Нека функцията z - f(x, y) е дефинирана в някаква област D и нека Mo(xo, y0) е вътрешна точка на тази област. Определение. Ако съществува такова число, че неравенството е вярно за всички, които отговарят на условията, тогава точката Mo(xo, yo) се нарича точка на локален максимум на функцията f(x, y); ако обаче за всички Dx, Du, отговарящи на условията | тогава точката Mo(x0, y0) се нарича фин локален минимум. С други думи, точката M0(x0, y0) е точката на максимум или минимум на функцията f(x, y), ако съществува 6-околност на точката A/o(x0, y0), така че изобщо точки M(x, y) от този квартал, нарастването на функцията запазва знака. Примери. 1. За функция точката е минимална точка (фиг. 17). 2. За функцията точката 0(0,0) е максималната точка (фиг. 18). 3. За функцията точката 0(0,0) е локалната максимална точка. 4 Наистина, има околност на точката 0(0, 0), например окръжност с радиус j (виж фиг. 19), във всяка точка от която, различна от точката 0(0, 0), стойност на функцията f(x, y) по-малка от 1 = Ще разгледаме само точки на строг максимум и минимум на функциите, когато строгото неравенство или строгото неравенство е валидно за всички точки M(x) y) от някакво пробито 6-около на точката Mq. Стойността на функцията в точката на максимума се нарича максимум, а стойността на функцията в точката на минимум се нарича минимум на тази функция. Точките на максимума и минимума на функцията се наричат ​​точки на екстремум на функцията, а самите максимуми и минимуми на функцията се наричат ​​нейни екстремуми. Теорема 11 (необходимо условие за екстремум). Ако функция Екстремум на функция на няколко променливи Концепцията за екстремум на функция на няколко променливи. Необходими и достатъчни условия за екстремум Условен екстремум Най-големите и най-малките стойности на непрекъснати функции имат екстремум в точката, тогава в тази точка всяка частична производна и u или изчезва, или не съществува. Нека функцията z = f(x) y) има екстремум в точката M0(x0, y0). Нека дадем на променливата y стойността yo. Тогава функцията z = /(x, y) ще бъде функция на една променлива x\ Тъй като при x = xo тя има екстремум (максимум или минимум, фиг. 20), тогава нейната производна по отношение на x = “o, | (*o,l>)" е равно на нула или не съществува. По подобен начин проверяваме, че) или е равно на нула, или не съществува. Точките, в които = 0 и u = 0 или не съществуват, са наречени критични точки на функцията z = Dx, y). Точките, в които $£ = u = 0, се наричат ​​също стационарни точки на функцията. Теорема 11 изразява само необходимите условия за екстремум, които не са достатъчни. 18 Фиг.20 производни на immt, които изчезват при. Но тази функция е доста тънка на imvat “straumum. Наистина, функцията е равна на нула в точка 0(0, 0) и приема точки M(x, y), колкото искате близо до точката 0(0, 0), kkk положителни и отрицателни стойности. За него, така че в точки в точки (0, y) за произволно малки точки, точката 0(0, 0) от този тип се нарича мини-макс точка (фиг. 21). Достатъчните условия за екстремум на функция на две променливи се изразяват със следната теорема. Теорема 12 (достатъчни условия за екстремум от размити променливи). Нека точката Mo(xo, y0) е стационарна точка на функцията f(x, y) и в някаква околност на точката /, включително самата точка Mo, функцията f(r, y) има непрекъснати частични производни нагоре до втори ред включително. Тогава "1) в точката Mq(xq, V0) функцията f(x, y) има максимум, ако детерминантата е в тази точка 2) в точката Mo(x0, V0) функцията f(x, y) има минимум, ако в точка Mo(xo, yo) функцията f(x, y) няма екстремум, ако D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) екстремумът на функцията f(x, y) може да бъде или не. В този случай са необходими допълнителни изследвания. Ограничаваме се до доказване на твърдения 1) и 2) от теоремата. Нека напишем формулата на Тейлър от втори ред за функцията /(i, y): където. По предположение, откъдето е ясно, че знакът на увеличението D/ се определя от знака на тричлена от дясната страна на (1), т.е. знакът на втория диференциал d2f. Нека обозначим за краткост. Тогава равенството (l) може да се запише по следния начин: Нека в точката MQ(so, y0) имаме околност на точката M0(s0,yo). Ако условието (в точката A/0) е изпълнено и, поради непрекъснатост, производната /,z(s, y) ще запази знака си в някаква околност на точката Af0.В областта, където A ∆ 0, имаме 0 в някаква околност на точката M0(x0) y0), тогава знакът на тричлена AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 съвпада със знака A в точката C не може да има различни знаци). Тъй като знакът на сумата AAs2 + 2BAxAy + CAy2 в точката (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) определя знака на разликата, стигаме до следния извод: ако функцията f(s, y) в стационарна точка (s0, yo) удовлетворява условието, тогава за достатъчно малко || неравенството ще се запази. Така в точката (sq, y0) функцията /(s, y) има максимум. Но ако условието е изпълнено в стационарната точка (s0, yo), тогава за всички достатъчно малки |Ar| и |Направи| неравенството е вярно, което означава, че функцията /(s, y) има минимум в точката (so, yo). Примери. 1. Изследване на функция 4 за екстремум Използвайки необходимите условия за екстремум, търсим стационарни точки на функцията. За да направим това, намираме частните производни u и ги приравняваме на нула. Получаваме система от уравнения от където - неподвижна точка. Нека сега използваме теорема 12. Имаме Следователно, има екстремум в точката Ml. Защото това е минимумът. Ако трансформираме функцията g във формата, тогава е лесно да се види, че дясната страна (")" ще бъде минимална, когато е абсолютният минимум на тази функция. 