Rn,
(МАТЕМАТИКА В ИКОНОМИКАТА)

Векторно разлагане

Векторно разлагане ана компоненти - операцията за заместване на вектора аняколко други вектора ab, a2, a3 и т.н., които, когато се съберат, образуват началния вектор а;в този случай векторите db a2, a3 и т.н. се наричат ​​компоненти на вектора а.С други думи, разграждането на всяка...
(ФИЗИКА)

Базис и ранг на система от вектори

Разгледайте системата от вектори (1.18) Максималната независима подсистема на системата от вектори(1.I8) е частично множество от вектори на тази система, което отговаря на две условия: 1) векторите на това множество са линейно независими; 2) всеки вектор от системата (1.18) е линейно изразен чрез векторите на това множество....
(МАТЕМАТИКА В ИКОНОМИКАТА)

Векторно представяне в различни системикоординати.

Да разгледаме две ортогонални праволинейни координатни системи с набори от ортове (i, j, k) и (i j", k") и да представим вектора a в тях. Нека приемем условно, че векторите с първични числа съответстват на нови системи e координати, а без щрихи - стария. Нека представим вектора като разширение по осите както на старата, така и на новата система...

Разлагане на вектор в ортогонален базис

Помислете за космическата основа Rn,в който всеки вектор е ортогонален на останалите базисни вектори: Ортогоналните бази са известни и добре представени на равнината и в пространството (фиг. 1.6). Основи от този вид са удобни, на първо място, защото разширяването координира произволен векторрешен...
(МАТЕМАТИКА В ИКОНОМИКАТА)

Вектори и представянето им в координатни системи

Концепцията за вектор се свързва с определени физични величини, които се характеризират със своя интензитет (големина) и посока в пространството. Такива величини са например силата, действаща върху материално тяло, скоростта определена точкана това тяло, ускорението на материална частица...
(МЕХАНИКА НА НЕПРЕКЪСНАТА МЕДИЯ: ТЕОРИЯ ЗА НАПРЕЖЕНИЕТО И ОСНОВНИ МОДЕЛИ)

Най-простите аналитични представяния на произволна елиптична функция

Представяне на елиптична функция като сбор от елементарни елементи.Позволявам / (z)е елиптична функция от ред s с прости полюси jjt, $s,лежащи в успоредника на периодите. Обозначаване чрез кностатъка на функцията по отношение на полюса, имаме, че 2 ?l = 0 (§ 1» стр. 3, теорема ...
(ВЪВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЯТА НА ФУНКЦИИТЕ НА КОМПЛЕКСНА ПРОМЕНЛИВА)

Л. 2-1 Основни понятия на векторната алгебра. Линейни операции върху вектори.

Разлагане на вектор по базис.

Основни понятия на векторната алгебра

Векторът е набор от всички насочени сегменти, притежаващи същата дължинаи посока
.

Имоти:

Линейни операции върху вектори

1.

Правило на успоредник:

ОТ уммадва вектора и наречен вектор , излизайки от общия си произход и представлявайки диагонал на успоредник, изграден от вектори и като отстрани.

Правило на многоъгълника:

За да конструирате сумата от произволен брой вектори, трябва да поставите началото на втория вектор в края на първия член, началото на третия в края на втория и т.н. Векторът, който затваря резултантния прекъсната линия, е сумата. Началото му съвпада с началото на първото, а краят с края на последното.

Имоти:

2.

Векторен продукт на брой , се нарича вектор, който отговаря на условията:
.

Имоти:

3.

разликавектори и вектор на повикване равна на сумата от вектора и вектор, противоположен на вектора , т.е.
.

- законът на противоположния елемент (вектор).

Разлагане на вектор по базис

Сумата от вектори се определя по уникален начин
(но само ). Обратната операция, разлагането на вектор на няколко компонента, е двусмислена: За да стане недвусмислено, е необходимо да се посочат посоките, в които се извършва разширяването на разглеждания вектор, или, както се казва, е необходимо да се посочи база.

При определяне на базиса от съществено значение е изискването за некомпланарност и неколинеарност на векторите. За да се разбере значението на това изискване, е необходимо да се разгледа концепцията за линейна зависимост и линейна независимост на векторите.

Произволен израз на формата: , наречен линейна комбинациявектори
.

