Момент на сила и момент на инерция

В динамиката на постъпателното движение на материална точка, в допълнение към кинематичните характеристики, бяха въведени понятията сила и маса. При изучаване на динамиката на ротационното движение се въвеждат физически величини - въртящ моменти момент на инерция, чийто физически смисъл ще бъде разгледан по-долу.

Нека някакво тяло е под действието на сила, приложена в точка НО, се върти около оста OO "(Фигура 5.1).

Фигура 5.1 - Към заключението на концепцията за момент на сила

Силата действа в равнина, перпендикулярна на оста. Перпендикулярен Р, отпадна от точката О(лежаща на оста) към посоката на силата, нар рамо на силата. Продуктът на силата върху рамото определя модула момент на силаспрямо точката О:

(5.1)

Момент на сила е вектор, определен от векторното произведение на радиус-вектора на точката на прилагане на силата и вектора на силата:

(5.2)

Единица момент на сила - нютон метър(З . м). Посоката на вектора на момента на силата се намира с помощта на правила за десен винт.

Мярка за инерцията на телата при постъпателно движение е масата. Инерцията на телата при въртеливо движение зависи не само от масата, но и от нейното разпределение в пространството спрямо оста на въртене. Мярката за инерция по време на въртеливо движение е величина, наречена инерционен момент на тялото около оста на въртене.

Инерционен момент на материална точка спрямо оста на въртене - произведението на масата на тази точка с квадрата на разстоянието от оста:

инерционен момент на тялото около оста на въртене - сумата от инерционните моменти на материалните точки, изграждащи това тяло:

(5.4)

В общия случай, ако тялото е твърдо и представлява сбор от точки с малки маси дм, инерционният момент се определя чрез интегриране:

, (5.5)

където r- разстояние от оста на въртене до елемента с маса d м.

Ако тялото е хомогенно и неговата плътност ρ = м/V, тогава инерционният момент на тялото

(5.6)

Инерционният момент на тялото зависи от това по коя ос се върти и как е разпределена масата на тялото в обема.

Най-просто се определя инерционният момент на тела, които имат правилна геометрична форма и равномерно разпределение на масата върху обема.

Инерционен момент на еднороден прътоколо оста, минаваща през центъра на инерцията и перпендикулярна на пръта,

Инерционен момент на еднороден цилиндъроколо ос, перпендикулярна на нейната основа и минаваща през центъра на инерцията,

(5.8)

Инерционен момент на тънкостенен цилиндър или обръчоколо ос, перпендикулярна на равнината на основата му и минаваща през центъра му,

Инерционен момент на топкатаспрямо диаметъра

(5.10)

Нека определим инерционния момент на диска около оста, минаваща през центъра на инерцията и перпендикулярна на равнината на въртене. Нека масата на диска е м, а неговият радиус е Р.

Площта на пръстена (Фигура 5.2), затворена между rи е равно на .

Фигура 5.2 - До заключението на инерционния момент на диска

Дискова област. С постоянна дебелина на пръстена,

от къде или .

Тогава инерционният момент на диска,

За по-голяма яснота Фигура 5.3 показва хомогенни твърди тела с различни форми и показва инерционните моменти на тези тела около оста, минаваща през центъра на масата.

Фигура 5.3 - Инерционни моменти аз C някои хомогенни твърди вещества.

Теорема на Щайнер

Горните формули за инерционните моменти на телата са дадени при условие, че оста на въртене минава през центъра на инерцията. За да се определят инерционните моменти на тяло спрямо произволна ос, трябва да се използва Теорема на Щайнер : инерционният момент на тялото около произволна ос на въртене е равен на сумата от инерционния момент J 0 около оста, успоредна на дадената и минаваща през центъра на инерцията на тялото, и стойността md 2:

(5.12)

където м- телесна маса, д- разстояние от центъра на масата до избраната ос на въртене. Единица за инерционен момент - килограм-метър на квадрат (кг . m 2).

И така, инерционният момент на хомогенен прът с дължина лпо отношение на оста, минаваща през неговия край, съгласно теоремата на Щайнер е равно на

Помислете сега за проблема определяне на инерционния моментразлични тела. Общ формула за намиране на инерционния моментобект спрямо оста z има формата

С други думи, трябва да добавите всички маси, като умножите всяка от тях по квадрата на нейното разстояние от оста (x 2 i + y 2 i). Имайте предвид, че това е вярно дори за триизмерно тяло, въпреки че разстоянието има такъв "двуизмерен вид". Но в повечето случаи ще се ограничим до двумерни тела.