2. Изследване на функцията за екстремум Намираме стационарните точки на функцията, за които съставяме система от уравнения Оттук така, че точката да е неподвижна. Тъй като по силата на теорема 12 в точка М няма екстремум. * 3. Изследвайте функцията за екстремум Намерете стационарните точки на функцията. От системата от уравнения получаваме това, така че точката е неподвижна. Освен това имаме, така че теорема 12 не дава отговор на въпроса за наличието или отсъствието на екстремум. Нека го направим по този начин. За функция относно всички точки, различни от точка, така че по дефиниция в точката A/o(0,0) функцията r има абсолютен минимум. Чрез аналогично изсушаване установяваме, че функцията има максимум в точката, но функцията няма екстремум в точката. Нека функция от η независими променливи е диференцируема в точка. Точката Mo се нарича стационарна точка на функцията, ако. Теорема 13 (достатъчни условия за екстремум). Нека функцията е дефинирана и има непрекъснати частични производни от втори ред в някаква околност на фината линия Mc(xi..., която е стационарна фина функция, ако квадратичната форма (вторият диференциал на функцията f във фината точката е положително определена (отрицателно определена), точката на минимум (съответно фин максимум) на функцията f е глоба Ако квадратичната форма (4) е знакоредуваща, тогава няма екстремум във финия LG0 15.2 Условно екстремум Досега се занимавахме с намирането на локални екстремуми на функция в цялата област на нейната дефиниция, когато аргументите на функцията не са обвързани с никакви допълнителни условия. Нека функцията z \u003d / (x, y) е дефинирана в областта D. Да приемем, че в тази област е дадена крива L и е необходимо да се намерят само екстремумите на функцията f (x> y) сред онези от неговите стойности, които съответстват на точките на кривата L. Същите екстремуми се наричат ​​условни екстремуми на функцията z = f(x) y) на кривата L. Определение Казва се, че в точка, разположена на кривата L, функцията /(x, y) има условен максимум (минимум), ако неравенството е изпълнено, съответно във всички точки M (s, y) крива L, принадлежащи към някаква околност на точката M0(x0, Yo ) и различна от точката M0 (Ако кривата L е дадена с уравнение, тогава проблемът за намиране на условния екстремум на функцията r - f(x, y) върху кривата! може да се формулира по следния начин: намерете екстремумите на функцията x = /(z, y) в областта D, при условие че По този начин, когато намирате условните екстремуми на функцията z = y), аргументите zn вече не могат да се разглеждат като независими променливи: те са свързани помежду си чрез връзката y ) = 0, която се нарича уравнение на ограничение. За да изясним разликата между m «* D y като безусловен и условен екстремум, нека да разгледаме друг пример, безусловния максимум на функцията (фиг. 23) е равно на единица и се достига в точката (0,0). Съответства точно на M - върха на pvvboloid.Нека добавим ограничителното уравнение y = j. Тогава условният максимум очевидно ще е равен.Той се достига в точката (o, |) и съответства на върха Afj на pvvboloid, който е пресечната линия на pvvboloid с равнината y = j. В случай на безусловен минимум s имаме най-малкото приложение сред всички експлицити на повърхността * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv условно - само сред vllkvt точки pvrboloidv, съответстващи на точка * от правата y = j не от равнината xOy. Един от методите за намиране на условния екстремум на функция при наличие и връзка е следният. Нека уравнението на връзката y) - O дефинира y като еднозначна диференцируема функция на аргумента x: Замествайки функцията вместо y във функцията, получаваме функция на един аргумент, в който условието за връзка вече е взето под внимание . (Безусловният) екстремум на функцията е желаният условен екстремум. Пример. Намерете екстремума на функция при условие Екстремум на функция на няколко променливи Концепцията за екстремум на функция на няколко променливи. Необходими и достатъчни условия за екстремум Условен екстремум Най-големите и най-малките стойности на непрекъснатите функции A От уравнението на връзката (2") намираме y \u003d 1-x. Замествайки тази стойност на y в (V), получаваме a функция на един аргумент x: Изследваме го за екстремум: откъдето x \u003d 1 - критична точка;, така че доставя условен минимум на функцията r (фиг. 24). Нека посочим друг начин за решаване на проблема с условното екстремум, наречен метод на множител на Лагранж Нека има точка на условен екстремум на функцията при наличие на връзка Нека приемем, че уравнението на връзката дефинира уникална непрекъснато диференцируема функция в някаква околност на точката xi Ако приемем, че ние получаваме, че производната по отношение на x на функцията /(r, ip(x)) в точката xq трябва да бъде равна на нула или, което е еквивалентно на това, диференциала на f (x, y) в точката Mo "O) От уравнението на връзката имаме (5) Тогава, поради произволността на dx, получаваме Равенства (6) и (7) изразяват необходимите условия за безусловен екстремум в точка на функция, наречена функция на Лагранж. По този начин точката на условния екстремум на функцията / (x, y), ако, е задължително стационарна точка на функцията на Лагранж, където A е някакъв числов коефициент. От тук получаваме правило за намиране на условни екстремуми: за да намерим точки, които могат да бъдат точки на екстремния екстремум на функция при наличие на връзка, 1) съставяме функцията на Лагранж, 2) приравняваме производните и W на тази функция до нула и добавяйки уравнението на връзката към получените уравнения, получаваме система от три уравнения, от които намираме стойностите на A и координатите x, y на възможните екстремални точки. Въпросът за съществуването и естеството на условния екстремум се решава въз основа на изследване на знака на втория диференциал на функцията на Лагранж за разглежданата система от стойности x0, Yo, A, получена от (8) при условие че Ако, тогава в точката (x0, Yo) функцията f(x, y) има условен максимум; ако d2F > 0 - тогава условният минимум. По-специално, ако в стационарна точка (xo, J/o) детерминантата D за функцията F(x, y) е положителна, тогава в точката (®o, V0) има условен максимум на функцията /( x, y) if и условен минимум на функцията /(x, y), if Пример. Нека се обърнем отново към условията на предишния пример: намерете екстремума на функцията, при условие че x + y = 1. Ще решим проблема, като използваме метода на умножителя на Лагранж. Функцията на Лагранж в този случай има формата За намиране на стационарни точки съставяме система От първите две уравнения на системата получаваме, че x = y. Тогава от третото уравнение на системата (уравнение на свързване) намираме, че x - y = j - координатите на точката на възможен екстремум. В този случай (посочено е, че A \u003d -1. По този начин функцията на Лагранж. е условна минимална точка на функцията * \u003d x2 + y2 при условие, че няма безусловен екстремум за функцията на Лагранж. P ( x, y) все още не означава липса на условен екстремум за функцията /(x, y) при наличие на връзка Пример: Намерете