Линейна комбинация от няколко вектора се нарича тривиаленако всичките му коефициенти са равни на нула.

Вектори
Наречен линейно зависими, ако има нетривиална линейна комбинация от тези вектори, равна на нула:
(1), при условие
. Ако равенството (1) е в сила само за всички
едновременно равни на нула, след това ненулеви вектори
ще линейно независими.

Лесно се доказва: всеки два колинеарни вектора са линейно зависими, а два неколинеарни вектора са линейно независими.

Започваме доказателството с първото твърдение.

Нека векторите и колинеарен. Нека покажем, че те са линейно зависими. Наистина, ако те са колинеарни, тогава те се различават един от друг само с числов фактор, т.е.
, Следователно
. Тъй като получената линейна комбинация е очевидно нетривиална и е равна на "0", тогава векторите и линейно зависими.

Помислете сега за два неколинеарни вектора и . Нека докажем, че те са линейно независими. Изграждаме доказателството от противно.

Приемаме, че те са линейно зависими. Тогава трябва да съществува нетривиална линейна комбинация
. Нека се преструваме, че
, тогава
. Полученото равенство означава, че векторите и са колинеарни, противно на първоначалното ни предположение.

По същия начин може да се докаже: всеки три копланарни вектора са линейно зависими, а два некомпланарни вектора са линейно независими.

Връщайки се към концепцията за базис и към проблема за разширяване на вектор в определен базис, можем да кажем това основата на равнината и в пространството се формира от набор от линейно независими вектори.Такава концепция за основа е обща, тъй като той е приложим към пространство с произволен брой измерения.

Израз като:
, се нарича разлагане на вектора по вектори ,…,.

Ако разгледаме база в триизмерното пространство, тогава разлагането на вектора база
ще бъде
, където
-векторни координати.

В проблема за разширяване на произволен вектор в някакъв базис, следното твърдение е много важно: всеки векторможе да се разложи по уникален начин в дадения базис
. С други думи, координатите
за всеки вектор спрямо основата
се определя недвусмислено.

Въвеждането на базис в пространството и в равнина дава възможност за присвояване на всеки вектор подредена тройка (двойка) числа - нейните координати. Този много важен резултат, който прави възможно установяването на връзка между геометричните обекти и числата, дава възможност за аналитично описание и изследване на позицията и движението на физическите обекти.

Комбинацията от точка и основа се нарича координатна система.

Ако векторите, образуващи основата, са единични и перпендикулярни по двойки, тогава се нарича координатната система правоъгълен,и основата ортонормална.

L. 2-2 Продукт на вектори

Разлагане на вектор по базис

Помислете за вектора
, даден от своите координати:
.

- векторни компоненти в посоки на базисни вектори
.

Изразяване на формата
се нарича разлагане на вектора база
.

По подобен начин човек може да се разложи база
вектор
:

.

Косинуси на ъглите, образувани от разглеждания вектор с базисни вектори
Наречен насочващи косинуси

;
;
.

Скаларно произведение на вектори.

Скаларното произведение на два вектора и се нарича числото, равно на произведението на модулите на тези вектори по косинуса на ъгъла между тях

Скаларното произведение на два вектора може да се разглежда като произведение на модула на един от тези вектори и ортогоналната проекция на другия вектор върху посоката на първия
.

Имоти:

Ако са известни координатите на векторите
и
, след това, като разширим векторите по отношение на основата
:
и
, намирам

, защото
,
, тогава

.

.

Условие за перпендикулярност на векторите:
.

Условие за колинеарност за ректорите:
.

Кръстосано произведение на вектори

или

векторно изкуство на вектор такъв вектор се нарича
, което отговаря на условията:

Имоти:

Разгледаните алгебрични свойства позволяват да се намери аналитичен израз за кръстосаното произведение по отношение на координатите на съставните вектори в ортонормална база.

дадени:
и
.

защото ,
,
,
,
,
,
, тогава

. Тази формула може да бъде написана по-кратко, под формата на детерминанта от трети ред:

.

Смесено произведение на вектори

Смесен продукт на три вектора ,и нарича число, равно на векторното произведение
, умножено скаларно по вектора .

Следното равенство е вярно:
, така че смесеният продукт е написан
.