Като прост пример, помислете за прът, който се върти около ос, минаваща през неговия край и перпендикулярна на него (фиг. 19.3). Сега трябва да сумираме всички маси, умножени по квадратите на разстоянието x (в този случай всички y са нула). Под сума, разбира се, имам предвид интеграла от x 2, умножен по "елементите" на масата. Ако разделим пръта на парчета с дължина dx, тогава съответният елемент на масата ще бъде пропорционален на dx и ако dx беше дължината на целия прът, тогава неговата маса ще бъде равна на M. Следователно

Размерът на инерционния момент винаги е равен на масата по квадрата на дължината, така че единствената значима стойност, която сме изчислили, е коефициентът 1/3.

И какъв ще бъде инерционният момент I, ако оста на въртене минава през средата на пръта? За да го намерим, отново трябва да вземем интеграла, но вече в диапазона от -1/2L до +1/2L. Обърнете внимание обаче на една особеност на този случай. Такава пръчка с ос, минаваща през центъра, може да се разглежда като две пръчки с ос, минаваща през края, всяка от които има маса M/2 и дължина L/2. Инерционните моменти на два такива пръта са равни един на друг и се изчисляват по формула (19.5). Следователно инерционният момент на целия прът е

Така прътът се усуква много по-лесно в средата, отколкото в края.

Възможно е, разбира се, да продължим изчисляването на инерционните моменти на други тела, които ни интересуват. Но тъй като такива изчисления изискват много опит в изчисляването на интеграли (което само по себе си е много важно), те като такива не ни интересуват много. Тук обаче има някои много интересни и полезни теореми. Нека има някакво тяло и ние искаме да го знаем инерционен момент спрямо някаква ос. Това означава, че искаме да намерим неговата инерция при въртене около тази ос. Ако движим тялото чрез пръта, поддържащ центъра на масата му, така че то да не се върти по време на въртене около оста (в този случай върху него не действат инерционни моменти, така че тялото няма да се завърти, когато започнем да го движим) , тогава, за да го завъртите, ви е необходима точно същата сила, както ако цялата маса е концентрирана в центъра на масата и инерционният момент просто ще бъде равен на I 1 = MR 2 c.m. , където R c.m е разстоянието от центъра на масата до оста на въртене. Тази формула обаче, разбира се, е неправилна. Не дава правилния инерционен момент на тялото. В крайна сметка, в действителност, при завъртане тялото се върти. Не само центърът на масата се върти (което би дало стойност I 1), самото тяло също трябва да се върти спрямо центъра на масата. Така към инерционния момент I 1 трябва да добавите I c - инерционният момент около центъра на масата. Правилният отговор е, че инерционният момент спрямо всяка ос е

Тази теорема се нарича теорема за транслацията на успоредната ос. Доказва се много лесно. Инерционният момент около всяка ос е равен на сумата от масите, умножена по сумата от квадратите на x и y, т.е. I \u003d Σm i (x 2 i + y 2 i). Сега ще съсредоточим вниманието си върху x, но същото може да се каже и за y. Нека x-координатата е разстоянието на дадена конкретна точка от началото; нека видим обаче как се променят нещата, ако измерваме разстоянието x` от центъра на масата вместо x от началото. За да разберем, трябва да пишем
x i = x` i + X c.m.
Поставяйки на квадрат този израз, намираме
x 2 i = x` 2 i + 2X c.m. x` i + X 2 c.m.

Какво се случва, ако го умножите по m i и сумирате всички r? Изваждайки константите от знака за сумиране, намираме

I x = Σm i x` 2 i + 2X c.m. Σm i x` i + X2 c.m. Σm i

Третата сума е лесна за изчисляване; това е просто MX 2 ts.m. . Вторият член се състои от два фактора, единият от които е Σm i x` i ; тя е равна на x`-координатата на центъра на масата. Но това трябва да е нула, тъй като x` се измерва от центъра на масата и в тази координатна система средната позиция на всички частици, претеглени по техните маси, е нула. Първият член, очевидно, е част от x от I в. Така стигаме до формула (19.7).