екстремума на функцията при условие y 4 Съставете функцията на Лагранж и изпишете система за определяне на A и координатите на възможните точки на екстремум: y = A = 0. Така съответната функция на Лагранж има формата В точката (0, 0) функцията F(x, y; 0) няма безусловен екстремум, но условният екстремум на функцията r = xy. Когато y = x, има "Наистина, в този случай r = x2. От тук е ясно, че в точката (0,0) има условен минимум , "Методът на множителите на Лагранж се прехвърля в случай на функции с произволен брой аргументи / Нека екстремумът на функцията се търси в присъствието на уравнения на връзката Sostaalyaem функцията на Лагранж, където A|, Az,..., A ", - не някои постоянни фактори. Приравнявайки към нула всички частни производни от първи ред на функцията F и добавяйки към получените уравнения уравненията за връзка (9), получаваме система от n + m уравнения, от която определяме Ab A3|..., Am и координатите x\) x2) . » xn възможни точки на условния екстремум. Въпросът дали точките, намерени по метода на Лагранж, наистина са условни точки на екстремум, често може да бъде решен въз основа на съображения от физическо или геометрично естество. 15.3. Максимални и минимални стойности на непрекъснати функции Нека се изисква да се намери максималната (най-малката) стойност на функция z = /(x, y), непрекъсната в някаква разширена ограничена област D. Съгласно теорема 3 в тази област има точка (xo, V0), в която функцията приема най-голямата (най-малката) стойност. Ако точката (xo, y0) лежи вътре в областта D, тогава функцията / има максимум (минимум) в нея, така че в този случай интересуващата ни точка се съдържа сред критичните точки на функцията /(x , y). Функцията /(x, y) обаче може също да достигне своята максимална (най-малка) стойност на границата на региона. Следователно, за да се намери най-голямата (най-малката) стойност, взета от функцията z = /(x, y) в ограничена затворена област 2), е необходимо да се намерят всички максимуми (минимуми) на функцията, постигнати в тази област , както и най-голямата (най-малката) стойност на функцията на границата на тази област. Най-голямото (най-малкото) от всички тези числа ще бъде желаната максимална (най-малката) стойност на функцията z = /(x, y) в областта 27. Нека покажем как се прави това в случай на диференцируема функция. Prmmr. Намерете най-големите и най-малките стойности на функцията на област 4. Намираме критичните точки на функцията вътре в областта D. За да направим това, съставяме система от уравнения. От тук получаваме x \u003d y "0, така че точката 0 (0,0) е критичната точка на функцията x. Тъй като Нека сега намерим най-големите и най-малките стойности на функцията на границата Г на областта D. От страна на границата имаме така, че y \u003d 0 е критична точка, и тъй като \u003d тогава в това точка функцията z \u003d 1 + y2 има минимум, равен на единица. В краищата на сегмента G", в точки (, имаме. Използвайки съображения за симетрия, получаваме същите резултати за други части на границата. Накрая получаваме: най-малката стойност на функцията z \u003d x2 + y2 в областта "B" е равна на нула и се достига във вътрешната точка 0( 0, 0) на областта, а максималната стойност на тази функция, равна на две, се достига в четири точки от границата (фиг. 25) Фиг.25 Функции за упражнения: Намерете частните производни на функции и техните общи диференциали: Намерете производните на сложни функции: 3 Намерете J. Екстремум на функция на няколко променливи Понятие за екстремум на функция на няколко променливи Необходимо и достатъчно условия за екстремум Условен екстремум Най-големите и най-малките стойности на непрекъснати функции 34. Използване на формулата за производна на сложна функция две променливи, намиране и функции: 35. Използване на формулата за производна на сложна функция в две променливи, намерете |J и функции: Намерете jj неявни функции: 40. Намерете наклона на допирателната в точката на пресичане с правата x = 3. 41. Намерете точките, където тангентата на x-кривата е успоредна на оста x. . В следните задачи намерете и Z: Напишете уравненията за допирателната равнина и нормалата на повърхността: 49. Напишете уравненията за допирателните равнини на повърхността x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21, успоредни на равнината x + 4y + 6z \u003d 0. Намерете първите три до четири члена на разширението, като използвате формулата на Тейлър: 50. y в съседство на точката (0, 0). Използвайки дефиницията на екстремума на функция, проучете следните функции за екстремум:). Използвайки достатъчни условия за екстремума на функция на две променливи, изследвайте екстремума на функцията: 84. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията z \u003d x2 - y2 в затворен кръг 85. Намерете най-голямата и най-малката стойности на функцията * \u003d x2y (4-x-y) в триъгълник, ограничен от линии x \u003d 0, y = 0, x + y = b. 88. Определете размерите на правоъгълен открит басейн с най-малка повърхност, при условие че обемът му е равен на V. 87. Намерете размерите на правоъгълен паралелепипед с дадена обща повърхност от 5 максимален обем. Отговори 1. и | Квадрат, образуван от отсечки x, включително страните му. 3. Семейство от концентрични пръстени 2= 0,1,2,... .4. Цялата равнина с изключение на точките на правите y. Частта от равнината, разположена над параболата y \u003d -x?. 8. Окръжни точки x. Цялата равнина с изключение на правите x Радикалният израз е неотрицателен в два случая j * ^ или j x ^ ^, което е еквивалентно съответно на безкрайна поредица от неравенства Областта на дефиниция е защриховани квадратчета (фиг. 26) ; l, което е еквивалентно на безкрайна серия Функцията е дефинирана в точки. a) Прави, успоредни на правата x b) Концентрични окръжности с център в началото. 10. а) параболи у) параболи у а) параболи б) хиперболи | .Самолети xc. 13.Prim - хиперболоиди с една кухина на въртене около оста Oz; за и са двуслойни хиперболоиди на въртене около оста Oz, двете семейства повърхности са разделени от конус; Няма граница, b) 0. 18. Нека y = kxt, тогава z lim z = -2, така че дадената функция в точка (0,0) няма граница. 19. а) Точка (0,0); б) точка (0,0). 20. а) Прекъсната линия - окръжност x2 + y2 = 1; б) линията на прекъсване е права линия y \u003d x. 21. а) Линии на прекъсване - координатни оси Ox и Oy; б) 0 (празно множество). 22. Всички точки (m, n), където и n са цели числа