Както следва от определението, резултатът от смесен продукт три векторае число. Това число има ясно геометрично значение:

Смесен продуктов модул
е равен на обема на паралелепипеда, построен върху намалената до общо началовектори ,и .

Свойства на смесен продукт:

Ако векторите ,,са дадени в ортонормална основа
техните координати, изчисляването на смесения продукт се извършва по формулата

.

Наистина, ако
, тогава

;
;
, тогава
.

Ако векторите ,,са компланарни, тогава векторното произведение
перпендикулярен на вектора . И обратното, ако
, тогава обемът на паралелепипеда е нула, а това е възможно само ако векторите са копланарни (линейно зависими).

По този начин три вектора са копланарни тогава и само ако техният смесен продукт е нула.

Основата на пространствотонаричаме такава система от вектори, в която всички други вектори на пространството могат да бъдат представени като линейна комбинация от вектори, включени в основата.
На практика всичко това е доста просто. Основата, като правило, се проверява на равнина или в пространството и за това трябва да намерите детерминанта на матрица от втори, трети ред, съставена от координатите на векторите. Схематично написано по-долу условия, при които векторите формират основа

Да се разширете вектора b по отношение на базисни вектори
e,e...,e[n] е необходимо да се намерят коефициентите x, ..., x[n], за които линейната комбинация от векторите e,e...,e[n] е равна на векторът б:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
За да направите това, векторното уравнение трябва да се преобразува в система от линейни уравнения и да се намерят решения. Освен това е сравнително лесен за изпълнение.
Намерените коефициенти x, ..., x[n] се наричат координати на вектор b в основата e,e...,e[n].
Да преминем към практическата страна на темата.

Разлагане на вектор в базисни вектори

Задача 1. Проверете дали векторите a1, a2 образуват базис на равнината

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Решение: Съставете определителя от координатите на векторите и го изчислете

Детерминантата не е равна на нула, Следователно векторите са линейно независими, което означава, че формират основа.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Решение: Изчисляваме детерминантата, съставена от вектори

Детерминантата е равна на 13 (не е равна на нула) - от това следва, че векторите a1, a2 са основа на равнината.

---=================---

Обмисли типични примериот програмата на МАУП по дисциплината "Висша математика".

Задача 2. Покажете, че векторите a1, a2, a3 образуват основа на тримерно векторно пространство и разширете вектора b в тази база (при решаване на система от линейни алгебрични уравненияизползвайте метода на Cramer).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Решение: Първо, разгледайте системата от вектори a1, a2, a3 и проверете детерминантата на матрицата A

изграден върху вектори, различни от нула. Матрицата съдържа един нулев елемент, така че е по-целесъобразно детерминантата да се изчисли като график за първата колона или третия ред.

В резултат на изчисленията установихме, че детерминантата е различна от нула, следователно векторите a1, a2, a3 са линейно независими.
По дефиниция векторите формират основа в R3. Нека запишем графика на вектора b по отношение на базиса

Векторите са равни, когато съответните им координати са равни.
Следователно от векторното уравнение получаваме система от линейни уравнения

Решете SLAE Методът на Крамер. За да направим това, записваме системата от уравнения във формата

Главният детерминант на SLAE винаги е равен на детерминантата, съставена от базисни вектори

Следователно на практика не се изчислява два пъти. За да намерим спомагателни детерминанти, поставяме колона със свободни термини на мястото на всяка колона от основната детерминанта. Детерминантите се изчисляват по правилото на триъгълниците



Заместете намерените детерминанти във формулата на Крамър



И така, разширението на вектора b по отношение на основата има формата b=-4a1+3a2-a3 . Координатите на вектора b в основата a1, a2, a3 ще бъдат (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Решение: Проверяваме векторите за базис - съставяме детерминантата от координатите на векторите и я изчисляваме

Следователно детерминантата не е равна на нула векторите формират основа в пространството. Остава да се намери разписанието на вектора b по дадения базис. За да направим това, ние пишем векторното уравнение

и се трансформира в система от линейни уравнения

Записваме матрично уравнение

След това за формулите на Крамер намираме спомагателни детерминанти



Прилагане на формулите на Крамер



Така даден вектор b има разписание през два базисни вектора b=-2a1+5a3, а координатите му в базиса са b(-2,0, 5).

