Въведение

Всички раздели на дескриптивната геометрия използват един и същ метод - методът на проекцията, следователно чертежите, използвани не само в дескриптивната геометрия, се наричат проекционни чертежи.

Методът на проекция се състои в това, че всяка точка от множеството точки в пространството може да бъде проектирана с помощта на прожектиращи лъчи върху всяка повърхност. За да направите това, представете си дадена повърхност (фиг. 1) и точка НОв космоса. При провеждане на лъч Спрез точка НОпо посока на повърхността, последната ще я пресича в точка НОедин . точка НОНаречен проектирана точка. Равнината α, върху която се получава проекцията, се нарича проекционна равнина. Пресечната точка на лъча с равнината се нарича проекция на точката НО. Направо НОНО 1 (греда), т.нар стърчащ лъч.

Фиг. 1.

Методът на централната (конична или полярна) проекция се основава на факта, че при проектиране върху равнина серия от точки ( НО, б, ° Си т.н.) всички проектиращи лъчи минават през една точка, т.нар прожекционен център, или полюс.

Представете си триъгълник в пространството ABCи проектиращи лъчи, преминаващи през даден полюс Си чрез точки ABCтриъгълници, начертани до пресечната точка с равнината α. Триъгълник НО 1 б 1 ° С 1 ще бъде централната проекция на триъгълника ABC(фиг. 2).

Методът на централната проекция не отговаря на редица условия, необходими за технически чертеж, а именно: не дава еднообразно изображение, пълна яснота на всички геометрични форми, няма четливост, няма простота на изображението.

Методът на паралелна (наклонена) проекция е, че всички проектиращи лъчи, преминаващи през точките на триъгълника ABC, ще бъдат успоредни един на друг (фиг. 3). Този метод следва от метода на централната проекция, докато полюсът трябва да бъде отстранен на безкрайно разстояние от равнината, върху която се проектира обектът.

Ортогонален (правоъгълен) метод на проекция - метод, когато проектиращите лъчи са успоредни един на друг и перпендикулярни на проекционната равнина (фиг. 4). Този метод е частен случай на паралелна проекция.

По този начин всяка точка в пространството може да бъде проектирана върху проекционната равнина: върху хоризонталната P 1, фронталната P 2 и профила P 3 . Означава се хоризонталната проекция на точка НО 1 или НО′, челен НО 2 или НО″ профил НО 3 или НО′” (фиг. 5).

Паралелната проекция може да се разглежда като специален случай на централна проекция.

Ако центърът на проекциите в централния проекционен апарат се премести до безкрайност, тогава проектиращите лъчи могат да се считат за успоредни. Следователно паралелният проекционен апарат се състои от проекционната равнина P и посоката R. При централна проекция проектиращите лъчи излизат от една точка, а при успоредна проекция те са успоредни един на друг.

В зависимост от посоката на проекционните лъчи паралелната проекция може да бъде наклонена, когато проекционните лъчи са наклонени към проекционната равнина, и правоъгълна (ортогонална), когато проекционните лъчи са перпендикулярни на проекционната равнина.

Помислете за пример за наклонена успоредна проекция.

Построяваме успоредна проекция A1B1 на отсечката AB, върху равнината P1, за дадено направление на проекция P, а не P1. За целта е необходимо да се начертаят проектиращи прави през точките A и B, успоредни на посоката на проекцията P. Когато проектиращите прави се пресичат с равнината P1, ще се получат успоредни проекции A1 и B1 на точки A и B. Чрез свързване успоредните проекции A1 и B1, получаваме успоредна проекция A1B1 на отсечката AB.

По същия начин е възможно да се построи успоредна проекция А1В1С1D1 на четириъгълника ABCD върху равнината P1, като дадена посока на проекция P не е перпендикулярна на P1.

За да направите това, е необходимо да начертаете проектиращи линии през точки A, B, C, D, успоредни на посоката на проекция P. Когато проектиращите линии се пресичат с равнината P1, успоредни проекции A1, B1, C1, D1 на точки Ще се получат A, B, C, D. Като съединим успоредните проекции A1, B1, C1, D1 получаваме успоредна проекция A1B1C1D1 на четириъгълника ABCD.

