Метод на Джоб Гаус. Метод на обратен Гаус

Тук можете да решите безплатно система от линейни уравнения Метод на Гаус онлайнголеми размери в сложни числа с много детайлно решение. Нашият калкулатор може да решава онлайн както обичайната определена, така и неопределена система от линейни уравнения, използвайки метода на Гаус, който има безкраен брой решения. В този случай в отговора ще получите зависимостта на някои променливи чрез други, безплатни. Можете също така да проверите системата от уравнения за съвместимост онлайн, като използвате решението на Гаус.

Размер на матрицата: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 548 518 54 44 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 78 78 79 81 82 83 84 86 86 88 88 89 90 90 91 92 94 96 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9 21 22 25 23 26 24 30, 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4 4 5 4 4 50 51 52 53 54 55 56 56 57 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 68 69 70 71 72 73 78 74 70 7 7 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 94 95 96 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98, 98, 98, 98, 98, 100, 101

Относно метода

При онлайн решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус се изпълняват следните стъпки.

1. Записваме разширената матрица.
2. Всъщност решението е разделено на стъпки напред и назад на метода на Гаус. Директният ход на метода на Гаус се нарича редуциране на матрицата до стъпаловидна форма. Обратният ход на метода на Гаус е редуцирането на матрица до специална стъпаловидна форма. Но на практика е по-удобно незабавно да се нулира това, което е едновременно над и под въпросния елемент. Нашият калкулатор използва точно този подход.
3. Важно е да се отбележи, че при решаване по метода на Гаус наличието в матрицата на поне един нулев ред с ненулева дясна страна (колона от свободни членове) показва несъответствието на системата. Решението на линейната система в този случай не съществува.

За да разберете по-добре как алгоритъмът на Гаус работи онлайн, въведете произволен пример, изберете „много подробно решение“ и вижте решението му онлайн.

Решаване на системи линейни уравнения по метода на Гаус.Да предположим, че трябва да намерим решение на системата от нлинейни уравнения с ннеизвестни променливи
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои в последователно изключване на неизвестни променливи: първо, на х 1от всички уравнения на системата, започвайки от второто, тогава x2от всички уравнения, започвайки с третото и така нататък, докато в последното уравнение остане само неизвестната променлива x n. Такъв процес на трансформиране на уравненията на системата за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на движението напред на метода на Гаус, от последното уравнение намираме x n, използвайки тази стойност от предпоследното уравнение се изчислява xn-1, и така нататък, от първото уравнение се намира х 1. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратен метод на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Елиминирайте неизвестната променлива х 1от всички уравнения на системата, започвайки от второто. За да направите това, добавете първото уравнение, умножено по към второто уравнение на системата, добавете първото умножено по към третото уравнение и така нататък, до n-тидобавете първото уравнение, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим х 1чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и полученият израз беше заместен във всички останали уравнения. Така че променливата х 1изключени от всички уравнения, като се започне от второто.

След това действаме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направите това, добавете второто умножено по към третото уравнение на системата, добавете второто умножено по към четвъртото уравнение и така нататък, до n-тидобавете второто уравнение, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде . Така че променливата x2изключени от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминирането на неизвестното х 3, докато действаме по подобен начин с частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратния ход на метода на Гаус: изчисляваме x nот последното уравнение като , използвайки получената стойност x nнамирам xn-1от предпоследното уравнение и т.н. намираме х 1от първото уравнение.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения Метод на Гаус.

Карл Фридрих Гаус, най-великият математик, дълго време се колебаеше, избирайки между философията и математиката. Може би точно такъв начин на мислене му позволи да "напусне" толкова забележимо в световната наука. По-специално, чрез създаването на "метода на Гаус" ...

В продължение на почти 4 години статиите на този сайт се занимават с училищното образование, основно от гледна точка на философията, принципите на (не)разбирането, въведени в съзнанието на децата. Идва време за повече конкретика, примери и методи... Смятам, че това е подходът към познатото, объркващо и важнообласти от живота дава най-добри резултати.

Ние хората сме така устроени, че колкото и да се говори абстрактно мислене, но разбиране винагистава чрез примери. Ако няма примери, тогава е невъзможно да се уловят принципите ... Колко невъзможно е да бъдеш на върха на планината по друг начин, освен като преминеш през целия й склон от подножието.

Същото с училището: засега живи историине достатъчно, ние инстинктивно продължаваме да го възприемаме като място, където децата се учат да разбират.

Например преподаване на метода на Гаус...