Нека проверим формула (19.7) с един пример. Само да проверим дали ще е приложимо за пръчката. Вече установихме, че инерционният момент на пръта спрямо края му трябва да бъде равен на ML 2 /3. И центърът на масата на пръта, разбира се, е на разстояние L/2. Така че трябва да получим това ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2 . Тъй като една четвърта + една дванадесета = една трета, не направихме никаква грешка.

Между другото, за да намерите инерционния момент (19.5), изобщо не е необходимо да изчислявате интеграла. Човек може просто да приеме, че е равен на стойността на ML 2, умножена по някакъв неизвестен коефициент γ. След това може да се използва разсъждението за две половини и да се получи коефициентът 1/4γ за инерционния момент (19.6). Използвайки сега теоремата за транслация на успоредната ос, доказваме, че γ=1/4γ + 1/4, откъдето γ=1/3. Винаги може да се намери някакъв заобиколен път!

Когато прилагаме теоремата за успоредната ос, важно е да запомните, че оста I трябва да е успоредна на оста, за която искаме да изчислим инерционния момент.

Може би си струва да споменем още едно свойство, което често е много полезно при намирането на инерционния момент на някои видове тела. Състои се в следното: ако имаме плоска фигура и тройка координатни оси с начало в тази равнина и оста z, насочена перпендикулярно на нея, то инерционният момент на тази фигура спрямо оста z е равен към сумата от инерционните моменти около осите x и y. Доказва се съвсем просто. забележи това

Инерционният момент на хомогенна правоъгълна плоча, например с маса M, ширина ω и дължина L около ос, перпендикулярна на нея и минаваща през нейния център, е просто

тъй като инерционният момент около ос, лежаща в равнината на плочата и успоредна на нейната дължина, е равен на Mω 2 /12, т.е. точно същият като за прът с дължина ω, а инерционният момент около друга ос в същата равнина е равна на ML 2 / 12, същото като за прът с дължина L.

И така, нека изброим свойствата на инерционния момент относно дадена ос, която ще наричаме z-ос:

1. Инерционният момент е

2. Ако даден обект се състои от няколко части и инерционният момент на всяка от тях е известен, тогава общият инерционен момент е равен на сумата от инерционните моменти на тези части.
3. Инерционният момент около дадена ос е равен на инерционния момент около успоредна ос през центъра на масата плюс произведението на общата маса по квадрата на разстоянието на тази ос от центъра на масата.
4. Инерционният момент на плоска фигура около ос, перпендикулярна на нейната равнина, е равен на сумата от моментите на инерция относно други две взаимно перпендикулярни оси, лежащи в равнината на фигурата и пресичащи се с перпендикулярната ос.

В табл. 19.1 показва инерционните моменти на някои елементарни фигури, които имат равномерна плътност на масата, а в табл. 19.2 - моменти на инерция на някои фигури, които могат да бъдат получени от табл. 19.1, използвайки свойствата, изброени по-горе.

Име на параметъра	Значение
Тема на статията:	Момент на инерция
Рубрика (тематична категория)	Механика

Да разгледаме материална точка с маса m, която е на разстояние r от неподвижната ос (фиг. 26). Инерционният момент J на ​​материална точка около ос обикновено се нарича скаларна физическа величина, равна на произведението на масата m и квадрата на разстоянието r до тази ос:

J = mr 2(75)

Инерционният момент на системата от N материални точки ще бъде равен на сумата от инерционните моменти на отделните точки

(76)

Към дефиницията на инерционния момент на точка

Ако масата се разпределя в пространството непрекъснато, тогава сумирането се заменя с интегриране. Тялото е разделено на елементарни обеми dv, всеки от които има маса dm. Резултатът е следният израз:

(77)

За хомогенно по обем тяло плътността ρ е постоянна и записвайки елементарната маса във формата

dm = ρdv, трансформираме формула (70), както следва:

(78)

Размерността на инерционния момент е kg * m 2.

Инерционният момент на тялото е мярка за инерцията на тялото при въртеливо движение, точно както масата на тялото е мярка за неговата инерция при постъпателно движение.

Инерционният момент е мярка за инерционните свойства на твърдо тяло по време на въртеливо движение, в зависимост от разпределението на масата спрямо оста на въртене. С други думи, инерционният момент зависи от масата, формата, размерите на тялото и положението на оста на въртене.

Всяко тяло, независимо дали се върти или е в покой, има инерционен момент спрямо всяка ос, точно както тялото има маса, независимо дали се движи или е в покой. Подобно на масата, инерционният момент е адитивна величина.