Линейна зависимост и линейна независимоствектори.
Основа на векторите. Афинна координатна система

В публиката има количка с шоколадови бонбони, а днес всеки посетител ще получи сладка двойка - аналитична геометрия с линейна алгебра. Тази статия ще обхване два раздела наведнъж. висша математика, и ще видим как се разбират в една обвивка. Направете си почивка, яжте Twix! ... по дяволите, добре, спорете глупости. Въпреки че добре, няма да вкарам, в крайна сметка трябва да има положително отношение към ученето.

Линейна зависимост на векторите, линейна независимост на векторите, векторна основаи други термини имат не само геометрична интерпретация, но преди всичко, алгебричен смисъл. Самото понятие "вектор" от гледна точка на линейната алгебра далеч не винаги е "обикновеният" вектор, който можем да изобразим на равнина или в пространството. Не е нужно да търсите далеч за доказателство, опитайте се да начертаете вектор от петизмерно пространство . Или векторът на времето, за който току-що отидох в Gismeteo: - температура и Атмосферно наляганесъответно. Примерът, разбира се, е неправилен от гледна точка на свойствата на векторното пространство, но въпреки това никой не забранява формализиране на тези параметри като вектор. Полъх на есен...

Не, няма да те зареждам с теория, линейно векторни пространства, задачата е да разбирамопределения и теореми. Новите термини (линейна зависимост, независимост, линейна комбинация, базис и др.) важат за всички вектори от алгебрична гледна точка, но ще бъдат дадени геометрични примери. Така всичко е просто, достъпно и визуално. В допълнение към проблемите на аналитичната геометрия ще разгледаме и някои типични задачи алгебра. За да овладеете материала, препоръчително е да се запознаете с уроците Вектори за манекени и Как да изчислим детерминантата?

Линейна зависимост и независимост на равнинните вектори.
Равнинна основа и афинна координатна система

Помислете за равнината на вашето компютърно бюро (само маса, нощно шкафче, под, таван, каквото искате). Задачата ще се състои от следните действия:

1) Изберете равнинна основа. Грубо казано, плотът има дължина и ширина, така че е интуитивно ясно, че са необходими два вектора за изграждане на основата. Един вектор явно не е достатъчен, три вектора са твърде много.

2) Въз основа на избраната основа зададена координатна система(координатна мрежа), за да зададете координати на всички елементи на масата.

Не се изненадвайте, в началото обясненията ще бъдат на пръсти. Освен това на вашия. Моля поставете показалеца на лявата ръкана ръба на плота, така че да гледа към монитора. Това ще бъде вектор. Сега място Малък пръст дясна ръка на ръба на масата по същия начин - така че да е насочен към екрана на монитора. Това ще бъде вектор. Усмихни се, изглеждаш страхотно! Какво може да се каже за векторите? Вектори на данни колинеарен, което означава линейноизразени един чрез друг:
, добре, или обратното: , където е различно от нула число.

Можете да видите снимка на това действие в урока. Вектори за манекени , където обясних правилото за умножение на вектор по число.

Пръстите ви ще поставят ли основата върху равнината на компютърната маса? Очевидно не. Колинеарните вектори пътуват напред и назад навътре сампосока, докато равнината има дължина и ширина.

Такива вектори се наричат линейно зависими.

Справка: Думите "линеен", "линеен" се отнасят до факта, че в математически уравнения, изразите нямат квадрати, кубове, други степени, логаритми, синуси и др. Има само линейни (1-ва степен) изрази и зависимости.

Два равнинни вектора линейно зависими тогава и само тогавакогато са колинеарни.

Скръстете пръсти на масата, така че да има всякакъв ъгъл между тях освен 0 или 180 градуса. Два равнинни векторалинейно неса зависими тогава и само ако не са колинеарни. И така, основата е получена. Няма нужда да се смущавате, че основата се оказа "наклонена" с неперпендикулярни вектори с различни дължини. Много скоро ще видим, че не само ъгъл от 90 градуса е подходящ за построяването му, а не само единични вектори с еднаква дължина

Всякаквиравнинен вектор единствения начинразширени по отношение на основата:
, където - реални числа. Извикват се номера векторни координатив тази основа.

Те също така казват векторпредставени във формата линейна комбинациябазисни вектори. Тоест изразът се нарича векторно разлаганебазаили линейна комбинациябазисни вектори.