Свойства на проекциите при паралелна проекция:

Първите шест свойства на централната проекция са валидни и за паралелна проекция. Изброяваме още няколко свойства, присъщи на паралелната проекция:

1. Проекциите на успоредни прави са успоредни.

От фигурата се вижда, че линиите AA 1, BB 1, SS 1и DD 1образуват две успоредни равнини аи b. Тези две равнини се пресичат П 1. Следователно, линиите на тяхното пресичане A 1 B 1и C 1 D 1ще бъде успореден.

2. Ако точката дели дължината на отсечката спрямо m:n, тогава проекцията на тази точка дели дължината на проекцията на отсечката в същото отношение.

Нека точката ОТпринадлежи към сегмента AB, и |AC| : |CB| = 2:1. Нека изградим паралелна проекция A 1 B 1сегмент AB. Точка от 1 A 1 B 1. Да похарчим AC' || A 1 C 1и CB' || C 1 B 1, получаваме два подобни триъгълника ACC'и CBB'. От тяхното сходство следва пропорционалността на страните: |AC| : |CB| = |AC'| : |CB'|, но |CB'| = |С1В1|, а |AC'| = |А 1 C 1 |, следователно |AC| : |CB| = |A 1 C 1 | : |C 1 B 1 |.

3. Плоска фигура, успоредна на проекционната равнина, се проектира без изкривяване.

Да вземем триъгълник ABCи го проектирайте върху две успоредни проекционни равнини P 1 ‘и П 1. Тъй като дължините на отсечките са равни |A 1 A 1 '| = |B 1 B 1 ‘| = |C 1 C 1 ‘|и сегментите са успоредни, тогава четириъгълниците A 1 A 1 „B 1 B 1“, B 1 B 1 „C 1 C 1“, C 1 C 1 „A 1 A 1“са успоредници. Следователно противоположните им страни са равни по дължина. | A 1 B 1 | = | A 1 ‘B 1 ‘|, | B 1 C 1 | = |B 1 ‘C 1 ‘|, |A 1 C 1 | = |A 1 ‘C 1 ‘|, така че триъгълниците са еднакви.

По същия начин, същото може да се докаже за всяка друга плоска фигура. Паралелната проекция, за разлика от централната, има по-малко яснота, но осигурява лекота на конструиране и по-голяма връзка с оригинала.

Паралелна проекция(фиг. 1.6) може да се разглежда като специален случай на централна проекция, при която проекционният център е отстранен до безкрайност ( С∞). При паралелна проекция се използват успоредни проектиращи линии, начертани в дадена посока спрямо проекционната равнина

ции. Ако посоката на проекцията е перпендикулярна на равнината на проекцията, тогава проекциите се наричат ​​правоъгълни или ортогонални. в други случаи - наклонени (на фиг. 1.6 посоката на проекцията е обозначена със стрелка под ъгъл спрямо равнината на проекцията).

Паралелната проекция запазва всички свойства на централната проекция и също така въвежда следните нови свойства.

1. Паралелните проекции на взаимно успоредни прави са успоредни, а съотношението на дължините на сегментите на такива линии е равно на съотношението на дължините на техните проекции.

Ако прав MNи KL(фиг. 1.7) са успоредни, тогава проектиращите равнини и са успоредни, тъй като пресичащите се прави в тези равнини са взаимно успоредни: - по условие,

Следователно проекциите и са успоредни като пресечните линии на успоредните равнини p и y с равнината l.

Забележка на права линия MNпроизволен сегмент А Би по права линия KLпроизволен сегмент CD.Начертайте в равнината p през точката НОправа и в равнината y през точка C правата C - . Сегменти като сегменти на паралел между паралелни. Сегменти и следователно, . Отсечки, тъй като всичките им страни са взаимно успоредни. От подобието на триъгълниците следва:

От разгледаното следва:

а) ако дължината на сегмент от права линия е разделена на точка в произволно съотношение, тогава дължината на проекцията на сегмента е разделена на проекцията на тази точка в същото съотношение (фиг. 1.8):

б) проекциите на отсечки от еднакви по дължина взаимно успоредни прави са взаимно успоредни и еднакви по дължина.