В някои случаи теоретичното изчисляване на инерционния момент е доста просто. По-долу са инерционните моменти на някои твърди тела с правилна геометрична форма около ос, минаваща през центъра на тежестта.

Инерционният момент на безкрайно плосък диск с радиус R около ос, перпендикулярна на равнината на диска:

Инерционен момент на топка с радиус Р:

Инерционен момент на прът с дълж Лспрямо оста, минаваща през средата на пръта, перпендикулярна на нея:

Инерционен момент на безкрайно тънък обръч с радиус Роколо ос, перпендикулярна на нейната равнина:

Инерционният момент на тяло спрямо произволна ос се изчислява с помощта на теоремата на Щайнер:

Инерционният момент на тяло спрямо произволна ос е равен на сумата от инерционния момент спрямо ос, минаваща през центъра на масата, успоредна на дадената, и произведението на масата на тялото, умножено по квадрата на разстоянието между осите.

Използвайки теоремата на Щайнер, изчисляваме инерционния момент на прът с дължина Локоло оста, минаваща през края, перпендикулярен на него (фиг. 27).

Към изчисляването на инерционния момент на пръта

Според теоремата на Щайнер инерционният момент на пръта около оста O′O′ е равен на инерционния момент около оста OO плюс MD 2. От тук получаваме:

Очевидно: моментът на инерция не е еднакъв по отношение на различните оси и следователно, когато решаваме задачи за динамиката на въртеливото движение, всеки път трябва да се търси инерционният момент на тялото спрямо оста, която ни интересува. отделно. Така например при проектирането на технически устройства, съдържащи въртящи се части (в железопътния транспорт, в самолетостроенето, електротехниката и т.н.), се изисква познаване на стойностите на инерционните моменти на тези части. При сложна форма на тялото, теоретичното изчисляване на неговия инерционен момент може да бъде трудно изпълнимо. В тези случаи е за предпочитане инерционният момент на нестандартна част да се измерва емпирично.

Момент на сила F спрямо точка O

Инерционен момент – понятие и видове. Класификация и особености на категория "Инерционен момент" 2017, 2018г.

- Инерционният момент на тялото спрямо произволна ос.

Фиг.35 Нека начертаем произволни оси Cx"y"z" през центъра на масата C на тялото, а през всяка точка O на оста Cx" - осите Oxyz, така че Oy½½Сy", Oz½½Cz" (фиг.35 ). Ние обозначаваме разстоянието между осите Cz "и Oz с d. Тогава, както се вижда от фигурата, за всяка точка на тялото или, a. Замествайки ... .

- Инерционен момент на тялото

Инерционният момент на тялото е величина, която определя неговата инертност при въртеливо движение. В динамиката на постъпателното движение инерцията на тялото напълно се характеризира с неговата маса. Влиянието на собствените свойства на тялото върху динамиката на въртеливото движение се оказва по-сложно, ... .

- Лекция 4-5. Силов момент спрямо неподвижна точка и ос. Инерционен момент, момент на импулса на материална точка и механична система спрямо неподвижна точка и ос.

Лекция 3. Сили. Маса, импулс на материална точка и механична система. Динамика на постъпателното движение в инерциални отправни системи. Законът за промяна на импулса на механична система. Закон за запазване на импулса. Динамиката изучава движението на телата, като отчита причините, ... .

- Инерционният момент на твърдо тяло.

Нека анализираме формулата за инерционния момент на твърдо тяло. Инерционният момент зависи от 1) масата на тялото, 2) формата и размерите на тялото, 3) положението на оста на въртене спрямо тялото (фиг. 2). 2a Фиг.2b И така, инерционният момент е мярка за инерцията на тялото по време на въртеливо движение,... .

- Инерционният момент спрямо централната ос се нарича централен инерционен момент.

Инерционният момент относно всяка ос е равен на инерционния момент около централната ос, успоредна на дадената, плюс произведението на площта на фигурата и квадрата на разстоянието между осите. От формулата се вижда, че инерционният момент около централната ос е по-малък от момента ...