Метод на Гаус в 5 клас на училището

Веднага ще направя резервация: методът на Гаус има много по-широко приложение, например при решаване системи от линейни уравнения. Това, за което ще говорим, се случва в 5 клас. то започнете, след като разберете кои, е много по-лесно да разберете повече "разширени опции". В тази статия говорим за метод (метод) на Гаус при намиране на сумата от редица

Ето един пример, който най-малкият ми син донесе от училище, посещавайки 5 клас на московска гимназия.

Училищна демонстрация на метода на Гаус

Учител по математика с помощта на интерактивна дъска (съвременни методи на обучение) показа на децата презентация на историята за „създаване на метода“ от малкия Гаус.

Учителят удари с камшик малкия Карл (остарял метод, сега не се използва в училищата), защото бил,

вместо последователно събиране на числа от 1 до 100, за да се намери тяхната сума забелязаноче двойки числа, разположени на еднакво разстояние от краищата на една аритметична прогресия, се събират до едно и също число. например 100 и 1, 99 и 2. След като преброи броя на тези двойки, малкият Гаус почти моментално реши задачата, предложена от учителя. За което е подложен на екзекуция пред смаяната публика. За останалите да мислят беше неуважително.

Какво направи малкият Гаус развити смисъл на числото? Забелязанонякаква функциячислови редове с постоянна стъпка (аритметична прогресия). И точно тованаправи го по-късно велик учен, способен да забележи, притежаващ чувство, инстинкт за разбиране.

Това е стойността на математиката, която развива способност да виждашобщо взето - абстрактно мислене. Ето защо, повечето родители и работодатели инстинктивно смятат математиката за важна дисциплина ...

„Математиката трябва да се преподава по-късно, за да подреди ума.
М. В. Ломоносов".

Но последователите на тези, които бичуваха бъдещите гении, превърнаха Метода в нещо противоположно. Както каза моят ръководител преди 35 години: "Те научиха въпроса." Или както най-малкият ми син каза вчера за метода на Гаус: „Може би не си струва да правим голяма наука от това, а?“

Последствията от креативността на „учените“ се виждат в нивото на сегашната училищна математика, нивото на нейното преподаване и разбирането на „Царицата на науките“ от мнозинството.

Все пак да продължим...

Методи за обяснение на метода на Гаус в 5 клас на училището

Учител по математика в московска гимназия, обясняващ метода на Гаус по начина на Виленкин, усложни задачата.

Ами ако разликата (стъпката) на аритметична прогресия не е едно, а друго число? Например 20.

Задачата, която постави на петокласниците:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Преди да се запознаем с метода на гимназията, нека да погледнем в мрежата: как го правят училищните учители - преподаватели по математика? ..

Метод на Гаус: Обяснение #1

Известен преподавател в своя канал в YOUTUBE дава следното разсъждение:

"нека напишем числата от 1 до 100 така:

първо серия от числа от 1 до 50, а точно под нея друга серия от числа от 50 до 100, но в обратен ред"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

„Моля, обърнете внимание: сумата на всяка двойка числа от горния и долния ред е една и съща и е равна на 101! Нека преброим броя на двойките, това е 50 и умножете сумата на една двойка по броя на двойките! Voila: The отговорът е готов!".

„Ако не сте разбрали, не се разстройвайте!“, повтори учителят три пъти по време на обяснението. „Тази методика ще я минеш в 9 клас!“

Метод на Гаус: Обяснение #2

Друг преподавател, по-малко известен (съдейки по броя гледания), използва по-научен подход, предлагайки алгоритъм за решение от 5 точки, който трябва да бъде изпълнен последователно.

За непосветените: 5 е едно от числата на Фибоначи, традиционно смятани за магически. Методът на 5 стъпки винаги е по-научен от метода на 6 стъпки, например. ... И това едва ли е случайно, най-вероятно авторът е скрит привърженик на теорията на Фибоначи

Като се има предвид аритметична прогресия: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Алгоритъм за намиране на сумата от числа в редица по метода на Гаус:

Стъпка 1: пренапишете дадената последователност от числа в обратен ред, точнопод първия.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Стъпка 2: изчислете сборовете на двойки числа, подредени във вертикални редове: 260.

Стъпка 3: пребройте колко такива двойки има в редицата от числа. За да направите това, извадете минималния от максималния брой на числовата серия и разделете на размера на стъпката: (256 - 4) / 6 = 42.

В същото време трябва да запомните за плюс едно правило : едно трябва да се добави към полученото частно: в противен случай ще получим резултат, който е с едно по-малък от истинския брой двойки: 42 + 1 = 43.