Това е очевидно, тъй като (виж фиг. 1.7) при ще бъде . Следователно при наклонена проекция в общия случай успоредник, ромб, правоъгълник, квадрат се проектират в успоредник.

• 2. Плоска фигура, успоредна на равнината на проекциите, се проектира по време на успоредна проекция върху тази равнина в същата фигура.
• 3. Паралелното пренасяне на фигура в пространството или в равнината на проекциите не променя вида и размера на проекцията на фигурата.

Паралелните проекции, като централните с един проекционен център, също не осигуряват обратимост на чертежа.

Използвайки методите за паралелно проектиране на точка и права, е възможно да се изградят паралелни проекции на повърхност и тяло.

Паралелните проекции се използват за изграждане на визуални изображения на различни технически устройства и техните детайли.

Правоъгълна (ортогонална) проекция

Специален случай на успоредна проекция, при който посоката на проекцията е перпендикулярна на проекционната равнина, се нарича правоъгъленили ортогонална проекция. Правоъгълната (ортогонална) проекция на точка е основата на перпендикуляра, прекаран от точката към проекционната равнина. Правоъгълна проекция д 0 точки дпоказано на фиг. 1.9.

Наред със свойствата на успоредните (косите) проекции ортогоналната проекция има следното свойство: ортогоналните проекции на две взаимно перпендикулярни прави, едната от които е успоредна на проекционната равнина, а другата не е перпендикулярна на нея, са взаимно перпендикулярни.

На фиг. 1.10 Нека докажем това

Проектиращата права е перпендикулярна на равнината на проекциите, проекцията и правата ВирджинияРавнина ) е перпендикулярна на правата Вирджиния,тъй като е перпендикулярна на две пресичащи се прави от тази равнина ( - по условие, но по конструкция). Проекцията е перпендикулярна на равнината, тъй като . Следователно проекцията на равнина върху равнина е права линия KLперпендикулярна на проекцията, но с права линия KLсъвпада с проекцията В °C 0, т.е., което трябваше да се докаже.

В задачите по геометрия успехът зависи не само от познаването на теорията, но и от качествения чертеж.
С плоски чертежи всичко е повече или по-малко ясно. Но при стереометрията ситуацията е по-сложна. В крайна сметка е необходимо да се изобрази триизмерентяло върху апартаментчертеж, и то по такъв начин, че както вие самият, така и този, който гледа рисунката ви, да видите едно и също триизмерно тяло.

Как да го направя?
Разбира се, всяко изображение на триизмерно тяло в равнина ще бъде условно. Има обаче определен набор от правила. Има общоприет начин за конструиране на чертежи − паралелна проекция.

Да вземем твърдо тяло.
Да изберем проекционна равнина.
През всяка точка на обемното тяло начертаваме прави линии, успоредни една на друга и пресичащи проекционната равнина под някакъв ъгъл. Всяка от тези линии пресича проекционната равнина в дадена точка. Заедно тези точки образуват проекцияобемно тяло върху равнина, тоест неговото плоско изображение.

Как да изградим проекции на обемни тела?
Представете си, че имате рамка от триизмерно тяло - призма, пирамида или цилиндър. Осветявайки го с паралелен сноп светлина, получаваме изображение - сянка на стената или на екрана. Имайте предвид, че различни изображения се получават от различни ъгли, но някои модели все още присъстват:

Проекцията на отсечката ще бъде отсечката.

Разбира се, ако сегментът е перпендикулярен на равнината на проекцията, той ще бъде показан в една точка.

В общия случай проекцията на кръг ще бъде елипса.

Проекцията на правоъгълник е успоредник.

Ето как изглежда проекцията на куб върху равнина:

Тук предната и задната повърхност са успоредни на проекционната равнина

Можете да го направите по различен начин:

Какъвто и ъгъл да изберем, проекциите на успоредни сегменти в чертежа също ще бъдат успоредни сегменти. Това е един от принципите на паралелната проекция.