Момент на инерция
За да изчислим инерционния момент, трябва мислено да разделим тялото на достатъчно малки елементи, чиито точки могат да се считат за разположени на същото разстояние от оста на въртене, след което да намерим произведението на масата на всеки елемент от квадрата от разстоянието му от оста и накрая сумирайте всички получени продукти. Очевидно това е много трудоемка задача. За броене
моменти на инерция на тела с правилна геометрична форма, в някои случаи могат да се използват методите на интегралното смятане.
Намирането на крайната сума от инерционните моменти на елементите на тялото ще бъде заменено от сумирането на безкрайно голям брой инерционни моменти, изчислени за безкрайно малки елементи:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (при ∆m → 0).
Нека изчислим инерционния момент на хомогенен диск или твърд цилиндър с височина чспрямо своята ос на симетрия

Нека разделим диска на елементи под формата на тънки концентрични пръстени с центрове по оста на неговата симетрия. Получените пръстени имат вътрешен диаметър rи външни r + dr, и височината ч. защото д-р<< r , тогава можем да приемем, че разстоянието на всички точки на пръстена от оста е r.
За всеки отделен пръстен, инерционният момент
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
където ΣΔmе масата на целия пръстен.
Сила на звънене 2прхдр. Ако плътността на материала на диска ρ , след това масата на пръстена
ρ2prhdr.
Инерционен момент на пръстена
i = 2πρhr 3dr.
За да се изчисли инерционният момент на целия диск, е необходимо да се сумират инерционните моменти на пръстените от центъра на диска ( r = 0) до ръба му ( r = R), т.е. изчислете интеграла:
I = 2πρh 0 R ∫r 3dr,
или
I = (1/2)πρhR 4.
Но масата на диска m = ρπhR 2, следователно,
I = (1/2)mR 2.
Представяме (без изчисление) инерционните моменти за някои тела с правилна геометрична форма, направени от еднородни материали


 1. Инерционният момент на тънък пръстен около ос, минаваща през неговия център перпендикулярно на неговата равнина (или тънкостенен кух цилиндър около неговата ос на симетрия):
I = mR 2.
 2. Инерционният момент на дебелостенен цилиндър спрямо оста на симетрия:
I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
където R1− вътрешни и R2− външни радиуси.
 3. Инерционният момент на диска около ос, съвпадаща с един от неговите диаметри:
I = (1/4)mR 2.
 4. Инерционният момент на твърд цилиндър спрямо ос, перпендикулярна на образуващата и минаваща през средата му:
I \u003d m (R 2 / 4 + h 2 / 12)
където Р− радиус на основата на цилиндъра, че височината на цилиндъра.
 5. Инерционният момент на тънък прът около ос, минаваща през средата му:
I = (1/12) ml 2,
където ле дължината на пръта.
 6. Инерционният момент на тънък прът около ос, минаваща през единия му край:
I = (1/3) ml 2
7. Инерционният момент на топката около ос, съвпадаща с един от нейните диаметри:
I = (2/5)mR 2.

Ако е известен инерционният момент на тяло около ос, минаваща през неговия център на масата, тогава инерционният момент спрямо всяка друга ос, успоредна на първата, може да се намери въз основа на така наречената теорема на Хюйгенс-Щайнер.
инерционен момент на тялото азспрямо която и да е ос е равен на инерционния момент на тялото аз соколо ос, успоредна на дадената и минаваща през центъра на масата на тялото, плюс масата на тялото мпо квадрата на разстоянието лмежду осите:
I \u003d I c + ml 2.
Като пример изчисляваме инерционния момент на топка с радиус Ри тегло мокачен на нишка с дължина l, спрямо оста, минаваща през точката на окачване О. Масата на нишката е малка в сравнение с масата на топката. От момента на инерцията на топката около оста, минаваща през центъра на масата Ic = (2/5)mR 2, и разстоянието
между осите ( l + R), тогава инерционният момент около оста, минаваща през точката на окачване:
I = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2.
Размер на инерционния момент:
[I] = [m] × = ML 2.

По отношение на фиксирана ос ("аксиален момент на инерция") се нарича стойност Я аравна на сбора от произведенията на масите на всички нматериални точки на системата в квадратите на техните разстояния до оста:

• m i- тегло аз-та точка,
• r i- разстояние от аз-та точка спрямо оста.

Аксиален момент на инерциятяло Я ае мярка за инерцията на тяло при въртеливо движение около ос, точно както масата на тялото е мярка за неговата инерция при транслационно движение.