Определение1: За функция се казва, че има локален максимум в точка, ако съществува околност на точката, така че за всяка точка Мс координати (x, y)неравенството е изпълнено: . В този случай, т.е. нарастването на функцията< 0.

Определение2: За функция се казва, че има локален минимум в точка, ако съществува околност на точката, така че за всяка точка Мс координати (x, y)неравенството е изпълнено: . В този случай, т.е. нарастването на функцията > 0.

Определение 3: Извикват се локални минимални и максимални точки екстремни точки.

Условни крайности

При търсене на екстремуми на функция на много променливи често възникват проблеми, свързани с т.нар условна крайност.Тази концепция може да се обясни с примера на функция на две променливи.

Нека са дадени функция и права Лна повърхността 0xy. Задачата е да се редят Лнамери такава точка P(x, y),в която стойността на функцията е най-голямата или най-малката в сравнение със стойностите на тази функция в точките на линията Лразположен в близост до точката П. Такива точки ПНаречен условни точки на екстремумлинейни функции Л. За разлика от обичайната точка на екстремум, стойността на функцията в условната точка на екстремум се сравнява със стойностите на функцията не във всички точки на някои от нейните околности, а само в тези, които лежат на линията Л.

Съвсем ясно е, че точката на обичайния екстремум (те също казват безусловен екстремум) също е условна точка на екстремум за всяка права, минаваща през тази точка. Обратното, разбира се, не е вярно: една условна точка на екстремум може да не е конвенционална точка на екстремум. Нека обясня това с прост пример. Графиката на функцията е горната полусфера (Приложение 3 (фиг. 3)).

Тази функция има максимум в началото; тя съответства на върха Мполукълба. Ако линията Лима права, минаваща през точките НОи AT(нейното уравнение x+y-1=0), тогава е геометрично ясно, че за точките на тази права максималната стойност на функцията се достига в точката, разположена в средата между точките НОи AT.Това е точката на условния екстремум (максимум) на функцията върху дадената права; тя съответства на точката M 1 на полусферата и от фигурата се вижда, че тук не може да става дума за обикновен екстремум.

Обърнете внимание, че в последната част на задачата за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в затворена област, трябва да намерим екстремните стойности на функцията на границата на тази област, т.е. на някаква линия и по този начин решаване на проблема за условен екстремум.

Нека сега преминем към практическото търсене на точките на условния екстремум на функцията Z= f(x, y), при условие че променливите x и y са свързани с уравнението (x, y) = 0. Тази връзка ще бъде наречено уравнение на ограничение. Ако от уравнението на връзката y може да бъде изразено изрично по отношение на x: y \u003d (x), получаваме функция на една променлива Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).

След като намерим стойността на x, при която тази функция достига екстремум, и след това определим съответните стойности на y от уравнението на връзката, ще получим желаните точки на условния екстремум.

И така, в горния пример, от уравнението на комуникацията x+y-1=0 имаме y=1-x. Оттук

Лесно се проверява, че z достига своя максимум при x = 0,5; но тогава от уравнението на връзката y = 0,5 и получаваме точно точката P, намерена от геометрични съображения.

Проблемът с условния екстремум се решава много просто, дори когато ограничителното уравнение може да бъде представено чрез параметрични уравнения x=x(t), y=y(t). Замествайки изразите за x и y в тази функция, отново стигаме до проблема за намиране на екстремума на функция на една променлива.

Ако уравнението на ограничението има по-сложна форма и ние не можем нито изрично да изразим една променлива по отношение на друга, нито да я заменим с параметрични уравнения, тогава проблемът за намиране на условен екстремум става по-труден. Ще продължим да приемаме, че в израза на функцията z= f(x, y) променливата (x, y) = 0. Общата производна на функцията z= f(x, y) е равна на:

Къде е производната y`, намерена по правилото за диференциране на неявната функция. В точките на условния екстремум намерената обща производна трябва да бъде равна на нула; това дава едно уравнение, свързващо x и y. Тъй като те също трябва да удовлетворяват ограничителното уравнение, получаваме система от две уравнения с две неизвестни

Нека трансформираме тази система в много по-удобна, като напишем първото уравнение като пропорция и въведем ново спомагателно неизвестно:

(за удобство отпред е поставен знак минус). От тези равенства лесно се преминава към следната система:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

което, заедно с ограничителното уравнение (x, y) = 0, образува система от три уравнения с неизвестни x, y и.

Тези уравнения (*) са най-лесни за запомняне, като се използва следното правило: за да се намерят точки, които могат да бъдат точки на условния екстремум на функцията

Z= f(x, y) с ограничителното уравнение (x, y) = 0, трябва да формирате спомагателна функция

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Къде е някаква константа и напишете уравнения, за да намерите точките на екстремума на тази функция.

Посочената система от уравнения предоставя като правило само необходимите условия, т.е. не всяка двойка стойности x и y, която удовлетворява тази система, е непременно условна точка на екстремум. Няма да давам достатъчни условия за условни точки на екстремум; много често конкретното съдържание на проблема подсказва каква е намерената точка. Описаната техника за решаване на задачи за условен екстремум се нарича метод на множителите на Лагранж.

Достатъчно условие за екстремум на функция на две променливи

1. Нека функцията е непрекъснато диференцируема в някаква околност на точката и има непрекъснати частни производни от втори ред (чисти и смесени).

2. Означава се с детерминанта от втори ред

екстремна променлива лекционна функция

Теорема

Ако точката с координати е неподвижна точка за функцията, тогава:

А) Когато е точка на локален екстремум и при локален максимум - локален минимум;

В) когато точката не е локална точка на екстремум;

В) ако, може и двете.

