системата от уравнения Метод на Гаус.

Решение.

Разширената матрица на системата има формата . Над всяка колона са записани неизвестни променливи, които съответстват на елементите на матрицата.

Директният ход на метода на Гаус тук включва привеждане на разширената матрица на системата до трапецовидна форма с помощта на елементарни трансформации. Този процес е подобен на изключването на неизвестни променливи, което направихме със системата в координатна форма. Сега ще се убедите в това.

Нека трансформираме матрицата така, че всички елементи в първата колона, започвайки от втората, да станат нула. За да направите това, към елементите на втория, третия и четвъртия ред добавете съответните елементи на първия ред, умножени по, и съответно на:

След това трансформираме получената матрица, така че във втората колона всички елементи, започвайки от третата, да станат нула. Това би съответствало на изключване на неизвестната променлива x 2 . За да направите това, добавете към елементите на третия и четвъртия ред съответните елементи на първия ред на матрицата, умножени по и :

Остава да изключим неизвестната променлива x 3 от последното уравнение на системата. За да направите това, към елементите на последния ред на получената матрица добавяме съответните елементи на предпоследния ред, умножени по :

Трябва да се отбележи, че тази матрица съответства на системата от линейни уравнения

който е получен по-рано след директния ход.

Време е да се върнем. В матричната форма на нотацията, обратният ход на метода на Гаус включва такава трансформация на получената матрица, така че матрицата, отбелязана на фигурата

стана диагонал, тоест прие формата

къде са малко числата.

Тези трансформации са подобни на тези на метода на Гаус, но се извършват не от първия ред към последния, а от последния към първия.

Добавете към елементите на третия, втория и първия ред съответните елементи на последния ред, умножени по , и все така съответно:

Сега нека добавим към елементите на втория и първия ред съответните елементи на третия ред, умножени съответно по и по:

В последната стъпка от обратното движение на метода на Гаус добавяме съответните елементи от втория ред, умножени по , към елементите от първия ред:

Получената матрица съответства на системата от уравнения , от което намираме неизвестните променливи.

Отговор:

ЗАБЕЛЕЖКА.

При използване на метода на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения трябва да се избягват приблизителни изчисления, тъй като това може да доведе до абсолютно неверни резултати. Препоръчваме ви да не закръглявате десетичните знаци. По-добре е да преминете от десетични дроби към обикновени дроби.

Пример.

Решете система от три уравнения по метода на Гаус .

Решение.

Обърнете внимание, че в този пример неизвестните променливи имат различно обозначение (не x 1, x 2, x 3, а x, y, z). Да преминем към обикновените дроби:

Елиминирайте неизвестното x от второто и третото уравнение на системата:

В получената система няма неизвестна променлива y във второто уравнение, а y присъства в третото уравнение, следователно разменяме второто и третото уравнения:

В този момент директният ход на метода на Гаус е приключил (не е необходимо да изключвате y от третото уравнение, тъй като тази неизвестна променлива вече не съществува).

Нека да се върнем.

От последното уравнение намираме ,
от предпоследния

от първото уравнение, което имаме

Отговор:

X=10, y=5, z=-20.

Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните или основната матрица на системата е изродена, по метода на Гаус.

Системи от уравнения, чиято основна матрица е правоъгълна или квадратна изродена, може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкраен брой решения.

Сега ще разберем как методът на Гаус ви позволява да установите съвместимостта или несъответствието на система от линейни уравнения и в случай на нейната съвместимост да определите всички решения (или едно единствено решение).

По принцип процесът на елиминиране на неизвестни променливи в случай на такива SLAE остава същият. Въпреки това си струва да се спрем подробно на някои ситуации, които могат да възникнат.

Да преминем към най-важната стъпка.

И така, нека приемем, че системата от линейни алгебрични уравнения след завършване на напредването на метода на Гаус приема формата и никое от уравненията не се свежда до (в този случай бихме заключили, че системата е непоследователна). Възниква логичен въпрос: "Какво да правя след това"?

Изписваме неизвестните променливи, които са на първо място от всички уравнения на получената система:

В нашия пример това са x 1 , x 4 и x 5 . В левите части на уравненията на системата оставяме само тези членове, които съдържат изписаните неизвестни променливи x 1, x 4 и x 5, прехвърляме останалите членове в дясната страна на уравненията с обратен знак:

Нека присвоим произволни стойности на неизвестните променливи, които са от дясната страна на уравненията, където - произволни числа:

След това числата се намират в правилните части на всички уравнения на нашия SLAE и можем да продължим към обратния ход на метода на Гаус.

От последното уравнение на системата имаме, от предпоследното уравнение намираме, от първото уравнение получаваме

Решението на системата от уравнения е набор от стойности на неизвестни променливи

Даване на числа различни стойности, ще получим различни решения на системата от уравнения. Тоест нашата система от уравнения има безкрайно много решения.

Отговор:

където - произволни числа.

За да консолидираме материала, ще анализираме подробно решенията на още няколко примера.

Пример.

Решаване на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения Метод на Гаус.

Решение.

Нека изключим неизвестната променлива x от второто и третото уравнение на системата. За да направите това, добавете съответно към лявата и дясната част на второто уравнение лявата и дясната част на първото уравнение, умножени по , а към лявата и дясната част на третото уравнение - лявата и дясната част на първо уравнение, умножено по:

Сега изключваме y от третото уравнение на получената система от уравнения:

Полученият SLAE е еквивалентен на системата .

Оставяме само членовете, съдържащи неизвестните променливи x и y от лявата страна на уравненията на системата, и прехвърляме членовете с неизвестната променлива z в дясната страна: