Пример.

Експериментални данни за стойностите на променливите хи приса дадени в таблицата.

В резултат на тяхното подреждане функцията

Използвайки метод на най-малките квадрати, апроксимирайте тези данни с линейна зависимост y=ax+b(намерете параметри аи b). Разберете коя от двете линии по-добре (в смисъл на метода на най-малките квадрати) подравнява експерименталните данни. Направете рисунка.

Същността на метода на най-малките квадрати (МНК).

Проблемът е да се намерят коефициентите на линейна зависимост, за които функцията на две променливи аи b приема най-малката стойност. Това е предвид данните аи bсумата от квадратите на отклоненията на експерименталните данни от намерената права линия ще бъде най-малка. Това е целият смисъл на метода на най-малките квадрати.

Така решението на примера се свежда до намиране на екстремума на функция на две променливи.

Извеждане на формули за намиране на коефициенти.

Съставя се и се решава система от две уравнения с две неизвестни. Намиране на частни производни на функция по променливи аи b, ние приравняваме тези производни на нула.

Решаваме получената система от уравнения по произволен метод (напр метод на заместванеили ) и да получите формули за намиране на коефициенти с помощта на метода на най-малките квадрати (LSM).

С данни аи bфункция приема най-малката стойност. Дадено е доказателство за този факт.

Това е целият метод на най-малките квадрати. Формула за намиране на параметъра асъдържа сумите , , , и параметъра н- количество експериментални данни. Стойностите на тези суми се препоръчват да се изчисляват отделно. Коефициент bнамерени след изчисление а.

Време е да си припомним оригиналния пример.

Решение.

В нашия пример n=5. Попълваме таблицата за удобство при изчисляване на сумите, които са включени във формулите на необходимите коефициенти.

Стойностите в четвъртия ред на таблицата се получават чрез умножаване на стойностите на 2-ри ред по стойностите на 3-ти ред за всяко число аз.

Стойностите в петия ред на таблицата се получават чрез повдигане на квадрат на стойностите на 2-ри ред за всяко число аз.

Стойностите на последната колона на таблицата са сумите от стойностите в редовете.

Използваме формулите на метода на най-малките квадрати, за да намерим коефициентите аи b. Заменяме в тях съответните стойности от последната колона на таблицата:

Следователно, y=0,165x+2,184е желаната апроксимираща права линия.

Остава да разберем коя от линиите y=0,165x+2,184или по-добре приближава оригиналните данни, т.е. да направи оценка с помощта на метода на най-малките квадрати.

Оценка на грешката на метода на най-малките квадрати.

За да направите това, трябва да изчислите сумите на квадратите на отклоненията на оригиналните данни от тези редове и , по-малка стойност съответства на линия, която по-добре приближава оригиналните данни по отношение на метода на най-малките квадрати.

Тъй като , тогава линията y=0,165x+2,184приближава по-добре оригиналните данни.

Графична илюстрация на метода на най-малките квадрати (LSM).

Всичко изглежда страхотно в класациите. Червената линия е намерената линия y=0,165x+2,184, синята линия е , розовите точки са оригиналните данни.

За какво е, за какво са всички тези приближения?

Аз лично използвам за решаване на проблеми с изглаждане на данни, проблеми с интерполация и екстраполация (в оригиналния пример може да бъдете помолени да намерите стойността на наблюдаваната стойност гпри х=3или кога х=6по метода MNC). Но ще говорим повече за това по-късно в друг раздел на сайта.

Доказателство.

Така че, когато се намери аи bфункция приема най-малката стойност, необходимо е в тази точка матрицата на квадратната форма на диференциала от втори ред за функцията беше положително категоричен. Нека го покажем.

Ние апроксимираме функцията с полином от 2-ра степен. За да направим това, изчисляваме коефициентите на нормалната система от уравнения:

, ,

Нека съставим нормална система от най-малки квадрати, която има формата:

Решението на системата е лесно за намиране:, , .

Така се намира полиномът от 2-ра степен: .

Теоретична подготовка

Назад към страницата<Введение в вычислительную математику. Примеры>

Пример 2. Намиране на оптималната степен на полином.

Назад към страницата<Введение в вычислительную математику. Примеры>

Пример 3. Извеждане на нормална система от уравнения за намиране на параметрите на емпирична зависимост.

Нека изведем система от уравнения за определяне на коефициентите и функциите , който изпълнява средноквадратичното приближение на дадената функция по отношение на точки. Съставете функция и напишете необходимото екстремално условие за него:

Тогава нормалната система ще приеме формата:

Получихме линейна система от уравнения за неизвестни параметри и, която лесно се решава.

Теоретична подготовка

Назад към страницата<Введение в вычислительную математику. Примеры>

Пример.

Експериментални данни за стойностите на променливите хи приса дадени в таблицата.

В резултат на тяхното подреждане функцията

Използвайки метод на най-малките квадрати, апроксимирайте тези данни с линейна зависимост y=ax+b(намерете параметри аи b). Разберете коя от двете линии по-добре (в смисъл на метода на най-малките квадрати) подравнява експерименталните данни. Направете рисунка.

Същността на метода на най-малките квадрати (МНК).

Проблемът е да се намерят коефициентите на линейна зависимост, за които функцията на две променливи аи bприема най-малката стойност. Това е предвид данните аи bсумата от квадратите на отклоненията на експерименталните данни от намерената права линия ще бъде най-малка. Това е целият смисъл на метода на най-малките квадрати.

Така решението на примера се свежда до намиране на екстремума на функция на две променливи.

Извеждане на формули за намиране на коефициенти.

Съставя се и се решава система от две уравнения с две неизвестни. Намиране на частни производни на функции по променливи аи b, ние приравняваме тези производни на нула.

Решаваме получената система от уравнения по произволен метод (напр метод на заместванеили метод на Крамър) и да получите формули за намиране на коефициенти с помощта на метода на най-малките квадрати (LSM).

С данни аи bфункция приема най-малката стойност. Доказателството за този факт е дадено по-долу в текста в края на страницата.

Това е целият метод на най-малките квадрати. Формула за намиране на параметъра асъдържа сумите , , , и параметъра не количеството експериментални данни. Стойностите на тези суми се препоръчват да се изчисляват отделно.

Коефициент bнамерени след изчисление а.

Време е да си припомним оригиналния пример.

Решение.

В нашия пример n=5. Попълваме таблицата за удобство при изчисляване на сумите, които са включени във формулите на необходимите коефициенти.

Стойностите в четвъртия ред на таблицата се получават чрез умножаване на стойностите на 2-ри ред по стойностите на 3-ти ред за всяко число аз.

Стойностите в петия ред на таблицата се получават чрез повдигане на квадрат на стойностите на 2-ри ред за всяко число аз.

Стойностите на последната колона на таблицата са сумите от стойностите в редовете.

Използваме формулите на метода на най-малките квадрати, за да намерим коефициентите аи b. Заменяме в тях съответните стойности от последната колона на таблицата:

Следователно, y=0,165x+2,184е желаната апроксимираща права линия.

Остава да разберем коя от линиите y=0,165x+2,184или по-добре приближава оригиналните данни, т.е. да направи оценка с помощта на метода на най-малките квадрати.

Оценка на грешката на метода на най-малките квадрати.

За да направите това, трябва да изчислите сумите на квадратите на отклоненията на оригиналните данни от тези редове и , по-малка стойност съответства на линия, която по-добре приближава оригиналните данни по отношение на метода на най-малките квадрати.

Тъй като , тогава линията y=0,165x+2,184приближава по-добре оригиналните данни.

Графична илюстрация на метода на най-малките квадрати (LSM).

Всичко изглежда страхотно в класациите. Червената линия е намерената линия y=0,165x+2,184, синята линия е , розовите точки са оригиналните данни.

За какво е, за какво са всички тези приближения?

Аз лично използвам за решаване на проблеми с изглаждане на данни, проблеми с интерполация и екстраполация (в оригиналния пример може да бъдете помолени да намерите стойността на наблюдаваната стойност гпри х=3или кога х=6по метода MNC). Но ще говорим повече за това по-късно в друг раздел на сайта.

Най-горе на страницата

Доказателство.

Така че, когато се намери аи bфункция приема най-малката стойност, необходимо е в тази точка матрицата на квадратната форма на диференциала от втори ред за функцията беше положително категоричен. Нека го покажем.

Диференциалът от втори ред има формата:

Това е

Следователно матрицата на квадратната форма има формата

и стойностите на елементите не зависят от аи b.

Нека покажем, че матрицата е положително определена. Това изисква минорните ъгли да са положителни.

Ъглов минор от първи ред . Неравенството е строго, тъй като точките не съвпадат. Това ще се подразбира в това, което следва.

Ъглов минор от втори ред

Нека докажем това метод на математическата индукция.

Заключение: намерени стойности аи bотговарят на най-малката стойност на функцията следователно са желаните параметри за метода на най-малките квадрати.

Някога разбираш ли?
Поръчайте решение

Най-горе на страницата

Разработване на прогноза по метода на най-малките квадрати. Пример за решение на проблем

Екстраполация - това е метод на научно изследване, който се основава на разпространението на минали и настоящи тенденции, модели, връзки с бъдещото развитие на обекта на прогнозиране. Екстраполационните методи включват метод на пълзяща средна, метод на експоненциално изглаждане, метод на най-малките квадрати.

Същност метод на най-малките квадрати се състои в минимизиране на сумата от квадратните отклонения между наблюдаваните и изчислените стойности. Изчислените стойности се намират според избраното уравнение - регресионното уравнение. Колкото по-малко е разстоянието между действителните стойности и изчислените, толкова по-точна е прогнозата въз основа на регресионното уравнение.

Теоретичният анализ на същността на изследваното явление, чиято промяна се показва чрез времеви редове, служи като основа за избор на крива. Понякога се вземат предвид съображения за естеството на растежа на нивата на серията. Така че, ако нарастването на продукцията се очаква в аритметична прогресия, тогава изглаждането се извършва по права линия. Ако се окаже, че растежът е експоненциален, тогава изглаждането трябва да се направи по експоненциалната функция.

Работната формула на метода на най-малките квадрати : Y t+1 = a*X + b, където t + 1 е прогнозният период; Уt+1 – прогнозен показател; a и b са коефициенти; X е символ на времето.

Коефициентите a и b се изчисляват по следните формули:

където Uf - действителните стойности на серията от динамика; n е броят на нивата в динамичния ред;

Изглаждането на динамичните редове по метода на най-малките квадрати служи за отразяване на моделите на развитие на изследваното явление. При аналитичното изразяване на тенденция времето се разглежда като независима променлива и нивата на серията действат като функция на тази независима променлива.

Развитието на едно явление не зависи от това колко години са изминали от началото, а от това какви фактори са повлияли на неговото развитие, в каква посока и с каква интензивност. От това става ясно, че развитието на едно явление във времето се появява в резултат на действието на тези фактори.

Правилното задаване на вида на кривата, вида на аналитичната зависимост от времето е една от най-трудните задачи на предсказуемия анализ. .

Изборът на типа функция, която описва тенденцията, чиито параметри се определят по метода на най-малките квадрати, в повечето случаи е емпиричен, чрез конструиране на редица функции и сравняването им една с друга по стойността на средната коренна стойност - квадратна грешка, изчислена по формулата:

където Uf - действителните стойности на серията от динамика; Ur – изчислени (изгладени) стойности на динамичния ред; n е броят на нивата в динамичния ред; p е броят на параметрите, дефинирани във формулите, описващи тенденцията (тенденцията на развитие).

Недостатъци на метода на най-малките квадрати :

• когато се опитвате да опишете изследваното икономическо явление с помощта на математическо уравнение, прогнозата ще бъде точна за кратък период от време и регресионното уравнение трябва да бъде преизчислено, когато стане налична нова информация;
• сложността на избора на регресионно уравнение, което е разрешимо с помощта на стандартни компютърни програми.

Пример за използване на метода на най-малките квадрати за разработване на прогноза

Задача . Има данни, характеризиращи нивото на безработицата в региона, %

• Изградете прогноза за нивото на безработица в региона за месеците ноември, декември, януари, като използвате методите: пълзяща средна, експоненциално изглаждане, най-малки квадрати.
• Изчислете грешките в получените прогнози, като използвате всеки метод.
• Сравнете получените резултати, направете изводи.

Решение на най-малките квадрати

За решението ще съставим таблица, в която ще направим необходимите изчисления:

ε = 28,63/10 = 2,86% точност на прогнозатаВисоко.

Заключение : Сравняване на резултатите, получени при изчисленията метод на пълзяща средна , експоненциално изглаждане и метода на най-малките квадрати, можем да кажем, че средната относителна грешка при изчисленията по метода на експоненциалното изглаждане е в рамките на 20-50%. Това означава, че точността на прогнозата в този случай е само задоволителна.

В първия и третия случай точността на прогнозата е висока, тъй като средната относителна грешка е по-малка от 10%. Но методът на подвижната средна даде възможност да се получат по-надеждни резултати (прогноза за ноември - 1,52%, прогноза за декември - 1,53%, прогноза за януари - 1,49%), тъй като средната относителна грешка при използване на този метод е най-малката - 1 ,13%.

Метод на най-малките квадрати

Други свързани статии:

Списък на използваните източници

1. Научни и методически препоръки по проблемите на диагностиката на социалните рискове и прогнозирането на предизвикателства, заплахи и социални последици. Руски държавен социален университет. Москва. 2010 г.;
2. Владимирова Л.П. Прогнозиране и планиране в пазарни условия: учеб. надбавка. М .: Издателство "Дашков и Ко", 2001 г.;
3. Новикова Н.В., Поздеева О.Г. Прогнозиране на националната икономика: Учебно-методическо ръководство. Екатеринбург: Издателство Урал. състояние икономика университет, 2007;
4. Слуцкин Л.Н. MBA курс по бизнес прогнозиране. Москва: Alpina Business Books, 2006.

Програма MNE

Въвеждане на данни

Данни и приближение y = a + b x

аз- номер на опитната точка;
x i- стойността на фиксирания параметър в точката аз;
y i- стойността на измерения параметър в точката аз;
ω i- тегло на измерване в точка аз;
y i, калк.- разликата между измерената стойност и стойността, изчислена от регресията гв точката аз;
S x i (x i)- оценка на грешката x iпри измерване гв точката аз.

Данни и приближение y = kx

аз	x i	y i	ω i	y i, калк.	Δy i	S x i (x i)

Кликнете върху графиката

Ръководство за потребителя на онлайн програмата MNC.

В полето за данни въведете на всеки отделен ред стойностите на `x` и `y` в една експериментална точка. Стойностите трябва да бъдат разделени с интервал (интервал или раздел).

Третата стойност може да бъде точковото тегло на „w“. Ако теглото на точката не е посочено, тогава то е равно на единица. В преобладаващата част от случаите теглата на експерименталните точки са неизвестни или не са изчислени; всички експериментални данни се считат за еквивалентни. Понякога теглата в изследвания диапазон от стойности определено не са еквивалентни и дори могат да бъдат изчислени теоретично. Например в спектрофотометрията теглата могат да се изчислят с помощта на прости формули, въпреки че по принцип всички пренебрегват това, за да намалят разходите за труд.

Данните могат да бъдат поставени през клипборда от електронна таблица на офис пакет, като Excel от Microsoft Office или Calc от Open Office. За да направите това, в електронната таблица изберете диапазона от данни за копиране, копирайте в клипборда и поставете данните в полето за данни на тази страница.

За изчисляване по метода на най-малките квадрати са необходими най-малко две точки за определяне на два коефициента `b` - тангенса на ъгъла на наклона на правата линия и `a` - стойността, отсечена от правата линия върху `y ` ос.

За да се оцени грешката на изчислените коефициенти на регресия, е необходимо да се зададе броят на експерименталните точки на повече от две.

Метод на най-малките квадрати (LSM).

Колкото по-голям е броят на експерименталните точки, толкова по-точна е статистическата оценка на коефициентите (поради намаляването на коефициента на Стюдънт) и толкова по-близо е оценката до оценката на общата извадка.

Получаването на стойности във всяка експериментална точка често е свързано със значителни разходи за труд, поради което често се извършва компромисен брой експерименти, което дава усвоима оценка и не води до прекомерни разходи за труд. По правило броят на експерименталните точки за линейна зависимост на най-малките квадрати с два коефициента се избира в рамките на 5-7 точки.

Кратка теория на най-малките квадрати за линейна зависимост

Да предположим, че имаме набор от експериментални данни под формата на двойки стойности [`y_i`, `x_i`], където `i` е номерът на едно експериментално измерване от 1 до `n`; `y_i` - стойността на измерената стойност в точка `i`; `x_i` - стойността на параметъра, който задаваме в точката `i`.

Пример е действието на закона на Ом. Чрез промяна на напрежението (потенциалната разлика) между секциите на електрическата верига измерваме количеството ток, преминаващ през тази секция. Физиката ни дава експериментално установената зависимост:

„I=U/R“,
където `I` - сила на тока; `R` - съпротивление; `U` - напрежение.

В този случай `y_i` е измерената стойност на тока, а `x_i` е стойността на напрежението.

Като друг пример, помислете за абсорбцията на светлина от разтвор на вещество в разтвор. Химията ни дава формулата:

`A = εl C`,
където "А" е оптичната плътност на разтвора; `ε` - пропускливост на разтворено вещество; `l` - дължина на пътя при преминаване на светлината през кювета с разтвор; `C` е концентрацията на разтвореното вещество.

В този случай `y_i` е измерената оптична плътност `A`, а `x_i` е концентрацията на веществото, която задаваме.

Ще разгледаме случая, когато относителната грешка при задаване на `x_i` е много по-малка от относителната грешка при измерване на `y_i`. Ще приемем също, че всички измерени стойности на `y_i` са произволни и нормално разпределени, т.е. се подчиняват на нормалния закон за разпределение.