Доказателство

Пишем формулата на Тейлър за функцията, ограничавайки се до два члена:

Тъй като според условието на теоремата точката е неподвижна, частните производни от втори ред са равни на нула, т.е. и. Тогава

Обозначете

Тогава увеличението на функцията ще приеме формата:

Поради непрекъснатостта на частичните производни от втори ред (чисти и смесени), съгласно условието на теоремата в точка, можем да запишем:

Къде или; ,

1. Нека и, т.е. или.

2. Умножаваме нарастването на функцията и разделяме на, получаваме:

3. Допълнете израза във къдрави скоби до пълния квадрат на сумата:

4. Изразът във къдрави скоби е неотрицателен, тъй като

5. Следователно, ако и следователно, и, тогава и, следователно, според дефиницията точката е точка на локален минимум.

6. Ако и означава, и, тогава, според определението, точка с координати е локална максимална точка.

2. Помислете за квадратен тричлен, неговия дискриминант, .

3. Ако, тогава има такива точки, че полиномът

4. Общото нарастване на функцията в точка в съответствие с израза, получен в I, записваме във формата:

5. Поради непрекъснатостта на частичните производни от втори ред, по условието на теоремата в точка, можем да запишем, че

следователно съществува околност на точка, така че за всяка точка квадратният трином е по-голям от нула:

6. Разгледайте - околността на точката.

Нека изберем произволна стойност, така че това е смисълът. Ако приемем, че във формулата за нарастване на функцията

Какво получаваме:

7. От тогава.

8. Като се аргументираме по подобен начин за корена, получаваме, че във всяка - околност на точката има точка, за която следователно в околността на точката не запазва знак, следователно няма екстремум в точката.

Условен екстремум на функция на две променливи

При търсене на екстремуми на функция на две променливи често възникват проблеми, свързани с така наречения условен екстремум. Тази концепция може да се обясни с примера на функция на две променливи.

Нека в равнината 0xy са дадени функция и права L. Задачата е да се намери точка P (x, y) на правата L, в която стойността на функцията е най-голяма или най-малка в сравнение със стойностите на тази функция в точките на правата L, разположени близо до точка P. Такива точки P се наричат ​​условни функции на екстремни точки на линията L. За разлика от обичайната екстремна точка, стойността на функцията в условната екстремална точка се сравнява със стойностите на функцията не във всички точки на някои от околностите му, но само при тези, които лежат на линията L.

Съвсем ясно е, че точката на обичайния екстремум (те също така казват безусловния екстремум) е и точката на условния екстремум за всяка права, минаваща през тази точка. Обратното, разбира се, не е вярно: една условна точка на екстремум може да не е конвенционална точка на екстремум. Нека илюстрираме казаното с пример.

Пример #1.Графиката на функцията е горната полусфера (фиг. 2).

Ориз. 2.

Тази функция има максимум в началото; той съответства на върха М на полукълбото. Ако правата L е права, минаваща през точки A и B (нейното уравнение), тогава е геометрично ясно, че за точките на тази права максималната стойност на функцията се достига в точката, разположена по средата между точките A и B. Това е условният екстремум (максимум) точкови функции на тази права; тя съответства на точката M 1 на полусферата и от фигурата се вижда, че тук не може да става дума за обикновен екстремум.

Обърнете внимание, че в последната част на задачата за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в затворена област трябва да се намерят екстремните стойности на функцията на границата на тази област, т.е. на някаква линия и по този начин решаване на проблема за условен екстремум.

Определение 1.Те казват, че където има условен или относителен максимум (минимум) в точка, която удовлетворява уравнението: ако за всяко, което удовлетворява уравнението, неравенството

Определение 2.Уравнение от формата се нарича уравнение на ограничение.

Теорема

Ако функциите и са непрекъснато диференцируеми в околност на точка и частната производна, а точката е точката на условния екстремум на функцията по отношение на уравнението на ограничението, тогава детерминантата от втори ред е равна на нула:

Доказателство

1. Тъй като според условието на теоремата, частната производна и стойността на функцията, тогава в някакъв правоъгълник

дефинирана неявна функция

Сложна функция на две променливи в точка ще има локален екстремум, следователно, или.

2. Действително, според свойството за инвариантност на диференциалната формула от първи ред

3. Уравнението на връзката може да бъде представено в тази форма, което означава

4. Умножете уравнение (2) по и (3) по и ги добавете

Следователно, когато

произволен. h.t.d.

Последица

Търсенето на условни точки на екстремум на функция на две променливи на практика се извършва чрез решаване на система от уравнения

И така, в горния пример № 1 от уравнението на комуникацията имаме. От тук е лесно да проверите какво достига максимум при . Но тогава от уравнението на комуникацията. Получаваме точката P, намерена геометрично.

Пример #2.Намерете условните точки на екстремум на функцията по отношение на уравнението на ограничението.

Нека намерим частните производни на дадената функция и уравнението на връзката:

Нека направим детерминанта от втори ред:

Нека запишем системата от уравнения за намиране на условни точки на екстремум:

следователно има четири условни точки на екстремум на функцията с координати: .

Пример #3.Намерете точките на екстремума на функцията.

Приравнявайки частните производни на нула: , намираме една неподвижна точка - началото. Тук,. Следователно точката (0, 0) също не е точка на екстремум. Уравнението е уравнението на хиперболичен параболоид (фиг. 3), фигурата показва, че точката (0, 0) не е точка на екстремум.

Ориз. 3.

Най-голямата и най-малката стойност на функция в затворена област

1. Нека функцията е дефинирана и непрекъсната в ограничена затворена област D.

2. Нека функцията има крайни частни производни в тази област, с изключение на отделни точки от областта.

3. В съответствие с теоремата на Вайерщрас в тази област има точка, в която функцията приема най-големи и най-малки стойности.

4. Ако тези точки са вътрешни точки на област D, тогава е очевидно, че те ще имат максимум или минимум.

5. В този случай точките, които ни интересуват, са сред подозрителните точки на екстремума.

6. Функцията обаче може също да приеме максимална или минимална стойност на границата на областта D.