Например, може да се каже, че един вектор е разширен в ортонормална основа на равнината, или може да се каже, че е представен като линейна комбинация от вектори.

Да формулираме дефиниция на основатаформално: равнинна основае двойка линейно независими (неколинеарни) вектори, , при което всякаквиплоският вектор е линейна комбинация от базисните вектори.

Същественият момент от дефиницията е фактът, че векторите са взети в определен ред. бази - две са напълно различна основа! Както се казва, малкият пръст на лявата ръка не може да бъде преместен на мястото на малкия пръст на дясната ръка.

Разбрахме основата, но не е достатъчно да зададем координатната мрежа и да зададем координати на всеки елемент на компютърното бюро. Защо не е достатъчно? Векторите са свободни и се движат по цялата равнина. И така, как да зададете координати на тези малки мръсни точки на масата, останали от един див уикенд? Необходима е отправна точка. И такава отправна точка е точка, позната на всички - началото на координатите. Разбиране на координатната система:

Ще започна със системата "училище". Още във встъпителния урок Вектори за манекени Подчертах някои от разликите между правоъгълна координатна система и ортонормална основа. Ето стандартната снимка:

Когато говорим за правоъгълна координатна система, тогава най-често означават началото на координатите, координатни осии мащаб по осите. Опитайте да напишете в търсачката „правоъгълна координатна система“ и ще видите, че много източници ще ви разкажат за координатните оси, познати от 5-6 клас и как се нанасят точки върху равнина.

От друга страна изглежда, че правоъгълна системакоординатите могат да бъдат определени от гледна точка на ортонормална основа. И почти е така. Формулировката е следната:

произход, и ортонормалнабазов набор Декартова координатна система на равнината . Тоест правоъгълна координатна система определеносе определя от една точка и два единични ортогонални вектора. Ето защо виждате чертежа, който дадох по-горе - в геометрични задачичесто (но в никакъв случай не винаги) начертайте както вектори, така и координатни оси.

Мисля, че всеки разбира това с помощта на точка (начало) и ортонормална основа ВСЯКА ТОЧКА от равнината и ВСЕКИ ВЕКТОР от равнинатамогат да се задават координати. Образно казано, „всичко в самолета може да се преброи“.

Трябва ли координатните вектори да са единици? Не, те могат да имат произволна ненулева дължина. Да разгледаме точка и два ортогонални вектора с произволна ненулева дължина:

Такава основа се нарича ортогонален. Началото на координатите с вектори определя координатната мрежа и всяка точка от равнината, всеки вектор има свои собствени координати в дадения базис. Например, или. Очевидното неудобство е, че координатните вектори в общ случай имат различни дължини, различни от единица. Ако дължините са равни на единица, тогава се получава обичайната ортонормална основа.

! Забележка : в ортогоналната основа, а също и отдолу в афинни базиразглеждат се равнинни и пространствени единици по осите УСЛОВНО. Например, една единица на абсцисата съдържа 4 см, една единица на ординатата съдържа 2 см. Тази информация е достатъчна, за да преобразувате „нестандартните“ координати в „нашите обичайни сантиметри“, ако е необходимо.

И вторият въпрос, на който всъщност вече беше отговорено - ъгълът между базисните вектори задължително ли е равен на 90 градуса? Не! Както се казва в дефиницията, базисните вектори трябва да бъдат само неколинеарни. Съответно ъгълът може да бъде всичко освен 0 и 180 градуса.

Точка на равнината, наречена произход, и неколинеарнивектори, , комплект афинна координатна система на равнината :

Понякога тази координатна система се нарича кососистема. Точките и векторите са показани като примери на чертежа:

Както разбирате, афинната координатна система е още по-малко удобна, формулите за дължините на векторите и сегментите, които разгледахме във втората част на урока, не работят в нея. Вектори за манекени , много вкусни формули, свързани с скаларно произведение на вектори . Но правилата за добавяне на вектори и умножаване на вектор по число са валидни, формули за разделяне на сегменти в това отношение, както и някои други видове задачи, които ще разгледаме след малко.