Стъпка 4: умножете сбора на една двойка числа по броя на двойките: 260 x 43 = 11 180

Стъпка 5: тъй като изчислихме сумата двойки числа, тогава получената сума трябва да се раздели на две: 11 180 / 2 = 5590.

Това е търсеният сбор от аритметичната прогресия от 4 до 256 с разлика 6!

Метод на Гаус: обяснение в 5 клас на московската гимназия

И ето как беше необходимо да се реши задачата за намиране на сумата от редица:

20+40+60+ ... +460+480+500

в 5 клас на московската гимназия, учебник на Виленкин (според сина ми).

След като показа презентацията, учителят по математика показа няколко примера на Гаус и даде на класа задачата да намерят сбора на числата в редица със стъпка 20.

Това изискваше следното:

Етап 1: не забравяйте да запишете всички числа в редицата в тетрадкаот 20 до 500 (на стъпки от 20).

Стъпка 2: напишете последователни членове - двойки числа:първият с последния, вторият с предпоследния и т.н. и изчислете техните суми.

Стъпка 3: изчислете "сумата на сумите" и намерете сумата на цялата серия.

Както можете да видите, това е по-компактна и ефективна техника: числото 3 също е член на редицата на Фибоначи

Моите коментари относно училищната версия на метода на Гаус

Великият математик със сигурност би избрал философията, ако беше предвидил в какво ще превърнат неговия „метод” последователите му. учител по немски езиккойто бичуваха Карл с пръчки. Той щеше да види символиката и диалектическата спирала и безсмъртната глупост на "учителите" опитвайки се да измерим хармонията на живата математическа мисъл с алгебрата на неразбирането ....

Между другото, знаете ли. че нашата образователна система се корени в немското училище от 18-ти и 19-ти век?

Но Гаус избра математиката.

Каква е същността на неговия метод?

AT опростяване. AT наблюдение и улавянепрости модели на числа. AT превръщайки сухата училищна аритметика в интересна и забавна дейност , активирайки желанието за продължаване в мозъка, а не блокирайки скъпата умствена дейност.

Възможно ли е да се изчисли сумата от числата на аритметична прогресия с една от горните "модификации на метода на Гаус" моментално? Според „алгоритмите“ малкият Карл гарантирано щеше да избегне напляскване, да култивира отвращение към математиката и да потисне творческите си импулси в зародиш.

Защо преподавателят толкова настойчиво съветваше петокласниците „да не се страхуват от неразбиране“ на метода, убеждавайки ги, че ще решават „такива“ задачи още в 9 клас? Психологически неграмотно действие. Беше добра идея да се отбележи: "Виждаш ли? Ти още в 5 клас можерешавайте проблеми, които ще преминете само след 4 години! Какви добри хора сте!"

За да използвате метода на Гаус, ниво 3 от класа е достатъчнокогато нормалните деца вече знаят как да събират, умножават и делят 2-3 цифрени числа. Проблемите възникват поради неспособността на възрастни учители, които "не влизат" как да обяснят най-простите неща на нормален човешки език, не само математически ... Те не са в състояние да заинтересуват математиката и напълно обезсърчат дори "способните".

Или, както синът ми коментира, „направете голяма наука от това“.

Как (в общия случай) да разберем на кое число трябва да се "развие" записът на числа в метод No1?

Какво да направите, ако броят на членовете на поредицата е странно?

Защо да превръщате в „Правило плюс 1“ това, което едно дете би могло просто асимилирамдори в първи клас, ако е развил "чувство за число", и не си спомням"броя до десет"?

И накрая: къде изчезна НУЛАТА, гениално изобретение, което е на повече от 2000 години и което съвременните учители по математика избягват да използват?!

Метод на Гаус, моите обяснения

Жена ми и аз обяснихме този „метод“ на нашето дете, изглежда, още преди училище ...

Простота вместо сложност или игра на въпроси - отговори

"Вижте, ето числата от 1 до 100. Какво виждате?"

Не става дума за това какво вижда детето. Номерът е да го накараш да изглежда.

— Как можеш да ги събереш? Синът разбра, че такива въпроси не се задават „просто така“ и трябва да погледнете на въпроса „някак по различен начин, по различен начин, отколкото обикновено прави“

Няма значение дали детето вижда решението веднага, това е малко вероятно. Важно е той престана да се страхува да погледне, или както казвам: „премести задачата“. Това е началото на пътя към разбирането

„Кое е по-лесно: да съберем например 5 и 6 или 5 и 95?“ Насочващ въпрос... Но все пак всяко обучение се свежда до „насочване“ на човек към „отговор“ – по всеки приемлив за него начин.