Ако тялото е хомогенно, тоест неговата плътност е еднаква навсякъде, тогава

Теорема на Хюйгенс-Щайнер

Момент на инерцияна твърдо тяло спрямо която и да е ос зависи не само от масата, формата и размера на тялото, но и от положението на тялото по отношение на тази ос. Според теоремата на Щайнер (теорема на Хюйгенс-Щайнер), момент на инерциятяло Джспрямо произволна ос е равно на сумата момент на инерциятова тяло Jcспрямо оста, минаваща през центъра на масата на тялото, успоредна на разглежданата ос, и произведението на масата на тялото мна квадратно разстояние дмежду осите:

където е общата маса на тялото.

Например, инерционният момент на прът около ос, минаваща през края му, е:

Осови моменти на инерция на някои тела

Моменти на инерцияхомогенни тела с най-проста форма по отношение на някои оси на въртене

Тяло	Описание	Позиция на оста а	Момент на инерция Я а
	Материална точка на маса м	На разстояние rот точка, фиксирана
	Кух тънкостенен цилиндър или пръстен с радиус rи масите м	Ос на цилиндъра
	Радиус на плътен цилиндър или диск rи масите м	Ос на цилиндъра
	Кух дебелостенен масов цилиндър мс външен радиус r2и вътрешен радиус r1	Ос на цилиндъра
	Плътна дължина на цилиндъра л, радиус rи масите м
	Кух тънкостенен цилиндър (пръстен) дълж л, радиус rи масите м	Оста е перпендикулярна на цилиндъра и минава през неговия център на масата
	Прав тънък прът с дължина ли масите м	Оста е перпендикулярна на пръта и минава през неговия център на масата
	Прав тънък прът с дължина ли масите м	Оста е перпендикулярна на пръта и минава през края му
	Тънкостенна сфера с радиус rи масите м	Оста минава през центъра на сферата
	радиус на топката rи масите м	Оста минава през центъра на топката
	Радиус на конуса rи масите м	конична ос
	Равнобедрен триъгълник с вис ч, база аи тегло м	Оста е перпендикулярна на равнината на триъгълника и минава през върха
	Правоъгълен триъгълник със страна аи тегло м	Оста е перпендикулярна на равнината на триъгълника и минава през центъра на масата
	Квадрат със страна аи тегло м	Оста е перпендикулярна на равнината на квадрата и минава през центъра на масата

Извеждане на формули

Тънкостенен цилиндър (пръстен, обръч)

Извеждане на формула

Инерционният момент на тялото е равен на сумата от инерционните моменти на съставните му части. Разделяне на тънкостенен цилиндър на елементи с маса дми моменти на инерция DJ i. Тогава

Тъй като всички елементи на тънкостенен цилиндър са на едно и също разстояние от оста на въртене, формула (1) се преобразува във формата

Дебелостенен цилиндър (пръстен, обръч)

Извеждане на формула

Нека има хомогенен пръстен с външен радиус Р, вътрешен радиус Р 1, дебел чи плътност ρ. Начупваме на тънки кръгчета с дебел д-р. Маса и инерционен момент на тънък пръстен с радиус rще бъде

Намираме инерционния момент на дебел пръстен като интеграл

Тъй като обемът и масата на пръстена са равни

получаваме крайната формула за инерционния момент на пръстена

Хомогенен диск (плътен цилиндър)

Извеждане на формула

Разглеждайки цилиндъра (диска) като пръстен с нулев вътрешен радиус ( Р 1 = 0), получаваме формулата за инерционния момент на цилиндъра (диска):

плътен конус

Извеждане на формула

Разделете конуса на тънки дискове с дебелина dh, перпендикулярна на оста на конуса. Радиусът на такъв диск е

където Ре радиусът на основата на конуса, зе височината на конуса, че разстоянието от върха на конуса до диска. Масата и инерционният момент на такъв диск ще бъдат

Интегрирайки, получаваме

Плътна еднообразна топка

Извеждане на формула

Разделете топката на тънки дискове dh, перпендикулярна на оста на въртене. Радиусът на такъв диск, разположен на височина чот центъра на сферата, намираме по формулата

Масата и инерционният момент на такъв диск ще бъдат

Намираме инерционния момент на сферата чрез интегриране:

тънкостенна сфера

Извеждане на формула

За извеждането използваме формулата за инерционния момент на хомогенна топка с радиус Р:

Нека изчислим колко ще се промени инерционният момент на топката, ако при постоянна плътност ρ нейният радиус се увеличи с безкрайно малка стойност дР.