И изводът е, че най-удобният частен случай афинна системакоординати е декартова правоъгълна система. Следователно тя, нейната собствена, най-често трябва да се види. ... Всичко в този живот обаче е относително - има много ситуации, в които е подходящо да имаш кос (или някакъв друг, напр. полярен) координатна система. Да, и хуманоидите такива системи може да дойдат на вкус =)

Да преминем към практическата част. Всички задачи този урокса валидни както за правоъгълна координатна система, така и за общия афинен случай. Тук няма нищо сложно, целият материал е достъпен дори за ученик.

Как да определим колинеарността на равнинните вектори?

Типично нещо. За два равнинни вектора са колинеарни, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционални.По същество това е усъвършенстване координата по координата на очевидната връзка.

Пример 1

а) Проверете дали векторите са колинеарни .
б) Векторите образуват ли база? ?

Решение:
а) Разберете дали съществува for вектори коефициент на пропорционалност, така че да са изпълнени равенства:

Определено ще ви разкажа за „шампанския“ вариант на прилагане на това правило, който работи доста добре на практика. Идеята е веднага да съставите пропорция и да видите дали е правилна:

Нека направим пропорция от съотношенията на съответните координати на векторите:

Съкращаваме:
, следователно съответните координати са пропорционални, следователно,

Отношението може да се направи и обратно, това е еквивалентен вариант:

За самопроверка може да се използва фактът, че колинеарни векторисе изразяват линейно едно през друго. AT този случайима равенства . Тяхната валидност може лесно да се провери чрез елементарни операции с вектори:

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Изследваме векторите за колинеарност . Нека създадем система:

От първото уравнение следва, че , от второто уравнение следва, че , което означава, системата е непоследователна (няма решения). Следователно съответните координати на векторите не са пропорционални.

Заключение: векторите са линейно независими и образуват базис.

Опростена версия на решението изглежда така:

Съставете пропорцията от съответните координати на векторите :
, следователно тези вектори са линейно независими и образуват основа.

Обикновено рецензентите не отхвърлят тази опция, но проблем възниква в случаите, когато някои координати са равни на нула. Като този: . Или така: . Или така: . Как да работим с пропорцията тук? (Наистина не можете да разделите на нула). Поради тази причина нарекох опростеното решение "шампанско".

Отговор:а), б) форма.

малък творчески примерза независимо решение:

Пример 2

При каква стойност на параметрите вектори ще бъде колинеарен?

В примерния разтвор параметърът се намира чрез пропорцията.

Има елегантен алгебричен начин за проверка на векторите за колинеарност. Нека систематизираме знанията си и просто да ги добавим като пета точка:

За два равнинни вектора следните твърдения са еквивалентни:

2) векторите образуват основа;
3) векторите не са колинеарни;

+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

съответно следните противоположни твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно зависими;
2) векторите не образуват базис;
3) векторите са колинеарни;
4) векторите могат да бъдат линейно изразени един през друг;
+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е равна на нула.

Много, много се надявам, че в момента вече разбирате всички термини и твърдения, които срещнахте.

Нека разгледаме по-отблизо новата, пета точка: два равнинни вектора са колинеарни тогава и само тогава, когато детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула:. За да използвате тази функция, разбира се, трябва да можете намерете детерминанти .

Ние ще решимПример 1 по втория начин:

а) Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите :
, така че тези вектори са колинеарни.

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на векторите :
, следователно векторите са линейно независими и образуват базис.

Отговор:а), б) форма.

Изглежда много по-компактно и по-красиво от решението с пропорции.

С помощта на разглеждания материал е възможно да се установи не само колинеарността на векторите, но и да се докаже паралелността на сегменти, прави линии. Помислете за няколко задачи с конкретни геометрични фигури.

Пример 3

Дадени са върхове на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е успоредник.

Доказателство: Няма нужда да изграждате чертеж в проблема, тъй като решението ще бъде чисто аналитично. Запомнете дефиницията на успоредник:
Успоредник Нарича се четириъгълник, в който срещуположните страни са по двойки успоредни.

Следователно е необходимо да се докаже:
1) успоредност на противоположните страни и;
2) успоредност на противоположните страни и .

Доказваме:

1) Намерете векторите:

2) Намерете векторите:

Резултатът е един и същ вектор („според училището“ - равни вектори). Колинеарността е доста очевидна, но е по-добре да вземете решението правилно, с подредбата. Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите:
, така че тези вектори са колинеарни и .