В случай на линейна зависимост на `y` от `x`, можем да запишем теоретичната зависимост:
`y = a + bx`.

От геометрична гледна точка коефициентът `b` означава тангенса на ъгъла на наклона на правата към оста `x`, а коефициентът `a` - стойността на `y` в точката на пресичане на линия с оста „y“ (за „x = 0“).

Намиране на параметрите на регресионната права.

При експеримент измерените стойности на `y_i` не могат да лежат точно на теоретичната линия поради грешки в измерването, които винаги са присъщи на реалния живот. Следователно линейното уравнение трябва да бъде представено чрез система от уравнения:
`y_i = a + b x_i + ε_i` (1),
където `ε_i` е неизвестната грешка на измерване на `y` в `i`-ия експеримент.

Зависимостта (1) се нарича още регресия, т.е. зависимостта на двете величини една от друга със статистическа значимост.

Задачата за възстановяване на зависимостта е да се намерят коефициентите `a` и `b` от експерименталните точки [`y_i`, `x_i`].

За намиране на коефициентите `a` и `b` обикновено се използват метод на най-малките квадрати(MNK). Това е специален случай на принципа на максималната вероятност.

Нека пренапишем (1) като `ε_i = y_i - a - b x_i`.

Тогава сумата от квадратите на грешките ще бъде
`Φ = сума_(i=1)^(n) ε_i^2 = сума_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2`. (2)

Принципът на метода на най-малките квадрати е да се минимизира сумата (2) по отношение на параметрите `a` и `b`.

Минимумът се достига, когато частните производни на сумата (2) по отношение на коефициентите `a` и `b` са равни на нула:
`frac(partial Φ)(partial a) = frac(partial sum_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(partial a) = 0`
`frac(partial Φ)(partial b) = frac(partial sum_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(partial b) = 0`

Разширявайки производните, получаваме система от две уравнения с две неизвестни:
`сума_(i=1)^(n) (2a + 2bx_i - 2y_i) = сума_(i=1)^(n) (a + bx_i - y_i) = 0`
`сума_(i=1)^(n) (2bx_i^2 + 2ax_i - 2x_iy_i) = сума_(i=1)^(n) (bx_i^2 + ax_i - x_iy_i) = 0`

Отваряме скобите и прехвърляме сумите, независими от желаните коефициенти, към другата половина, получаваме система от линейни уравнения:
`сума_(i=1)^(n) y_i = a n + b сума_(i=1)^(n) bx_i`
`сума_(i=1)^(n) x_iy_i = сума_(i=1)^(n) x_i + b сума_(i=1)^(n) x_i^2`

Решавайки получената система, намираме формули за коефициентите `a` и `b`:

`a = frac(sum_(i=1)^(n) y_i sum_(i=1)^(n) x_i^2 - sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n ) x_iy_i) (n сума_(i=1)^(n) x_i^2 — (сума_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.1)

`b = frac(n сума_(i=1)^(n) x_iy_i - сума_(i=1)^(n) x_i сума_(i=1)^(n) y_i) (n сума_(i=1)^ (n) x_i^2 - (sum_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.2)

Тези формули имат решения, когато `n > 1` (линията може да бъде начертана с помощта на поне 2 точки) и когато детерминантата `D = n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i= 1 )^(n) x_i)^2 != 0`, т.е. когато точките `x_i` в експеримента са различни (т.е. когато линията не е вертикална).

Оценка на грешките в коефициентите на регресионната линия

За по-точна оценка на грешката при изчисляване на коефициентите `a` и `b` е желателно голям брой експериментални точки. Когато `n = 2`, е невъзможно да се оцени грешката на коефициентите, т.к апроксимиращата права еднозначно ще минава през две точки.

Определя се грешката на случайната величина `V` закон за натрупване на грешки
`S_V^2 = сума_(i=1)^p (frac(частично f)(частично z_i))^2 S_(z_i)^2`,
където `p` е броят параметри `z_i` с грешка `S_(z_i)`, които засягат грешката `S_V`;
„f“ е функция на зависимост на „V“ от „z_i“.

Да напишем закона за натрупване на грешки за грешката на коефициентите `a` и `b`
`S_a^2 = сума_(i=1)^(n)(frac(частично a)(частично y_i))^2 S_(y_i)^2 + сума_(i=1)^(n)(frac(частично a )(частично x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 сума_(i=1)^(n)(frac(частично a)(частично y_i))^2 `,
`S_b^2 = сума_(i=1)^(n)(frac(частично b)(частично y_i))^2 S_(y_i)^2 + сума_(i=1)^(n)(frac(частично b )(частично x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 сума_(i=1)^(n)(frac(частично b)(частично y_i))^2 `,
защото `S_(x_i)^2 = 0` (преди това направихме уговорка, че грешката на `x` е незначителна).

`S_y^2 = S_(y_i)^2` - грешката (дисперсия, квадратно стандартно отклонение) в измерението `y`, като се приема, че грешката е еднаква за всички `y` стойности.

Замествайки формулите за изчисляване на `a` и `b` в получените изрази, получаваме

`S_a^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (sum_(i=1)^(n) x_i^2 - x_i sum_(i=1)^(n) x_i)^2 ) (D^2) = S_y^2 frac((n сума_(i=1)^(n) x_i^2 - (сума_(i=1)^(n) x_i)^2) сума_(i=1) ^(n) x_i^2) (D^2) = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) x_i^2) (D)` (4.1)

`S_b^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (n x_i - sum_(i=1)^(n) x_i)^2) (D^2) = S_y^2 frac( n (n сума_(i=1)^(n) x_i^2 - (сума_(i=1)^(n) x_i)^2)) (D^2) = S_y^2 frac(n) (D) ` (4.2)

В повечето реални експерименти стойността на „Sy“ не се измерва. За да направите това, е необходимо да се извършат няколко паралелни измервания (експерименти) в една или няколко точки от плана, което увеличава времето (и евентуално цената) на експеримента. Следователно обикновено се приема, че отклонението на `y` от регресионната линия може да се счита за случайно. Оценката на дисперсията `y` в този случай се изчислява по формулата.