7. За да намерите най-голямата (най-малката) стойност на функцията в областта D, трябва да намерите всички вътрешни точки, подозрителни за екстремум, да изчислите стойността на функцията в тях, след което да сравните със стойността на функцията при граничните точки на зоната и най-голямата от всички намерени стойности ще бъде най-голямата в затворения регион D.

8. Методът за намиране на локален максимум или минимум беше разгледан по-рано в Раздел 1.2. и 1.3.

9. Остава да разгледаме метода за намиране на максималните и минималните стойности на функцията на границата на региона.

10. В случай на функция на две променливи областта обикновено се оказва ограничена от крива или няколко криви.

11. По такава крива (или няколко криви) променливите и или зависят една от друга, или и двете зависят от един параметър.

12. Така на границата функцията се оказва зависима от една променлива.

13. Методът за намиране на най-голямата стойност на функция на една променлива беше обсъден по-рано.

14. Нека границата на областта D е дадена от параметричните уравнения:

Тогава върху тази крива функцията на две променливи ще бъде комплексна функция на параметъра: . За такава функция най-голямата и най-малката стойност се определят чрез метода за определяне на най-големите и най-малките стойности за функция на една променлива.

Екстремуми на функции на няколко променливи. Необходимо условие за екстремум. Достатъчно условие за екстремум. Условна крайност. Метод на множителите на Лагранж. Намиране на най-голямата и най-малката стойност.

Лекция 5

Определение 5.1.Точка M 0 (x 0, y 0)Наречен максимална точкафункции z = f(x, y),ако f (x o, y o) > f(x, y)за всички точки (x, y) М 0.

Определение 5.2.Точка M 0 (x 0, y 0)Наречен минимална точкафункции z = f(x, y),ако f (x o, y o) < f(x, y)за всички точки (x, y)от някакъв квартал на точката М 0.

Забележка 1. Извикват се максималните и минималните точки екстремни точкифункции на няколко променливи.

Забележка 2. Точката на екстремум за функция на произволен брой променливи се дефинира по подобен начин.

Теорема 5.1(необходими екстремни условия). Ако M 0 (x 0, y 0)е екстремната точка на функцията z = f(x, y),тогава в този момент частните производни от първи ред на тази функция са равни на нула или не съществуват.

Доказателство.

Нека фиксираме стойността на променливата приброене y = y 0. След това функцията f(x, y0)ще бъде функция на една променлива х, за което x = x 0е екстремната точка. Следователно, по теоремата на Ферма или не съществува. Същото твърдение е доказано за .

Определение 5.3.Точките, принадлежащи към областта на функция на няколко променливи, в които частните производни на функцията са равни на нула или не съществуват, се наричат стационарни точкитази функция.

Коментирайте. Така екстремумът може да бъде достигнат само в стационарни точки, но не е задължително да се наблюдава във всяка от тях.

Теорема 5.2(достатъчни условия за екстремум). Нека в някои околности на точката M 0 (x 0, y 0), която е неподвижна точка на функцията z = f(x, y),тази функция има непрекъснати частни производни до 3-ти ред включително. Означете тогава:

1) f(x, y)има в точката М 0максимум ако AC-B² > 0, А < 0;

2) f(x, y)има в точката М 0минимум ако AC-B² > 0, А > 0;

3) няма екстремум в критичната точка, ако AC-B² < 0;

4) ако AC-B² = 0, необходими са допълнителни изследвания.

Доказателство.

Нека напишем формулата на Тейлър от втори ред за функцията f(x, y),като се има предвид, че в стационарна точка частните производни от първи ред са равни на нула:

където Ако ъгълът между сегмента М 0 М, където M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ при), и оста O хобозначават φ, тогава Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. В този случай формулата на Тейлър ще приеме формата: . Нека Тогава можем да разделим и умножим израза в скобите по НО. Получаваме:

Помислете сега за четири възможни случая:

1) AC-B² > 0, А < 0. Тогда , и за достатъчно малък Δρ. Следователно в някакъв квартал M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f(x0, y0), това е М 0е максималната точка.

2) Нека AC-B² > 0, А > 0.Тогава , и М 0е минималната точка.

3) Нека AC-B² < 0, А> 0. Разгледайте нарастването на аргументите по лъча φ = 0. Тогава от (5.1) следва, че , тоест при движение по този лъч функцията нараства. Ако се движим по лъч, така че tg φ 0 \u003d -A / B,тогава , следователно при движение по този лъч функцията намалява. Така че точката М 0не е крайна точка.

3`) Кога AC-B² < 0, А < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

подобен на предишния.

3``) Ако AC-B² < 0, А= 0, тогава . При което . Тогава, за достатъчно малък φ, израз 2 б cos + ° С sinφ близо до 2 AT, тоест запазва постоянен знак, а sinφ променя знака в близост до точката М 0 .Това означава, че нарастването на функцията променя знака в близост до стационарната точка, която следователно не е точка на екстремум.

4) Ако AC-B² = 0 и , , тоест знакът на нарастването се определя от знака 2α 0 . В същото време са необходими допълнителни изследвания, за да се изясни въпросът за съществуването на екстремум.

Пример. Нека намерим точките на екстремума на функцията z=x² - 2 xy + 2г² + 2 х.За да търсим стационарни точки, решаваме системата . И така, неподвижната точка е (-2,-1). При което А = 2, AT = -2, ОТ= 4. Тогава AC-B² = 4 > 0, следователно се достига екстремум в стационарната точка, а именно минимумът (тъй като А > 0).

Определение 5.4.Ако аргументите на функцията f (x 1, x 2,…, x n)обвързани с допълнителни условия във формуляра муравнения ( м< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

където функциите φ i имат непрекъснати частни производни, тогава се наричат ​​уравнения (5.2). уравнения на връзката.

Определение 5.5.Функция екстремум f (x 1, x 2,…, x n)при условия (5.2) се нарича условен екстремум.

Коментирайте. Можем да предложим следната геометрична интерпретация на условния екстремум на функция от две променливи: нека аргументите на функцията f(x,y)са свързани с уравнението φ (x, y)= 0, определяща някаква крива в равнината O ху. Възстановявайки от всяка точка на тази крива перпендикуляри към равнината О хупреди да пресече повърхността z = f (x, y),получаваме пространствена крива, лежаща на повърхността над кривата φ (x, y)= 0. Проблемът е да се намерят точките на екстремум на получената крива, които, разбира се, в общия случай не съвпадат с безусловните точки на екстремум на функцията f(x,y).