Заключение: противоположни страничетириъгълниците са по двойки успоредни, така че е успоредник по дефиниция. Q.E.D.

Още добри и различни фигури:

Пример 4

Дадени са върхове на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е трапец.

За по-строга формулировка на доказателството е по-добре, разбира се, да получите дефиницията на трапец, но е достатъчно просто да си спомните как изглежда.

Това е задача за самостоятелно решение. Цялостно решениев края на урока.

И сега е време бавно да се преместим от самолета в космоса:

Как да определим колинеарността на космическите вектори?

Правилото е много подобно. За да бъдат колинеарни два пространствени вектора, необходимо и достатъчнотака че съответните им координати да са пропорционални.

Пример 5

Разберете дали следните пространствени вектори са колинеарни:

а) ;
б)
в)

Решение:
а) Проверете дали има коефициент на пропорционалност за съответните координати на векторите:

Системата няма решение, което означава, че векторите не са колинеарни.

„Опростено“ се прави чрез проверка на пропорцията. В такъв случай:
– съответните координати не са пропорционални, което означава, че векторите не са колинеарни.

Отговор:векторите не са колинеарни.

b-c) Това са точки за независимо решение. Опитайте го по два начина.

Има метод за проверка на пространствените вектори за колинеарност и чрез детерминанта от трети ред, този методобхванати в статията Кръстосано произведение на вектори .

Подобно на равнинния случай, разглежданите инструменти могат да се използват за изследване на паралелността на пространствени сегменти и прави.

Добре дошли във втория раздел:

Линейна зависимост и независимост на тримерните пространствени вектори.
Пространствен базис и афинна координатна система

Много от закономерностите, които разгледахме в равнината, ще бъдат валидни и за космоса. Опитах се да минимизирам обобщението на теорията, тъй като лъвският дял от информацията вече е предъвкан. Въпреки това ви препоръчвам да прочетете внимателно уводната част, тъй като ще се появят нови термини и понятия.

Сега, вместо равнината на компютърната маса, нека разгледаме триизмерното пространство. Първо, нека създадем неговата основа. Сега някой е на закрито, някой е на открито, но във всеки случай не можем да избягаме от три измерения: ширина, дължина и височина. Следователно, за изграждане на основата са необходими три пространствени вектора. Един или два вектора не са достатъчни, четвъртият е излишен.

И отново загряваме на пръстите. Моля, вдигнете ръката си нагоре и я разперете различни страни палец, показалец и среден пръст. Това ще бъдат вектори, те гледат в различни посоки, имат различни дължини и имат различни ъгли помежду си. Поздравления, основата на триизмерното пространство е готова! Между другото, не е нужно да демонстрирате това на учителите, без значение как въртите пръстите си, но не можете да избягате от определения =)

След това да попитаме важен въпрос, дали всеки три вектора образуват база триизмерно пространство ? Моля, натиснете здраво с три пръста плота на компютърната маса. Какво стана? Три вектора са разположени в една и съща равнина и, грубо казано, сме загубили едно от измерванията - височината. Такива вектори са компланарени съвсем очевидно, че основата на триизмерното пространство не е създадена.

Трябва да се отбележи, че копланарните вектори не трябва да лежат в една и съща равнина, те могат да бъдат в нея успоредни равнини(само не го правете с пръсти, само Салвадор Дали се получи така =)).

Определение: вектори се наричат компланаренако съществува равнина, на която са успоредни. Тук е логично да добавим, че ако такава равнина не съществува, то векторите няма да са копланарни.

Три копланарни вектора винаги са линейно зависими, тоест те са линейно изразени един през друг. За простота си представете отново, че те лежат в една и съща равнина. Първо, векторите не само са копланарни, но могат да бъдат и колинеарни, тогава всеки вектор може да бъде изразен чрез всеки вектор. Във втория случай, ако например векторите не са колинеарни, тогава третият вектор се изразява чрез тях по уникален начин: (и защо е лесно да се познае от материалите на предишния раздел).

Обратното също е вярно: три некомпланарни вектора винаги са линейно независими, тоест по никакъв начин не се изразяват един през друг. И очевидно само такива вектори могат да формират основата на триизмерното пространство.