Чертаем проекции на пирамидата,

цилиндър:

Още веднъж повтаряме основния принцип на паралелната проекция. Избираме равнината на проекцията и изчертаваме прави линии, успоредни една на друга, през всяка точка на обемното тяло. Тези линии пресичат проекционната равнина под някакъв ъгъл. Ако този ъгъл е 90°, така е правоъгълна проекция. С помощта на правоъгълна проекция се изграждат чертежи на триизмерни части в инженерството. В този случай говорим за изглед отгоре, изглед отпред и страничен изглед.

Специален случай на централна проекция с център на проекциите, разположен в безкрайност (в неправилна точка О). Осъществява се от куп лъчи в дадена посока С(фиг. 2).

Апарат за паралелно прожектиране:

  проекционна равнина;

С- посока на проекцията;

[О  А][ О  б]  С

А  = [ОА]  - успоредна проекция на точка А върху равнината;

л  = (АА   BB) е успоредна проекция на права линия върху равнина .

Няма обратимост. Една централна проекция на точка не позволява да се прецени позицията на точка в пространството. А = д

Геометричните фигури се проектират върху проекционната равнина, като цяло, с изкривяване. Естеството на изкривяването зависи от проекционния апарат и положението на проектираната фигура спрямо равнината на проекцията.

По-специално, по време на паралелна проекция се нарушават метричните характеристики на геометричните фигури (линейните и ъгловите стойности са изкривени). Някои свойства на фигурата се запазват върху нейната проекция.

Свойствата на фигурата, които се запазват в проекцията, се наричат ​​независими или ИНВАРИАНТНИ. Тези инвариантни свойства често се наричат ​​накратко инварианти.

Инварианти на паралелна проекция

Проекцията на точка е точка (фиг. 1; фиг. 2)

Проекцията на права линия е права линия (фиг. 1; фиг. 2)



3 . Проекцията на точка, принадлежаща на права, принадлежи на проекцията.

тази права линия (фиг. 1; фиг. 2)

Проекцията на пресечната точка на линиите се определя от пресечната точка на проекциите на тези линии (фиг. 3)

Проекциите на взаимно успоредни прави са взаимно успоредни (фиг. 4)

Съотношението на дължините на сегментите на взаимно успоредни линии е равно на съотношението на дължините на техните проекции (фиг. 4)

ПОСЛЕДСТВИЕ:ако сегмент от права линия е разделен от точка в произволно съотношение, тогава проекцията на сегмента е разделена на проекцията на тази точка в същото съотношение (фиг. 5)

7 . Плоска фигура, успоредна на равнината на проекциите, се проектира върху тази равнина в конгруентна фигура (фиг. 6)

Ориз. 3 Фиг. четири

Ориз. 5 Фиг. 6

1. Правоъгълна (ортогонална) проекция

Специален случай на паралелна проекция, при която посоката на проекцията е перпендикулярна на проекционната равнина (фиг. 7)

По-нататък безусловно се използва ортогонална проекция.

Ортографската проекция запазва всички свойства на паралелната проекция. Освен това за ортогонална проекция е валидна теоремата за проекцията под прав ъгъл (вижте тема № 6) и прилагаме метода за определяне на разстоянието между точките (т.е. дължината на отсечката, вижте тема № 3), наречен метод на правоъгълен триъгълник.

Ориз. 7

В ДЕТАЙЛИ...

Позицията на даден обект в пространството се определя от неговите четири точки, които не лежат в една и съща равнина. Изображението на пространствен обект в чертежа се свежда до изграждането на проекции на набора от точки на този обект върху равнината Р(наречена проекционна равнина), използвайки прави линии (прожектиращи лъчи), минаващи през точките на обекта и насочени към центъра на проекцията С.

Въпреки това, за да се изгради проекция на обект, не е необходимо да се изградят всички негови точки. Достатъчно е да се намерят само проекциите на характерни точки (върхове, ръбове и т.н.), които след това се свързват със съответна линия.

Проектиращите лъчи заедно образуват издадена повърхност. Така че, когато се проектира права линия AB, проектиращата повърхност е равнината AB ба(ориз.).

Пресечна линия абпроектираща равнина с равнина Ре проекция на права линия AB, който е съставен от проекциите на отделните му точки.