На този етап може вече да има предположения как да "спестите" от изчисленията.

Всичко, което направихме, е намек: методът на "фронтално, линейно" броене не е единственият възможен. Ако детето е съкратило това, то по-късно ще измисли още много такива методи, защото е интересно!!!И той определено ще избегне "неразбирането" на математиката, няма да изпитва отвращение към нея. Той спечели победата!

Ако открито бебетогава събирането на двойки числа, които дават сто, е дребна задача "аритметична прогресия с разлика 1"- доста мрачно и безинтересно нещо за дете - изведнъж му даде живот . От хаоса се появи ред и това винаги е ентусиазирано: така сме!

Бърз въпрос: защо след прозрението на едно дете то отново трябва да бъде забивано в рамките на сухи алгоритми, които също са функционално безполезни в случая?!

Защо да правите глупаво пренаписванепоредни номера в тетрадка: така че дори способните да нямат нито един шанс за разбиране? Статистически, разбира се, но масовото образование е фокусирано върху "статистиката" ...

Къде отиде нулата?

И все пак, събирането на числа, които дават 100, е много по-приемливо за ума, отколкото даването на 101 ...

„Училищният метод на Гаус“ изисква точно това: безсмислено сгъванена еднакво разстояние от центъра на прогресията на двойка числа, без значение какво.

Ами ако погледнеш?

Все пак нулата е най-великото изобретение на човечеството, което е на повече от 2000 години. А учителите по математика продължават да го игнорират.

Много по-лесно е да конвертирате поредица от числа, започваща с 1, в поредица, започваща с 0. Сборът няма да се промени, нали? Трябва да спрете да "мислите в учебниците" и да започнете да търсите ...И да видите, че двойки със сбор 101 могат да бъдат напълно заменени с двойки със сбор 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Как да премахнем "правилото плюс 1"?

Честно казано, за първи път чух за такова правило от онзи преподавател в YouTube ...

Какво трябва да направя, когато трябва да определя броя на членовете на поредица?

Гледайки последователността:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

и когато сте напълно уморени, след това на по-прост ред:

1, 2, 3, 4, 5

и смятам: ако извадите едно от 5, получавате 4, но съм съвсем ясен виж 5 числа! Следователно трябва да добавите такъв! Чувството за число, развито в началното училище, предполага, че дори да има цял Google от членове на поредицата (10 на стотна степен), моделът ще остане същият.

Майната им на правилата?...

Така че за няколко-три години да запълните цялото пространство между челото и тила и да спрете да мислите? Какво ще кажете за печеленето на хляб и масло? В края на краищата ние се придвижваме с равни позиции към ерата на цифровата икономика!

Повече за училищния метод на Гаус: "защо да правим наука от това? .."

Не напразно пуснах скрийншот от бележника на сина ми...

"Какво имаше в урока?"

"Е, аз веднага преброих, вдигнах ръка, но тя не попита. Затова, докато другите броеха, започнах да правя ДЗ на руски, за да не губя време. Тогава, когато другите свършиха да пишат (?? ?), тя ме повика на дъската. Казах отговора."

„Така е, покажи ми как го реши”, каза учителят. Показах. Тя каза: "Грешно, трябва да броите, както показах!"

"Добре е, че не поставих двойка. И ме накарах да напиша "процеса на вземане на решение" по техен начин в тетрадка. Защо да правим голяма наука от това? .."

Основното престъпление на учителя по математика

едва ли след това този случайКарл Гаус изпитва голямо уважение към училищния учител по математика. Но ако знаеше как последователи на този учител изопачават същността на метода... щеше да изрева от възмущение и чрез Световната организация за интелектуална собственост WIPO да постигне забрана за използване на доброто му име в училищните учебници! ..

Какво основната грешка на училищния подход? Или, както се изразих, престъплението на училищните учители по математика срещу децата?

Неразбиране на алгоритъм

Какво правят училищните методисти, огромното мнозинство от които не знаят как да мислят?

Създайте методи и алгоритми (вижте). то защитна реакция, която предпазва учителите от критика („Всичко се прави според ...“), а децата от разбиране. И по този начин - от желанието да се критикуват учителите!(Втората производна на бюрократичната "мъдрост", научен подход към проблема). Човек, който не схваща смисъла, по-скоро ще обвини собственото си неразбиране, а не глупостта на училищната система.