`S_y^2 = S_(y, почивка)^2 = frac(sum_(i=1)^n (y_i - a - b x_i)^2) (n-2)`.

Делителят `n-2` се появява, защото сме намалили броя на степените на свобода поради изчисляването на два коефициента за една и съща извадка от експериментални данни.

Тази оценка се нарича още остатъчна дисперсия спрямо линията на регресия „S_(y, почивка)^2“.

Оценката на значимостта на коефициентите се извършва по критерия на Стюдънт

`t_a = frac(|a|) (S_a)`, `t_b = frac(|b|) (S_b)`

Ако изчислените критерии `t_a`, `t_b` са по-малки от критериите на таблицата `t(P, n-2)`, тогава се счита, че съответният коефициент не се различава значително от нула с дадена вероятност `P`.

За да оцените качеството на описанието на линейна връзка, можете да сравните „S_(y, rest)^2“ и „S_(bar y)“ спрямо средната стойност, като използвате критерия на Фишер.

`S_(bar y) = frac(sum_(i=1)^n (y_i - bar y)^2) (n-1) = frac(sum_(i=1)^n (y_i - (sum_(i= 1)^n y_i) /n)^2) (n-1)` - примерна оценка на дисперсията на `y` спрямо средната стойност.

За да се оцени ефективността на регресионното уравнение за описание на зависимостта, се изчислява коефициентът на Фишер
`F = S_(лента y) / S_(y, почивка)^2`,
който се сравнява с табличния коефициент на Фишер `F(p, n-1, n-2)`.

Ако `F > F(P, n-1, n-2)`, разликата между описанието на зависимостта `y = f(x)` с помощта на регресионното уравнение и описанието с помощта на средната стойност се счита за статистически значима с вероятност „П“. Тези. регресията описва зависимостта по-добре от разпространението на `y` около средната стойност.

Кликнете върху графиката
за добавяне на стойности към таблицата

Метод на най-малките квадрати. Методът на най-малките квадрати означава определяне на неизвестни параметри a, b, c, приетата функционална зависимост

Методът на най-малките квадрати означава определяне на неизвестни параметри а, б, в,…приета функционална зависимост

y = f(x,a,b,c,…),

което би осигурило минимум от средния квадрат (дисперсия) на грешката

, (24)

където x i , y i - набор от двойки числа, получени от експеримента.

Тъй като условието за екстремума на функция на няколко променливи е условието нейните частни производни да са равни на нула, тогава параметрите а, б, в,…се определят от системата от уравнения:

; ; ; … (25)

Трябва да се помни, че методът на най-малките квадрати се използва за избор на параметри след формата на функцията y = f(x)дефинирани.

Ако от теоретични съображения е невъзможно да се направят каквито и да било заключения за това каква трябва да бъде емпиричната формула, тогава трябва да се ръководите от визуални представяния, предимно графично представяне на наблюдаваните данни.

На практика най-често се ограничава до следните видове функции:

1) линеен ;

2) квадратно a .

• урок

Въведение

Аз съм компютърен програмист. Направих най-големия скок в кариерата си, когато се научих да казвам: "Не разбирам нищо!"Сега не ме е срам да кажа на светилото на науката, че ми изнася лекция, че не разбирам за какво ми говори то, светилото. И е много трудно. Да, трудно и неудобно е да признаеш, че не знаеш. Който обича да признава, че не знае основите на нещо-там. По силата на професията ми се налага да посещавам голям брой презентации и лекции, където, признавам си, в по-голямата част от случаите ми се спи, защото нищо не разбирам. И не разбирам, защото огромният проблем на настоящата ситуация в науката се крие в математиката. Предполага се, че всички ученици са запознати с абсолютно всички области на математиката (което е абсурдно). Да признаеш, че не знаеш какво е производно (че това е малко по-късно) е срамота.

Но се научих да казвам, че не знам какво е умножение. Да, не знам какво е подалгебра върху алгебра на Лъжа. Да, не знам защо са необходими квадратни уравнения в живота. Между другото, ако сте сигурни, че знаете, тогава имаме за какво да говорим! Математиката е поредица от трикове. Математиците се опитват да объркат и сплашат обществеността; където няма объркване, няма репутация, няма авторитет. Да, престижно е да се говори на възможно най-абстрактен език, което само по себе си е пълна глупост.

Знаете ли какво е производно? Най-вероятно ще ми кажете за границата на отношението на разликата. В първата година по математика в Санкт Петербургския държавен университет Виктор Петрович Хавин ме дефиниранипроизводна като коефициент на първия член от реда на Тейлър на функцията в точката (това беше отделна гимнастика да се определи редът на Тейлър без производни). Дълго се смях на това определение, докато накрая разбрах за какво става дума. Производната не е нищо повече от просто мярка за това доколко функцията, която диференцираме, е подобна на функцията y=x, y=x^2, y=x^3.

Сега имам честта да изнасям лекции на студенти, които страхматематика. Ако те е страх от математиката - ние сме на път. Щом се опитате да прочетете някакъв текст и ви се струва, че е прекалено сложен, знайте, че е лошо написан. Твърдя, че няма нито една област на математиката, за която не може да се говори "на пръсти", без да се губи точност.

Предизвикателството за близкото бъдеще: Инструктирах моите ученици да разберат какво е линейно-квадратичен контролер. Не се срамувайте, губете три минути от живота си, последвайте връзката. Ако не разбирате нищо, значи сме на път. Аз (професионален математик-програмист) също нищо не разбрах. И уверявам ви, това може да се реши "на пръсти". В момента не знам какво е, но ви уверявам, че ще успеем да го разберем.

И така, първата лекция, която ще изнеса на моите студенти, след като те дотичаха при мен ужасени с думите, че линейно-квадратичният контролер е ужасен бъг, който никога няма да овладеете в живота си, е методи на най-малките квадрати. Можете ли да решавате линейни уравнения? Ако четете този текст, най-вероятно не.