Тънък прът (оста минава през центъра)

Извеждане на формула

Разделете пръта на малки фрагменти по дължина д-р. Масата и инерционният момент на такъв фрагмент е

Интегрирайки, получаваме

Тънък прът (оста минава през края)

Извеждане на формула

При преместване на оста на въртене от средата на пръта към неговия край, центърът на тежестта на пръта се премества спрямо оста на разстояние л/2. Според теоремата на Щайнер новият инерционен момент ще бъде равен на

Безразмерни инерционни моменти на планетите и техните спътници

От голямо значение за изследване на вътрешната структура на планетите и техните спътници са техните безразмерни инерционни моменти. Безразмерен инерционен момент на тяло с радиус rи масите ме равно на съотношението на нейния инерционен момент около оста на въртене към инерционния момент на материална точка със същата маса спрямо фиксирана ос на въртене, разположена на разстояние r(равна на г-н 2). Тази стойност отразява разпределението на масата в дълбочина. Един от методите за измерването му в планети и спътници е да се определи доплеровото изместване на радиосигнала, предаван от AMS, летящ около дадена планета или сателит. За тънкостенна сфера безразмерният инерционен момент е равен на 2/3 (~0,67), за хомогенна топка - 0,4 и по принцип колкото по-малък е, толкова по-голяма маса на тялото е съсредоточена в центъра му. Например, Луната има безразмерен инерционен момент, близък до 0,4 (равен на 0,391), така че се приема, че е относително хомогенна, нейната плътност се променя малко с дълбочината. Безразмерният инерционен момент на Земята е по-малък от този на хомогенна топка (равен на 0,335), което е аргумент в полза на наличието на плътно ядро ​​в нея.

центробежен момент на инерция

Центробежните инерционни моменти на тялото по отношение на осите на правоъгълна декартова координатна система са следните величини:

където х, ги z- координати на малък елемент от тялото с обем dV, плътност ρ и тегло дм.

Оста OX се нарича главната инерционна ос на тялотоако центробежните инерционни моменти Jxyи Jxzса едновременно нула. През всяка точка на тялото могат да бъдат начертани три основни инерционни оси. Тези оси са взаимно перпендикулярни една на друга. Инерционни моменти на тялотоспрямо трите главни инерционни оси, начертани в произволна точка Отела се наричат основни инерционни моменти на тялото.

Наричат ​​се главните инерционни оси, минаващи през центъра на масата на тялото главни централни инерционни оси на тялото, а инерционните моменти около тези оси са неговите основни централни моменти на инерция. Оста на симетрия на хомогенно тяло винаги е една от основните му централни инерционни оси.

Геометричен момент на инерция

Геометричен момент на инерция - геометрична характеристика на сечението на изгледа

където е разстоянието от централната ос до всяка елементарна област спрямо неутралната ос.

Геометричният момент на инерция не е свързан с движението на материала, той отразява само степента на твърдост на сечението. Използва се за изчисляване на радиуса на въртене, отклонение на греди, избор на сечение на греди, колони и др.

Мерната единица SI е m 4 . В строителните изчисления, литературата и асортиментите от валцуван метал, по-специално, се посочва в cm 4.

От него модулът на сечението се изразява:

.

Геометрични моменти на инерция на някои фигури
Височина и ширина на правоъгълника:
Правоъгълно кутиево сечение с височина и ширина по външните контури и съответно по вътрешните и
Диаметър на кръга

Централен инерционен момент

Централен инерционен момент(или инерционният момент около точка O) е количеството

Централният инерционен момент може да се изрази чрез главните аксиални или центробежни инерционни моменти: .

Тензор на инерцията и елипсоид на инерцията

Инерционният момент на тяло около произволна ос, минаваща през центъра на масата и имаща посока, дадена от единичен вектор, може да бъде представен като квадратична (билинейна) форма:

(1),

където е тензорът на инерцията. Матрицата на тензора на инерцията е симетрична, има размери и се състои от компоненти на центробежен момент:

,
.

Чрез избор на подходяща координатна система матрицата на инерционния тензор може да се редуцира до диагонална форма. За да направите това, трябва да решите проблема със собствената стойност за тензорната матрица:
,
където е ортогоналната матрица на прехода към собствената база на инерционния тензор. В собствената си основа координатните оси са насочени по главните оси на тензора на инерцията и също съвпадат с главните полуоси на елипсоида на тензора на инерцията. Големините са главните инерционни моменти. Изразът (1) в собствената си координатна система има формата:

,

откъде идва уравнението