Определение: Основата на триизмерното пространствосе нарича тройка от линейно независими (некомпланарни) вектори, взети в определен ред, докато всеки вектор на пространството единствения начинразширява в дадения базис , където са координатите на вектора в дадения базис

Като напомняне, можете също да кажете, че векторът е представен като линейна комбинациябазисни вектори.

Концепцията за координатна система се въвежда точно по същия начин, както при плосък калъф, една точка и всякакви три линейни независими вектори:

произход, и некомпланарнивектори, взети в определен ред, комплект афинна координатна система на тримерното пространство :

Разбира се, координатната мрежа е "наклонена" и неудобна, но въпреки това изградената координатна система ни позволява определеноопределяне на координатите на всеки вектор и координатите на всяка точка в пространството. Подобно на равнината, в афинната координатна система на пространството някои формули, които вече споменах, няма да работят.

Най-познатият и удобен частен случай на афинна координатна система, както всеки може да се досети, е правоъгълна пространствена координатна система:

точка в пространството т.нар произход, и ортонормалнабазов набор Декартова координатна система на пространството . позната картинка:

Преди да пристъпим към практически задачи, отново систематизираме информацията:

За три пространствени вектора следните твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно независими;
2) векторите образуват основа;
3) векторите не са компланарни;
4) векторите не могат да бъдат линейно изразени един през друг;
5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

Противоположните твърдения, мисля, са разбираеми.

Линейната зависимост / независимост на пространствените вектори традиционно се проверява с помощта на детерминанта (точка 5). оставащи практически задачище има подчертан алгебричен характер. Време е да окачите геометрична пръчка на пирон и да размахате бейзболна бухалка по линейна алгебра:

Три пространствени вектораса компланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула: .

Обръщам внимание на малък технически нюанс: координатите на векторите могат да бъдат записани не само в колони, но и в редове (стойността на детерминантата няма да се промени от това - вижте по-долу). свойства на детерминантите). Но е много по-добре в колони, тъй като е по-полезно за решаване на някои практически проблеми.

За тези читатели, които малко са забравили методите за изчисляване на детерминанти или може би изобщо са зле ориентирани, препоръчвам един от най-старите ми уроци: Как да изчислим детерминантата?

Пример 6

Проверете дали следните вектори формират основа на триизмерно пространство:

Решение: Всъщност цялото решение се свежда до изчисляване на детерминантата.

а) Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите (детерминантата е разширена на първия ред):

, което означава, че векторите са линейно независими (не копланарни) и формират основата на триизмерно пространство.

Отговор: тези вектори формират основата

б) Това е точка за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока.

запознайте се и творчески задачи:

Пример 7

При каква стойност на параметъра векторите ще бъдат копланарни?

Решение: Векторите са копланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори е равна на нула:

По същество се изисква да се реши уравнение с детерминанта. Ние летим в нули като хвърчила в jerboas - най-изгодно е да отворите детерминанта във втория ред и веднага да се отървете от минусите:

Ние извършваме допълнителни опростявания и свеждаме въпроса до най-простия линейно уравнение:

Отговор: при

Тук е лесно да проверите, за това трябва да замените получената стойност в първоначалната детерминанта и да се уверите, че като го отворите отново.

И накрая, помислете за още един типична задача, който е по-алгебричен по природа и традиционно се включва в курса по линейна алгебра. Толкова е често срещано, че заслужава отделна тема:

Докажете, че 3 вектора образуват основа на тримерно пространство
и намерете координатите на 4-тия вектор в дадения базис

Пример 8

Дадени са вектори. Покажете, че векторите образуват базис на тримерното пространство и намерете координатите на вектора в този базис.

Решение: Нека първо се справим с условието. По условие са дадени четири вектора и, както виждате, те вече имат координати в някакъв базис. Каква е основата - не ни интересува. Интересно е следното: може да се образуват три вектора нова основа. И първата стъпка е напълно същата като решението на пример 6, необходимо е да се провери дали векторите наистина са линейно независими:

Изчислете детерминантата, съставена от координатите на векторите:

, следователно векторите са линейно независими и формират основа на триизмерно пространство.

! важно : векторни координати непременнозаписвам в колонидетерминанта, а не низове. В противен случай ще има объркване в по-нататъшния алгоритъм за решение.