И така, при дадени две точки (x0, y0), (x1, y1), например (1,1) и (3,2), задачата е да се намери уравнението на права линия, минаваща през тези две точки:

илюстрация

Тази права линия трябва да има уравнение като следното:

Тук алфа и бета са неизвестни за нас, но две точки от тази линия са известни:

Можете да напишете това уравнение в матрична форма:

Тук трябва да направим едно лирично отклонение: какво е матрица? Матрицата не е нищо друго освен двуизмерен масив. Това е начин за съхраняване на данни, не трябва да му се дават повече стойности. От нас зависи как точно да интерпретираме дадена матрица. Периодично ще го интерпретирам като линейно картографиране, периодично като квадратна форма, а понякога просто като набор от вектори. Всичко това ще бъде изяснено в контекста.

Нека заменим конкретни матрици с тяхното символно представяне:

Тогава (алфа, бета) могат лесно да бъдат намерени:

По-конкретно за нашите предишни данни:

Което води до следното уравнение на права линия, минаваща през точките (1,1) и (3,2):

Добре, тук всичко е ясно. И нека намерим уравнението на права линия, минаваща през нея триточки: (x0,y0), (x1,y1) и (x2,y2):

О-о-о, но имаме три уравнения за две неизвестни! Стандартният математик ще каже, че няма решение. Какво ще каже програмистът? И той първо ще пренапише предишната система от уравнения в следната форма:

В нашия случай векторите i, j, b са триизмерни, следователно (в общия случай) няма решение на тази система. Всеки вектор (алфа\*i + бета\*j) лежи в равнината, обхваната от векторите (i, j). Ако b не принадлежи на тази равнина, тогава няма решение (не може да се постигне равенство в уравнението). Какво да правя? Да потърсим компромис. Нека означим с e(алфа, бета)как точно не постигнахме равенство:

И ние ще се опитаме да минимизираме тази грешка:

Защо квадрат?

Ние търсим не просто минимума на нормата, а минимума на квадрата на нормата. Защо? Самата минимална точка съвпада, а квадратът дава гладка функция (квадратична функция на аргументите (алфа,бета)), докато само дължината дава функция под формата на конус, недиференцируема в минималната точка. брр. Квадратът е по-удобен.

Очевидно грешката е сведена до минимум, когато векторът дортогонална на равнината, обхваната от векторите ази й.

Илюстрация

С други думи: търсим права, така че сумата от квадратите на дължините на разстоянията от всички точки до тази права да е минимална:

АКТУАЛИЗАЦИЯ: тук имам проблем, разстоянието до линията трябва да се измерва вертикално, а не ортографска проекция. Този коментатор е прав.

Илюстрация

С напълно различни думи (внимателно, зле формализирани, но трябва да е ясно на пръстите): вземаме всички възможни линии между всички двойки точки и търсим средната линия между всички:

Илюстрация

Друго обяснение на пръстите: прикрепяме пружина между всички точки от данни (тук имаме три) и линията, която търсим, и линията на равновесното състояние е точно това, което търсим.

Квадратична форма минимум

И така, даден вектор bи равнината, обхваната от колоните-вектори на матрицата А(в този случай (x0,x1,x2) и (1,1,1)), ние търсим вектор дс минимална квадратна дължина. Очевидно минимумът е постижим само за вектора д, ортогонална на равнината, обхваната от колоните-вектори на матрицата А:

С други думи, ние търсим вектор x=(алфа, бета), така че:

Напомням ви, че този вектор x=(алфа, бета) е минимумът на квадратичната функция ||e(алфа, бета)||^2:

Тук е полезно да запомните, че матрицата може да се интерпретира, както и квадратната форма, например матрицата на идентичност ((1,0),(0,1)) може да се интерпретира като функция от x^2 + y ^2:

квадратна форма

Цялата тази гимнастика е известна като линейна регресия.

Уравнение на Лаплас с гранично условие на Дирихле

Сега най-простият реален проблем: има определена триъгълна повърхност, необходимо е да я изгладите. Например, нека заредим моя модел на лице:

Оригиналният ангажимент е наличен. За да минимизирам външните зависимости, взех кода на моя софтуерен рендер, който вече е на Habré. За решаване на линейната система използвам OpenNL, това е чудесен софтуер за решаване, но е много труден за инсталиране: трябва да копирате два файла (.h + .c) в папката на вашия проект. Цялото изглаждане се извършва от следния код:

За (int d=0; d<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; i&лице = лица[i]; за (int j=0; j<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

Координатите X, Y и Z са разделими, изглаждам ги отделно. Тоест, решавам три системи от линейни уравнения, всяка със същия брой променливи като броя на върховете в моя модел. Първите n реда на матрица A имат само едно 1 на ред, а първите n реда на вектор b имат оригинални координати на модела. Това означава, че свързвам новата позиция на върха и старата позиция на върха - новите не трябва да са твърде далеч от старите.

Всички следващи редове на матрица A (faces.size()*3 = броят на ръбовете на всички триъгълници в мрежата) имат едно появяване на 1 и едно появяване на -1, докато векторът b има нулеви противоположни компоненти. Това означава, че поставям пружина на всеки ръб на нашата триъгълна мрежа: всички ръбове се опитват да получат същия връх като техните начална и крайна точка.

Още веднъж: всички върхове са променливи и не могат да се отклонят далеч от първоначалната си позиция, но в същото време се опитват да станат подобни един на друг.

Ето резултата:

Всичко би било наред, моделът наистина е изгладен, но се отдалечи от първоначалния си ръб. Нека променим малко кода:

За (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

В нашата матрица A, за върховете, които са на ръба, добавям не ред от категорията v_i = verts[i][d], а 1000*v_i = 1000*verts[i][d]. Какво променя? И това променя нашата квадратична форма на грешката. Сега едно отклонение от върха на ръба ще струва не една единица, както преди, а 1000 * 1000 единици. Тоест, окачихме по-силна пружина на крайните върхове, решението предпочита да опъне други по-силно. Ето резултата:

Нека удвоим силата на пружините между върховете:
nlКоефициент(лице[j], 2); nlКоефициент(лице[(j+1)%3], -2);

Логично е, че повърхността е станала по-гладка:

И сега дори сто пъти по-силен:

Какво е това? Представете си, че сме потопили телеен пръстен в сапунена вода. В резултат на това полученият сапунен филм ще се опита да има възможно най-малко кривина, докосвайки същата граница - нашия телеен пръстен. Точно това получихме, като фиксирахме границата и поискахме гладка повърхност отвътре. Поздравления, току-що решихме уравнението на Лаплас с гранични условия на Дирихле. Звучи яко? Но всъщност трябва да се реши само една система от линейни уравнения.