Нека дефинираме необходимите условни екстремални условия за функция на две променливи, като предварително въведем следното определение:

Определение 5.6.функция L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

където λ i -някои константи, т.нар Функция на Лагранж, и числата λi– неопределени множители на Лагранж.

Теорема 5.3(необходими условни екстремални условия). Условен екстремум на функцията z = f(x, y)при наличие на ограничителното уравнение φ ( x, y)= 0 може да се достигне само в стационарни точки на функцията на Лагранж L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Доказателство. Уравнението на ограничението дефинира неявна зависимост приот х, така че ще приемем, че приима функция от х: y = y(x).Тогава zима сложна функция х, а неговите критични точки се определят от условието: . (5.4) От уравнението на ограничението следва, че . (5.5)

Умножаваме равенството (5.5) по някакво число λ и го добавяме към (5.4). Получаваме:

, или .

Последното равенство трябва да се изпълнява в стационарни точки, от което следва:

(5.6)

Получава се система от три уравнения за три неизвестни: x, yи λ, като първите две уравнения са условията за стационарната точка на функцията на Лагранж. Елиминирайки спомагателното неизвестно λ от системата (5.6), намираме координатите на точките, в които оригиналната функция може да има условен екстремум.

Забележка 1. Наличието на условен екстремум в намерената точка може да се провери чрез изследване на частните производни от втори ред на функцията на Лагранж по аналогия с теорема 5.2.

Забележка 2. Точки, в които може да се достигне условният екстремум на функцията f (x 1, x 2,…, x n)при условия (5.2), могат да се определят като решения на системата (5.7)

Пример. Намерете условния екстремум на функцията z = xyв състояние x + y= 1. Съставете функцията на Лагранж L(x, y) = xy + λ (x + y –един). Тогава системата (5.6) изглежда така:

Откъдето -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. При което L (x, y)може да се представи като L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, следователно в намерената неподвижна точка L (x, y)има максимум и z = xy -условен максимум.

Нека първо разгледаме случая на функция на две променливи. Условният екстремум на функцията $z=f(x,y)$ в точка $M_0(x_0;y_0)$ е екстремумът на тази функция, достигнат при условие, че променливите $x$ и $y$ в околностите на тази точка удовлетворяват уравнението на ограничението $\ varphi(x,y)=0$.

Името "условен" екстремум се дължи на факта, че допълнителното условие $\varphi(x,y)=0$ е наложено върху променливите. Ако е възможно да се изрази една променлива по отношение на друга от уравнението на връзката, тогава проблемът за определяне на условния екстремум се свежда до проблема за обичайния екстремум на функция на една променлива. Например, ако $y=\psi(x)$ следва от уравнението на ограничението, тогава замествайки $y=\psi(x)$ в $z=f(x,y)$, получаваме функция на една променлива $ z=f\ляво (x,\psi(x)\дясно)$. В общия случай обаче този метод е малко полезен, така че е необходим нов алгоритъм.

Метод на множителите на Лагранж за функции на две променливи.

Методът на умножителите на Лагранж е, че за да се намери условният екстремум, функцията на Лагранж се съставя: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (параметърът $\lambda $ се нарича множител на Лагранж). Необходимите екстремални условия се дават чрез система от уравнения, от които се определят стационарните точки:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$

Знакът $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Ако в стационарна точка $d^2F > 0$, тогава функцията $z=f(x,y)$ има условен минимум в тази точка, но ако $d^2F< 0$, то условный максимум.

Има и друг начин да се определи естеството на екстремума. От уравнението на ограничението получаваме: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, така че във всяка неподвижна точка имаме:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\вдясно)$$

Вторият фактор (разположен в скоби) може да бъде представен в следната форма:

Елементи на $\left| \begin(масив) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (масив) \right|$, което е хесианът на функцията на Лагранж. Ако $H > 0$, тогава $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, т.е. имаме условен минимум на функцията $z=f(x,y)$.

Забележка относно формата на детерминанта $H$. Покажи скрий

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ край (масив) \right| $$

В тази ситуация правилото, формулирано по-горе, се променя, както следва: ако $H > 0$, тогава функцията има условен минимум и за $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Алгоритъм за изследване на функция на две променливи за условен екстремум

1. Съставете функцията на Лагранж $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Решете система $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
3. Определете естеството на екстремума във всяка от стационарните точки, намерени в предходния параграф. За да направите това, използвайте някой от следните методи:
   • Съставете определителя $H$ и намерете неговия знак
   • Като вземете предвид уравнението на ограничението, изчислете знака на $d^2F$

Метод на множителя на Лагранж за функции на n променливи

Да предположим, че имаме функция от $n$ променливи $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ и $m$ уравнения за ограничаване ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Означавайки множителите на Лагранж като $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, съставяме функцията на Лагранж:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Необходимите условия за наличие на условен екстремум се дават от система от уравнения, от които се намират координатите на стационарни точки и стойностите на множителите на Лагранж:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Възможно е да разберете дали функцията има условен минимум или условен максимум в намерената точка, както преди, чрез знака $d^2F$. Ако в намерената точка $d^2F > 0$, тогава функцията има условен минимум, но ако $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Детерминанта на матрицата $\left| \begin(масив) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( масив) \right|$, подчертано в червено в матрицата $L$, е Хесианът на функцията на Лагранж. Използваме следното правило:

• Ако знаците на ъгловите минори са $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ матрици $L$ съвпадат със знака $(-1)^m$, тогава изследваната стационарна точка е условната минимална точка на функцията $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Ако знаците на ъгловите минори са $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ се редуват и знакът на второстепенното $H_(2m+1)$ съвпада със знака на числото $(-1)^(m+1 )$, тогава изследваната стационарна точка е условната максимална точка на функцията $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Пример #1

Намерете условния екстремум на функцията $z(x,y)=x+3y$ при условие $x^2+y^2=10$.