Какво се случва: родителите обвиняват децата, а учителите ... същото за децата, които "не разбират от математика! ..

Вие разбирате ли?

Какво направи малкият Карл?

Абсолютно нетрадиционен подход към шаблонна задача. Това е квинтесенцията на Неговия подход. то основното нещо, което трябва да се преподава в училище, е да мислите не с учебниците, а с главата си. Разбира се, има и инструментален компонент, който може да се използва ... в търсене по-прости и по-ефективни методи за броене.

Метод на Гаус по Виленкин

В училище учат, че методът на Гаус е да

по двойкинамерете сумите на числа, еднакво отдалечени от краищата на редицата от числа, задължително започвайки от краищата!

намерете броя на такива двойки и т.н.

Какво, ако броят на елементите в реда е нечетен, както в задачата, която беше възложена на сина? ..

„Номерът” е, че в случая трябва да намерите "допълнителния" номер на сериятаи го добавете към сбора на двойките. В нашия пример това число е 260.

Как да открием? Преписване на всички двойки числа в тетрадка!(Ето защо учителят накара децата да вършат тази глупава работа, опитвайки се да преподават на "креативност", използвайки метода на Гаус... И затова такъв "метод" е практически неприложим за големи серии от данни, и затова не е метод на Гаус метод).

Малко креативност в училищното ежедневие...

Синът постъпи различно.

Отначало той отбеляза, че е по-лесно да се умножи числото 500, а не 520.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Тогава той разбра: броят на стъпките се оказа нечетен: 500 / 20 = 25.

След това той добави НУЛА в началото на серията (въпреки че беше възможно да се изхвърли последният член на серията, което също би осигурило равенство) и добави числата, давайки общо 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 стъпки са 13 чифта "петстотин": 13 x 500 = 6500 ..

Ако изхвърлим последния член на поредицата, тогава ще има 12 двойки, но не трябва да забравяме да добавим "изхвърлените" петстотин към резултата от изчисленията. Тогава: (12 х 500) + 500 = 6500!

Лесно, нали?

Но на практика става още по-лесно, което ви позволява да отделите 2-3 минути за дистанционно наблюдение на руски, докато останалите се „броят“. В допълнение, той запазва броя на стъпките на методологията: 5, което не позволява да се критикува подходът като ненаучен.

Очевидно този подход е по-прост, по-бърз и по-гъвкав, в стила на метода. Но... учителят не само не похвали, но и ме принуди да го препиша "по правилния начин" (вижте скрийншота). Тоест, тя направи отчаян опит да задуши творческия импулс и способността да разбере математиката в зародиш! Очевидно, за да бъде наета по-късно като учител ... Тя нападна грешния ...

Всичко, което описах толкова дълго и досадно, може да се обясни на нормално дете за максимум половин час. Заедно с примери.

И така, че никога да не го забрави.

И ще стане стъпка към разбирането...не само математика.

Признайте си: колко пъти в живота си сте добавяли по метода на Гаус? И аз никога!

Но инстинкт за разбиране, който се развива (или изгасва) в процеса на изучаване на математически методи в училище ... О! .. Това е наистина незаменимо нещо!

Особено в епохата на всеобщата цифровизация, в която тихомълком навлязохме под строгото ръководство на партията и правителството.

Няколко думи в защита на учителите...

Нечестно и погрешно е цялата отговорност за този стил на преподаване да се възлага единствено на учителите. Системата е в действие.

някоиучителите разбират абсурдността на случващото се, но какво да правят? Законът за образованието, федералните държавни образователни стандарти, методики, урочни карти... Всичко трябва да се прави "по ред и основа" и всичко да се документира. Стъпка настрана - застана на опашка за уволнение. Нека не лицемерим: заплатите на московските учители са много добри... Ако ги уволнят, къде да отидат?..

Ето защо този сайт не за образованието. Той е около индивидуално обучение, единственият възможен начин за излизане от тълпата Поколението Z ...

Две системи от линейни уравнения се наричат ​​еквивалентни, ако наборът от всички техни решения е еднакъв.

Елементарните трансформации на системата от уравнения са:

1. Изтриване от системата на тривиалните уравнения, т.е. такива, при които всички коефициенти са равни на нула;
2. Умножаване на всяко уравнение с различно от нула число;
3. Добавяне към всяко i -то уравнение на всяко j -то уравнение, умножено по произволно число.

Променливата x i се нарича свободна, ако тази променлива не е разрешена, а цялата система от уравнения е разрешена.