Уравнение на Поасон

Нека имаме още едно готино име.

Да приемем, че имам изображение като това:

Всички са добри, но столът не ми харесва.

Нарязах снимката наполовина:

И ще избера стол с ръцете си:

След това ще плъзна всичко, което е бяло в маската в лявата страна на картината, като в същото време ще кажа в цялата картина, че разликата между два съседни пиксела трябва да е равна на разликата между два съседни пиксела на дясно изображение:

За (int i=0; i

Ето резултата:

Налични са код и снимки

Метод на най-малките квадрати

Метод на най-малките квадрати ( MNK, OLS, обикновени най-малки квадрати) - един от основните методи регресионен анализза оценка на неизвестни параметри на регресионни модели от примерни данни. Методът се основава на минимизиране на сумата от квадратите на регресионните остатъци.

Трябва да се отбележи, че самият метод на най-малките квадрати може да се нарече метод за решаване на проблем във всяка област, ако решението се състои от или удовлетворява определен критерий за минимизиране на сумата от квадратите на някои функции на неизвестните променливи. Следователно методът на най-малките квадрати може да се използва и за приблизително представяне (апроксимация) на дадена функция от други (по-прости) функции, когато се намира набор от величини, които отговарят на уравнения или ограничения, чийто брой надвишава броя на тези величини и т.н.

Същността на МНК

Нека някакъв (параметричен) модел на вероятностна (регресионна) зависимост между (обяснената) променлива ги много фактори (обяснителни променливи) х

където е векторът на неизвестните параметри на модела

- Случайна грешка в модела.

Нека има и примерни наблюдения на стойностите на посочените променливи. Нека е номерът на наблюдение (). След това са стойностите на променливите в -тото наблюдение. След това, за дадени стойности на параметрите b, е възможно да се изчислят теоретичните (моделни) стойности на обяснената променлива y:

Стойността на остатъците зависи от стойностите на параметрите b.

Същността на LSM (обикновен, класически) е да се намерят такива параметри b, за които сумата от квадратите на остатъците ( Английски Остатъчен сбор от квадрати) ще бъде минимален:

В общия случай този проблем може да бъде решен чрез числени методи за оптимизация (минимизация). В този случай се говори за нелинейни най-малки квадрати(NLS или NLLS - Английски Нелинейни най-малки квадрати). В много случаи може да се получи аналитично решение. За да се реши задачата за минимизиране, е необходимо да се намерят стационарните точки на функцията чрез диференцирането й по отношение на неизвестните параметри b, приравняването на производните към нула и решаването на получената система от уравнения:

Ако има случайни грешки в модела нормална дистрибуция, имат еднаква дисперсия и не са корелирани помежду си, оценките на най-малките квадрати на параметрите съвпадат с оценките метод на максимална вероятност (MLM).

MNC в случай линеен модел

Нека регресионната зависимост е линейна:

Позволявам г- колонен вектор на наблюденията на обяснената променлива и - матрица на наблюденията на факторите (редове на матрицата - вектори на стойностите на факторите в дадено наблюдение, по колони - вектор на стойностите на даден фактор във всички наблюдения) . Матрично представянелинеен модел има формата:

Тогава векторът на оценките на обяснената променлива и векторът на регресионните остатъци ще бъдат равни на

съответно сумата от квадратите на регресионните остатъци ще бъде равна на

Диференцирайки тази функция по отношение на вектора на параметъра и приравнявайки производните на нула, получаваме система от уравнения (в матрична форма):

.

Решението на тази система от уравнения дава общата формула за оценки на най-малките квадрати за линейния модел:

За аналитични цели последното представяне на тази формула се оказва полезно. Ако данните в регресионния модел центриран, тогава в това представяне първата матрица има значението на примерната ковариационна матрица на факторите, а втората е векторът на ковариациите на факторите със зависима променлива. Ако в допълнение данните също са нормализиранв SKO (тоест в крайна сметка стандартизиран), тогава първата матрица има значението на извадковата корелационна матрица на факторите, вторият вектор - векторът на извадковите корелации на факторите със зависимата променлива.

Важно свойство на оценките на LLS за модели с константа- линията на построената регресия минава през центъра на тежестта на извадковите данни, т.е. равенството е изпълнено:

По-специално, в краен случай, когато единственият регресор е константа, откриваме, че OLS оценката на единичен параметър (самата константа) е равна на средната стойност на променливата, която се обяснява. Тоест средната аритметична стойност, известна с добрите си свойства от законите на големите числа, също е оценка на най-малките квадрати - тя удовлетворява критерия за минимална сума на квадратите на отклонения от нея.

Пример: проста (по двойки) регресия

В случай на сдвоена линейна регресия, формулите за изчисление са опростени (можете да правите без матрична алгебра):

Свойства на оценките на OLS

На първо място, отбелязваме, че за линейните модели оценките на най-малките квадрати са линейни оценки, както следва от горната формула. За безпристрастност OLS оценките са необходими и достатъчни за изпълнение на най-важното условие регресионен анализ: зависи от фактори очаквана стойностслучайната грешка трябва да е нула. Това условие е изпълнено, по-специално, ако

1. математическото очакване на случайни грешки е нула и
2. факторите и случайните грешки са независими случайни променливи.

Основно е второто условие – състоянието на екзогенни фактори. Ако това свойство не е изпълнено, тогава можем да предположим, че почти всички оценки ще бъдат изключително незадоволителни: те дори няма да богат(тоест дори много голямо количество данни не позволява получаването на качествени оценки в този случай). В класическия случай се прави по-силно предположение за детерминизма на факторите, за разлика от случайната грешка, което автоматично означава, че екзогенното условие е изпълнено. В общия случай за съгласуваност на оценките е достатъчно да се изпълни условието за екзогенност заедно с конвергенцията на матрицата към някаква неособена матрица с увеличаване на размера на извадката до безкрайност.