Геометричната интерпретация на тази задача е следната: трябва да се намери най-голямата и най-малката стойност на апликацията на равнината $z=x+3y$ за точките на нейното пресичане с цилиндъра $x^2+y^2 =10$.

Донякъде е трудно да изразим една променлива по отношение на друга от ограничителното уравнение и да я заместим във функцията $z(x,y)=x+3y$, така че ще използваме метода на Лагранж.

Означавайки $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, съставяме функцията на Лагранж:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Нека запишем системата от уравнения за определяне на стационарните точки на функцията на Лагранж:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (подравнено)\вдясно.$$

Ако приемем $\lambda=0$, тогава първото уравнение става: $1=0$. Полученото противоречие казва, че $\lambda\neq 0$. При условието $\lambda\neq 0$, от първото и второто уравнение имаме: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Замествайки получените стойности в третото уравнение, получаваме:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\край (подравнено) $$

И така, системата има две решения: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ и $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Нека разберем природата на екстремума във всяка стационарна точка: $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$. За да направим това, изчисляваме детерминантата $H$ във всяка от точките.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\ламбда;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \ляво| \begin(масив) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right| $$

В точката $M_1(1;3)$ получаваме: $H=8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, така че в точката $M_1(1;3)$ функцията $z(x,y)=x+3y$ има условен максимум, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

По същия начин в точката $M_2(-1;-3)$ намираме: $H=8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. От $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Отбелязвам, че вместо да се изчислява стойността на детерминантата $H$ във всяка точка, е много по-удобно да се отвори по общ начин. За да не претрупвам текста с подробности, ще скрия този метод под бележка.

Детерминант $H$ нотация в общ вид. Покажи скрий

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

По принцип вече е очевидно кой знак има $H$. Тъй като нито една от точките $M_1$ или $M_2$ не съвпада с началото, то $y^2+x^2>0$. Следователно знакът на $H$ е противоположен на знака на $\lambda$. Можете също да завършите изчисленията:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(подравнено) $$

Въпросът за природата на екстремума в стационарните точки $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ може да бъде решен без използване на детерминантата $H$. Намерете знака на $d^2F$ във всяка неподвижна точка:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Отбелязвам, че записът $dx^2$ означава точно $dx$, повдигнат на втора степен, т.е. $\left(dx\right)^2$. Следователно имаме: $dx^2+dy^2>0$, така че за $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ получаваме $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Отговор: в точката $(-1;-3)$ функцията има условен минимум, $z_(\min)=-10$. В точката $(1;3)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=10$

Пример #2

Намерете условния екстремум на функцията $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ при условие $x+y=0$.

Първият начин (методът на умножителите на Лагранж)

Означавайки $\varphi(x,y)=x+y$, съставяме функцията на Лагранж: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ ламбда=0;\\&x+y=0.\край (подравнено)\вдясно.$$

Решавайки системата, получаваме: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ и $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Имаме две стационарни точки: $M_1(0;0)$ и $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Нека открием природата на екстремума във всяка стационарна точка, като използваме детерминантата $H$.

$$ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \ляво| \begin(масив) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(масив) \right|=-10-18y $$

В точка $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, така че в този момент функцията има условен максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Ние изследваме природата на екстремума във всяка от точките по различен метод, базиран на знака на $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

От уравнението на ограничението $x+y=0$ имаме: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Тъй като $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, тогава $M_1(0;0)$ е условната минимална точка на функцията $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. По същия начин $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Втори начин

От уравнението на ограничението $x+y=0$ получаваме: $y=-x$. Замествайки $y=-x$ във функцията $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, получаваме някаква функция на променливата $x$. Нека означим тази функция като $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Така сведохме проблема за намиране на условния екстремум на функция на две променливи до проблема за определяне на екстремума на функция на една променлива.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Има точки $M_1(0;0)$ и $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Допълнителни изследвания са известни от курса на диференциалното смятане на функциите на една променлива. Изследвайки знака на $u_(xx)^("")$ във всяка неподвижна точка или проверявайки промяната на знака на $u_(x)^(")$ в намерените точки, получаваме същите заключения, както в първото решение , Например знак за отметка $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Тъй като $u_(xx)^("")(M_1)>0$, тогава $M_1$ е минималната точка на функцията $u(x)$, докато $u_(\min)=u(0)=0 $ . Тъй като $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Стойностите на функцията $u(x)$ при даденото условие за връзка съвпадат със стойностите на функцията $z(x,y)$, т.е. намерените екстремуми на функцията $u(x)$ са желаните условни екстремуми на функцията $z(x,y)$.

Отговор: в точката $(0;0)$ функцията има условен минимум, $z_(\min)=0$. В точката $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Нека разгледаме още един пример, в който откриваме природата на екстремума чрез определяне на знака на $d^2F$.

Пример #3

Намерете максималната и минималната стойност на функцията $z=5xy-4$, ако променливите $x$ и $y$ са положителни и удовлетворяват ограничителното уравнение $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Съставете функцията на Лагранж: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Намерете стационарните точки на функцията на Лагранж:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(подравнено) \right.$$

Всички следващи трансформации се извършват, като се вземе предвид $x > 0; \; y > 0$ (това е посочено в условието на задачата). От второто уравнение изразяваме $\lambda=-\frac(5x)(y)$ и заместваме намерената стойност в първото уравнение: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Като заместим $x=2y$ в третото уравнение, получаваме: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Тъй като $y=1$, тогава $x=2$, $\lambda=-10$. Естеството на екстремума в точката $(2;1)$ се определя от знака на $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\ламбда. $$

Тъй като $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, тогава:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

По принцип тук можете веднага да замените координатите на стационарната точка $x=2$, $y=1$ и параметъра $\lambda=-10$, като по този начин получавате:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Въпреки това, в други задачи за условен екстремум може да има няколко стационарни точки. В такива случаи е по-добре да представите $d^2F$ в общ вид и след това да замените координатите на всяка от намерените неподвижни точки в получения израз:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Замествайки $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, получаваме:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Тъй като $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Отговор: в точката $(2;1)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=6$.

В следващата част ще разгледаме приложението на метода на Лагранж за функции на по-голям брой променливи.