Проекцията е като сянка, хвърлена от обект, осветен от лампа или слънце.

При проектиране на крива линия в първия случай, проектиращите лъчи образуват конична повърхност с връх в точката С, Оказва се да сеонично (перспективно) изображение на кривата (фиг. 2). Във втория случай конусът на изпъкналите лъчи се превръща в цилиндър и коничното изображение става цилиндрично (успоредно) (фиг. 2). Проекцията на кривата линия в този случай се счита за линията на пресичане на проектиращата повърхност с равнината Р.

В перспектива обектът се изобразява така, както изглежда за окото на наблюдателя. Лещата на окото е центърът на проекцията. Всеки от нас е запознат със следния феномен: ако погледнем по протежение на железопътната линия, ни се струва, че релсите сякаш се приближават една към друга и се събират на хоризонта в една точка (център), а опорите, разположени по протежение на релсите, намаляват докато се отдалечават.

Паралелна проекция -специален случай на перспектива. Същността на паралелната проекция е следната: ако условно премахнем центъра на проекцията до безкрайност, тогава проектиращите лъчи могат да се считат за успоредни.

И така, да се изгради успоредна проекция на триъгълник ABC(фиг.), трябва да зададете: Р- проекционна равнина (не е успоредна и не съвпада с посоката на проектиращите лъчи); С- посоката на проектиращите лъчи (посока на проекция).

Освен това проектиращите лъчи преминават през характерните точки на обекта ах,Вbи ssуспоредно на посоката на проекцията и след това намерете точките а,bи от пресичането им с равнината Р. Тези точки са желаните успоредни проекции на точките НО,ATи ОТдаден триъгълник.

Проекция абв- линията на пресичане на проектиращата призматична повърхност с равнината Р. Формата и размерите на паралелна проекция на обект за дадена проекционна посока зависят само от избора на посоката на проекционната равнина и не зависят от нейното разстояние от обекта. Триъгълник, разположен в равнина Р 1 , успоредна на проекционната равнина, се проектира равна на дадената. В такъв случай аб=AB,пр.н.е=пр.н.е,ак=AC.

В зависимост от ъгъла на наклона на прожектиращия лъч към равнината на проекцията, паралелната проекция се разделя на два вида: правоъгълна и наклонена.

ПРАВОЪГЪЛНА(или ортогонална) проекция се нарича, когато посоката на проекцията е избрана перпендикулярна на проекционната равнина. Иначе се нарича КОСА.

При правоъгълна проекция (фиг. 7) стойността на коефициента на изкривяване не може да надвишава единица.

В наклонени проекции (фиг. 5), коефициентът на изкривяване ( Да се=аб/AB) от този сегмент ABможе да приема всякакви числени стойности в зависимост от наклона на сегмента и проектиращите лъчи към равнината на проекцията. По-специално, ако посоката на сегмента съвпада с посоката на проекцията, тогава проекцията на този сегмент ще бъде точка, а коефициентът на изкривяване е нула.

Паралелната проекция се запазва основни свойстваперспективите са:

1) проекцията на точка е точка;

2) проекцията на права линия в общия случай ще бъде права линия;

3) всяка точка, принадлежаща на която и да е права, съответства на проекцията на тази точка върху проекцията на тази права.

В допълнение, паралелната проекция има редица (само присъщи) свойства:

4) ако една точка лежи на сегмент от права линия, тогава проекцията на тази точка разделя проекцията на сегмента в същото съотношение като

точката разделя сегмента, т.е. AC/CB=асо/cb(фиг. 5);

5) проекцията на пресичащите се сегменти ще бъде и пресичащите се сегменти, а точката на тяхното пресичане ще бъде проекцията на пресечната точка на тези сегменти (фиг. 3);

6) проекциите на успоредни сегменти са успоредни, с една и съща посока и съотношението им е равно на отношението на дължините на сегментите, т.е. абcdи AB/CD=аб/cd(фиг. 4);

при правоъгълна проекция прав ъгъл се проектира под прав ъгъл само ако една от страните му е успоредна на равнината на проекцията, а другата не е проектиран лъч (теорема за проекция под прав ъгъл).