За да освен платежоспособност и безпристрастност, оценките на (обикновения) LSM също са ефективни (най-добрите в класа на линейните непредубедени оценки), е необходимо да се изпълнят допълнителни свойства на случайната грешка:

Тези предположения могат да бъдат формулирани за ковариационна матрицавектори на случайни грешки

Линеен модел, който отговаря на тези условия, се нарича класически. OLS оценките за класическа линейна регресия са безпристрастен , богати повечето ефективеноценки в класа на всички линейни безпристрастни оценки (в англоезичната литература понякога се използва съкращението син (Най-добрият линеен небазиран оценител) е най-добрата линейна безпристрастна оценка; в местната литература по-често се цитира теоремата на Гаус-Марков). Както е лесно да се покаже, ковариационната матрица на вектора на оценките на коефициента ще бъде равна на:

Обобщени най-малки квадрати

Методът на най-малките квадрати позволява широко обобщение. Вместо да се минимизира сумата от квадрати на остатъците, може да се минимизира някаква положително определена квадратна форма на остатъчния вектор, където е някаква симетрична положително определена матрица на тегло. Обикновените най-малки квадрати са специален случай на този подход, когато матрицата на теглото е пропорционална на матрицата на идентичността. Както е известно от теорията на симетричните матрици (или оператори), за такива матрици има декомпозиция. Следователно посоченият функционал може да бъде представен по следния начин, тоест този функционал може да бъде представен като сбор от квадратите на някои трансформирани "остатъци". По този начин можем да разграничим клас от методи на най-малките квадрати - LS-методи (Least Squares).

Доказва се (теорема на Ейткен), че за обобщен линеен регресионен модел (в който не се налагат ограничения върху ковариационната матрица на случайните грешки), най-ефективни (в класа на линейните непредубедени оценки) са оценките на т.нар. обобщени OLS (OMNK, GLS - обобщени най-малки квадрати)- LS-метод с тегловна матрица, равна на обратната ковариационна матрица на случайните грешки: .

Може да се покаже, че формулата за GLS-оценките на параметрите на линейния модел има формата

Ковариационната матрица на тези оценки съответно ще бъде равна на

Всъщност същността на OLS се състои в определена (линейна) трансформация (P) на оригиналните данни и прилагането на обичайните най-малки квадрати към трансформираните данни. Целта на тази трансформация е, че за трансформираните данни случайните грешки вече отговарят на класическите допускания.

Претеглени най-малки квадрати

В случай на диагонална матрица на тегло (и оттам ковариационната матрица на случайните грешки) имаме така наречените претеглени най-малки квадрати (WLS - Weighted Least Squares). В този случай претеглената сума от квадрати на остатъците на модела е сведена до минимум, т.е. всяко наблюдение получава "тегло", което е обратно пропорционално на дисперсията на случайната грешка в това наблюдение: . Всъщност данните се трансформират чрез претегляне на наблюденията (разделяне на количество, пропорционално на приетото стандартно отклонение на случайните грешки), а нормалните най-малки квадрати се прилагат към претеглените данни.

Някои частни случаи на приложение на LSM в практиката

Приближениелинейна зависимост

Помислете за случая, когато в резултат на изучаване зависимостинякои скаларенколичество върху някаква скаларна величина (Това може да бъде например зависимостта волтажот сила на тока: , където е постоянна стойност, съпротива диригент) беше извършено измерваниятези количества, в резултат на което са получени стойностите и съответните стойности. Данните от измерванията трябва да се записват в таблица.

Таблица. Резултати от измерването.

номер на измерване
1
2
3
4
5
6

Въпросът е: какъв е смисълът коефициентмогат да бъдат избрани, за да опишат най-добре зависимостта? Според най-малките квадрати тази стойност трябва да бъде такава, че сумата квадратиотклонения на стойностите от стойностите

беше минимален

Сборът на квадратите на отклоненията има едно екстремуме минимумът, който ни позволява да използваме това формула. Нека намерим стойността на коефициента от тази формула. За да направим това, трансформираме лявата му страна, както следва:

Последната формула ни позволява да намерим стойността на коефициента , която беше необходима в задачата.

История

До началото на XIX век. учените нямат определени правила за вземане на решение системи от уравнения, в които броят на неизвестните е по-малък от броя на уравненията; Дотогава се използваха определени методи, в зависимост от вида на уравненията и от изобретателността на калкулаторите, и следователно различните калкулатори, започвайки от едни и същи данни от наблюдения, стигаха до различни заключения. Гаус(1795) принадлежи към първото приложение на метода и Лежандр(1805) независимо го открива и публикува под съвременното заглавие ( фр. Methode des moindres quarres ) . Лаплассвързан метод с теория на вероятностите, а американският математик Адрейн (1808) разглежда неговите вероятностни приложения. Методът е широко разпространен и подобрен с по-нататъшни изследвания Енке , Бесел, Хансен и др.

Алтернативно използване на MNC

Идеята за метода на най-малките квадрати може да се използва и в други случаи, които не са пряко свързани с регресионния анализ. Факт е, че сумата от квадрати е една от най-често срещаните мерки за близост за вектори (Евклидова метрика в крайномерни пространства).

Едно приложение е „решаване“ на системи от линейни уравнения, в които броят на уравненията е по-голям от броя на променливите

където матрицата не е квадратна, а правоъгълна.

Такава система от уравнения в общия случай няма решение (ако рангът действително е по-голям от броя на променливите). Следователно тази система може да бъде "решена" само в смисъл на избор на такъв вектор, за да се минимизира "разстоянието" между векторите и . За да направите това, можете да приложите критерия за минимизиране на сумата от квадратите на разликите на лявата и дясната част на уравненията на системата, т.е. Лесно е да се покаже, че решението на този проблем за минимизиране води до решението на следната система от уравнения