Теорема. Елементарните трансформации превръщат системата от уравнения в еквивалентна.

Смисълът на метода на Гаус е да се трансформира първоначалната система от уравнения и да се получи еквивалентна разрешена или еквивалентна непоследователна система.

И така, методът на Гаус се състои от следните стъпки:

1. Разгледайте първото уравнение. Избираме първия ненулев коефициент и разделяме цялото уравнение на него. Получаваме уравнение, в което някаква променлива x i влиза с коефициент 1;
2. Нека извадим това уравнение от всички останали, като го умножим по числа, така че коефициентите за променливата x i в останалите уравнения да са настроени на нула. Получаваме система, която е разрешена по отношение на променливата x i и е еквивалентна на оригиналната;
3. Ако възникнат тривиални уравнения (рядко, но се случва; например 0 = 0), ние ги изтриваме от системата. В резултат на това уравненията стават с едно по-малко;
4. Повтаряме предишните стъпки не повече от n пъти, където n е броят на уравненията в системата. Всеки път избираме нова променлива за „обработка“. Ако възникнат противоречиви уравнения (например 0 = 8), системата е непоследователна.

В резултат на това след няколко стъпки получаваме или разрешена система (възможно със свободни променливи), или непоследователна. Разрешените системи попадат в два случая:

1. Броят на променливите е равен на броя на уравненията. Така че системата е дефинирана;
2. Броят на променливите е по-голям от броя на уравненията. Събираме всички свободни променливи отдясно - получаваме формули за разрешените променливи. Тези формули са записани в отговора.

Това е всичко! Системата от линейни уравнения е решена! Това е доста прост алгоритъм и за да го овладеете, не е необходимо да се свързвате с учител по математика. Помислете за пример:

Задача. Решете системата от уравнения:

Описание на стъпките:

1. Изваждаме първото уравнение от второто и третото - получаваме разрешената променлива x 1;
2. Второто уравнение умножаваме по (−1) и третото уравнение разделяме на (−3) - получаваме две уравнения, в които променливата x 2 влиза с коефициент 1;
3. Добавяме второто уравнение към първото и изваждаме от третото. Нека получим разрешената променлива x 2 ;
4. Накрая изваждаме третото уравнение от първото - получаваме разрешената променлива x 3 ;
5. Получихме оторизирана система, записваме отговора.

Общото решение на съвместна система от линейни уравнения е нова система, еквивалентна на оригиналната, в която всички разрешени променливи са изразени чрез свободни.

Кога може да е необходимо общо решение? Ако трябва да направите по-малко стъпки от k (k е общо колко уравнения). Въпреки това, причините, поради които процесът завършва на някаква стъпка l< k , может быть две:

1. След l -та стъпка получаваме система, която не съдържа уравнение с числото (l + 1). Всъщност това е добре, защото. така или иначе разрешената система се получава - дори няколко стъпки по-рано.
2. След l -тата стъпка се получава уравнение, в което всички коефициенти на променливите са равни на нула, а свободният коефициент е различен от нула. Това е непоследователно уравнение и следователно системата е непоследователна.

Важно е да се разбере, че появата на несъгласувано уравнение по метода на Гаус е достатъчна причина за несъответствие. В същото време отбелязваме, че в резултат на l -та стъпка не могат да останат тривиални уравнения - всички те се изтриват директно в процеса.

Описание на стъпките:

1. Извадете първото уравнение по 4 от второто. И също така добавете първото уравнение към третото - получаваме разрешената променлива x 1;
2. Изваждаме третото уравнение, умножено по 2, от второто - получаваме противоречивото уравнение 0 = −5.

И така, системата е непоследователна, тъй като е намерено несъгласувано уравнение.

Задача. Проучете съвместимостта и намерете общото решение на системата:

Описание на стъпките:

1. Изваждаме първото уравнение от второто (след умножаване по две) и третото - получаваме разрешената променлива x 1;
2. Извадете второто уравнение от третото. Тъй като всички коефициенти в тези уравнения са еднакви, третото уравнение става тривиално. В същото време умножаваме второто уравнение по (−1);
3. Изваждаме второто уравнение от първото уравнение - получаваме разрешената променлива x 2. Цялата система от уравнения сега също е разрешена;
4. Тъй като променливите x 3 и x 4 са свободни, ние ги преместваме надясно, за да изразим разрешените променливи. Това е отговорът.

И така, системата е съвместна и неопределена, тъй като има две разрешени променливи (x 1 и x 2) и две свободни (x 3 и x 4).